Virtuelle Verrückungen - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Interpunktion

2010-09-12T22:33:24Z

Interpunktion

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:33 Uhr
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	Die zeitabhängigen Anteile fallen raus, da ja nach Definition		Die zeitabhängigen Anteile fallen raus, da ja nach Definition
	:<math>\left\{ \delta t=0 \right\}</math>		:<math>\left\{ \delta t=0 \right\}</math>.
	.
	{{Beispiel\|		{{Beispiel\|
	Als Beispiel betrachten wir die '''Bewegung eines Massepunktes in einer Ebene''':		Als Beispiel betrachten wir die '''Bewegung eines Massepunktes in einer Ebene''':
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	Das heißt, die virtuellen Verrückungen geschehen alle bei festgehaltenem		Das heißt, die virtuellen Verrückungen geschehen alle bei festgehaltenem
	:<math>{{\vec{r}}_{o}}(t)</math>		:<math>{{\vec{r}}_{o}}(t)</math>.
	. Es gilt:		Es gilt:
	:<math>\delta {{\vec{r}}_{i}}\bot \vec{a}</math>		:<math>\delta {{\vec{r}}_{i}}\bot \vec{a}</math>

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:29:28Z

Einrückungen Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 17:29 Uhr
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	{{Def\|		{{Def\|
	Unter einer virtuellen Verrückung		Unter einer virtuellen Verrückung
	<math>\left\{ \delta {{{\vec{r}}}_{i}} \right\}</math>		:<math>\left\{ \delta {{{\vec{r}}}_{i}} \right\}</math>
	versteht man die infinitesimale Änderung der Koordinaten, di zu fester Zeit		versteht man die infinitesimale Änderung der Koordinaten, di zu fester Zeit
	<math>\left\{ \delta t=0 \right\}</math>		:<math>\left\{ \delta t=0 \right\}</math>
	die holonomen, bzw. nicht holonomen Zwangsbedingungen erfüllen.\|virtuelle Verrückung		die holonomen, bzw. nicht holonomen Zwangsbedingungen erfüllen.\|virtuelle Verrückung
	}}		}}
	Damit ist der Unterschied zu einer reellen Verrückung klar, die als		Damit ist der Unterschied zu einer reellen Verrückung klar, die als
	<math>d{{\vec{r}}_{i}}</math>		:<math>d{{\vec{r}}_{i}}</math>
	im Zeitintervall		im Zeitintervall
	<math>dt</math>		:<math>dt</math>
	längs der Bahn geschieht.		längs der Bahn geschieht.

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	<math>\delta {{f}_{\lambda }}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot \delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> bzw <math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot \delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>		:<math>\delta {{f}_{\lambda }}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot \delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> bzw <math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot \delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>


	Die zeitabhängigen Anteile fallen raus, da ja nach Definition		Die zeitabhängigen Anteile fallen raus, da ja nach Definition
	<math>\left\{ \delta t=0 \right\}</math>		:<math>\left\{ \delta t=0 \right\}</math>
	.		.
	{{Beispiel\|		{{Beispiel\|
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	<math>\vec{a}\cdot (\vec{r}-{{\vec{r}}_{o}}(t))=0</math>		:<math>\vec{a}\cdot (\vec{r}-{{\vec{r}}_{o}}(t))=0</math>


	Dabei ist		Dabei ist
	<math>{{\vec{r}}_{o}}(t)</math>		:<math>{{\vec{r}}_{o}}(t)</math>
	der Startpunkt des Teilchens, also ein fester Punkt in der Ebene und nicht notwendigerweise zeitunabhängig. a charakterisiert den Normalenvektor auf der Ebene Schließlich kann sich die Ebene bewegen, beispielsweise hoch und runter.		der Startpunkt des Teilchens, also ein fester Punkt in der Ebene und nicht notwendigerweise zeitunabhängig. a charakterisiert den Normalenvektor auf der Ebene Schließlich kann sich die Ebene bewegen, beispielsweise hoch und runter.

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	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& f({{{\vec{r}}}_{i}})=\vec{a}\cdot ({{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{o}}(t))=0\quad i=1,2,...,N \\		& f({{{\vec{r}}}_{i}})=\vec{a}\cdot ({{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{o}}(t))=0\quad i=1,2,...,N \\
	& df({{{\vec{r}}}_{i}})=\vec{a}\cdot (d{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{v}}}_{o}}(t)dt)=0\quad i=1,2,...,N\quad {{{\vec{v}}}_{o}}(t)=\frac{d{{{\vec{r}}}_{o}}(t)}{dt} \\		& df({{{\vec{r}}}_{i}})=\vec{a}\cdot (d{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{v}}}_{o}}(t)dt)=0\quad i=1,2,...,N\quad {{{\vec{v}}}_{o}}(t)=\frac{d{{{\vec{r}}}_{o}}(t)}{dt} \\
Zeile 48:		Zeile 48:


	<math>\vec{a}\cdot d{{\vec{r}}_{i}}=\vec{a}\cdot {{\vec{v}}_{o}}(t)dt\ne 0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec{v}}_{o}}(t)=\frac{d{{{\vec{r}}}_{o}}(t)}{dt}</math>		:<math>\vec{a}\cdot d{{\vec{r}}_{i}}=\vec{a}\cdot {{\vec{v}}_{o}}(t)dt\ne 0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec{v}}_{o}}(t)=\frac{d{{{\vec{r}}}_{o}}(t)}{dt}</math>


Zeile 54:		Zeile 54:


	<math>\delta f=\vec{a}\cdot \delta {{\vec{r}}_{i}}=0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec{v}}_{o}}(t)=\frac{d{{{\vec{r}}}_{o}}(t)}{dt}</math>		:<math>\delta f=\vec{a}\cdot \delta {{\vec{r}}_{i}}=0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec{v}}_{o}}(t)=\frac{d{{{\vec{r}}}_{o}}(t)}{dt}</math>


	Das heißt, die virtuellen Verrückungen geschehen alle bei festgehaltenem		Das heißt, die virtuellen Verrückungen geschehen alle bei festgehaltenem
	<math>{{\vec{r}}_{o}}(t)</math>		:<math>{{\vec{r}}_{o}}(t)</math>
	. Es gilt:		. Es gilt:
	<math>\delta {{\vec{r}}_{i}}\bot \vec{a}</math>		:<math>\delta {{\vec{r}}_{i}}\bot \vec{a}</math>

Schubotz am 28. August 2010 um 13:08 Uhr

2010-08-28T13:08:45Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. August 2010, 15:08 Uhr
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	<noinclude>{{Scripthinweis\|Mechanik\|1\|2}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Mechanik\|1\|2}}</noinclude>

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	<math>\delta {{f}_{\lambda }}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot \delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>		<math>\delta {{f}_{\lambda }}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot \delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> bzw <math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot \delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>



	<math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot \delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>


Zeile 30:		Zeile 25:
	<math>\left\{ \delta t=0 \right\}</math>		<math>\left\{ \delta t=0 \right\}</math>
	.		.
			{{Beispiel\|
	Als Beispiel betrachten wir die Bewegung eines Massepunktes in einer Ebene:		Als Beispiel betrachten wir die '''Bewegung eines Massepunktes in einer Ebene''':


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	\end{align}</math>		\end{align}</math>

			}}
	also gilt im Allgemeinen:		also gilt im Allgemeinen:

Schubotz am 27. August 2010 um 17:53 Uhr

2010-08-27T17:53:26Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. August 2010, 19:53 Uhr
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	{{Scripthinweis\|Mechanik\|1\|2}}
			<noinclude>{{Scripthinweis\|Mechanik\|1\|2}}</noinclude>

	{{Def\|		{{Def\|
	Unter einer virtuellen Verrückung		Unter einer virtuellen Verrückung

Schubotz am 23. August 2010 um 13:46 Uhr

2010-08-23T13:46:40Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. August 2010, 15:46 Uhr
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	~~==Virtuelle Verrückungen==~~		{{Scripthinweis\|Mechanik\|1\|2}}
	{{Def\|		{{Def\|
	Unter einer virtuellen Verrückung		Unter einer virtuellen Verrückung

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „==Virtuelle Verrückungen== {{Def| Unter einer virtuellen Verrückung $\left\{ \delta {{{\vec{r}}}_{i}} \right\}$ versteht man die infinitesimale Ände…“

2010-08-23T13:46:03Z

Die Seite wurde neu angelegt: „==Virtuelle Verrückungen== {{Def| Unter einer virtuellen Verrückung <math>\left\{ \delta {{{\vec{r}}}_{i}} \right\}</math> versteht man die infinitesimale Ände…“

Neue Seite

==Virtuelle Verrückungen==
{{Def|
Unter einer virtuellen Verrückung
<math>\left\{ \delta {{{\vec{r}}}_{i}} \right\}</math>
versteht man die infinitesimale Änderung der Koordinaten, di zu fester Zeit
<math>\left\{ \delta t=0 \right\}</math>
die holonomen, bzw. nicht holonomen Zwangsbedingungen erfüllen.|virtuelle Verrückung
}}
Damit ist der Unterschied zu einer reellen Verrückung klar, die als
<math>d{{\vec{r}}_{i}}</math>
im Zeitintervall
<math>dt</math>
längs der Bahn geschieht.

Die Zwangsbedingungen lassen sich jedoch nicht virtuell verrücken.

Es gilt folglich

<math>\delta {{f}_{\lambda }}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot \delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>

<math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot \delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>

Die zeitabhängigen Anteile fallen raus, da ja nach Definition
<math>\left\{ \delta t=0 \right\}</math>
.

Als Beispiel betrachten wir die Bewegung eines Massepunktes in einer Ebene:

<math>\vec{a}\cdot (\vec{r}-{{\vec{r}}_{o}}(t))=0</math>

Dabei ist
<math>{{\vec{r}}_{o}}(t)</math>
der Startpunkt des Teilchens, also ein fester Punkt in der Ebene und nicht notwendigerweise zeitunabhängig. a charakterisiert den Normalenvektor auf der Ebene Schließlich kann sich die Ebene bewegen, beispielsweise hoch und runter.

Formuliert man nun holonome Zwangsbedingungen für N Massepunkte, so gilt:

<math>\begin{align}
& f({{{\vec{r}}}_{i}})=\vec{a}\cdot ({{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{o}}(t))=0\quad i=1,2,...,N \\
& df({{{\vec{r}}}_{i}})=\vec{a}\cdot (d{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{v}}}_{o}}(t)dt)=0\quad i=1,2,...,N\quad {{{\vec{v}}}_{o}}(t)=\frac{d{{{\vec{r}}}_{o}}(t)}{dt} \\
\end{align}</math>

also gilt im Allgemeinen:

<math>\vec{a}\cdot d{{\vec{r}}_{i}}=\vec{a}\cdot {{\vec{v}}_{o}}(t)dt\ne 0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec{v}}_{o}}(t)=\frac{d{{{\vec{r}}}_{o}}(t)}{dt}</math>

aber:

<math>\delta f=\vec{a}\cdot \delta {{\vec{r}}_{i}}=0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec{v}}_{o}}(t)=\frac{d{{{\vec{r}}}_{o}}(t)}{dt}</math>

Das heißt, die virtuellen Verrückungen geschehen alle bei festgehaltenem
<math>{{\vec{r}}_{o}}(t)</math>
. Es gilt:
<math>\delta {{\vec{r}}_{i}}\bot \vec{a}</math>