Poisson- Gleichung und Greensche Funktion - Versionsgeschichte

Schubotz: /* Poisson- Gleichung und Greensche Funktion */

2010-09-15T12:34:19Z

Poisson- Gleichung und Greensche Funktion

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	<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|1\|3}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|1\|3}}</noinclude>

	~~=Poisson- Gleichung und Greensche Funktion=~~

	:<math>\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=-\nabla \Phi (\bar{r})</math> in <math>\nabla \cdot \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>		:<math>\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=-\nabla \Phi (\bar{r})</math> in <math>\nabla \cdot \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
	liefert:		liefert:

	:<math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>		{{Gln\|<math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>

			Dies ist nicht anderes als die berühmte '''Poisson-Gleichung'''\|Poission-Gleichung}}

	~~Dies ist nicht anderes als die berühmte Poisson- Gleichung~~

	Eine partielle DGL zur Berechnung des elektrischen Potenzials für eine vorgegebene Ladungsverteilung.		Eine partielle DGL zur Berechnung des elektrischen Potenzials für eine vorgegebene Ladungsverteilung.
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	'''Entweder:'''		'''Entweder:'''
	1)		1) <math>\Phi (\bar{r})\to 0</math> hinreichend rasch für <math>r\to \infty </math>
	:<math>\Phi (\bar{r})\to 0</math>
	hinreichend rasch für
	:<math>r\to \infty </math>

	oder		oder
	2)
	:<math>\Phi (\bar{r})</math>		2) <math>\Phi (\bar{r})</math> sei gegeben auf Flächen im Endlichen, Beispielsweise Leiteroberflächen
	sei gegeben auf Flächen im Endlichen, Beispielsweise Leiteroberflächen

	'''Lösung zu 1):'''		'''Lösung zu 1):'''
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	falls Integration und Differenziation vertauschbar, also über verschiedene Koordinaten ausgeführt wird.		falls Integration und Differenziation vertauschbar, also über verschiedene Koordinaten ausgeführt wird.

	Man definiere für ein festes		Man definiere für ein festes <math>\bar{r}\acute{\ }</math>, dass
	:<math>\bar{r}\acute{\ }</math>,
	dass
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \bar{s}:=\bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \\		& \bar{s}:=\bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \\
	& {{\nabla }_{r}}={{\nabla }_{s}} \\		& {{\nabla }_{r}}={{\nabla }_{s}} \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	:
	Also:		Also:

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	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Dies ist aber ein Widerspruch zu		Dies ist aber ein Widerspruch zu <math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
	:<math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>

	Grund ist, dass die Vertauschung von		Grund ist, dass die Vertauschung von
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	Mit Hilfe der delta- Distribution, die auf eine Testfunktion anzuwenden ist!		Mit Hilfe der delta- Distribution, die auf eine Testfunktion anzuwenden ist!

	~~<u>'''~~Greensche Funktion der Poisson- Gleichung~~'''</u>~~
			== Greensche Funktion der Poisson- Gleichung ==


	:<math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}\Rightarrow </math>		:<math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}\Rightarrow </math>
Zeile 108:		Zeile 103:
	:<math>\Rightarrow \Phi (\bar{r})=\hat{G}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>		:<math>\Rightarrow \Phi (\bar{r})=\hat{G}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>

	Mit dem Greenschen Operator		Mit dem {{FB\|Greenschen Operator}} <math>\hat{G}</math>:
	:<math>\hat{G}</math>
	:

	Eine Fourier- Transformation von		Eine Fourier- Transformation von
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	Die einfache Fourier- Transformierte Form von		Die einfache Fourier- Transformierte Form von
	:<math>\Rightarrow \Phi (\bar{r})=\hat{G}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>,		:<math>\Rightarrow \Phi (\bar{r})=\hat{G}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>,
	nur dass der Fourier- transformierte Greens- Operator angegeben werden kann.		nur dass der Fourier- transformierte {{FB\|Greens-Operator}} angegeben werden kann.

	Die Rücktransformation löst dann die ~~Poiisson~~-~~gleichung~~:		Die Rücktransformation löst dann die {{FB\|Poisson-Gleichung}}:

	:<math>\Rightarrow \Phi (\bar{r})=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\hat{G}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>		:<math>\Rightarrow \Phi (\bar{r})=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\hat{G}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>
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	Das heißt, die Greensfunktion ist eine Lösung der Poissongleichung für eine Punktladung q=1 an		Das heißt, die Greensfunktion ist eine Lösung der Poissongleichung für eine Punktladung q=1 an
	:<math>\bar{r}\acute{\ }</math>		:<math>\bar{r}\acute{\ }</math>
	:
	Insbesondere bei speziellen Randbedingungen		Insbesondere bei speziellen {{FB\|Randbedingungen}}

	:<math>\begin{matrix}		:<math>\begin{matrix}
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	\end{matrix}\Phi (\bar{r})=0</math>		\end{matrix}\Phi (\bar{r})=0</math>

	ist die Greensfunktion dann:		ist die {{FB\|Greensfunktion}} dann:

	:<math>G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}</math>		:<math>G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}</math>
Zeile 152:		Zeile 145:
	:<math>{{\Delta }_{r}}G=\Delta \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math>		:<math>{{\Delta }_{r}}G=\Delta \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math>

	Für eine beliebige Ladungsverteilung		Für eine beliebige {{FB\|Ladungsverteilung}} <math>\rho </math> ist also die Lösung der Poissongleichung
	:<math>\rho </math>
	ist also die Lösung der Poissongleichung

	:<math>\Phi (\bar{r})=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ })}{\|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}{{d}^{3}}r\acute{\ }=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\rho (\bar{r}\acute{\ }){{d}^{3}}r\acute{\ }</math>		:<math>\Phi (\bar{r})=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ })}{\|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}{{d}^{3}}r\acute{\ }=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\rho (\bar{r}\acute{\ }){{d}^{3}}r\acute{\ }</math>

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: , → , (3), ( → (

2010-09-12T22:23:04Z

Interpunktion, replaced: , → , (3), ( → (

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	<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|1\|3}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|1\|3}}</noinclude>

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	'''Einsetzen in Poisson- Gleichung:'''		'''Einsetzen in Poisson- Gleichung:'''

	:<math>\Delta \Phi (\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}{{\Delta }_{r}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{\|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{\Delta }_{r}}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{\|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}</math>		:<math>\Delta \Phi (\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}{{\Delta }_{r}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{\|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{\Delta }_{r}}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{\|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}</math>,
	, falls Integration und Differenziation vertauschbar, also über verschiedene Koordinaten ausgeführt wird.		falls Integration und Differenziation vertauschbar, also über verschiedene Koordinaten ausgeführt wird.

	Man definiere für ein festes		Man definiere für ein festes
	:<math>\bar{r}\acute{\ }</math>		:<math>\bar{r}\acute{\ }</math>,
	, dass		dass
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \bar{s}:=\bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \\		& \bar{s}:=\bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \\
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	:<math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>		:<math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>

	Grund ist , dass die Vertauschung von		Grund ist, dass die Vertauschung von
	:<math>{{\Delta }_{r}}</math> und <math>\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}</math>		:<math>{{\Delta }_{r}}</math> und <math>\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}</math>
	sowie auch die obige Umformung nicht erlaubt ist für		sowie auch die obige Umformung nicht erlaubt ist für
	:<math>\bar{r}=\bar{r}\acute{\ }</math>		:<math>\bar{r}=\bar{r}\acute{\ }</math>,
	, also s=0 ( Singularität!!)		also s=0 (Singularität!!)

	Stattdessen für beliebige V:		Stattdessen für beliebige V:
Zeile 72:		Zeile 70:
	Dies ist erlaubt, falls der Integrand von		Dies ist erlaubt, falls der Integrand von
	:<math>\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}</math>		:<math>\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}</math>
	nach der Vertauschung stetig ist !:		nach der Vertauschung stetig ist!:

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 88:		Zeile 86:
	aber:		aber:

	:<math>\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}}\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{\|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }{{\|}^{3}}}=\int_{{}}^{{}}{d\Omega }=4\pi </math>		:<math>\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}}\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{\|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }{{\|}^{3}}}=\int_{{}}^{{}}{d\Omega }=4\pi </math>,
	, falls		falls
	:<math>\bar{r}\acute{\ }\in V</math>		:<math>\bar{r}\acute{\ }\in V</math>

Zeile 102:		Zeile 100:
	:<math>{{\Delta }_{r}}\frac{1}{\|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}=-4\pi \delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })</math>		:<math>{{\Delta }_{r}}\frac{1}{\|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}=-4\pi \delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })</math>

	Mit Hilfe der delta- Distribution, die auf eine Testfunktion anzuwenden ist !		Mit Hilfe der delta- Distribution, die auf eine Testfunktion anzuwenden ist!

	<u>'''Greensche Funktion der Poisson- Gleichung'''</u>		<u>'''Greensche Funktion der Poisson- Gleichung'''</u>
Zeile 125:		Zeile 123:

	Die einfache Fourier- Transformierte Form von		Die einfache Fourier- Transformierte Form von
	:<math>\Rightarrow \Phi (\bar{r})=\hat{G}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>		:<math>\Rightarrow \Phi (\bar{r})=\hat{G}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>,
	, nur dass der Fourier- transformierte Greens- Operator angegeben werden kann.		nur dass der Fourier- transformierte Greens- Operator angegeben werden kann.

	Die Rücktransformation löst dann die Poiisson-gleichung:		Die Rücktransformation löst dann die Poiisson-gleichung:

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2010-09-12T15:57:09Z

Einrückungen Mathematik

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=Poisson- Gleichung und Greensche Funktion=

<math>\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=-\nabla \Phi (\bar{r})</math>
in
<math>\nabla \cdot \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
liefert:

<math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>

Dies ist nicht anderes als die berühmte Poisson- Gleichung

Eine partielle DGL zur Berechnung des elektrischen Potenzials für eine vorgegebene Ladungsverteilung.

'''Die Eindeutigkeit kommt aus den Randbedingungen:'''

'''Entweder:'''
1)
<math>\Phi (\bar{r})\to 0</math>
hinreichend rasch für
<math>r\to \infty </math>

oder
2)
<math>\Phi (\bar{r})</math>
sei gegeben auf Flächen im Endlichen, Beispielsweise Leiteroberflächen

'''Lösung zu 1):'''

<math>\Phi (\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}</math>
für hinreichend rasch abfallendes
<math>\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>

'''Einsetzen in Poisson- Gleichung:'''

<math>\Delta \Phi (\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}{{\Delta }_{r}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{\Delta }_{r}}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}</math>
, falls Integration und Differenziation vertauschbar, also über verschiedene Koordinaten ausgeführt wird.

Man definiere für ein festes
<math>\bar{r}\acute{\ }</math>
, dass
<math>\begin{align}
& \bar{s}:=\bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \\
& {{\nabla }_{r}}={{\nabla }_{s}} \\
\end{align}</math>
:
Also:

<math>\begin{align}
& {{\Delta }_{r}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}={{\nabla }_{S}}\left( {{\nabla }_{S}}\frac{1}{s} \right)=-{{\nabla }_{S}}\frac{1}{{{s}^{2}}}\frac{{\bar{s}}}{s}=-\frac{1}{{{s}^{3}}}{{\nabla }_{S}}\bar{s}-\bar{s}{{\nabla }_{S}}\frac{1}{{{s}^{3}}} \\
& {{\nabla }_{S}}\bar{s}=3 \\
& \Rightarrow {{\Delta }_{r}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=-\frac{1}{{{s}^{3}}}{{\nabla }_{S}}\bar{s}-\bar{s}{{\nabla }_{S}}\frac{1}{{{s}^{3}}}=-\frac{3}{{{s}^{3}}}+\frac{1}{{{s}^{3}}}=0 \\
\end{align}</math>

Dies ist aber ein Widerspruch zu
<math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>

Grund ist , dass die Vertauschung von
<math>{{\Delta }_{r}}</math>
und
<math>\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}</math>
sowie auch die obige Umformung nicht erlaubt ist für
<math>\bar{r}=\bar{r}\acute{\ }</math>
, also s=0 ( Singularität!!)

Stattdessen für beliebige V:

Nun kann man
<math>\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}</math>
mit
<math>\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}</math>
vertauschen.
Dies ist erlaubt, falls der Integrand von
<math>\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}</math>
nach der Vertauschung stetig ist !:

<math>\begin{align}
& \int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}}r\Delta \Phi (\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|} \\
& {{\nabla }_{r}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=-\frac{\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }{{|}^{3}}} \\
\end{align}</math>

Somit:

<math>\begin{align}
& \int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}}r\Delta \Phi (\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}}\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }{{|}^{3}}} \\
& \oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}}\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }{{|}^{3}}}=\int_{{}}^{{}}{d\Omega } \\
\end{align}</math>

aber:

<math>\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}}\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }{{|}^{3}}}=\int_{{}}^{{}}{d\Omega }=4\pi </math>
, falls
<math>\bar{r}\acute{\ }\in V</math>

<math>\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}}\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }{{|}^{3}}}=\int_{{}}^{{}}{d\Omega }=0</math>
falls
<math>\bar{r}\acute{\ }\notin V</math>

Somit:

<math>\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}}r\Delta \Phi (\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>

Mathematisch streng gilt im Distributionen- Sinn:

<math>{{\Delta }_{r}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=-4\pi \delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })</math>

Mit Hilfe der delta- Distribution, die auf eine Testfunktion anzuwenden ist !

<u>'''Greensche Funktion der Poisson- Gleichung'''</u>

<math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}\Rightarrow </math>
Invertierung
<math>\Rightarrow \Phi (\bar{r})=\hat{G}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>

Mit dem Greenschen Operator
<math>\hat{G}</math>
:

Eine Fourier- Transformation von
<math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}\Rightarrow </math>
liefert
<math>-{{k}^{2}}\tilde{\Phi }=-\frac{{\tilde{\rho }}}{{{\varepsilon }_{0}}}\Rightarrow </math>

Man kann schreiben:

<math>\begin{align}
& \tilde{\Phi }=\tilde{\hat{G}}\tilde{\rho } \\
& \tilde{\hat{G}}:=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}{{k}^{2}}} \\
\end{align}</math>

Die einfache Fourier- Transformierte Form von
<math>\Rightarrow \Phi (\bar{r})=\hat{G}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>
, nur dass der Fourier- transformierte Greens- Operator angegeben werden kann.

Die Rücktransformation löst dann die Poiisson-gleichung:

<math>\Rightarrow \Phi (\bar{r})=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\hat{G}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>

Es gilt:

<math>{{\Delta }_{r}}\hat{G}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math>

Das heißt, die Greensfunktion ist eine Lösung der Poissongleichung für eine Punktladung q=1 an
<math>\bar{r}\acute{\ }</math>
:
Insbesondere bei speziellen Randbedingungen

<math>\begin{matrix}
\lim \\
\bar{r}\to \infty \\
\end{matrix}\Phi (\bar{r})=0</math>

ist die Greensfunktion dann:

<math>G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}</math>

Denn

<math>{{\Delta }_{r}}G=\Delta \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math>

Für eine beliebige Ladungsverteilung
<math>\rho </math>
ist also die Lösung der Poissongleichung

<math>\Phi (\bar{r})=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ })}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}{{d}^{3}}r\acute{\ }=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\rho (\bar{r}\acute{\ }){{d}^{3}}r\acute{\ }</math>

wobei die Identität insgesamt nur für die Randbedingungen
<math>\begin{matrix}
\lim \\
\bar{r}\to \infty \\
\end{matrix}\Phi (\bar{r})=0</math>
gilt, ansonsten ist G durch die andern Randbdingungen festgelegt.

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