Wahrscheinlichkeitsbegriff - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Interpunktion

2010-09-16T21:08:48Z

Interpunktion

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	Speziell		Speziell

	:<math>P({{A}_{1}})\le P({{A}_{2}})</math>		:<math>P({{A}_{1}})\le P({{A}_{2}})</math>,
	,
	falls <math>{{A}_{1}}\subseteq {{A}_{2}}</math>		falls <math>{{A}_{1}}\subseteq {{A}_{2}}</math>

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	:<math>\sum\limits_{i}{{}}P({{X}_{i}})=1</math>		:<math>\sum\limits_{i}{{}}P({{X}_{i}})=1</math>

	Definiert man sich dies für eine kontinuierliche Menge, also <math>x\in R</math>		Definiert man sich dies für eine kontinuierliche Menge, also <math>x\in R</math>,
	,


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	:<math>P(x\acute{\ }\le x\le x\acute{\ }+dx\acute{\ })=\rho \left( x\acute{\ } \right)dx\acute{\ }</math>		:<math>P(x\acute{\ }\le x\le x\acute{\ }+dx\acute{\ })=\rho \left( x\acute{\ } \right)dx\acute{\ }</math>

	definiert eine '''Wahrscheinlichkeitsdichte oder auch Wahrscheinlichkeitsverteilung '''<math>\rho \left( x \right)</math>		definiert eine '''Wahrscheinlichkeitsdichte oder auch Wahrscheinlichkeitsverteilung '''<math>\rho \left( x \right)</math>.
	.

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (7), ( → ( (8)

2010-09-12T22:58:08Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (7), ( → ( (8)

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2010-09-12T20:23:06Z

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Schubotz: clean up

2010-09-11T12:09:21Z

clean up

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	<noinclude>{{Scripthinweis\|Thermodynamik\|1\|1}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Thermodynamik\|1\|1}}</noinclude>

	Ereignis: Messergebnis von Observablen ( event) oder fester Mikrozustand ( der realisiert wird).		;Ereignis: Messergebnis von Observablen (event) oder fester Mikrozustand (der realisiert wird).

	Ereignisse bilden einen ~~ABELSCHEN VERBAND~~ ( Ereignisalgebra)		Ereignisse bilden einen {{FB\|Abelschen Verband}} (Ereignisalgebra)

	Merke: Ereignisalgebra = Abelscher verband <math>A\acute{\ }</math>		Merke: Ereignisalgebra = Abelscher verband <math>A\acute{\ }</math>
Zeile 11:		Zeile 11:
	<math>\cup ,\cap </math>		<math>\cup ,\cap </math>

	Vereinigung ( oder) und		Vereinigung (oder) und Durchschnitt (und)

	~~Durchschnitt ( und)~~		Für A,B,C <math>\in A\acute{\ }</math> gilt:

	~~Für A,B,C <math>\in A\acute{\ }</math>~~		:<math>\begin{align}

	~~gilt~~:

	<math>\begin{align}

	& A\cup B=B\cup A \\		& A\cup B=B\cup A \\
Zeile 27:		Zeile 23:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	( Kommutativitätsgesetz)		(Kommutativitätsgesetz)

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
Zeile 47:		Zeile 43:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	( Verschmelzungsgesetz)		(Verschmelzungsgesetz)

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
Zeile 67:		Zeile 63:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Existenz der Eins ( sicheres Ereignis) und Existenz des Nullelements: " leeres Ereignis"		Existenz der Eins (sicheres Ereignis) und Existenz des Nullelements: "leeres Ereignis"

	<math>\forall A\in A\acute{\ }\exists B\Rightarrow A\cap B=0,A\cup B=S</math>		<math>\forall A\in A\acute{\ }\exists B\Rightarrow A\cap B=0,A\cup B=S</math>
Zeile 77:		Zeile 73:
	====Induzierte Halbordnung====		====Induzierte Halbordnung====

	<math>A\subseteq B</math>		<math>A\subseteq B</math> A impliziert B, falls <math>A\cap B=A</math>

	A impliziert B,

	falls <math>A\cap B=A</math>

	Also: menge A liegt in B		Also: menge A liegt in B
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	'''Vollständig disjunkte Ereignismenge ( sample set)'''		'''Vollständig disjunkte Ereignismenge ( sample set)'''

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \left\{ {{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{n}} \right\}mit \\		& \left\{ {{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{n}} \right\}mit \\

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Thermodynamik|1|1}} Ereignis: Messergebnis von Observablen ( event) oder fester Mikrozustand ( der realisiert wird). Erei…“

2010-08-31T20:25:14Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|1|1}}</noinclude> Ereignis: Messergebnis von Observablen ( event) oder fester Mikrozustand ( der realisiert wird). Erei…“

Neue Seite

<noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|1|1}}</noinclude>

Ereignis: Messergebnis von Observablen ( event) oder fester Mikrozustand ( der realisiert wird).

Ereignisse bilden einen ABELSCHEN VERBAND ( Ereignisalgebra)

Merke: Ereignisalgebra = Abelscher verband <math>A\acute{\ }</math>

mit Mengentheoretischen Verknüpfungen

<math>\cup ,\cap </math>

Vereinigung ( oder) und

Durchschnitt ( und)

Für A,B,C <math>\in A\acute{\ }</math>

gilt:

<math>\begin{align}

& A\cup B=B\cup A \\

& A\cap B=B\cap A \\

\end{align}</math>

( Kommutativitätsgesetz)

<math>\begin{align}

& A\cap \left( B\cap C \right)=\left( A\cap B \right)\cap C \\

& A\cup \left( B\cup C \right)=\left( A\cup B \right)\cup C \\

\end{align}</math>

Assoziativität

<math>\begin{align}

& A\cap \left( A\cup B \right)=A \\

& A\cup \left( A\cap B \right)=A \\

\end{align}</math>

( Verschmelzungsgesetz)

<math>\begin{align}

& A\cap \left( B\cup C \right)=\left( A\cap B \right)\cup \left( A\cap C \right) \\

& A\cup \left( B\cap C \right)=\left( A\cup B \right)\cap \left( A\cup C \right) \\

\end{align}</math>

Distributivgesetz

<math>\begin{align}

& \exists S\Rightarrow A\cap S=A \\

& \exists 0\Rightarrow A\cup 0=A \\

\end{align}</math>

Existenz der Eins ( sicheres Ereignis) und Existenz des Nullelements: " leeres Ereignis"

<math>\forall A\in A\acute{\ }\exists B\Rightarrow A\cap B=0,A\cup B=S</math>

Existenz des Komplements

<math>B=\neg A=\bar{A}</math>

====Induzierte Halbordnung====

<math>A\subseteq B</math>

A impliziert B,

falls <math>A\cap B=A</math>

Also: menge A liegt in B

A und B sind disjunkt, falls <math>A\cap B=0</math>

'''Vollständig disjunkte Ereignismenge ( sample set)'''

<math>\begin{align}

& \left\{ {{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{n}} \right\}mit \\

& {{A}_{i}}\cap {{A}_{j}}={{A}_{i}}{{\delta }_{ij}} \\

& \bigcup\limits_{i=1}^{n}{{}}{{A}_{i}}=S \\

\end{align}</math>

Beispiel:

Ereignismenge

<math>\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}</math>

Bemerkung: Diese Menge M ist keine Algebra, da

<math>\begin{align}

& A\cup B\notin M \\

& \bar{A}\notin M \\

\end{align}</math>

====Wahrscheinlichkeit====

Empirische Definition

<math>P(A)=\begin{matrix}

\lim \\

N\to \infty \\

\end{matrix}\frac{N\left( A \right)}{N}</math>

mit

<math>\frac{N\left( A \right)}{N}</math>

relative Häufigkeit des Ereignisses A

N(A) ist die Zahl der Experimente mit dem Ergebnis A

N ist die Zahl der Experimente insgesamt

====axiomatische Definition ( Kolmogoroff)====

Sei A<math>\in A\acute{\ }</math>

( Boolscher Verband)

Sei

<math>S\in A\acute{\ }</math>

das sichere Ereignis.

Dann erfüllt die '''Wahrscheinlichkeit '''P(A)

die Axiome:

<math>\begin{align}

& P(A)\ge 0 \\

& P(S)=1 \\

\end{align}</math>

Für disjunkte Ereignisse:

<math>A\cap B=0\Rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B)</math>

Folgerung

<math>\begin{align}

& P(A)+P(\bar{A})=P(A\cup \bar{A})=1 \\

& \Rightarrow P\left( A \right)\le 1 \\

\end{align}</math>

====Zerlegung in disjunkte Ereignisse====

für beliebige A1, A2:

<math>\begin{align}

& {{A}_{1}}\cup {{A}_{2}}={{A}_{1}}+{{{\bar{A}}}_{1}}\cap {{A}_{2}}={{A}_{1}}+{{A}_{2}}-{{A}_{1}}\cap {{A}_{2}} \\

& {{{\bar{A}}}_{1}}\cap {{A}_{2}}={{A}_{2}}-{{A}_{1}}\cap {{A}_{2}} \\

& {{A}_{2}}={{A}_{1}}\cap {{A}_{2}}+{{{\bar{A}}}_{1}}\cap {{A}_{2}} \\

\end{align}</math>

Also folgt für Wahrscheinlichkeiten:

<math>\begin{align}

& P\left( {{A}_{1}}\cup {{A}_{2}} \right)=P({{A}_{1}})+P({{{\bar{A}}}_{1}}\cap {{A}_{2}})=P({{A}_{1}})+P({{A}_{2}})-P({{A}_{1}}\cap {{A}_{2}}) \\

& P({{A}_{2}})=P({{A}_{1}}\cap {{A}_{2}})+P({{{\bar{A}}}_{1}}\cap {{A}_{2}}) \\

\end{align}</math>

Also:

<math>\begin{align}

& P\left( {{A}_{1}}\cup {{A}_{2}} \right)+P({{A}_{1}}\cap {{A}_{2}})=P({{A}_{1}})+P({{A}_{2}}) \\

& P({{A}_{1}}\cap {{A}_{2}})\ge 0 \\

& \Rightarrow P\left( {{A}_{1}}\cup {{A}_{2}} \right)\le P({{A}_{1}})+P({{A}_{2}}) \\

\end{align}</math>

Speziell

<math>P({{A}_{1}})\le P({{A}_{2}})</math>

, falls <math>{{A}_{1}}\subseteq {{A}_{2}}</math>

====bedingte Wahrscheinlichkeit====

Die Bedingte Wahrscheinlichkeit ( A unter der Bedingung, dass B), ergibt sich gemäß

Also A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist !

<math>P\left( A/B \right)=\frac{P\left( A\cap B \right)}{P(B)}</math>

Falls A von B unabhängig ist, so gilt:

<math>\begin{align}

& P\left( A\cap B \right)=P(A)P(B) \\

& P\left( A/B \right)=\frac{P\left( A\cap B \right)}{P(B)}=P(A) \\

\end{align}</math>

Nebenbemerkung, ebenso gilt:

<math>P\left( B/A \right)=\frac{P\left( A\cap B \right)}{P(A)}=P(B)</math>

====Zufallsvariablen====

Eine Zufallsvariable ist gegeben durch

# eine Menge M von vollständig disjunkten Ereignissen ( sample set) <math>{{X}_{i}}</math>
#
# eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P({{X}_{i}})</math>
# über M

es gilt die Normierung

<math>\sum\limits_{i}{{}}P({{X}_{i}})=1</math>

Definiert man sich dies für eine kontinuierliche Menge, also <math>x\in R</math>

,

so gilt:

<math>P(x\acute{\ }\le x\le x\acute{\ }+dx\acute{\ })=\rho \left( x\acute{\ } \right)dx\acute{\ }</math>

definiert eine '''Wahrscheinlichkeitsdichte oder auch Wahrscheinlichkeitsverteilung '''<math>\rho \left( x \right)</math>

.

Übergang zu diskreten Ereignissen:

<math>\rho \left( x \right)=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}\delta \left( x-{{x}^{(i)}} \right){{P}_{i}}</math>

mit Normierung

<math>\int_{a}^{b}{{}}\rho \left( x \right)dx=1</math>

====Physikalische Interpretation====

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann man sich realisiert denken durch ein '''Ensemble ''' von vielen äquivalenten Systemen, also durch eine Dichteverteilung <math>\rho \left( x \right)dx</math>

der Mitglieder des Ensembles mit Werten zwischen x und x+dx

'''Verallgemeinerung auf d Zufallsvariablen'''

<math>\begin{align}

& x=\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{d}} \right)\in {{R}^{d}} \\

& {{d}^{d}}x=d{{x}_{1}}d{{x}_{2}}...d{{x}_{d}} \\

\end{align}</math>

Die Normierung geschieht dann in einem d- Dimensionalen Raum.

<math>\int_{{}}^{{}}{{}}\rho \left( x \right){{d}^{d}}x=1</math>

'''Mittelwert ( Erwartungswert) '''einer Zufallsvariablen x:

<math>\left\langle x \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{}}\rho \left( x \right)x{{d}^{d}}x</math>

für eine beliebige Funktion f(x):

<math>\left\langle f \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{}}\rho \left( x \right)f(x){{d}^{d}}x</math>

'''Nebenbemerkung'''

Der Mittelwert ist ein lineares Funktional <math>{{f}_{\rho }}:[\to R</math>

:

<math>[\in f\to \left\langle f \right\rangle </math>

Linearität:

<math>\left\langle {{c}_{1}}{{f}_{1}}+{{c}_{2}}{{f}_{2}} \right\rangle ={{c}_{1}}\left\langle {{f}_{1}} \right\rangle +{{c}_{2}}\left\langle {{f}_{2}} \right\rangle </math>

'''Unkorrelierte Zufallsvariable:'''

x1 und x2 heißen unkorreliert, falls

<math>\rho \left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)={{\rho }_{1}}\left( {{x}_{1}} \right){{\rho }_{2}}\left( {{x}_{2}} \right)</math>

Dann gilt:

<math>\left\langle {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right\rangle =\left\langle {{x}_{1}} \right\rangle \left\langle {{x}_{2}} \right\rangle </math>

Beweis:

Merke: In Bezug auf die Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist unkorreliert gleichbedeutend mit separabel _> die Phasen werden addiert !

Sind die Zustände verschränkt, so können die Phasen nicht addiert werden.

Die Einführung einer Symplektik ist nötig ! ( siehe unten).

====Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilung und Mittelwerten====

Wir verstehen als n.tes Moment einer Wahrscheinlichkeitsverteilung:

<math>{{M}_{n}}:=\left\langle {{x}^{n}} \right\rangle </math>

Momentenerzeugende:

<math>\begin{align}

& Z(a)=\left\langle {{e}^{ax}} \right\rangle =\left\langle \sum\limits_{0}^{{}}{{}}\frac{{{\left( ax \right)}^{n}}}{n!} \right\rangle =\sum\limits_{0}^{{}}{{}}\frac{{{\left( a \right)}^{n}}}{n!}{{M}_{n}} \\

& {{M}_{n}}={{\left. \frac{{{\partial }^{n}}}{\partial {{a}^{n}}}Z(a) \right|}_{a=0}}={{M}_{n}} \\
\end{align}</math>

Durch die Angabe aller nicht verschwindender Momente ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständig festgelegt !

====Verallgemeinerung auf d Zufallsvariablen:====
<math>{{M}_{n1,n2,...nd}}:=\left\langle {{x}_{1}}^{n1}{{x}_{2}}^{n2}....{{x}_{d}}^{nd} \right\rangle </math>
ein Moment der Ordnung
<math>n:=n1+n2+...+nd</math>

Momentenerzeugende:
<math>\begin{align}
& Z(a)=\left\langle {{e}^{ax}} \right\rangle =\left\langle \sum\limits_{n1,n2...nd=0}^{{}}{{}}\frac{\left( {{\left( {{a}_{1}}x1 \right)}^{n1}}{{\left( {{a}_{2}}x2 \right)}^{n2}}...{{\left( {{a}_{d}}xd \right)}^{nd}} \right)}{n1!n2!...nd!} \right\rangle =\sum\limits_{n1,n2...nd=0}^{{}}{{}}\frac{\left( {{\left( {{a}_{1}} \right)}^{n1}}{{\left( {{a}_{2}} \right)}^{n2}}...{{\left( {{a}_{d}} \right)}^{nd}} \right)}{n1!n2!...nd!}{{M}_{n1..nd}} \\
& a=\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{d}} \right) \\
\end{align}</math>

'''Kumulante'''

<math>{{C}_{n1,n2,...nd}}:={{\left\langle {{x}_{1}}^{n1}{{x}_{2}}^{n2}....{{x}_{d}}^{nd} \right\rangle }_{C}}</math>

ist definiert durch die Kumulantenerzeugende:
<math>\Gamma \left( a \right)=\ln \left\langle {{e}^{ax}} \right\rangle </math>

<math>\begin{align}
& {{\left. \frac{{{\partial }^{n1}}....{{\partial }^{nd}}}{\partial {{a}_{1}}^{n1}....{{a}_{d}}^{nd}}\Gamma \left( a \right) \right|}_{a=0}}={{C}_{n1,n2,...nd}} \\
& \Rightarrow \Gamma \left( a \right)=\ln \left\langle {{e}^{ax}} \right\rangle =\sum\limits_{n1...nd}^{{}}{{}}\frac{{{a}_{1}}^{n1}...{{a}_{d}}^{nd}}{n1!...nd!}{{C}_{n1,n2,...nd}} \\
\end{align}</math>

'''Eigenschaft'''

Kumulanten sind ADDITIV für unkorrelierte Zufallsvariablen
( Dies gilt nicht für die Momente !!)

'''Beweis: seien x1, x2 unkorreliert:'''
<math>\begin{align}
& Z(a)=\left\langle {{e}^{ax}} \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{d{{x}_{1}}d{{x}_{2}}\rho \left( {{x}_{1}} \right)}\rho \left( {{x}_{2}} \right){{e}^{{{a}_{1}}{{x}_{1}}}}{{e}^{{{a}_{2}}{{x}_{2}}}}=\left\langle {{e}^{{{a}_{1}}{{x}_{1}}}} \right\rangle \left\langle {{e}^{{{a}_{2}}{{x}_{2}}}} \right\rangle \\
& \Rightarrow \Gamma \left( a \right)=\ln Z(a)=\ln \left\langle {{e}^{{{a}_{1}}{{x}_{1}}}} \right\rangle +\ln \left\langle {{e}^{{{a}_{2}}{{x}_{2}}}} \right\rangle =\Gamma \left( {{a}_{1}} \right)+\Gamma \left( {{a}_{2}} \right) \\
& {{\left. \frac{{{\partial }^{n}}}{\partial {{a}^{n}}}\Gamma \left( a \right) \right|}_{a=0}}\Rightarrow {{\left\langle {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{n}} \right\rangle }_{C}}={{\left\langle {{x}^{n}} \right\rangle }_{C}}={{\left\langle {{x}_{1}}^{n} \right\rangle }_{C}}+{{\left\langle {{x}_{2}}^{n} \right\rangle }_{C}} \\
\end{align}</math>

'''Fluktuation:'''
<math>\Delta x:=x-\left\langle x \right\rangle </math>

mit
<math>\left\langle \Delta x \right\rangle =0</math>

Bildung der Varianz:
<math>\left\langle {{\left( \Delta x \right)}^{2}} \right\rangle =\left\langle {{\left( x-\left\langle x \right\rangle \right)}^{2}} \right\rangle =\left\langle {{x}^{2}} \right\rangle -2\left\langle x \right\rangle \left\langle x \right\rangle +{{\left\langle x \right\rangle }^{2}}=\left\langle {{x}^{2}} \right\rangle -{{\left\langle x \right\rangle }^{2}}</math>

Als Maß für die Breite einer Verteilung

'''Korrelationsmatrix:'''
<math>\left\langle \Delta {{x}_{k}}\Delta {{x}_{l}} \right\rangle =\left\langle {{x}_{k}}{{x}_{l}} \right\rangle -\left\langle {{x}_{k}} \right\rangle \left\langle {{x}_{l}} \right\rangle </math>

Nichtdiagonalelemente verschwinden für unkorrelierte Zufallsvariablen.
Denn dann: separieren die Momente der WSK- Verteilung ! Siehe oben
* Korrelationsmatrix beschreibt die qm- Korrelationen über ihre Außerdiagonalelemente

====Zusammenhang zwischen Kumulanten und Momenten:====
<math>\begin{align}
& {{\left\langle x \right\rangle }_{C}}=\left\langle x \right\rangle \\
& {{\left\langle {{x}^{2}} \right\rangle }_{C}}=\left\langle {{\left( \Delta x \right)}^{2}} \right\rangle =\left\langle {{x}^{2}} \right\rangle -{{\left\langle x \right\rangle }^{2}} \\
& {{\left\langle {{x}^{3}} \right\rangle }_{C}}=\left\langle {{\left( \Delta x \right)}^{3}} \right\rangle \\
& {{\left\langle {{x}^{4}} \right\rangle }_{C}}=\left\langle {{\left( \Delta x \right)}^{4}} \right\rangle -3{{\left\langle {{\left( \Delta x \right)}^{2}} \right\rangle }^{2}} \\
\end{align}</math>

====Gaußverteilung / Normalverteilung====

<math>\begin{align}
& \rho (x)=A\exp \left( -\frac{{{\left( x-\left\langle x \right\rangle \right)}^{2}}}{2{{\sigma }^{2}}} \right) \\
& {{\sigma }^{2}}:=\left\langle {{\left( \Delta x \right)}^{2}} \right\rangle ={{\left\langle {{x}^{2}} \right\rangle }_{C}} \\
\end{align}</math>

Mit Sigma als Standardabweichung

Normierung:

<math>\begin{align}
& \int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx\rho (x)=A\sigma \sqrt{2}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}du\exp \left( -{{u}^{2}} \right)=!=1 \\
& u:=\frac{x}{\sigma \sqrt{2}} \\
\end{align}</math>

Wegen:

<math>\begin{align}
& \int_{-\infty }^{\infty }{{}}du\exp \left( -{{u}^{2}} \right)=\sqrt{\pi } \\
& \Rightarrow A=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }} \\
\end{align}</math>

Nebenbemerkung, die Gaußverteilung <math>\rho (x)</math>
ist bestimmt durch <math>{{\left\langle x \right\rangle }_{C}},{{\left\langle {{x}^{2}} \right\rangle }_{C}}</math>
. Alle höheren Kumulanten verschwinden !

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:58 Uhr
Zeile 79:		Zeile 79:
	A und B sind disjunkt, falls <math>A\cap B=0</math>		A und B sind disjunkt, falls <math>A\cap B=0</math>

	'''Vollständig disjunkte Ereignismenge ( sample set)'''		'''Vollständig disjunkte Ereignismenge (sample set)'''

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 129:		Zeile 129:
	N ist die Zahl der Experimente insgesamt		N ist die Zahl der Experimente insgesamt

	====axiomatische Definition ( Kolmogoroff)====		====axiomatische Definition (Kolmogoroff)====

	Sei A<math>\in A\acute{\ }</math>		Sei A<math>\in A\acute{\ }</math>

	( Boolscher Verband)		(Boolscher Verband)

	Sei		Sei
Zeile 206:		Zeile 206:

	:<math>P({{A}_{1}})\le P({{A}_{2}})</math>		:<math>P({{A}_{1}})\le P({{A}_{2}})</math>
			,
	, falls <math>{{A}_{1}}\subseteq {{A}_{2}}</math>		falls <math>{{A}_{1}}\subseteq {{A}_{2}}</math>

	====bedingte Wahrscheinlichkeit====		====bedingte Wahrscheinlichkeit====

	Die Bedingte Wahrscheinlichkeit ( A unter der Bedingung, dass B), ergibt sich gemäß		Die Bedingte Wahrscheinlichkeit (A unter der Bedingung, dass B), ergibt sich gemäß

	Also A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist !		Also A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist!

	:<math>P\left( A/B \right)=\frac{P\left( A\cap B \right)}{P(B)}</math>		:<math>P\left( A/B \right)=\frac{P\left( A\cap B \right)}{P(B)}</math>
Zeile 235:		Zeile 235:
	Eine Zufallsvariable ist gegeben durch		Eine Zufallsvariable ist gegeben durch

	# eine Menge M von vollständig disjunkten Ereignissen ( sample set) <math>{{X}_{i}}</math>		# eine Menge M von vollständig disjunkten Ereignissen (sample set) <math>{{X}_{i}}</math>
	#		#
	# eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P({{X}_{i}})</math>		# eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P({{X}_{i}})</math>
Zeile 245:		Zeile 245:

	Definiert man sich dies für eine kontinuierliche Menge, also <math>x\in R</math>		Definiert man sich dies für eine kontinuierliche Menge, also <math>x\in R</math>
			,

	,

	so gilt:		so gilt:
Zeile 253:		Zeile 253:

	definiert eine '''Wahrscheinlichkeitsdichte oder auch Wahrscheinlichkeitsverteilung '''<math>\rho \left( x \right)</math>		definiert eine '''Wahrscheinlichkeitsdichte oder auch Wahrscheinlichkeitsverteilung '''<math>\rho \left( x \right)</math>
			.

	.

	Übergang zu diskreten Ereignissen:		Übergang zu diskreten Ereignissen:
Zeile 284:		Zeile 284:
	:<math>\int_{{}}^{{}}{{}}\rho \left( x \right){{d}^{d}}x=1</math>		:<math>\int_{{}}^{{}}{{}}\rho \left( x \right){{d}^{d}}x=1</math>

	'''Mittelwert ( Erwartungswert) '''einer Zufallsvariablen x:		'''Mittelwert (Erwartungswert) '''einer Zufallsvariablen x:

	:<math>\left\langle x \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{}}\rho \left( x \right)x{{d}^{d}}x</math>		:<math>\left\langle x \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{}}\rho \left( x \right)x{{d}^{d}}x</math>
Zeile 316:		Zeile 316:
	Beweis:		Beweis:

	Merke: In Bezug auf die Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist unkorreliert gleichbedeutend mit separabel _> die Phasen werden addiert !		Merke: In Bezug auf die Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist unkorreliert gleichbedeutend mit separabel _> die Phasen werden addiert!

	Sind die Zustände verschränkt, so können die Phasen nicht addiert werden.		Sind die Zustände verschränkt, so können die Phasen nicht addiert werden.

	Die Einführung einer Symplektik ist nötig ! ( siehe unten).		Die Einführung einer Symplektik ist nötig! (siehe unten).

	====Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilung und Mittelwerten====		====Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilung und Mittelwerten====
Zeile 337:		Zeile 337:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Durch die Angabe aller nicht verschwindender Momente ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständig festgelegt !		Durch die Angabe aller nicht verschwindender Momente ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständig festgelegt!

	====Verallgemeinerung auf d Zufallsvariablen:====		====Verallgemeinerung auf d Zufallsvariablen:====
Zeile 365:		Zeile 365:

	Kumulanten sind ADDITIV für unkorrelierte Zufallsvariablen		Kumulanten sind ADDITIV für unkorrelierte Zufallsvariablen
	( Dies gilt nicht für die Momente !!)		(Dies gilt nicht für die Momente!!)

	'''Beweis: seien x1, x2 unkorreliert:'''		'''Beweis: seien x1, x2 unkorreliert:'''
Zeile 389:		Zeile 389:

	Nichtdiagonalelemente verschwinden für unkorrelierte Zufallsvariablen.		Nichtdiagonalelemente verschwinden für unkorrelierte Zufallsvariablen.
	Denn dann: separieren die Momente der WSK- Verteilung ! Siehe oben		Denn dann: separieren die Momente der WSK- Verteilung! Siehe oben
	* Korrelationsmatrix beschreibt die qm- Korrelationen über ihre Außerdiagonalelemente		* Korrelationsmatrix beschreibt die qm- Korrelationen über ihre Außerdiagonalelemente

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	Nebenbemerkung, die Gaußverteilung <math>\rho (x)</math>		Nebenbemerkung, die Gaußverteilung <math>\rho (x)</math>
	ist bestimmt durch <math>{{\left\langle x \right\rangle }_{C}},{{\left\langle {{x}^{2}} \right\rangle }_{C}}</math>		ist bestimmt durch <math>{{\left\langle x \right\rangle }_{C}},{{\left\langle {{x}^{2}} \right\rangle }_{C}}</math>.
	. Alle höheren Kumulanten verschwinden !		Alle höheren Kumulanten verschwinden!