Operatoren im Hilbertraum - Versionsgeschichte

Schubotz am 20. Januar 2011 um 17:47 Uhr

2011-01-20T17:47:14Z

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Zeile 160:		Zeile 160:
	Dann gilt auch die Spekteraldarstellung des Hamiltonoperators. Jedoch nur, wenn die Darstellung der zugehörigen Observable vollständig ist:		Dann gilt auch die Spekteraldarstellung des Hamiltonoperators. Jedoch nur, wenn die Darstellung der zugehörigen Observable vollständig ist:

	:<math>\~~overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}~~{H}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{\~~overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}~~{H}}}\left\| n \right\rangle \left\langle n \right\|=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{E}_{n}}}\left\| n \right\rangle \left\langle n \right\|</math>		:<math>\hat{H}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{\hat{H}}}\left\| n \right\rangle \left\langle n \right\|=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{E}_{n}}}\left\| n \right\rangle \left\langle n \right\|</math>

	Der Operator kann durch die Summe aller Koordinaten in den entsprechenden Eigenzuständen angegeben werden, wenn das System der Zustände eine vollständige Basis repräsentiert. (Und die Zustände Eigenzustände des Operators sind)		Der Operator kann durch die Summe aller Koordinaten in den entsprechenden Eigenzuständen angegeben werden, wenn das System der Zustände eine vollständige Basis repräsentiert. (Und die Zustände Eigenzustände des Operators sind)

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (8), ( → ( (11)

2010-09-12T22:43:48Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (8), ( → ( (11)

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:43 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:
	Übergang zur Quantentheorie in der Ortsdarstellung		Übergang zur Quantentheorie in der Ortsdarstellung

	In der Wellenmechanik nach Schrödinger haben wir statt dem Impuls ( klassisch) den Impulsoperator zur Beschreibung der Observable:		In der Wellenmechanik nach Schrödinger haben wir statt dem Impuls (klassisch) den Impulsoperator zur Beschreibung der Observable:

	:<math>\bar{p}\to \frac{\hbar }{i}\nabla </math>		:<math>\bar{p}\to \frac{\hbar }{i}\nabla </math>
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	Also:		Also:

	:<math>\hat{\bar{p}}\left\| {\bar{p}} \right\rangle =\bar{p}\left\| {\bar{p}} \right\rangle </math>mit dem ABSTRAKTEN ( Darstellungsfreien) Impulsoperator:<math>\hat{\bar{p}}:=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left\| {\bar{r}} \right\rangle \left( \frac{\hbar }{i}\nabla \right)\left\langle {\bar{r}} \right\|</math>		:<math>\hat{\bar{p}}\left\| {\bar{p}} \right\rangle =\bar{p}\left\| {\bar{p}} \right\rangle </math>mit dem ABSTRAKTEN (Darstellungsfreien) Impulsoperator:<math>\hat{\bar{p}}:=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left\| {\bar{r}} \right\rangle \left( \frac{\hbar }{i}\nabla \right)\left\langle {\bar{r}} \right\|</math>

	Dabei gilt: einen darstellungsfreien Operator bekommt man immer, indem man einen Operator in bestimmter Darstellung wählt und zwischen den Projektor auf diese Darstellung packt ( einen vollständigen Projektor !)		Dabei gilt: einen darstellungsfreien Operator bekommt man immer, indem man einen Operator in bestimmter Darstellung wählt und zwischen den Projektor auf diese Darstellung packt (einen vollständigen Projektor!)

	→ Bei Anwendung wir die entsprechende Wellenfunktion, egal in welcher Darstellung erst mal auf die entsprechende Darstellung projiziert, in der dann der Operator wirken kann. Man braucht sich keine Sorgen mehr machen. Der Operator <math>\hat{\bar{p}}:=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left\| {\bar{r}} \right\rangle \left( \frac{\hbar }{i}\nabla \right)\left\langle {\bar{r}} \right\|</math> ist in dieser Weise darstellungsfrei !		→ Bei Anwendung wir die entsprechende Wellenfunktion, egal in welcher Darstellung erst mal auf die entsprechende Darstellung projiziert, in der dann der Operator wirken kann. Man braucht sich keine Sorgen mehr machen. Der Operator <math>\hat{\bar{p}}:=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left\| {\bar{r}} \right\rangle \left( \frac{\hbar }{i}\nabla \right)\left\langle {\bar{r}} \right\|</math> ist in dieser Weise darstellungsfrei!

	====Verallgemeinerung====		====Verallgemeinerung====
	Sei<math>F(\bar{r},\bar{p})</math>eine klassische Observable, beispielsweise der Impuls, die Energie, der Drehimpuls, ...),		Sei<math>F(\bar{r},\bar{p})</math>eine klassische Observable, beispielsweise der Impuls, die Energie, der Drehimpuls,...),

	so ergibt sich F als Operator in der Ortsdarstellung:		so ergibt sich F als Operator in der Ortsdarstellung:
Zeile 29:		Zeile 29:
	:<math>F(\bar{r},\bar{p})\to \hat{F}(\hat{\bar{r}},\tfrac{\hbar }{i}\nabla )</math>		:<math>F(\bar{r},\bar{p})\to \hat{F}(\hat{\bar{r}},\tfrac{\hbar }{i}\nabla )</math>

	Der abstrakte ( darstellungsfreie Operator) folgt durch Aufintegration der Projektionen ( Einschub des Vollständigen Satzes von Eigenfunktionen, auf die projiziert wird, Einschub einer Eins):		Der abstrakte (darstellungsfreie Operator) folgt durch Aufintegration der Projektionen (Einschub des Vollständigen Satzes von Eigenfunktionen, auf die projiziert wird, Einschub einer Eins):

	:<math>\hat{F}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left\| {\bar{r}} \right\rangle \hat{F}(\hat{\bar{r}},\tfrac{\hbar }{i}\nabla )\left\langle {\bar{r}} \right\|</math>		:<math>\hat{F}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left\| {\bar{r}} \right\rangle \hat{F}(\hat{\bar{r}},\tfrac{\hbar }{i}\nabla )\left\langle {\bar{r}} \right\|</math>
Zeile 47:		Zeile 47:
	:<math>\Phi (\bar{r})=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left\langle {\bar{r}} \right\|\hat{F}\left\| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle }\Psi (\bar{r}\acute{\ })</math>		:<math>\Phi (\bar{r})=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left\langle {\bar{r}} \right\|\hat{F}\left\| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle }\Psi (\bar{r}\acute{\ })</math>

	Im Allgemeinen werden die Operatoren in speziellen Darstellungen, wie der obigen Ortsdarstellung zu LINEAREN INTEGRALOPERATOREN ( nichtlokal!)		Im Allgemeinen werden die Operatoren in speziellen Darstellungen, wie der obigen Ortsdarstellung zu LINEAREN INTEGRALOPERATOREN (nichtlokal!)

	Für die Ortsdarstellung für ein Teilchen im Potenzial F gilt speziell		Für die Ortsdarstellung für ein Teilchen im Potenzial F gilt speziell

	:<math>\left\langle {\bar{r}} \right\|\hat{F}\left\| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle =\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\hat{F}(\bar{r},\frac{\hbar }{i}\nabla )</math> ( lokaler Differenzialoperator, Lokalisation an r´)		:<math>\left\langle {\bar{r}} \right\|\hat{F}\left\| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle =\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\hat{F}(\bar{r},\frac{\hbar }{i}\nabla )</math> (lokaler Differenzialoperator, Lokalisation an r´)

	Übungsweise soll der nichtlokale Hamiltonoperator bestimmt werden.		Übungsweise soll der nichtlokale Hamiltonoperator bestimmt werden.
Zeile 146:		Zeile 146:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Häufig ( aber nicht immer !!) ist die Energiedarstellung VOLLSTÄNDIG ( sie ist beispielsweise beim eindimensionalen harmonischen Oszi vollständig):		Häufig (aber nicht immer!!) ist die Energiedarstellung VOLLSTÄNDIG (sie ist beispielsweise beim eindimensionalen harmonischen Oszi vollständig):

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 156:		Zeile 156:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Vollständigkeitsrelation !		Vollständigkeitsrelation!

	Dann gilt auch die Spekteraldarstellung des Hamiltonoperators. Jedoch nur, wenn die Darstellung der zugehörigen Observable vollständig ist:		Dann gilt auch die Spekteraldarstellung des Hamiltonoperators. Jedoch nur, wenn die Darstellung der zugehörigen Observable vollständig ist:
Zeile 162:		Zeile 162:
	:<math>\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{H}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{H}}}\left\| n \right\rangle \left\langle n \right\|=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{E}_{n}}}\left\| n \right\rangle \left\langle n \right\|</math>		:<math>\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{H}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{H}}}\left\| n \right\rangle \left\langle n \right\|=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{E}_{n}}}\left\| n \right\rangle \left\langle n \right\|</math>

	Der Operator kann durch die Summe aller Koordinaten in den entsprechenden Eigenzuständen angegeben werden, wenn das System der Zustände eine vollständige Basis repräsentiert. ( Und die Zustände Eigenzustände des Operators sind)		Der Operator kann durch die Summe aller Koordinaten in den entsprechenden Eigenzuständen angegeben werden, wenn das System der Zustände eine vollständige Basis repräsentiert. (Und die Zustände Eigenzustände des Operators sind)

	:<math>\left\| n \right\rangle \left\langle n \right\|</math>ist dabei der Projektionsoperator auf den n. Eigenzustand.		:<math>\left\| n \right\rangle \left\langle n \right\|</math>ist dabei der Projektionsoperator auf den n. Eigenzustand.
Zeile 170:		Zeile 170:
	Aus einer Quantenmechanischen Observable wird ein linearer Operator im Hilbertraum: <math>\hat{F}:H\to H</math>.		Aus einer Quantenmechanischen Observable wird ein linearer Operator im Hilbertraum: <math>\hat{F}:H\to H</math>.

	Bei reellen Observablen , besser: reellen Erwartungswerten der Observablen muss der zugehörige Operator nicht nur linear, sondern auch hermitesch sein		Bei reellen Observablen, besser: reellen Erwartungswerten der Observablen muss der zugehörige Operator nicht nur linear, sondern auch hermitesch sein

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 244:		Zeile 244:
	\end{align}</math> Antilinearität		\end{align}</math> Antilinearität

	Das Skalarprodukt ist linear im 2. Faktor und antilinear im 1. Faktor !		Das Skalarprodukt ist linear im 2. Faktor und antilinear im 1. Faktor!

	Weitere Relationen:		Weitere Relationen:
Zeile 299:		Zeile 299:
	:<math>\left\langle \Psi \right\|\hat{F}(\bar{r},\frac{\hbar }{i}\nabla )\left\| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|\hat{F}(\bar{r},\frac{\hbar }{i}\nabla )\left\| \Psi \right\rangle *</math>		:<math>\left\langle \Psi \right\|\hat{F}(\bar{r},\frac{\hbar }{i}\nabla )\left\| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|\hat{F}(\bar{r},\frac{\hbar }{i}\nabla )\left\| \Psi \right\rangle *</math>

	Umgekehrt gilt:Operatoren mit reellen Eigenwerten sind hermitesch ! ( im Allgemeinen).		Umgekehrt gilt:Operatoren mit reellen Eigenwerten sind hermitesch! (im Allgemeinen).

	Physikalische Observablen sind also immer durch hermitesche Operatoren darzustellen		Physikalische Observablen sind also immer durch hermitesche Operatoren darzustellen

*>SchuBot: Pfeile einfügen, replaced: -> → →

2010-09-12T20:06:31Z

Pfeile einfügen, replaced: -> → →

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 22:06 Uhr
Zeile 20:		Zeile 20:
	Dabei gilt: einen darstellungsfreien Operator bekommt man immer, indem man einen Operator in bestimmter Darstellung wählt und zwischen den Projektor auf diese Darstellung packt ( einen vollständigen Projektor !)		Dabei gilt: einen darstellungsfreien Operator bekommt man immer, indem man einen Operator in bestimmter Darstellung wählt und zwischen den Projektor auf diese Darstellung packt ( einen vollständigen Projektor !)

	-> Bei Anwendung wir die entsprechende Wellenfunktion, egal in welcher Darstellung erst mal auf die entsprechende Darstellung projiziert, in der dann der Operator wirken kann. Man braucht sich keine Sorgen mehr machen. Der Operator <math>\hat{\bar{p}}:=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left\| {\bar{r}} \right\rangle \left( \frac{\hbar }{i}\nabla \right)\left\langle {\bar{r}} \right\|</math> ist in dieser Weise darstellungsfrei !		→ Bei Anwendung wir die entsprechende Wellenfunktion, egal in welcher Darstellung erst mal auf die entsprechende Darstellung projiziert, in der dann der Operator wirken kann. Man braucht sich keine Sorgen mehr machen. Der Operator <math>\hat{\bar{p}}:=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left\| {\bar{r}} \right\rangle \left( \frac{\hbar }{i}\nabla \right)\left\langle {\bar{r}} \right\|</math> ist in dieser Weise darstellungsfrei !

	====Verallgemeinerung====		====Verallgemeinerung====

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:43:50Z

Einrückungen Mathematik

Änderungen zeigen

*>SchuBot am 11. September 2010 um 15:33 Uhr

2010-09-11T15:33:34Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 17:33 Uhr
Zeile 39:		Zeile 39:
	So folgt für die Ortsdarstellung dieses Zustandes		So folgt für die Ortsdarstellung dieses Zustandes

	<math>\left\langle {\bar{r}} \| \Phi \right\rangle =\left\langle {\bar{r}} \right\|\hat{F}\left\| \Psi \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left\| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle \left\langle {\bar{r}} \right\|\hat{F}\left\| \Psi \right\rangle \left\langle \bar{r}\acute{\ } \right\|=}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left\langle {\bar{r}} \right\|\hat{F}\left\| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle \left\langle \bar{r}\acute{\ } ~~\right\|\left~~\| \Psi \right\rangle }</math>		<math>\left\langle {\bar{r}} \| \Phi \right\rangle =\left\langle {\bar{r}} \right\|\hat{F}\left\| \Psi \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left\| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle \left\langle {\bar{r}} \right\|\hat{F}\left\| \Psi \right\rangle \left\langle \bar{r}\acute{\ } \right\|=}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left\langle {\bar{r}} \right\|\hat{F}\left\| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle \left\langle \bar{r}\acute{\ } \| \Psi \right\rangle }</math>

	Auch hier wurde wieder eine 1, also ein vollständiger Satz von Basisfunktionen eingeschoben.		Auch hier wurde wieder eine 1, also ein vollständiger Satz von Basisfunktionen eingeschoben.
Zeile 69:		Zeile 69:
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}

	& \left\langle {\bar{r}} \right\|\hat{\bar{r}}\left\| \Psi \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left\langle {\bar{r}} \right\|\hat{\bar{r}}\left\| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle }\left\langle \bar{r}\acute{\ } ~~\right\|\left~~\| \Psi \right\rangle =\bar{r}\left\langle {\bar{r}} \| \Psi \right\rangle \\		& \left\langle {\bar{r}} \right\|\hat{\bar{r}}\left\| \Psi \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left\langle {\bar{r}} \right\|\hat{\bar{r}}\left\| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle }\left\langle \bar{r}\acute{\ } \| \Psi \right\rangle =\bar{r}\left\langle {\bar{r}} \| \Psi \right\rangle \\

	& \Rightarrow \left\langle {\bar{r}} \right\|\hat{\bar{r}}\left\| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle =\bar{r}\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }) \\		& \Rightarrow \left\langle {\bar{r}} \right\|\hat{\bar{r}}\left\| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle =\bar{r}\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }) \\

Schubotz am 9. September 2010 um 14:33 Uhr

2010-09-09T14:33:16Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. September 2010, 16:33 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|2\|3}}		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|2\|3}}</noinclude>
	Übergang zur Quantentheorie in der Ortsdarstellung		Übergang zur Quantentheorie in der Ortsdarstellung

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|2|3}} Übergang zur Quantentheorie in der Ortsdarstellung In der Wellenmechanik nach Schrödinger haben wir statt dem Impuls ( kl…“

2010-08-24T15:05:12Z

Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|2|3}} Übergang zur Quantentheorie in der Ortsdarstellung In der Wellenmechanik nach Schrödinger haben wir statt dem Impuls ( kl…“

Neue Seite

{{Scripthinweis|Quantenmechanik|2|3}}
Übergang zur Quantentheorie in der Ortsdarstellung

In der Wellenmechanik nach Schrödinger haben wir statt dem Impuls ( klassisch) den Impulsoperator zur Beschreibung der Observable:

<math>\bar{p}\to \frac{\hbar }{i}\nabla </math>

Die Eigenwertgleichung in der Ortsdarstellung des Impulszustandes lautet:

<math>\frac{\hbar }{i}\nabla \left( \frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\frac{3}{2}}}}{{e}^{\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}} \right)=\frac{\hbar }{i}\nabla \left\langle {\bar{r}} | {\bar{p}} \right\rangle =\bar{p}\left\langle {\bar{r}} | {\bar{p}} \right\rangle </math>

Multiplikation mit<math>\left| {\bar{r}} \right\rangle </math>und Aufintegration liefert:

<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \left( \frac{\hbar }{i}\nabla \right)\left\langle {\bar{r}} | {\bar{p}} \right\rangle =\bar{p}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \left\langle {\bar{r}} | {\bar{p}} \right\rangle =\bar{p}\left| {\bar{p}} \right\rangle </math>

Also:

<math>\hat{\bar{p}}\left| {\bar{p}} \right\rangle =\bar{p}\left| {\bar{p}} \right\rangle </math>mit dem ABSTRAKTEN ( Darstellungsfreien) Impulsoperator:<math>\hat{\bar{p}}:=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \left( \frac{\hbar }{i}\nabla \right)\left\langle {\bar{r}} \right|</math>

Dabei gilt: einen darstellungsfreien Operator bekommt man immer, indem man einen Operator in bestimmter Darstellung wählt und zwischen den Projektor auf diese Darstellung packt ( einen vollständigen Projektor !)

-> Bei Anwendung wir die entsprechende Wellenfunktion, egal in welcher Darstellung erst mal auf die entsprechende Darstellung projiziert, in der dann der Operator wirken kann. Man braucht sich keine Sorgen mehr machen. Der Operator <math>\hat{\bar{p}}:=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \left( \frac{\hbar }{i}\nabla \right)\left\langle {\bar{r}} \right|</math> ist in dieser Weise darstellungsfrei !

====Verallgemeinerung====
Sei<math>F(\bar{r},\bar{p})</math>eine klassische Observable, beispielsweise der Impuls, die Energie, der Drehimpuls, ...),

so ergibt sich F als Operator in der Ortsdarstellung:

<math>F(\bar{r},\bar{p})\to \hat{F}(\hat{\bar{r}},\tfrac{\hbar }{i}\nabla )</math>

Der abstrakte ( darstellungsfreie Operator) folgt durch Aufintegration der Projektionen ( Einschub des Vollständigen Satzes von Eigenfunktionen, auf die projiziert wird, Einschub einer Eins):

<math>\hat{F}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \hat{F}(\hat{\bar{r}},\tfrac{\hbar }{i}\nabla )\left\langle {\bar{r}} \right|</math>

Umgekehrt, falls die Observable in abstrakter Operatordarstellung gegeben ist:

<math>\left| \Phi \right\rangle :=\hat{F}\left| \Psi \right\rangle </math>

So folgt für die Ortsdarstellung dieses Zustandes

<math>\left\langle {\bar{r}} | \Phi \right\rangle =\left\langle {\bar{r}} \right|\hat{F}\left| \Psi \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle \left\langle {\bar{r}} \right|\hat{F}\left| \Psi \right\rangle \left\langle \bar{r}\acute{\ } \right|=}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left\langle {\bar{r}} \right|\hat{F}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle \left\langle \bar{r}\acute{\ } \right|\left| \Psi \right\rangle }</math>

Auch hier wurde wieder eine 1, also ein vollständiger Satz von Basisfunktionen eingeschoben.

Somit aber:

<math>\Phi (\bar{r})=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left\langle {\bar{r}} \right|\hat{F}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle }\Psi (\bar{r}\acute{\ })</math>

Im Allgemeinen werden die Operatoren in speziellen Darstellungen, wie der obigen Ortsdarstellung zu LINEAREN INTEGRALOPERATOREN ( nichtlokal!)

Für die Ortsdarstellung für ein Teilchen im Potenzial F gilt speziell

<math>\left\langle {\bar{r}} \right|\hat{F}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle =\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\hat{F}(\bar{r},\frac{\hbar }{i}\nabla )</math> ( lokaler Differenzialoperator, Lokalisation an r´)

Übungsweise soll der nichtlokale Hamiltonoperator bestimmt werden.

Ortsoperator:

<math>\begin{align}

& \hat{\bar{r}}\Psi (\bar{r})=\bar{r}\Psi (\bar{r}) \\

& \hat{\bar{r}}\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle =\bar{r}\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle \\

\end{align}</math>

Dabei ist <math>\hat{\bar{r}}</math>der Operator, <math>\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle </math>die Eigenfunktion und <math>\bar{r}</math>der Eigenwert.

<math>\begin{align}

& \left\langle {\bar{r}} \right|\hat{\bar{r}}\left| \Psi \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left\langle {\bar{r}} \right|\hat{\bar{r}}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle }\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right|\left| \Psi \right\rangle =\bar{r}\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle \\

& \Rightarrow \left\langle {\bar{r}} \right|\hat{\bar{r}}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle =\bar{r}\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }) \\

\end{align}</math>

In der Impulsdarstellung:

<math>\begin{align}

& \Phi :=\hat{\bar{r}}\left| \Psi \right\rangle \\

& \Phi (\bar{p})\equiv \left\langle {\bar{p}} | \Phi \right\rangle =\left\langle {\bar{p}} \right|\hat{\bar{r}}\left| \Psi \right\rangle \\

& \Phi (\bar{p})=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left\langle {\bar{p}} | {\bar{r}} \right\rangle \left\langle {\bar{r}} \right|\hat{\bar{r}}\left| \Psi \right\rangle \\

& \left\langle {\bar{p}} | {\bar{r}} \right\rangle =\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}{{e}^{-i\frac{\bar{p}\bar{r}}{\hbar }}} \\

& \left\langle {\bar{r}} \right|\hat{\bar{r}}\left| \Psi \right\rangle =\bar{r}\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle \\

& \Rightarrow \Phi (\bar{p})=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left\langle {\bar{p}} | {\bar{r}} \right\rangle \left\langle {\bar{r}} \right|\hat{\bar{r}}\left| \Psi \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}{{e}^{-i\frac{\bar{p}\bar{r}}{\hbar }}}\bar{r}\Psi (\bar{r})=\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\bar{r}{{e}^{-i\frac{\bar{p}\bar{r}}{\hbar }}}\Psi (\bar{r}) \\

& \bar{r}{{e}^{-i\frac{\bar{p}\bar{r}}{\hbar }}}=-\frac{\hbar }{i}{{\nabla }_{p}}\left( {{e}^{-i\frac{\bar{p}\bar{r}}{\hbar }}} \right) \\

& {{\nabla }_{p}}:=\left( \begin{matrix}

\frac{\partial }{\partial {{p}_{x}}}, & \frac{\partial }{\partial {{p}_{y}}}, & \frac{\partial }{\partial {{p}_{z}}} \\

\end{matrix} \right) \\

& \Rightarrow \Phi (\bar{p})=\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\bar{r}{{e}^{-i\frac{\bar{p}\bar{r}}{\hbar }}}\Psi (\bar{r})=-\frac{\hbar }{i}{{\nabla }_{p}}\left[ \int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}}{{e}^{-i\frac{\bar{p}\bar{r}}{\hbar }}}\Psi (\bar{r}) \right] \\

& \frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}{{e}^{-i\frac{\bar{p}\bar{r}}{\hbar }}}=\left\langle {\bar{p}} | {\bar{r}} \right\rangle \\

& \Rightarrow \Phi (\bar{p})=-\frac{\hbar }{i}{{\nabla }_{p}}\left[ \int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle {\bar{p}} | {\bar{r}} \right\rangle \left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle } \right]=-\frac{\hbar }{i}{{\nabla }_{p}}\tilde{\Psi }(\bar{p}) \\

\end{align}</math>

Also: Für die Impulsdarstellung des Ortsoperators gilt:

<math>\hat{\bar{r}}\to -\frac{\hbar }{i}{{\nabla }_{p}}</math>

====Energiedarstellung====
Sei in der Ortsdarstellung

<math>\hat{H}=-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{{{d}^{2}}}{d{{x}^{2}}}+V(x)</math>der eindimensionale Hamiltonoperator

Dazu die Eigenfunktionen:

<math>\hat{H}{{\phi }_{n}}(x)={{E}_{n}}{{\phi }_{n}}(x)</math>, n=0,1,2,...

Mit <math>{{\phi }_{n}}(x):=\left\langle x | n \right\rangle </math>

<math>\hat{H}\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right)\left\langle x | n \right\rangle ={{E}_{n}}\left\langle x | n \right\rangle </math>

Ergibt sich:

<math>\int_{-\infty }^{\infty }{dx}\left| x \right\rangle \hat{H}\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right)\left\langle x | n \right\rangle ={{E}_{n}}\left| n \right\rangle </math>

Mit dem darstellungsfreien Hamiltonoperator<math>\int_{-\infty }^{\infty }{dx}\left| x \right\rangle \hat{H}\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right)\left\langle x \right|</math>

Die Orthonormierung verlangt:

<math>\int_{-\infty }^{\infty }{dx}\phi {{*}_{m}}(x){{\phi }_{n}}(x)=\int_{-\infty }^{\infty }{dx}\left\langle m | x \right\rangle \left\langle x | n \right\rangle =\left\langle m | n \right\rangle ={{\delta }_{mn}}</math>

Bei diskreten Eigenfunktionen.

Dies ist aber analog zur kontinuierlichen Darstellung:

<math>\begin{align}

& \left\langle {\bar{r}} | \bar{r}\acute{\ } \right\rangle =\delta (\bar{r}\acute{\ }-\bar{r}) \\

& \left\langle \bar{p}\acute{\ } | {\bar{p}} \right\rangle =\delta (\bar{p}-\bar{p}\acute{\ }) \\

\end{align}</math>

Häufig ( aber nicht immer !!) ist die Energiedarstellung VOLLSTÄNDIG ( sie ist beispielsweise beim eindimensionalen harmonischen Oszi vollständig):

<math>\begin{align}

& \left\langle x | \Psi \right\rangle =\Psi (x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}{{c}_{n}}{{\phi }_{n}}(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\left\langle n | \Psi \right\rangle \left\langle x | n \right\rangle \\

& \Rightarrow \sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\left| n \right\rangle \left\langle n \right|=1\ \\

\end{align}</math>

Vollständigkeitsrelation !

Dann gilt auch die Spekteraldarstellung des Hamiltonoperators. Jedoch nur, wenn die Darstellung der zugehörigen Observable vollständig ist:

<math>\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{H}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{H}}}\left| n \right\rangle \left\langle n \right|=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{E}_{n}}}\left| n \right\rangle \left\langle n \right|</math>

Der Operator kann durch die Summe aller Koordinaten in den entsprechenden Eigenzuständen angegeben werden, wenn das System der Zustände eine vollständige Basis repräsentiert. ( Und die Zustände Eigenzustände des Operators sind)

<math>\left| n \right\rangle \left\langle n \right|</math>ist dabei der Projektionsoperator auf den n. Eigenzustand.

'''Allgemein gilt:'''

Aus einer Quantenmechanischen Observable wird ein linearer Operator im Hilbertraum: <math>\hat{F}:H\to H</math>.

Bei reellen Observablen , besser: reellen Erwartungswerten der Observablen muss der zugehörige Operator nicht nur linear, sondern auch hermitesch sein

<math>\begin{align}

& \hat{F}\left( {{\lambda }_{1}}\left| {{\psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\left| {{\psi }_{2}} \right\rangle \right)={{\lambda }_{1}}\hat{F}\left| {{\psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\hat{F}\left| {{\psi }_{2}} \right\rangle \\

& {{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}}\in C \\

\end{align}</math>

'''Definition:'''

Der zu <math>\hat{F}:H\to H</math>adjungierte Operator <math>{{\hat{F}}^{+}}</math>ist definiert durch:

<math>\hat{F}\left| \Psi \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle \Leftrightarrow \left\langle \Psi \right|{{\hat{F}}^{+}}=\left\langle \Phi \right|</math>

Adjungierte Operatoren wirken also nach links

In Klammer - und Integraldarstellung schaut dies folgendermaßen aus:

<math>\left( {{\Psi }_{1}},\hat{F}{{\Psi }_{2}} \right)=\left( {{{\hat{F}}}^{+}}{{\Psi }_{1}},{{\Psi }_{2}} \right)\quad \forall {{\Psi }_{1}},{{\Psi }_{2}}\in H</math>

Integraldarstellung in Ortsdarstellung:

<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}{{\Psi }_{1}}*(\bar{r})\left( \hat{F}{{\Psi }_{2}}(\bar{r}) \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left( {{{\hat{F}}}^{+}}{{\Psi }_{1}}*(\bar{r}) \right)\left( {{\Psi }_{2}}(\bar{r}) \right)</math>

Def.: ein linearer Operator <math>\hat{F}</math>heißt selbstadjungiert (HERMITESCH), falls: <math>\hat{F}={{\hat{F}}^{+}}</math>

<math>\left( {{\Psi }_{1}},\hat{F}{{\Psi }_{2}} \right)=\left( \hat{F}{{\Psi }_{1}},{{\Psi }_{2}} \right)\quad \forall {{\Psi }_{1}},{{\Psi }_{2}}\in H</math>

<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}{{\Psi }_{1}}*(\bar{r})\left( \hat{F}{{\Psi }_{2}}(\bar{r}) \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left( \hat{F}{{\Psi }_{1}}(\bar{r}) \right)*\left( {{\Psi }_{2}}(\bar{r}) \right)</math>

Die linearen Operatoren bilden eine Algebra. Dabei ist die Multiplikation definiert durch:

<math>\left( \hat{F}\cdot \hat{G} \right)\left| \Psi \right\rangle =\hat{F}\cdot \left( \hat{G}\left| \Psi \right\rangle \right)</math>

Mit dem Einheitsoperator 1:

<math>1\cdot \hat{F}=\hat{F}\cdot 1=\hat{F}</math>

Nulloperator 0:

<math>0\cdot \hat{F}=\hat{F}\cdot 0=0</math>

und dem Kommutator:

<math>\left[ \hat{F},\hat{G} \right]:=\hat{F}\cdot \hat{G}-\hat{G}\cdot \hat{F}</math>

Es gilt, was als Übung bewiesen werden kann:

<math>{{\left( \hat{F}\cdot \hat{G} \right)}^{+}}={{\hat{G}}^{+}}\cdot {{\hat{F}}^{+}}</math>

<math>{{\hat{F}}^{++}}=\hat{F}</math>

Für zusammengesetzte Zustände:

<math>\begin{align}

& \left| \Psi \right\rangle ={{\lambda }_{1}}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \\

& \Rightarrow \hat{F}\left( {{\lambda }_{1}}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \right)={{\lambda }_{1}}\hat{F}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\hat{F}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \\

\end{align}</math>Linearität

und

<math>\begin{align}

& \left| \Psi \right\rangle ={{\lambda }_{1}}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \\

& \Rightarrow \left\langle \Psi \right|{{{\hat{F}}}^{+}}={{\lambda }_{1}}*\left\langle {{\Psi }_{1}} \right|{{{\hat{F}}}^{+}}+{{\lambda }_{2}}*\left\langle {{\Psi }_{2}} \right|{{{\hat{F}}}^{+}} \\

\end{align}</math> Antilinearität

Das Skalarprodukt ist linear im 2. Faktor und antilinear im 1. Faktor !

Weitere Relationen:

<math>{{\left[ \hat{F},\hat{G} \right]}^{+}}={{\hat{G}}^{+}}\cdot {{\hat{F}}^{+}}-{{\hat{F}}^{+}}\cdot {{\hat{G}}^{+}}=\left[ {{{\hat{G}}}^{+}},{{{\hat{F}}}^{+}} \right]</math>

Falls<math>\left[ \left[ \hat{F},\hat{G} \right],\hat{F} \right]=\left[ \left[ \hat{F},\hat{G} \right],\hat{G} \right]=0</math>gilt, so folgt:

<math>\begin{align}

& {{e}^{{\hat{F}}}}{{e}^{{\hat{G}}}}={{e}^{{\hat{G}}}}{{e}^{{\hat{F}}}}{{e}^{\left[ \hat{F},\hat{G} \right]}} \\

& {{e}^{\hat{G}+\hat{F}}}={{e}^{{\hat{G}}}}{{e}^{{\hat{F}}}}{{e}^{-\tfrac{1}{2}\left[ \hat{G},\hat{F} \right]}} \\

\end{align}</math>

Außerdem:

<math>\left[ \hat{F}\hat{G},\hat{H} \right]=\hat{F}\left[ \hat{G},\hat{H} \right]+\left[ \hat{F},\hat{H} \right]\hat{G}</math>

Sowie die Baker- Hausdorff- Identität:

<math>{{e}^{{\hat{F}}}}\hat{G}{{e}^{-\hat{F}}}=\hat{G}+\left[ \hat{F},\hat{G} \right]+\frac{1}{2!}\left[ \hat{F},\left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right]+....</math> Mit <math>{{e}^{{\hat{F}}}}\equiv \sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{{{\left( {\hat{F}} \right)}^{n}}}{n!}}</math>

'''Matrixelemente'''

<math>\left\langle {{\Psi }_{1}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle </math>heißt Matrixelement von <math>\hat{F}</math>mit dem Bra<math>\left\langle {{\Psi }_{1}} \right|</math>und dem Ket <math>\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle </math>

Mit

<math>\begin{align}

& \hat{F}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle :=\left| \Phi \right\rangle \Leftrightarrow \left\langle {{\Psi }_{2}} \right|{{{\hat{F}}}^{+}}=\left\langle \Phi \right| \\

& \Rightarrow \left\langle {{\Psi }_{1}} | \Phi \right\rangle =\left\langle \Phi | {{\Psi }_{1}} \right\rangle *=\left\langle {{\Psi }_{2}} \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle * \\

\end{align}</math>

Also:

<math>\left\langle {{\Psi }_{1}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\left\langle {{\Psi }_{2}} \right|{{\hat{F}}^{+}}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle *</math>

Für hermitesche Operatoren gilt:

<math>\left\langle {{\Psi }_{1}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\left\langle {{\Psi }_{2}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle *</math>

====Erwartungswerte====
<math>\left\langle {\hat{F}} \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\Psi *(\bar{r})\hat{F}(\bar{r},\frac{\hbar }{i}\nabla )\Psi (\bar{r})}</math> in Ortsdartellung

<math>\left\langle {\hat{F}} \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle \Psi | {\bar{r}} \right\rangle \hat{F}(\bar{r},\frac{\hbar }{i}\nabla )\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle }=\left\langle \Psi \right|\hat{F}(\bar{r},\frac{\hbar }{i}\nabla )\left| \Psi \right\rangle </math>

Für hermitesche Operatoren sind die Erwartungswerte immer reell:

<math>\left\langle \Psi \right|\hat{F}(\bar{r},\frac{\hbar }{i}\nabla )\left| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{F}(\bar{r},\frac{\hbar }{i}\nabla )\left| \Psi \right\rangle *</math>

Umgekehrt gilt:Operatoren mit reellen Eigenwerten sind hermitesch ! ( im Allgemeinen).

Physikalische Observablen sind also immer durch hermitesche Operatoren darzustellen