Thermodynamischer Limes - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (2), ( → (

2010-09-12T22:56:44Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (2), ( → (

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:56 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	Grenzfall eines unendlich großen Systems.		Grenzfall eines unendlich großen Systems.

	Dabei muss der Grenzprozess <math>\alpha \to \infty </math> so durchgeführt werden, dass alle extensiven Makroobservablen <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \to \alpha \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> die gleiche Koordinatendiletation <math>\alpha </math> erfahren !		Dabei muss der Grenzprozess <math>\alpha \to \infty </math> so durchgeführt werden, dass alle extensiven Makroobservablen <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \to \alpha \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> die gleiche Koordinatendiletation <math>\alpha </math> erfahren!

	<u>'''Voraussetzung:'''</u>		<u>'''Voraussetzung:'''</u>
Zeile 28:		Zeile 28:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Definitionsgleichung der intensiven Variablen !!}}		Definitionsgleichung der intensiven Variablen!!}}

	==Anwendung auf einfache thermische Systeme==		==Anwendung auf einfache thermische Systeme==
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	====Folgerung====		====Folgerung====

	Im thermodynamischen Limes sind die verschiedenen Verteilungen ( mikrokanonisch, kanonisch, großkanonisch) äquivalent, da die relativen Schwankungen, das Unterscheidungsmerkmal der Verteilungen überhaupt, verschwinden.		Im thermodynamischen Limes sind die verschiedenen Verteilungen (mikrokanonisch, kanonisch, großkanonisch) äquivalent, da die relativen Schwankungen, das Unterscheidungsmerkmal der Verteilungen überhaupt, verschwinden.

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T18:23:38Z

Einrückungen Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 20:23 Uhr
Zeile 12:		Zeile 12:
	:<math>S(z)=\sum\limits_{n=1}^{m}{{}}{{g}_{n}}(z)\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math>		:<math>S(z)=\sum\limits_{n=1}^{m}{{}}{{g}_{n}}(z)\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math>
	mit <math>{{g}_{n}}(z)={{g}_{n}}(\alpha z)</math> (dilatationsinvariant)\|		mit <math>{{g}_{n}}(z)={{g}_{n}}(\alpha z)</math> (dilatationsinvariant)\|
	<math>S(\alpha z)=\alpha S(z)</math> damit:		:<math>S(\alpha z)=\alpha S(z)</math> damit:

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 31:		Zeile 31:

	==Anwendung auf einfache thermische Systeme==		==Anwendung auf einfache thermische Systeme==
	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& S\left( U,V,{{{\bar{N}}}^{\alpha }} \right)=\frac{\partial S}{\partial U}U+\frac{\partial S}{\partial V}V+\frac{\partial S}{\partial {{{\bar{N}}}^{\alpha }}}{{{\bar{N}}}^{\alpha }}=\frac{1}{T}U+\frac{p}{T}V-\frac{{{\mu }_{\alpha }}}{T}{{{\bar{N}}}^{\alpha }} \\		& S\left( U,V,{{{\bar{N}}}^{\alpha }} \right)=\frac{\partial S}{\partial U}U+\frac{\partial S}{\partial V}V+\frac{\partial S}{\partial {{{\bar{N}}}^{\alpha }}}{{{\bar{N}}}^{\alpha }}=\frac{1}{T}U+\frac{p}{T}V-\frac{{{\mu }_{\alpha }}}{T}{{{\bar{N}}}^{\alpha }} \\
Zeile 45:		Zeile 45:
	'''Energiedarstellung''':		'''Energiedarstellung''':

	<math>U\left( S,V,{{{\bar{N}}}^{\alpha }} \right)=TS-pV+{{\mu }_{\alpha }}{{\bar{N}}^{\alpha }}</math>		:<math>U\left( S,V,{{{\bar{N}}}^{\alpha }} \right)=TS-pV+{{\mu }_{\alpha }}{{\bar{N}}^{\alpha }}</math>

	{{Satz\|Im thermodynamischen Limes verschwinden die relativen Schwankungen der extensiven Observablen.\|		{{Satz\|Im thermodynamischen Limes verschwinden die relativen Schwankungen der extensiven Observablen.\|
	{{FB\|Fluktuations-Dissipations-Theorem}}		{{FB\|Fluktuations-Dissipations-Theorem}}

	<math>\left\langle {{\left( \Delta {{M}^{n}} \right)}^{2}} \right\rangle =-\frac{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{n}}}=-\frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}^{2}}</math>		:<math>\left\langle {{\left( \Delta {{M}^{n}} \right)}^{2}} \right\rangle =-\frac{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{n}}}=-\frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}^{2}}</math>

	relative Schwankung:		relative Schwankung:

	<math>\frac{\left\langle {{\left( \Delta {{M}^{n}} \right)}^{2}} \right\rangle }{{{\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }^{2}}}=-\frac{1}{{{\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}^{2}}</math>		:<math>\frac{\left\langle {{\left( \Delta {{M}^{n}} \right)}^{2}} \right\rangle }{{{\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }^{2}}}=-\frac{1}{{{\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}^{2}}</math>

	Wegen der Homogenität von		Wegen der Homogenität von

	<math>S=k\left( {{\lambda }_{n}}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle -\Psi \right)</math>		:<math>S=k\left( {{\lambda }_{n}}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle -\Psi \right)</math>

	gilt:		gilt:

	<math>\Psi \left( \alpha z \right)=\alpha \Psi \left( z \right)</math>		:<math>\Psi \left( \alpha z \right)=\alpha \Psi \left( z \right)</math> also <math>\frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}^{2}}\left( \alpha z \right)=\alpha \frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}^{2}}\left( z \right)</math>

	also

	<math>\frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}^{2}}\left( \alpha z \right)=\alpha \frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}^{2}}\left( z \right)</math>

	'''Relative Schwankung für '''<math>\alpha z</math>, <math>\alpha \to \infty </math>:		'''Relative Schwankung für '''<math>\alpha z</math>, <math>\alpha \to \infty </math>:

Schubotz: /* Anwendung auf einfache thermische Systeme */

2010-09-12T11:50:43Z

Anwendung auf einfache thermische Systeme

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 13:50 Uhr
Zeile 30:		Zeile 30:
	Definitionsgleichung der intensiven Variablen !!}}		Definitionsgleichung der intensiven Variablen !!}}

	====Anwendung auf einfache thermische Systeme====		==Anwendung auf einfache thermische Systeme==
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}

Zeile 43:		Zeile 43:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Energiedarstellung:		'''Energiedarstellung''':

	<math>U\left( S,V,{{{\bar{N}}}^{\alpha }} \right)=TS-pV+{{\mu }_{\alpha }}{{\bar{N}}^{\alpha }}</math>		<math>U\left( S,V,{{{\bar{N}}}^{\alpha }} \right)=TS-pV+{{\mu }_{\alpha }}{{\bar{N}}^{\alpha }}</math>

	~~'''~~Satz~~: '''~~Im thermodynamischen Limes verschwinden die relativen Schwankungen der extensiven Observablen.		{{Satz\|Im thermodynamischen Limes verschwinden die relativen Schwankungen der extensiven Observablen.\|
			{{FB\|Fluktuations-Dissipations-Theorem}}
	~~<u>'''Beweis: '''</u>~~Fluktuations - Dissipations- Theorem

	<math>\left\langle {{\left( \Delta {{M}^{n}} \right)}^{2}} \right\rangle =-\frac{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{n}}}=-\frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}^{2}}</math>		<math>\left\langle {{\left( \Delta {{M}^{n}} \right)}^{2}} \right\rangle =-\frac{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{n}}}=-\frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}^{2}}</math>
Zeile 69:		Zeile 68:
	<math>\frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}^{2}}\left( \alpha z \right)=\alpha \frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}^{2}}\left( z \right)</math>		<math>\frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}^{2}}\left( \alpha z \right)=\alpha \frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}^{2}}\left( z \right)</math>

	'''Relative Schwankung für '''<math>\alpha z</math>		'''Relative Schwankung für '''<math>\alpha z</math>, <math>\alpha \to \infty </math>:

	~~, <math>\alpha \to \infty </math>~~		:<math>\begin{align}

	:

	<math>\begin{align}

	& \begin{matrix}		& \begin{matrix}
Zeile 107:		Zeile 102:
	\end{matrix}\alpha \frac{1}{{{\left\langle \alpha {{M}^{n}} \right\rangle }^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}\Psi \left( z \right)}{\partial {{\lambda }_{n}}^{2}}=0 \\		\end{matrix}\alpha \frac{1}{{{\left\langle \alpha {{M}^{n}} \right\rangle }^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}\Psi \left( z \right)}{\partial {{\lambda }_{n}}^{2}}=0 \\

	\end{align}</math>		\end{align}</math>}}

	====Folgerung====		====Folgerung====

	Im thermodynamischen Limes sind die verschiedenen Verteilungen ( mikrokanonisch, kanonisch, großkanonisch) äquivalent, da die relativen Schwankungen, das Unterscheidungsmerkmal der Verteilungen überhaupt, verschwinden.		Im thermodynamischen Limes sind die verschiedenen Verteilungen ( mikrokanonisch, kanonisch, großkanonisch) äquivalent, da die relativen Schwankungen, das Unterscheidungsmerkmal der Verteilungen überhaupt, verschwinden.

Schubotz am 12. September 2010 um 10:35 Uhr

2010-09-12T10:35:22Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 12:35 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	Grenzfall eines unendlich großen Systems.		Grenzfall eines unendlich großen Systems.

	Dabei muss der Grenzprozess <math>\alpha \to \infty </math>		Dabei muss der Grenzprozess <math>\alpha \to \infty </math> so durchgeführt werden, dass alle extensiven Makroobservablen <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \to \alpha \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> die gleiche Koordinatendiletation <math>\alpha </math> erfahren !

	so durchgeführt werden, dass alle extensiven Makroobservablen

	<math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \to \alpha \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math>

	die gleiche Koordinatendiletation <math>\alpha </math>

	erfahren !

	<u>'''Voraussetzung:'''</u>		<u>'''Voraussetzung:'''</u>

	Homogenes Makrosystem, also		Homogenes Makrosystem, also <math>z:=\left( \left\langle {{M}^{1}} \right\rangle ,...,\left\langle {{M}^{m}} \right\rangle \right)</math> und <math>S(z)</math> sind extensiv: <math>S(\alpha z)=\alpha S(z)</math> eine homogene Funktion in allen Variablen!

	<math>z:=\left( \left\langle {{M}^{1}} \right\rangle ,...,\left\langle {{M}^{m}} \right\rangle \right)</math>

	und

	<math>S(z)</math>

	sind extensiv:

	<math>S(\alpha z)=\alpha S(z)</math>

	eine homogene Funktion in allen Variablen !

	~~====Satz: Die Entropiegrundfunktion====~~
	~~<math>S(z)=\sum\limits_{n=1}^{m}{{}}{{g}_{n}}(z)\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math>~~

	~~mit~~

	~~<math>{{g}_{n}}(z)={{g}_{n}}(\alpha z)</math>~~

	~~( dilatationsinvariant)~~

	~~'''Beweis:'''~~

	~~<math>S(\alpha z)=\alpha S(z)</math>~~

	damit:		{{Satz\|Die Entropiegrundfunktion
			:<math>S(z)=\sum\limits_{n=1}^{m}{{}}{{g}_{n}}(z)\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math>
			mit <math>{{g}_{n}}(z)={{g}_{n}}(\alpha z)</math> (dilatationsinvariant)\|
			<math>S(\alpha z)=\alpha S(z)</math> damit:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \Rightarrow \frac{\partial S(\alpha z)}{\partial \alpha }=\frac{\partial }{\partial \alpha }\left( \alpha S(z) \right)=S(z) \\		& \Rightarrow \frac{\partial S(\alpha z)}{\partial \alpha }=\frac{\partial }{\partial \alpha }\left( \alpha S(z) \right)=S(z) \\
Zeile 52:		Zeile 22:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	* speziell für <math>\alpha =1</math>		speziell für <math>\alpha =1</math>:
	* :		:<math>\begin{align}
	* <math>\begin{align}		& \sum\limits_{n}^{{}}{{}}\frac{\partial S(z)}{\partial \left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle =S(z) \\
	* & \sum\limits_{n}^{{}}{{}}\frac{\partial S(z)}{\partial \left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle =S(z) \\		& \Rightarrow {{g}_{n}}(z):=\frac{\partial S(z)}{\partial \left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)}=\frac{\partial S(\alpha z)}{\partial \left( \alpha \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)}=:{{g}_{n}}(\alpha z) \\
	* & \Rightarrow {{g}_{n}}(z):=\frac{\partial S(z)}{\partial \left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)}=\frac{\partial S(\alpha z)}{\partial \left( \alpha \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)}=:{{g}_{n}}(\alpha z) \\		\end{align}</math>
	* \end{align}</math>
	*		Definitionsgleichung der intensiven Variablen !!}}
	Definitionsgleichung der intensiven Variablen !!

	====Anwendung auf einfache thermische Systeme====		====Anwendung auf einfache thermische Systeme====

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Thermodynamik|2|6}} Grenzfall eines unendlich großen Systems. Dabei muss der Grenzprozess $\alpha \to \infty$
2010-08-31T20:57:18Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|2|6}}</noinclude> Grenzfall eines unendlich großen Systems. Dabei muss der Grenzprozess <math>\alpha \to \infty </math…“

Neue Seite
<noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|2|6}}</noinclude>

Grenzfall eines unendlich großen Systems.

Dabei muss der Grenzprozess <math>\alpha \to \infty </math>

so durchgeführt werden, dass alle extensiven Makroobservablen

<math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \to \alpha \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math>

die gleiche Koordinatendiletation <math>\alpha </math>

erfahren !

<u>'''Voraussetzung:'''</u>

Homogenes Makrosystem, also

<math>z:=\left( \left\langle {{M}^{1}} \right\rangle ,...,\left\langle {{M}^{m}} \right\rangle \right)</math>

und

<math>S(z)</math>

sind extensiv:

<math>S(\alpha z)=\alpha S(z)</math>

eine homogene Funktion in allen Variablen !

====Satz: Die Entropiegrundfunktion====
<math>S(z)=\sum\limits_{n=1}^{m}{{}}{{g}_{n}}(z)\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math>

mit

<math>{{g}_{n}}(z)={{g}_{n}}(\alpha z)</math>

( dilatationsinvariant)

'''Beweis:'''

<math>S(\alpha z)=\alpha S(z)</math>

damit:

<math>\begin{align}

& \Rightarrow \frac{\partial S(\alpha z)}{\partial \alpha }=\frac{\partial }{\partial \alpha }\left( \alpha S(z) \right)=S(z) \\

& \frac{\partial S(\alpha z)}{\partial \alpha }=\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\frac{\partial S(\alpha z)}{\partial \left( \alpha \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \\

\end{align}</math>

* speziell für <math>\alpha =1</math>
* :
* <math>\begin{align}
* & \sum\limits_{n}^{{}}{{}}\frac{\partial S(z)}{\partial \left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle =S(z) \\
* & \Rightarrow {{g}_{n}}(z):=\frac{\partial S(z)}{\partial \left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)}=\frac{\partial S(\alpha z)}{\partial \left( \alpha \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)}=:{{g}_{n}}(\alpha z) \\
* \end{align}</math>
*
Definitionsgleichung der intensiven Variablen !!

====Anwendung auf einfache thermische Systeme====
<math>\begin{align}

& S\left( U,V,{{{\bar{N}}}^{\alpha }} \right)=\frac{\partial S}{\partial U}U+\frac{\partial S}{\partial V}V+\frac{\partial S}{\partial {{{\bar{N}}}^{\alpha }}}{{{\bar{N}}}^{\alpha }}=\frac{1}{T}U+\frac{p}{T}V-\frac{{{\mu }_{\alpha }}}{T}{{{\bar{N}}}^{\alpha }} \\

& \frac{\partial S}{\partial U}=\frac{1}{T} \\

& \frac{\partial S}{\partial V}=\frac{p}{T} \\

& \frac{\partial S}{\partial {{{\bar{N}}}^{\alpha }}}=-\frac{{{\mu }_{\alpha }}}{T} \\

\end{align}</math>

Energiedarstellung:

<math>U\left( S,V,{{{\bar{N}}}^{\alpha }} \right)=TS-pV+{{\mu }_{\alpha }}{{\bar{N}}^{\alpha }}</math>

'''Satz: '''Im thermodynamischen Limes verschwinden die relativen Schwankungen der extensiven Observablen.

<u>'''Beweis: '''</u>Fluktuations - Dissipations- Theorem

<math>\left\langle {{\left( \Delta {{M}^{n}} \right)}^{2}} \right\rangle =-\frac{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{n}}}=-\frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}^{2}}</math>

relative Schwankung:

<math>\frac{\left\langle {{\left( \Delta {{M}^{n}} \right)}^{2}} \right\rangle }{{{\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }^{2}}}=-\frac{1}{{{\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}^{2}}</math>

Wegen der Homogenität von

<math>S=k\left( {{\lambda }_{n}}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle -\Psi \right)</math>

gilt:

<math>\Psi \left( \alpha z \right)=\alpha \Psi \left( z \right)</math>

also

<math>\frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}^{2}}\left( \alpha z \right)=\alpha \frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}^{2}}\left( z \right)</math>

'''Relative Schwankung für '''<math>\alpha z</math>

, <math>\alpha \to \infty </math>

:

<math>\begin{align}

& \begin{matrix}

\lim \\

\alpha \to \infty \\

\end{matrix}\frac{\left\langle {{\left( \alpha \Delta {{M}^{n}} \right)}^{2}} \right\rangle }{{{\left\langle \alpha {{M}^{n}} \right\rangle }^{2}}}=-\begin{matrix}

\lim \\

\alpha \to \infty \\

\end{matrix}\alpha \frac{1}{{{\left\langle \alpha {{M}^{n}} \right\rangle }^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}\Psi \left( z \right)}{\partial {{\lambda }_{n}}^{2}} \\

& \frac{{{\partial }^{2}}\Psi \left( z \right)}{\partial {{\lambda }_{n}}^{2}}<\infty \\

& \Rightarrow \begin{matrix}

\lim \\

\alpha \to \infty \\

\end{matrix}\frac{\left\langle {{\left( \alpha \Delta {{M}^{n}} \right)}^{2}} \right\rangle }{{{\left\langle \alpha {{M}^{n}} \right\rangle }^{2}}}=-\begin{matrix}

\lim \\

\alpha \to \infty \\

\end{matrix}\alpha \frac{1}{{{\left\langle \alpha {{M}^{n}} \right\rangle }^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}\Psi \left( z \right)}{\partial {{\lambda }_{n}}^{2}}=0 \\

\end{align}</math>

====Folgerung====

Im thermodynamischen Limes sind die verschiedenen Verteilungen ( mikrokanonisch, kanonisch, großkanonisch) äquivalent, da die relativen Schwankungen, das Unterscheidungsmerkmal der Verteilungen überhaupt, verschwinden.