Räumliche Translationsinvarianz - Versionsgeschichte

Schubotz am 9. August 2011 um 12:29 Uhr

2011-08-09T12:29:09Z

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	~~At last! Somoene who understands! Thanks for posting!~~		=====Verallgemeinerung auf Nichtkonservative Kräfte=====

	~~BovdhS~~ <~~a href~~=~~"http~~://~~tnxeigjwwmpq.com~~/">~~tnxeigjwwmpq~~</a>
			:<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}-\frac{\partial T}{\partial {{q}_{1}}}={{Q}_{1}}=\sum\limits_{i}{{{{\bar{X}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{{\bar{r}}}_{i}}={{{\bar{e}}}_{x}}}\sum\limits_{i}{{{{\bar{X}}}_{i}}}</math>


			Xi kennzeichnet dabei die Kraft. Nun steht rechts also die resultierende Kraft in x- Richtung. Existiert keine resultierende Kraft in x- Richtung (Translationsinvarianz in x- Richtung), so gilt:


			:<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}-\frac{\partial T}{\partial {{q}_{1}}}={{Q}_{1}}=\sum\limits_{i}{{{{\bar{X}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{{\bar{r}}}_{i}}={{{\bar{e}}}_{x}}}\sum\limits_{i}{{{{\bar{X}}}_{i}}}=0</math>


			'''Invarianz sagt'''


			:<math>\frac{\partial T}{\partial {{q}_{1}}}={{Q}_{1}}=0\Rightarrow \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=0\Leftrightarrow {{P}_{x}}=\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=const</math>


			Nebenbedingung für das fehlen konservativer Kräfte (Falls Q1 konservative Kraft ist)


			:<math>{{Q}_{1}}=0\Rightarrow \frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}V({{\bar{r}}_{1}}+{{q}_{1}}{{\bar{e}}_{x}},...,{{\bar{r}}_{N}}+{{q}_{1}}{{\bar{e}}_{x}})=\sum\limits_{i}{{{\nabla }_{ri}}}V\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}\left( {{q}_{1}}{{{\bar{e}}}_{x}} \right)={{\bar{e}}_{x}}\sum\limits_{i}{{{\nabla }_{ri}}}V=-{{\bar{e}}_{x}}\sum\limits_{i}{{{{\bar{X}}}_{i}}=0}</math>


			<u>'''Beispiel: '''</u> ein Teilchen im Potenzial V=V(y,z)

			Das Potenzial hänge nicht von x ab:
			:<math>{{\frac{\partial L}{\partial x}}_{{}}}=0</math>


			Daraus folgt:
			:<math>{{\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}}_{{}}}=m\dot{x}={{P}_{x}}=const</math>


			In diesem Fall existiert ein Integral der Bewegung:


			:<math>I(\bar{r},\dot{\bar{r}})=\frac{\partial L}{\partial \dot{\bar{r}}}\cdot {{\frac{d{{h}^{s}}}{ds}}_{{}}}=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}={{P}_{x}}=const</math> wegen <math>\begin{align}
			& \frac{\partial L}{\partial \dot{\bar{r}}}={{\nabla }_{{\dot{r}}}}L \\
			& {{\frac{d{{h}^{s}}}{ds}}_{{}}}={{{\bar{e}}}_{x}} \\
			\end{align}</math>


			=====Beispiel: 2 Teilchen mit innerer Paarwechselwirkung=====


			:<math>V({{\bar{r}}_{1}},{{\bar{r}}_{2}})=V({{\bar{r}}_{1}}-{{\bar{r}}_{2}})</math>
			Das Potenzial kann auch anisotrop sein.

			Es sollen keine äußeren Kräfte wirken, so dass das Potenzial unabhängig von den Schwerpunktskoordinaten wird.

			Gleichzeitig soll Translationsinvarianz entlang x-, - und z- Richtung vorliegen:


			:<math>\begin{align}
			& L({{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{1}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{2}})=\frac{{{m}_{1}}}{2}{{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}^{2}+\frac{{{m}_{2}}}{2}{{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}^{2}-V({{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}}) \\
			& L({{h}^{s}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}} \right),{{h}^{s}}\left( {{{\bar{r}}}_{2}} \right),{{{\dot{\bar{r}}}}_{1}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{2}})=\frac{{{m}_{1}}}{2}{{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}^{2}+\frac{{{m}_{2}}}{2}{{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}^{2}-V(\left( {{{\bar{r}}}_{1}}-s{{{\bar{e}}}_{i}} \right)-\left( {{{\bar{r}}}_{2}}-s{{{\bar{e}}}_{i}} \right))=L({{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{1}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}) \\
			\end{align}</math>
			für alle i = x,y,z

			Somit existieren gleich drei Integrale der Bewegung:


			:<math>\begin{align}
			& {{I}_{x}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}}{{{\bar{e}}}_{x}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}}{{{\bar{e}}}_{x}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{x}}}_{1}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{x}}}_{2}}}={{m}_{1}}{{{\dot{x}}}_{1}}+{{m}_{2}}{{{\dot{x}}}_{2}}={{P}_{x}}=const \\
			& {{I}_{y}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}}{{{\bar{e}}}_{y}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}}{{{\bar{e}}}_{y}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{y}}}_{1}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{y}}}_{2}}}={{m}_{1}}{{{\dot{y}}}_{1}}+{{m}_{2}}{{{\dot{y}}}_{2}}={{P}_{y}}=const \\
			& {{I}_{z}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}}{{{\bar{e}}}_{z}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}}{{{\bar{e}}}_{z}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{z}}}_{1}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{z}}}_{2}}}={{m}_{1}}{{{\dot{z}}}_{1}}+{{m}_{2}}{{{\dot{z}}}_{2}}={{P}_{z}}=const \\
			\end{align}</math>


			Dies ist, aufgrund des Fehlens äußerer Kräfte, gerade der Schwerpunkts- Erhaltungssatz:


			:<math>M\dot{\bar{R}}={{\bar{P}}_{{}}}=const</math>


			Mit den Schwerpunktskoordinaten


			:<math>\bar{R}:=\frac{1}{M}\sum\limits_{i=1}^{2}{{{m}_{i}}{{{\bar{r}}}_{i}}}</math>


			Und der Gesamtmasse


			:<math>M:=\sum\limits_{i=1}^{2}{{{m}_{i}}}</math>

165.139.190.15: /* Beispiel: 2 Teilchen mit innerer Paarwechselwirkung */

2011-07-02T09:17:24Z

Beispiel: 2 Teilchen mit innerer Paarwechselwirkung

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	At last! Somoene who understands! Thanks for posting!		At last! Somoene who understands! Thanks for posting!

	~~=====Beispiel: 2 Teilchen mit innerer Paarwechselwirkung=====~~		BovdhS <a href="http://tnxeigjwwmpq.com/">tnxeigjwwmpq</a>


	~~:<math>V({{\bar{r}}_{1}},{{\bar{r}}_{2}})=V({{\bar{r}}_{1}}-{{\bar{r}}_{2}})</math>~~
	~~Das Potenzial kann auch anisotrop sein.~~

	~~Es sollen keine äußeren Kräfte wirken, so dass das Potenzial unabhängig von den Schwerpunktskoordinaten wird.~~

	~~Gleichzeitig soll Translationsinvarianz entlang x-, - und z- Richtung vorliegen:~~


	~~:<math>\begin{align}~~
	& L({{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{1}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{2}})=\frac{{{m}_{1}}}{2}{{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}^{2}+\frac{{{m}_{2}}}{2}{{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}^{2}-V({{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}}) \\
	& L({{h}^{s}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}} \right),{{h}^{s}}\left( {{{\bar{r}}}_{2}} \right),{{{\dot{\bar{r}}}}_{1}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{2}})=\frac{{{m}_{1}}}{2}{{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}^{2}+\frac{{{m}_{2}}}{2}{{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}^{2}-V(\left( {{{\bar{r}}}_{1}}-s{{{\bar{e}}}_{i}} \right)-\left( {{{\bar{r}}}_{2}}-s{{{\bar{e}}}_{i}} \right))=L({{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{1}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}) \\
	~~\end{align}~~<~~/math>~~
	~~für alle i~~ = ~~x,y,z~~

	~~Somit existieren gleich drei Integrale der Bewegung~~:


	~~:<math>\begin{align}~~
	& {{I}_{x}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}}{{{\bar{e}}}_{x}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}}{{{\bar{e}}}_{x}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{x}}}_{1}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{x}}}_{2}}}={{m}_{1}}{{{\dot{x}}}_{1}}+{{m}_{2}}{{{\dot{x}}}_{2}}={{P}_{x}}=const \\
	& {{I}_{y}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}}{{{\bar{e}}}_{y}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}}{{{\bar{e}}}_{y}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{y}}}_{1}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{y}}}_{2}}}={{m}_{1}}{{{\dot{y}}}_{1}}+{{m}_{2}}{{{\dot{y}}}_{2}}={{P}_{y}}=const \\
	& {{I}_{z}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}}{{{\bar{e}}}_{z}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}}{{{\bar{e}}}_{z}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{z}}}_{1}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{z}}}_{2}}}={{m}_{1}}{{{\dot{z}}}_{1}}+{{m}_{2}}{{{\dot{z}}}_{2}}={{P}_{z}}=const \\
	~~\end{align}<~~/~~math>~~


	~~Dies ist, aufgrund des Fehlens äußerer Kräfte, gerade der Schwerpunkts- Erhaltungssatz:~~


	~~:<math>M\dot{\bar{R}}={{\bar{P}}_{{}}}=const<~~/~~math>~~


	~~Mit den Schwerpunktskoordinaten~~


	~~:<math>\bar{R}:=\frac{1}{M}\sum\limits_{i=1}^{2}{{{m}_{i}}{{{\bar{r}}}_{i}}}<~~/~~math~~>


	~~Und der Gesamtmasse~~


	~~:<math>M:=\sum\limits_{i=1}^{2}{{{m}_{i}}}~~</~~math~~>

210.249.29.162: /* Verallgemeinerung auf Nichtkonservative KrÃ¤fte */

2011-07-01T22:23:50Z

Verallgemeinerung auf Nichtkonservative KrÃ¤fte

← Nächstältere Version		Version vom 2. Juli 2011, 00:23 Uhr
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	~~=====Verallgemeinerung auf Nichtkonservative Kräfte=====~~		At last! Somoene who understands! Thanks for posting!


	:<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}-\frac{\partial T}{\partial {{q}_{1}}}={{Q}_{1}}=\sum\limits_{i}{{{{\bar{X}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{{\bar{r}}}_{i}}={{{\bar{e}}}_{x}}}\sum\limits_{i}{{{{\bar{X}}}_{i}}}</math>


	~~Xi kennzeichnet dabei die Kraft. Nun steht rechts also die resultierende Kraft in x- Richtung. Existiert keine resultierende Kraft in x- Richtung (Translationsinvarianz in x- Richtung), so gilt:~~


	:<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}-\frac{\partial T}{\partial {{q}_{1}}}={{Q}_{1}}=\sum\limits_{i}{{{{\bar{X}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{{\bar{r}}}_{i}}={{{\bar{e}}}_{x}}}\sum\limits_{i}{{{{\bar{X}}}_{i}}}=0</math>


	~~'''Invarianz sagt'''~~


	:<math>\frac{\partial T}{\partial {{q}_{1}}}={{Q}_{1}}=0\Rightarrow \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=0\Leftrightarrow {{P}_{x}}=\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=const</math>


	~~Nebenbedingung für das fehlen konservativer Kräfte (Falls Q1 konservative Kraft ist)~~


	:<math>{{Q}_{1}}=0\Rightarrow \frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}V({{\bar{r}}_{1}}+{{q}_{1}}{{\bar{e}}_{x}},...,{{\bar{r}}_{N}}+{{q}_{1}}{{\bar{e}}_{x}})=\sum\limits_{i}{{{\nabla }_{ri}}}V\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}\left( {{q}_{1}}{{{\bar{e}}}_{x}} \right)={{\bar{e}}_{x}}\sum\limits_{i}{{{\nabla }_{ri}}}V=-{{\bar{e}}_{x}}\sum\limits_{i}{{{{\bar{X}}}_{i}}=0}</math>


	~~<u>'''Beispiel: '''</u> ein Teilchen im Potenzial V=V(y,z)~~

	~~Das Potenzial hänge nicht von x ab:~~
	~~:<math>{{\frac{\partial L}{\partial x}}_{{}}}=0</math>~~


	~~Daraus folgt:~~
	~~:<math>{{\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}}_{{}}}=m\dot{x}={{P}_{x}}=const</math>~~


	~~In diesem Fall existiert ein Integral der Bewegung:~~


	~~:<math>I(\bar{r},\dot{\bar{r}})=\frac{\partial L}{\partial \dot{\bar{r}}}\cdot {{\frac{d{{h}^{s}}}{ds}}_{{}}}=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}={{P}_{x}}=const</math> wegen <math>\begin{align}~~
	~~& \frac{\partial L}{\partial \dot{\bar{r}}}={{\nabla }_{{\dot{r}}}}L \\~~
	~~& {{\frac{d{{h}^{s}}}{ds}}_{{}}}={{{\bar{e}}}_{x}} \\~~
	~~\end{align}</math>~~


	=====Beispiel: 2 Teilchen mit innerer Paarwechselwirkung=====		=====Beispiel: 2 Teilchen mit innerer Paarwechselwirkung=====

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → !, ( → ( (2)

2010-09-12T22:31:28Z

Interpunktion, replaced: ! → !, ( → ( (2)

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:31 Uhr
Zeile 23:		Zeile 23:


	Das bedeutet aber: es darf keine äußere Kraft in x- Richtung geben !		Das bedeutet aber: es darf keine äußere Kraft in x- Richtung geben!

	Für die Transformation gilt:		Für die Transformation gilt:
Zeile 86:		Zeile 86:

	Falls gilt dass		Falls gilt dass
	:<math>{{\frac{\partial L}{\partial {{q}_{1}}}}_{{}}}=0\Leftrightarrow \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=0</math>		:<math>{{\frac{\partial L}{\partial {{q}_{1}}}}_{{}}}=0\Leftrightarrow \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=0</math>,
	, wenn also die Lagrangefunktion invariant gegen q1- Änderungen ist, dann nennt man q1 eine '''zyklische '''Koordinate. der zu q1 konjugierte Impuls ist in diesem Fall eine '''Erhaltungsgröße '''.		wenn also die Lagrangefunktion invariant gegen q1- Änderungen ist, dann nennt man q1 eine '''zyklische '''Koordinate. der zu q1 konjugierte Impuls ist in diesem Fall eine '''Erhaltungsgröße '''.

	Hier:		Hier:
Zeile 105:		Zeile 105:


	Xi kennzeichnet dabei die Kraft. Nun steht rechts also die resultierende Kraft in x- Richtung. Existiert keine resultierende Kraft in x- Richtung ( Translationsinvarianz in x- Richtung), so gilt:		Xi kennzeichnet dabei die Kraft. Nun steht rechts also die resultierende Kraft in x- Richtung. Existiert keine resultierende Kraft in x- Richtung (Translationsinvarianz in x- Richtung), so gilt:


Zeile 117:		Zeile 117:


	Nebenbedingung für das fehlen konservativer Kräfte ( Falls Q1 konservative Kraft ist)		Nebenbedingung für das fehlen konservativer Kräfte (Falls Q1 konservative Kraft ist)

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:28:12Z

Einrückungen Mathematik

Änderungen zeigen

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:07:41Z

Einrückungen Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 17:07 Uhr
Zeile 56:		Zeile 56:


	<math>{{\bar{r}}_{i}}={{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)={{q}_{1}}{{\bar{e}}_{x}}+\Delta {{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)</math>		<math>{{\bar{r}}_{i}}={{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)={{q}_{1}}{{\bar{e}}_{x}}+\Delta {{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)</math> mit <math>{{q}_{1}}{{\bar{e}}_{x}}</math>


	mit


	<math>{{q}_{1}}{{\bar{e}}_{x}}</math>
	als Schwerpunktskoordinate und		als Schwerpunktskoordinate und

Zeile 76:		Zeile 70:


	<math>\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{\bar{r}}_{i}}={{\bar{e}}_{x}}</math>		<math>\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{\bar{r}}_{i}}={{\bar{e}}_{x}}</math> wegen <math>{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\sum\limits_{k}^{{}}{{}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}{{\bar{r}}_{i}}{{\dot{q}}_{k}}+\frac{\partial }{\partial t}{{\bar{r}}_{i}}</math>
	wegen
	<math>{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\sum\limits_{k}^{{}}{{}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}{{\bar{r}}_{i}}{{\dot{q}}_{k}}+\frac{\partial }{\partial t}{{\bar{r}}_{i}}</math>


Zeile 144:		Zeile 136:


	<math>I(\bar{r},\dot{\bar{r}})=\frac{\partial L}{\partial \dot{\bar{r}}}\cdot {{\frac{d{{h}^{s}}}{ds}}_{{}}}=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}={{P}_{x}}=const</math>		<math>I(\bar{r},\dot{\bar{r}})=\frac{\partial L}{\partial \dot{\bar{r}}}\cdot {{\frac{d{{h}^{s}}}{ds}}_{{}}}=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}={{P}_{x}}=const</math> wegen <math>\begin{align}


	wegen


	<math>\begin{align}
	& \frac{\partial L}{\partial \dot{\bar{r}}}={{\nabla }_{{\dot{r}}}}L \\		& \frac{\partial L}{\partial \dot{\bar{r}}}={{\nabla }_{{\dot{r}}}}L \\
	& {{\frac{d{{h}^{s}}}{ds}}_{{}}}={{{\bar{e}}}_{x}} \\		& {{\frac{d{{h}^{s}}}{ds}}_{{}}}={{{\bar{e}}}_{x}} \\

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Mechanik|3|2}} Seien die Kräfte konservativ und seien keine Randbedingungen: $L=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{…“$

2010-08-28T22:16:43Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|3|2}}</noinclude> Seien die Kräfte konservativ und seien keine Randbedingungen: <math>L=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{…“

Neue Seite

<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|3|2}}</noinclude>
Seien die Kräfte konservativ und seien keine Randbedingungen:

<math>L=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}-V({{{\bar{r}}}_{1}},...,{{{\bar{r}}}_{N}})}</math>

Eine Translation in Richtung x ist damit eine Translation der Form:

<math>{{h}^{s}}:{{\bar{r}}_{i}}{{\to }_{{}}}{{\bar{r}}_{i}}+s{{\bar{e}}_{x}}\quad i=1,..,N</math>

Der Parameter s ist dabei beliebig.

Die Translationsinvarianz entlang der x- Achse bewirkt nun:

<math>\begin{align}
& L({{h}^{s}}({{{\bar{r}}}_{i}}),{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}})=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}-V({{{\bar{r}}}_{1}}+s{{{\bar{e}}}_{x}},...,{{{\bar{r}}}_{N}}+s{{{\bar{e}}}_{x}})}=L({{{\bar{r}}}_{i}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}})\ Forderung! \\
& \frac{dL}{ds}=-\sum\limits_{i=1}^{N}{\left( {{\nabla }_{ri}}\cdot {{{\bar{e}}}_{x}} \right)}V=-\sum\limits_{i=1}^{N}{\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}}V=0\quad Forderung! \\
\end{align}</math>

Das bedeutet aber: es darf keine äußere Kraft in x- Richtung geben !

Für die Transformation gilt:

<math>{{h}^{s}}({{\bar{r}}_{i}})={{\bar{r}}_{i}}+s{{\bar{e}}_{x}}\quad i=1,..,N</math>

<math>{{h}^{s=0}}({{\bar{r}}_{i}})={{\bar{r}}_{i}}</math>
(Identität)

<math>\frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{\bar{r}}_{i}})={{\bar{e}}_{x}}</math>

Für unser Integral der Bewegung gilt jedoch:

<math>I=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\nabla }_{\dot{r}i}}L\frac{d{{h}^{s}}}{ds}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}}}\cdot {{\bar{e}}_{x}}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{x}}}_{i}}}={{P}_{x}}</math>

Fazit: die Translationsinvarianz in x- Richtung bestimmt die Erhaltung der x-Komponente des Gesamtimpulses.

Dieser Zusammenhang ist leicht für die anderen Komponenten zu zeigen.

'''Dies kann auch umgekehrt betrachtet werden:'''

Wähle q1=s als verallgemeinerte Koordinate:

Nun gilt die Transformation:

<math>{{\bar{r}}_{i}}={{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)={{q}_{1}}{{\bar{e}}_{x}}+\Delta {{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)</math>

mit

<math>{{q}_{1}}{{\bar{e}}_{x}}</math>
als Schwerpunktskoordinate und

<math>\Delta {{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)</math>
als Relativpositionen.

Es folgt:

<math>\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{\bar{r}}_{i}}={{\bar{e}}_{x}}</math>

<math>\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{\bar{r}}_{i}}={{\bar{e}}_{x}}</math>
wegen
<math>{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\sum\limits_{k}^{{}}{{}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}{{\bar{r}}_{i}}{{\dot{q}}_{k}}+\frac{\partial }{\partial t}{{\bar{r}}_{i}}</math>

<u>'''Invarianz Erhaltungssatz'''</u>

<math>{{\frac{\partial L}{\partial {{q}_{1}}}}_{{}}}=0\Leftrightarrow \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=0</math>
äquivalent zum Erhaltungssatz
<math>\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=const</math>

Allgemein heißt
<math>\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}={{p}_{j}}</math>
der zur Koordinate qj konjugierte verallgemeinerte Impuls.

Falls gilt dass
<math>{{\frac{\partial L}{\partial {{q}_{1}}}}_{{}}}=0\Leftrightarrow \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=0</math>
, wenn also die Lagrangefunktion invariant gegen q1- Änderungen ist, dann nennt man q1 eine '''zyklische '''Koordinate. der zu q1 konjugierte Impuls ist in diesem Fall eine '''Erhaltungsgröße '''.

Hier:

<math>\begin{align}
& {{p}_{1}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}(T-V)=\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}\left( \sum\limits_{i}{\frac{1}{2}{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}} \right)=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}} \\
& mit\quad \frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}={{{\bar{e}}}_{x}} \\
& {{p}_{1}}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}{{{\bar{e}}}_{x}}}={{P}_{x}} \\
\end{align}</math>

=====Verallgemeinerung auf Nichtkonservative Kräfte=====

<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}-\frac{\partial T}{\partial {{q}_{1}}}={{Q}_{1}}=\sum\limits_{i}{{{{\bar{X}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{{\bar{r}}}_{i}}={{{\bar{e}}}_{x}}}\sum\limits_{i}{{{{\bar{X}}}_{i}}}</math>

Xi kennzeichnet dabei die Kraft. Nun steht rechts also die resultierende Kraft in x- Richtung. Existiert keine resultierende Kraft in x- Richtung ( Translationsinvarianz in x- Richtung), so gilt:

<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}-\frac{\partial T}{\partial {{q}_{1}}}={{Q}_{1}}=\sum\limits_{i}{{{{\bar{X}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{{\bar{r}}}_{i}}={{{\bar{e}}}_{x}}}\sum\limits_{i}{{{{\bar{X}}}_{i}}}=0</math>

'''Invarianz sagt'''

<math>\frac{\partial T}{\partial {{q}_{1}}}={{Q}_{1}}=0\Rightarrow \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=0\Leftrightarrow {{P}_{x}}=\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=const</math>

Nebenbedingung für das fehlen konservativer Kräfte ( Falls Q1 konservative Kraft ist)

<math>{{Q}_{1}}=0\Rightarrow \frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}V({{\bar{r}}_{1}}+{{q}_{1}}{{\bar{e}}_{x}},...,{{\bar{r}}_{N}}+{{q}_{1}}{{\bar{e}}_{x}})=\sum\limits_{i}{{{\nabla }_{ri}}}V\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}\left( {{q}_{1}}{{{\bar{e}}}_{x}} \right)={{\bar{e}}_{x}}\sum\limits_{i}{{{\nabla }_{ri}}}V=-{{\bar{e}}_{x}}\sum\limits_{i}{{{{\bar{X}}}_{i}}=0}</math>

<u>'''Beispiel: '''</u> ein Teilchen im Potenzial V=V(y,z)

Das Potenzial hänge nicht von x ab:
<math>{{\frac{\partial L}{\partial x}}_{{}}}=0</math>

Daraus folgt:
<math>{{\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}}_{{}}}=m\dot{x}={{P}_{x}}=const</math>

In diesem Fall existiert ein Integral der Bewegung:

<math>I(\bar{r},\dot{\bar{r}})=\frac{\partial L}{\partial \dot{\bar{r}}}\cdot {{\frac{d{{h}^{s}}}{ds}}_{{}}}=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}={{P}_{x}}=const</math>

wegen

<math>\begin{align}
& \frac{\partial L}{\partial \dot{\bar{r}}}={{\nabla }_{{\dot{r}}}}L \\
& {{\frac{d{{h}^{s}}}{ds}}_{{}}}={{{\bar{e}}}_{x}} \\
\end{align}</math>

=====Beispiel: 2 Teilchen mit innerer Paarwechselwirkung=====

<math>V({{\bar{r}}_{1}},{{\bar{r}}_{2}})=V({{\bar{r}}_{1}}-{{\bar{r}}_{2}})</math>
Das Potenzial kann auch anisotrop sein.

Es sollen keine äußeren Kräfte wirken, so dass das Potenzial unabhängig von den Schwerpunktskoordinaten wird.

Gleichzeitig soll Translationsinvarianz entlang x-, - und z- Richtung vorliegen:

<math>\begin{align}
& L({{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{1}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{2}})=\frac{{{m}_{1}}}{2}{{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}^{2}+\frac{{{m}_{2}}}{2}{{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}^{2}-V({{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}}) \\
& L({{h}^{s}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}} \right),{{h}^{s}}\left( {{{\bar{r}}}_{2}} \right),{{{\dot{\bar{r}}}}_{1}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{2}})=\frac{{{m}_{1}}}{2}{{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}^{2}+\frac{{{m}_{2}}}{2}{{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}^{2}-V(\left( {{{\bar{r}}}_{1}}-s{{{\bar{e}}}_{i}} \right)-\left( {{{\bar{r}}}_{2}}-s{{{\bar{e}}}_{i}} \right))=L({{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{1}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}) \\
\end{align}</math>
für alle i = x,y,z

Somit existieren gleich drei Integrale der Bewegung:

<math>\begin{align}
& {{I}_{x}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}}{{{\bar{e}}}_{x}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}}{{{\bar{e}}}_{x}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{x}}}_{1}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{x}}}_{2}}}={{m}_{1}}{{{\dot{x}}}_{1}}+{{m}_{2}}{{{\dot{x}}}_{2}}={{P}_{x}}=const \\
& {{I}_{y}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}}{{{\bar{e}}}_{y}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}}{{{\bar{e}}}_{y}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{y}}}_{1}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{y}}}_{2}}}={{m}_{1}}{{{\dot{y}}}_{1}}+{{m}_{2}}{{{\dot{y}}}_{2}}={{P}_{y}}=const \\
& {{I}_{z}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}}{{{\bar{e}}}_{z}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}}{{{\bar{e}}}_{z}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{z}}}_{1}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{z}}}_{2}}}={{m}_{1}}{{{\dot{z}}}_{1}}+{{m}_{2}}{{{\dot{z}}}_{2}}={{P}_{z}}=const \\
\end{align}</math>

Dies ist, aufgrund des Fehlens äußerer Kräfte, gerade der Schwerpunkts- Erhaltungssatz:

<math>M\dot{\bar{R}}={{\bar{P}}_{{}}}=const</math>

Mit den Schwerpunktskoordinaten

<math>\bar{R}:=\frac{1}{M}\sum\limits_{i=1}^{2}{{{m}_{i}}{{{\bar{r}}}_{i}}}</math>

Und der Gesamtmasse

<math>M:=\sum\limits_{i=1}^{2}{{{m}_{i}}}</math>

Räumliche Translationsinvarianz - Versionsgeschichte

Schubotz am 9. August 2011 um 12:29 Uhr

165.139.190.15: /* Beispiel: 2 Teilchen mit innerer Paarwechselwirkung */

210.249.29.162: /* Verallgemeinerung auf Nichtkonservative KrÃ¤fte */

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → !, ( → ( (2)

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Mechanik|3|2}} Seien die Kräfte konservativ und seien keine Randbedingungen: L=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{…“

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Mechanik|3|2}} Seien die Kräfte konservativ und seien keine Randbedingungen: $L=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{…“$