Streuamplitude und Streuquerschnitt - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (6), ( → (

2010-09-12T22:45:28Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (6), ( → (

*>SchuBot: Pfeile einfügen, replaced: -> → →

2010-09-12T20:08:14Z

Pfeile einfügen, replaced: -> → →

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Zeile 9:		Zeile 9:

	das Potenzial muss also eine endliche Reichweite haben.		das Potenzial muss also eine endliche Reichweite haben.
	Zum Integral der Lippmann- Schwinger Gleichung trägt dann für ~~r->~~ unendlich der Integrand nur mit <math>r\acute{\ }<<r</math>		Zum Integral der Lippmann- Schwinger Gleichung trägt dann für r→ unendlich der Integrand nur mit <math>r\acute{\ }<<r</math>
	bei.		bei.
	r´ kennzeichnet das Gebiet des Potenzials. Wenn dieses viel kleiner ist und man sich vor allem für die {{FB\|Fernfeldlösungen}} interessiert, so kann der Integrand in diesem Fall geschickt genähert werden, was die Integrale lösbar macht. !		r´ kennzeichnet das Gebiet des Potenzials. Wenn dieses viel kleiner ist und man sich vor allem für die {{FB\|Fernfeldlösungen}} interessiert, so kann der Integrand in diesem Fall geschickt genähert werden, was die Integrale lösbar macht. !

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:47:28Z

Einrückungen Mathematik

Schubotz am 7. September 2010 um 23:14 Uhr

2010-09-07T23:14:01Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. September 2010, 01:14 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|6\|2}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|6\|2}}</noinclude>

	Voraussetzung <math>\begin{matrix}		<u>Voraussetzung</u> <math>\begin{matrix}
	\lim \\		\lim \\
	r\acute{\ }\to \infty \\		r\acute{\ }\to \infty \\
	\end{matrix}V(\bar{r}\acute{\ })=0</math>		\end{matrix}V(\bar{r}\acute{\ })=0</math> hinreichend rasch!
	~~HINREICHEND RASCH~~ !

	Ansonsten versagen die Näherungsmethoden, die hier gemacht werden.		Ansonsten versagen die Näherungsmethoden, die hier gemacht werden.
Zeile 12:		Zeile 11:
	Zum Integral der Lippmann- Schwinger Gleichung trägt dann für r-> unendlich der Integrand nur mit <math>r\acute{\ }<<r</math>		Zum Integral der Lippmann- Schwinger Gleichung trägt dann für r-> unendlich der Integrand nur mit <math>r\acute{\ }<<r</math>
	bei.		bei.
	r´ kennzeichnet das Gebiet des Potenzials. Wenn dieses viel kleiner ist und man sich vor allem für die Fernfeldlösungen interessiert, so kann der Integrand in diesem Fall geschickt genähert werden, was die Integrale lösbar macht. !		r´ kennzeichnet das Gebiet des Potenzials. Wenn dieses viel kleiner ist und man sich vor allem für die {{FB\|Fernfeldlösungen}} interessiert, so kann der Integrand in diesem Fall geschickt genähert werden, was die Integrale lösbar macht. !

	Wir können also		Wir können also <math>{{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=-\frac{{{e}^{ik\|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}}}{4\pi \|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}</math>
	<math>{{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=-\frac{{{e}^{ik\|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}}}{4\pi \|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}</math>
	für r>> r´ entwickeln:		für r>> r´ entwickeln:
	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|=\sqrt{{{\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}^{2}}}=\sqrt{\left( {{{\bar{r}}}^{2}}-2\bar{r}\bar{r}\acute{\ }+\bar{r}\acute{\ } \right)}=r\sqrt{\left( 1-2\frac{\bar{r}\bar{r}\acute{\ }}{{{r}^{2}}}+{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}\approx r\sqrt{\left( 1-2\frac{\bar{r}\bar{r}\acute{\ }}{{{r}^{2}}} \right)\approx }r-\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}} \\		& \|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|=\sqrt{{{\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}^{2}}}=\sqrt{\left( {{{\bar{r}}}^{2}}-2\bar{r}\bar{r}\acute{\ }+\bar{r}\acute{\ } \right)}=r\sqrt{\left( 1-2\frac{\bar{r}\bar{r}\acute{\ }}{{{r}^{2}}}+{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}\approx r\sqrt{\left( 1-2\frac{\bar{r}\bar{r}\acute{\ }}{{{r}^{2}}} \right)\approx }r-\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}} \\
	& {{{\bar{e}}}_{r}}=\frac{{\bar{r}}}{r} \\		& {{{\bar{e}}}_{r}}=\frac{{\bar{r}}}{r} \\
Zeile 23:		Zeile 21:

	Somit		Somit
	<math>{{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\cong -\frac{{{e}^{ik\left( r-\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}} \right)}}}{4\pi r}</math>		:<math>{{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\cong -\frac{{{e}^{ik\left( r-\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}} \right)}}}{4\pi r}</math>


			Dabei bezeichnet <math>{{e}^{ik\left( r-\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}} \right)}}</math> die {{FB\|Streuphase}}, die uns die Information über die Richtungsverteilung des Streuprozess liefert !
			<math>\frac{1}{4\pi r}</math> ist die {{FB\|Streuamplitude}}, die sich wie eine Kugelwellenamplitude verhält !
			Dabei wird in der Amplitude der Greenschen Funktion stärker genähert als in der Phase. Dies ist gerechtfertigt, das uns die Streurichtung mehr interessiert als die Streuamplitude!

	~~Dabei bezeichnet <math>{{e}^{ik\left( r-\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}} \right)}}</math>~~
	~~die Streuphase, die uns die Information über die Richtungsverteilung des Streuprozess liefert !~~
	~~<math>\frac{1}{4\pi r}</math>~~
	~~ist die Streuamplitude, die sich wie eine Kugelwellenamplitude verhält !~~
	~~Dabei wird in der Amplitude der Greenschen Funktion stärker genähert als in der Phase. Dies ist gerechtfertigt, das uns die Streurichtung mehr interessiert als die Streuamplitude !~~
	<math>{{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\cong -\frac{{{e}^{ikr}}}{4\pi r}{{e}^{-ik\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}}}}</math>		<math>{{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\cong -\frac{{{e}^{ikr}}}{4\pi r}{{e}^{-ik\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}}}}</math>

	Dies ist der für große Abstände genäherte Greensche Operator ! ( Da es sich bei dieser Art der " Greenschen Funktion" eigentlich um einen Operator handelt, ist es besser, von einem Greenschen Operator zu sprechen !		Dies ist der für große Abstände genäherte Greensche Operator! ( Da es sich bei dieser Art der " Greenschen Funktion" eigentlich um einen Operator handelt, ist es besser, von einem Greenschen Operator zu sprechen !
	Das Asymptotische Verhalten der Lippmann- Schwinger- Gleichung für r- > unendlich kann also angegeben		Das Asymptotische Verhalten der Lippmann- Schwinger- Gleichung für r- > unendlich kann also angegeben
	werden:		werden:

	<math>\begin{matrix}		:<math>\begin{matrix}
	\lim \\		\lim \\
	r->\infty \\		r->\infty \\
Zeile 44:		Zeile 40:


	<math>\begin{matrix}		:<math>\begin{matrix}
	\lim \\		\lim \\
	r->\infty \\		r->\infty \\
Zeile 51:		Zeile 47:
	Dies ist im Limes für r- > unendlich eine exakte Lösung !		Dies ist im Limes für r- > unendlich eine exakte Lösung !

	<math>{{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}</math>		* <math>{{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}</math> als '''durchlaufende Welle'''
	als durchlaufende Welle		* <math>\frac{{{e}^{ikr}}}{4\pi r}</math> als '''auslaufende Kugelwelle'''
	<math>\frac{{{e}^{ikr}}}{4\pi r}</math>
	als auslaufende Kugelwelle

	Dabei besitzt die auslaufende Kugelwelle die Streuamplitude		Dabei besitzt die auslaufende Kugelwelle die Streuamplitude
	<math>f({{\bar{e}}_{r}})=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{e}^{-ik\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}}}}V(\bar{r}\acute{\ }){{\Psi }^{(+)}}(\bar{r}\acute{\ })</math>		:<math>f({{\bar{e}}_{r}})=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{e}^{-ik\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}}}}V(\bar{r}\acute{\ }){{\Psi }^{(+)}}(\bar{r}\acute{\ })</math>


	Man sieht, dass die Amplitude dieser Streuwelle, eine Kugelwelle, von der Beobachtungsrichtung		Man sieht, dass die Amplitude dieser Streuwelle, eine Kugelwelle, von der Beobachtungsrichtung <math>{{\bar{e}}_{r}}=\frac{{\bar{r}}}{r}</math> abhängt:
	<math>{{\bar{e}}_{r}}=\frac{{\bar{r}}}{r}</math>
	abhängt:
	Die Streuung ist elastisch !		Die Streuung ist elastisch !


	~~0.1.1~~ Wirkungsquerschnitt		==Wirkungsquerschnitt==

	Macht Sinn als Definition entsprechend einer Streuung eines Teilchenstrahls an einem undurchdringlichen Streuzentrum.		Macht Sinn als Definition entsprechend einer Streuung eines Teilchenstrahls an einem undurchdringlichen Streuzentrum.
Zeile 74:		Zeile 66:
	<math>\frac{Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}=\frac{\sigma }{Strahlfl\ddot{a}che}</math>		<math>\frac{Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}=\frac{\sigma }{Strahlfl\ddot{a}che}</math>

	Strahlfläche:= Fläche, auf die der Strahl trifft		{{FB\|Strahlfläche}}:= Fläche, auf die der Strahl trifft

	<math>\sigma </math>
	: streuende Fläche		<math>\sigma </math>: streuende Fläche

	Die Definition läßt sich verallgemeinern auf weiche Streuzentren:		Die Definition läßt sich verallgemeinern auf weiche Streuzentren:

	Mn spricht dann vom Wirkungsquerschnitt ( wie vom Streuquerschnitt) <math>\sigma </math>		Mn spricht dann vom Wirkungsquerschnitt (wie vom Streuquerschnitt)

			<math>\sigma </math>


Zeile 110:		Zeile 104:
	gehört die Radialkomponente der Stromdichte:		gehört die Radialkomponente der Stromdichte:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{\left( {{{\bar{j}}}_{s}} \right)}_{r}}=\frac{\hbar }{2im}\left( {{\Psi }_{S}}\frac{\partial }{\partial r}{{\Psi }_{S}}-{{\Psi }_{S}}\frac{\partial }{\partial r}{{\Psi }_{S}} \right)=\frac{\hbar }{2im}{{\left\| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right\|}^{2}}\left( \frac{{{e}^{-ikr}}}{r}\frac{\partial }{\partial r}\frac{{{e}^{ikr}}}{r}-\frac{{{e}^{ikr}}}{r}\frac{\partial }{\partial r}\frac{{{e}^{-ikr}}}{r} \right) \\		& {{\left( {{{\bar{j}}}_{s}} \right)}_{r}}=\frac{\hbar }{2im}\left( {{\Psi }_{S}}\frac{\partial }{\partial r}{{\Psi }_{S}}-{{\Psi }_{S}}\frac{\partial }{\partial r}{{\Psi }_{S}} \right)=\frac{\hbar }{2im}{{\left\| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right\|}^{2}}\left( \frac{{{e}^{-ikr}}}{r}\frac{\partial }{\partial r}\frac{{{e}^{ikr}}}{r}-\frac{{{e}^{ikr}}}{r}\frac{\partial }{\partial r}\frac{{{e}^{-ikr}}}{r} \right) \\
	& \Rightarrow {{\left( {{{\bar{j}}}_{s}} \right)}_{r}}=\frac{\hbar }{2im}{{\left\| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right\|}^{2}}\left( \frac{{{e}^{-ikr}}}{r}\left( \frac{ik}{r}-\frac{1}{{{r}^{2}}} \right){{e}^{ikr}}-\frac{{{e}^{ikr}}}{r}\left( -\frac{ik}{r}-\frac{1}{{{r}^{2}}} \right){{e}^{-ikr}} \right)=\frac{\hbar \bar{k}}{m{{r}^{2}}}{{\left\| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right\|}^{2}} \\		& \Rightarrow {{\left( {{{\bar{j}}}_{s}} \right)}_{r}}=\frac{\hbar }{2im}{{\left\| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right\|}^{2}}\left( \frac{{{e}^{-ikr}}}{r}\left( \frac{ik}{r}-\frac{1}{{{r}^{2}}} \right){{e}^{ikr}}-\frac{{{e}^{ikr}}}{r}\left( -\frac{ik}{r}-\frac{1}{{{r}^{2}}} \right){{e}^{-ikr}} \right)=\frac{\hbar \bar{k}}{m{{r}^{2}}}{{\left\| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right\|}^{2}} \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Somit ergibt sich die einfache Form des differenziellen Wirkungsquerschnitts:		Somit ergibt sich die einfache Form des {{FB\|differenziellen Wirkungsquerschnitts}}:

	<math>\frac{d\sigma }{d\Omega }={{\left\| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right\|}^{2}}</math>		<math>\frac{d\sigma }{d\Omega }={{\left\| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right\|}^{2}}</math>


	Und der totale Wirkungsquerschnitt folgt zu		Und der {{FB\|totale Wirkungsquerschnitt}} folgt zu
			:<math>{{\sigma }_{tot.}}=\int_{{}}^{{}}{d\Omega }{{\left\| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right\|}^{2}}</math>
	<math>{{\sigma }_{tot.}}=\int_{{}}^{{}}{d\Omega }{{\left\| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right\|}^{2}}</math>

	Mit der Streuamplitude		Mit der {{FB\|Streuamplitude}}
	<math>f({{\bar{e}}_{r}})=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{e}^{-ik\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}}}}V(\bar{r}\acute{\ }){{\Psi }^{(+)}}(\bar{r}\acute{\ })</math>		:<math>f({{\bar{e}}_{r}})=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{e}^{-ik\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}}}}V(\bar{r}\acute{\ }){{\Psi }^{(+)}}(\bar{r}\acute{\ })</math>

Schubotz am 7. September 2010 um 22:37 Uhr

2010-09-07T22:37:14Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. September 2010, 00:37 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|6\|2}}		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|6\|2}}</noinclude>

	Voraussetzung <math>\begin{matrix}		Voraussetzung <math>\begin{matrix}

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|6|2}} Voraussetzung $\begin{matrix} \lim \\ r\acute{\ }\to \infty \\ \end{matrix}V(\bar{r}\acute{\ })=0$ HI…“

2010-08-24T18:21:16Z

Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|6|2}} Voraussetzung <math>\begin{matrix} \lim \\ r\acute{\ }\to \infty \\ \end{matrix}V(\bar{r}\acute{\ })=0</math> HI…“

Neue Seite

{{Scripthinweis|Quantenmechanik|6|2}}

Voraussetzung <math>\begin{matrix}
\lim \\
r\acute{\ }\to \infty \\
\end{matrix}V(\bar{r}\acute{\ })=0</math>
HINREICHEND RASCH !

Ansonsten versagen die Näherungsmethoden, die hier gemacht werden.

das Potenzial muss also eine endliche Reichweite haben.
Zum Integral der Lippmann- Schwinger Gleichung trägt dann für r-> unendlich der Integrand nur mit <math>r\acute{\ }<<r</math>
bei.
r´ kennzeichnet das Gebiet des Potenzials. Wenn dieses viel kleiner ist und man sich vor allem für die Fernfeldlösungen interessiert, so kann der Integrand in diesem Fall geschickt genähert werden, was die Integrale lösbar macht. !

Wir können also
<math>{{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=-\frac{{{e}^{ik|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}}}{4\pi |\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}</math>
für r>> r´ entwickeln:
<math>\begin{align}
& |\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|=\sqrt{{{\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}^{2}}}=\sqrt{\left( {{{\bar{r}}}^{2}}-2\bar{r}\bar{r}\acute{\ }+\bar{r}\acute{\ } \right)}=r\sqrt{\left( 1-2\frac{\bar{r}\bar{r}\acute{\ }}{{{r}^{2}}}+{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}\approx r\sqrt{\left( 1-2\frac{\bar{r}\bar{r}\acute{\ }}{{{r}^{2}}} \right)\approx }r-\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}} \\
& {{{\bar{e}}}_{r}}=\frac{{\bar{r}}}{r} \\
\end{align}</math>

Somit
<math>{{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\cong -\frac{{{e}^{ik\left( r-\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}} \right)}}}{4\pi r}</math>

Dabei bezeichnet <math>{{e}^{ik\left( r-\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}} \right)}}</math>
die Streuphase, die uns die Information über die Richtungsverteilung des Streuprozess liefert !
<math>\frac{1}{4\pi r}</math>
ist die Streuamplitude, die sich wie eine Kugelwellenamplitude verhält !
Dabei wird in der Amplitude der Greenschen Funktion stärker genähert als in der Phase. Dies ist gerechtfertigt, das uns die Streurichtung mehr interessiert als die Streuamplitude !
<math>{{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\cong -\frac{{{e}^{ikr}}}{4\pi r}{{e}^{-ik\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}}}}</math>

Dies ist der für große Abstände genäherte Greensche Operator ! ( Da es sich bei dieser Art der " Greenschen Funktion" eigentlich um einen Operator handelt, ist es besser, von einem Greenschen Operator zu sprechen !
Das Asymptotische Verhalten der Lippmann- Schwinger- Gleichung für r- > unendlich kann also angegeben
werden:

<math>\begin{matrix}
\lim \\
r->\infty \\
\end{matrix}{{\Psi }^{(+)}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{{{e}^{ikr}}}{4\pi r}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{e}^{-ik\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}}}}V(\bar{r}\acute{\ }){{\Psi }^{(+)}}(\bar{r}\acute{\ })</math>

<math>\begin{matrix}
\lim \\
r->\infty \\
\end{matrix}{{\Psi }^{(+)}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}+f({{\bar{e}}_{r}})\frac{{{e}^{ikr}}}{r}</math>

Dies ist im Limes für r- > unendlich eine exakte Lösung !

<math>{{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}</math>
als durchlaufende Welle
<math>\frac{{{e}^{ikr}}}{4\pi r}</math>
als auslaufende Kugelwelle

Dabei besitzt die auslaufende Kugelwelle die Streuamplitude
<math>f({{\bar{e}}_{r}})=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{e}^{-ik\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}}}}V(\bar{r}\acute{\ }){{\Psi }^{(+)}}(\bar{r}\acute{\ })</math>

Man sieht, dass die Amplitude dieser Streuwelle, eine Kugelwelle, von der Beobachtungsrichtung
<math>{{\bar{e}}_{r}}=\frac{{\bar{r}}}{r}</math>
abhängt:
Die Streuung ist elastisch !

0.1.1 Wirkungsquerschnitt

Macht Sinn als Definition entsprechend einer Streuung eines Teilchenstrahls an einem undurchdringlichen Streuzentrum.

Dabei ist definiert:

<math>\frac{Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}=\frac{\sigma }{Strahlfl\ddot{a}che}</math>

Strahlfläche:= Fläche, auf die der Strahl trifft

<math>\sigma </math>
: streuende Fläche

Die Definition läßt sich verallgemeinern auf weiche Streuzentren:

Mn spricht dann vom Wirkungsquerschnitt ( wie vom Streuquerschnitt) <math>\sigma </math>

<math>\sigma :=\frac{Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec ./c{{m}^{2}}}=\frac{Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}c{{m}^{2}}</math>

Man muss aber, um Probleme behandeln zu können, den differenziellen Wirkungsquerschnitt betrachten

<math>\frac{d\sigma }{d\Omega }=\frac{Zahl(gestreut)in\ d\Omega \ ({{{\bar{e}}}_{r}})/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec ./c{{m}^{2}}}=\frac{Zahl(gestreut)in\ d\Omega \ ({{{\bar{e}}}_{r}})/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}c{{m}^{2}}</math>

<math>d\sigma =\frac{{{\left( {{{\bar{j}}}_{s}} \right)}_{r}}{{r}^{2}}d\Omega }{\left| {{{\bar{j}}}_{e}} \right|}</math>

<math>d\Omega :=\sin \vartheta \ d\vartheta \ d\phi </math>

Zur einlaufenden Welle:

<math>{{\Psi }_{e}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}</math>
gehört, wie bereits abgeleitet wurde, die Stromdichte:

<math>{{\bar{j}}_{e}}=\frac{\hbar }{2im}\left( {{\Psi }_{e}}*\nabla {{\Psi }_{e}}-{{\Psi }_{e}}\nabla {{\Psi }_{e}}* \right)=\frac{\hbar \bar{k}}{m}{{\Psi }_{e}}{{\Psi }_{e}}*=\frac{\hbar \bar{k}}{m}{{\left| \Psi \right|}^{2}}</math>

Zur Streuwelle in Richtung <math>{{\bar{e}}_{r}}=\frac{{\bar{r}}}{r}</math>

also: <math>{{\Psi }_{S}}(\bar{r})=f({{\bar{e}}_{r}})\frac{{{e}^{ikr}}}{r}</math>

gehört die Radialkomponente der Stromdichte:

<math>\begin{align}
& {{\left( {{{\bar{j}}}_{s}} \right)}_{r}}=\frac{\hbar }{2im}\left( {{\Psi }_{S}}*\frac{\partial }{\partial r}{{\Psi }_{S}}-{{\Psi }_{S}}\frac{\partial }{\partial r}{{\Psi }_{S}}* \right)=\frac{\hbar }{2im}{{\left| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right|}^{2}}\left( \frac{{{e}^{-ikr}}}{r}\frac{\partial }{\partial r}\frac{{{e}^{ikr}}}{r}-\frac{{{e}^{ikr}}}{r}\frac{\partial }{\partial r}\frac{{{e}^{-ikr}}}{r} \right) \\
& \Rightarrow {{\left( {{{\bar{j}}}_{s}} \right)}_{r}}=\frac{\hbar }{2im}{{\left| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right|}^{2}}\left( \frac{{{e}^{-ikr}}}{r}\left( \frac{ik}{r}-\frac{1}{{{r}^{2}}} \right){{e}^{ikr}}-\frac{{{e}^{ikr}}}{r}\left( -\frac{ik}{r}-\frac{1}{{{r}^{2}}} \right){{e}^{-ikr}} \right)=\frac{\hbar \bar{k}}{m{{r}^{2}}}{{\left| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right|}^{2}} \\
\end{align}</math>

Somit ergibt sich die einfache Form des differenziellen Wirkungsquerschnitts:

<math>\frac{d\sigma }{d\Omega }={{\left| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right|}^{2}}</math>

Und der totale Wirkungsquerschnitt folgt zu

<math>{{\sigma }_{tot.}}=\int_{{}}^{{}}{d\Omega }{{\left| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right|}^{2}}</math>

Mit der Streuamplitude
<math>f({{\bar{e}}_{r}})=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{e}^{-ik\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}}}}V(\bar{r}\acute{\ }){{\Psi }^{(+)}}(\bar{r}\acute{\ })</math>

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:45 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:
	Zum Integral der Lippmann- Schwinger Gleichung trägt dann für r→ unendlich der Integrand nur mit <math>r\acute{\ }<<r</math>		Zum Integral der Lippmann- Schwinger Gleichung trägt dann für r→ unendlich der Integrand nur mit <math>r\acute{\ }<<r</math>
	bei.		bei.
	r´ kennzeichnet das Gebiet des Potenzials. Wenn dieses viel kleiner ist und man sich vor allem für die {{FB\|Fernfeldlösungen}} interessiert, so kann der Integrand in diesem Fall geschickt genähert werden, was die Integrale lösbar macht. !		r´ kennzeichnet das Gebiet des Potenzials. Wenn dieses viel kleiner ist und man sich vor allem für die {{FB\|Fernfeldlösungen}} interessiert, so kann der Integrand in diesem Fall geschickt genähert werden, was die Integrale lösbar macht.!

	Wir können also <math>{{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=-\frac{{{e}^{ik\|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}}}{4\pi \|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}</math>		Wir können also <math>{{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=-\frac{{{e}^{ik\|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}}}{4\pi \|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}</math>
Zeile 24:		Zeile 24:


	Dabei bezeichnet <math>{{e}^{ik\left( r-\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}} \right)}}</math> die {{FB\|Streuphase}}, die uns die Information über die Richtungsverteilung des Streuprozess liefert !		Dabei bezeichnet <math>{{e}^{ik\left( r-\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}} \right)}}</math> die {{FB\|Streuphase}}, die uns die Information über die Richtungsverteilung des Streuprozess liefert!
	:<math>\frac{1}{4\pi r}</math> ist die {{FB\|Streuamplitude}}, die sich wie eine Kugelwellenamplitude verhält !		:<math>\frac{1}{4\pi r}</math> ist die {{FB\|Streuamplitude}}, die sich wie eine Kugelwellenamplitude verhält!
	Dabei wird in der Amplitude der Greenschen Funktion stärker genähert als in der Phase. Dies ist gerechtfertigt, das uns die Streurichtung mehr interessiert als die Streuamplitude!		Dabei wird in der Amplitude der Greenschen Funktion stärker genähert als in der Phase. Dies ist gerechtfertigt, das uns die Streurichtung mehr interessiert als die Streuamplitude!

	:<math>{{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\cong -\frac{{{e}^{ikr}}}{4\pi r}{{e}^{-ik\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}}}}</math>		:<math>{{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\cong -\frac{{{e}^{ikr}}}{4\pi r}{{e}^{-ik\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}}}}</math>

	Dies ist der für große Abstände genäherte Greensche Operator! ( Da es sich bei dieser Art der " Greenschen Funktion" eigentlich um einen Operator handelt, ist es besser, von einem Greenschen Operator zu sprechen !		Dies ist der für große Abstände genäherte Greensche Operator! (Da es sich bei dieser Art der " Greenschen Funktion" eigentlich um einen Operator handelt, ist es besser, von einem Greenschen Operator zu sprechen!
	Das Asymptotische Verhalten der Lippmann- Schwinger- Gleichung für r- > unendlich kann also angegeben		Das Asymptotische Verhalten der Lippmann- Schwinger- Gleichung für r- > unendlich kann also angegeben
	werden:		werden:
Zeile 45:		Zeile 45:
	\end{matrix}{{\Psi }^{(+)}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}+f({{\bar{e}}_{r}})\frac{{{e}^{ikr}}}{r}</math>		\end{matrix}{{\Psi }^{(+)}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}+f({{\bar{e}}_{r}})\frac{{{e}^{ikr}}}{r}</math>

	Dies ist im Limes für r- > unendlich eine exakte Lösung !		Dies ist im Limes für r- > unendlich eine exakte Lösung!

	* <math>{{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}</math> als '''durchlaufende Welle'''		* <math>{{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}</math> als '''durchlaufende Welle'''
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	Man sieht, dass die Amplitude dieser Streuwelle, eine Kugelwelle, von der Beobachtungsrichtung <math>{{\bar{e}}_{r}}=\frac{{\bar{r}}}{r}</math> abhängt:		Man sieht, dass die Amplitude dieser Streuwelle, eine Kugelwelle, von der Beobachtungsrichtung <math>{{\bar{e}}_{r}}=\frac{{\bar{r}}}{r}</math> abhängt:
	Die Streuung ist elastisch !		Die Streuung ist elastisch!

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 16:47 Uhr
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	Dabei bezeichnet <math>{{e}^{ik\left( r-\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}} \right)}}</math> die {{FB\|Streuphase}}, die uns die Information über die Richtungsverteilung des Streuprozess liefert !		Dabei bezeichnet <math>{{e}^{ik\left( r-\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}} \right)}}</math> die {{FB\|Streuphase}}, die uns die Information über die Richtungsverteilung des Streuprozess liefert !
	<math>\frac{1}{4\pi r}</math> ist die {{FB\|Streuamplitude}}, die sich wie eine Kugelwellenamplitude verhält !		:<math>\frac{1}{4\pi r}</math> ist die {{FB\|Streuamplitude}}, die sich wie eine Kugelwellenamplitude verhält !
	Dabei wird in der Amplitude der Greenschen Funktion stärker genähert als in der Phase. Dies ist gerechtfertigt, das uns die Streurichtung mehr interessiert als die Streuamplitude!		Dabei wird in der Amplitude der Greenschen Funktion stärker genähert als in der Phase. Dies ist gerechtfertigt, das uns die Streurichtung mehr interessiert als die Streuamplitude!

	<math>{{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\cong -\frac{{{e}^{ikr}}}{4\pi r}{{e}^{-ik\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}}}}</math>		:<math>{{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\cong -\frac{{{e}^{ikr}}}{4\pi r}{{e}^{-ik\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}}}}</math>

	Dies ist der für große Abstände genäherte Greensche Operator! ( Da es sich bei dieser Art der " Greenschen Funktion" eigentlich um einen Operator handelt, ist es besser, von einem Greenschen Operator zu sprechen !		Dies ist der für große Abstände genäherte Greensche Operator! ( Da es sich bei dieser Art der " Greenschen Funktion" eigentlich um einen Operator handelt, ist es besser, von einem Greenschen Operator zu sprechen !
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	Dabei ist definiert:		Dabei ist definiert:

	<math>\frac{Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}=\frac{\sigma }{Strahlfl\ddot{a}che}</math>		:<math>\frac{Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}=\frac{\sigma }{Strahlfl\ddot{a}che}</math>

	{{FB\|Strahlfläche}}:= Fläche, auf die der Strahl trifft		{{FB\|Strahlfläche}}:= Fläche, auf die der Strahl trifft


	<math>\sigma </math>: streuende Fläche		:<math>\sigma </math>: streuende Fläche

	Die Definition läßt sich verallgemeinern auf weiche Streuzentren:		Die Definition läßt sich verallgemeinern auf weiche Streuzentren:
Zeile 75:		Zeile 75:
	Mn spricht dann vom Wirkungsquerschnitt (wie vom Streuquerschnitt)		Mn spricht dann vom Wirkungsquerschnitt (wie vom Streuquerschnitt)

	<math>\sigma </math>		:<math>\sigma </math>


	<math>\sigma :=\frac{Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec ./c{{m}^{2}}}=\frac{Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}c{{m}^{2}}</math>		:<math>\sigma :=\frac{Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec ./c{{m}^{2}}}=\frac{Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}c{{m}^{2}}</math>

	Man muss aber, um Probleme behandeln zu können, den differenziellen Wirkungsquerschnitt betrachten		Man muss aber, um Probleme behandeln zu können, den differenziellen Wirkungsquerschnitt betrachten

	<math>\frac{d\sigma }{d\Omega }=\frac{Zahl(gestreut)in\ d\Omega \ ({{{\bar{e}}}_{r}})/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec ./c{{m}^{2}}}=\frac{Zahl(gestreut)in\ d\Omega \ ({{{\bar{e}}}_{r}})/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}c{{m}^{2}}</math>		:<math>\frac{d\sigma }{d\Omega }=\frac{Zahl(gestreut)in\ d\Omega \ ({{{\bar{e}}}_{r}})/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec ./c{{m}^{2}}}=\frac{Zahl(gestreut)in\ d\Omega \ ({{{\bar{e}}}_{r}})/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}c{{m}^{2}}</math>



	<math>d\sigma =\frac{{{\left( {{{\bar{j}}}_{s}} \right)}_{r}}{{r}^{2}}d\Omega }{\left\| {{{\bar{j}}}_{e}} \right\|}</math>		:<math>d\sigma =\frac{{{\left( {{{\bar{j}}}_{s}} \right)}_{r}}{{r}^{2}}d\Omega }{\left\| {{{\bar{j}}}_{e}} \right\|}</math>

	<math>d\Omega :=\sin \vartheta \ d\vartheta \ d\phi </math>		:<math>d\Omega :=\sin \vartheta \ d\vartheta \ d\phi </math>


	Zur einlaufenden Welle:		Zur einlaufenden Welle:

	<math>{{\Psi }_{e}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}</math>		:<math>{{\Psi }_{e}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}</math>
	gehört, wie bereits abgeleitet wurde, die Stromdichte:		gehört, wie bereits abgeleitet wurde, die Stromdichte:

	<math>{{\bar{j}}_{e}}=\frac{\hbar }{2im}\left( {{\Psi }_{e}}\nabla {{\Psi }_{e}}-{{\Psi }_{e}}\nabla {{\Psi }_{e}} \right)=\frac{\hbar \bar{k}}{m}{{\Psi }_{e}}{{\Psi }_{e}}*=\frac{\hbar \bar{k}}{m}{{\left\| \Psi \right\|}^{2}}</math>		:<math>{{\bar{j}}_{e}}=\frac{\hbar }{2im}\left( {{\Psi }_{e}}\nabla {{\Psi }_{e}}-{{\Psi }_{e}}\nabla {{\Psi }_{e}} \right)=\frac{\hbar \bar{k}}{m}{{\Psi }_{e}}{{\Psi }_{e}}*=\frac{\hbar \bar{k}}{m}{{\left\| \Psi \right\|}^{2}}</math>

	Zur Streuwelle in Richtung <math>{{\bar{e}}_{r}}=\frac{{\bar{r}}}{r}</math>		Zur Streuwelle in Richtung <math>{{\bar{e}}_{r}}=\frac{{\bar{r}}}{r}</math>
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	Somit ergibt sich die einfache Form des {{FB\|differenziellen Wirkungsquerschnitts}}:		Somit ergibt sich die einfache Form des {{FB\|differenziellen Wirkungsquerschnitts}}:
	<math>\frac{d\sigma }{d\Omega }={{\left\| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right\|}^{2}}</math>		:<math>\frac{d\sigma }{d\Omega }={{\left\| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right\|}^{2}}</math>