Stark Effekt im H- Atom - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (3), ( → ( (3)

2010-09-12T22:45:16Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (3), ( → ( (3)

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:45 Uhr
Zeile 31:		Zeile 31:
	Die Energie ist im Bahndrehimpuls insgesamt <math>{{n}^{2}}=\sum\limits_{l=0}^{n-1}{(2l+1)}</math>		Die Energie ist im Bahndrehimpuls insgesamt <math>{{n}^{2}}=\sum\limits_{l=0}^{n-1}{(2l+1)}</math>

	entartet. ( zu jedem n gibt es n-1 mögliche verschiedene Bahndrehimpulszustände, die jeweils 2l+1 mögliche Einstellungen bezüglich der z- Achse einnehmen können ( magnetische Quantenzahl m). Mit dem Spin ist die Entartung sogar <math>2{{n}^{2}}=\sum\limits_{l=0}^{n-1}{2(2l+1)}</math>		entartet. (zu jedem n gibt es n-1 mögliche verschiedene Bahndrehimpulszustände, die jeweils 2l+1 mögliche Einstellungen bezüglich der z- Achse einnehmen können (magnetische Quantenzahl m). Mit dem Spin ist die Entartung sogar <math>2{{n}^{2}}=\sum\limits_{l=0}^{n-1}{2(2l+1)}</math>

	- fach. Dies ist leicht zu verstehen: Durch den Spin wird der bestehende Hilbertraum um einen zusätzlichen zweidimensionalen Hilbertraum erweitert. Dadurch können alle vorherigen Zustände noch einen Spinzustand aus dem neuen Hilbertraum mit beinhalten ohne dass sie ihre Eigenschaft, Eigenzustände zu sein, verlieren können.		- fach. Dies ist leicht zu verstehen: Durch den Spin wird der bestehende Hilbertraum um einen zusätzlichen zweidimensionalen Hilbertraum erweitert. Dadurch können alle vorherigen Zustände noch einen Spinzustand aus dem neuen Hilbertraum mit beinhalten ohne dass sie ihre Eigenschaft, Eigenzustände zu sein, verlieren können.

	Die Zahl der möglichen Eigenzustände zu einem Energieeigenwert verdoppelt sich also !		Die Zahl der möglichen Eigenzustände zu einem Energieeigenwert verdoppelt sich also!


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	:<math>{{d}_{13}}=\left\langle 200 \right\|e{{\hat{x}}_{3}}\left\| 210 \right\rangle =-3e{{a}_{0}}</math>		:<math>{{d}_{13}}=\left\langle 200 \right\|e{{\hat{x}}_{3}}\left\| 210 \right\rangle =-3e{{a}_{0}}</math>

	Dies entspricht einem PERMANENTEN Dipolmoment des H- Atoms, welches Konsequenz der l- Entartung ist !		Dies entspricht einem PERMANENTEN Dipolmoment des H- Atoms, welches Konsequenz der l- Entartung ist!

	Die charakteristische Größenordnung dieses Dipolmoments ist <math>{{a}_{0}}</math>		Die charakteristische Größenordnung dieses Dipolmoments ist <math>{{a}_{0}}</math>
			,
	, also die Ausdehnung der Wellenfunktion !		also die Ausdehnung der Wellenfunktion!

	=====Störungsrechnung:=====		=====Störungsrechnung:=====
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	Daneben gibt es noch den quadratischen Stark- Effekt in allgemeinen kugelsymmetrischen Potenzialen <math>V\ne \frac{1}{r}</math>		Daneben gibt es noch den quadratischen Stark- Effekt in allgemeinen kugelsymmetrischen Potenzialen <math>V\ne \frac{1}{r}</math>
			,
	, also ohne <math>l</math>		also ohne <math>l</math>

	- Entartung. Also existiert in diesem Fall gar kein permanentes Dipolmoment und Störungsrechnung2. Ordnung wird nötig.		- Entartung. Also existiert in diesem Fall gar kein permanentes Dipolmoment und Störungsrechnung2. Ordnung wird nötig.
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	Ausgehend vom Niveau <math>{{E}_{2}}^{(0)}</math>		Ausgehend vom Niveau <math>{{E}_{2}}^{(0)}</math>

	( 4- fach entartet) erhalten wir das folgende Bild:		(4- fach entartet) erhalten wir das folgende Bild:

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:47:23Z

Einrückungen Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 16:47 Uhr
Zeile 7:		Zeile 7:
	Für den Hamiltonian gilt:		Für den Hamiltonian gilt:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \hat{H}=\frac{{{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}}{2m}-\frac{{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}\hat{r}}-e\bar{E}\hat{\bar{r}} \\		& \hat{H}=\frac{{{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}}{2m}-\frac{{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}\hat{r}}-e\bar{E}\hat{\bar{r}} \\
	& -e\bar{E}\hat{\bar{r}}={{{\hat{H}}}^{(1)}} \\		& -e\bar{E}\hat{\bar{r}}={{{\hat{H}}}^{(1)}} \\
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	<math>-e\bar{E}{{\hat{\bar{x}}}_{3}}={{\hat{H}}^{(1)}}</math>		:<math>-e\bar{E}{{\hat{\bar{x}}}_{3}}={{\hat{H}}^{(1)}}</math>


	==Eigenwerte und - zustände von ><math>{{\hat{H}}^{(0)}}</math> ==		==Eigenwerte und - zustände von ><math>{{\hat{H}}^{(0)}}</math> ==

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& {{{\hat{H}}}^{(0)}}\left\| n,l,m \right\rangle ={{E}_{n}}^{(0)}\left\| n,l,m \right\rangle \\		& {{{\hat{H}}}^{(0)}}\left\| n,l,m \right\rangle ={{E}_{n}}^{(0)}\left\| n,l,m \right\rangle \\
Zeile 44:		Zeile 44:
	mögliche Zustände:		mögliche Zustände:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \left\| 2,0,0 \right\rangle ,\left\| 2,1,-1 \right\rangle ,\left\| 2,1,0 \right\rangle ,\left\| 2,1,+1 \right\rangle \\		& \left\| 2,0,0 \right\rangle ,\left\| 2,1,-1 \right\rangle ,\left\| 2,1,0 \right\rangle ,\left\| 2,1,+1 \right\rangle \\
Zeile 53:		Zeile 53:

	=====Keine Knotenlinie=====		=====Keine Knotenlinie=====
	<math>{{Y}_{0}}^{0}=\sqrt{\frac{1}{4\pi }}</math>		:<math>{{Y}_{0}}^{0}=\sqrt{\frac{1}{4\pi }}</math>

	=====Eine Knotenlinie=====		=====Eine Knotenlinie=====
	<math>{{Y}_{1}}^{0}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \vartheta </math>		:<math>{{Y}_{1}}^{0}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \vartheta </math>

	<math>{{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}</math>		:<math>{{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}</math>


	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \frac{{{u}_{20}}(r)}{r}=\frac{2}{{{\left( 2{{a}_{0}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}\left( 1-\frac{r}{2{{a}_{0}}} \right){{e}^{-\frac{r}{2{{a}_{0}}}}} \\		& \frac{{{u}_{20}}(r)}{r}=\frac{2}{{{\left( 2{{a}_{0}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}\left( 1-\frac{r}{2{{a}_{0}}} \right){{e}^{-\frac{r}{2{{a}_{0}}}}} \\
Zeile 75:		Zeile 75:


	<math>\hat{\bar{d}}=e{{\hat{x}}_{3}}</math>		:<math>\hat{\bar{d}}=e{{\hat{x}}_{3}}</math>

	mit <math>\left\langle n\acute{\ }l\acute{\ }m\acute{\ } \right\|{{\hat{x}}_{3}}\left\| nlm \right\rangle \tilde{\ }{{\delta }_{l\acute{\ },l\pm 1}}{{\delta }_{mm\acute{\ }}}</math>		mit <math>\left\langle n\acute{\ }l\acute{\ }m\acute{\ } \right\|{{\hat{x}}_{3}}\left\| nlm \right\rangle \tilde{\ }{{\delta }_{l\acute{\ },l\pm 1}}{{\delta }_{mm\acute{\ }}}</math>
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	Der Störoperator:		Der Störoperator:

	<math>{{\hat{H}}^{(1)}}=-\left\| {\bar{E}} \right\|\hat{d}</math>		:<math>{{\hat{H}}^{(1)}}=-\left\| {\bar{E}} \right\|\hat{d}</math>

	Wir haben also mit <math>{{d}_{13}}</math>		Wir haben also mit <math>{{d}_{13}}</math>
Zeile 122:		Zeile 122:
	das einzige nichtverschwindende Matrixelement:		das einzige nichtverschwindende Matrixelement:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& {{d}_{13}}=\left\langle 200 \right\|e{{{\hat{x}}}_{3}}\left\| 210 \right\rangle \\		& {{d}_{13}}=\left\langle 200 \right\|e{{{\hat{x}}}_{3}}\left\| 210 \right\rangle \\
Zeile 130:		Zeile 130:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& {{d}_{13}}=\left\langle 200 \right\|e{{{\hat{x}}}_{3}}\left\| 210 \right\rangle \\		& {{d}_{13}}=\left\langle 200 \right\|e{{{\hat{x}}}_{3}}\left\| 210 \right\rangle \\
Zeile 152:		Zeile 152:
	Somit existiert ein Erwartungswert des Dipolmomentes		Somit existiert ein Erwartungswert des Dipolmomentes

	<math>{{d}_{13}}=\left\langle 200 \right\|e{{\hat{x}}_{3}}\left\| 210 \right\rangle =-3e{{a}_{0}}</math>		:<math>{{d}_{13}}=\left\langle 200 \right\|e{{\hat{x}}_{3}}\left\| 210 \right\rangle =-3e{{a}_{0}}</math>

	Dies entspricht einem PERMANENTEN Dipolmoment des H- Atoms, welches Konsequenz der l- Entartung ist !		Dies entspricht einem PERMANENTEN Dipolmoment des H- Atoms, welches Konsequenz der l- Entartung ist !
Zeile 163:		Zeile 163:
	''' '''Aufspaltung des Energieniveaus n=2 im elektrischen Feld		''' '''Aufspaltung des Energieniveaus n=2 im elektrischen Feld

	<math>\bar{E}</math>		:<math>\bar{E}</math>

	:		:
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	Säkulardeterminante:		Säkulardeterminante:

	<math>\left\| \begin{matrix}		:<math>\left\| \begin{matrix}

	-E & 0 & -\left\| {\bar{E}} \right\|{{d}_{13}} & 0 \\		-E & 0 & -\left\| {\bar{E}} \right\|{{d}_{13}} & 0 \\
Zeile 183:		Zeile 183:
	\end{matrix} \right\|=0={{E}^{2}}\left[ {{E}^{2}}-{{\left( \left\| {\bar{E}} \right\|{{d}_{13}} \right)}^{2}} \right]</math>		\end{matrix} \right\|=0={{E}^{2}}\left[ {{E}^{2}}-{{\left( \left\| {\bar{E}} \right\|{{d}_{13}} \right)}^{2}} \right]</math>

	<math>\Rightarrow E=0</math>		:<math>\Rightarrow E=0</math>

	als zweifach entartetes Niveau und<math>E=\pm \left\| {\bar{E}} \right\|{{d}_{13}}=\mp 3e\left\| {\bar{E}} \right\|{{a}_{0}}</math>		als zweifach entartetes Niveau und<math>E=\pm \left\| {\bar{E}} \right\|{{d}_{13}}=\mp 3e\left\| {\bar{E}} \right\|{{a}_{0}}</math>

*>SchuBot am 11. September 2010 um 17:16 Uhr

2010-09-11T17:16:52Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 19:16 Uhr
Zeile 48:		Zeile 48:
	& \left\| 2,0,0 \right\rangle ,\left\| 2,1,-1 \right\rangle ,\left\| 2,1,0 \right\rangle ,\left\| 2,1,+1 \right\rangle \\		& \left\| 2,0,0 \right\rangle ,\left\| 2,1,-1 \right\rangle ,\left\| 2,1,0 \right\rangle ,\left\| 2,1,+1 \right\rangle \\

	& \left\langle {\bar{r}} ~~\right\|\left~~\| nlm \right\rangle =\frac{{{u}_{nl}}(r)}{r}{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \\		& \left\langle {\bar{r}} \| nlm \right\rangle =\frac{{{u}_{nl}}(r)}{r}{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \\

	\end{align}</math>		\end{align}</math>

Schubotz am 9. September 2010 um 14:36 Uhr

2010-09-09T14:36:50Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. September 2010, 16:36 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|5\|5}}		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|5\|5}}</noinclude>

	Anwendung der Störungsrechnung bei Entartung. Das H- Atom befinde sich dabei		Anwendung der Störungsrechnung bei Entartung. Das H- Atom befinde sich dabei

Schubotz am 27. August 2010 um 10:04 Uhr

2010-08-27T10:04:46Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. August 2010, 12:04 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:

	Anwendung der Störungsrechnung bei Entartung. Das H- Atom befinde sich dabei		Anwendung der Störungsrechnung bei Entartung. Das H- Atom befinde sich dabei
			in einem homogenen äußeren elektrischen Feld <math>\bar{E}</math>.

	~~in einem homogenen äußeren elektrischen Feld <math>\bar{E}</math>~~

	.

	Für den Hamiltonian gilt:		Für den Hamiltonian gilt:

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}

	& \hat{H}=\frac{{{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}}{2m}-\frac{{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}\hat{r}}-e\bar{E}\hat{\bar{r}} \\		& \hat{H}=\frac{{{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}}{2m}-\frac{{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}\hat{r}}-e\bar{E}\hat{\bar{r}} \\

	& -e\bar{E}\hat{\bar{r}}={{{\hat{H}}}^{(1)}} \\		& -e\bar{E}\hat{\bar{r}}={{{\hat{H}}}^{(1)}} \\

	& \frac{{{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}}{2m}-\frac{{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}\hat{r}}={{{\hat{H}}}^{(0)}} \\		& \frac{{{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}}{2m}-\frac{{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}\hat{r}}={{{\hat{H}}}^{(0)}} \\

	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Sei das elektrische Feld parallel zur z- Achse:		Sei das elektrische Feld parallel zur z- Achse:


	<math>-e\bar{E}{{\hat{\bar{x}}}_{3}}={{\hat{H}}^{(1)}}</math>		<math>-e\bar{E}{{\hat{\bar{x}}}_{3}}={{\hat{H}}^{(1)}}</math>

	~~<u>'''Eigenwerte und - zustände von '''</u><math>{{\hat{H}}^{(0)}}</math>~~

	:		==Eigenwerte und - zustände von ><math>{{\hat{H}}^{(0)}}</math> ==

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
Zeile 43:		Zeile 37:
	Die Zahl der möglichen Eigenzustände zu einem Energieeigenwert verdoppelt sich also !		Die Zahl der möglichen Eigenzustände zu einem Energieeigenwert verdoppelt sich also !

	~~<u>'''~~Beispiel: n=2 ~~'''</u>~~ (4fache Entartung)
			==== Beispiel: n=2 ====

			4fache Entartung)

	mögliche Zustände:		mögliche Zustände:
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	Mit dem Bohr- Radius <math>{{a}_{0}}=\frac{{{\hbar }^{2}}4\pi {{\varepsilon }_{0}}}{m{{e}^{2}}}</math>		Mit dem Bohr- Radius <math>{{a}_{0}}=\frac{{{\hbar }^{2}}4\pi {{\varepsilon }_{0}}}{m{{e}^{2}}}</math>

	~~<u>'''~~Matrixelemente des elektrischen Dipolmoments ~~'''</u>~~<math>\hat{\bar{d}}=e{{\hat{x}}_{3}}</math>
			=== Matrixelemente des elektrischen Dipolmoments ===


			<math>\hat{\bar{d}}=e{{\hat{x}}_{3}}</math>

	mit <math>\left\langle n\acute{\ }l\acute{\ }m\acute{\ } \right\|{{\hat{x}}_{3}}\left\| nlm \right\rangle \tilde{\ }{{\delta }_{l\acute{\ },l\pm 1}}{{\delta }_{mm\acute{\ }}}</math>		mit <math>\left\langle n\acute{\ }l\acute{\ }m\acute{\ } \right\|{{\hat{x}}_{3}}\left\| nlm \right\rangle \tilde{\ }{{\delta }_{l\acute{\ },l\pm 1}}{{\delta }_{mm\acute{\ }}}</math>

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|5|5}} Anwendung der Störungsrechnung bei Entartung. Das H- Atom befinde sich dabei in einem homogenen äußeren elektrischen Fe…“

2010-08-24T18:09:07Z

Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|5|5}} Anwendung der Störungsrechnung bei Entartung. Das H- Atom befinde sich dabei in einem homogenen äußeren elektrischen Fe…“

Neue Seite

{{Scripthinweis|Quantenmechanik|5|5}}

Anwendung der Störungsrechnung bei Entartung. Das H- Atom befinde sich dabei

in einem homogenen äußeren elektrischen Feld <math>\bar{E}</math>

.

Für den Hamiltonian gilt:

<math>\begin{align}

& \hat{H}=\frac{{{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}}{2m}-\frac{{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}\hat{r}}-e\bar{E}\hat{\bar{r}} \\

& -e\bar{E}\hat{\bar{r}}={{{\hat{H}}}^{(1)}} \\

& \frac{{{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}}{2m}-\frac{{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}\hat{r}}={{{\hat{H}}}^{(0)}} \\

\end{align}</math>

Sei das elektrische Feld parallel zur z- Achse:

<math>-e\bar{E}{{\hat{\bar{x}}}_{3}}={{\hat{H}}^{(1)}}</math>

'''Eigenwerte und - zustände von '''<math>{{\hat{H}}^{(0)}}</math>

:

<math>\begin{align}

& {{{\hat{H}}}^{(0)}}\left| n,l,m \right\rangle ={{E}_{n}}^{(0)}\left| n,l,m \right\rangle \\

& {{E}_{n}}^{(0)}=-{{R}_{H}}\frac{1}{{{n}^{2}}} \\

\end{align}</math>

Die Energie ist im Bahndrehimpuls insgesamt <math>{{n}^{2}}=\sum\limits_{l=0}^{n-1}{(2l+1)}</math>

entartet. ( zu jedem n gibt es n-1 mögliche verschiedene Bahndrehimpulszustände, die jeweils 2l+1 mögliche Einstellungen bezüglich der z- Achse einnehmen können ( magnetische Quantenzahl m). Mit dem Spin ist die Entartung sogar <math>2{{n}^{2}}=\sum\limits_{l=0}^{n-1}{2(2l+1)}</math>

- fach. Dies ist leicht zu verstehen: Durch den Spin wird der bestehende Hilbertraum um einen zusätzlichen zweidimensionalen Hilbertraum erweitert. Dadurch können alle vorherigen Zustände noch einen Spinzustand aus dem neuen Hilbertraum mit beinhalten ohne dass sie ihre Eigenschaft, Eigenzustände zu sein, verlieren können.

Die Zahl der möglichen Eigenzustände zu einem Energieeigenwert verdoppelt sich also !

'''Beispiel: n=2 ''' (4fache Entartung)

mögliche Zustände:

<math>\begin{align}

& \left| 2,0,0 \right\rangle ,\left| 2,1,-1 \right\rangle ,\left| 2,1,0 \right\rangle ,\left| 2,1,+1 \right\rangle \\

& \left\langle {\bar{r}} \right|\left| nlm \right\rangle =\frac{{{u}_{nl}}(r)}{r}{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \\

\end{align}</math>

=====Keine Knotenlinie=====
<math>{{Y}_{0}}^{0}=\sqrt{\frac{1}{4\pi }}</math>

=====Eine Knotenlinie=====
<math>{{Y}_{1}}^{0}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \vartheta </math>

<math>{{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}</math>

<math>\begin{align}

& \frac{{{u}_{20}}(r)}{r}=\frac{2}{{{\left( 2{{a}_{0}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}\left( 1-\frac{r}{2{{a}_{0}}} \right){{e}^{-\frac{r}{2{{a}_{0}}}}} \\

& \frac{{{u}_{21}}(r)}{r}=\frac{1}{\sqrt{3}{{\left( 2{{a}_{0}} \right)}^{\frac{3}{2}}}{{a}_{0}}}r{{e}^{-\frac{r}{2{{a}_{0}}}}} \\

\end{align}</math>

Mit dem Bohr- Radius <math>{{a}_{0}}=\frac{{{\hbar }^{2}}4\pi {{\varepsilon }_{0}}}{m{{e}^{2}}}</math>

'''Matrixelemente des elektrischen Dipolmoments '''<math>\hat{\bar{d}}=e{{\hat{x}}_{3}}</math>

mit <math>\left\langle n\acute{\ }l\acute{\ }m\acute{\ } \right|{{\hat{x}}_{3}}\left| nlm \right\rangle \tilde{\ }{{\delta }_{l\acute{\ },l\pm 1}}{{\delta }_{mm\acute{\ }}}</math>

Vergleiche Seite 121:

n=n´=2
l=0, m=0
l=1, m=1
l=1, m=0
l = 1, m=-1
<math>\alpha </math>

l´=0, m´=0
0
0
<math>{{d}_{13}}</math>
0
1
l´=1, m´=1
0
0
0
0
2
l´=1, m´=0
<math>{{d}_{13}}^{*}</math>
0
0
0
3
l´=1, m´=-1
0
0
0
0
4

Der Störoperator:

<math>{{\hat{H}}^{(1)}}=-\left| {\bar{E}} \right|\hat{d}</math>

Wir haben also mit <math>{{d}_{13}}</math>

das einzige nichtverschwindende Matrixelement:

<math>\begin{align}

& {{d}_{13}}=\left\langle 200 \right|e{{{\hat{x}}}_{3}}\left| 210 \right\rangle \\

& {{{\hat{x}}}_{3}}=r\cos \vartheta \\

\end{align}</math>

<math>\begin{align}

& {{d}_{13}}=\left\langle 200 \right|e{{{\hat{x}}}_{3}}\left| 210 \right\rangle \\

& =e\int_{0}^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r{{r}^{2}}\frac{2}{{{\left( 2{{a}_{0}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}\left( 1-\frac{r}{2{{a}_{0}}} \right){{e}^{-\frac{r}{2{{a}_{0}}}}}r\frac{1}{\sqrt{3}{{\left( 2{{a}_{0}} \right)}^{\frac{3}{2}}}{{a}_{0}}}r{{e}^{-\frac{r}{2{{a}_{0}}}}}\int_{0}^{2\pi }{d\phi \int_{0}^{\pi }{d\vartheta \sin \vartheta \sqrt{\frac{1}{4\pi }}\cos \vartheta \sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \vartheta }} \\

& \frac{{{u}_{20}}(r)}{r}=\frac{2}{{{\left( 2{{a}_{0}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}\left( 1-\frac{r}{2{{a}_{0}}} \right){{e}^{-\frac{r}{2{{a}_{0}}}}} \\

& \frac{{{u}_{21}}(r)}{r}=\frac{1}{\sqrt{3}{{\left( 2{{a}_{0}} \right)}^{\frac{3}{2}}}{{a}_{0}}}r{{e}^{-\frac{r}{2{{a}_{0}}}}} \\

& \sqrt{\frac{1}{4\pi }}={{Y}_{0}}^{0} \\

& \sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \vartheta ={{Y}_{1}}^{0} \\

& \int_{0}^{2\pi }{d\phi \int_{0}^{\pi }{d\vartheta \sin \vartheta \sqrt{\frac{1}{4\pi }}\cos \vartheta \sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \vartheta }}=\frac{1}{\sqrt{3}} \\

& \Rightarrow {{d}_{13}}=\left\langle 200 \right|e{{{\hat{x}}}_{3}}\left| 210 \right\rangle =\frac{e}{\sqrt{3}}\int_{0}^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r{{r}^{2}}\frac{2}{{{\left( 2{{a}_{0}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}\left( 1-\frac{r}{2{{a}_{0}}} \right){{e}^{-\frac{r}{2{{a}_{0}}}}}r\frac{1}{\sqrt{3}{{\left( 2{{a}_{0}} \right)}^{\frac{3}{2}}}{{a}_{0}}}r{{e}^{-\frac{r}{2{{a}_{0}}}}}=-3e{{a}_{0}} \\

\end{align}</math>

Somit existiert ein Erwartungswert des Dipolmomentes

<math>{{d}_{13}}=\left\langle 200 \right|e{{\hat{x}}_{3}}\left| 210 \right\rangle =-3e{{a}_{0}}</math>

Dies entspricht einem PERMANENTEN Dipolmoment des H- Atoms, welches Konsequenz der l- Entartung ist !

Die charakteristische Größenordnung dieses Dipolmoments ist <math>{{a}_{0}}</math>

, also die Ausdehnung der Wellenfunktion !

=====Störungsrechnung:=====
''' '''Aufspaltung des Energieniveaus n=2 im elektrischen Feld

<math>\bar{E}</math>

:

Säkulargleichung: <math>\sum\limits_{\alpha =1}^{4}{{}}\left( -\left| {\bar{E}} \right|{{d}_{\alpha \beta }}-E{{\delta }_{\alpha \beta }} \right){{c}_{\alpha }}=0</math>

Säkulardeterminante:

<math>\left| \begin{matrix}

-E & 0 & -\left| {\bar{E}} \right|{{d}_{13}} & 0 \\

0 & -E & 0 & 0 \\

-\left| {\bar{E}} \right|{{d}_{13}} & 0 & -E & 0 \\

0 & 0 & 0 & -E \\

\end{matrix} \right|=0={{E}^{2}}\left[ {{E}^{2}}-{{\left( \left| {\bar{E}} \right|{{d}_{13}} \right)}^{2}} \right]</math>

<math>\Rightarrow E=0</math>

als zweifach entartetes Niveau und<math>E=\pm \left| {\bar{E}} \right|{{d}_{13}}=\mp 3e\left| {\bar{E}} \right|{{a}_{0}}</math>

Der Stark- Effekt ist also proportional zur eingeschalten Feldstärke. Man spricht deshalb auch vom linearen Stark- Effekt.

Daneben gibt es noch den quadratischen Stark- Effekt in allgemeinen kugelsymmetrischen Potenzialen <math>V\ne \frac{1}{r}</math>

, also ohne <math>l</math>

- Entartung. Also existiert in diesem Fall gar kein permanentes Dipolmoment und Störungsrechnung2. Ordnung wird nötig.

Ausgehend vom Niveau <math>{{E}_{2}}^{(0)}</math>

( 4- fach entartet) erhalten wir das folgende Bild: