Zeitabhängige Störungsrechnung - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (5), ( → ( (6)

2010-09-12T22:46:06Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (5), ( → ( (6)

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:48:50Z

Einrückungen Mathematik

Änderungen zeigen

*>SchuBot am 11. September 2010 um 17:17 Uhr

2010-09-11T17:17:52Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 19:17 Uhr
Zeile 26:		Zeile 26:
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \left\langle n\acute{\ } ~~\right\|\left~~\| n \right\rangle ={{\delta }_{n\acute{\ }n}} \\		& \left\langle n\acute{\ } \| n \right\rangle ={{\delta }_{n\acute{\ }n}} \\

	& \sum\limits_{n}{{}}\left\| n \right\rangle \left\langle n \right\|=1 \\		& \sum\limits_{n}{{}}\left\| n \right\rangle \left\langle n \right\|=1 \\
Zeile 50:		Zeile 50:
	Damit:		Damit:

	:<math>\left\langle n ~~\right\|\left~~\| {{n}_{0}} \right\rangle :={{c}_{n}}(0)={{\delta }_{n{{n}_{0}}}}</math>		:<math>\left\langle n \| {{n}_{0}} \right\rangle :={{c}_{n}}(0)={{\delta }_{n{{n}_{0}}}}</math>

	Die Zeitentwicklung unter dem Einfluss der Störung lautet (Einsetzen von		Die Zeitentwicklung unter dem Einfluss der Störung lautet (Einsetzen von
Zeile 76:		Zeile 76:
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& i\hbar \sum\limits_{n}{{}}\frac{d}{dt}{{c}_{n}}(t)\left\langle m ~~\right\|\left~~\| n \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right\|\left( {{{\hat{H}}}_{0}}+{{{\hat{H}}}^{1}}(t) \right)\left\| n \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right\|\left( {{E}_{n}}+{{{\hat{H}}}^{1}}(t) \right)\left\| n \right\rangle \\		& i\hbar \sum\limits_{n}{{}}\frac{d}{dt}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \| n \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right\|\left( {{{\hat{H}}}_{0}}+{{{\hat{H}}}^{1}}(t) \right)\left\| n \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right\|\left( {{E}_{n}}+{{{\hat{H}}}^{1}}(t) \right)\left\| n \right\rangle \\

	& =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left( \left\langle m \right\|{{E}_{n}}\left\| n \right\rangle +\left\langle m \right\|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left\| n \right\rangle \right)=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t){{E}_{n}}{{\delta }_{mn}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right\|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left\| n \right\rangle \\		& =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left( \left\langle m \right\|{{E}_{n}}\left\| n \right\rangle +\left\langle m \right\|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left\| n \right\rangle \right)=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t){{E}_{n}}{{\delta }_{mn}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right\|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left\| n \right\rangle \\

	& \Rightarrow i\hbar \sum\limits_{n}{{}}\frac{d}{dt}{{c}_{n}}(t)\left\langle m ~~\right\|\left~~\| n \right\rangle ={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right\|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left\| n \right\rangle =i\hbar \frac{d}{dt}{{c}_{m}}(t) \\		& \Rightarrow i\hbar \sum\limits_{n}{{}}\frac{d}{dt}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \| n \right\rangle ={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right\|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left\| n \right\rangle =i\hbar \frac{d}{dt}{{c}_{m}}(t) \\

	\end{align}</math>		\end{align}</math>
Zeile 222:		Zeile 222:
	vorliegt.		vorliegt.

	<math>{{\left\| \left\langle n \right\|{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}} \right\|}^{2}}={{\left\| \sum\limits_{n\acute{\ }}{{}}{{c}_{n\acute{\ }}}(t)\left\langle n ~~\right\|\left~~\| n\acute{\ } \right\rangle \right\|}^{2}}={{\left\| {{c}_{n}}(t) \right\|}^{2}}={{\left\| {{g}_{n}}(t) \right\|}^{2}}</math>		<math>{{\left\| \left\langle n \right\|{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}} \right\|}^{2}}={{\left\| \sum\limits_{n\acute{\ }}{{}}{{c}_{n\acute{\ }}}(t)\left\langle n \| n\acute{\ } \right\rangle \right\|}^{2}}={{\left\| {{c}_{n}}(t) \right\|}^{2}}={{\left\| {{g}_{n}}(t) \right\|}^{2}}</math>

	'''Als Näherung ''' wird nur die niedrigste, nichtverschwindende Ordnung betrachtet:		'''Als Näherung ''' wird nur die niedrigste, nichtverschwindende Ordnung betrachtet:
Zeile 423:		Zeile 423:

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
	& {{c}_{n}}(t)=\left\langle n ~~\right\|\left~~\| \Psi \right\rangle =\left\langle n \right\|U(t,0)\left\| {{n}_{0}} \right\rangle =\left\langle n \right\|{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right)\left\| {{n}_{0}} \right\rangle \\		& {{c}_{n}}(t)=\left\langle n \| \Psi \right\rangle =\left\langle n \right\|U(t,0)\left\| {{n}_{0}} \right\rangle =\left\langle n \right\|{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right)\left\| {{n}_{0}} \right\rangle \\
	& \Rightarrow {{c}_{n}}(t)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}t}}\left( {{\delta }_{n{{n}_{0}}}}-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}\tau }}\left\langle n \right\|{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}\left\| {{n}_{0}} \right\rangle {{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n0}}\tau }} \right) \\		& \Rightarrow {{c}_{n}}(t)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}t}}\left( {{\delta }_{n{{n}_{0}}}}-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}\tau }}\left\langle n \right\|{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}\left\| {{n}_{0}} \right\rangle {{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n0}}\tau }} \right) \\
	& {{\delta }_{n{{n}_{0}}}}={{g}_{n}}^{(0)} \\		& {{\delta }_{n{{n}_{0}}}}={{g}_{n}}^{(0)} \\

Schubotz: /* Zeitunabhängige Störung: */

2010-09-10T13:35:59Z

Zeitunabhängige Störung:

← Nächstältere Version		Version vom 10. September 2010, 15:35 Uhr
Zeile 249:		Zeile 249:
	auf <math>\left\| n \right\rangle </math>		auf <math>\left\| n \right\rangle </math>
	:		:

			[[Datei:Sign squared.png]]
	Für die Darstellung der Übergangswahrscheinlichkeit um die optimale Energie gilt ( grafisch):		Für die Darstellung der Übergangswahrscheinlichkeit um die optimale Energie gilt ( grafisch):

Zeile 272:		Zeile 274:

	Grafisch		Grafisch
			[[Datei:Sign squared.gif]]

	<math>\Rightarrow {{\left\| \left\langle n \right\|{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}} \right\|}^{2}}={{\left\| {{g}_{n}}(t) \right\|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left\| \left\langle n \right\|{{{\hat{H}}}^{1}}\left\| {{n}_{0}} \right\rangle \right\|}^{2}}\cdot t\cdot {{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math>		<math>\Rightarrow {{\left\| \left\langle n \right\|{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}} \right\|}^{2}}={{\left\| {{g}_{n}}(t) \right\|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left\| \left\langle n \right\|{{{\hat{H}}}^{1}}\left\| {{n}_{0}} \right\rangle \right\|}^{2}}\cdot t\cdot {{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math>

Schubotz am 9. September 2010 um 14:36 Uhr

2010-09-09T14:36:30Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. September 2010, 16:36 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|5\|1}}		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|5\|1}}</noinclude>

	'''(Dirac)'''		'''(Dirac)'''

Schubotz am 4. September 2010 um 15:38 Uhr

2010-09-04T15:38:56Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. September 2010, 17:38 Uhr
Zeile 13:		Zeile 13:
	durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.		durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.

	Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters <math>\varepsilon </math>		Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters <math>\varepsilon </math> linear entwickelt werden kann:

	linear entwickelt werden kann:

	:<math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math>		:<math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math>
			(dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein!)
	( dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein !)

	Die ''Eigenzustände'' und ''Eigenwerte'' von H<sub>0</sub> seien bekannt:		Die ''Eigenzustände'' und ''Eigenwerte'' von H<sub>0</sub> seien bekannt:
Zeile 25:		Zeile 22:
	:<math>{{\hat{H}}_{0}}\left\| n \right\rangle ={{E}_{n}}\left\| n \right\rangle </math> (ungestörtes Problem)		:<math>{{\hat{H}}_{0}}\left\| n \right\rangle ={{E}_{n}}\left\| n \right\rangle </math> (ungestörtes Problem)

	Dabei gilt natürlich weiterhin die Orthonormierung und Vollständigkeit des Basissystems:		Dabei gilt natürlich weiterhin die ''Orthonormierung'' und ''Vollständigkeit'' des Basissystems:

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 37:		Zeile 34:
	<u>Annahme</u>: diskretes Spektrum		<u>Annahme</u>: diskretes Spektrum

	Die Entwicklung von <math>{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>		Die Entwicklung von <math>{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}</math> nach den Eigenzuständen des ungestörten Systems liefert:

	nach den Eigenzuständen des ungestörten Systems liefert:

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 49:		Zeile 44:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Die Anfangsbedingung sei ein noch ungestörter Zustand		Die Anfangsbedingung sei ein noch ungestörter Zustand <math>\left\| {{n}_{0}} \right\rangle </math>:
	:<math>\left\| {{n}_{0}} \right\rangle </math>

	<math>{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t=0}}=\left\| {{n}_{0}} \right\rangle </math>		:<math>{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t=0}}=\left\| {{n}_{0}} \right\rangle </math>

	Damit:		Damit:
Zeile 58:		Zeile 52:
	:<math>\left\langle n \right\|\left\| {{n}_{0}} \right\rangle :={{c}_{n}}(0)={{\delta }_{n{{n}_{0}}}}</math>		:<math>\left\langle n \right\|\left\| {{n}_{0}} \right\rangle :={{c}_{n}}(0)={{\delta }_{n{{n}_{0}}}}</math>

	Die Zeitentwicklung unter dem Einfluss der Störung lautet ( Einsetzen von~~<math>\begin{align}~~		Die Zeitentwicklung unter dem Einfluss der Störung lautet (Einsetzen von

	:& \sum\limits_{n}{{}}\left\| n \right\rangle \left\langle n \right\|{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\| n \right\rangle \\		:<math>\begin{align}

			& \sum\limits_{n}{{}}\left\| n \right\rangle \left\langle n \right\|{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\| n \right\rangle \\

	& \left\langle n \right\|{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}:={{c}_{n}}(t) \\		& \left\langle n \right\|{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}:={{c}_{n}}(t) \\
Zeile 66:		Zeile 62:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	in die Schrödingergleichung: :		in die Schrödingergleichung:

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 78:		Zeile 74:
	Charakteristisch für diese entwickelten Probleme ist das Auftreten der Summe, wie hier zu sehen. Diese kann man beseitigen, indem von links mit einem zweiten Zustand "herausprojiziert" wird):		Charakteristisch für diese entwickelten Probleme ist das Auftreten der Summe, wie hier zu sehen. Diese kann man beseitigen, indem von links mit einem zweiten Zustand "herausprojiziert" wird):

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& i\hbar \sum\limits_{n}{{}}\frac{d}{dt}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right\|\left\| n \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right\|\left( {{{\hat{H}}}_{0}}+{{{\hat{H}}}^{1}}(t) \right)\left\| n \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right\|\left( {{E}_{n}}+{{{\hat{H}}}^{1}}(t) \right)\left\| n \right\rangle \\		& i\hbar \sum\limits_{n}{{}}\frac{d}{dt}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right\|\left\| n \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right\|\left( {{{\hat{H}}}_{0}}+{{{\hat{H}}}^{1}}(t) \right)\left\| n \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right\|\left( {{E}_{n}}+{{{\hat{H}}}^{1}}(t) \right)\left\| n \right\rangle \\
Zeile 88:		Zeile 84:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Hilfreich ist die Definition eines		Hilfreich ist die Definition eines <math>{{c}_{n}}(t):={{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}{{g}_{n}}(t)</math> mit Hilfe der Eigenwerte des Zeitentwicklungsoperators für die ungestörten Zustände:

	~~<math>{{c}_{n}}(t)~~:~~={{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}{{g}_{n}}(t)</math>~~		:<math>{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}</math>

	~~mit Hilfe der Eigenwerte des Zeitentwicklungsoperators für die ungestörten Zustände:~~

	<math>{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}</math>

	Man schreibt also eine Zeitentwicklung für die Entwicklungskoeffizienten auf !		Man schreibt also eine Zeitentwicklung für die Entwicklungskoeffizienten auf !
Zeile 100:		Zeile 92:
	Somit kann die Differenzialgleichung für die Entwicklungskoeffizienten umgeschrieben werden:		Somit kann die Differenzialgleichung für die Entwicklungskoeffizienten umgeschrieben werden:

	<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{c}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right\|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left\| n \right\rangle </math>		:<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{c}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right\|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left\| n \right\rangle </math>

	~~mit~~

	<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{c}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{m}}t}{\hbar } \right)}}i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)</math>		mit <math>i\hbar \frac{d}{dt}{{c}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{m}}t}{\hbar } \right)}}i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)</math>

	Setzt man dies ein, so folgt:		Setzt man dies ein, so folgt:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& {{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{m}}t}{\hbar } \right)}}i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right\|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left\| n \right\rangle \\		& {{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{m}}t}{\hbar } \right)}}i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right\|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left\| n \right\rangle \\
Zeile 116:		Zeile 106:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	und wegen		und wegen <math>{{c}_{n}}(t):={{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}{{g}_{n}}(t)</math> also:

	<math>{{c}_{n}}(t):={{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}{{g}_{n}}(t)</math>

	also:

	<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle m \right\|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left\| n \right\rangle {{g}_{n}}(t)</math>		:<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle m \right\|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left\| n \right\rangle {{g}_{n}}(t)</math>

	Die eigentliche Störungsrechnung kommt erst jetzt:		Die eigentliche Störungsrechnung kommt erst jetzt:

Schubotz: /* Harmonische zeitabhängige Störung */

2010-09-03T18:40:46Z

Harmonische zeitabhängige Störung

← Nächstältere Version		Version vom 3. September 2010, 20:40 Uhr
Zeile 395:		Zeile 395:
	herunter.		herunter.

	~~<u>'''~~Zusammenhang mit dem Wechselwirkungsbild~~'''</u>~~		==Zusammenhang mit dem Wechselwirkungsbild==

	Für t=0 stimmen Schrödinger- und Wechselwirkungsbild überein ( Siehe oben, S. 63)		Für t=0 stimmen Schrödinger- und Wechselwirkungsbild überein ( Siehe oben, S. 63)

Schubotz am 3. September 2010 um 18:38 Uhr

2010-09-03T18:38:01Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. September 2010, 20:38 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	'''(Dirac)'''		'''(Dirac)'''

	Es soll die zeitliche Entwicklung eines Zustandes <math>{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>		Es soll die '''zeitliche Entwicklung''' eines Zustandes <math>{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}</math> aus der Schrödingergleichung

	~~aus der Schrödingergleichung~~		:<math>\hat{H}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>

	~~<math>\hat{H}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>~~		berechnet werden, wobei

	~~berechnet werden, wobei~~		:<math>\hat H = \hat H _0 + \hat H_1(t)</math>

	durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.		durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.
Zeile 17:		Zeile 17:
	linear entwickelt werden kann:		linear entwickelt werden kann:

	<math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math>		:<math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math>

	( dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein !)		( dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein !)

	Die Eigenzustände und Eigenwerte von Ho seien bekannt:		Die ''Eigenzustände'' und ''Eigenwerte'' von H<sub>0</sub> seien bekannt:

	<math>{{\hat{H}}_{0}}\left\| n \right\rangle ={{E}_{n}}\left\| n \right\rangle </math>		:<math>{{\hat{H}}_{0}}\left\| n \right\rangle ={{E}_{n}}\left\| n \right\rangle </math> (ungestörtes Problem)

	( ~~ungestörte~~ Problem)

	Dabei gilt natürlich weiterhin die Orthonormierung und Vollständigkeit des Basissystems:		Dabei gilt natürlich weiterhin die Orthonormierung und Vollständigkeit des Basissystems:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \left\langle n\acute{\ } \right\|\left\| n \right\rangle ={{\delta }_{n\acute{\ }n}} \\		& \left\langle n\acute{\ } \right\|\left\| n \right\rangle ={{\delta }_{n\acute{\ }n}} \\
Zeile 37:		Zeile 35:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Annahme: diskretes Spektrum		<u>Annahme</u>: diskretes Spektrum

	Die Entwicklung von <math>{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>		Die Entwicklung von <math>{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>
Zeile 43:		Zeile 41:
	nach den Eigenzuständen des ungestörten Systems liefert:		nach den Eigenzuständen des ungestörten Systems liefert:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \sum\limits_{n}{{}}\left\| n \right\rangle \left\langle n \right\|{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\| n \right\rangle \\		& \sum\limits_{n}{{}}\left\| n \right\rangle \left\langle n \right\|{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\| n \right\rangle \\
Zeile 51:		Zeile 49:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Die Anfangsbedingung sei ein noch ungestörter Zustand <math>\left\| {{n}_{0}} \right\rangle </math>		Die Anfangsbedingung sei ein noch ungestörter Zustand
			:<math>\left\| {{n}_{0}} \right\rangle </math>

	<math>{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t=0}}=\left\| {{n}_{0}} \right\rangle </math>		<math>{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t=0}}=\left\| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
Zeile 57:		Zeile 56:
	Damit:		Damit:

	<math>\left\langle n \right\|\left\| {{n}_{0}} \right\rangle :={{c}_{n}}(0)={{\delta }_{n{{n}_{0}}}}</math>		:<math>\left\langle n \right\|\left\| {{n}_{0}} \right\rangle :={{c}_{n}}(0)={{\delta }_{n{{n}_{0}}}}</math>

	Die Zeitentwicklung unter dem ~~Einfluß~~ der Störung lautet ( Einsetzen von<math>\begin{align}		Die Zeitentwicklung unter dem Einfluss der Störung lautet ( Einsetzen von<math>\begin{align}

	& \sum\limits_{n}{{}}\left\| n \right\rangle \left\langle n \right\|{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\| n \right\rangle \\		:& \sum\limits_{n}{{}}\left\| n \right\rangle \left\langle n \right\|{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\| n \right\rangle \\

	& \left\langle n \right\|{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}:={{c}_{n}}(t) \\		& \left\langle n \right\|{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}:={{c}_{n}}(t) \\
Zeile 69:		Zeile 68:
	in die Schrödingergleichung: :		in die Schrödingergleichung: :

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \hat{H}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}} \\		& \hat{H}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}} \\
Zeile 127:		Zeile 126:
	Die eigentliche Störungsrechnung kommt erst jetzt:		Die eigentliche Störungsrechnung kommt erst jetzt:

	Wir machen eine Sörungsentwicklung für kleines <math>\varepsilon </math>		Wir machen eine Sörungsentwicklung für kleines <math>\varepsilon </math>:

	:

	<math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math>		<math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math>
Zeile 175:		Zeile 172:
	gilt, kann an der Gleichung ein Koeffizientenvergleich in der Ordnung <math>{{\varepsilon }^{k}}</math>		gilt, kann an der Gleichung ein Koeffizientenvergleich in der Ordnung <math>{{\varepsilon }^{k}}</math>

	durchgeführt werden und es folgt: <math>k=0</math>		durchgeführt werden und es folgt: <math>k=0</math>:

	:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(0)}(t)=0 \\		& i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(0)}(t)=0 \\
Zeile 252:		Zeile 247:
	:		:

	~~<u>'''~~Zeitunabhängige Störung: ~~'''</u>~~<math>\hat{V}=const.</math>		== Zeitunabhängige Störung: ==
			<math>\hat{V}=const.</math>
	:		:
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
Zeile 326:		Zeile 322:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	====Harmonische zeitabhängige Störung====		==Harmonische zeitabhängige Störung==

	<math>{{\hat{H}}^{1}}(t)=\hat{F}{{e}^{-i\omega t}}+{{\hat{F}}^{+}}{{e}^{i\omega t}}</math>		<math>{{\hat{H}}^{1}}(t)=\hat{F}{{e}^{-i\omega t}}+{{\hat{F}}^{+}}{{e}^{i\omega t}}</math>

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2010-08-24T17:51:00Z

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Neue Seite

{{Scripthinweis|Quantenmechanik|5|1}}

'''(Dirac)'''

Es soll die zeitliche Entwicklung eines Zustandes <math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>

aus der Schrödingergleichung

<math>\hat{H}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>

berechnet werden, wobei

durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.

Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters <math>\varepsilon </math>

linear entwickelt werden kann:

<math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math>

( dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein !)

Die Eigenzustände und Eigenwerte von Ho seien bekannt:

<math>{{\hat{H}}_{0}}\left| n \right\rangle ={{E}_{n}}\left| n \right\rangle </math>

( ungestörte Problem)

Dabei gilt natürlich weiterhin die Orthonormierung und Vollständigkeit des Basissystems:

<math>\begin{align}

& \left\langle n\acute{\ } \right|\left| n \right\rangle ={{\delta }_{n\acute{\ }n}} \\

& \sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle n \right|=1 \\

\end{align}</math>

Annahme: diskretes Spektrum

Die Entwicklung von <math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>

nach den Eigenzuständen des ungestörten Systems liefert:

<math>\begin{align}

& \sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle n \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left| n \right\rangle \\

& \left\langle n \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}:={{c}_{n}}(t) \\

\end{align}</math>

Die Anfangsbedingung sei ein noch ungestörter Zustand <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>

<math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t=0}}=\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>

Damit:

<math>\left\langle n \right|\left| {{n}_{0}} \right\rangle :={{c}_{n}}(0)={{\delta }_{n{{n}_{0}}}}</math>

Die Zeitentwicklung unter dem Einfluß der Störung lautet ( Einsetzen von<math>\begin{align}

& \sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle n \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left| n \right\rangle \\

& \left\langle n \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}:={{c}_{n}}(t) \\

\end{align}</math>

in die Schrödingergleichung: :

<math>\begin{align}

& \hat{H}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \\

& \Rightarrow \sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\hat{H}\left| n \right\rangle =i\hbar \sum\limits_{n}{{}}\frac{d}{dt}{{c}_{n}}(t)\left| n \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left( {{{\hat{H}}}_{0}}+{{{\hat{H}}}^{1}}(t) \right)\left| n \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left( {{E}_{n}}+{{{\hat{H}}}^{1}}(t) \right)\left| n \right\rangle \\

\end{align}</math>

Charakteristisch für diese entwickelten Probleme ist das Auftreten der Summe, wie hier zu sehen. Diese kann man beseitigen, indem von links mit einem zweiten Zustand "herausprojiziert" wird):

<math>\begin{align}

& i\hbar \sum\limits_{n}{{}}\frac{d}{dt}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right|\left| n \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right|\left( {{{\hat{H}}}_{0}}+{{{\hat{H}}}^{1}}(t) \right)\left| n \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right|\left( {{E}_{n}}+{{{\hat{H}}}^{1}}(t) \right)\left| n \right\rangle \\

& =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left( \left\langle m \right|{{E}_{n}}\left| n \right\rangle +\left\langle m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle \right)=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t){{E}_{n}}{{\delta }_{mn}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle \\

& \Rightarrow i\hbar \sum\limits_{n}{{}}\frac{d}{dt}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right|\left| n \right\rangle ={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle =i\hbar \frac{d}{dt}{{c}_{m}}(t) \\

\end{align}</math>

Hilfreich ist die Definition eines

<math>{{c}_{n}}(t):={{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}{{g}_{n}}(t)</math>

mit Hilfe der Eigenwerte des Zeitentwicklungsoperators für die ungestörten Zustände:

<math>{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}</math>

Man schreibt also eine Zeitentwicklung für die Entwicklungskoeffizienten auf !

Somit kann die Differenzialgleichung für die Entwicklungskoeffizienten umgeschrieben werden:

<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{c}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle </math>

mit

<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{c}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{m}}t}{\hbar } \right)}}i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)</math>

Setzt man dies ein, so folgt:

<math>\begin{align}

& {{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{m}}t}{\hbar } \right)}}i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle \\

& \Rightarrow i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)={{e}^{\left( i\frac{{{E}_{m}}t}{\hbar } \right)}}\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle \\

\end{align}</math>

und wegen

<math>{{c}_{n}}(t):={{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}{{g}_{n}}(t)</math>

also:

<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle m \right|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle {{g}_{n}}(t)</math>

Die eigentliche Störungsrechnung kommt erst jetzt:

Wir machen eine Sörungsentwicklung für kleines <math>\varepsilon </math>

:

<math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math>

( dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein !)

Man motiviert dass bei kleinen Potenzialstörungen höhere Ordnungen von <math>\left\langle m \right|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle </math>

polynomial in <math>\varepsilon </math>

fallen, was für die Entwicklungskoeffizienten bedeutet:

<math>{{g}_{n}}(t)={{g}_{n}}^{(0)}(t)+\varepsilon {{g}_{n}}^{(1)}(t)+{{\varepsilon }^{2}}{{g}_{n}}^{(2)}(t)+...</math>

Merke: Der entscheidende Schritt der zeitabhängigen Störungsrechnung ist hier: die Taylorentwicklung der Entwicklungskoeffizienten, in denen der Zustand entwickelt wurde.

Dabei gilt:

<math>\begin{align}

& \sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle n \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left| n \right\rangle \\

& \left\langle n \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}:={{c}_{n}}(t) \\

\end{align}</math>

<math>{{c}_{n}}(t):={{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}{{g}_{n}}(t)</math>

Da aber die Differenzialgleichung für unsere <math>{{g}_{m}}(t)</math>

<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle m \right|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle {{g}_{n}}(t)</math>

ebenso beidseitig entwickelt werden kann:

<math>\begin{align}

& i\hbar \frac{d}{dt}\left( {{g}_{m}}^{(0)}(t)+\varepsilon {{g}_{m}}^{(1)}(t)+{{\varepsilon }^{2}}{{g}_{m}}^{(2)}(t)+... \right) \\

& =\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle \left( {{g}_{n}}^{(0)}(t)+\varepsilon {{g}_{n}}^{(1)}(t)+{{\varepsilon }^{2}}{{g}_{n}}^{(2)}(t)+... \right) \\

\end{align}</math>

und dies für beliebige <math>\varepsilon </math>

gilt, kann an der Gleichung ein Koeffizientenvergleich in der Ordnung <math>{{\varepsilon }^{k}}</math>

durchgeführt werden und es folgt: <math>k=0</math>

:

<math>\begin{align}

& i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(0)}(t)=0 \\

& \Rightarrow {{g}_{m}}^{(0)}(t)=const=!={{\delta }_{m{{n}_{0}}}} \\

\end{align}</math>

Exakte Lösung für <math>\varepsilon =0</math>

:

<math>{{c}_{m}}^{(0)}(t)={{e}^{-i\frac{{{E}_{m}}}{\hbar }t}}{{\delta }_{m{{n}_{0}}}}</math>

'''Für k=1'''

<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle m \right|\hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}</math>

Dabei wurde <math>{{\varepsilon }^{k}}={{\varepsilon }^{1}}</math>

bereits beidseitig gekürzt.

Beim Vergleich der Ordnungen von <math>\varepsilon </math>

muss man aufpassen.

Links ist die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten gleich der Ordnung von <math>\varepsilon </math>

. Rechts dagegen hat man eine Ordnung von <math>\varepsilon </math>

, die noch um eines größer ist als die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten, da ja noch <math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math>

. Also hat man formal in erster Ordnung von <math>\varepsilon </math>

:

<math>i\hbar \frac{d}{dt}\varepsilon {{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle m \right|\varepsilon \hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}\Rightarrow i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle m \right|\hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}</math>

Wir wissen: <math>{{g}_{m}}^{(0)}(t)=const=!={{\delta }_{m{{n}_{0}}}}</math>

Somit:

<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle m \right|\hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}</math>

also:

<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)={{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle m \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>

und mit der Anfangsbedingung <math>{{g}_{n}}^{(1)}(0)=0</math>

kann formal integriert werden:

<math>{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\frac{1}{i\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n0}} \right)\tau }{\hbar } \right)}}\left\langle m \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>

'''Übergangswahrscheinlichkeit'''

Per Definition die Wahrscheinlichkeit, zur Zeit t den Zustand <math>\left| n \right\rangle </math>

zu finden, wenn zu t=0 der Zustand <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>

vorliegt.

<math>{{\left| \left\langle n \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| \sum\limits_{n\acute{\ }}{{}}{{c}_{n\acute{\ }}}(t)\left\langle n \right|\left| n\acute{\ } \right\rangle \right|}^{2}}={{\left| {{c}_{n}}(t) \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}}(t) \right|}^{2}}</math>

'''Als Näherung ''' wird nur die niedrigste, nichtverschwindende Ordnung betrachtet:

<math>{{g}_{n}}(t)={{g}_{n}}^{(o)}={{\delta }_{n{{n}_{0}}}}=1</math>
für n=n0
und
<math>{{g}_{n}}(t)=\varepsilon {{g}_{n}}^{(1)}</math>
für <math>n\ne {{n}_{0}}</math>
:

'''Zeitunabhängige Störung: '''<math>\hat{V}=const.</math>
:
<math>\begin{align}
& {{g}_{n}}^{(1)}(t)=-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)\tau }{\hbar } \right)}}\left\langle n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle =-\left\langle n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}} \\
& {{\left| {{g}_{n}}^{(1)}(t) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}\left\{ \frac{{{e}^{\left( -i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}} \right\}\left\{ \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}} \right\}:={{\left| \left\langle n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i\Omega t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i\Omega t \right)}}-1 \right)}{{{\Omega }^{2}}{{\hbar }^{2}}} \right\} \\
& \Omega :=\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)}{\hbar } \\
& \Rightarrow {{\left| {{g}_{n}}^{(1)}(t) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}\frac{2\left( 1-\cos \Omega t \right)}{{{\Omega }^{2}}{{\hbar }^{2}}}={{\left| \left\langle n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}\frac{4{{\sin }^{2}}\frac{\Omega }{2}t}{{{\Omega }^{2}}{{\hbar }^{2}}} \\
& \frac{4{{\sin }^{2}}\frac{\Omega }{2}t}{{{\Omega }^{2}}{{\hbar }^{2}}}:={{D}_{t}}\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right) \\
& \Rightarrow {{\left| {{g}_{n}}^{(1)}(t) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}{{D}_{t}}\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right) \\
\end{align}</math>

Die Größe<math>\Omega :=\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)}{\hbar }</math>
heißt Übergangsfrequenz. Und bezieht sich auf den Übergang von <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
auf <math>\left| n \right\rangle </math>
:
Für die Darstellung der Übergangswahrscheinlichkeit um die optimale Energie gilt ( grafisch):

<math>\begin{align}
& {{D}_{t}}(0)={{\left( \frac{t}{\hbar } \right)}^{2}} \\
& \begin{matrix}
\lim \\
t\to \infty \\
\end{matrix}\left( {{D}_{t}}(0) \right)=\infty \\
& \int_{-\infty }^{\infty }{{{D}_{t}}(E)}=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dE\frac{4{{\sin }^{2}}\left( \frac{Et}{2\hbar } \right)}{{{E}^{2}}}=\frac{2t}{\hbar }\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\xi \frac{{{\sin }^{2}}\xi }{{{\xi }^{2}}} \\
& \int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\xi \frac{{{\sin }^{2}}\xi }{{{\xi }^{2}}}=\pi \\
& \Rightarrow \int_{-\infty }^{\infty }{{{D}_{t}}(E)}=\frac{2\pi }{\hbar }t \\
\end{align}</math>

Also:
<math>\begin{align}
& {{D}_{t}}(E)=:\frac{2\pi }{\hbar }t{{\delta }_{t}}(E) \\
& \begin{matrix}
\lim \\
t\to \infty \\
\end{matrix}{{D}_{t}}(E)=\frac{2\pi }{\hbar }t\delta (E) \\
\end{align}</math>

Grafisch

<math>\Rightarrow {{\left| \left\langle n \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}}(t) \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|{{{\hat{H}}}^{1}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}\cdot t\cdot {{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math>

Für <math>t\to \infty </math>
Energieerhaltung: <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}=0</math>

Für <math>t<\infty </math>
hat <math>{{D}_{t}}(E)=:\frac{2\pi }{\hbar }t{{\delta }_{t}}(E)</math>
die Breite <math>\Delta E\cong \frac{4\pi \hbar }{t}</math>

Damit folgt die Energie- Zeit Unschärferelation:
<math>\Delta Et\cong 4\pi \hbar </math>

'''Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ( von '''<math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
auf <math>\left| n \right\rangle </math>
):
<math>{{W}_{nn0}}=\frac{d}{dt}{{\left| \left\langle n \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|{{{\hat{H}}}^{1}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}{{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math>

Mit dem Übergangsmatrixelement
<math>\left\langle n \right|{{\hat{H}}^{1}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>

und einer quadratischen Sinc- Funktion, <math>{{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math>
( siehe obige Definitionen) die die Übergangswahrscheinlichkeit auf absorbierte Quanten mit einer Energie <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math>
beschränkt, so lange deren Abweichung von <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math>
noch der Unschärfe genügt ( Die Wahrscheinliochkeit sinkt dann entlang einer Sinc²- Funktion um <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math>
ab, für Quantenenergien, die von <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math>
verschieden sind. Diese "Distribution" wird für unendlich lange Lebensdauern zur Delta- Funktion !

Dies ist Fermis Goldene Regel, abgeleitet aus der Störungstheorie 1. Ordnung.
Dabei gilt:

<math>\begin{align}
& {{\delta }_{t}}\to \delta \\
& f\ddot{u}r\quad t\to \infty \\
\end{align}</math>

====Harmonische zeitabhängige Störung====

<math>{{\hat{H}}^{1}}(t)=\hat{F}{{e}^{-i\omega t}}+{{\hat{F}}^{+}}{{e}^{i\omega t}}</math>
hermitesch !

Es folgt:

<math>\begin{align}
& {{g}_{n}}(t)=-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega \right)\tau }{\hbar } \right)}}\left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle -\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega \right)\tau }{\hbar } \right)}}\left\langle n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \\
& \Rightarrow {{g}_{n}}(t)=-\left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \left\{ \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega \right)t}{\hbar } \right)-1}}}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega } \right\}-\left\langle n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \left\{ \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega \right)t}{\hbar } \right)-1}}}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega } \right\} \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Übergangswahrscheinlichkeit von <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
auf <math>\left| n \right\rangle </math>
:

<math>\begin{align}
& {{\left| {{\left\langle n | \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega ) \\
& +\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )+\left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle *\left\langle n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \left\{ \frac{{{e}^{\left( -i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega } \right\}\left\{ \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega } \right\} \\
& +\left\langle n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle *\left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \left\{ \frac{{{e}^{\left( -i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega } \right\}\left\{ \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega } \right\} \\
& {{\Omega }^{\pm }}:=\Omega \pm \omega =\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}\pm \hbar \omega \right)}{\hbar } \\
& \Rightarrow {{\left| {{\left\langle n | \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega ) \\
& +\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )+\left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle *\left\langle n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i{{\Omega }^{-}}t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i{{\Omega }^{+}}t \right)}}-1 \right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}} \right\} \\
& +\left\langle n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle *\left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i{{\Omega }^{+}}t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i{{\Omega }^{-}}t \right)}}-1 \right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}} \right\} \\
& \left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle *\left\langle n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle :=A{{e}^{-i\gamma }} \\
& \left\langle n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle *\left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle :=A{{e}^{i\gamma }} \\
\end{align}</math>

<math>\begin{align}
& \Rightarrow {{\left| {{\left\langle n | \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega ) \\
& +\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )+A{{e}^{-i\gamma }}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i{{\Omega }^{-}}t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i{{\Omega }^{+}}t \right)}}-1 \right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}} \right\} \\
& +A{{e}^{i\gamma }}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i{{\Omega }^{+}}t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i{{\Omega }^{-}}t \right)}}-1 \right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}} \right\} \\
\end{align}</math>

Weiter gilt

<math>A{{e}^{-i\gamma }}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i{{\Omega }^{-}}t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i{{\Omega }^{+}}t \right)}}-1 \right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}} \right\}+A{{e}^{i\gamma }}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i{{\Omega }^{+}}t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i{{\Omega }^{-}}t \right)}}-1 \right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}} \right\}=\frac{4A}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}}\cos \left( \omega t-\gamma \right)\left[ \cos \left( \omega t \right)-\cos \left( \Omega t \right) \right]</math>
Für <math>\omega \ne 0,\Omega \ne 0</math>
sind diese Terme jedoch rein oszillierend. Für <math>t\to \infty </math>
sind diese jedoch vernachlässigbar gegen Terme <math>\tilde{\ }t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}\pm \hbar \omega )=t\delta (\hbar {{\Omega }^{\pm }})</math>

Somit folgt für <math>t\to \infty </math>
:
<math>{{\left| {{\left\langle n | \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )</math>

Für Zeit gegen unendlich kann man dann leicht die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
und <math>\left| n \right\rangle </math>
pro Zeiteinheit, durch Ableitung nach der Zeit erhalten:

<math>{{W}_{nn0}}=\frac{d}{dt}{{\left| {{\left\langle n | \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle {{n}_{0}} \right|\hat{F}\left| n \right\rangle \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )</math>

Die Terme lassen sich identifizieren:

<math>\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )</math>
steht für die Absorption eines Quants der Energie <math>\hbar \omega </math>
bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
auf<math>\left| n \right\rangle </math>
, was einem Energiesprung von <math>{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}</math>
entspricht.
Das Quant wird also von Niveau <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
auf <math>\left| n \right\rangle </math>
gehievt

<math>\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle {{n}_{0}} \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| n \right\rangle \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )</math>
steht für die Emission eines Quants der Energie <math>\hbar \omega </math>
bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von <math>\left| n \right\rangle </math>
auf<math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
, was einer Energieabgabe von <math>{{E}_{n0}}-{{E}_{n}}</math>
entspricht.
Das Quant fällt dabei vom diesmal höheren Niveau <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
auf das Niveau <math>\left| n \right\rangle </math>
herunter.

'''Zusammenhang mit dem Wechselwirkungsbild'''

Für t=0 stimmen Schrödinger- und Wechselwirkungsbild überein ( Siehe oben, S. 63)

Im Wechselwirkungsbild gilt:

<math>{{\hat{H}}_{W}}^{1}(t)={{e}^{\left( \frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}_{0}}t \right)}}{{\hat{H}}_{S}}^{1}{{e}^{\left( -\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}_{0}}t \right)}}</math>

Im Wechselwirkungsbild wird die Zeitentwicklung der Operatoren mit <math>{{\hat{H}}_{0}}</math>
gewonnen, während die Zustände mit<math>{{\hat{H}}_{W}}^{1}(t)</math>
evolutionieren:

<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}={{\hat{H}}_{W}}^{1}(t){{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}</math>

Die formale Integration führt auf eine Integralgleichung:

<math>\begin{align}
& {{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}(t)={{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}(t=0)-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{{}}d\tau \left( {{{\hat{H}}}_{W}}^{1}(\tau ){{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}(\tau ) \right) \\
& {{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}(t=0)=\left| {{n}_{0}} \right\rangle \\
\end{align}</math>

Für kleine <math>{{\hat{H}}_{W}}^{1}</math>
liefert eine Iteration:

<math>\begin{align}
& {{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}(t)={{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}(t=0)-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{{}}d\tau \left( {{{\hat{H}}}_{W}}^{1}(\tau ){{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}(\tau ) \right)\approx \left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{{\hat{H}}}_{W}}^{1}(\tau ) \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle \\
& {{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}(t)\approx \left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{{\hat{H}}}_{W}}^{1}(\tau ) \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle =\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle \\
\end{align}</math>

Mit
<math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{S}}(t)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}(t)\approx {{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>

und
<math>{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right):=U(t,0)</math>
Zeitentwicklungsoperator im Schrödingerbild

'''Übergangsamplitude ''' im Schrödinger- Bild:

<math>\begin{align}
& {{c}_{n}}(t)=\left\langle n \right|\left| \Psi \right\rangle =\left\langle n \right|U(t,0)\left| {{n}_{0}} \right\rangle =\left\langle n \right|{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle \\
& \Rightarrow {{c}_{n}}(t)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}t}}\left( {{\delta }_{n{{n}_{0}}}}-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}\tau }}\left\langle n \right|{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}\left| {{n}_{0}} \right\rangle {{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n0}}\tau }} \right) \\
& {{\delta }_{n{{n}_{0}}}}={{g}_{n}}^{(0)} \\
& -\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}\tau }}\left\langle n \right|{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}\left| {{n}_{0}} \right\rangle {{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n0}}\tau }}=\varepsilon {{g}_{n}}^{(1)} \\
& {{c}_{n}}(t)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}t}}\left( {{\delta }_{n{{n}_{0}}}}-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}\tau }}\left\langle n \right|{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}\left| {{n}_{0}} \right\rangle {{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n0}}\tau }} \right)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}t}}{{g}_{n}}(t) \\
\end{align}</math>

In Übereinstimmung mit unserem Ergebnis von Seite 113 !

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:46 Uhr
Zeile 88:		Zeile 88:
	:<math>{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}</math>		:<math>{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}</math>

	Man schreibt also eine Zeitentwicklung für die Entwicklungskoeffizienten auf !		Man schreibt also eine Zeitentwicklung für die Entwicklungskoeffizienten auf!

	Somit kann die Differenzialgleichung für die Entwicklungskoeffizienten umgeschrieben werden:		Somit kann die Differenzialgleichung für die Entwicklungskoeffizienten umgeschrieben werden:
Zeile 116:		Zeile 116:
	:<math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math>		:<math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math>

	( dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein !)		(dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein!)

	Man motiviert dass bei kleinen Potenzialstörungen höhere Ordnungen von <math>\left\langle m \right\|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left\| n \right\rangle </math>		Man motiviert dass bei kleinen Potenzialstörungen höhere Ordnungen von <math>\left\langle m \right\|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left\| n \right\rangle </math>
Zeile 187:		Zeile 187:

	Links ist die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten gleich der Ordnung von <math>\varepsilon </math>		Links ist die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten gleich der Ordnung von <math>\varepsilon </math>
			.
	. Rechts dagegen hat man eine Ordnung von <math>\varepsilon </math>		Rechts dagegen hat man eine Ordnung von <math>\varepsilon </math>
			,
	, die noch um eines größer ist als die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten, da ja noch <math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math>		die noch um eines größer ist als die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten, da ja noch <math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math>
			.
	. Also hat man formal in erster Ordnung von <math>\varepsilon </math>		Also hat man formal in erster Ordnung von <math>\varepsilon </math>

	:		:
Zeile 251:		Zeile 251:

	[[Datei:Sign squared.png]]		[[Datei:Sign squared.png]]
	Für die Darstellung der Übergangswahrscheinlichkeit um die optimale Energie gilt ( grafisch):		Für die Darstellung der Übergangswahrscheinlichkeit um die optimale Energie gilt (grafisch):

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 288:		Zeile 288:
	:<math>\Delta Et\cong 4\pi \hbar </math>		:<math>\Delta Et\cong 4\pi \hbar </math>

	'''Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ( von '''<math>\left\| {{n}_{0}} \right\rangle </math>		'''Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit (von '''<math>\left\| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
	auf <math>\left\| n \right\rangle </math>		auf <math>\left\| n \right\rangle </math>)
	):		:
	:<math>{{W}_{nn0}}=\frac{d}{dt}{{\left\| \left\langle n \right\|{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}} \right\|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left\| \left\langle n \right\|{{{\hat{H}}}^{1}}\left\| {{n}_{0}} \right\rangle \right\|}^{2}}{{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math>		:<math>{{W}_{nn0}}=\frac{d}{dt}{{\left\| \left\langle n \right\|{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}} \right\|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left\| \left\langle n \right\|{{{\hat{H}}}^{1}}\left\| {{n}_{0}} \right\rangle \right\|}^{2}}{{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math>

Zeile 297:		Zeile 297:

	und einer quadratischen Sinc- Funktion, <math>{{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math>		und einer quadratischen Sinc- Funktion, <math>{{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math>
	( siehe obige Definitionen) die die Übergangswahrscheinlichkeit auf absorbierte Quanten mit einer Energie <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math>		(siehe obige Definitionen) die die Übergangswahrscheinlichkeit auf absorbierte Quanten mit einer Energie <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math>
	beschränkt, so lange deren Abweichung von <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math>		beschränkt, so lange deren Abweichung von <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math>
	noch der Unschärfe genügt ( Die Wahrscheinliochkeit sinkt dann entlang einer Sinc²- Funktion um <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math>		noch der Unschärfe genügt (Die Wahrscheinliochkeit sinkt dann entlang einer Sinc²- Funktion um <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math>
	ab, für Quantenenergien, die von <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math>		ab, für Quantenenergien, die von <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math>
	verschieden sind. Diese "Distribution" wird für unendlich lange Lebensdauern zur Delta- Funktion !		verschieden sind. Diese "Distribution" wird für unendlich lange Lebensdauern zur Delta- Funktion!

	Dies ist Fermis Goldene Regel, abgeleitet aus der Störungstheorie 1. Ordnung.		Dies ist Fermis Goldene Regel, abgeleitet aus der Störungstheorie 1. Ordnung.
Zeile 314:		Zeile 314:

	:<math>{{\hat{H}}^{1}}(t)=\hat{F}{{e}^{-i\omega t}}+{{\hat{F}}^{+}}{{e}^{i\omega t}}</math>		:<math>{{\hat{H}}^{1}}(t)=\hat{F}{{e}^{-i\omega t}}+{{\hat{F}}^{+}}{{e}^{i\omega t}}</math>
	hermitesch !		hermitesch!

	Es folgt:		Es folgt:
Zeile 367:		Zeile 367:
	steht für die Absorption eines Quants der Energie <math>\hbar \omega </math>		steht für die Absorption eines Quants der Energie <math>\hbar \omega </math>
	bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von <math>\left\| {{n}_{0}} \right\rangle </math>		bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von <math>\left\| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
	auf<math>\left\| n \right\rangle </math>		auf<math>\left\| n \right\rangle </math>,
	, was einem Energiesprung von <math>{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}</math>		was einem Energiesprung von <math>{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}</math>
	entspricht.		entspricht.
	Das Quant wird also von Niveau <math>\left\| {{n}_{0}} \right\rangle </math>		Das Quant wird also von Niveau <math>\left\| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
Zeile 377:		Zeile 377:
	steht für die Emission eines Quants der Energie <math>\hbar \omega </math>		steht für die Emission eines Quants der Energie <math>\hbar \omega </math>
	bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von <math>\left\| n \right\rangle </math>		bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von <math>\left\| n \right\rangle </math>
	auf<math>\left\| {{n}_{0}} \right\rangle </math>		auf<math>\left\| {{n}_{0}} \right\rangle </math>,
	, was einer Energieabgabe von <math>{{E}_{n0}}-{{E}_{n}}</math>		was einer Energieabgabe von <math>{{E}_{n0}}-{{E}_{n}}</math>
	entspricht.		entspricht.
	Das Quant fällt dabei vom diesmal höheren Niveau <math>\left\| {{n}_{0}} \right\rangle </math>		Das Quant fällt dabei vom diesmal höheren Niveau <math>\left\| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
Zeile 386:		Zeile 386:
	==Zusammenhang mit dem Wechselwirkungsbild==		==Zusammenhang mit dem Wechselwirkungsbild==

	Für t=0 stimmen Schrödinger- und Wechselwirkungsbild überein ( Siehe oben, S. 63)		Für t=0 stimmen Schrödinger- und Wechselwirkungsbild überein (Siehe oben, S. 63)

	Im Wechselwirkungsbild gilt:		Im Wechselwirkungsbild gilt:
Zeile 430:		Zeile 430:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	In Übereinstimmung mit unserem Ergebnis von Seite 113 !		In Übereinstimmung mit unserem Ergebnis von Seite 113!