Transformationsverhalten der Ströme und Felder - Versionsgeschichte

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2010-09-12T22:24:10Z

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	<u>'''Ziel: Ko- / Kontravariante Schreibweise der Elektrodynamik im Vakuum'''</u>		<u>'''Ziel: Ko- / Kontravariante Schreibweise der Elektrodynamik im Vakuum'''</u>

	Grund: Die klassische Elektrodynamik ist bereits eine Lorentz- invariante Theorie !!		Grund: Die klassische Elektrodynamik ist bereits eine Lorentz- invariante Theorie!!

	Historisch gab die Maxwellsche Elektrodynamik und nicht die Mechanik den Anstoß zur Relativitätstheorie überhaupt !		Historisch gab die Maxwellsche Elektrodynamik und nicht die Mechanik den Anstoß zur Relativitätstheorie überhaupt!

	'''Ladungserhaltung aus Kontinuitätsgleichung:'''		'''Ladungserhaltung aus Kontinuitätsgleichung:'''
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	:<math>\left\{ {{j}^{\mu }} \right\}=\left\{ c\rho ,\bar{j} \right\}</math>		:<math>\left\{ {{j}^{\mu }} \right\}=\left\{ c\rho ,\bar{j} \right\}</math>
	ebenfalls ein kontravarianter Vierer- Vektor . Er heißt Vierer- Stromdichte.		ebenfalls ein kontravarianter Vierer- Vektor. Er heißt Vierer- Stromdichte.
	Die Kontinuitätsgleichung ist gleich		Die Kontinuitätsgleichung ist gleich
	:<math>{{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0</math>		:<math>{{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0</math>

	'''Forderung:'''		'''Forderung:'''
	Ladungserhaltung soll in allen Inertialsystemen gelten !		Ladungserhaltung soll in allen Inertialsystemen gelten!
	→		→

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	muss sich wie ein Vierervektor transformieren, damit das Skalarprodukt		muss sich wie ein Vierervektor transformieren, damit das Skalarprodukt
	:<math>{{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0</math>		:<math>{{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0</math>
	Lorentz- invariant ist !:		Lorentz- invariant ist!:

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
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	Da		Da
	:<math>{{j}^{\mu }}</math>		:<math>{{j}^{\mu }}</math>
	Vierervektoren sind ( wie Vierervektoren transformieren), muss auch		Vierervektoren sind (wie Vierervektoren transformieren), muss auch
	:<math>{{\Phi }^{\mu }}</math>		:<math>{{\Phi }^{\mu }}</math>
	wie ein Vierervektor transformieren.		wie ein Vierervektor transformieren.
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	:<math>{{\partial }_{\alpha }}{{\partial }^{\alpha }}</math>		:<math>{{\partial }_{\alpha }}{{\partial }^{\alpha }}</math>
	lorentz- invariant !:		lorentz- invariant!:

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
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	:<math>\nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0</math>		:<math>\nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0</math>

	Lorentz- Eichung <→ Lorentz- Invarianz		Lorentz- Eichung ↔ Lorentz- Invarianz
	:<math>{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0</math>		:<math>{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0</math>
	( Gegensatz zur Coulomb- Eichung)		(Gegensatz zur Coulomb- Eichung)

	:<math>{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0\Leftrightarrow \nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0</math>		:<math>{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0\Leftrightarrow \nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0</math>
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	Wegen der Antisymmetrie hat		Wegen der Antisymmetrie hat
	:<math>{{F}^{\mu \nu }}</math>		:<math>{{F}^{\mu \nu }}</math>
	nur 6 unabhängige Komponenten !		nur 6 unabhängige Komponenten!

	Das bedeutet, die Raum- Raum- Komponenten entsprechen		Das bedeutet, die Raum- Raum- Komponenten entsprechen
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	Damit läßt sich nun das uns unbekannte Transformationsverhalten der Felder		Damit läßt sich nun das uns unbekannte Transformationsverhalten der Felder
	:<math>\bar{E}</math> und <math>rot\bar{A}=\bar{B}</math>		:<math>\bar{E}</math> und <math>rot\bar{A}=\bar{B}</math>
	berechnen, die auch kovariant transformieren müssen. Dabei sollte keinesfalls die Summation über die Indices auf der rechten Seite vergessen werden !!		berechnen, die auch kovariant transformieren müssen. Dabei sollte keinesfalls die Summation über die Indices auf der rechten Seite vergessen werden!!

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
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	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Elektrische und magnetische Felder werden beim Übergang zwischen verschiedenen Inertialsystemen ineinander transformiert !		Elektrische und magnetische Felder werden beim Übergang zwischen verschiedenen Inertialsystemen ineinander transformiert!

	<u>'''Umeichung:'''</u>		<u>'''Umeichung:'''</u>
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	:<math>{{\varepsilon }_{\kappa \lambda \mu \nu }}{{\partial }^{\lambda }}{{F}^{\mu \nu }}=0</math>		:<math>{{\varepsilon }_{\kappa \lambda \mu \nu }}{{\partial }^{\lambda }}{{F}^{\mu \nu }}=0</math>

	Die "4- Rotation" des Feldstärketensors verschwindet !		Die "4- Rotation" des Feldstärketensors verschwindet!

	'''Levi- Civita- Tensor:'''		'''Levi- Civita- Tensor:'''
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	'''Bemerkungen'''		'''Bemerkungen'''

	# Levi- Civita ist vollständig antisymmetrisch ( per Definition).		# Levi- Civita ist vollständig antisymmetrisch (per Definition).

	#		#
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	Damit nun der Levi- Civita- Tensor invariant unter Lorentz- Trafos wird, also		Damit nun der Levi- Civita- Tensor invariant unter Lorentz- Trafos wird, also

	:<math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\acute{\ }={{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}</math>		:<math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\acute{\ }={{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}</math>,
	, muss vereinbart werden, dass die Transformation lautet		muss vereinbart werden, dass die Transformation lautet

	:<math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\acute{\ }=\left( \det U \right){{U}^{\kappa }}_{\alpha }{{U}^{\lambda }}_{\beta }{{U}^{\mu }}_{\gamma }{{U}^{\nu }}_{\delta }{{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }}</math>		:<math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\acute{\ }=\left( \det U \right){{U}^{\kappa }}_{\alpha }{{U}^{\lambda }}_{\beta }{{U}^{\mu }}_{\gamma }{{U}^{\nu }}_{\delta }{{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }}</math>

	Damit ist der Tensor aber ein Pseudotensor !		Damit ist der Tensor aber ein Pseudotensor!

	Insgesamt ist die vierdimensionale Schreibweise die gleiche Formalisierung wie im Dreidimensionalen:		Insgesamt ist die vierdimensionale Schreibweise die gleiche Formalisierung wie im Dreidimensionalen:

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2010-09-12T19:58:44Z

Pfeile einfügen, replaced: -> → → (5)

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 21:58 Uhr
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	'''Forderung:'''		'''Forderung:'''
	Ladungserhaltung soll in allen Inertialsystemen gelten !		Ladungserhaltung soll in allen Inertialsystemen gelten !
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	:<math>{{j}^{\mu }}=0</math>		:<math>{{j}^{\mu }}=0</math>
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	:<math>\nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0</math>		:<math>\nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0</math>

	Lorentz- Eichung <-> Lorentz- Invarianz		Lorentz- Eichung <→ Lorentz- Invarianz
	:<math>{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0</math>		:<math>{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0</math>
	( Gegensatz zur Coulomb- Eichung)		( Gegensatz zur Coulomb- Eichung)
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	und zyklisch (023)		und zyklisch (023)

	zyklische Permutation 1 -> 2 -> 3 -> 1 und mit		zyklische Permutation 1 → 2 → 3 → 1 und mit

	:<math>{{F}^{ik}}=-{{F}^{ki}}</math>		:<math>{{F}^{ik}}=-{{F}^{ki}}</math>

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:58:06Z

Einrückungen Mathematik

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Schubotz am 28. August 2010 um 23:42 Uhr

2010-08-28T23:42:09Z

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	<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|6\|2}}</noinclude>~~= Transformationsverhalten der Ströme und Felder=~~		<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|6\|2}}</noinclude>

	<u>'''Ziel: Ko- / Kontravariante Schreibweise der Elektrodynamik im Vakuum'''</u>		<u>'''Ziel: Ko- / Kontravariante Schreibweise der Elektrodynamik im Vakuum'''</u>

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Elektrodynamik|6|2}}= Transformationsverhalten der Ströme und Felder= '''Ziel: Ko- / Kontravariante Schreibweise der E…“

2010-08-28T23:38:40Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|6|2}}</noinclude>= Transformationsverhalten der Ströme und Felder= '''Ziel: Ko- / Kontravariante Schreibweise der E…“

Neue Seite

<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|6|2}}</noinclude>= Transformationsverhalten der Ströme und Felder=

'''Ziel: Ko- / Kontravariante Schreibweise der Elektrodynamik im Vakuum'''

Grund: Die klassische Elektrodynamik ist bereits eine Lorentz- invariante Theorie !!

Historisch gab die Maxwellsche Elektrodynamik und nicht die Mechanik den Anstoß zur Relativitätstheorie überhaupt !

'''Ladungserhaltung aus Kontinuitätsgleichung:'''

<math>\begin{align}
& div\bar{j}+\frac{\partial \rho }{\partial t}=\frac{\partial {{j}_{x}}}{\partial x}+\frac{\partial {{j}_{y}}}{\partial y}+\frac{\partial {{j}_{z}}}{\partial z}+\frac{\partial c\rho }{\partial ct}=0 \\
& 0=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum\limits_{\alpha =1}^{3}{{}}{{\partial }_{\alpha }}{{j}^{\alpha }} \\
\end{align}</math>

Somit gewinnen wir aber ebenfalls wieder einen Lorentz- Skalar, nämlich

<math>{{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0</math>

in Viererschreibweise.
Die Vierer- Stromdichte ist

<math>\left\{ {{j}^{\mu }} \right\}=\left\{ c\rho ,\bar{j} \right\}</math>
ebenfalls ein kontravarianter Vierer- Vektor . Er heißt Vierer- Stromdichte.
Die Kontinuitätsgleichung ist gleich
<math>{{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0</math>

'''Forderung:'''
Ladungserhaltung soll in allen Inertialsystemen gelten !
->

<math>{{j}^{\mu }}=0</math>
muss sich wie ein Vierervektor transformieren, damit das Skalarprodukt
<math>{{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0</math>
Lorentz- invariant ist !:

<math>\begin{align}
& {{x}^{0}}\acute{\ }=\gamma \left( {{x}^{0}}-\beta {{x}^{1}} \right)\Leftrightarrow t\acute{\ }=\gamma \left( t-\frac{v}{{{c}^{2}}}{{x}^{1}} \right) \\
& {{x}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{x}^{1}}-\beta {{x}^{0}} \right)\Leftrightarrow {{x}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{x}^{1}}-vt \right) \\
& {{x}^{2}}\acute{\ }={{x}^{2}} \\
& {{x}^{3}}\acute{\ }={{x}^{3}} \\
\end{align}</math>

Also gilt für Ladungs- und Stromdichten:

<math>\begin{align}
& {{j}^{0}}\acute{\ }=\gamma \left( {{j}^{0}}-\beta {{j}^{1}} \right)\Leftrightarrow \rho \acute{\ }=\gamma \left( \rho -\frac{v}{{{c}^{2}}}{{j}^{1}} \right) \\
& {{j}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{j}^{1}}-\beta {{j}^{0}} \right)\Leftrightarrow {{j}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{j}^{1}}-v\rho \right) \\
& {{j}^{2}}\acute{\ }={{j}^{2}} \\
& {{j}^{3}}\acute{\ }={{j}^{3}} \\
\end{align}</math>

Merke: Es sollte kein Missverständnis geschehen: Ist ein Vektor in ein Lorentz- invariantes Skalarprodukt verwickelt, so ist es ein Vierervektor. Damit ist klar: Seine Komponenten transfornmieren nach der Lorentz- Trafo.
Dadurch aber ist die Trafo für seine Komponenten, die Beispielsweise Ladungs- und Stromdichten sind, gefunden.

'''4- Potenziale:'''

Die Potenziale
<math>\Phi ,\bar{A}</math>
sind in der Lorentz- Eichung
<math>\nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0</math>
Lösungen von

<math>\begin{align}
& \Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
& \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
& \#=-{{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }} \\
& {{\mu }_{0}}c=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c} \\
& \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j}\Leftrightarrow {{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}c{{A}^{\alpha }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\alpha }} \\
& \alpha =1,2,3 \\
\end{align}</math>

<math>\begin{align}
& \Delta \phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}=-{{\mu }_{0}}{{c}^{2}}\rho \\
& \#\phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}\Leftrightarrow {{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}\phi =\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{0}} \\
\end{align}</math>

Zusammen:

<math>\begin{align}
& -\#{{\Phi }^{\mu }}={{\partial }_{\alpha }}{{\partial }^{\alpha }}{{\Phi }^{\mu }}={{\mu }_{0}}{{j}^{\mu }} \\
& {{\Phi }^{0}}:=\phi \\
& {{\Phi }^{i}}:=c{{A}^{i}}\quad i=1..3 \\
\end{align}</math>

Da
<math>{{j}^{\mu }}</math>
Vierervektoren sind ( wie Vierervektoren transformieren), muss auch
<math>{{\Phi }^{\mu }}</math>
wie ein Vierervektor transformieren.
Denn: Der d´Alembert- Operator ist Lorentz- invariant:

<math>{{\partial }_{\alpha }}{{\partial }^{\alpha }}</math>
lorentz- invariant !:

<math>\begin{align}
& {{\Phi }^{0}}\acute{\ }=\gamma \left( {{\Phi }^{0}}-\beta {{\Phi }^{1}} \right)\quad bzw.\quad \Phi \acute{\ }=\gamma \left( \Phi -v{{A}^{1}} \right) \\
& {{\Phi }^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{\Phi }^{1}}-\beta {{\Phi }^{0}} \right)\quad bzw.\quad A{{\acute{\ }}^{1}}=\gamma \left( {{A}^{1}}-\frac{v}{{{c}^{2}}}\Phi \right),{{A}^{\acute{\ }2}}={{A}^{2}},A{{\acute{\ }}^{3}}={{A}^{3}} \\
\end{align}</math>

Nun: Lorentz- Eichung:

<math>\nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0</math>

Lorentz- Eichung <-> Lorentz- Invarianz
<math>{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0</math>
( Gegensatz zur Coulomb- Eichung)

<math>{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0\Leftrightarrow \nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0</math>

'''Umeichung:'''

<math>\begin{align}
& \tilde{\bar{A}}=\bar{A}+\nabla F \\
& \tilde{\phi }=\phi -\frac{\partial }{\partial t}F \\
& \Leftrightarrow \\
& c{{{\tilde{A}}}^{\alpha }}=c{{A}^{\alpha }}+{{\partial }_{\alpha }}cF=c{{A}^{\alpha }}-{{\partial }^{\alpha }}cF \\
& {{{\tilde{\Phi }}}^{0}}={{\Phi }^{0}}-{{\partial }_{0}}cF={{\Phi }^{0}}-{{\partial }^{0}}cF \\
\end{align}</math>

'''Also:'''

<math>{{\tilde{\Phi }}^{\mu }}={{\Phi }^{\mu }}-{{\partial }^{\mu }}cF</math>

'''Felder E und B:'''

<math>\begin{align}
& \bar{E}=-grad\phi -\frac{\partial }{\partial t}\bar{A} \\
& \Rightarrow {{E}^{\alpha }}=-{{\partial }_{\alpha }}\phi -\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}c{{A}^{\alpha }}=-{{\partial }_{\alpha }}{{\Phi }^{0}}-{{\partial }_{0}}{{\Phi }^{\alpha }}={{\partial }^{\alpha }}{{\Phi }^{0}}-{{\partial }^{0}}{{\Phi }^{\alpha }} \\
\end{align}</math>

<math>\begin{align}
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A} \\
& \Rightarrow c{{B}^{1}}={{\partial }_{2}}c{{A}^{3}}-{{\partial }_{3}}c{{A}^{2}}={{\partial }_{2}}{{\Phi }^{3}}-{{\partial }_{3}}{{\Phi }^{2}}={{\partial }^{3}}{{\Phi }^{2}}-{{\partial }^{2}}{{\Phi }^{3}} \\
\end{align}</math>

Die anderen Komponenten gewinnt man durch zyklische Vertauschung:

<math>\begin{align}
& c{{B}^{2}}={{\partial }^{1}}{{\Phi }^{3}}-{{\partial }^{3}}{{\Phi }^{1}} \\
& c{{B}^{3}}={{\partial }^{2}}{{\Phi }^{1}}-{{\partial }^{1}}{{\Phi }^{2}} \\
\end{align}</math>

Diese Gleichungen werden zusammengefasst durch den antisymmetrtischen Feldstärketensor:

<math>\begin{align}
& \left\{ {{F}_{\mu \nu }} \right\}=\left\{ {{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix}
0 & \frac{1}{c}{{E}_{x}} & \frac{1}{c}{{E}_{y}} & \frac{1}{c}{{E}_{z}} \\
-\frac{1}{c}{{E}_{x}} & 0 & -{{B}_{z}} & {{B}_{y}} \\
-\frac{1}{c}{{E}_{y}} & {{B}_{z}} & 0 & -{{B}_{x}} \\
-\frac{1}{c}{{E}_{z}} & -{{B}_{y}} & {{B}_{x}} & 0 \\
\end{matrix} \right) \\
& {{F}^{\mu \nu }}=\left\{ {{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix}
0 & -\frac{1}{c}{{E}_{x}} & -\frac{1}{c}{{E}_{y}} & -\frac{1}{c}{{E}_{z}} \\
\frac{1}{c}{{E}_{x}} & 0 & -{{B}_{z}} & {{B}_{y}} \\
\frac{1}{c}{{E}_{y}} & {{B}_{z}} & 0 & -{{B}_{x}} \\
\frac{1}{c}{{E}_{z}} & -{{B}_{y}} & {{B}_{x}} & 0 \\
\end{matrix} \right) \\
& \Leftrightarrow {{F}^{\mu \nu }}=\left\{ {{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix}
0 & -{{E}^{1}} & -{{E}^{2}} & -{{E}^{3}} \\
{{E}^{1}} & 0 & -c{{B}^{3}} & c{{B}^{2}} \\
{{E}^{2}} & c{{B}^{3}} & 0 & -c{{B}^{1}} \\
{{E}^{3}} & -c{{B}^{2}} & c{{B}^{1}} & 0 \\
\end{matrix} \right) \\
\end{align}</math>

Wegen der Antisymmetrie hat
<math>{{F}^{\mu \nu }}</math>
nur 6 unabhängige Komponenten !

Das bedeutet, die Raum- Raum- Komponenten entsprechen

<math>rot\bar{A}=\bar{B}</math>

während die Raum- zeit- Komponenten:

<math>\bar{E}=-grad\phi -\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}</math>
erfüllen.

'''Lorentz- Trafo der Felder:'''

Der Feldstärketensor ist kovariant und transformiert demnach über die inverse Lorentz- Transformation.
Das heißt: Für die Transformation in ein in x- Richtung mit konstanter Geschwindigkeit
<math>\bar{v}</math>
bewegtes System K´ gilt:

<math>{{F}_{{}}}{{\acute{\ }}^{\mu \nu }}={{U}^{\mu }}_{\lambda }{{U}^{\nu }}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}</math>

<math>{{U}^{i}}_{k}=\left( \begin{matrix}
\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\
\frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right)</math>

Damit läßt sich nun das uns unbekannte Transformationsverhalten der Felder
<math>\bar{E}</math>
und
<math>rot\bar{A}=\bar{B}</math>
berechnen, die auch kovariant transformieren müssen. Dabei sollte keinesfalls die Summation über die Indices auf der rechten Seite vergessen werden !!

<math>\begin{align}
& E{{\acute{\ }}^{1}}=F{{\acute{\ }}^{10}}={{U}^{1}}_{\lambda }{{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}=-\beta \gamma {{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{0\kappa }}+\gamma {{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{1\kappa }}={{\left( \beta \gamma \right)}^{2}}{{F}^{01}}+{{\gamma }^{2}}{{F}^{10}}= \\
& ={{\gamma }^{2}}\left( 1-{{\beta }^{2}} \right){{F}^{10}}={{E}^{1}} \\
& {{\gamma }^{2}}\left( 1-{{\beta }^{2}} \right)=1 \\
& \\
& E{{\acute{\ }}^{2}}=F{{\acute{\ }}^{20}}={{U}^{2}}_{\lambda }{{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}={{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{2\kappa }}=\gamma {{F}^{20}}-\beta \gamma {{F}^{21}}=\gamma \left( {{E}^{2}}-v{{B}^{3}} \right) \\
\end{align}</math>

<math>E{{\acute{\ }}^{3}}=F{{\acute{\ }}^{30}}={{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{3\kappa }}=\gamma {{F}^{30}}-\beta \gamma {{F}^{31}}=\gamma \left( {{E}^{3}}+v{{B}^{2}} \right)</math>

<math>\begin{align}
& B{{\acute{\ }}^{1}}=\frac{1}{c}F{{\acute{\ }}^{32}}=\frac{1}{c}{{U}^{3}}_{\lambda }{{U}^{2}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}=\frac{1}{c}{{F}^{32}}={{B}^{1}} \\
& B{{\acute{\ }}^{2}}=\frac{1}{c}F{{\acute{\ }}^{13}}=\frac{1}{c}{{U}^{1}}_{\lambda }{{U}^{3}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}=\frac{1}{c}{{U}^{1}}_{\kappa }{{F}^{\kappa 3}}=-\frac{\beta \gamma }{c}{{F}^{03}}+\frac{\gamma }{c}{{F}^{13}}=\gamma \left( {{B}^{2}}+\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{3}} \right) \\
\end{align}</math>

<math>B{{\acute{\ }}^{3}}=\gamma \left( {{B}^{3}}-\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{2}} \right)</math>

'''Zusammenfassung'''

<math>\begin{align}
& {{E}^{1}}\acute{\ }={{E}^{1}} \\
& {{E}^{2}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{E}^{2}}-v{{B}^{3}} \right) \\
& {{E}^{3}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{E}^{3}}+v{{B}^{2}} \right) \\
& {{B}^{1}}\acute{\ }={{B}^{1}} \\
& {{B}^{2}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{B}^{2}}+\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{3}} \right) \\
& {{B}^{3}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{B}^{3}}-\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{2}} \right) \\
\end{align}</math>

Elektrische und magnetische Felder werden beim Übergang zwischen verschiedenen Inertialsystemen ineinander transformiert !

'''Umeichung:'''

<math>{{\tilde{\Phi }}^{\mu }}={{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}\phi </math>

Somit:

<math>\begin{align}
& {{{\tilde{F}}}^{\mu \nu }}={{\partial }^{\mu }}{{{\tilde{\Phi }}}^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{{\tilde{\Phi }}}^{\mu }}={{\partial }^{\mu }}\left( {{\Phi }^{\nu }}+{{\partial }^{\nu }}\phi \right)-{{\partial }^{\nu }}\left( {{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}\phi \right) \\
& ={{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}{{\partial }^{\nu }}\phi -{{\partial }^{\nu }}{{\partial }^{\mu }}\phi ={{F}^{\mu \nu }} \\
\end{align}</math>

'''Homogene Maxwell- Gleichungen'''

<math>\begin{align}
& \nabla \cdot \bar{B}={{\partial }_{1}}{{B}^{1}}+{{\partial }_{2}}{{B}^{2}}+{{\partial }_{3}}{{B}^{3}}=0 \\
& \Rightarrow {{\partial }_{1}}{{F}^{32}}+{{\partial }_{2}}{{F}^{13}}+{{\partial }_{3}}{{F}^{21}}=0 \\
& \\
\end{align}</math>

Mit

<math>\begin{align}
& {{\partial }_{1}}=-{{\partial }^{1}} \\
& {{F}^{32}}=-{{F}^{23}} \\
& \Rightarrow {{\partial }^{1}}{{F}^{23}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{31}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{12}}=0 \\
& \\
\end{align}</math>

+ zyklisch in (123)

'''innere Feldgleichung für E- Feld'''

<math>\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}</math>

# Komponente

<math>{{\partial }_{2}}{{E}^{3}}-{{\partial }_{3}}{{E}^{2}}+\frac{\partial }{\partial t}{{B}^{1}}=0</math>

<math>\Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{23}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{30}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{02}}=0</math>
und zyklisch (023)

zyklische Permutation 1 -> 2 -> 3 -> 1 und mit

<math>{{F}^{ik}}=-{{F}^{ki}}</math>

liefert:

<math>\begin{align}
& \Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{13}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{01}}+{{\partial }^{1}}{{F}^{30}}=0\quad zyklisch(013) \\
& \Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{12}}+{{\partial }^{1}}{{F}^{20}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{01}}=0\quad zyklisch(012) \\
\end{align}</math>

'''Zusammenfassung der homogenen Maxwellgleichungen'''

<math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}{{\partial }_{\lambda }}{{F}_{\mu \nu }}=0</math>

<math>{{\varepsilon }_{\kappa \lambda \mu \nu }}{{\partial }^{\lambda }}{{F}^{\mu \nu }}=0</math>

Die "4- Rotation" des Feldstärketensors verschwindet !

'''Levi- Civita- Tensor:'''
'''+1 für gerade Permutation von 0123'''
'''-1 für ungerade Permutation von 0123'''
'''0, sonst'''

'''Bemerkungen'''

# Levi- Civita ist vollständig antisymmetrisch ( per Definition).

#
# <math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}</math>
# transformiert unter Lorentz- Trafo

<math>\begin{align}
& {{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\acute{\ }={{U}^{\kappa }}_{\alpha }{{U}^{\lambda }}_{\beta }{{U}^{\mu }}_{\gamma }{{U}^{\nu }}_{\delta }{{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }} \\
& =\left| \begin{matrix}
{{U}^{\kappa }}_{0} & {{U}^{\kappa }}_{1} & {{U}^{\kappa }}_{2} & {{U}^{\kappa }}_{3} \\
{{U}^{\lambda }}_{0} & {{U}^{\lambda }}_{1} & {{U}^{\lambda }}_{2} & {{U}^{\lambda }}_{3} \\
{{U}^{\mu }}_{0} & {{U}^{\mu }}_{1} & {{U}^{\mu }}_{2} & {{U}^{\mu }}_{3} \\
{{U}^{\nu }}_{0} & {{U}^{\nu }}_{1} & {{U}^{\nu }}_{2} & {{U}^{\nu }}_{3} \\
\end{matrix} \right|=\left( \det U \right)\cdot {{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }} \\
& \left( \det U \right)=\pm 1 \\
\end{align}</math>

Damit nun der Levi- Civita- Tensor invariant unter Lorentz- Trafos wird, also

<math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\acute{\ }={{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}</math>
, muss vereinbart werden, dass die Transformation lautet

<math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\acute{\ }=\left( \det U \right){{U}^{\kappa }}_{\alpha }{{U}^{\lambda }}_{\beta }{{U}^{\mu }}_{\gamma }{{U}^{\nu }}_{\delta }{{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }}</math>

Damit ist der Tensor aber ein Pseudotensor !

Insgesamt ist die vierdimensionale Schreibweise die gleiche Formalisierung wie im Dreidimensionalen:

<math>{{\left( \nabla \times \bar{A} \right)}_{\alpha }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma }}{{\partial }_{\beta }}{{A}_{\gamma }}</math>

Mit Pseudovektor

<math>{{\left( \nabla \times \bar{A} \right)}_{\alpha }}</math>