Trägheitstensor - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:29:00Z

Einrückungen Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 17:29 Uhr
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	Raumfestes Koordinatensystem		Raumfestes Koordinatensystem
	<math>\hat{\Sigma }:\hat{r}\left( t \right)=\sum\limits_{i=1}^{3}{{{{\hat{x}}}_{i}}\left( t \right){{{\hat{e}}}_{i}}}</math>		:<math>\hat{\Sigma }:\hat{r}\left( t \right)=\sum\limits_{i=1}^{3}{{{{\hat{x}}}_{i}}\left( t \right){{{\hat{e}}}_{i}}}</math>


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	Körperfestes Koordinatensytem		Körperfestes Koordinatensytem
	<math>\Sigma :r\left( t \right)=\sum\limits_{i=1}^{3}{{{x}_{i}}{{e}_{i}}\left( t \right)}</math>		:<math>\Sigma :r\left( t \right)=\sum\limits_{i=1}^{3}{{{x}_{i}}{{e}_{i}}\left( t \right)}</math>


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	<math>\hat{r}\left( t \right)={{\hat{r}}_{0}}\left( t \right)+r</math>		:<math>\hat{r}\left( t \right)={{\hat{r}}_{0}}\left( t \right)+r</math>


Zeile 22:		Zeile 22:


	<math>\dot{r}=\left( \omega \times r \right)</math>		:<math>\dot{r}=\left( \omega \times r \right)</math>


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	<math>\dot{\hat{r}}={{\dot{r}}_{0}}+\left( \omega \times r \right)</math>		:<math>\dot{\hat{r}}={{\dot{r}}_{0}}+\left( \omega \times r \right)</math>


	Die Kinetische Energie ist folglich		Die Kinetische Energie ist folglich

	<math>T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( {{{\dot{r}}}_{0}}+\left( \omega \times {{r}_{i}} \right) \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}M{{\dot{r}}_{0}}^{2}+\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{{\dot{r}}}_{0}}\centerdot \left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}}</math>		:<math>T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( {{{\dot{r}}}_{0}}+\left( \omega \times {{r}_{i}} \right) \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}M{{\dot{r}}_{0}}^{2}+\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{{\dot{r}}}_{0}}\centerdot \left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}}</math>

	Der mittlere Term stellt ein Spaltprodukt da, daher können die Komponenten dort Zyklisch vertauscht werden. In den wesendlichen Spezialfällen fällt dieser Term weg.		Der mittlere Term stellt ein Spaltprodukt da, daher können die Komponenten dort Zyklisch vertauscht werden. In den wesendlichen Spezialfällen fällt dieser Term weg.
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	#. . Wenn nun das System im Schwerpunkt sitz ist der 1. Faktor des Skalarproduktes null.		#. . Wenn nun das System im Schwerpunkt sitz ist der 1. Faktor des Skalarproduktes null.
	Der Term		Der Term
	<math>{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}</math>		:<math>{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}</math>
	stellt eine Vektoridentität dar:		stellt eine Vektoridentität dar:

	<math>{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}={{\omega }^{2}}{{r}_{i}}^{2}+{{\left( \omega \centerdot {{r}_{i}} \right)}^{2}}</math>		:<math>{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}={{\omega }^{2}}{{r}_{i}}^{2}+{{\left( \omega \centerdot {{r}_{i}} \right)}^{2}}</math>
	(9.7)		(9.7)

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	Die Matrix hat dann die Einträge:		Die Matrix hat dann die Einträge:
	<math>\underline{J}</math>		:<math>\underline{J}</math>
	<math>\underline{J}_{lm}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( {{\delta }_{lm}}{{r}_{i}}^{2}-{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{l}}{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{m}} \right)}</math> (9.8)		<math>\underline{J}_{lm}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( {{\delta }_{lm}}{{r}_{i}}^{2}-{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{l}}{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{m}} \right)}</math> (9.8)
	Damit ergibt sich der von der Rotation verursachte Teil der Kinetischen Energie (<math>{{T}_{Rot}}</math>) zu		Damit ergibt sich der von der Rotation verursachte Teil der Kinetischen Energie (<math>{{T}_{Rot}}</math>) zu

Schubotz am 17. August 2010 um 11:39 Uhr

2010-08-17T11:39:45Z

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	<math>\underline{J}_{lm}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( {{\delta }_{lm}}{{r}_{i}}^{2}-{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{l}}{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{m}} \right)}</math> (9.8)		<math>\underline{J}_{lm}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( {{\delta }_{lm}}{{r}_{i}}^{2}-{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{l}}{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{m}} \right)}</math> (9.8)
	Damit ergibt sich der von der Rotation verursachte Teil der Kinetischen Energie (<math>{{T}_{Rot}}</math>) zu		Damit ergibt sich der von der Rotation verursachte Teil der Kinetischen Energie (<math>{{T}_{Rot}}</math>) zu
	<math>{{T}_{Rot}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{\underline{J}}_{lm}}{{\omega }_{l}}{{\omega }_{m}}}=\frac{1}{2}{{\omega }^{2}}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{\underline{J}}_{lm}{{n}_{l}}{{n}_{m}}}</math> (9.9)		<math>{{T}_{Rot}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{\underline{J}}_{lm}{{\omega }_{l}}{{\omega }_{m}}}=\frac{1}{2}{{\omega }^{2}}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{\underline{J}}_{lm}{{n}_{l}}{{n}_{m}}}</math> (9.9)
	n sollen hierbei die normierten Komponenten von  sein.		n sollen hierbei die normierten Komponenten von  sein.
	Es ist nun sogar möglich ist Kontinuum überzugehen:		Es ist nun sogar möglich ist Kontinuum überzugehen:

Schubotz am 17. August 2010 um 11:38 Uhr

2010-08-17T11:38:31Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. August 2010, 13:38 Uhr
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	Die Matrix hat dann die Einträge:		Die Matrix hat dann die Einträge:
	<math>\underline{J}</math>		<math>\underline{J}</math>
	<math>\underline{J}_{lm}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( {{\delta }_{lm}}{{r}_{i}}^{2}-{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{l}}{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{m}} \right)}</math> (9.8)		<math>\underline{J}_{lm}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( {{\delta }_{lm}}{{r}_{i}}^{2}-{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{l}}{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{m}} \right)}</math> (9.8)
	Damit ergibt sich der von der Rotation verursachte Teil der Kinetischen Energie (<math>{{T}_{Rot}}</math>) zu		Damit ergibt sich der von der Rotation verursachte Teil der Kinetischen Energie (<math>{{T}_{Rot}}</math>) zu
	<math>{{T}_{Rot}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{\underline{J}}_{lm}}{{\omega }_{l}}{{\omega }_{m}}}=\frac{1}{2}{{\omega }^{2}}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{\underline{J}}_{lm}}{{n}_{l}}{{n}_{m}}}</math> (9.9)		<math>{{T}_{Rot}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{\underline{J}}_{lm}}{{\omega }_{l}}{{\omega }_{m}}}=\frac{1}{2}{{\omega }^{2}}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{\underline{J}}_{lm}{{n}_{l}}{{n}_{m}}}</math> (9.9)
	n sollen hierbei die normierten Komponenten von  sein.		n sollen hierbei die normierten Komponenten von  sein.
	Es ist nun sogar möglich ist Kontinuum überzugehen:		Es ist nun sogar möglich ist Kontinuum überzugehen:
	<math>\underline{J}_{lm}}=\iiint{\rho \left( r \right)\left( {{\delta }_{lm}}{{r}^{2}}-{{r}_{l}}{{r}_{m}} \right)d{{r}_{1}}d{{r}_{2}}d{{r}_{3}}}</math> (9.10)		<math>\underline{J}_{lm}=\iiint{\rho \left( r \right)\left( {{\delta }_{lm}}{{r}^{2}}-{{r}_{l}}{{r}_{m}} \right)d{{r}_{1}}d{{r}_{2}}d{{r}_{3}}}</math> (9.10)
	Der Tensor <math>\underline{J}</math>hängt von der Wahl des Koordinatensystems ab. Es ist aber immer möglich die Achsen so zu Wählen das <math>\underline{J}</math> Diagonalgestalt annimmt. Dieses ist aber Isomorph zum Eigenwertproblem		Der Tensor <math>\underline{J}</math>hängt von der Wahl des Koordinatensystems ab. Es ist aber immer möglich die Achsen so zu Wählen das <math>\underline{J}</math> Diagonalgestalt annimmt. Dieses ist aber Isomorph zum Eigenwertproblem
	<math>\underline{J}\omega =J\omega </math> (9.11)		<math>\underline{J}\omega =J\omega </math> (9.11)

Schubotz am 17. August 2010 um 11:36 Uhr

2010-08-17T11:36:39Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. August 2010, 13:36 Uhr
Zeile 52:		Zeile 52:
	Die Matrix hat dann die Einträge:		Die Matrix hat dann die Einträge:
	<math>\underline{J}</math>		<math>\underline{J}</math>
	<math>~~{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{~~\~~scriptscriptstyle-}$}}~~{J}}_{lm}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( {{\delta }_{lm}}{{r}_{i}}^{2}-{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{l}}{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{m}} \right)}</math> (9.8)		<math>\underline{J}_{lm}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( {{\delta }_{lm}}{{r}_{i}}^{2}-{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{l}}{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{m}} \right)}</math> (9.8)
	Damit ergibt sich der von der Rotation verursachte Teil der Kinetischen Energie (<math>{{T}_{Rot}}</math>) zu		Damit ergibt sich der von der Rotation verursachte Teil der Kinetischen Energie (<math>{{T}_{Rot}}</math>) zu
	<math>{{T}_{Rot}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{{{\~~underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}~~{J}}}_{lm}}{{\omega }_{l}}{{\omega }_{m}}}=\frac{1}{2}{{\omega }^{2}}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{{{\~~underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}~~{J}}}_{lm}}{{n}_{l}}{{n}_{m}}}</math> (9.9)		<math>{{T}_{Rot}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{\underline{J}}_{lm}}{{\omega }_{l}}{{\omega }_{m}}}=\frac{1}{2}{{\omega }^{2}}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{\underline{J}}_{lm}}{{n}_{l}}{{n}_{m}}}</math> (9.9)
	n sollen hierbei die normierten Komponenten von  sein.		n sollen hierbei die normierten Komponenten von  sein.
	Es ist nun sogar möglich ist Kontinuum überzugehen:		Es ist nun sogar möglich ist Kontinuum überzugehen:
	<math>~~{{\underset{~~\~~raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}~~{J}}_{lm}}=\iiint{\rho \left( r \right)\left( {{\delta }_{lm}}{{r}^{2}}-{{r}_{l}}{{r}_{m}} \right)d{{r}_{1}}d{{r}_{2}}d{{r}_{3}}}</math> (9.10)		<math>\underline{J}_{lm}}=\iiint{\rho \left( r \right)\left( {{\delta }_{lm}}{{r}^{2}}-{{r}_{l}}{{r}_{m}} \right)d{{r}_{1}}d{{r}_{2}}d{{r}_{3}}}</math> (9.10)
	Der Tensor <math>\~~underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}~~{J}</math>hängt von der Wahl des Koordinatensystems ab. Es ist aber immer möglich die Achsen so zu Wählen das <math>\~~underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}~~{J}</math> Diagonalgestalt annimmt. Dieses ist aber Isomorph zum Eigenwertproblem		Der Tensor <math>\underline{J}</math>hängt von der Wahl des Koordinatensystems ab. Es ist aber immer möglich die Achsen so zu Wählen das <math>\underline{J}</math> Diagonalgestalt annimmt. Dieses ist aber Isomorph zum Eigenwertproblem
	<math>\~~underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}~~{J}\omega =J\omega </math> (9.11)		<math>\underline{J}\omega =J\omega </math> (9.11)
	Hier eignen Sich die Eulerschen Winkel um ein System in Kugelkoordinaten zu beschreiben.		Hier eignen Sich die Eulerschen Winkel um ein System in Kugelkoordinaten zu beschreiben.

	[[Kategorie:Mechanik]]		[[Kategorie:Mechanik]]

Schubotz am 17. August 2010 um 11:32 Uhr

2010-08-17T11:32:09Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. August 2010, 13:32 Uhr
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	Die Matrix hat dann die Einträge:		Die Matrix hat dann die Einträge:
	<math>\~~underset~~{J~~}{_~~}</math>		<math>\underline{J}</math>
	<math>{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}_{lm}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( {{\delta }_{lm}}{{r}_{i}}^{2}-{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{l}}{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{m}} \right)}</math> (9.8)		<math>{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}_{lm}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( {{\delta }_{lm}}{{r}_{i}}^{2}-{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{l}}{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{m}} \right)}</math> (9.8)
	Damit ergibt sich der von der Rotation verursachte Teil der Kinetischen Energie (<math>{{T}_{Rot}}</math>) zu		Damit ergibt sich der von der Rotation verursachte Teil der Kinetischen Energie (<math>{{T}_{Rot}}</math>) zu

Schubotz am 17. August 2010 um 11:30 Uhr

2010-08-17T11:30:01Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. August 2010, 13:30 Uhr
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	Der mittlere Term stellt ein Spaltprodukt da, daher können die Komponenten dort Zyklisch vertauscht werden. In den wesendlichen Spezialfällen fällt dieser Term weg.		Der mittlere Term stellt ein Spaltprodukt da, daher können die Komponenten dort Zyklisch vertauscht werden. In den wesendlichen Spezialfällen fällt dieser Term weg.
	1. Der Ursprung des Körperfesten Systems ist ein Fixpunkt im Ortsfesten System, so dass <math>{{r}_{0}}</math>konstant ist und die Ableitung verschwindet.		# Der Ursprung des Körperfesten Systems ist ein Fixpunkt im Ortsfesten System, so dass <math>{{r}_{0}}</math>konstant ist und die Ableitung verschwindet.
	2. Zyklische Vertauschung liefert:		#. Zyklische Vertauschung liefert:
	3. <math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{r}_{i}}\centerdot \left( {{{\dot{r}}}_{0}}\times \omega \right)}</math>		#. <math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{r}_{i}}\centerdot \left( {{{\dot{r}}}_{0}}\times \omega \right)}</math>
	4. . Wenn nun das System im Schwerpunkt sitz ist der 1. Faktor des Skalarproduktes null.		#. . Wenn nun das System im Schwerpunkt sitz ist der 1. Faktor des Skalarproduktes null.
	Der Term		Der Term
	<math>{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}</math>		<math>{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}</math>
Zeile 46:		Zeile 46:
	<math>{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}={{\omega }^{2}}{{r}_{i}}^{2}+{{\left( \omega \centerdot {{r}_{i}} \right)}^{2}}</math>		<math>{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}={{\omega }^{2}}{{r}_{i}}^{2}+{{\left( \omega \centerdot {{r}_{i}} \right)}^{2}}</math>
	(9.7)		(9.7)


	Das Ausmultiplizieren dieser Terme würde relativ viele Summanden zur Folge haben. Man entschließt sich daher dazu die Summanden nach Indizes von  zu Ordnen und als Matrix aufzufassen.		Das Ausmultiplizieren dieser Terme würde relativ viele Summanden zur Folge haben. Man entschließt sich daher dazu die Summanden nach Indizes von  zu Ordnen und als Matrix aufzufassen.

	Die Matrix hat dann die Einträge:		Die Matrix hat dann die Einträge:
			<math>\underset{J}{_}</math>
	<math>{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}_{lm}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( {{\delta }_{lm}}{{r}_{i}}^{2}-{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{l}}{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{m}} \right)}</math> (9.8)		<math>{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}_{lm}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( {{\delta }_{lm}}{{r}_{i}}^{2}-{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{l}}{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{m}} \right)}</math> (9.8)
	Damit ergibt sich der von der Rotation verursachte Teil der Kinetischen Energie (<math>{{T}_{Rot}}</math>) zu		Damit ergibt sich der von der Rotation verursachte Teil der Kinetischen Energie (<math>{{T}_{Rot}}</math>) zu

Schubotz am 16. August 2010 um 16:03 Uhr

2010-08-16T16:03:45Z

Schubotz am 16. August 2010 um 15:46 Uhr

2010-08-16T15:46:48Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. August 2010, 17:46 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	Natürlich ist es nicht praktisch alle in der Physik vorkommenden Phänomene durch Massenpunktsystem zu beschreiben. Daher existiert noch ein weiters Konzept. Man kann einen starren Körper als Vielteilchensystem betrachten, wobei die Zwangsbedingungen lauten, dass sich die Abstände der einzelnen Punkte zueinander nicht verändern. Es ist für diese Betrachtung zweckmäßig 2 Koordinatensysteme zu verwenden. Ein Raumfestes bei dem sich die Achsen nicht bewegen, wohl aber die Koordinaten der einzelnen Punkte.		Natürlich ist es nicht praktisch alle in der Physik vorkommenden Phänomene durch Massenpunktsystem zu beschreiben. Daher existiert noch ein weiters Konzept. Man kann einen starren Körper als Vielteilchensystem betrachten, wobei die Zwangsbedingungen lauten, dass sich die Abstände der einzelnen Punkte zueinander nicht verändern. Es ist für diese Betrachtung zweckmäßig 2 Koordinatensysteme zu verwenden. Ein Raumfestes bei dem sich die Achsen nicht bewegen, wohl aber die Koordinaten der einzelnen Punkte.


			Raumfestes Koordinatensystem
	<math>\hat{\Sigma }:\hat{r}\left( t \right)=\sum\limits_{i=1}^{3}{{{{\hat{x}}}_{i}}\left( t \right){{{\hat{e}}}_{i}}}</math>		<math>\hat{\Sigma }:\hat{r}\left( t \right)=\sum\limits_{i=1}^{3}{{{{\hat{x}}}_{i}}\left( t \right){{{\hat{e}}}_{i}}}</math>
	~~(9.1)~~

	Sowie ein Körperfestes System was sich mit dem Körper mitbewegt, und bei dem die Orts Koordinaten aufgrund der zum Körper gehörenden Orte Zwangsbedingungen fest gewählt sind.		Sowie ein Körperfestes System was sich mit dem Körper mitbewegt, und bei dem die Orts Koordinaten aufgrund der zum Körper gehörenden Orte Zwangsbedingungen fest gewählt sind.


			Körperfestes Koordinatensytem
	<math>\Sigma :r\left( t \right)=\sum\limits_{i=1}^{3}{{{x}_{i}}{{e}_{i}}\left( t \right)}</math>		<math>\Sigma :r\left( t \right)=\sum\limits_{i=1}^{3}{{{x}_{i}}{{e}_{i}}\left( t \right)}</math>
	~~(9.2)~~

	Dadurch ergibt sich die Beziehung, dass jeder Punkt im Ortsfesten System als Summe aus Verbindungsvektor mit dem Ursprung des köperfesten Systems plus dem Vektor im körperfesten System geschrieben werden kann.		Dadurch ergibt sich die Beziehung, dass jeder Punkt im Ortsfesten System als Summe aus Verbindungsvektor mit dem Ursprung des köperfesten Systems plus dem Vektor im körperfesten System geschrieben werden kann.

Schubotz am 16. August 2010 um 15:27 Uhr

2010-08-16T15:27:42Z

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „Natürlich ist es nicht praktisch alle in der Physik vorkommenden Phänomene durch Massenpunktsystem zu beschreiben. Daher existiert noch ein weiters Konzept. Man…“

2010-04-15T00:16:42Z

Die Seite wurde neu angelegt: „Natürlich ist es nicht praktisch alle in der Physik vorkommenden Phänomene durch Massenpunktsystem zu beschreiben. Daher existiert noch ein weiters Konzept. Man…“

Neue Seite

Natürlich ist es nicht praktisch alle in der Physik vorkommenden Phänomene durch Massenpunktsystem zu beschreiben. Daher existiert noch ein weiters Konzept. Man kann einen starren Körper als Vielteilchensystem betrachten, wobei die Zwangsbedingungen lauten, dass sich die Abstände der einzelnen Punkte zueinander nicht verändern. Es ist für diese Betrachtung zweckmäßig 2 Koordinatensysteme zu verwenden. Ein Raumfestes bei dem sich die Achsen nicht bewegen, wohl aber die Koordinaten der einzelnen Punkte.

<math>\hat{\Sigma }:\hat{r}\left( t \right)=\sum\limits_{i=1}^{3}{{{{\hat{x}}}_{i}}\left( t \right){{{\hat{e}}}_{i}}}</math>
(9.1)
Sowie ein Körperfestes System was sich mit dem Körper mitbewegt, und bei dem die Orts Koordinaten aufgrund der zum Körper gehörenden Orte Zwangsbedingungen fest gewählt sind.

<math>\Sigma :r\left( t \right)=\sum\limits_{i=1}^{3}{{{x}_{i}}{{e}_{i}}\left( t \right)}</math>
(9.2)
Dadurch ergibt sich die Beziehung, dass jeder Punkt im Ortsfesten System als Summe aus Verbindungsvektor mit dem Ursprung des köperfesten Systems plus dem Vektor im körperfesten System geschrieben werden kann.

<math>\hat{r}\left( t \right)={{\hat{r}}_{0}}\left( t \right)+r</math>
(9.3)
Die zeitliche Änderung eines Vektors im körperfesten System ist nur von der Drehung des Koordinatensystems abhängig. Also ist Geschwindigkeit nur von der Drehung und nicht von der Translation abhängig.

<math>\dot{r}=\left( \omega \times r \right)</math>
(9.4)
Im ortsfesten System folgt dann, dass sich die Gesamtgeschwindigkeit aus Translation des Ursprungs des ortsfesten Systems und Drehung im köperfesten System zusammensetzt.

<math>\dot{\hat{r}}={{\dot{r}}_{0}}+\left( \omega \times r \right)</math>
(9.5)
Die Kinetische Energie ist folglich

<math>T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( {{{\dot{r}}}_{0}}+\left( \omega \times {{r}_{i}} \right) \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}M{{\dot{r}}_{0}}^{2}+\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{{\dot{r}}}_{0}}\centerdot \left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}}</math>
(9.6)
Der mittlere Term stellt ein Spaltprodukt da, daher können die Komponenten dort Zyklisch vertauscht werden. In den wesendlichen Spezialfällen fällt dieser Term weg.
1. Der Ursprung des Körperfesten Systems ist ein Fixpunkt im Ortsfesten System, so dass <math>{{r}_{0}}</math>konstant ist und die Ableitung verschwindet.
2. Zyklische Vertauschung liefert:
3. <math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{r}_{i}}\centerdot \left( {{{\dot{r}}}_{0}}\times \omega \right)}</math>
4. . Wenn nun das System im Schwerpunkt sitz ist der 1. Faktor des Skalarproduktes null.
Der Term
<math>{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}</math>
stellt eine Vektoridentität dar:

<math>{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}={{\omega }^{2}}{{r}_{i}}^{2}+{{\left( \omega \centerdot {{r}_{i}} \right)}^{2}}</math>
(9.7)
Das Ausmultiplizieren dieser Terme würde relativ viele Summanden zur Folge haben. Man entschließt sich daher dazu die Summanden nach Indizes von  zu Ordnen und als Matrix aufzufassen.

Die Matrix hat dann die Einträge:
<math>{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}_{lm}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( {{\delta }_{lm}}{{r}_{i}}^{2}-{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{l}}{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{m}} \right)}</math> (9.8)
Damit ergibt sich der von der Rotation verursachte Teil der Kinetischen Energie (<math>{{T}_{Rot}}</math>) zu
<math>{{T}_{Rot}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}}_{lm}}{{\omega }_{l}}{{\omega }_{m}}}=\frac{1}{2}{{\omega }^{2}}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}}_{lm}}{{n}_{l}}{{n}_{m}}}</math> (9.9)
n sollen hierbei die normierten Komponenten von  sein.
Es ist nun sogar möglich ist Kontinuum überzugehen:
<math>{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}_{lm}}=\iiint{\rho \left( r \right)\left( {{\delta }_{lm}}{{r}^{2}}-{{r}_{l}}{{r}_{m}} \right)d{{r}_{1}}d{{r}_{2}}d{{r}_{3}}}</math> (9.10)
Der Tensor <math>\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}</math>hängt von der Wahl des Koordinatensystems ab. Es ist aber immer möglich die Achsen so zu Wählen das <math>\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}</math> Diagonalgestalt annimmt. Dieses ist aber Isomorph zum Eigenwertproblem
<math>\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}\omega =J\omega </math> (9.11)
Hier eignen Sich die Eulerschen Winkel um ein System in Kugelkoordinaten zu beschreiben.

[[Kategorie:Mechanik]]

← Nächstältere Version		Version vom 16. August 2010, 18:03 Uhr
Zeile 14:		Zeile 14:

	Dadurch ergibt sich die Beziehung, dass jeder Punkt im Ortsfesten System als Summe aus Verbindungsvektor mit dem Ursprung des köperfesten Systems plus dem Vektor im körperfesten System geschrieben werden kann.		Dadurch ergibt sich die Beziehung, dass jeder Punkt im Ortsfesten System als Summe aus Verbindungsvektor mit dem Ursprung des köperfesten Systems plus dem Vektor im körperfesten System geschrieben werden kann.


	<math>\hat{r}\left( t \right)={{\hat{r}}_{0}}\left( t \right)+r</math>		<math>\hat{r}\left( t \right)={{\hat{r}}_{0}}\left( t \right)+r</math>
	~~(9.3)~~

	Die zeitliche Änderung eines Vektors im körperfesten System ist nur von der Drehung des Koordinatensystems abhängig. Also ist Geschwindigkeit nur von der Drehung und nicht von der Translation abhängig.		Die zeitliche Änderung eines Vektors im körperfesten System ist nur von der Drehung des Koordinatensystems abhängig. Also ist Geschwindigkeit nur von der Drehung und nicht von der Translation abhängig.


	<math>\dot{r}=\left( \omega \times r \right)</math>		<math>\dot{r}=\left( \omega \times r \right)</math>
	~~(9.4)~~

	Im ortsfesten System folgt dann, dass sich die Gesamtgeschwindigkeit aus Translation des Ursprungs des ortsfesten Systems und Drehung im köperfesten System zusammensetzt.		Im ortsfesten System folgt dann, dass sich die Gesamtgeschwindigkeit aus Translation des Ursprungs des ortsfesten Systems und Drehung im köperfesten System zusammensetzt.


	<math>\dot{\hat{r}}={{\dot{r}}_{0}}+\left( \omega \times r \right)</math>		<math>\dot{\hat{r}}={{\dot{r}}_{0}}+\left( \omega \times r \right)</math>
	~~(9.5)~~

	Die Kinetische Energie ist folglich		Die Kinetische Energie ist folglich

	<math>T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( {{{\dot{r}}}_{0}}+\left( \omega \times {{r}_{i}} \right) \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}M{{\dot{r}}_{0}}^{2}+\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{{\dot{r}}}_{0}}\centerdot \left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}}</math>		<math>T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( {{{\dot{r}}}_{0}}+\left( \omega \times {{r}_{i}} \right) \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}M{{\dot{r}}_{0}}^{2}+\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{{\dot{r}}}_{0}}\centerdot \left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}}</math>
	~~(9.6)~~
	Der mittlere Term stellt ein Spaltprodukt da, daher können die Komponenten dort Zyklisch vertauscht werden. In den wesendlichen Spezialfällen fällt dieser Term weg.		Der mittlere Term stellt ein Spaltprodukt da, daher können die Komponenten dort Zyklisch vertauscht werden. In den wesendlichen Spezialfällen fällt dieser Term weg.
	1. Der Ursprung des Körperfesten Systems ist ein Fixpunkt im Ortsfesten System, so dass <math>{{r}_{0}}</math>konstant ist und die Ableitung verschwindet.		1. Der Ursprung des Körperfesten Systems ist ein Fixpunkt im Ortsfesten System, so dass <math>{{r}_{0}}</math>konstant ist und die Ableitung verschwindet.

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	Natürlich ist es nicht praktisch alle in der Physik vorkommenden Phänomene durch Massenpunktsystem zu beschreiben. Daher existiert noch ein weiters Konzept. Man kann einen starren Körper als Vielteilchensystem betrachten, wobei die Zwangsbedingungen lauten, dass sich die Abstände der einzelnen Punkte zueinander nicht verändern. Es ist für diese Betrachtung zweckmäßig 2 Koordinatensysteme zu verwenden. Ein Raumfestes bei dem sich die Achsen nicht bewegen, wohl aber die Koordinaten der einzelnen Punkte.		Natürlich ist es nicht praktisch alle in der Physik vorkommenden Phänomene durch Massenpunktsystem zu beschreiben. Daher existiert noch ein weiters Konzept. Man kann einen starren Körper als Vielteilchensystem betrachten, wobei die Zwangsbedingungen lauten, dass sich die Abstände der einzelnen Punkte zueinander nicht verändern. Es ist für diese Betrachtung zweckmäßig 2 Koordinatensysteme zu verwenden. Ein Raumfestes bei dem sich die Achsen nicht bewegen, wohl aber die Koordinaten der einzelnen Punkte.

	<math>\hat{\Sigma }:\hat{r}\left( t \right)=\sum\limits_{i=1}^{3}{{{{\hat{x}}}_{i}}\left( t \right){{{\hat{e}}}_{i}}}</math>		<math>\hat{\Sigma }:\hat{r}\left( t \right)=\sum\limits_{i=1}^{3}{{{{\hat{x}}}_{i}}\left( t \right){{{\hat{e}}}_{i}}}</math>
	(9.1)		(9.1)
	Sowie ein Körperfestes System was sich mit dem Körper mitbewegt, und bei dem die Orts Koordinaten aufgrund der zum Körper gehörenden Orte Zwangsbedingungen fest gewählt sind.		Sowie ein Körperfestes System was sich mit dem Körper mitbewegt, und bei dem die Orts Koordinaten aufgrund der zum Körper gehörenden Orte Zwangsbedingungen fest gewählt sind.

	<math>\Sigma :r\left( t \right)=\sum\limits_{i=1}^{3}{{{x}_{i}}{{e}_{i}}\left( t \right)}</math>		<math>\Sigma :r\left( t \right)=\sum\limits_{i=1}^{3}{{{x}_{i}}{{e}_{i}}\left( t \right)}</math>
	(9.2)		(9.2)
	Dadurch ergibt sich die Beziehung, dass jeder Punkt im Ortsfesten System als Summe aus Verbindungsvektor mit dem Ursprung des köperfesten Systems plus dem Vektor im körperfesten System geschrieben werden kann.		Dadurch ergibt sich die Beziehung, dass jeder Punkt im Ortsfesten System als Summe aus Verbindungsvektor mit dem Ursprung des köperfesten Systems plus dem Vektor im körperfesten System geschrieben werden kann.

	<math>\hat{r}\left( t \right)={{\hat{r}}_{0}}\left( t \right)+r</math>		<math>\hat{r}\left( t \right)={{\hat{r}}_{0}}\left( t \right)+r</math>
	(9.3)		(9.3)
	Die zeitliche Änderung eines Vektors im körperfesten System ist nur von der Drehung des Koordinatensystems abhängig. Also ist Geschwindigkeit nur von der Drehung und nicht von der Translation abhängig.		Die zeitliche Änderung eines Vektors im körperfesten System ist nur von der Drehung des Koordinatensystems abhängig. Also ist Geschwindigkeit nur von der Drehung und nicht von der Translation abhängig.

	<math>\dot{r}=\left( \omega \times r \right)</math>		<math>\dot{r}=\left( \omega \times r \right)</math>
	(9.4)		(9.4)
	Im ortsfesten System folgt dann, dass sich die Gesamtgeschwindigkeit aus Translation des Ursprungs des ortsfesten Systems und Drehung im köperfesten System zusammensetzt.		Im ortsfesten System folgt dann, dass sich die Gesamtgeschwindigkeit aus Translation des Ursprungs des ortsfesten Systems und Drehung im köperfesten System zusammensetzt.

	<math>\dot{\hat{r}}={{\dot{r}}_{0}}+\left( \omega \times r \right)</math>		<math>\dot{\hat{r}}={{\dot{r}}_{0}}+\left( \omega \times r \right)</math>
	(9.5)		(9.5)
	Die Kinetische Energie ist folglich		Die Kinetische Energie ist folglich

	<math>T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( {{{\dot{r}}}_{0}}+\left( \omega \times {{r}_{i}} \right) \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}M{{\dot{r}}_{0}}^{2}+\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{{\dot{r}}}_{0}}\centerdot \left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}}</math>		<math>T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( {{{\dot{r}}}_{0}}+\left( \omega \times {{r}_{i}} \right) \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}M{{\dot{r}}_{0}}^{2}+\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{{\dot{r}}}_{0}}\centerdot \left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}}</math>
	(9.6)		(9.6)
	Der mittlere Term stellt ein Spaltprodukt da, daher können die Komponenten dort Zyklisch vertauscht werden. In den wesendlichen Spezialfällen fällt dieser Term weg.		Der mittlere Term stellt ein Spaltprodukt da, daher können die Komponenten dort Zyklisch vertauscht werden. In den wesendlichen Spezialfällen fällt dieser Term weg.
	1. Der Ursprung des Körperfesten Systems ist ein Fixpunkt im Ortsfesten System, so dass <math>{{r}_{0}}</math>konstant ist und die Ableitung verschwindet.		1. Der Ursprung des Körperfesten Systems ist ein Fixpunkt im Ortsfesten System, so dass <math>{{r}_{0}}</math>konstant ist und die Ableitung verschwindet.
	2. Zyklische Vertauschung liefert:		2. Zyklische Vertauschung liefert:
	3. <math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{r}_{i}}\centerdot \left( {{{\dot{r}}}_{0}}\times \omega \right)}</math>		3. <math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{r}_{i}}\centerdot \left( {{{\dot{r}}}_{0}}\times \omega \right)}</math>
	4. . Wenn nun das System im Schwerpunkt sitz ist der 1. Faktor des Skalarproduktes null.		4. . Wenn nun das System im Schwerpunkt sitz ist der 1. Faktor des Skalarproduktes null.
	Der Term		Der Term
	<math>{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}</math>		<math>{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}</math>
	stellt eine Vektoridentität dar:		stellt eine Vektoridentität dar:

	<math>{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}={{\omega }^{2}}{{r}_{i}}^{2}+{{\left( \omega \centerdot {{r}_{i}} \right)}^{2}}</math>		<math>{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}={{\omega }^{2}}{{r}_{i}}^{2}+{{\left( \omega \centerdot {{r}_{i}} \right)}^{2}}</math>
	(9.7)		(9.7)
	Das Ausmultiplizieren dieser Terme würde relativ viele Summanden zur Folge haben. Man entschließt sich daher dazu die Summanden nach Indizes von  zu Ordnen und als Matrix aufzufassen.		Das Ausmultiplizieren dieser Terme würde relativ viele Summanden zur Folge haben. Man entschließt sich daher dazu die Summanden nach Indizes von  zu Ordnen und als Matrix aufzufassen.

	Die Matrix hat dann die Einträge:		Die Matrix hat dann die Einträge:
	<math>{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}_{lm}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( {{\delta }_{lm}}{{r}_{i}}^{2}-{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{l}}{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{m}} \right)}</math> (9.8)		<math>{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}_{lm}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( {{\delta }_{lm}}{{r}_{i}}^{2}-{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{l}}{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{m}} \right)}</math> (9.8)
	Damit ergibt sich der von der Rotation verursachte Teil der Kinetischen Energie (<math>{{T}_{Rot}}</math>) zu		Damit ergibt sich der von der Rotation verursachte Teil der Kinetischen Energie (<math>{{T}_{Rot}}</math>) zu
	<math>{{T}_{Rot}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}}_{lm}}{{\omega }_{l}}{{\omega }_{m}}}=\frac{1}{2}{{\omega }^{2}}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}}_{lm}}{{n}_{l}}{{n}_{m}}}</math> (9.9)		<math>{{T}_{Rot}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}}_{lm}}{{\omega }_{l}}{{\omega }_{m}}}=\frac{1}{2}{{\omega }^{2}}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}}_{lm}}{{n}_{l}}{{n}_{m}}}</math> (9.9)
	n sollen hierbei die normierten Komponenten von  sein.		n sollen hierbei die normierten Komponenten von  sein.
	Es ist nun sogar möglich ist Kontinuum überzugehen:		Es ist nun sogar möglich ist Kontinuum überzugehen:
	<math>{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}_{lm}}=\iiint{\rho \left( r \right)\left( {{\delta }_{lm}}{{r}^{2}}-{{r}_{l}}{{r}_{m}} \right)d{{r}_{1}}d{{r}_{2}}d{{r}_{3}}}</math> (9.10)		<math>{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}_{lm}}=\iiint{\rho \left( r \right)\left( {{\delta }_{lm}}{{r}^{2}}-{{r}_{l}}{{r}_{m}} \right)d{{r}_{1}}d{{r}_{2}}d{{r}_{3}}}</math> (9.10)
	Der Tensor <math>\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}</math>hängt von der Wahl des Koordinatensystems ab. Es ist aber immer möglich die Achsen so zu Wählen das <math>\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}</math> Diagonalgestalt annimmt. Dieses ist aber Isomorph zum Eigenwertproblem		Der Tensor <math>\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}</math>hängt von der Wahl des Koordinatensystems ab. Es ist aber immer möglich die Achsen so zu Wählen das <math>\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}</math> Diagonalgestalt annimmt. Dieses ist aber Isomorph zum Eigenwertproblem
	<math>\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}\omega =J\omega </math> (9.11)		<math>\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}\omega =J\omega </math> (9.11)
	Hier eignen Sich die Eulerschen Winkel um ein System in Kugelkoordinaten zu beschreiben.		Hier eignen Sich die Eulerschen Winkel um ein System in Kugelkoordinaten zu beschreiben.

	[[Kategorie:Mechanik]]		[[Kategorie:Mechanik]]