Poisson- Klammern - Versionsgeschichte

Schubotz am 9. August 2011 um 12:29 Uhr

2011-08-09T12:29:06Z

82.198.28.221: /* Bezug zur Quantenmechanik */

2011-07-02T13:20:37Z

Bezug zur Quantenmechanik

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	6HHyAq <a href="http://zhtmswcnthxb.com/">zhtmswcnthxb</a>		6HHyAq <a href="http://zhtmswcnthxb.com/">zhtmswcnthxb</a>

	=~~===Bezug zur Quantenmechanik====~~		XvBwoj , [url=http://ghephmjblfdu.com/]ghephmjblfdu[/url], [link=http://pvsviajrbfkn.com/]pvsviajrbfkn[/link], http://hlbozmkwuiom.com/

	~~Ein Übergang zur Quantenmechanik ist möglich~~:

	~~Von der klassischen Variablen~~
	~~:<math>g(\bar{q},\bar{p},t)<~~/~~math>~~
	~~zum qm~~. ~~Operator:~~
	~~:<math>g:H→H<~~/~~math>~~
	~~mit dem Hilbertraum H~~

	~~Von der Poissonklammer:~~
	~~:<math>\left\{ f,g \right\}\to \frac{1}{i\hbar }\left~~[ ~~f,g \right~~]~~</math>~~
	~~zum Kommutator~~

	~~Aus den fundamentalen Poisson- Klammern folgen die kanonischen Vertauschiungsrelationen:~~


	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& \left\{ {{q}_{k}}~~,~~{{q}_{j}} \right\}=0\quad \to \left~~[ ~~{{q}_{k}},{{q}_{j}} \right]~~=~~0 \\~~
	~~& \left\{ {{p}_{k}},{{p}_{j}} \right\}=0\quad \to \left[ {{p}_{k}},{{p}_{j}} \right~~]~~=0 \\~~
	~~& \left\{ {{q}_{k}},{{p}_{j}} \right\}={{\delta }_{kj}}\quad \to \left~~[ ~~{{q}_{k}},{{p}_{j}} \right~~]~~=i\hbar {{\delta }_{kj}} \\~~
	~~\end{align}</math>~~


	~~Die Hamiltonfunktion H(q,p~~,~~t) geht über zum Hamilton- Operator~~

	~~Die Bewegungsgleichungen~~:


	~~:<math>\begin{align}~~
	& \frac{dg(\bar{q},\bar{p},t)}{dt}=\sum\limits_{i=1}^{f}{\left( \frac{\partial g}{\partial {{q}_{i}}}{{{\dot{q}}}_{i}}+\frac{\partial g}{\partial {{p}_{i}}}{{{\dot{p}}}_{i}} \right)}+\frac{\partial g}{\partial t}=\sum\limits_{i=1}^{f}{\left( \frac{\partial g}{\partial {{q}_{i}}}\frac{\partial H}{\partial {{p}_{i}}}-\frac{\partial g}{\partial {{p}_{i}}}\frac{\partial H}{\partial {{q}_{i}}} \right)}+\frac{\partial g}{\partial t}=:\left\{ g,H \right\}+\frac{\partial g}{\partial t} \\
	~~& \to \frac{dg}{dt}=\frac{1}{i\hbar }\left[ g,H \right]+\frac{\partial g}{\partial t} \\~~
	~~\end{align}<~~/~~math>~~


	~~Wobei auch nur der Zusammenhang zwischen Poisson- Klammer und Kommutator recycled wurde~~.

	Da in diesem Bild die Operatoren zeitabhängig sind haben wir es mit der Heisenbergschen bewegungsgleichung zu tun. Im Schrödingerbild ist der Operator zeitunabhängig und die Schrödingergleichung gibt eine Bewegungsgleichung für die Zustände an.

	~~[[Kategorie:Mechanik]]~~

86.54.117.169: /* Beweis: Trafo: xây */

2011-07-01T15:27:24Z

Beweis: Trafo: xây

Änderungen zeigen

200.52.65.173: /* Eigenschaften */

2011-07-01T10:45:20Z

Eigenschaften

@@ Zeile 29: / Zeile 29: @@
 Poisson- Klammer
-====Eigenschaften====
+Well put, sir, well put. I'll certinlay make note of that.
 ====Beweis: Trafo:  x→y====

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: , → , (3), ( → (

2010-09-12T22:30:59Z

Interpunktion, replaced: , → , (3), ( → (

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	:<math>\left( f,g \right)=0\forall g\Rightarrow f=const.</math>		:<math>\left( f,g \right)=0\forall g\Rightarrow f=const.</math>
	(Nullelement, wegen		(Nullelement, wegen
	:<math>{{\bar{f}}_{,x}}=0</math>		:<math>{{\bar{f}}_{,x}}=0</math>)
	)

	Nebenbemerkung: Es gilt:		Nebenbemerkung: Es gilt:
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	Also Selbstorthogonalität		Also Selbstorthogonalität

	Weiter gilt die Produktregel ( Leibnizregel):		Weiter gilt die Produktregel (Leibnizregel):
	:<math>\left\{ f,gh \right\}=g\left\{ f,h \right\}+\left\{ f,g \right\}h</math>		:<math>\left\{ f,gh \right\}=g\left\{ f,h \right\}+\left\{ f,g \right\}h</math>

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	ist symplektische Matrix,		ist symplektische Matrix,

	das heißt , es gilt:		das heißt, es gilt:
	:<math>{{M}^{T}}JM=J\Leftrightarrow {{M}^{-1}}J{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}=J</math>		:<math>{{M}^{T}}JM=J\Leftrightarrow {{M}^{-1}}J{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}=J</math>,
	, da ja		da ja
	:<math>{{M}^{-1}}J{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}={{J}^{-1}}{{M}^{T}}JJ{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}=-{{J}^{-1}}{{M}^{T}}{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}=-{{J}^{-1}}=J</math>		:<math>{{M}^{-1}}J{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}={{J}^{-1}}{{M}^{T}}JJ{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}=-{{J}^{-1}}{{M}^{T}}{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}=-{{J}^{-1}}=J</math>

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	fundamentale Poissonklammern in den neuen Koordinaten		fundamentale Poissonklammern in den neuen Koordinaten

	Somit ergibt sich ein einfach nachprüfbares Kriterium für kanonische Transformationen !		Somit ergibt sich ein einfach nachprüfbares Kriterium für kanonische Transformationen!

	Folgende Aussagen sind äquivalent:		Folgende Aussagen sind äquivalent:
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	:<math>\Leftrightarrow </math>		:<math>\Leftrightarrow </math>
	es existiert eine Erzeugende !		es existiert eine Erzeugende!

	====Bezug zur Quantenmechanik====		====Bezug zur Quantenmechanik====

*>SchuBot: Pfeile einfügen, replaced: -> → → (3)

2010-09-12T19:51:16Z

Pfeile einfügen, replaced: -> → → (3)

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 21:51 Uhr
Zeile 82:		Zeile 82:
	Die Poissonklammer ist invariant unter kanonischen Transformationen:		Die Poissonklammer ist invariant unter kanonischen Transformationen:

	====Beweis: Trafo: ~~x->y~~====		====Beweis: Trafo: x→y====
	Die Jacobi- Determinante		Die Jacobi- Determinante
	:<math>{{M}_{\alpha \beta }}=\frac{\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{y}_{\beta }}}</math>		:<math>{{M}_{\alpha \beta }}=\frac{\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{y}_{\beta }}}</math>
Zeile 212:		Zeile 212:

	:<math>{{\dot{y}}_{k}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{{{J}_{kl}}\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{y}_{l}}}}</math>		:<math>{{\dot{y}}_{k}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{{{J}_{kl}}\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{y}_{l}}}}</math>
	Hamiltonsche Bewegungsgleichung in den neuen Koordinaten -> Trafo kanonisch		Hamiltonsche Bewegungsgleichung in den neuen Koordinaten → Trafo kanonisch


Zeile 267:		Zeile 267:
	:<math>g(\bar{q},\bar{p},t)</math>		:<math>g(\bar{q},\bar{p},t)</math>
	zum qm. Operator:		zum qm. Operator:
	:<math>g:~~H->H~~</math>		:<math>g:H→H</math>
	mit dem Hilbertraum H		mit dem Hilbertraum H

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:27:55Z

Einrückungen Mathematik

Änderungen zeigen

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:07:25Z

Einrückungen Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 17:07 Uhr
Zeile 20:		Zeile 20:
	====Definition:====		====Definition:====
	Für zwei beliebige Observablen		Für zwei beliebige Observablen
	<math>g(\bar{q},\bar{p},t)</math>		<math>g(\bar{q},\bar{p},t)</math> und <math>f(\bar{q},\bar{p},t)</math>
	und
	<math>f(\bar{q},\bar{p},t)</math>
	heißt		heißt

Zeile 194:		Zeile 192:


	<math>{{\dot{y}}_{k}}=\left\{ {{y}_{k}},H \right\}=\sum\limits_{i,j=1}^{f}{\frac{\partial {{y}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}{{J}_{ij}}\frac{\partial H}{\partial {{x}_{j}}}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{{{J}_{kj}}\frac{\partial H}{\partial {{x}_{j}}}}</math>		<math>{{\dot{y}}_{k}}=\left\{ {{y}_{k}},H \right\}=\sum\limits_{i,j=1}^{f}{\frac{\partial {{y}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}{{J}_{ij}}\frac{\partial H}{\partial {{x}_{j}}}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{{{J}_{kj}}\frac{\partial H}{\partial {{x}_{j}}}}</math> Wegen <math>\left( {{{\bar{f}}}_{x}},{{{\bar{g}}}_{x}} \right)=\left( {{{\bar{f}}}_{y}},{{{\bar{g}}}_{y}} \right)</math>


	Wegen
	<math>\left( {{{\bar{f}}}_{x}},{{{\bar{g}}}_{x}} \right)=\left( {{{\bar{f}}}_{y}},{{{\bar{g}}}_{y}} \right)</math>
	kann nun die Bewegungsgleichung in den alten Koordinaten gebildet werden:		kann nun die Bewegungsgleichung in den alten Koordinaten gebildet werden:

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Mechanik|4|6}} Jede Observable läßt sich in der klassischen Mechanik als Funktion von Ort, Impuls und Zeit darstellen: …“

2010-08-28T22:34:19Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|4|6}}</noinclude> Jede Observable läßt sich in der klassischen Mechanik als Funktion von Ort, Impuls und Zeit darstellen: …“

Neue Seite

<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|4|6}}</noinclude>

Jede Observable läßt sich in der klassischen Mechanik als Funktion von Ort, Impuls und Zeit darstellen:

<math>Observable=g(\bar{q},\bar{p},t)</math>

Die zeitliche Änderung längs der Bahn
<math>\bar{q}(t),\bar{p}(t)</math>
im Phasenraum
<math>\Gamma </math>
:

<math>\frac{dg(\bar{q},\bar{p},t)}{dt}=\sum\limits_{i=1}^{f}{\left( \frac{\partial g}{\partial {{q}_{i}}}{{{\dot{q}}}_{i}}+\frac{\partial g}{\partial {{p}_{i}}}{{{\dot{p}}}_{i}} \right)}+\frac{\partial g}{\partial t}=\sum\limits_{i=1}^{f}{\left( \frac{\partial g}{\partial {{q}_{i}}}\frac{\partial H}{\partial {{p}_{i}}}-\frac{\partial g}{\partial {{p}_{i}}}\frac{\partial H}{\partial {{q}_{i}}} \right)}+\frac{\partial g}{\partial t}=:\left\{ g,H \right\}+\frac{\partial g}{\partial t}</math>

====Definition:====
Für zwei beliebige Observablen
<math>g(\bar{q},\bar{p},t)</math>
und
<math>f(\bar{q},\bar{p},t)</math>
heißt

<math>\sum\limits_{i=1}^{f}{\left( \frac{\partial g}{\partial {{q}_{i}}}\frac{\partial f}{\partial {{p}_{i}}}-\frac{\partial g}{\partial {{p}_{i}}}\frac{\partial f}{\partial {{q}_{i}}} \right)}=:\left\{ g,f \right\}</math>

Poisson- Klammer

====Eigenschaften====

# die Poissonklammer ist eine schiefsymmetrische nicht entartete Bilinearform. Das bedeutet jedoch, sie definiert ein symplektisches Skalarprodukt im Phasenraum:

<math>\left\{ g,f \right\}=\left( {{{\bar{f}}}_{x}},{{{\bar{g}}}_{x}} \right)={{\bar{f}}_{x}}^{T}J{{\bar{g}}_{x}}=\sum\limits_{i,k=1}^{f}{\left( \frac{\partial f}{\partial {{x}_{i}}}{{J}_{ik}}\frac{\partial g}{\partial {{x}_{k}}} \right)}=\left( \begin{matrix}
\frac{\partial f}{\partial q} & \frac{\partial f}{\partial p} \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
\frac{\partial g}{\partial q} \\
\frac{\partial g}{\partial q} \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
\frac{\partial f}{\partial q} & \frac{\partial f}{\partial p} \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
\frac{\partial g}{\partial p} \\
-\frac{\partial g}{\partial q} \\
\end{matrix} \right)</math>
Aufgrund der schiefsymmetrischen Struktur und der Bilinearität sowie der Nichtentartung und der daraus folgenden Selbstorthogonalität gilt:

1.Schiefsymmetrie:
<math>\left\{ f,g \right\}=-\left\{ g,f \right\}</math>

2.bilinear:
<math>\left\{ f,{{\lambda }_{1}}{{g}_{1}}+{{\lambda }_{2}}{{g}_{2}} \right\}={{\lambda }_{1}}\left\{ f,{{g}_{1}} \right\}+{{\lambda }_{2}}\left\{ f,{{g}_{2}} \right\}</math>

3.nichtentartet:
<math>\left( f,g \right)=0\forall g\Rightarrow f=const.</math>
(Nullelement, wegen
<math>{{\bar{f}}_{,x}}=0</math>
)

Nebenbemerkung: Es gilt:
<math>\left\{ f,f \right\}=0\forall f</math>
Also Selbstorthogonalität

Weiter gilt die Produktregel ( Leibnizregel):
<math>\left\{ f,gh \right\}=g\left\{ f,h \right\}+\left\{ f,g \right\}h</math>

Die Jacobi- Identität:
<math>\left\{ f,\left\{ g,h \right\} \right\}=\left\{ \left\{ f,g \right\},h \right\}+\left\{ g,\left\{ f,h \right\} \right\}</math>

Weiter gilt:
<math>\frac{\partial g}{\partial {{q}_{k}}}=\left\{ g,{{p}_{k}} \right\}\quad \quad \frac{\partial g}{\partial {{p}_{k}}}=-\left\{ g,{{q}_{k}} \right\}</math>

Die Poissonklammer ist invariant unter kanonischen Transformationen:

====Beweis: Trafo: x->y====
Die Jacobi- Determinante
<math>{{M}_{\alpha \beta }}=\frac{\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{y}_{\beta }}}</math>
ist symplektische Matrix,

das heißt , es gilt:
<math>{{M}^{T}}JM=J\Leftrightarrow {{M}^{-1}}J{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}=J</math>
, da ja
<math>{{M}^{-1}}J{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}={{J}^{-1}}{{M}^{T}}JJ{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}=-{{J}^{-1}}{{M}^{T}}{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}=-{{J}^{-1}}=J</math>

Nun muss man umrechnen von :

<math>\begin{align}
& \frac{\partial f}{\partial {{x}_{i}}}=\sum\limits_{k}{\frac{\partial f}{\partial {{y}_{k}}}\frac{\partial {{y}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}=}\sum\limits_{k}{{{M}_{ki}}^{-1}\frac{\partial f}{\partial {{y}_{k}}}\Leftrightarrow {{{\bar{f}}}_{x}}={{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}{{{\bar{f}}}_{y}}\Leftrightarrow {{{\bar{f}}}_{x}}^{T}={{{\bar{f}}}_{y}}^{T}\left( {{M}^{-1}} \right)} \\
& {{{\bar{f}}}_{x}}^{T}J{{{\bar{g}}}_{x}}={{{\bar{f}}}_{y}}^{T}\left( {{M}^{-1}} \right)J{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}{{{\bar{g}}}_{y}}={{{\bar{f}}}_{y}}^{T}J{{{\bar{g}}}_{y}} \\
\end{align}</math>

Also:

<math>\left( {{{\bar{f}}}_{x}},{{{\bar{g}}}_{x}} \right)=\left( {{{\bar{f}}}_{y}},{{{\bar{g}}}_{y}} \right)</math>

Für nicht explizit zeitabhängige Observable
<math>g(\bar{q},\bar{p})</math>
gilt:

<math>\frac{dg}{dt}=\left\{ g,H \right\}</math>

g ist genau dann Bewegungskonstante, wenn gilt:

<math>\left\{ g,H \right\}=0</math>

Speziallfall: g ist Koordinate der Impuls:
<math>g={{q}_{k}},g={{p}_{k}}</math>

<math>\begin{align}
& {{{\dot{q}}}_{k}}=\left\{ {{q}_{k}},H \right\} \\
& {{{\dot{p}}}_{k}}=\left\{ {{p}_{k}},H \right\} \\
\end{align}</math>

So folgen die Hamiltonschen Gleichungen

Kompakt kann geschrieben werden:

<math>\begin{align}
& {{{\dot{x}}}_{k}}=\left\{ {{x}_{k}},H \right\}=\sum\limits_{i,j=1}^{f}{\frac{\partial {{x}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}{{J}_{ij}}\frac{\partial H}{\partial {{x}_{j}}}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{{{J}_{kj}}\frac{\partial H}{\partial {{x}_{j}}}} \\
& also:\dot{\bar{x}}=J{{{\bar{H}}}_{,x}} \\
\end{align}</math>

Fundamentale Poisson- Klammern:

<math>\begin{align}
& \left\{ {{q}_{k}},{{q}_{j}} \right\}=0 \\
& \left\{ {{p}_{k}},{{p}_{j}} \right\}=0 \\
& \left\{ {{q}_{k}},{{p}_{j}} \right\}={{\delta }_{kj}} \\
\end{align}</math>

Kompakt:

<math>\left\{ {{x}_{k}},{{x}_{j}} \right\}=\sum\limits_{l,m}{\frac{\partial {{x}_{k}}}{\partial {{x}_{l}}}{{J}_{lm}}\frac{\partial {{x}_{j}}}{\partial {{x}_{m}}}={{J}_{kj}}\cong \left( \begin{matrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{matrix} \right)}</math>

Die Poissonklammer ist invariant unter kanonischen Transformationen, da

<math>{{M}^{T}}JM=J</math>

Jedoch ist auch die Umkehrung richtig: ist die Transformation kanonisch, so gelten die obigen Poissonklammer- Beziehungen.

Somit:

Satz: Die Transformation
<math>\left( \bar{q},\bar{p} \right)\to \left( \bar{Q},\bar{P} \right)</math>
ist genau dann kanonisch, wenn :

<math>\begin{align}
& \left\{ {{Q}_{k}},{{Q}_{j}} \right\}=0 \\
& \left\{ {{P}_{k}},{{P}_{j}} \right\}=0 \\
& \left\{ {{Q}_{k}},{{P}_{j}} \right\}={{\delta }_{kj}} \\
\end{align}</math>

<u>'''Beweis: '''</u>Zur Vereinfachung: Nicht explizit zeitabhängige Trafos:
<math>\frac{\partial M}{\partial t}=0\Leftrightarrow \bar{H}=H</math>

Bewegungsgleichung:

<math>{{\dot{y}}_{k}}=\left\{ {{y}_{k}},H \right\}=\sum\limits_{i,j=1}^{f}{\frac{\partial {{y}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}{{J}_{ij}}\frac{\partial H}{\partial {{x}_{j}}}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{{{J}_{kj}}\frac{\partial H}{\partial {{x}_{j}}}}</math>

Wegen
<math>\left( {{{\bar{f}}}_{x}},{{{\bar{g}}}_{x}} \right)=\left( {{{\bar{f}}}_{y}},{{{\bar{g}}}_{y}} \right)</math>
kann nun die Bewegungsgleichung in den alten Koordinaten gebildet werden:

<math>{{\dot{y}}_{k}}=\left\{ {{y}_{k}},H \right\}=\sum\limits_{i,j,l=1}^{f}{\frac{\partial {{y}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}{{J}_{ij}}\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{y}_{l}}}\frac{\partial {{y}_{l}}}{\partial {{x}_{j}}}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{y}_{l}}}\sum\limits_{i,j=1}^{f}{\frac{\partial {{y}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}{{J}_{ij}}\frac{\partial {{y}_{l}}}{\partial {{x}_{j}}}}=}\sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{y}_{l}}}\left\{ {{y}_{k}},{{y}_{l}} \right\}}</math>

Also folgt:

<math>\begin{align}
& {{{\dot{y}}}_{k}}=\left\{ {{y}_{k}},H \right\}=\sum\limits_{i,j,l=1}^{f}{\frac{\partial {{y}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}{{J}_{ij}}\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{y}_{l}}}\frac{\partial {{y}_{l}}}{\partial {{x}_{j}}}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{y}_{l}}}\sum\limits_{i,j=1}^{f}{\frac{\partial {{y}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}{{J}_{ij}}\frac{\partial {{y}_{l}}}{\partial {{x}_{j}}}}=}\sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{y}_{l}}}\left\{ {{y}_{k}},{{y}_{l}} \right\}} \\
& {{{\dot{y}}}_{k}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{{{J}_{kl}}\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{y}_{l}}}\Leftrightarrow {{J}_{kl}}=\left\{ {{y}_{k}},{{y}_{l}} \right\}} \\
\end{align}</math>

Mit der Bedeutung

<math>{{\dot{y}}_{k}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{{{J}_{kl}}\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{y}_{l}}}}</math>
Hamiltonsche Bewegungsgleichung in den neuen Koordinaten -> Trafo kanonisch

<math>{{J}_{kl}}=\left\{ {{y}_{k}},{{y}_{l}} \right\}</math>
fundamentale Poissonklammern in den neuen Koordinaten

Somit ergibt sich ein einfach nachprüfbares Kriterium für kanonische Transformationen !

Folgende Aussagen sind äquivalent:

<math>\bar{x}=\left( \begin{matrix}
{\bar{q}} \\
{\bar{p}} \\
\end{matrix} \right)\to \bar{y}=\left( \begin{matrix}
{\bar{Q}} \\
{\bar{P}} \\
\end{matrix} \right)</math>
ist kanonisch

<math>\Leftrightarrow </math>
die kanonischen Gleichungen
<math>\dot{\bar{x}}=J{{\bar{H}}_{,x}}</math>
sind invariant

<math>\Leftrightarrow </math>
die Poissonklammern {f,g} sind invariant für alle f und g

<math>\Leftrightarrow </math>
die fundamentalen Poissonklammern
<math>{{J}_{kl}}=\left\{ {{x}_{k}},{{x}_{l}} \right\}</math>
sind ivariant

<math>\Leftrightarrow </math>
die Jacobi- Matrix
<math>{{M}_{\alpha \beta }}=\frac{\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{x}_{\beta }}}</math>
ist symplektisch, das heißt
<math>{{M}^{T}}JM=J</math>

<math>\Leftrightarrow </math>
es existiert eine Erzeugende !

====Bezug zur Quantenmechanik====

Ein Übergang zur Quantenmechanik ist möglich:

Von der klassischen Variablen
<math>g(\bar{q},\bar{p},t)</math>
zum qm. Operator:
<math>g:H->H</math>
mit dem Hilbertraum H

Von der Poissonklammer:
<math>\left\{ f,g \right\}\to \frac{1}{i\hbar }\left[ f,g \right]</math>
zum Kommutator

Aus den fundamentalen Poisson- Klammern folgen die kanonischen Vertauschiungsrelationen:

<math>\begin{align}
& \left\{ {{q}_{k}},{{q}_{j}} \right\}=0\quad \to \left[ {{q}_{k}},{{q}_{j}} \right]=0 \\
& \left\{ {{p}_{k}},{{p}_{j}} \right\}=0\quad \to \left[ {{p}_{k}},{{p}_{j}} \right]=0 \\
& \left\{ {{q}_{k}},{{p}_{j}} \right\}={{\delta }_{kj}}\quad \to \left[ {{q}_{k}},{{p}_{j}} \right]=i\hbar {{\delta }_{kj}} \\
\end{align}</math>

Die Hamiltonfunktion H(q,p,t) geht über zum Hamilton- Operator

Die Bewegungsgleichungen:

<math>\begin{align}
& \frac{dg(\bar{q},\bar{p},t)}{dt}=\sum\limits_{i=1}^{f}{\left( \frac{\partial g}{\partial {{q}_{i}}}{{{\dot{q}}}_{i}}+\frac{\partial g}{\partial {{p}_{i}}}{{{\dot{p}}}_{i}} \right)}+\frac{\partial g}{\partial t}=\sum\limits_{i=1}^{f}{\left( \frac{\partial g}{\partial {{q}_{i}}}\frac{\partial H}{\partial {{p}_{i}}}-\frac{\partial g}{\partial {{p}_{i}}}\frac{\partial H}{\partial {{q}_{i}}} \right)}+\frac{\partial g}{\partial t}=:\left\{ g,H \right\}+\frac{\partial g}{\partial t} \\
& \to \frac{dg}{dt}=\frac{1}{i\hbar }\left[ g,H \right]+\frac{\partial g}{\partial t} \\
\end{align}</math>

Wobei auch nur der Zusammenhang zwischen Poisson- Klammer und Kommutator recycled wurde.

Da in diesem Bild die Operatoren zeitabhängig sind haben wir es mit der Heisenbergschen bewegungsgleichung zu tun. Im Schrödingerbild ist der Operator zeitunabhängig und die Schrödingergleichung gibt eine Bewegungsgleichung für die Zustände an.

[[Kategorie:Mechanik]]

Poisson- Klammern - Versionsgeschichte

Schubotz am 9. August 2011 um 12:29 Uhr

82.198.28.221: /* Bezug zur Quantenmechanik */

86.54.117.169: /* Beweis: Trafo: xây */

200.52.65.173: /* Eigenschaften */

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: , → , (3), ( → (

*>SchuBot: Pfeile einfügen, replaced: -> → → (3)

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

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86.54.117.169: /* Beweis: Trafo: xây */