Symplektische Struktur des Phasenraums - Versionsgeschichte

Schubotz am 9. August 2011 um 12:26 Uhr

2011-08-09T12:26:49Z

Schubotz: Änderungen von 216.118.70.2 (Diskussion) rückgängig gemacht und letzte Version von 202.46.127.228 wiederhergestellt

2011-08-09T12:24:55Z

Änderungen von 216.118.70.2 (Diskussion) rückgängig gemacht und letzte Version von 202.46.127.228 wiederhergestellt

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	Youre a real deep thikenr. Thanks for sharing.		Youre a real deep thikenr. Thanks for sharing.

	~~Smack-dab what I was lokoing forty!~~		====Definition:====
			Die Menge der Matrizen M (kanonische Trafo) mit


			:<math>{{M}^{T}}JM=J</math>
			bildet die reelle symplektische Gruppe S über
			:<math>{{R}^{2f}}</math>.


			Dies ist die Symmetriegruppe der symplektischen Struktur.

			Furrealz? That's marvelosluy good to know.

216.118.70.2: /* Definition: */

2011-07-02T15:54:22Z

Definition:

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	Youre a real deep thikenr. Thanks for sharing.		Youre a real deep thikenr. Thanks for sharing.

	~~====Definition:====~~		Smack-dab what I was lokoing forty!
	~~Die Menge der Matrizen M (kanonische Trafo) mit~~


	~~:<math>{{M}^{T}}JM=J</math>~~
	~~bildet die reelle symplektische Gruppe S über~~
	~~:<math>{{R}^{2f}}</math>.~~


	~~Dies ist die Symmetriegruppe der symplektischen Struktur.~~

	~~Furrealz? That's marvelosluy good to know.~~

202.46.127.228: /* Beweis: */

2011-07-02T07:07:20Z

Beweis:

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	~~====Beweis:====~~		Youre a real deep thikenr. Thanks for sharing.
	~~In Matrixform lautet diese Gleichung:~~


	~~:<math>M=J{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}}</math>~~


	~~Die linke Seite (M) lautet:~~


	~~:<math>M=\left( \begin{matrix}~~
	~~\frac{\partial q}{\partial Q} & \frac{\partial q}{\partial P} \\~~
	~~\frac{\partial p}{\partial Q} & \frac{\partial p}{\partial P} \\~~
	~~\end{matrix} \right)</math>~~


	~~Die rechte Seite lautet:~~


	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& J{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}}=\left( \begin{matrix}~~
	~~0 & 1 \\~~
	~~-1 & 0 \\~~
	~~\end{matrix} \right){{\left[ \left( \begin{matrix}~~
	~~0 & 1 \\~~
	~~-1 & 0 \\~~
	~~\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}~~
	~~\frac{\partial Q}{\partial q} & \frac{\partial Q}{\partial p} \\~~
	~~\frac{\partial P}{\partial q} & \frac{\partial P}{\partial p} \\~~
	~~\end{matrix} \right) \right]}^{T}}=\left( \begin{matrix}~~
	~~0 & 1 \\~~
	~~-1 & 0 \\~~
	~~\end{matrix} \right){{\left( \begin{matrix}~~
	~~\frac{\partial P}{\partial q} & \frac{\partial P}{\partial p} \\~~
	~~-\frac{\partial Q}{\partial q} & -\frac{\partial Q}{\partial p} \\~~
	~~\end{matrix} \right)}^{T}} \\~~
	~~& =\left( \begin{matrix}~~
	~~0 & 1 \\~~
	~~-1 & 0 \\~~
	~~\end{matrix} \right){{\left( \begin{matrix}~~
	~~{{\left( \frac{\partial P}{\partial q} \right)}^{T}} & -{{\left( \frac{\partial Q}{\partial q} \right)}^{T}} \\~~
	~~{{\left( \frac{\partial P}{\partial p} \right)}^{T}} & -{{\left( \frac{\partial Q}{\partial p} \right)}^{T}} \\~~
	~~\end{matrix} \right)}^{{}}}=\left( \begin{matrix}~~
	~~{{\left( \frac{\partial P}{\partial p} \right)}^{T}} & -{{\left( \frac{\partial Q}{\partial p} \right)}^{T}} \\~~
	~~-{{\left( \frac{\partial P}{\partial q} \right)}^{T}} & {{\left( \frac{\partial Q}{\partial q} \right)}^{T}} \\~~
	~~\end{matrix} \right) \\~~
	~~\end{align}</math>~~


	~~Die Matrixform für die Erzeugenden läßt sich folgendermaßen äquivalent umformen:~~


	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& M=J{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}} \\~~
	~~& \Rightarrow JM=-{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}}=-{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}{{J}^{T}} \\~~
	~~& \Rightarrow {{M}^{T}}JM=-{{M}^{T}}{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}{{J}^{T}}=-{{\left( {{M}^{-1}}M \right)}^{T}}{{J}^{T}}=-{{J}^{T}}=J \\~~
	~~& {{M}^{T}}JM=J \\~~
	~~\end{align}</math>~~


	~~Dabei ist J der metrische Tensor und M die Matrix der 2~~. ~~Ableitungen der Erzeugenden der kanonischen Transformation, also die Jacobi- Matrix für die Erzeugenden der kanonischen Trafo~~.

	~~Dies bedeutet jedoch nichts anderes als: Die Metrik im Phasenraum ist invariant unter kanonischen Transformationen!~~

	~~J definiert dabei eine Metrik über das verallgemeinerte schiefsymmetrische Skalarprodukt:~~


	~~:<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right):={{\bar{x}}^{T}}J\bar{y}=\sum\limits_{i,k=1}^{2f}{{{x}_{i}}{{J}_{ik}}{{y}_{k}}}</math>~~


	~~es handelt sich dabei um eine schiefsymmetrische, nichtentartete Bilinearform~~

	~~Eigenschaften:~~

	~~# Schiefsymmetrie:~~
	~~:<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right)=-\left( \bar{y},\bar{x} \right)</math>,~~
	~~Beweis:~~
	~~:<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right)={{\bar{x}}^{T}}J\bar{y}={{\left( {{{\bar{y}}}^{T}}{{J}^{T}}\bar{x} \right)}^{T}}=-{{\bar{y}}^{T}}{{J}^{{}}}\bar{x}=-\left( \bar{y},\bar{x} \right)</math>~~

	~~# bilinear:~~
	:<math>\left( \bar{x},{{\lambda }_{1}}{{{\bar{y}}}_{1}}+{{\lambda }_{2}}{{{\bar{y}}}_{2}} \right)={{\lambda }_{1}}\left( \bar{x},{{{\bar{y}}}_{1}} \right)+{{\lambda }_{2}}\left( \bar{x},{{{\bar{y}}}_{2}} \right)</math>

	~~# nichtentartet:~~
	~~:<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right)=0\forall \bar{y}\Rightarrow \bar{x}=0</math>~~


	~~Nebenbemerkung: Es gilt:~~
	~~:<math>\left( \bar{x},\bar{x} \right)=0\forall \bar{x}</math>~~
	~~Also Selbstorthogonalität~~

	~~Beweis:~~
	~~:<math>{{\bar{x}}^{T}}J\bar{x}=\left( \begin{matrix}~~
	~~q & p \\~~
	~~\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}~~
	~~0 & 1 \\~~
	~~-1 & 0 \\~~
	~~\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}~~
	~~q \\~~
	~~p \\~~
	~~\end{matrix} \right)=qp-pq=0</math>~~


	~~Die Symplektische Struktur auf dem~~
	~~:<math>{{R}^{2f}}</math>~~
	~~ist von einer euklidischen Metrik grundsätzlich zu unterscheiden:~~


	~~:<math>{{\left( \bar{x},\bar{y} \right)}_{Eu}}=\sum\limits_{i}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}=}{{\bar{x}}^{T}}g\bar{y}</math>~~


	~~Mit dem metrischen Tensor g, einer 2fx2f dimensionalen Einheitsmatrix!~~

	~~Im Euklidischen gelten jedoch die Relationen:~~


	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& \left( \bar{x},\bar{y} \right)=\left( \bar{y},\bar{x} \right) \\~~
	~~& \left( \bar{x},\bar{x} \right)\ge 0 \\~~
	~~\end{align}</math>~~


	====Definition:====		====Definition:====

87.252.5.128: /* Gruppeneigenschaften */

2011-07-01T23:55:13Z

Gruppeneigenschaften

← Nächstältere Version		Version vom 2. Juli 2011, 01:55 Uhr
Zeile 323:		Zeile 323:
	Dies ist die Symmetriegruppe der symplektischen Struktur.		Dies ist die Symmetriegruppe der symplektischen Struktur.

	~~====Gruppeneigenschaften====~~		Furrealz? That's marvelosluy good to know.

	1.
	~~:<math>{{M}_{1}},{{M}_{2}}\in S\Rightarrow {{M}_{3}}={{M}_{1}}{{M}_{2}}\in S</math>~~


	~~Beweis:~~
	~~:<math>{{M}_{3}}^{T}J{{M}_{3}}={{\left( {{M}_{1}}{{M}_{2}} \right)}^{T}}J\left( {{M}_{1}}{{M}_{2}} \right)={{M}_{2}}^{T}{{M}_{1}}^{T}J{{M}_{1}}{{M}_{2}}={{M}_{2}}^{T}J{{M}_{2}}=J</math>~~


	~~2. Assoziativität (matrixmultiplikation!)~~

	~~3. Einselement Einheitsmatrix!~~

	~~# Inverse:~~
	~~:<math>{{M}^{-1}}:={{J}^{-1}}{{M}^{T}}J</math>~~

	~~Beweis:~~
	~~:<math>{{M}^{-1}}M=\left( {{J}^{-1}}{{M}^{T}}J \right)M={{J}^{-1}}\left( {{M}^{T}}JM \right)={{J}^{-1}}J=1</math>~~


	~~Dabei gilt :~~
	~~:<math>{{M}^{T}},J\in S</math>~~
	~~Beweis: Übungsaufgabe~~

	~~# Weiter gilt:~~
	~~:<math>\det M=1</math>~~
	~~Beweis: Übungsaufgabe oder Scheck, S. 102~~

	~~Fazit:~~

	~~Die Invarianz der kanonischen Gleichungen~~
	~~:<math>\dot{\bar{x}}:=A\bar{x}=J{{\bar{H}}_{,x}}</math>~~
	~~kann durch di symplektische Struktur des Phasenraums beschrieben werden:~~


	~~:<math>\begin{align}~~
	& {{{\dot{y}}}_{i}}=\sum\limits_{k}^{{}}{\frac{\partial {{y}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}{{{\dot{x}}}_{k}}}\Leftrightarrow \dot{\bar{y}}={{M}^{-1}}\dot{\bar{x}}=\left( {{J}^{-1}}{{M}^{T}}J \right)J{{{\bar{H}}}_{,x}} \\
	& \frac{\partial \bar{H}}{\partial {{y}_{i}}}=\sum\limits_{k}^{{}}{\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{x}_{k}}}\frac{\partial {{x}_{k}}}{\partial {{y}_{i}}}\Leftrightarrow {{{\bar{H}}}_{,y}}={{M}^{T}}{{{\bar{H}}}_{,x}}} \\
	& \Rightarrow \dot{\bar{y}}=\left( {{J}^{-1}}{{M}^{T}}J \right)J{{\left( {{M}^{T}} \right)}^{-1}}{{{\bar{H}}}_{,y}}=-J\left( -1 \right){{M}^{T}}{{\left( {{M}^{T}} \right)}^{-1}}{{{\bar{H}}}_{,y}}=J{{{\bar{H}}}_{,y}} \\
	~~\end{align}</math>~~

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (5), ( → ( (4)

2010-09-12T22:32:18Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (5), ( → ( (4)

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:32 Uhr
Zeile 25:		Zeile 25:
	-1 & 0 \\		-1 & 0 \\
	\end{matrix} \right)</math>		\end{matrix} \right)</math>
	ist Metrik im Phasenraum ( metrischer Tensor)		ist Metrik im Phasenraum (metrischer Tensor)

	In diesem Fall lassen sich die kanonischen Gleichungen vereinfacht schreiben als:		In diesem Fall lassen sich die kanonischen Gleichungen vereinfacht schreiben als:
Zeile 111:		Zeile 111:


	Dies gilt für Hamiltonsche Systeme ! ( Einschränkung an die Dynamik im Phasenraum)		Dies gilt für Hamiltonsche Systeme! (Einschränkung an die Dynamik im Phasenraum)

	====Kanonische Transformationen in kompakter Notation====		====Kanonische Transformationen in kompakter Notation====
Zeile 253:		Zeile 253:
	Dabei ist J der metrische Tensor und M die Matrix der 2. Ableitungen der Erzeugenden der kanonischen Transformation, also die Jacobi- Matrix für die Erzeugenden der kanonischen Trafo.		Dabei ist J der metrische Tensor und M die Matrix der 2. Ableitungen der Erzeugenden der kanonischen Transformation, also die Jacobi- Matrix für die Erzeugenden der kanonischen Trafo.

	Dies bedeutet jedoch nichts anderes als: Die Metrik im Phasenraum ist invariant unter kanonischen Transformationen !		Dies bedeutet jedoch nichts anderes als: Die Metrik im Phasenraum ist invariant unter kanonischen Transformationen!

	J definiert dabei eine Metrik über das verallgemeinerte schiefsymmetrische Skalarprodukt:		J definiert dabei eine Metrik über das verallgemeinerte schiefsymmetrische Skalarprodukt:
Zeile 266:		Zeile 266:

	# Schiefsymmetrie:		# Schiefsymmetrie:
	:<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right)=-\left( \bar{y},\bar{x} \right)</math>		:<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right)=-\left( \bar{y},\bar{x} \right)</math>,
	, Beweis:		Beweis:
	:<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right)={{\bar{x}}^{T}}J\bar{y}={{\left( {{{\bar{y}}}^{T}}{{J}^{T}}\bar{x} \right)}^{T}}=-{{\bar{y}}^{T}}{{J}^{{}}}\bar{x}=-\left( \bar{y},\bar{x} \right)</math>		:<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right)={{\bar{x}}^{T}}J\bar{y}={{\left( {{{\bar{y}}}^{T}}{{J}^{T}}\bar{x} \right)}^{T}}=-{{\bar{y}}^{T}}{{J}^{{}}}\bar{x}=-\left( \bar{y},\bar{x} \right)</math>

Zeile 301:		Zeile 301:


	Mit dem metrischen Tensor g, einer 2fx2f dimensionalen Einheitsmatrix !		Mit dem metrischen Tensor g, einer 2fx2f dimensionalen Einheitsmatrix!

	Im Euklidischen gelten jedoch die Relationen:		Im Euklidischen gelten jedoch die Relationen:
Zeile 313:		Zeile 313:

	====Definition:====		====Definition:====
	Die Menge der Matrizen M ( kanonische Trafo) mit		Die Menge der Matrizen M (kanonische Trafo) mit


	:<math>{{M}^{T}}JM=J</math>		:<math>{{M}^{T}}JM=J</math>
	bildet die reelle symplektische Gruppe S über		bildet die reelle symplektische Gruppe S über
	:<math>{{R}^{2f}}</math>		:<math>{{R}^{2f}}</math>.
	.

	Dies ist die Symmetriegruppe der symplektischen Struktur.		Dies ist die Symmetriegruppe der symplektischen Struktur.
Zeile 333:		Zeile 333:


	2. Assoziativität ( matrixmultiplikation !)		2. Assoziativität (matrixmultiplikation!)

	3. Einselement Einheitsmatrix !		3. Einselement Einheitsmatrix!

	# Inverse:		# Inverse:

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:28:56Z

Einrückungen Mathematik

Änderungen zeigen

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Mechanik|4|4}} Da die kanonischen Transformationen generalisierte Koordinaten und Impulse ineinander transformieren könn…“

2010-08-28T22:32:57Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|4|4}}</noinclude> Da die kanonischen Transformationen generalisierte Koordinaten und Impulse ineinander transformieren könn…“

Neue Seite

<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|4|4}}</noinclude>

Da die kanonischen Transformationen generalisierte Koordinaten und Impulse ineinander transformieren können, sollten q und p nicht gegeneinander ausgezeichnet sein. Um diese Symmetrie des kanonischen Formalismus auszuzeichnen, wird eine neue Notation eingeführt.

Sei zunächst f= 1

<math>\bar{x}:=\left( \begin{matrix}
q \\
p \\
\end{matrix} \right)</math>
ist Vektor im Phasenraum

<math>{{H}_{,}}_{x}:=\left( \begin{matrix}
\frac{\partial H}{\partial q} \\
\frac{\partial H}{\partial p} \\
\end{matrix} \right)</math>
ist Ableitungsvektor

<math>J:=\left( \begin{matrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{matrix} \right)</math>
ist Metrik im Phasenraum ( metrischer Tensor)

In diesem Fall lassen sich die kanonischen Gleichungen vereinfacht schreiben als:

<math>\dot{\bar{x}}:=J{{H}_{,x}}\Leftrightarrow -J\dot{\bar{x}}={{H}_{,x}}\Leftrightarrow \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p},\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}</math>

Leicht läßt sich zeigen:

<math>\begin{align}
& {{J}^{2}}=-1 \\
& {{J}^{-1}}={{J}^{T}}=-J \\
\end{align}</math>

====Verallgemeinerung auf mehr Freiheitsgrade====

<math>\begin{align}
& \bar{x}:=\left( \begin{matrix}
{{q}_{1}} \\
... \\
{{q}_{f}} \\
{{p}_{1}} \\
... \\
{{p}_{f}} \\
\end{matrix} \right) \\
& {{{\bar{H}}}_{x}}:=\left( \begin{matrix}
\frac{\partial H}{\partial {{q}_{1}}} \\
... \\
\frac{\partial H}{\partial {{q}_{f}}} \\
\frac{\partial H}{\partial {{p}_{1}}} \\
... \\
\frac{\partial H}{\partial {{p}_{f}}} \\
\end{matrix} \right)\quad \quad J:=\left( \begin{matrix}
0 & {{1}_{f}} \\
-{{1}_{f}} & 0 \\
\end{matrix} \right) \\
\end{align}</math>

Die kanonischen Gleichungen lauten

<math>\dot{\bar{x}}:=J{{H}_{x}}\Leftrightarrow -J\dot{\bar{x}}={{H}_{x}}</math>

Beispiel ist ein lineares autonomes System in einer Dimension, also der verallgemeinerte eindimensionale harmonische Oszillator:

<math>\dot{\bar{x}}:=A\bar{x}=J{{H}_{x}}</math>

Diese Gleichung ist abzuleiten aus der Hamiltonfunktion:

<math>H=\frac{1}{2}\left( a{{q}^{2}}+2bqp+c{{p}^{2}} \right)\quad z.\mathbf{B}.a={{\omega }_{0}}^{2},b=0,c=1</math>

<math>\Rightarrow \dot{\bar{x}}:=\left( \begin{matrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
\frac{\partial H}{\partial q} \\
\frac{\partial H}{\partial p} \\
\end{matrix} \right)=\begin{matrix}
bq+cp \\
-aq-bp \\
\end{matrix}</math>

Somit ergibt sich eine Einschränkung an die Matrix A:

<math>\begin{align}
& A=\left( \begin{matrix}
b & c \\
-a & -b \\
\end{matrix} \right) \\
& tr\left( A \right)=0 \\
\end{align}</math>

Dies gilt für Hamiltonsche Systeme ! ( Einschränkung an die Dynamik im Phasenraum)

====Kanonische Transformationen in kompakter Notation====

Aus den 4 Äquivalenten Formen der Erzeugenden für kanonische Transformationen folgt:

#
<math>\begin{align}
& {{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q},t): \\
& \Rightarrow {{p}_{j}}=\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{j}}} \\
& {{P}_{j}}=-\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}} \\
& \Rightarrow \frac{\partial {{p}_{j}}}{\partial {{Q}_{k}}}=\frac{{{\partial }^{2}}{{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}\partial {{q}_{j}}}=-\frac{\partial {{P}_{k}}}{\partial {{q}_{j}}} \\
\end{align}</math>

#
<math>\begin{align}
& {{M}_{2}}(\bar{q},\bar{P},t)={{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q},t)-\sum\limits_{j=1}^{f}{{}}\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}}{{Q}_{j}} \\
& \Rightarrow {{p}_{j}}=\frac{\partial {{M}_{2}}}{\partial {{q}_{j}}} \\
& {{Q}_{j}}=\frac{\partial {{M}_{2}}}{\partial {{P}_{j}}} \\
& \Rightarrow \frac{\partial {{p}_{j}}}{\partial {{P}_{k}}}=\frac{{{\partial }^{2}}{{M}_{2}}}{\partial {{P}_{k}}\partial {{q}_{j}}}=\frac{\partial {{Q}_{k}}}{\partial {{q}_{j}}} \\
\end{align}</math>

#
<math>\begin{align}
& {{M}_{3}}(\bar{p},\bar{Q},t)={{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q},t)-\sum\limits_{j=1}^{f}{{}}\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{j}}}{{q}_{j}} \\
& \Rightarrow {{q}_{j}}=\frac{\partial {{M}_{3}}}{\partial {{p}_{j}}} \\
& {{P}_{j}}=-\frac{\partial {{M}_{3}}}{\partial {{Q}_{j}}} \\
& \Rightarrow \frac{\partial {{q}_{j}}}{\partial {{Q}_{k}}}=-\frac{{{\partial }^{2}}{{M}_{3}}}{\partial {{Q}_{k}}\partial {{p}_{j}}}=\frac{\partial {{P}_{k}}}{\partial {{p}_{j}}} \\
\end{align}</math>

#
<math>\begin{align}
& {{M}_{4}}(\bar{p},\bar{P},t)={{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q},t)-\sum\limits_{j=1}^{f}{{}}\left( \frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}}{{Q}_{j}}+\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{j}}}{{q}_{j}} \right) \\
& \Rightarrow {{q}_{j}}=-\frac{\partial {{M}_{4}}}{\partial {{p}_{j}}} \\
& {{Q}_{j}}=\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{P}_{j}}}={{q}_{j}} \\
& \Rightarrow \frac{\partial {{q}_{j}}}{\partial {{P}_{k}}}=\frac{{{\partial }^{2}}{{M}_{1}}}{\partial {{P}_{k}}\partial {{p}_{j}}}=-\frac{\partial {{Q}_{k}}}{\partial {{p}_{j}}} \\
\end{align}</math>

Dabei sind:

<math>\bar{x}:=\left( \begin{matrix}
{{q}_{1}} \\
... \\
{{q}_{f}} \\
{{p}_{1}} \\
... \\
{{p}_{f}} \\
\end{matrix} \right)\quad \quad \bar{y}:=\left( \begin{matrix}
{{Q}_{1}} \\
... \\
{{Q}_{f}} \\
{{P}_{1}} \\
... \\
{{P}_{f}} \\
\end{matrix} \right)</math>

<math>\begin{align}
& {{M}_{\alpha \beta }}=\frac{\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{y}_{\beta }}} \\
& {{\left( {{M}^{-1}} \right)}_{\alpha \beta }}:=\frac{\partial {{y}_{\alpha }}}{\partial {{x}_{\beta }}}\quad \quad \alpha ,\beta =1,...,2f \\
\end{align}</math>

====Beweis:====

<math>\sum\limits_{\gamma =1}^{2f}{{}}{{M}_{\alpha \gamma }}{{\left( {{M}^{-1}} \right)}_{\gamma \beta }}=\sum\limits_{\gamma =1}^{2f}{{}}\frac{\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{y}_{\gamma }}}\frac{\partial {{y}_{\gamma }}}{\partial {{x}_{\beta }}}=\frac{\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{x}_{\beta }}}={{\delta }_{\alpha \beta }}</math>

Damit läßt sich eine einheitliche Schreibweise finden für die Relationen aller Erzeugenden:

<math>{{M}_{\alpha \beta }}=\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{2f}{{{J}_{\alpha \mu }}{{J}_{\beta \nu }}{{\left( {{M}^{-1}} \right)}_{\mu \nu }}}</math>

====Beweis:====
In Matrixform lautet diese Gleichung:

<math>M=J{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}}</math>

Die linke Seite (M) lautet:

<math>M=\left( \begin{matrix}
\frac{\partial q}{\partial Q} & \frac{\partial q}{\partial P} \\
\frac{\partial p}{\partial Q} & \frac{\partial p}{\partial P} \\
\end{matrix} \right)</math>

Die rechte Seite lautet:

<math>\begin{align}
& J{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}}=\left( \begin{matrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{matrix} \right){{\left[ \left( \begin{matrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
\frac{\partial Q}{\partial q} & \frac{\partial Q}{\partial p} \\
\frac{\partial P}{\partial q} & \frac{\partial P}{\partial p} \\
\end{matrix} \right) \right]}^{T}}=\left( \begin{matrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{matrix} \right){{\left( \begin{matrix}
\frac{\partial P}{\partial q} & \frac{\partial P}{\partial p} \\
-\frac{\partial Q}{\partial q} & -\frac{\partial Q}{\partial p} \\
\end{matrix} \right)}^{T}} \\
& =\left( \begin{matrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{matrix} \right){{\left( \begin{matrix}
{{\left( \frac{\partial P}{\partial q} \right)}^{T}} & -{{\left( \frac{\partial Q}{\partial q} \right)}^{T}} \\
{{\left( \frac{\partial P}{\partial p} \right)}^{T}} & -{{\left( \frac{\partial Q}{\partial p} \right)}^{T}} \\
\end{matrix} \right)}^{{}}}=\left( \begin{matrix}
{{\left( \frac{\partial P}{\partial p} \right)}^{T}} & -{{\left( \frac{\partial Q}{\partial p} \right)}^{T}} \\
-{{\left( \frac{\partial P}{\partial q} \right)}^{T}} & {{\left( \frac{\partial Q}{\partial q} \right)}^{T}} \\
\end{matrix} \right) \\
\end{align}</math>

Die Matrixform für die Erzeugenden läßt sich folgendermaßen äquivalent umformen:

<math>\begin{align}
& M=J{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}} \\
& \Rightarrow JM=-{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}}=-{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}{{J}^{T}} \\
& \Rightarrow {{M}^{T}}JM=-{{M}^{T}}{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}{{J}^{T}}=-{{\left( {{M}^{-1}}M \right)}^{T}}{{J}^{T}}=-{{J}^{T}}=J \\
& {{M}^{T}}JM=J \\
\end{align}</math>

Dabei ist J der metrische Tensor und M die Matrix der 2. Ableitungen der Erzeugenden der kanonischen Transformation, also die Jacobi- Matrix für die Erzeugenden der kanonischen Trafo.

Dies bedeutet jedoch nichts anderes als: Die Metrik im Phasenraum ist invariant unter kanonischen Transformationen !

J definiert dabei eine Metrik über das verallgemeinerte schiefsymmetrische Skalarprodukt:

<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right):={{\bar{x}}^{T}}J\bar{y}=\sum\limits_{i,k=1}^{2f}{{{x}_{i}}{{J}_{ik}}{{y}_{k}}}</math>

es handelt sich dabei um eine schiefsymmetrische, nichtentartete Bilinearform

Eigenschaften:

# Schiefsymmetrie:
<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right)=-\left( \bar{y},\bar{x} \right)</math>
, Beweis:
<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right)={{\bar{x}}^{T}}J\bar{y}={{\left( {{{\bar{y}}}^{T}}{{J}^{T}}\bar{x} \right)}^{T}}=-{{\bar{y}}^{T}}{{J}^{{}}}\bar{x}=-\left( \bar{y},\bar{x} \right)</math>

# bilinear:
<math>\left( \bar{x},{{\lambda }_{1}}{{{\bar{y}}}_{1}}+{{\lambda }_{2}}{{{\bar{y}}}_{2}} \right)={{\lambda }_{1}}\left( \bar{x},{{{\bar{y}}}_{1}} \right)+{{\lambda }_{2}}\left( \bar{x},{{{\bar{y}}}_{2}} \right)</math>

# nichtentartet:
<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right)=0\forall \bar{y}\Rightarrow \bar{x}=0</math>

Nebenbemerkung: Es gilt:
<math>\left( \bar{x},\bar{x} \right)=0\forall \bar{x}</math>
Also Selbstorthogonalität

Beweis:
<math>{{\bar{x}}^{T}}J\bar{x}=\left( \begin{matrix}
q & p \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
q \\
p \\
\end{matrix} \right)=qp-pq=0</math>

Die Symplektische Struktur auf dem
<math>{{R}^{2f}}</math>
ist von einer euklidischen Metrik grundsätzlich zu unterscheiden:

<math>{{\left( \bar{x},\bar{y} \right)}_{Eu}}=\sum\limits_{i}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}=}{{\bar{x}}^{T}}g\bar{y}</math>

Mit dem metrischen Tensor g, einer 2fx2f dimensionalen Einheitsmatrix !

Im Euklidischen gelten jedoch die Relationen:

<math>\begin{align}
& \left( \bar{x},\bar{y} \right)=\left( \bar{y},\bar{x} \right) \\
& \left( \bar{x},\bar{x} \right)\ge 0 \\
\end{align}</math>

====Definition:====
Die Menge der Matrizen M ( kanonische Trafo) mit

<math>{{M}^{T}}JM=J</math>
bildet die reelle symplektische Gruppe S über
<math>{{R}^{2f}}</math>
.

Dies ist die Symmetriegruppe der symplektischen Struktur.

====Gruppeneigenschaften====

1.
<math>{{M}_{1}},{{M}_{2}}\in S\Rightarrow {{M}_{3}}={{M}_{1}}{{M}_{2}}\in S</math>

Beweis:
<math>{{M}_{3}}^{T}J{{M}_{3}}={{\left( {{M}_{1}}{{M}_{2}} \right)}^{T}}J\left( {{M}_{1}}{{M}_{2}} \right)={{M}_{2}}^{T}{{M}_{1}}^{T}J{{M}_{1}}{{M}_{2}}={{M}_{2}}^{T}J{{M}_{2}}=J</math>

2. Assoziativität ( matrixmultiplikation !)

3. Einselement Einheitsmatrix !

# Inverse:
<math>{{M}^{-1}}:={{J}^{-1}}{{M}^{T}}J</math>

Beweis:
<math>{{M}^{-1}}M=\left( {{J}^{-1}}{{M}^{T}}J \right)M={{J}^{-1}}\left( {{M}^{T}}JM \right)={{J}^{-1}}J=1</math>

Dabei gilt :
<math>{{M}^{T}},J\in S</math>
Beweis: Übungsaufgabe

# Weiter gilt:
<math>\det M=1</math>
Beweis: Übungsaufgabe oder Scheck, S. 102

Fazit:

Die Invarianz der kanonischen Gleichungen
<math>\dot{\bar{x}}:=A\bar{x}=J{{\bar{H}}_{,x}}</math>
kann durch di symplektische Struktur des Phasenraums beschrieben werden:

<math>\begin{align}
& {{{\dot{y}}}_{i}}=\sum\limits_{k}^{{}}{\frac{\partial {{y}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}{{{\dot{x}}}_{k}}}\Leftrightarrow \dot{\bar{y}}={{M}^{-1}}\dot{\bar{x}}=\left( {{J}^{-1}}{{M}^{T}}J \right)J{{{\bar{H}}}_{,x}} \\
& \frac{\partial \bar{H}}{\partial {{y}_{i}}}=\sum\limits_{k}^{{}}{\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{x}_{k}}}\frac{\partial {{x}_{k}}}{\partial {{y}_{i}}}\Leftrightarrow {{{\bar{H}}}_{,y}}={{M}^{T}}{{{\bar{H}}}_{,x}}} \\
& \Rightarrow \dot{\bar{y}}=\left( {{J}^{-1}}{{M}^{T}}J \right)J{{\left( {{M}^{T}} \right)}^{-1}}{{{\bar{H}}}_{,y}}=-J\left( -1 \right){{M}^{T}}{{\left( {{M}^{T}} \right)}^{-1}}{{{\bar{H}}}_{,y}}=J{{{\bar{H}}}_{,y}} \\
\end{align}</math>