Spezielle Verteilungen - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (7), ( → ( (4)

2010-09-12T22:55:15Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (7), ( → ( (4)

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:55 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	Durch Angabe eines Satzes der <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> oder des Satzes der intensiven Parameter <math>{{\lambda }_{n}}</math> ist die Verteilung vollständig festgelegt.		Durch Angabe eines Satzes der <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> oder des Satzes der intensiven Parameter <math>{{\lambda }_{n}}</math> ist die Verteilung vollständig festgelegt.

	Letztere sind die Lagrange- Parameter, die durch die Art des Kontaktes mit der Umgebung ( "großes" reservoir oder Bad, dessen intensive Variable sich nicht durch den Kontakt ändert), bestimmt:		Letztere sind die Lagrange- Parameter, die durch die Art des Kontaktes mit der Umgebung ("großes" reservoir oder Bad, dessen intensive Variable sich nicht durch den Kontakt ändert), bestimmt:

	==kanonische Verteilung==		==kanonische Verteilung==
Zeile 124:		Zeile 124:

	und der Magnetisierung <math>\bar{M}</math>		und der Magnetisierung <math>\bar{M}</math>
			.

	.

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 208:		Zeile 208:
	großkanonische Verteilung:		großkanonische Verteilung:

	* Wärmeaustausch und Teilchenaustausch möglich ( z.B. chemische Reaktion, etc...)		* Wärmeaustausch und Teilchenaustausch möglich (z.B. chemische Reaktion, etc...)
	* <math>\rho ={{Y}^{-1}}{{e}^{-\beta \left( H-{{\mu }_{\alpha }}{{N}^{\alpha }} \right)}}</math>		* <math>\rho ={{Y}^{-1}}{{e}^{-\beta \left( H-{{\mu }_{\alpha }}{{N}^{\alpha }} \right)}}</math>

Zeile 232:		Zeile 232:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Definition des chemischen Potenzials !!		Definition des chemischen Potenzials!!

	Also gilt für die innere Energie:		Also gilt für die innere Energie:
Zeile 294:		Zeile 294:
	innere Energie <math>U-\Delta U\le H\left( \xi \right)\le U</math>		innere Energie <math>U-\Delta U\le H\left( \xi \right)\le U</math>

	Die Messung des Hamiltonoperators ergibt eine Energie im Rahmen der Messunschärfe. Alle Größen sind festgelegt heisst: Es gibt kein Ensemble, das einen statistischen Mittelwert bildet, sondern: Die Energie ist so genau, wie die Energie eines Teilchens, nämlich an die Unschärfe gebunden !		Die Messung des Hamiltonoperators ergibt eine Energie im Rahmen der Messunschärfe. Alle Größen sind festgelegt heisst: Es gibt kein Ensemble, das einen statistischen Mittelwert bildet, sondern: Die Energie ist so genau, wie die Energie eines Teilchens, nämlich an die Unschärfe gebunden!


Zeile 303:		Zeile 303:
	:<math>H\left( \xi \right)=\sum\limits_{i=1}^{3N}{{}}\frac{{{p}_{i}}^{2}}{2m}</math>		:<math>H\left( \xi \right)=\sum\limits_{i=1}^{3N}{{}}\frac{{{p}_{i}}^{2}}{2m}</math>

	( Kugelschale)		(Kugelschale)

	'''Nebenbemerkung:'''		'''Nebenbemerkung:'''
Zeile 309:		Zeile 309:
	Für <math>\Delta U\to 0</math>		Für <math>\Delta U\to 0</math>

	( scharfe Energiefläche)		(scharfe Energiefläche)

	ist die Normierung der Wahrscheinlichkeit <math>\int_{\Delta \Omega }^{{}}{d\xi \rho \left( \xi \right)}=1</math>		ist die Normierung der Wahrscheinlichkeit <math>\int_{\Delta \Omega }^{{}}{d\xi \rho \left( \xi \right)}=1</math>
Zeile 338:		Zeile 338:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	charakteristische Funktion !		charakteristische Funktion!

	für <math>\Delta \Omega \to 0:</math>		für <math>\Delta \Omega \to 0:</math>
Zeile 378:		Zeile 378:
	das von <math>\Delta \Omega </math>		das von <math>\Delta \Omega </math>

	eingeschlossene Phasenraumvolumen !		eingeschlossene Phasenraumvolumen!

	<u>'''Entropie:'''</u>		<u>'''Entropie:'''</u>
Zeile 451:		Zeile 451:

	Das heißt: große Änderung von <math>\Omega </math>		Das heißt: große Änderung von <math>\Omega </math>
			,
			selbst bei winzigen Änderungen von U!

	~~, selbst bei winzigen Änderungen von U !~~		Also: In hochdimensionalen Räumen ist das Volumen praktisch an der Oberfläche einer Kugel lokalisiert!

	Also: In hochdimensionalen Räumen ist das Volumen praktisch an der Oberfläche einer Kugel lokalisiert !

	* <math>\begin{align}		* <math>\begin{align}
Zeile 474:		Zeile 474:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Die Änderung der Entropie über der inneren Energie ist gerade das Inverse der Temperatur !!		Die Änderung der Entropie über der inneren Energie ist gerade das Inverse der Temperatur!!

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T17:30:12Z

Einrückungen Mathematik

Änderungen zeigen

Schubotz: /* Großkanonische Verteilung */

2010-09-11T21:16:41Z

Großkanonische Verteilung

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 23:16 Uhr
Zeile 188:		Zeile 188:

	==Großkanonische Verteilung==		==Großkanonische Verteilung==
			[[Bild:GrosskanonischesEnsemble.svg\|miniatur\|Wärmeaustausch Teilchenaustausch (z.B chem. Reaktion)]]

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
Zeile 198:		Zeile 198:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Teilchenzahlen der Sorte <math>\alpha </math>		Teilchenzahlen der Sorte <math>\alpha </math>.

	.

	<math>{{\lambda }_{\alpha }}=-\frac{{{\mu }_{\alpha }}}{kT}</math>		<math>{{\lambda }_{\alpha }}=-\frac{{{\mu }_{\alpha }}}{kT}</math>
Zeile 212:		Zeile 210:
	* Wärmeaustausch und Teilchenaustausch möglich ( z.B. chemische Reaktion, etc...)		* Wärmeaustausch und Teilchenaustausch möglich ( z.B. chemische Reaktion, etc...)
	* <math>\rho ={{Y}^{-1}}{{e}^{-\beta \left( H-{{\mu }_{\alpha }}{{N}^{\alpha }} \right)}}</math>		* <math>\rho ={{Y}^{-1}}{{e}^{-\beta \left( H-{{\mu }_{\alpha }}{{N}^{\alpha }} \right)}}</math>
	*

	hängt parametrisch von V (FEST) ab		hängt parametrisch von V (FEST) ab
Zeile 226:		Zeile 224:
	<math>dS\left( U,V,{{N}^{\alpha }} \right)=\frac{1}{T}dU-\frac{{{\mu }_{\alpha }}}{T}d{{\bar{N}}^{\alpha }}</math>		<math>dS\left( U,V,{{N}^{\alpha }} \right)=\frac{1}{T}dU-\frac{{{\mu }_{\alpha }}}{T}d{{\bar{N}}^{\alpha }}</math>

	Gibbsche Fundamentalgleichung für dV=0		Gibbsche Fundamentalgleichung für dV=0 mit <math>\begin{align}

	mit

	<math>\begin{align}

	& {{\left( \frac{\partial S}{\partial U} \right)}_{{{{\bar{N}}}^{\alpha }},V}}=\frac{1}{T} \\		& {{\left( \frac{\partial S}{\partial U} \right)}_{{{{\bar{N}}}^{\alpha }},V}}=\frac{1}{T} \\
Zeile 268:		Zeile 262:
	für konstantes U,V und <math>d\bar{N}=d\bar{N}\acute{\ }+d\bar{N}\acute{\ }\acute{\ }=0</math>		für konstantes U,V und <math>d\bar{N}=d\bar{N}\acute{\ }+d\bar{N}\acute{\ }\acute{\ }=0</math>

	( Die Teilchen können nur von dem einen Gefäß ins andere)		(Die Teilchen können nur von dem einen Gefäß ins andere)

	folgt aus		folgt aus

Schubotz: /* Magnetfeld - Ensemble */

2010-09-11T21:14:11Z

Magnetfeld - Ensemble

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 23:14 Uhr
Zeile 116:		Zeile 116:
	==Magnetfeld - Ensemble==		==Magnetfeld - Ensemble==

			[[Datei:MagnetFeldEnsemble.svg\|miniatur\|Wärmeaustausch+ Magnetisierungsarbeit]]

	~~Wärmeaustausch+ Magnetisierungsarbeit:~~

	<math>\delta W=\bar{B}d\bar{M}</math>		<math>\delta W=\bar{B}d\bar{M}</math>

Schubotz: /* Druck - Ensemble */

2010-09-11T21:07:44Z

Druck - Ensemble

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 23:07 Uhr
Zeile 42:		Zeile 42:

	==Druck - Ensemble==		==Druck - Ensemble==
			[[Datei:DruckEnsemble.svg\|miniatur\|Wärmekontakt + mechanischer Arbeitskontakt]]

	Wärmekontakt + mechanischer Arbeitskontakt		Wärmekontakt + mechanischer Arbeitskontakt

Schubotz: /* kanonische Verteilung */

2010-09-11T20:10:59Z

kanonische Verteilung

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 22:10 Uhr
Zeile 6:		Zeile 6:

	==kanonische Verteilung==		==kanonische Verteilung==
	<math>\begin{align}		[[Datei:Wärmeaustausch.svg\|miniatur\|Wärmeaustausch, System im Wärmebad]]
			:<math>\begin{align}

	& \rho ={{Z}^{-1}}{{e}^{-\beta H}} \\		& \rho ={{Z}^{-1}}{{e}^{-\beta H}} \\
Zeile 16:		Zeile 17:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	~~'''~~Entropie: ~~'''~~<math>S(U)=-kI\left( U \right)=k\left[ \beta U-\Psi \left( \beta \right) \right]</math>		{{FB\|Entropie}}: <math>S(U)=-kI\left( U \right)=k\left[ \beta U-\Psi \left( \beta \right) \right]</math>

	Vergleiche ~~Kapitel 1.3~~		Vergleiche

	mit <math>\beta =\beta \left( U \right)</math> wegen <math>U=\frac{tr\left( H{{e}^{-\beta H}} \right)}{tr\left( {{e}^{-\beta H}} \right)}</math> und <math>\frac{\partial \Psi }{\partial \beta }=U</math> folgt:		mit <math>\beta =\beta \left( U \right)</math> wegen <math>U=\frac{tr\left( H{{e}^{-\beta H}} \right)}{tr\left( {{e}^{-\beta H}} \right)}</math> und <math>\frac{\partial \Psi }{\partial \beta }=U</math> folgt:
Zeile 31:		Zeile 32:
	<math>I(U)</math> ist Legendre- Transformierte von <math>\Psi \left( \beta \right)</math>		<math>I(U)</math> ist Legendre- Transformierte von <math>\Psi \left( \beta \right)</math>

	Energie <math>U(S)=TS+kT\Psi \left( \beta \right)</math>		'''Energie''' <math>U(S)=TS+kT\Psi \left( \beta \right)</math>

	Legendre- Transformation von <math>U(S)</math> mit <math>dU(S)=TdS\Rightarrow \frac{\partial U}{\partial S}=T</math>		{{FB\|Legendre- Transformation}} von <math>U(S)</math> mit <math>dU(S)=TdS\Rightarrow \frac{\partial U}{\partial S}=T</math>

	* Energieform		Energieform
	<math>F(T)=U-TS=kT\Psi \left( \beta \right)=-kT\ln \left( tr\left( {{e}^{-\beta H}} \right) \right)=-kT\ln Z</math>		<math>F(T)=U-TS=kT\Psi \left( \beta \right)=-kT\ln \left( tr\left( {{e}^{-\beta H}} \right) \right)=-kT\ln Z</math>

Schubotz: /* kanonische Verteilung */

2010-09-11T18:35:48Z

kanonische Verteilung

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 20:35 Uhr
Zeile 20:		Zeile 20:
	Vergleiche Kapitel 1.3		Vergleiche Kapitel 1.3

	mit		mit <math>\beta =\beta \left( U \right)</math> wegen <math>U=\frac{tr\left( H{{e}^{-\beta H}} \right)}{tr\left( {{e}^{-\beta H}} \right)}</math> und <math>\frac{\partial \Psi }{\partial \beta }=U</math> folgt:

	<math>\beta =\beta \left( U \right)</math>

	wegen

	U=<math>\frac{tr\left( H{{e}^{-\beta H}} \right)}{tr\left( {{e}^{-\beta H}} \right)}</math>

	und <math>\frac{\partial \Psi }{\partial \beta }=U</math>

	folgt:

	~~<math>\begin{align}~~

			:<math>\begin{align}
	& dS(U)=\frac{1}{T}dU \\		& dS(U)=\frac{1}{T}dU \\

	& \Rightarrow \frac{\partial S}{\partial U}=\frac{1}{T} \\		& \Rightarrow \frac{\partial S}{\partial U}=\frac{1}{T} \\

	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Merke:		Merke:

	<math>I(U)</math>		<math>I(U)</math> ist Legendre- Transformierte von <math>\Psi \left( \beta \right)</math>

	ist Legendre- Transformierte von <math>\Psi \left( \beta \right)</math>

	Energie <math>U(S)=TS+kT\Psi \left( \beta \right)</math>		Energie <math>U(S)=TS+kT\Psi \left( \beta \right)</math>

	Legendre- Transformation von <math>U(S)</math>		Legendre- Transformation von <math>U(S)</math> mit <math>dU(S)=TdS\Rightarrow \frac{\partial U}{\partial S}=T</math>

	mit <math>dU(S)=TdS\Rightarrow \frac{\partial U}{\partial S}=T</math>

	* Energieform		* Energieform
	<math>F(T)=U-TS=kT\Psi \left( \beta \right)=-kT\ln \left( tr\left( {{e}^{-\beta H}} \right) \right)=-kT\ln Z</math>		<math>F(T)=U-TS=kT\Psi \left( \beta \right)=-kT\ln \left( tr\left( {{e}^{-\beta H}} \right) \right)=-kT\ln Z</math>

	Freie Energie oder auch Helmholtzsche Energie		{{FB\|Freie Energie}} oder auch Helmholtzsche Energie

	==Druck - Ensemble==		==Druck - Ensemble==

Schubotz am 11. September 2010 um 18:06 Uhr

2010-09-11T18:06:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 20:06 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:
	Letztere sind die Lagrange- Parameter, die durch die Art des Kontaktes mit der Umgebung ( "großes" reservoir oder Bad, dessen intensive Variable sich nicht durch den Kontakt ändert), bestimmt:		Letztere sind die Lagrange- Parameter, die durch die Art des Kontaktes mit der Umgebung ( "großes" reservoir oder Bad, dessen intensive Variable sich nicht durch den Kontakt ändert), bestimmt:

			==kanonische Verteilung==
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}

Schubotz am 11. September 2010 um 18:05 Uhr

2010-09-11T18:05:04Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 20:05 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	<noinclude>{{Scripthinweis\|Thermodynamik\|2\|5}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Thermodynamik\|2\|5}}</noinclude>

	Durch Angabe eines Satzes der <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math>		Durch Angabe eines Satzes der <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> oder des Satzes der intensiven Parameter <math>{{\lambda }_{n}}</math> ist die Verteilung vollständig festgelegt.

	oder des Satzes der intensiven Parameter <math>{{\lambda }_{n}}</math>

	ist die Verteilung vollständig festgelegt.

	Letztere sind die Lagrange- Parameter, die durch die Art des Kontaktes mit der Umgebung ( "großes" reservoir oder Bad, dessen intensive Variable sich nicht durch den Kontakt ändert), bestimmt:		Letztere sind die Lagrange- Parameter, die durch die Art des Kontaktes mit der Umgebung ( "großes" reservoir oder Bad, dessen intensive Variable sich nicht durch den Kontakt ändert), bestimmt:
Zeile 61:		Zeile 57:
	Freie Energie oder auch Helmholtzsche Energie		Freie Energie oder auch Helmholtzsche Energie

	~~ii) <u>'''~~Druck - Ensemble~~'''</u>~~		==Druck - Ensemble==


Zeile 134:		Zeile 130:
	Gibbsche Freie Energie		Gibbsche Freie Energie

	~~<u>'''iii)~~ Magnetfeld - Ensemble~~'''</u>~~		==Magnetfeld - Ensemble==


Zeile 207:		Zeile 203:
	Gibbsche Freie Energie		Gibbsche Freie Energie

	~~<u>'''iv)~~ Großkanonische Verteilung~~'''</u>~~		==Großkanonische Verteilung==


Zeile 226:		Zeile 222:
	mit <math>{{\mu }_{\alpha }}</math>		mit <math>{{\mu }_{\alpha }}</math>

	als chemisches Potenzial der Species <math>\alpha </math>		als chemisches Potenzial der Species <math>\alpha </math>.

	.

	großkanonische Verteilung:		großkanonische Verteilung:
Zeile 312:		Zeile 306:
	<math>dS\left( U,V,{{N}^{\alpha }} \right)=\frac{1}{T}dU+\frac{p}{T}dV-\frac{\mu }{T}d\bar{N}</math>		<math>dS\left( U,V,{{N}^{\alpha }} \right)=\frac{1}{T}dU+\frac{p}{T}dV-\frac{\mu }{T}d\bar{N}</math>

	~~<u>'''~~Mikrokanonische Verteilung~~'''</u>~~		==Mikrokanonische Verteilung==

	~~Alle extensiven Größen sind scharf, also keine Zufallsgrößen. SOndern: feste Parameter der Verteilung~~

	~~<math>\rho \left( \xi \right)</math>~~

	:		Alle extensiven Größen sind scharf, also keine Zufallsgrößen. SOndern: feste Parameter der Verteilung<math>\rho \left( \xi \right)</math>:

	Volumen V		Volumen V

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Thermodynamik|2|5}} Durch Angabe eines Satzes der $\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle$ oder des Satzes der …“

2010-08-31T20:56:06Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|2|5}}</noinclude> Durch Angabe eines Satzes der <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> oder des Satzes der …“

Neue Seite

<noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|2|5}}</noinclude>

Durch Angabe eines Satzes der <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math>

oder des Satzes der intensiven Parameter <math>{{\lambda }_{n}}</math>

ist die Verteilung vollständig festgelegt.

Letztere sind die Lagrange- Parameter, die durch die Art des Kontaktes mit der Umgebung ( "großes" reservoir oder Bad, dessen intensive Variable sich nicht durch den Kontakt ändert), bestimmt:

<math>\begin{align}

& \rho ={{Z}^{-1}}{{e}^{-\beta H}} \\

& Z=tr\left( {{e}^{-\beta H}} \right)={{e}^{-\Psi }} \\

& \beta =\frac{1}{kT} \\

\end{align}</math>

'''Entropie: '''<math>S(U)=-kI\left( U \right)=k\left[ \beta U-\Psi \left( \beta \right) \right]</math>

Vergleiche Kapitel 1.3

mit

<math>\beta =\beta \left( U \right)</math>

wegen

U=<math>\frac{tr\left( H{{e}^{-\beta H}} \right)}{tr\left( {{e}^{-\beta H}} \right)}</math>

und <math>\frac{\partial \Psi }{\partial \beta }=U</math>

folgt:

<math>\begin{align}

& dS(U)=\frac{1}{T}dU \\

& \Rightarrow \frac{\partial S}{\partial U}=\frac{1}{T} \\

\end{align}</math>

Merke:

<math>I(U)</math>

ist Legendre- Transformierte von <math>\Psi \left( \beta \right)</math>

Energie <math>U(S)=TS+kT\Psi \left( \beta \right)</math>

Legendre- Transformation von <math>U(S)</math>

mit <math>dU(S)=TdS\Rightarrow \frac{\partial U}{\partial S}=T</math>

* Energieform
<math>F(T)=U-TS=kT\Psi \left( \beta \right)=-kT\ln \left( tr\left( {{e}^{-\beta H}} \right) \right)=-kT\ln Z</math>

Freie Energie oder auch Helmholtzsche Energie

ii) '''Druck - Ensemble'''

Wärmekontakt + mechanischer Arbeitskontakt

<math>\begin{align}

& \rho ={{e}^{\Psi -\beta \left( H+pV \right)}} \\

& Z=tr\left( {{e}^{-\beta \left( H+pV \right)}} \right)={{e}^{-\Psi }} \\

& \beta =\frac{1}{kT} \\

\end{align}</math>

'''Entropie'''

<math>\begin{align}

& S(U,V)=k\left[ \beta \left( U+pV \right)-\Psi \left( T,p \right) \right] \\

& mit \\

& \beta =\beta \left( U,V \right)=\frac{1}{kT} \\

& p=p\left( U,V \right) \\

& {{\left( \frac{\partial \Psi }{\partial \beta } \right)}_{p}}=U \\

& {{\left( \frac{\partial \Psi }{\partial \left( \frac{p}{kT} \right)} \right)}_{\beta }}=V \\

\end{align}</math>

'''Gibbsche Fundamnetalgleichung'''

<math>\begin{align}

& dS(U,V)=\frac{1}{T}dU+\frac{p}{T}dV \\

& {{\left( \frac{\partial S}{\partial U} \right)}_{V}}=\frac{1}{T} \\

& {{\left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)}_{U}}=\frac{p}{T} \\

\end{align}</math>

'''Energie'''

<math>\begin{align}

& U\left( S,V \right)=TS-pV+kT\Psi \left( T,p \right) \\

& dU\left( S,V \right)=TdS-pdV \\

\end{align}</math>

'''Legendre- Transformation bezüglich'''

<math>T={{\left( \frac{\partial U}{\partial S} \right)}_{V}}</math>

und <math>p=-{{\left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)}_{S}}</math>

<math>\begin{align}

& G\left( T,p \right)=U-TS+pV=kT\Psi \left( T,p \right) \\

& =-kT\ln \left[ tr\left( {{e}^{-\beta \left( H+pV \right)}} \right) \right] \\

\end{align}</math>

<math>G\left( T,p \right)=-kT\ln \left[ tr\left( {{e}^{-\beta \left( H+pV \right)}} \right) \right]</math>

Gibbsche Freie Energie

'''iii) Magnetfeld - Ensemble'''

Wärmeaustausch+ Magnetisierungsarbeit:

<math>\delta W=\bar{B}d\bar{M}</math>

Mit der magnetischen Induktion <math>\bar{B}</math>

und der Magnetisierung <math>\bar{M}</math>

.

<math>\begin{align}

& \left\langle H \right\rangle =U \\

& \left\langle {\hat{\bar{M}}} \right\rangle =\bar{M} \\

& \bar{\lambda }=-\frac{{\bar{B}}}{kT} \\

\end{align}</math>

<math>\rho ={{e}^{\Psi -\beta \left( H-\bar{B}\bar{M} \right)}}</math>

<math>{{e}^{-\Psi }}=tr\left( {{e}^{-\beta \left( H-\bar{B}\bar{M} \right)}} \right)</math>

Gibbsche Fundmanetalgleichung

<math>\begin{align}

& dS(U,V)=\frac{1}{T}dU-\frac{\bar{B}d\bar{M}}{T} \\

& {{\left( \frac{\partial S}{\partial U} \right)}_{{\bar{M}}}}=\frac{1}{T} \\

& {{\left( \frac{\partial S}{\partial {{M}_{i}}} \right)}_{U}}=-\frac{{{B}_{i}}}{T}\quad i=1,2,3 \\

\end{align}</math>

Entropie:

<math>\begin{align}

& S(U,M)=k\left[ \beta \left( U-\bar{B}\bar{M} \right)-\Psi \left( \beta ,\bar{B} \right) \right] \\

& \\

\end{align}</math>

* Energie

<math>\begin{align}

& U\left( S,\bar{M} \right)=TS+\bar{B}\bar{M}+kT\Psi \left( \beta ,\bar{B} \right) \\

& dU=TdS+\bar{B}d\bar{M} \\

& TdS=\delta Q \\

& \bar{B}d\bar{M}=\delta W \\

\end{align}</math>

'''Legendre- Transformation bezüglich'''

<math>T={{\left( \frac{\partial U}{\partial S} \right)}_{{\bar{M}}}}</math>

und <math>{{\left( \frac{\partial U}{\partial {{M}_{i}}} \right)}_{S}}={{B}_{i}}</math>

<math>G\left( T,\bar{B} \right)=U-TS-\bar{B}\bar{M}=kT\Psi \left( \beta ,\bar{B} \right)</math>

Gibbsche Freie Energie

'''iv) Großkanonische Verteilung'''

<math>\begin{align}

& \left\langle H \right\rangle =U \\

& \left\langle {{N}^{\alpha }} \right\rangle ={{{\bar{N}}}^{\alpha }} \\

\end{align}</math>

Teilchenzahlen der Sorte <math>\alpha </math>

.

<math>{{\lambda }_{\alpha }}=-\frac{{{\mu }_{\alpha }}}{kT}</math>

mit <math>{{\mu }_{\alpha }}</math>

als chemisches Potenzial der Species <math>\alpha </math>

.

großkanonische Verteilung:

* Wärmeaustausch und Teilchenaustausch möglich ( z.B. chemische Reaktion, etc...)
* <math>\rho ={{Y}^{-1}}{{e}^{-\beta \left( H-{{\mu }_{\alpha }}{{N}^{\alpha }} \right)}}</math>
*

hängt parametrisch von V (FEST) ab

mit der großkanonischen Zustandssumme

<math>Y=tr\left( {{e}^{-\beta \left( H-{{\mu }_{\alpha }}{{N}^{\alpha }} \right)}} \right)={{e}^{-\Psi \left( \beta ,{{\mu }_{\alpha }},V \right)}}</math>

<math>S\left( U,V,{{N}^{\alpha }} \right)=k\left[ \beta \left( U-{{\mu }_{\alpha }}{{N}^{\alpha }} \right)-\Psi \left( \beta ,{{\mu }_{\alpha }},V \right) \right]</math>

Also:

<math>dS\left( U,V,{{N}^{\alpha }} \right)=\frac{1}{T}dU-\frac{{{\mu }_{\alpha }}}{T}d{{\bar{N}}^{\alpha }}</math>

Gibbsche Fundamentalgleichung für dV=0

mit

<math>\begin{align}

& {{\left( \frac{\partial S}{\partial U} \right)}_{{{{\bar{N}}}^{\alpha }},V}}=\frac{1}{T} \\

& {{\left( \frac{\partial S}{\partial {{{\bar{N}}}^{\alpha }}} \right)}_{U,V}}=-\frac{{{\mu }_{\alpha }}}{T} \\

\end{align}</math>

Definition des chemischen Potenzials !!

Also gilt für die innere Energie:

<math>U\left( S,V,{{{\bar{N}}}^{\alpha }} \right)=TS+{{\mu }_{\alpha }}{{\bar{N}}^{\alpha }}+kT\Psi \left( \beta ,{{\mu }_{\alpha }},V \right)</math>

Vergleich mit der phänomenologischen Relation des Energiesatzes:

<math>U\left( S,V,{{{\bar{N}}}^{\alpha }} \right)=TS+{{\mu }_{\alpha }}{{\bar{N}}^{\alpha }}-pV</math>

ergibt:

<math>\begin{align}

& kT\Psi \left( \beta ,{{\mu }_{\alpha }},V \right)=-pV \\

& \Rightarrow \Psi \left( \beta ,{{\mu }_{\alpha }},V \right)=-\ln Y=\frac{-pV}{kT} \\

\end{align}</math>

'''Experiment:'''

2 Gefäße sind miteinander verbunden, tragen die Teilchenzahlen <math>\bar{N}\acute{\ }</math>

und <math>\bar{N}\acute{\ }\acute{\ }</math>

Vor Einstellung des Gleichgewichts gilt: <math>\mu \acute{\ }\ne \mu \acute{\ }\acute{\ }</math>

für konstantes U,V und <math>d\bar{N}=d\bar{N}\acute{\ }+d\bar{N}\acute{\ }\acute{\ }=0</math>

( Die Teilchen können nur von dem einen Gefäß ins andere)

folgt aus

<math>\begin{align}

& dS\ge :0 \\

& \Rightarrow -\left( \mu \acute{\ }-\mu \acute{\ }\acute{\ } \right)d\bar{N}\acute{\ }\ge 0 \\

\end{align}</math>

Also: Der Teilchenstrom erfolgt vom höheren z.B. <math>\mu \acute{\ }</math>

zum tieferen, z.B. <math>\mu \acute{\ }\acute{\ }</math>

Potenzial, also: <math>d\bar{N}\acute{\ }<0</math>

abgelitten aus der Gibbschen Fundamentalrelation:

<math>dS\left( U,V,{{N}^{\alpha }} \right)=\frac{1}{T}dU+\frac{p}{T}dV-\frac{\mu }{T}d\bar{N}</math>

'''Mikrokanonische Verteilung'''

Alle extensiven Größen sind scharf, also keine Zufallsgrößen. SOndern: feste Parameter der Verteilung

<math>\rho \left( \xi \right)</math>

:

Volumen V

Teilchenzahl N

innere Energie <math>U-\Delta U\le H\left( \xi \right)\le U</math>

Die Messung des Hamiltonoperators ergibt eine Energie im Rahmen der Messunschärfe. Alle Größen sind festgelegt heisst: Es gibt kein Ensemble, das einen statistischen Mittelwert bildet, sondern: Die Energie ist so genau, wie die Energie eines Teilchens, nämlich an die Unschärfe gebunden !

Physikalisch:

Dünne Energieschale im Phasenraum, z.B.

<math>H\left( \xi \right)=\sum\limits_{i=1}^{3N}{{}}\frac{{{p}_{i}}^{2}}{2m}</math>

( Kugelschale)

'''Nebenbemerkung:'''

Für <math>\Delta U\to 0</math>

( scharfe Energiefläche)

ist die Normierung der Wahrscheinlichkeit <math>\int_{\Delta \Omega }^{{}}{d\xi \rho \left( \xi \right)}=1</math>

nicht mit endlichem <math>\rho \left( \xi \right)</math>

zu erfüllen, da

<math>\Delta \Omega \to 0</math>

'''Vorurteilsfreie Schätzung'''

* '''Gleichverteilung auf der Energieschale '''<math>\Delta \Omega </math>
* :

<math>\begin{align}

& \rho \left( \xi \right)=\frac{1}{\Delta \Omega }{{\chi }_{\Delta \Omega }}\left( \xi \right) \\

& {{\chi }_{\Delta \Omega }}=\left\{ \begin{matrix}

1f\ddot{u}r\xi \in \Delta \Omega \\

0,sonst \\

\end{matrix} \right. \\

\end{align}</math>

charakteristische Funktion !

für <math>\Delta \Omega \to 0:</math>

<math>\rho \left( \xi \right)=\frac{1}{\omega }\delta \left( U-H\left( \xi \right) \right)</math>

Mit der Normierung

<math>\begin{align}

& \omega =\int_{{}}^{{}}{d\xi }\delta \left( U-H\left( \xi \right) \right)=\frac{d\Omega }{dU} \\

& wegen \\

& \frac{d}{dx}\Theta \left( x \right)=\delta \left( x \right) \\

& \Rightarrow \Omega \left( U \right)=\int_{{}}^{{}}{d\xi }\Theta \left( U-H\left( \xi \right) \right) \\

& \Theta \left( U-H\left( \xi \right) \right)=\left\{ \begin{matrix}

1f\ddot{u}rH\left( \xi \right)

Dabei ist also

<math>\begin{align}

& \Omega \left( U \right)=\int_{{}}^{{}}{d\xi }\Theta \left( U-H\left( \xi \right) \right) \\

& \\

\end{align}</math>

das von <math>\Delta \Omega </math>

eingeschlossene Phasenraumvolumen !

'''Entropie:'''

<math>\begin{align}

& S=-k\int_{\Delta \Omega }^{{}}{d\xi }\rho \ln \rho =-k\int_{\Delta \Omega }^{{}}{d\xi }\frac{1}{\Delta \Omega }\ln \frac{1}{\Delta \Omega } \\

& \int_{\Delta \Omega }^{{}}{d\xi }\frac{1}{\Delta \Omega }=1 \\

& \Rightarrow S=k\ln \Delta \Omega \\

\end{align}</math>

In Übereinstimmung mit der allgemeinen Formel:

<math>\begin{align}

& S=k\left( {{\lambda }_{n}}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle -\Psi \right) \\

& \rho ={{e}^{\Psi }}=!=\frac{1}{\Delta \Omega } \\

\end{align}</math>

für

<math>\begin{align}

& \xi \in \Delta \Omega \\

& \Rightarrow \Psi =-\ln \Delta \Omega \\

\end{align}</math>

'''Große Systeme:'''

'''Dimension des Phasenraums: '''<math>6N\tilde{\ }{{10}^{23}}</math>

'''Phasenraumvolumen '''<math>\Omega \tilde{\ }{{r}^{6N}}\tilde{\ }{{U}^{6N}}</math>

mit r = Länge im <math>\Gamma -</math>

Raum

<math>U\cong </math>

entspricht 1 Dimension im <math>\Gamma -</math>

Raum.

Kleine Änderung:

<math>\begin{align}

& \Delta \Omega \approx \frac{\partial \Omega }{\partial r}\Delta r\approx \frac{\partial \Omega }{\partial U}\Delta U \\

& \frac{\partial \Omega }{\partial U}\tilde{\ }6N\cdot {{U}^{6N-1}} \\

& \Rightarrow \Delta \Omega \approx \frac{\partial \Omega }{\partial r}\Delta r\approx \frac{\partial \Omega }{\partial U}\Delta U\approx 6N\frac{\Omega }{U}\Delta U \\

\end{align}</math>

Also:

<math>\begin{align}

& \frac{\Delta \Omega }{\Omega }\approx 6N\frac{\Delta U}{U} \\

& \frac{\Delta \Omega }{\Omega }>>\frac{\Delta U}{U} \\

\end{align}</math>

Das heißt: große Änderung von <math>\Omega </math>

, selbst bei winzigen Änderungen von U !

Also: In hochdimensionalen Räumen ist das Volumen praktisch an der Oberfläche einer Kugel lokalisiert !

* <math>\begin{align}
* & S=k\ln \Delta \Omega \approx k\ln \Omega \\
* & \Omega =\Omega \left( U,V \right) \\
* \end{align}</math>
*

'''Definition der Temperatur:'''

<math>\begin{align}

& \frac{\partial S}{\partial U}=\frac{\partial S}{\partial \Omega }\frac{\partial \Omega }{\partial U} \\

& \frac{\partial \Omega }{\partial U}=\omega \\

& \Rightarrow \frac{\partial S}{\partial U}=\frac{\partial S}{\partial \Omega }\omega =\frac{k}{\Omega }\omega =:\frac{1}{T} \\

\end{align}</math>

Die Änderung der Entropie über der inneren Energie ist gerade das Inverse der Temperatur !!

Spezielle Verteilungen - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (7), ( → ( (4)

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

Schubotz: /* Großkanonische Verteilung */

Schubotz: /* Magnetfeld - Ensemble */

Schubotz: /* Druck - Ensemble */

Schubotz: /* kanonische Verteilung */

Schubotz: /* kanonische Verteilung */

Schubotz am 11. September 2010 um 18:06 Uhr

Schubotz am 11. September 2010 um 18:05 Uhr

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Thermodynamik|2|5}} Durch Angabe eines Satzes der \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle oder des Satzes der …“

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Thermodynamik|2|5}} Durch Angabe eines Satzes der $\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle$ oder des Satzes der …“