Spin- Operatoren und Zustände - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (11), ( → ( (2)

2010-09-12T22:45:00Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (11), ( → ( (2)

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:45 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	{{FB\|Stern-Gerlach Experiment}}: (1922)		{{FB\|Stern-Gerlach Experiment}}: (1922)

	[[Datei:Stern-~~Gerlach_Experiment_de~~.png]]		[[Datei:Stern-Gerlach Experiment de.png]]

	Für das inhomogene Magnetfeld gilt: <math>\nabla {{B}_{3}}\bot \text{Strahl}</math>		Für das inhomogene Magnetfeld gilt: <math>\nabla {{B}_{3}}\bot \text{Strahl}</math>
Zeile 15:		Zeile 15:
	Bahndrehimpuls l ergäbe <math>2l+1</math>- fache Strahlaufspaltung (also in jedem Fall ungeradzahlige Strahlaufspaltung)		Bahndrehimpuls l ergäbe <math>2l+1</math>- fache Strahlaufspaltung (also in jedem Fall ungeradzahlige Strahlaufspaltung)

	Beobachtet wurde zweifache Aufspaltung !!		Beobachtet wurde zweifache Aufspaltung!!

	:<math>\Rightarrow \bar{\mu }\sim \bar{S}</math>		:<math>\Rightarrow \bar{\mu }\sim \bar{S}</math>

	Eigendrehimpuls ({{FB\|Spin}}) des Elektrons !		Eigendrehimpuls ({{FB\|Spin}}) des Elektrons!

	:<math>{{S}_{3}}={{m}_{S}}\hbar </math>		:<math>{{S}_{3}}={{m}_{S}}\hbar </math>
Zeile 41:		Zeile 41:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Dies ist jedoch falsch ! Vielmehr wurde experimentell der folgende Wert ermittelt:		Dies ist jedoch falsch! Vielmehr wurde experimentell der folgende Wert ermittelt:

	:<math>{{\mu }_{3}}=+g\frac{+e}{2{{m}_{0}}}{{S}_{3}}</math>		:<math>{{\mu }_{3}}=+g\frac{+e}{2{{m}_{0}}}{{S}_{3}}</math>
Zeile 47:		Zeile 47:
	mit g=2,0023 g sogenannter {{FB\|Lande-Faktor}} (gyromagnetischer Faktor)		mit g=2,0023 g sogenannter {{FB\|Lande-Faktor}} (gyromagnetischer Faktor)

	Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2 !!!		Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2!!!

	====Spin als Freiheitsgrad des Elektrons====		====Spin als Freiheitsgrad des Elektrons====
	{{FB\|Spin-Eigenzustände}}: <math>\left\| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{S}}</math>		{{FB\|Spin-Eigenzustände}}: <math>\left\| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{S}}</math>

	{{FB\|Spin-Hilbertraum}} (zweidimensional !)		{{FB\|Spin-Hilbertraum}} (zweidimensional!)

	Notation:		Notation:
Zeile 103:		Zeile 103:
	(ganz allgemeine {{FB\|Drehimpuls-Vertauschungs-Relation}})		(ganz allgemeine {{FB\|Drehimpuls-Vertauschungs-Relation}})

	(Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert !)		(Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert!)

	folgt:		folgt:
Zeile 153:		Zeile 153:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Beliebige Koeffizienten als Ansatz setzen !		Beliebige Koeffizienten als Ansatz setzen!

	Berechnung der Koeffizienten <math>\alpha ,\beta </math>:		Berechnung der Koeffizienten <math>\alpha ,\beta </math>:
Zeile 183:		Zeile 183:
	:<math>\alpha =\beta =2</math>		:<math>\alpha =\beta =2</math>

	Auch hier gewinnt man wieder Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte bzw. die Koeffizienten, wir haben ja keine Eigenwerte hier, indem man die gesuchten Operatoren durch bekannte ausdrückt !		Auch hier gewinnt man wieder Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte bzw. die Koeffizienten, wir haben ja keine Eigenwerte hier, indem man die gesuchten Operatoren durch bekannte ausdrückt!

	So folgt:		So folgt:
Zeile 218:		Zeile 218:
	{\| class="wikitable" border="1"		{\| class="wikitable" border="1"
	\|+ Zusammenfassung		\|+ Zusammenfassung
	! !!<math>\left\| \uparrow \right\rangle </math> !! <math>\left\| \downarrow \right\rangle </math>		!!!<math>\left\| \uparrow \right\rangle </math>!! <math>\left\| \downarrow \right\rangle </math>
	\|-		\|-
	\| <math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}</math> \|\| <math>\left\| \downarrow \right\rangle </math> \|\| <math>\left\| \uparrow \right\rangle </math>		\| <math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}</math> \|\| <math>\left\| \downarrow \right\rangle </math> \|\| <math>\left\| \uparrow \right\rangle </math>
Zeile 353:		Zeile 353:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	erfüllt, .... usw...		erfüllt,.... usw...

	S3- Darstellung der Zustände:		S3- Darstellung der Zustände:
Zeile 397:		Zeile 397:
	1 \\		1 \\

	\end{matrix} \right)</math> die Basis- Spinoren ( Spaltenvektoren)		\end{matrix} \right)</math> die Basis- Spinoren (Spaltenvektoren)

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 405:		Zeile 405:
	& \left\langle \downarrow \right\|=\left( 0,1 \right) \\		& \left\langle \downarrow \right\|=\left( 0,1 \right) \\

	\end{align}</math> Zeilenvektoren ( transponiert)		\end{align}</math> Zeilenvektoren (transponiert)

	:<math>\left( \begin{matrix}		:<math>\left( \begin{matrix}

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:47:18Z

Einrückungen Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 16:47 Uhr
Zeile 71:		Zeile 71:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	<math>{{\hat{S}}_{3}}</math> ist hermitesch		:<math>{{\hat{S}}_{3}}</math> ist hermitesch

	Eigenwerte: <math>\pm 1</math>		Eigenwerte: <math>\pm 1</math>
Zeile 175:		Zeile 175:
	Weiter:		Weiter:

	<math>\left\langle \uparrow \right\|{{\hat{\bar{\sigma }}}_{+}}\left\| \downarrow \right\rangle =\alpha \left\langle \uparrow \| \uparrow \right\rangle =\alpha </math>		:<math>\left\langle \uparrow \right\|{{\hat{\bar{\sigma }}}_{+}}\left\| \downarrow \right\rangle =\alpha \left\langle \uparrow \| \uparrow \right\rangle =\alpha </math>

	Aber gleichzeitig, wenn man den Operator gekreuzt nach links wirken läßt:		Aber gleichzeitig, wenn man den Operator gekreuzt nach links wirken läßt:
Zeile 181:		Zeile 181:
	O.B. d. A.: wähle		O.B. d. A.: wähle

	<math>\alpha =\beta =2</math>		:<math>\alpha =\beta =2</math>

	Auch hier gewinnt man wieder Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte bzw. die Koeffizienten, wir haben ja keine Eigenwerte hier, indem man die gesuchten Operatoren durch bekannte ausdrückt !		Auch hier gewinnt man wieder Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte bzw. die Koeffizienten, wir haben ja keine Eigenwerte hier, indem man die gesuchten Operatoren durch bekannte ausdrückt !
Zeile 187:		Zeile 187:
	So folgt:		So folgt:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left\| \downarrow \right\rangle =\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)\left\| \downarrow \right\rangle =2\left\| \uparrow \right\rangle \\		& \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left\| \downarrow \right\rangle =\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)\left\| \downarrow \right\rangle =2\left\| \uparrow \right\rangle \\
Zeile 201:		Zeile 201:
	Außerdem:		Außerdem:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left\| \downarrow \right\rangle =\left( i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left\| \downarrow \right\rangle =2\left\| \uparrow \right\rangle \\		& \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left\| \downarrow \right\rangle =\left( i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left\| \downarrow \right\rangle =2\left\| \uparrow \right\rangle \\
Zeile 399:		Zeile 399:
	\end{matrix} \right)</math> die Basis- Spinoren ( Spaltenvektoren)		\end{matrix} \right)</math> die Basis- Spinoren ( Spaltenvektoren)

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \left\langle \uparrow \right\|=\left( 1,0 \right) \\		& \left\langle \uparrow \right\|=\left( 1,0 \right) \\
Zeile 407:		Zeile 407:
	\end{align}</math> Zeilenvektoren ( transponiert)		\end{align}</math> Zeilenvektoren ( transponiert)

	<math>\left( \begin{matrix}		:<math>\left( \begin{matrix}

	0 & 1 \\		0 & 1 \\
Zeile 429:		Zeile 429:
	was äquivalent ist zu		was äquivalent ist zu

	<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}\left\| \uparrow \right\rangle =\left\| \downarrow \right\rangle </math>		:<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}\left\| \uparrow \right\rangle =\left\| \downarrow \right\rangle </math>

*>SchuBot am 11. September 2010 um 17:16 Uhr

2010-09-11T17:16:47Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 19:16 Uhr
Zeile 89:		Zeile 89:
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \left\| a(t) \right\rangle =\left\| \uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow ~~\right\|\left\|~~ a(t) \right\rangle +\left\| \downarrow \right\rangle \left\langle \downarrow ~~\right\|\left\|~~ a(t) \right\rangle \\		& \left\| a(t) \right\rangle =\left\| \uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow \| a(t) \right\rangle +\left\| \downarrow \right\rangle \left\langle \downarrow \| a(t) \right\rangle \\

	& \left\langle \uparrow ~~\right\|\left\|~~ a(t) \right\rangle :={{a}_{1}}(t) \\		& \left\langle \uparrow \| a(t) \right\rangle :={{a}_{1}}(t) \\

	& \left\langle \downarrow ~~\right\|\left\|~~ a(t) \right\rangle :={{a}_{2}}(t) \\		& \left\langle \downarrow \| a(t) \right\rangle :={{a}_{2}}(t) \\

	\end{align}</math>		\end{align}</math>

Schubotz am 10. September 2010 um 14:33 Uhr

2010-09-10T14:33:21Z

Änderungen zeigen

Schubotz am 10. September 2010 um 14:10 Uhr

2010-09-10T14:10:10Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. September 2010, 16:10 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:

	'''Stern- Gerlach Experiment: 1922:'''		'''Stern- Gerlach Experiment: 1922:'''

			[[Datei:Datei:Stern-Gerlach_Experiment_de.png]]

	Für das inhomogene Magnetfeld gilt: <math>\nabla {{B}_{3}}\bot Strahl</math>		Für das inhomogene Magnetfeld gilt: <math>\nabla {{B}_{3}}\bot Strahl</math>
Zeile 7:		Zeile 9:
	Die Kraft auf das magnetische Moment ergibt sich gemäß		Die Kraft auf das magnetische Moment ergibt sich gemäß

	<math>\bar{F}=\nabla \left( {{\mu }_{3}}{{B}_{3}} \right)={{\mu }_{3}}\nabla {{B}_{3}}</math>		:<math>\bar{F}=\nabla \left( {{\mu }_{3}}{{B}_{3}} \right)={{\mu }_{3}}\nabla {{B}_{3}}</math>

	Somit: Ablenkung ~~parallel~~ zu µ3 !!		Somit: Ablenkung proportional zu µ3!!

	Bahndrehimpuls l ergäbe <math>2l+1</math>		Bahndrehimpuls l ergäbe <math>2l+1</math>- fache Strahlaufspaltung (also in jedem Fall ungeradzahlige Strahlaufspaltung)

	~~- fache Strahlaufspaltung ( also in jedem Fall ungeradzahlige Strahlaufspaltung)~~		Beobachtet wurde zweifache Aufspaltung !!

	~~beobachtet wurde zweifache Aufspaltung !!~~		:<math>\Rightarrow \bar{\mu }\tilde{\ }\bar{S}</math>

	<math>\Rightarrow \bar{\mu }\tilde{\ }\bar{S}</math>

	Eigendrehimpuls ( Spin) des Elektrons !		Eigendrehimpuls ( Spin) des Elektrons !

	<math>{{S}_{3}}={{m}_{S}}\hbar </math>		:<math>{{S}_{3}}={{m}_{S}}\hbar </math>

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& {{m}_{S}}=\pm \frac{1}{2} \\		& {{m}_{S}}=\pm \frac{1}{2} \\
Zeile 33:		Zeile 33:
	Klassische Vorstellung: Rotation eines geladenen Körpers um seine eigene Achse:		Klassische Vorstellung: Rotation eines geladenen Körpers um seine eigene Achse:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \Rightarrow \bar{\mu }=\frac{+e}{2{{m}_{0}}}\bar{S}\quad e<0 \\		& \Rightarrow \bar{\mu }=\frac{+e}{2{{m}_{0}}}\bar{S}\quad e<0 \\
Zeile 43:		Zeile 43:
	Dies ist jedoch falsch ! Vielmehr wurde experimentell der folgende Wert ermittelt:		Dies ist jedoch falsch ! Vielmehr wurde experimentell der folgende Wert ermittelt:

	<math>{{\mu }_{3}}=+g\frac{+e}{2{{m}_{0}}}{{S}_{3}}</math>		:<math>{{\mu }_{3}}=+g\frac{+e}{2{{m}_{0}}}{{S}_{3}}</math>

	mit g=2,0023 , g sogenannter Lande´- Faktor ( gyromagnetischer Faktor)		mit g=2,0023 ,g sogenannter Lande´- Faktor (gyromagnetischer Faktor)

	Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2 !!!		Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2 !!!
Zeile 56:		Zeile 56:
	Notation:		Notation:

	<math>\left\| +\frac{1}{2} \right\rangle =\left\| \uparrow \right\rangle </math>		;Spin up:<math>\left\| +\frac{1}{2} \right\rangle =\left\| \uparrow \right\rangle </math>
			;Spin down:<math>\left\| -\frac{1}{2} \right\rangle =\left\| \downarrow \right\rangle </math>
	Spin ~~up !~~

	<math>\left\| -\frac{1}{2} \right\rangle =\left\| \downarrow \right\rangle </math>

	~~Spin down !~~

	Dimensionsloser Spinoperator		Dimensionsloser Spinoperator
Zeile 106:		Zeile 101:
	Aus:		Aus:

	<math>\hat{S}\times \hat{S}=i\hbar \hat{S}</math>		:<math>\hat{S}\times \hat{S}=i\hbar \hat{S}</math>

	( ganz allgemeine Drehimpuls- Vertausch- Relation)		(ganz allgemeine Drehimpuls- Vertausch- Relation)

	( Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert !)		(Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert !)

	folgt:		folgt:
Zeile 162:		Zeile 157:
	Beliebige Koeffizienten als Ansatz setzen !		Beliebige Koeffizienten als Ansatz setzen !

	Berechnung der Koeffizienten <math>\alpha ,\beta </math>		Berechnung der Koeffizienten <math>\alpha ,\beta </math>:

	:		:<math>\begin{align}

	<math>\begin{align}

	& \alpha *\alpha =\left\langle \downarrow \right\|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}^{+}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}\left\| \downarrow \right\rangle =\left\langle \downarrow \right\|\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left\| \downarrow \right\rangle \\		& \alpha *\alpha =\left\langle \downarrow \right\|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}^{+}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}\left\| \downarrow \right\rangle =\left\langle \downarrow \right\|\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left\| \downarrow \right\rangle \\
Zeile 222:		Zeile 215:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Zusammenfassung:
			== Zusammenfassung ==


	<math>\left\| \uparrow \right\rangle </math>		<math>\left\| \uparrow \right\rangle </math>

Schubotz am 9. September 2010 um 14:34 Uhr

2010-09-09T14:34:55Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. September 2010, 16:34 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|4\|1}}		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|4\|1}}</noinclude>

	'''Stern- Gerlach Experiment: 1922:'''		'''Stern- Gerlach Experiment: 1922:'''

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|4|1}} '''Stern- Gerlach Experiment: 1922:''' Für das inhomogene Magnetfeld gilt: $\nabla {{B}_{3}}\bot Strahl$ Die…“

2010-08-24T16:51:51Z

Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|4|1}} '''Stern- Gerlach Experiment: 1922:''' Für das inhomogene Magnetfeld gilt: <math>\nabla {{B}_{3}}\bot Strahl</math> Die…“

Neue Seite

{{Scripthinweis|Quantenmechanik|4|1}}

'''Stern- Gerlach Experiment: 1922:'''

Für das inhomogene Magnetfeld gilt: <math>\nabla {{B}_{3}}\bot Strahl</math>

Die Kraft auf das magnetische Moment ergibt sich gemäß

<math>\bar{F}=\nabla \left( {{\mu }_{3}}{{B}_{3}} \right)={{\mu }_{3}}\nabla {{B}_{3}}</math>

Somit: Ablenkung parallel zu µ3 !!

Bahndrehimpuls l ergäbe <math>2l+1</math>

- fache Strahlaufspaltung ( also in jedem Fall ungeradzahlige Strahlaufspaltung)

beobachtet wurde zweifache Aufspaltung !!

<math>\Rightarrow \bar{\mu }\tilde{\ }\bar{S}</math>

Eigendrehimpuls ( Spin) des Elektrons !

<math>{{S}_{3}}={{m}_{S}}\hbar </math>

<math>\begin{align}

& {{m}_{S}}=\pm \frac{1}{2} \\

& l\equiv s=\frac{1}{2} \\

\end{align}</math>

Klassische Vorstellung: Rotation eines geladenen Körpers um seine eigene Achse:

<math>\begin{align}

& \Rightarrow \bar{\mu }=\frac{+e}{2{{m}_{0}}}\bar{S}\quad e<0 \\

& \Rightarrow {{\mu }_{3}}=\frac{+e}{2{{m}_{0}}}{{S}_{3}}=\pm \frac{+e\hbar }{4{{m}_{0}}} \\

\end{align}</math>

Dies ist jedoch falsch ! Vielmehr wurde experimentell der folgende Wert ermittelt:

<math>{{\mu }_{3}}=+g\frac{+e}{2{{m}_{0}}}{{S}_{3}}</math>

mit g=2,0023 , g sogenannter Lande´- Faktor ( gyromagnetischer Faktor)

Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2 !!!

====Spin als Freiheitsgrad des Elektrons====
Spin- Eigenzustände: <math>\left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{S}}</math>

Spin- Hilbertraum ( zweidimensional !)

Notation:

<math>\left| +\frac{1}{2} \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle </math>

Spin up !

<math>\left| -\frac{1}{2} \right\rangle =\left| \downarrow \right\rangle </math>

Spin down !

Dimensionsloser Spinoperator

Mit Eigenwerten und Spinzuständen als Eigenzustände:

<math>\begin{align}

& {{{\hat{\bar{S}}}}_{3}}\left| \uparrow \right\rangle =\frac{\hbar }{2}\left| \uparrow \right\rangle \Rightarrow \hat{\bar{\sigma }}\left| \uparrow \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle \\

& {{{\hat{\bar{S}}}}_{3}}\left| \downarrow \right\rangle =-\frac{\hbar }{2}\left| \downarrow \right\rangle \Rightarrow \hat{\bar{\sigma }}\left| \downarrow \right\rangle =-\left| \downarrow \right\rangle \\

\end{align}</math>

<math>{{\hat{S}}_{3}}</math>

ist hermitesch

Eigenwerte: <math>\pm 1</math>

Orthonormierung: <math>\begin{align}

& \left\langle \uparrow | \uparrow \right\rangle =\left\langle \downarrow | \downarrow \right\rangle =1 \\

& \left\langle \uparrow | \downarrow \right\rangle =0 \\

\end{align}</math>

Vollständigkeit: <math>\left| \uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow \right|+\left| \downarrow \right\rangle \left\langle \downarrow \right|=1</math>

Das heißt, jeder beliebige, auch zeitabhängige Spinzustand kann entwickelt werden als

<math>\begin{align}

& \left| a(t) \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow \right|\left| a(t) \right\rangle +\left| \downarrow \right\rangle \left\langle \downarrow \right|\left| a(t) \right\rangle \\

& \left\langle \uparrow \right|\left| a(t) \right\rangle :={{a}_{1}}(t) \\

& \left\langle \downarrow \right|\left| a(t) \right\rangle :={{a}_{2}}(t) \\

\end{align}</math>

Aus:

<math>\hat{S}\times \hat{S}=i\hbar \hat{S}</math>

( ganz allgemeine Drehimpuls- Vertausch- Relation)

( Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert !)

folgt:

<math>\begin{align}

& \hat{\bar{\sigma }}\times \hat{\bar{\sigma }}=2i\hat{\bar{\sigma }} \\

& \left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{j}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{k}} \right]=2i{{\varepsilon }_{jkl}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{l}} \\

\end{align}</math>

<math>\begin{align}

& {{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}\left| \uparrow \right\rangle ={{\hbar }^{2}}s(s+1)\left| \uparrow \right\rangle \Rightarrow s=\frac{1}{2}\Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}^{2}}\left| \uparrow \right\rangle =3\left| \uparrow \right\rangle \\

& {{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}\left| \downarrow \right\rangle ={{\hbar }^{2}}s(s+1)\left| \downarrow \right\rangle \Rightarrow s=\frac{1}{2}\Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}^{2}}\left| \downarrow \right\rangle =3\left| \downarrow \right\rangle \\

\end{align}</math>

Spin- leiteroperatoren:;

<math>\begin{align}

& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{\pm }}:={{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\pm i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \\

& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}\left| \uparrow \right\rangle ={{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{-}}\left| \downarrow \right\rangle =0 \\

\end{align}</math>

Somit folgt:

<math>\begin{align}

& \Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\left| \uparrow \right\rangle =-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}\left| \uparrow \right\rangle \\

& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\left| \downarrow \right\rangle =i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}\left| \downarrow \right\rangle \\

\end{align}</math>

Andererseits gilt:

<math>\begin{align}

& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}\left| \downarrow \right\rangle =\alpha \left| \uparrow \right\rangle \\

& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{-}}\left| \uparrow \right\rangle =\beta \left| \downarrow \right\rangle \\

\end{align}</math>

Beliebige Koeffizienten als Ansatz setzen !

Berechnung der Koeffizienten <math>\alpha ,\beta </math>

:

<math>\begin{align}

& \alpha *\alpha =\left\langle \downarrow \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}^{+}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}\left| \downarrow \right\rangle =\left\langle \downarrow \right|\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle \\

& =\left\langle \downarrow \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}^{2}+{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}^{2}+i\left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right]\left| \downarrow \right\rangle \\

& \left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right]=2i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\

& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}^{2}+{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}^{2}={{{\hat{\bar{\sigma }}}}^{2}}-{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}^{2} \\

& \Rightarrow \alpha *\alpha =\left\langle \downarrow \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}^{2}}-{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}^{2}-2{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| \downarrow \right\rangle =\left\langle \downarrow \right|3-1+2\left| \downarrow \right\rangle =4 \\

& \Rightarrow \left| \alpha \right|=2 \\

\end{align}</math>

Weiter:

<math>\left\langle \uparrow \right|{{\hat{\bar{\sigma }}}_{+}}\left| \downarrow \right\rangle =\alpha \left\langle \uparrow | \uparrow \right\rangle =\alpha </math>

Aber gleichzeitig, wenn man den Operator gekreuzt nach links wirken läßt:

O.B. d. A.: wähle

<math>\alpha =\beta =2</math>

Auch hier gewinnt man wieder Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte bzw. die Koeffizienten, wir haben ja keine Eigenwerte hier, indem man die gesuchten Operatoren durch bekannte ausdrückt !

So folgt:

<math>\begin{align}

& \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =2\left| \uparrow \right\rangle \\

& \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \uparrow \right\rangle =\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)\left| \uparrow \right\rangle =2\left| \downarrow \right\rangle \\

& \Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\left| \downarrow \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle \\

& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\left| \uparrow \right\rangle =\left| \downarrow \right\rangle \\

\end{align}</math>

Außerdem:

<math>\begin{align}

& \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =\left( i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =2\left| \uparrow \right\rangle \\

& \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \uparrow \right\rangle =-\left( i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \uparrow \right\rangle =2\left| \downarrow \right\rangle \\

& \Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}\left| \downarrow \right\rangle =-i\left| \uparrow \right\rangle \\

& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}\left| \uparrow \right\rangle =i\left| \downarrow \right\rangle \\

\end{align}</math>

Zusammenfassung:

<math>\left| \uparrow \right\rangle </math>
<math>\left| \downarrow \right\rangle </math>

<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}</math>
<math>\left| \downarrow \right\rangle </math>
<math>\left| \uparrow \right\rangle </math>

<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{2}}</math>
<math>i\left| \downarrow \right\rangle </math>
<math>-i\left| \uparrow \right\rangle </math>

<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}</math>
<math>\left| \uparrow \right\rangle </math>
<math>\left| \downarrow \right\rangle </math>

Die Spin- Operatoren lassen sich in diesem Sinne durch 2x2 Matrizen darstellen:

( Im zweidimensionalen Spin- Eigenraum):

<math>\begin{align}

& {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{i}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix}

\left\langle \uparrow \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{i}}\left| \uparrow \right\rangle & \left\langle \uparrow \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{i}}\left| \downarrow \right\rangle \\

\left\langle \downarrow \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{i}}\left| \uparrow \right\rangle & \left\langle \downarrow \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{i}}\left| \downarrow \right\rangle \\

\end{matrix} \right) \\

& \alpha ,\beta =1,2 \\

& i=1,2,3 \\

\end{align}</math>

Die Matrizen lassen sich ausschreiben : Paulische Spinmatrizen:

<math>\begin{align}

& {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix}

0 & 1 \\

1 & 0 \\

\end{matrix} \right) \\

& {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix}

0 & -i \\

i & 0 \\

\end{matrix} \right) \\

& {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix}

1 & 0 \\

0 & -1 \\

\end{matrix} \right) \\

\end{align}</math>

<math>\begin{align}

& \\

& \hat{\bar{S}}=\left( \begin{matrix}

\left( \begin{matrix}

0 & \frac{\hbar }{2} \\

\frac{\hbar }{2} & 0 \\

\end{matrix} \right) \\

\left( \begin{matrix}

0 & -i\frac{\hbar }{2} \\

\frac{\hbar }{2} & 0 \\

\end{matrix} \right) \\

\left( \begin{matrix}

\frac{\hbar }{2} & 0 \\

0 & -\frac{\hbar }{2} \\

\end{matrix} \right) \\

\end{matrix} \right) \\

\end{align}</math>

Was den bekannten Relationen genügt:

<math>\begin{align}

& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}=\left( \begin{matrix}

0 & 1 \\

1 & 0 \\

\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}

0 & -i \\

i & 0 \\

\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}

-i & 0 \\

0 & i \\

\end{matrix} \right)=i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\

& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}=\left( \begin{matrix}

0 & -i \\

i & 0 \\

\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}

0 & 1 \\

1 & 0 \\

\end{matrix} \right)=-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\

& \Rightarrow \left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1,}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right]=2i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\

\end{align}</math>

erfüllt, .... usw...

S3- Darstellung der Zustände:

<math>\begin{align}

& \left( \begin{matrix}

\left\langle \alpha | \uparrow \right\rangle ={{\delta }_{\alpha 1}} \\

\left\langle \alpha | \downarrow \right\rangle ={{\delta }_{\alpha 2}} \\

\end{matrix} \right) \\

& \left| \uparrow \right\rangle =\left( \begin{matrix}

1 \\

0 \\

\end{matrix} \right) \\

& \left| \downarrow \right\rangle =\left( \begin{matrix}

0 \\

1 \\

\end{matrix} \right) \\

\end{align}</math>

Dabei kennzeichnen <math>\left| \uparrow \right\rangle =\left( \begin{matrix}

1 \\

0 \\

\end{matrix} \right),\left| \downarrow \right\rangle =\left( \begin{matrix}

0 \\

1 \\

\end{matrix} \right)</math>

die Basis- Spinoren ( Spaltenvektoren)

<math>\begin{align}

& \left\langle \uparrow \right|=\left( 1,0 \right) \\

& \left\langle \downarrow \right|=\left( 0,1 \right) \\

\end{align}</math>

Zeilenvektoren ( transponiert)

<math>\left( \begin{matrix}

0 & 1 \\

1 & 0 \\

\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}

1 \\

0 \\

\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}

0 \\

1 \\

\end{matrix} \right)</math>

was äquivalent ist zu

<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}\left| \uparrow \right\rangle =\left| \downarrow \right\rangle </math>