Störungen integrabler Systeme - Versionsgeschichte

Schubotz: Änderungen von 50.56.29.144 (Diskussion) rückgängig gemacht und letzte Version von SchuBot wiederhergestellt

2011-08-09T12:19:57Z

Änderungen von 50.56.29.144 (Diskussion) rückgängig gemacht und letzte Version von SchuBot wiederhergestellt

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	'''ERGODISCHE Bewegung '''(nichtresonanter Torus)		'''ERGODISCHE Bewegung '''(nichtresonanter Torus)

	~~Thanks for the insgiht~~. ~~It brings light into the dark~~!		====KAM- Theorem====

			Sind in einem integablen Hamiltonschen System Ho die Frequenzen genügend irrational:, das heißt


			:<math>\left\| \sum\limits_{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega }_{i}}} \right\|\ge \gamma {{\left\| {\bar{r}} \right\|}^{\alpha }}\quad \alpha ,\gamma >0</math>


			So hat das gestörte System
			:<math>H(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )={{H}_{0}}(\bar{I})+\varepsilon {{H}_{1}}(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )</math>
			für kleine
			:<math>\varepsilon </math>
			überwiegend ebenfalls quasiperiodische Lösungen und die eisten nichtresonanten Tori von
			:<math>{{H}_{0}}</math>
			werden nur wenig deformiert, aber nicht zerstört.

			<u>'''Anwendung:'''</u>

			Das restringierte 3-Körper-Problem ist KAM- Stabil. Aber: keine Aussage über eine Langzeitstabilität unseres Planetensystems!

			Praktische Verfahren zur Berechnung der gestörten Lösungen:

			* störungstheoretische Entwicklung in
			:<math>\varepsilon </math>

			* Mittelung über die Störungen

			[[Kategorie:Mechanik]]

50.56.29.144: /* KAM- Theorem */

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KAM- Theorem

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	'''ERGODISCHE Bewegung '''(nichtresonanter Torus)		'''ERGODISCHE Bewegung '''(nichtresonanter Torus)

	~~====KAM- Theorem====~~		Thanks for the insgiht. It brings light into the dark!

	~~Sind in einem integablen Hamiltonschen System Ho die Frequenzen genügend irrational:, das heißt~~


	~~:<math>\left\| \sum\limits_{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega }_{i}}} \right\|\ge \gamma {{\left\| {\bar{r}} \right\|}^{\alpha }}\quad \alpha ,\gamma >0</math>~~


	~~So hat das gestörte System~~
	~~:<math>H(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )={{H}_{0}}(\bar{I})+\varepsilon {{H}_{1}}(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )</math>~~
	~~für kleine~~
	~~:<math>\varepsilon </math>~~
	~~überwiegend ebenfalls quasiperiodische Lösungen und die eisten nichtresonanten Tori von~~
	~~:<math>{{H}_{0}}</math>~~
	~~werden nur wenig deformiert, aber nicht zerstört~~.

	~~<u>'''Anwendung:'''</u>~~

	~~Das restringierte 3-Körper-Problem ist KAM- Stabil. Aber: keine Aussage über eine Langzeitstabilität unseres Planetensystems~~!

	~~Praktische Verfahren zur Berechnung der gestörten Lösungen:~~

	* störungstheoretische Entwicklung in
	~~:<math>\varepsilon </math>~~

	* Mittelung über die Störungen

	~~[[Kategorie:Mechanik]]~~

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (3), ( → ( (4)

2010-09-12T22:31:59Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (3), ( → ( (4)

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	und der Winkelvariablen		und der Winkelvariablen
	:<math>\bar{\theta }({{\theta }_{1}},...,{{\theta }_{f}})</math>		:<math>\bar{\theta }({{\theta }_{1}},...,{{\theta }_{f}})</math>,
	, Hamiltonfunktion		Hamiltonfunktion
	:<math>{{H}_{0}}(\bar{I})</math>		:<math>{{H}_{0}}(\bar{I})</math>

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	nicht mehr zyklisch.		nicht mehr zyklisch.
	:<math>\bar{I}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})</math>		:<math>\bar{I}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})</math>
	ist also keine Bewegungskonstante mehr !		ist also keine Bewegungskonstante mehr!

	====Beispiel:====		====Beispiel:====
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	System: Sonne, Erde, Mond		System: Sonne, Erde, Mond

	* integrables 2- Körper- Problem mit 2 größeren Massen ( annähernd Kreisbahn) und einer kleinen Masse m3 als Störung		* integrables 2- Körper- Problem mit 2 größeren Massen (annähernd Kreisbahn) und einer kleinen Masse m3 als Störung
	* Frage: Ist die quasiperiodische Bewegung über lange Zeiten stabil ? Das heißt: Verändert die Störung die Struktur der Bewegungsmannigfaltigkeit nur wenig ?		* Frage: Ist die quasiperiodische Bewegung über lange Zeiten stabil ? Das heißt: Verändert die Störung die Struktur der Bewegungsmannigfaltigkeit nur wenig ?

	Also:		Also:

	Durch eine dritte Masse m3 ist eine Störung gegeben. Die Bewegung konnte auch vorher ( bei irrationalem Verhältnis der Umlaufszeiten oder Frequenzen) schon nur quasiperiodisch sein.		Durch eine dritte Masse m3 ist eine Störung gegeben. Die Bewegung konnte auch vorher (bei irrationalem Verhältnis der Umlaufszeiten oder Frequenzen) schon nur quasiperiodisch sein.

	Ist die quasiperiodische Lösung unter Anwesenheit der dritten Masse jedoch noch stabil ?		Ist die quasiperiodische Lösung unter Anwesenheit der dritten Masse jedoch noch stabil ?

	* Dies ist bis heute ungelöst... Es gibt jedoch Hinweise auf chaotische Bewegungen, beispielsweise chaotische Bewegungen des Planeten Pluto !		* Dies ist bis heute ungelöst... Es gibt jedoch Hinweise auf chaotische Bewegungen, beispielsweise chaotische Bewegungen des Planeten Pluto!

	Teilantwort liefert die KAM_ Theorie ( Kolmogorov, Arnold, Moser, 1954, 1963, 1967)		Teilantwort liefert die KAM_ Theorie (Kolmogorov, Arnold, Moser, 1954, 1963, 1967)

	* Stabilitätsaussagen		* Stabilitätsaussagen
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	dicht ohne sich jedoch zu schließen: Die Bewegung ist ergodisch.		dicht ohne sich jedoch zu schließen: Die Bewegung ist ergodisch.

	'''ERGODISCHE Bewegung '''( nichtresonanter Torus)		'''ERGODISCHE Bewegung '''(nichtresonanter Torus)

	====KAM- Theorem====		====KAM- Theorem====
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	<u>'''Anwendung:'''</u>		<u>'''Anwendung:'''</u>

	Das restringierte 3-Körper-Problem ist KAM- Stabil. Aber: keine Aussage über eine Langzeitstabilität unseres Planetensystems !		Das restringierte 3-Körper-Problem ist KAM- Stabil. Aber: keine Aussage über eine Langzeitstabilität unseres Planetensystems!

	Praktische Verfahren zur Berechnung der gestörten Lösungen:		Praktische Verfahren zur Berechnung der gestörten Lösungen:

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:28:23Z

Einrückungen Mathematik

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	<math>\bar{I}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})</math>		:<math>\bar{I}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})</math>
	und der Winkelvariablen		und der Winkelvariablen
	<math>\bar{\theta }({{\theta }_{1}},...,{{\theta }_{f}})</math>		:<math>\bar{\theta }({{\theta }_{1}},...,{{\theta }_{f}})</math>
	, Hamiltonfunktion		, Hamiltonfunktion
	<math>{{H}_{0}}(\bar{I})</math>		:<math>{{H}_{0}}(\bar{I})</math>


	Betrachten wir nun eine kleine Störung der Stärke		Betrachten wir nun eine kleine Störung der Stärke
	<math>\varepsilon </math>		:<math>\varepsilon </math>
	:		:


	<math>H(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )={{H}_{0}}(\bar{I})+\varepsilon {{H}_{1}}(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )</math>		:<math>H(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )={{H}_{0}}(\bar{I})+\varepsilon {{H}_{1}}(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )</math>


	In diesem Fall ist		In diesem Fall ist
	<math>\theta </math>		:<math>\theta </math>
	nicht mehr zyklisch.		nicht mehr zyklisch.
	<math>\bar{I}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})</math>		:<math>\bar{I}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})</math>
	ist also keine Bewegungskonstante mehr !		ist also keine Bewegungskonstante mehr !

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	Die Frequenzen des integrablen Systems		Die Frequenzen des integrablen Systems
	<math>{{H}_{0}}(\bar{I})</math>		:<math>{{H}_{0}}(\bar{I})</math>
	sind rational unabhängig, also:		sind rational unabhängig, also:


	<math>\sum\limits_{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega }_{i}}=0\quad {{r}_{i}}\in Z\Leftrightarrow {{r}_{1}}=...={{r}_{f}}=0}</math>		:<math>\sum\limits_{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega }_{i}}=0\quad {{r}_{i}}\in Z\Leftrightarrow {{r}_{1}}=...={{r}_{f}}=0}</math>


	Dann überdeckt jede Bahn für festes		Dann überdeckt jede Bahn für festes
	<math>{{I}_{k}}={{\alpha }_{k}}</math>		:<math>{{I}_{k}}={{\alpha }_{k}}</math>
	den Torus		den Torus
	<math>{{T}^{f}}</math>		:<math>{{T}^{f}}</math>
	dicht ohne sich jedoch zu schließen: Die Bewegung ist ergodisch.		dicht ohne sich jedoch zu schließen: Die Bewegung ist ergodisch.

Zeile 68:		Zeile 68:


	<math>\left\| \sum\limits_{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega }_{i}}} \right\|\ge \gamma {{\left\| {\bar{r}} \right\|}^{\alpha }}\quad \alpha ,\gamma >0</math>		:<math>\left\| \sum\limits_{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega }_{i}}} \right\|\ge \gamma {{\left\| {\bar{r}} \right\|}^{\alpha }}\quad \alpha ,\gamma >0</math>


	So hat das gestörte System		So hat das gestörte System
	<math>H(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )={{H}_{0}}(\bar{I})+\varepsilon {{H}_{1}}(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )</math>		:<math>H(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )={{H}_{0}}(\bar{I})+\varepsilon {{H}_{1}}(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )</math>
	für kleine		für kleine
	<math>\varepsilon </math>		:<math>\varepsilon </math>
	überwiegend ebenfalls quasiperiodische Lösungen und die eisten nichtresonanten Tori von		überwiegend ebenfalls quasiperiodische Lösungen und die eisten nichtresonanten Tori von
	<math>{{H}_{0}}</math>		:<math>{{H}_{0}}</math>
	werden nur wenig deformiert, aber nicht zerstört.		werden nur wenig deformiert, aber nicht zerstört.

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	* störungstheoretische Entwicklung in		* störungstheoretische Entwicklung in
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	* Mittelung über die Störungen		* Mittelung über die Störungen

	[[Kategorie:Mechanik]]		[[Kategorie:Mechanik]]

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2010-08-28T22:39:59Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|5|3}}</noinclude> ein integrables, quasiperiodisches, autonomes Hamiltonsches System mit der Wirkungsvariablen <math>\bar{…“

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<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|5|3}}</noinclude>

ein integrables, quasiperiodisches, autonomes Hamiltonsches System mit der Wirkungsvariablen

<math>\bar{I}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})</math>
und der Winkelvariablen
<math>\bar{\theta }({{\theta }_{1}},...,{{\theta }_{f}})</math>
, Hamiltonfunktion
<math>{{H}_{0}}(\bar{I})</math>

Betrachten wir nun eine kleine Störung der Stärke
<math>\varepsilon </math>
:

<math>H(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )={{H}_{0}}(\bar{I})+\varepsilon {{H}_{1}}(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )</math>

In diesem Fall ist
<math>\theta </math>
nicht mehr zyklisch.
<math>\bar{I}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})</math>
ist also keine Bewegungskonstante mehr !

====Beispiel:====
Himmelsmechanik, beispielsweise restringiertes 3- Körper- Problem

System: Sonne, Erde, Mond

* integrables 2- Körper- Problem mit 2 größeren Massen ( annähernd Kreisbahn) und einer kleinen Masse m3 als Störung
* Frage: Ist die quasiperiodische Bewegung über lange Zeiten stabil ? Das heißt: Verändert die Störung die Struktur der Bewegungsmannigfaltigkeit nur wenig ?

Also:

Durch eine dritte Masse m3 ist eine Störung gegeben. Die Bewegung konnte auch vorher ( bei irrationalem Verhältnis der Umlaufszeiten oder Frequenzen) schon nur quasiperiodisch sein.

Ist die quasiperiodische Lösung unter Anwesenheit der dritten Masse jedoch noch stabil ?

* Dies ist bis heute ungelöst... Es gibt jedoch Hinweise auf chaotische Bewegungen, beispielsweise chaotische Bewegungen des Planeten Pluto !

Teilantwort liefert die KAM_ Theorie ( Kolmogorov, Arnold, Moser, 1954, 1963, 1967)

* Stabilitätsaussagen

<u>'''Voraussetzung:'''</u>

Die Frequenzen des integrablen Systems
<math>{{H}_{0}}(\bar{I})</math>
sind rational unabhängig, also:

<math>\sum\limits_{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega }_{i}}=0\quad {{r}_{i}}\in Z\Leftrightarrow {{r}_{1}}=...={{r}_{f}}=0}</math>

Dann überdeckt jede Bahn für festes
<math>{{I}_{k}}={{\alpha }_{k}}</math>
den Torus
<math>{{T}^{f}}</math>
dicht ohne sich jedoch zu schließen: Die Bewegung ist ergodisch.

'''ERGODISCHE Bewegung '''( nichtresonanter Torus)

====KAM- Theorem====

Sind in einem integablen Hamiltonschen System Ho die Frequenzen genügend irrational:, das heißt

<math>\left| \sum\limits_{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega }_{i}}} \right|\ge \gamma {{\left| {\bar{r}} \right|}^{\alpha }}\quad \alpha ,\gamma >0</math>

So hat das gestörte System
<math>H(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )={{H}_{0}}(\bar{I})+\varepsilon {{H}_{1}}(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )</math>
für kleine
<math>\varepsilon </math>
überwiegend ebenfalls quasiperiodische Lösungen und die eisten nichtresonanten Tori von
<math>{{H}_{0}}</math>
werden nur wenig deformiert, aber nicht zerstört.

<u>'''Anwendung:'''</u>

Das restringierte 3-Körper-Problem ist KAM- Stabil. Aber: keine Aussage über eine Langzeitstabilität unseres Planetensystems !

Praktische Verfahren zur Berechnung der gestörten Lösungen:

* störungstheoretische Entwicklung in
<math>\varepsilon </math>

* Mittelung über die Störungen

[[Kategorie:Mechanik]]

Störungen integrabler Systeme - Versionsgeschichte

Schubotz: Änderungen von 50.56.29.144 (Diskussion) rückgängig gemacht und letzte Version von SchuBot wiederhergestellt

50.56.29.144: /* KAM- Theorem */

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (3), ( → ( (4)

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

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