Variationsprinzipien - Versionsgeschichte

Schubotz am 9. August 2011 um 12:19 Uhr

2011-08-09T12:19:08Z

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 Betrachten wir ein Teilchen im kräftefreien Fall, so gilt, dass die Bewegung auf Geodäten stattfindet. Dies sind die kürzesten Verbindungen zwischen zwei Punkten, bei Kugeln beispielsweise die Großkreise. Gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie verzerren Masseansammlungen den Raum derartig (die Metrik des Raumes), dass alle Teilchenbahnen Geodäten werden. Unabhängig davon, ob Kräfte vorliegen oder nicht.}}
-Never seen a beettr post! ICOCBW
+==Allgemeine Aufgabe der Variationsrechnung==
 ==Exkurs zur Variationsrechnung==
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 :<math>\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{x}}=0</math>
-Wow, your post makes mine look fbeele. More power to you!
+==Siehe auch==

Schubotz: Änderungen von 212.121.219.1 (Diskussion) rückgängig gemacht und letzte Version von 75.147.97.62 wiederhergestellt

2011-08-09T12:17:52Z

Änderungen von 212.121.219.1 (Diskussion) rückgängig gemacht und letzte Version von 75.147.97.62 wiederhergestellt

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	Never seen a beettr post! ICOCBW		Never seen a beettr post! ICOCBW

	~~Hey~~, ~~that~~ post ~~leaves me feeling foilosh~~. ~~Kudos~~ to you!		==Exkurs zur Variationsrechnung==

			# Das Extremum einer Funktion f(x) bei einer Variablen

			:<math>\delta f(x)=f(x+\delta x)-f(x)=\frac{d}{dx}f(x)\delta x=0</math>
			für beliebige Variationen


			:<math>\delta x\ne 0</math>



			:<math>\frac{d}{dx}f(x)=0</math>
			an x=x0 (Nullstelle)

			# Extremum einer Funktion f(x1,x2,...,xN) mehrerer Variablen


			:<math>\delta f=f(x1+\delta x1,...)-f(x1,...)=\sum\limits_{i=1}^{N}{{}}\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}f(x)\delta {{x}_{i}}=0</math>
			für beliebige
			:<math>\delta {{x}_{i}}\ne 0</math>



			:<math>\frac{\partial f}{\partial {{x}_{i}}}=0</math>
			i=1...,N bei xi =xi0 (Nullstellen der Funktion)

			entsprechend:

			3. Extremum eines Funktionals

			f[x]=f[x(t)]


			:<math>\begin{align}
			& {{x}_{1}},...,{{x}_{N}}->x(t) \\
			& \delta {{x}_{1}},...,\delta {{x}_{N}}->\delta x(t) \\
			& \delta f=\sum\limits_{i=1}^{N}{\frac{\partial f}{\partial {{x}_{i}}}\delta {{x}_{i}}->}\delta f=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{\delta f}{\delta x(t)}\delta x(t)} \\
			\end{align}</math> Mit <math>\frac{\delta f}{\delta x(t)}</math>
			als Funktionalableitung

			Beispiel : Integral als Funktional

			Sei
			:<math>f[x]:=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dtF(x(t))}</math>



			:<math>\delta f=f[x(t)+\delta x(t)]-f[x(t)]=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left\{ F(x(t)+\delta x(t))-F(x(t)) \right\}}</math>



			:<math>=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{dF(x)}{dx}\delta x(t)}\quad \to \frac{dF(x)}{dx}=\frac{\delta f}{\delta x(t)}</math> wegen <math>\delta f=\sum\limits_{i=1}^{N}{\frac{\partial f}{\partial {{x}_{i}}}\delta {{x}_{i}}->}\delta f=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{\delta f}{\delta x(t)}\delta x(t)}</math>



			:<math>\delta f=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{dF(x)}{dx}\delta x(t)}\quad =0\ f\ddot{u}r\ beliebige\ \delta x(t)\ (Extremum)</math>


			Somit folgt jedoch wegen der Beliebigkeit der variierten x:


			:<math>\frac{dF(x)}{dx}=\frac{\delta f}{\delta x(t)}=0</math>
			als Funktionalgleichung zur Berechnung von x(t)

			Bei Abhängigkeit von
			:<math>x,\dot{x}</math>
			:


			:<math>f[x,\dot{x}]=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dtF(x(t),\dot{x}(t))}</math>



			:<math>\delta f=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\delta F(x,\dot{x})}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left\{ \frac{\partial F}{\partial x}\delta x+\frac{\partial F}{\partial \dot{x}}\delta \dot{x} \right\}=}\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left\{ \frac{\partial F}{\partial x}+\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{x}} \right\}\delta x(t)}</math>


			Im Extremum gilt dies wieder für beliebige Variationen
			:<math>\delta x(t)</math>.


			Somit gewinnt man die Euler-Lagrange- Gleichung zur Berechnung von x(t):


			:<math>\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{x}}=0</math>
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212.121.219.1: /* Exkurs zur Variationsrechnung */

2011-07-02T16:00:06Z

Exkurs zur Variationsrechnung

← Nächstältere Version		Version vom 2. Juli 2011, 18:00 Uhr
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	Never seen a beettr post! ICOCBW		Never seen a beettr post! ICOCBW

	~~==Exkurs zur Variationsrechnung==~~		Hey, that post leaves me feeling foilosh. Kudos to you!

	~~# Das Extremum einer Funktion f(x) bei einer Variablen~~

	~~:<math>\delta f(x)=f(x+\delta x)-f(x)=\frac{d}{dx}f(x)\delta x=0</math>~~
	~~für beliebige Variationen~~


	~~:<math>\delta x\ne 0</math>~~



	~~:<math>\frac{d}{dx}f(x)=0</math>~~
	~~an x=x0 (Nullstelle)~~

	~~# Extremum einer Funktion f(x1~~,~~x2,...,xN) mehrerer Variablen~~


	~~:<math>\delta f=f(x1+\delta x1,...)-f(x1,...)=\sum\limits_{i=1}^{N}{{}}\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}f(x)\delta {{x}_{i}}=0</math>~~
	~~für beliebige~~
	~~:<math>\delta {{x}_{i}}\ne 0</math>~~



	~~:<math>\frac{\partial f}{\partial {{x}_{i}}}=0</math>~~
	~~i=1...,N bei xi =xi0 (Nullstellen der Funktion)~~

	~~entsprechend:~~

	~~3. Extremum eines Funktionals~~

	~~f[x]=f[x(t)]~~


	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& {{x}_{1}},...,{{x}_{N}}->x(t) \\~~
	~~& \delta {{x}_{1}},...,\delta {{x}_{N}}->\delta x(t) \\~~
	~~& \delta f=\sum\limits_{i=1}^{N}{\frac{\partial f}{\partial {{x}_{i}}}\delta {{x}_{i}}->}\delta f=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{\delta f}{\delta x(t)}\delta x(t)} \\~~
	~~\end{align}</math> Mit <math>\frac{\delta f}{\delta x(t)}</math>~~
	~~als Funktionalableitung~~

	~~Beispiel : Integral als Funktional~~

	~~Sei~~
	~~:<math>f[x]:=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dtF(x(t))}</math>~~



	~~:<math>\delta f=f[x(t)+\delta x(t)]-f[x(t)]=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left\{ F(x(t)+\delta x(t))-F(x(t)) \right\}}</math>~~



	:<math>=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{dF(x)}{dx}\delta x(t)}\quad \to \frac{dF(x)}{dx}=\frac{\delta f}{\delta x(t)}</math> wegen <math>\delta f=\sum\limits_{i=1}^{N}{\frac{\partial f}{\partial {{x}_{i}}}\delta {{x}_{i}}->}\delta f=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{\delta f}{\delta x(t)}\delta x(t)}</math>



	~~:<math>\delta f=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{dF(x)}{dx}\delta x(t)}\quad =0\ f\ddot{u}r\ beliebige\ \delta x(t)\ (Extremum)</math>~~


	~~Somit folgt jedoch wegen der Beliebigkeit der variierten x:~~


	~~:<math>\frac{dF(x)}{dx}=\frac{\delta f}{\delta x(t)}=0</math>~~
	~~als Funktionalgleichung zur Berechnung von x(t)~~

	~~Bei Abhängigkeit von~~
	~~:<math>x,\dot{x}</math>~~
	:


	~~:<math>f[x,\dot{x}]=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dtF(x(t),\dot{x}(t))}</math>~~



	:<math>\delta f=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\delta F(x,\dot{x})}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left\{ \frac{\partial F}{\partial x}\delta x+\frac{\partial F}{\partial \dot{x}}\delta \dot{x} \right\}=}\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left\{ \frac{\partial F}{\partial x}+\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{x}} \right\}\delta x(t)}</math>


	~~Im Extremum gilt dies wieder für beliebige Variationen~~
	~~:<math>\delta x(t)</math>.~~


	~~Somit gewinnt man die Euler-Lagrange- Gleichung zur Berechnung von x(t):~~


	~~:<math>\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{x}}=0</math>~~
	~~Wow, your~~ post ~~makes mine look fbeele~~. ~~More power~~ to you!

75.147.97.62: /* Allgemeine Aufgabe der Variationsrechnung */

2011-07-02T04:22:37Z

Allgemeine Aufgabe der Variationsrechnung

@@ Zeile 41: / Zeile 41: @@
 Betrachten wir ein Teilchen im kräftefreien Fall, so gilt, dass die Bewegung auf Geodäten stattfindet. Dies sind die kürzesten Verbindungen zwischen zwei Punkten, bei Kugeln beispielsweise die Großkreise. Gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie verzerren Masseansammlungen den Raum derartig (die Metrik des Raumes), dass alle Teilchenbahnen Geodäten werden. Unabhängig davon, ob Kräfte vorliegen oder nicht.}}
-==Allgemeine Aufgabe der Variationsrechnung==
+Never seen a beettr post! ICOCBW
 ==Exkurs zur Variationsrechnung==

202.53.227.147: /* Siehe auch */

2011-07-01T23:18:22Z

Siehe auch

← Nächstältere Version		Version vom 2. Juli 2011, 01:18 Uhr
Zeile 226:		Zeile 226:

	:<math>\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{x}}=0</math>		:<math>\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{x}}=0</math>
	~~==Siehe auch==~~		Wow, your post makes mine look fbeele. More power to you!
	~~[[Euler-Lagrange-Gleichungen]]~~

	~~__SHOWFACTBOX__~~

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: , → , (3), ( → ( (7)

2010-09-12T22:32:45Z

Interpunktion, replaced: , → , (3), ( → ( (7)

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:32 Uhr
Zeile 10:		Zeile 10:


	Hat man also eine Bahn gefunden, so variiert man diese, indem eine beliebige , gänzlich von der ersten Bahn verschiedene Bahn betrachtet wird.		Hat man also eine Bahn gefunden, so variiert man diese, indem eine beliebige, gänzlich von der ersten Bahn verschiedene Bahn betrachtet wird.

	Lediglich Anfangs- und Endpunkt zu den Messzeiten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> werden festgehalten.		Lediglich Anfangs- und Endpunkt zu den Messzeiten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> werden festgehalten.
Zeile 18:		Zeile 18:

	{{Beispiel\|Fermatsches Prinzip		{{Beispiel\|Fermatsches Prinzip
	[[File:~~Snells_law~~.svg\|miniatur]]		[[File:Snells law.svg\|miniatur]]
	Dieses Phänomen ist bei der Lichtausbreitung als Fermatsches Prinzip bekannt.		Dieses Phänomen ist bei der Lichtausbreitung als Fermatsches Prinzip bekannt.

	In der geometrischen Optik gibt es die Moeglichkeit, einen Lichtweg zu finden, indem das Fermatsche Prinzip berücksichtigt wird. Demnach sucht sich Licht immer den kürzesten W4eg in einer Anordnung von Spiegeln und brechenden Gläsern mit Brechungsindex n(r )		In der geometrischen Optik gibt es die Moeglichkeit, einen Lichtweg zu finden, indem das Fermatsche Prinzip berücksichtigt wird. Demnach sucht sich Licht immer den kürzesten W4eg in einer Anordnung von Spiegeln und brechenden Gläsern mit Brechungsindex n(r)

	Vorsicht ! Das Licht sucht sich demnach den kürzesten Optischen Weg, also den Weg, der in der kürzesten Dauer zurückgelegt werden kann ( Das Licht bewegt sich entlang der lichtartigen Geodäten).		Vorsicht! Das Licht sucht sich demnach den kürzesten Optischen Weg, also den Weg, der in der kürzesten Dauer zurückgelegt werden kann (Das Licht bewegt sich entlang der lichtartigen Geodäten).

	Sei der Brechungsindex		Sei der Brechungsindex
Zeile 38:		Zeile 38:

	{{Beispiel\|		{{Beispiel\|
	[[File:~~Spherical_triangle~~.svg\|miniatur]]		[[File:Spherical triangle.svg\|miniatur]]
	Betrachten wir ein Teilchen im kräftefreien Fall, so gilt, dass die Bewegung auf Geodäten stattfindet. Dies sind die kürzesten Verbindungen zwischen zwei Punkten, bei Kugeln beispielsweise die Großkreise. Gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie verzerren Masseansammlungen den Raum derartig ( die Metrik des Raumes), dass alle Teilchenbahnen Geodäten werden. Unabhängig davon, ob Kräfte vorliegen oder nicht.}}		Betrachten wir ein Teilchen im kräftefreien Fall, so gilt, dass die Bewegung auf Geodäten stattfindet. Dies sind die kürzesten Verbindungen zwischen zwei Punkten, bei Kugeln beispielsweise die Großkreise. Gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie verzerren Masseansammlungen den Raum derartig (die Metrik des Raumes), dass alle Teilchenbahnen Geodäten werden. Unabhängig davon, ob Kräfte vorliegen oder nicht.}}

	==Allgemeine Aufgabe der Variationsrechnung==		==Allgemeine Aufgabe der Variationsrechnung==
Zeile 49:		Zeile 49:


	Die Funktion q(t) sollte zweimal stetig differenzierbar und reell sein. ( Bahnkurve mit existierender Geschwindigkeit und Beschleunigung).		Die Funktion q(t) sollte zweimal stetig differenzierbar und reell sein. (Bahnkurve mit existierender Geschwindigkeit und Beschleunigung).

	Die Aufgabe lautet nun:		Die Aufgabe lautet nun:
Zeile 61:		Zeile 61:
	====Die Variierten Bahnen====		====Die Variierten Bahnen====

	Eine Variierte Bahn ist dann eine Bahn, die zu jeder Zeit t mit t1<t<t2 ( eigentlich kleiner gleich) dem Punkt q(t) auf der reellen Bahn einen variierten Bezugspunkt q´(t) auf der variierten Bahn zuordnet.		Eine Variierte Bahn ist dann eine Bahn, die zu jeder Zeit t mit t1<t<t2 (eigentlich kleiner gleich) dem Punkt q(t) auf der reellen Bahn einen variierten Bezugspunkt q´(t) auf der variierten Bahn zuordnet.

	Dabei gilt:		Dabei gilt:
Zeile 91:		Zeile 91:


	Die letzte Identität gilt, da die Variation nicht auf die Zeit bezogen werden muss ( Zeit wird nicht variiert).		Die letzte Identität gilt, da die Variation nicht auf die Zeit bezogen werden muss (Zeit wird nicht variiert).

	Für die variierte Geschwindigkeit gilt:		Für die variierte Geschwindigkeit gilt:
Zeile 154:		Zeile 154:

	:<math>\frac{d}{dx}f(x)=0</math>		:<math>\frac{d}{dx}f(x)=0</math>
	an x=x0 ( Nullstelle)		an x=x0 (Nullstelle)

	# Extremum einer Funktion f(x1,x2,...,xN) mehrerer Variablen		# Extremum einer Funktion f(x1,x2,...,xN) mehrerer Variablen
Zeile 166:		Zeile 166:

	:<math>\frac{\partial f}{\partial {{x}_{i}}}=0</math>		:<math>\frac{\partial f}{\partial {{x}_{i}}}=0</math>
	i=1...,N bei xi =xi0 ( Nullstellen der Funktion)		i=1...,N bei xi =xi0 (Nullstellen der Funktion)

	entsprechend:		entsprechend:
Zeile 219:		Zeile 219:

	Im Extremum gilt dies wieder für beliebige Variationen		Im Extremum gilt dies wieder für beliebige Variationen
	:<math>\delta x(t)</math>		:<math>\delta x(t)</math>.
	.

	Somit gewinnt man die Euler-Lagrange- Gleichung zur Berechnung von x(t):		Somit gewinnt man die Euler-Lagrange- Gleichung zur Berechnung von x(t):

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:29:06Z

Einrückungen Mathematik

Änderungen zeigen

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:08:34Z

Einrückungen Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 17:08 Uhr
Zeile 179:		Zeile 179:
	& \delta {{x}_{1}},...,\delta {{x}_{N}}->\delta x(t) \\		& \delta {{x}_{1}},...,\delta {{x}_{N}}->\delta x(t) \\
	& \delta f=\sum\limits_{i=1}^{N}{\frac{\partial f}{\partial {{x}_{i}}}\delta {{x}_{i}}->}\delta f=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{\delta f}{\delta x(t)}\delta x(t)} \\		& \delta f=\sum\limits_{i=1}^{N}{\frac{\partial f}{\partial {{x}_{i}}}\delta {{x}_{i}}->}\delta f=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{\delta f}{\delta x(t)}\delta x(t)} \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math> Mit <math>\frac{\delta f}{\delta x(t)}</math>


	Mit
	<math>\frac{\delta f}{\delta x(t)}</math>
	als Funktionalableitung		als Funktionalableitung

Zeile 197:		Zeile 193:


	<math>=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{dF(x)}{dx}\delta x(t)}\quad \to \frac{dF(x)}{dx}=\frac{\delta f}{\delta x(t)}</math>		<math>=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{dF(x)}{dx}\delta x(t)}\quad \to \frac{dF(x)}{dx}=\frac{\delta f}{\delta x(t)}</math> wegen <math>\delta f=\sum\limits_{i=1}^{N}{\frac{\partial f}{\partial {{x}_{i}}}\delta {{x}_{i}}->}\delta f=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{\delta f}{\delta x(t)}\delta x(t)}</math>
	wegen
	<math>\delta f=\sum\limits_{i=1}^{N}{\frac{\partial f}{\partial {{x}_{i}}}\delta {{x}_{i}}->}\delta f=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{\delta f}{\delta x(t)}\delta x(t)}</math>

Schubotz: /* Siehe auch */

2010-08-28T16:48:25Z

Siehe auch

← Nächstältere Version		Version vom 28. August 2010, 18:48 Uhr
Zeile 233:		Zeile 233:
	<math>\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{x}}=0</math>		<math>\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{x}}=0</math>
	==Siehe auch==		==Siehe auch==
			[[Euler-Lagrange-Gleichungen]]

	__SHOWFACTBOX__		__SHOWFACTBOX__

Schubotz: /* Die Variierten Bahnen */

2010-08-28T16:44:22Z

Die Variierten Bahnen

← Nächstältere Version		Version vom 28. August 2010, 18:44 Uhr
Zeile 66:		Zeile 66:

	1.		1.
	<math>q\acute{\ }(t)\in {{C}^{2}}</math>		<math>q\acute{\ }(t)\in {{C}^{2}}</math> Die variierten Punkte stammen auch aus '''quadratintegrabelen komplexen Funktionen'''
	Die variierten Punkte stammen auch aus ~~quadratintegrablen~~ komplexen Funktionen

	2.		2.
	<math>\delta q(t):=q\acute{\ }(t)-q(t)</math>		<math>\delta q(t):=q\acute{\ }(t)-q(t)</math> differenzielle Variation. Die Zeit wird nicht variiert.
	differenzielle Variation. Die Zeit wird nicht variiert.

	3.		3.
Zeile 81:		Zeile 79:
	& q\acute{\ }({{t}_{1}})=q({{t}_{1}}) \\		& q\acute{\ }({{t}_{1}})=q({{t}_{1}}) \\
	& q\acute{\ }({{t}_{2}})=q({{t}_{2}}) \\		& q\acute{\ }({{t}_{2}})=q({{t}_{2}}) \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math> Anfangs- und Endpunkt sind fest
	Anfangs- und Endpunkt sind fest

	5.		5.
Zeile 117:		Zeile 114:


	<math>\frac{\partial F}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}=0</math>		{{Def\|<math>\frac{\partial F}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}=0</math>


	Dies ist die verallgemeinerte Euler-Lagrange- Gleichung der Variationsrechnung		Dies ist die verallgemeinerte Euler-Lagrange- Gleichung der Variationsrechnung\|Euler-Lagrange-Gleichung]]

	Diese Differenzialgleichung ist äquivalent zum Integralprinzip		Diese Differenzialgleichung ist äquivalent zum Integralprinzip
Zeile 142:		Zeile 139:
	parametrisiert.		parametrisiert.

	Weitere Möglichkeiten sind zu finden unter „direkte Methoden der Variationsrechnung)		Weitere Möglichkeiten sind zu finden unter „direkte Methoden der Variationsrechnung"

	==Exkurs zur Variationsrechnung==		==Exkurs zur Variationsrechnung==