Theorem von Noether - Versionsgeschichte

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	'''Theorem ( E.Noether, 1882-1935)'''		'''Theorem (E.Noether, 1882-1935)'''

	Die Lagrangefunktion		Die Lagrangefunktion

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:28:58Z

Einrückungen Mathematik

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	<math>L({{q}_{1}},...,{{\dot{q}}_{1}},...,t)</math>		:<math>L({{q}_{1}},...,{{\dot{q}}_{1}},...,t)</math>


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	Die Lagrangefunktion		Die Lagrangefunktion
	<math>L({{q}_{1}},...,{{\dot{q}}_{1}},...,t)</math>		:<math>L({{q}_{1}},...,{{\dot{q}}_{1}},...,t)</math>
	eines autonomen Systems sei unter der Transformation		eines autonomen Systems sei unter der Transformation


	<math>\bar{q}\to {{h}^{s}}(\bar{q})</math>		:<math>\bar{q}\to {{h}^{s}}(\bar{q})</math>
	invariant. Dabei ist s ein eindimensionaler Parameter und		invariant. Dabei ist s ein eindimensionaler Parameter und
	<math>{{h}^{s=0}}(\bar{q})=\bar{q}</math>		:<math>{{h}^{s=0}}(\bar{q})=\bar{q}</math>
	die Identität.		die Identität.

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	<math>I(\bar{q},\dot{\bar{q}})=\sum\limits_{i=1}^{f}{\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{q}_{i}}) \right)}_{s=0}}}</math>		:<math>I(\bar{q},\dot{\bar{q}})=\sum\limits_{i=1}^{f}{\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{q}_{i}}) \right)}_{s=0}}}</math>


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	Sei		Sei
	<math>\bar{q}=\bar{q}(t)</math>		:<math>\bar{q}=\bar{q}(t)</math>
	eine Lösung der Lagrangegleichung. Dann ist auch		eine Lösung der Lagrangegleichung. Dann ist auch
	<math>\bar{q}(s,t):={{h}^{s}}(\bar{q},t)</math>		:<math>\bar{q}(s,t):={{h}^{s}}(\bar{q},t)</math>
	Lösung, das heißt:		Lösung, das heißt:


	<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L(\bar{q}(s,t),\dot{\bar{q}}(s,t))}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}=\frac{\partial L(\bar{q}(s,t),\dot{\bar{q}}(s,t))}{\partial {{q}_{i}}}</math>		:<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L(\bar{q}(s,t),\dot{\bar{q}}(s,t))}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}=\frac{\partial L(\bar{q}(s,t),\dot{\bar{q}}(s,t))}{\partial {{q}_{i}}}</math>


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	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \frac{d}{ds}L(\bar{q}(s,t),\dot{\bar{q}}(s,t))=\sum\limits_{i=1}^{f}{\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{i}}}\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}{{\left( \frac{d{{{\dot{q}}}_{i}}}{ds} \right)}_{{}}} \right)=}0 \\		& \frac{d}{ds}L(\bar{q}(s,t),\dot{\bar{q}}(s,t))=\sum\limits_{i=1}^{f}{\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{i}}}\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}{{\left( \frac{d{{{\dot{q}}}_{i}}}{ds} \right)}_{{}}} \right)=}0 \\
	& \Rightarrow \frac{d}{dt}I(\bar{q},\dot{\bar{q}})=\sum\limits_{i=1}^{f}{\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{q}_{i}}) \right)}_{s=0}} \right)=}\sum\limits_{i=1}^{f}{\left( \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}\frac{d}{dt}{{\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)}_{{}}} \right)} \\		& \Rightarrow \frac{d}{dt}I(\bar{q},\dot{\bar{q}})=\sum\limits_{i=1}^{f}{\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{q}_{i}}) \right)}_{s=0}} \right)=}\sum\limits_{i=1}^{f}{\left( \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}\frac{d}{dt}{{\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)}_{{}}} \right)} \\
Zeile 52:		Zeile 52:


	<math>\frac{d}{ds}L(\bar{q}(s,t),\dot{\bar{q}}(s,t))=\sum\limits_{i=1}^{f}{\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{i}}}\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}{{\left( \frac{d{{{\dot{q}}}_{i}}}{ds} \right)}_{{}}} \right)=}0</math>		:<math>\frac{d}{ds}L(\bar{q}(s,t),\dot{\bar{q}}(s,t))=\sum\limits_{i=1}^{f}{\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{i}}}\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}{{\left( \frac{d{{{\dot{q}}}_{i}}}{ds} \right)}_{{}}} \right)=}0</math>


Zeile 58:		Zeile 58:


	<math>\frac{d}{dt}I(\bar{q},\dot{\bar{q}})=\frac{d}{ds}L=0</math>		:<math>\frac{d}{dt}I(\bar{q},\dot{\bar{q}})=\frac{d}{ds}L=0</math>

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:08:26Z

Einrückungen Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 17:08 Uhr
Zeile 43:		Zeile 43:
	& \frac{d}{ds}L(\bar{q}(s,t),\dot{\bar{q}}(s,t))=\sum\limits_{i=1}^{f}{\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{i}}}\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}{{\left( \frac{d{{{\dot{q}}}_{i}}}{ds} \right)}_{{}}} \right)=}0 \\		& \frac{d}{ds}L(\bar{q}(s,t),\dot{\bar{q}}(s,t))=\sum\limits_{i=1}^{f}{\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{i}}}\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}{{\left( \frac{d{{{\dot{q}}}_{i}}}{ds} \right)}_{{}}} \right)=}0 \\
	& \Rightarrow \frac{d}{dt}I(\bar{q},\dot{\bar{q}})=\sum\limits_{i=1}^{f}{\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{q}_{i}}) \right)}_{s=0}} \right)=}\sum\limits_{i=1}^{f}{\left( \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}\frac{d}{dt}{{\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)}_{{}}} \right)} \\		& \Rightarrow \frac{d}{dt}I(\bar{q},\dot{\bar{q}})=\sum\limits_{i=1}^{f}{\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{q}_{i}}) \right)}_{s=0}} \right)=}\sum\limits_{i=1}^{f}{\left( \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}\frac{d}{dt}{{\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)}_{{}}} \right)} \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math> Mit <math>\begin{align}


	Mit


	<math>\begin{align}
	& \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}=\frac{\partial L}{\partial {{q}_{i}}} \\		& \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}=\frac{\partial L}{\partial {{q}_{i}}} \\
	& \frac{d}{dt}\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)=\left( \frac{d{{{\dot{q}}}_{i}}}{ds} \right) \\		& \frac{d}{dt}\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)=\left( \frac{d{{{\dot{q}}}_{i}}}{ds} \right) \\

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Mechanik|3|1}} Voraussetzung: '''Autonomes''', das heißt, nicht explizit zeitabhängiges System mit f Freiheitsgraden und…“

2010-08-28T17:42:26Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|3|1}}</noinclude> Voraussetzung: '''Autonomes''', das heißt, nicht explizit zeitabhängiges System mit f Freiheitsgraden und…“

Neue Seite

<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|3|1}}</noinclude>

Voraussetzung: '''Autonomes''', das heißt, nicht explizit zeitabhängiges System mit f Freiheitsgraden und einer Lagrangefunktion

<math>L({{q}_{1}},...,{{\dot{q}}_{1}},...,t)</math>

'''Theorem ( E.Noether, 1882-1935)'''

Die Lagrangefunktion
<math>L({{q}_{1}},...,{{\dot{q}}_{1}},...,t)</math>
eines autonomen Systems sei unter der Transformation

<math>\bar{q}\to {{h}^{s}}(\bar{q})</math>
invariant. Dabei ist s ein eindimensionaler Parameter und
<math>{{h}^{s=0}}(\bar{q})=\bar{q}</math>
die Identität.

Dann gibt es ein Integral der Bewegung

<math>I(\bar{q},\dot{\bar{q}})=\sum\limits_{i=1}^{f}{\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{q}_{i}}) \right)}_{s=0}}}</math>

<u>'''Beweis:'''</u>

Sei
<math>\bar{q}=\bar{q}(t)</math>
eine Lösung der Lagrangegleichung. Dann ist auch
<math>\bar{q}(s,t):={{h}^{s}}(\bar{q},t)</math>
Lösung, das heißt:

<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L(\bar{q}(s,t),\dot{\bar{q}}(s,t))}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}=\frac{\partial L(\bar{q}(s,t),\dot{\bar{q}}(s,t))}{\partial {{q}_{i}}}</math>

Invarianz der Lagrangefunktion für beliebige s:

<math>\begin{align}
& \frac{d}{ds}L(\bar{q}(s,t),\dot{\bar{q}}(s,t))=\sum\limits_{i=1}^{f}{\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{i}}}\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}{{\left( \frac{d{{{\dot{q}}}_{i}}}{ds} \right)}_{{}}} \right)=}0 \\
& \Rightarrow \frac{d}{dt}I(\bar{q},\dot{\bar{q}})=\sum\limits_{i=1}^{f}{\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{q}_{i}}) \right)}_{s=0}} \right)=}\sum\limits_{i=1}^{f}{\left( \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}\frac{d}{dt}{{\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)}_{{}}} \right)} \\
\end{align}</math>

Mit

<math>\begin{align}
& \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}=\frac{\partial L}{\partial {{q}_{i}}} \\
& \frac{d}{dt}\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)=\left( \frac{d{{{\dot{q}}}_{i}}}{ds} \right) \\
\end{align}</math>

und mit Hilfe von

<math>\frac{d}{ds}L(\bar{q}(s,t),\dot{\bar{q}}(s,t))=\sum\limits_{i=1}^{f}{\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{i}}}\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}{{\left( \frac{d{{{\dot{q}}}_{i}}}{ds} \right)}_{{}}} \right)=}0</math>

folgt dann:

<math>\frac{d}{dt}I(\bar{q},\dot{\bar{q}})=\frac{d}{ds}L=0</math>