Mehrkomponentige ideale Gase - Versionsgeschichte

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2010-09-12T22:53:11Z

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	<noinclude>{{Scripthinweis\|Thermodynamik\|4\|4}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Thermodynamik\|4\|4}}</noinclude>

	In einem Volumen V befinden sich mehrere ideale Gase ( Komponenten i=1,2,...) von jeweils ni mol:		In einem Volumen V befinden sich mehrere ideale Gase (Komponenten i=1,2,...) von jeweils ni mol:

	<u>'''ideale Mischung '''</u>( keine WW zwischen den Komponenten):		<u>'''ideale Mischung '''</u>(keine WW zwischen den Komponenten):

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
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	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	( Gesamtzahl der Mole)		(Gesamtzahl der Mole)

	'''Definition: Partialdruck: '''<math>{{p}_{i}}:=\frac{{{n}_{i}}}{n}p={{n}_{i}}\frac{RT}{V}\Rightarrow {{p}_{i}}V={{n}_{i}}RT</math>		'''Definition: Partialdruck: '''<math>{{p}_{i}}:=\frac{{{n}_{i}}}{n}p={{n}_{i}}\frac{RT}{V}\Rightarrow {{p}_{i}}V={{n}_{i}}RT</math>

	* jede Komponente verhält sich so, als wäre sie unabhängig von den anderen Komponenten mit ihrem Partialdruck pi im Volumen V vorhanden !		* jede Komponente verhält sich so, als wäre sie unabhängig von den anderen Komponenten mit ihrem Partialdruck pi im Volumen V vorhanden!

	====Daltonsches Gesetz====		====Daltonsches Gesetz====
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	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	xi: sogenannter Molenbruch !		xi: sogenannter Molenbruch!

	'''Bemerkung'''		'''Bemerkung'''
Zeile 67:		Zeile 67:
	Zwei ideale Gase befinden sich in einem Wärmebad T		Zwei ideale Gase befinden sich in einem Wärmebad T

	Trennwand entfernt → Durchmischung !!		Trennwand entfernt → Durchmischung!!


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	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	* der Mischungsvorgang ist irreversibel !		* der Mischungsvorgang ist irreversibel!

	====Entropie und spezifische Wärme====		====Entropie und spezifische Wärme====
Zeile 113:		Zeile 113:
	:<math>{{s}_{i}}\left( T,p,{{x}_{i}} \right)={{c}_{vi}}\ln T+R\ln {{v}_{i}}+const.</math>		:<math>{{s}_{i}}\left( T,p,{{x}_{i}} \right)={{c}_{vi}}\ln T+R\ln {{v}_{i}}+const.</math>

	( Im Normalbereich, also wenn <math>{{c}_{vi}}</math>		(Im Normalbereich, also wenn <math>{{c}_{vi}}</math>

	temperaturunabhängig )		temperaturunabhängig)

	→		→
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	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	( Gibbs- Duhem)		(Gibbs- Duhem)

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
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	:<math>{{\tilde{\mu }}_{i}}(T,p,{{x}_{i}})={{g}_{i}}\left( T,{{p}_{i}} \right)</math>		:<math>{{\tilde{\mu }}_{i}}(T,p,{{x}_{i}})={{g}_{i}}\left( T,{{p}_{i}} \right)</math>

	( molare Gibbsche freie Energie)		(molare Gibbsche freie Energie)

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
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	:<math>{{\tilde{\mu }}_{i}}(T,p,{{x}_{i}})={{g}_{i}}(T,p)+RT\ln {{x}_{i}}</math>		:<math>{{\tilde{\mu }}_{i}}(T,p,{{x}_{i}})={{g}_{i}}(T,p)+RT\ln {{x}_{i}}</math>

	Dies gilt nicht nur für die Mischung idealer Gase, sondern ganz allgemein für IDEALE MISCHUNGEN, z.B. verdünnte Lösungen, bei denen die Komponenten nicht miteinander chemisch reagieren !		Dies gilt nicht nur für die Mischung idealer Gase, sondern ganz allgemein für IDEALE MISCHUNGEN, z.B. verdünnte Lösungen, bei denen die Komponenten nicht miteinander chemisch reagieren!

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2010-09-12T20:16:47Z

Pfeile einfügen, replaced: -> → → (2)

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	Zwei ideale Gase befinden sich in einem Wärmebad T		Zwei ideale Gase befinden sich in einem Wärmebad T

	Trennwand entfernt -> Durchmischung !!		Trennwand entfernt → Durchmischung !!


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	temperaturunabhängig )		temperaturunabhängig )

	->		→

	:<math>{{s}_{i}}\left( T,p,{{x}_{i}} \right)=\left( {{c}_{vi}}+R \right)\ln T-R\ln p+R\ln \frac{n}{{{n}_{i}}}+const.</math>		:<math>{{s}_{i}}\left( T,p,{{x}_{i}} \right)=\left( {{c}_{vi}}+R \right)\ln T-R\ln p+R\ln \frac{n}{{{n}_{i}}}+const.</math>

*>SchuBot: Mathematik einrücken

2010-09-12T16:38:10Z

Mathematik einrücken

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	<u>'''ideale Mischung '''</u>( keine WW zwischen den Komponenten):		<u>'''ideale Mischung '''</u>( keine WW zwischen den Komponenten):

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& U=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}{{u}_{i}}\left( T \right)=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}\int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}dT\acute{\ }{{c}_{vi}}\left( T\acute{\ } \right) \\		& U=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}{{u}_{i}}\left( T \right)=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}\int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}dT\acute{\ }{{c}_{vi}}\left( T\acute{\ } \right) \\
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	'''Freie Energie'''		'''Freie Energie'''

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& F=U-TS=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}\left[ {{u}_{i}}\left( T \right)-T\int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}dT\acute{\ }\frac{{{c}_{vi}}\left( T\acute{\ } \right)}{T\acute{\ }}-RT\ln \frac{{{v}_{i}}}{{{v}_{0}}} \right] \\		& F=U-TS=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}\left[ {{u}_{i}}\left( T \right)-T\int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}dT\acute{\ }\frac{{{c}_{vi}}\left( T\acute{\ } \right)}{T\acute{\ }}-RT\ln \frac{{{v}_{i}}}{{{v}_{0}}} \right] \\
Zeile 27:		Zeile 27:
	'''Thermische Zustandsgleichung'''		'''Thermische Zustandsgleichung'''

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& p\left( T,V,{{n}_{i}} \right)=-{{\left( \frac{\partial F}{\partial V} \right)}_{T,ni}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}\frac{RT}{V}=n\frac{RT}{V} \\		& p\left( T,V,{{n}_{i}} \right)=-{{\left( \frac{\partial F}{\partial V} \right)}_{T,ni}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}\frac{RT}{V}=n\frac{RT}{V} \\
Zeile 43:		Zeile 43:
	====Daltonsches Gesetz====		====Daltonsches Gesetz====

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{p}_{i}}:=p\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\frac{{{n}_{i}}}{n}=p \\		& \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{p}_{i}}:=p\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\frac{{{n}_{i}}}{n}=p \\
Zeile 61:		Zeile 61:
	'''Osmotischer Druck'''		'''Osmotischer Druck'''

	<math>p=\frac{n}{V}RT</math>		:<math>p=\frac{n}{V}RT</math>

	====Mischungsentropie====		====Mischungsentropie====
Zeile 73:		Zeile 73:
	<u>Vor </u>der Durchmischung:		<u>Vor </u>der Durchmischung:

	Entropie <math>S={{n}_{1}}{{s}_{1}}+{{n}_{2}}{{s}_{2}}</math>		Entropie <math>S={{n}_{1}}{{s}_{1}}+{{n}_{2}}{{s}_{2}}</math> mit <math>\begin{align}

	mit

	<math>\begin{align}

	& {{s}_{i}}=\int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}dT\acute{\ }\frac{{{c}_{vi}}(T\acute{\ })}{T\acute{\ }}+R\ln \frac{{{V}_{i}}}{{{n}_{i}}}+const. \\		& {{s}_{i}}=\int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}dT\acute{\ }\frac{{{c}_{vi}}(T\acute{\ })}{T\acute{\ }}+R\ln \frac{{{V}_{i}}}{{{n}_{i}}}+const. \\
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	Nach der Durchmischung		Nach der Durchmischung

	Entropie <math>S={{n}_{1}}{{s}_{1}}\acute{\ }+{{n}_{2}}{{s}_{2}}\acute{\ }</math>		Entropie <math>S={{n}_{1}}{{s}_{1}}\acute{\ }+{{n}_{2}}{{s}_{2}}\acute{\ }</math> mit <math>\begin{align}

	mit

	<math>\begin{align}

	& {{s}_{i}}\acute{\ }=\int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}dT\acute{\ }\frac{{{c}_{vi}}(T\acute{\ })}{T\acute{\ }}+R\ln \frac{V}{{{n}_{i}}}+const. \\		& {{s}_{i}}\acute{\ }=\int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}dT\acute{\ }\frac{{{c}_{vi}}(T\acute{\ })}{T\acute{\ }}+R\ln \frac{V}{{{n}_{i}}}+const. \\
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	Also ergibt sich als Entropie- Differenz:		Also ergibt sich als Entropie- Differenz:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \Delta S={{n}_{1}}\left( {{s}_{1}}\acute{\ }-{{s}_{1}} \right)+{{n}_{2}}\left( {{s}_{2}}\acute{\ }-{{s}_{2}} \right)={{n}_{1}}R\ln \frac{V}{{{V}_{1}}}+{{n}_{2}}R\ln \frac{V}{{{V}_{2}}} \\		& \Delta S={{n}_{1}}\left( {{s}_{1}}\acute{\ }-{{s}_{1}} \right)+{{n}_{2}}\left( {{s}_{2}}\acute{\ }-{{s}_{2}} \right)={{n}_{1}}R\ln \frac{V}{{{V}_{1}}}+{{n}_{2}}R\ln \frac{V}{{{V}_{2}}} \\
Zeile 115:		Zeile 107:
	====Entropie und spezifische Wärme====		====Entropie und spezifische Wärme====

	<math>{{s}_{i}}\left( T,V,... \right)\to {{s}_{i}}\left( T,p,... \right)</math>		:<math>{{s}_{i}}\left( T,V,... \right)\to {{s}_{i}}\left( T,p,... \right)</math> mittels <math>{{v}_{i}}=\frac{V}{{{n}_{i}}}=\frac{n}{{{n}_{i}}}\frac{RT}{p}</math>

	mittels

	<math>{{v}_{i}}=\frac{V}{{{n}_{i}}}=\frac{n}{{{n}_{i}}}\frac{RT}{p}</math>

	:		:

	<math>{{s}_{i}}\left( T,p,{{x}_{i}} \right)={{c}_{vi}}\ln T+R\ln {{v}_{i}}+const.</math>		:<math>{{s}_{i}}\left( T,p,{{x}_{i}} \right)={{c}_{vi}}\ln T+R\ln {{v}_{i}}+const.</math>

	( Im Normalbereich, also wenn <math>{{c}_{vi}}</math>		( Im Normalbereich, also wenn <math>{{c}_{vi}}</math>
Zeile 131:		Zeile 119:
	->		->

	<math>{{s}_{i}}\left( T,p,{{x}_{i}} \right)=\left( {{c}_{vi}}+R \right)\ln T-R\ln p+R\ln \frac{n}{{{n}_{i}}}+const.</math>		:<math>{{s}_{i}}\left( T,p,{{x}_{i}} \right)=\left( {{c}_{vi}}+R \right)\ln T-R\ln p+R\ln \frac{n}{{{n}_{i}}}+const.</math>

	~~<math>{{s}_{i}}\left( T,p,{{x}_{i}} \right)={{c}_{pi}}\ln T-R\ln p-R\ln {{x}_{i}}+const.</math>~~

	~~und~~

	<math>S\left( T,p,{{n}_{i}} \right)=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}{{s}_{i}}\left( T,p,{{x}_{i}} \right)=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}\left( {{c}_{pi}}\ln T-R\ln p-R\ln {{x}_{i}}+const. \right)</math>		:<math>{{s}_{i}}\left( T,p,{{x}_{i}} \right)={{c}_{pi}}\ln T-R\ln p-R\ln {{x}_{i}}+const.</math> und <math>S\left( T,p,{{n}_{i}} \right)=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}{{s}_{i}}\left( T,p,{{x}_{i}} \right)=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}\left( {{c}_{pi}}\ln T-R\ln p-R\ln {{x}_{i}}+const. \right)</math>

	Weiter gilt für die spezifischen Wärmekapazitäten:		Weiter gilt für die spezifischen Wärmekapazitäten:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& {{c}_{v}}=\frac{T}{n}{{\left( \frac{\partial S}{\partial T} \right)}_{V,ni}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{x}_{i}}{{c}_{v}}_{i} \\		& {{c}_{v}}=\frac{T}{n}{{\left( \frac{\partial S}{\partial T} \right)}_{V,ni}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{x}_{i}}{{c}_{v}}_{i} \\
Zeile 154:		Zeile 138:
	pro Mol: <math>\tilde{\mu }</math>		pro Mol: <math>\tilde{\mu }</math>

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& G=U-TS+pV \\		& G=U-TS+pV \\
Zeile 164:		Zeile 148:
	( Gibbs- Duhem)		( Gibbs- Duhem)

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& {{{\tilde{\mu }}}_{i}}(T,p,{{x}_{i}})={{u}_{i}}(T)-T{{c}_{pi}}\ln T+RT+RT\ln p+RT\ln {{x}_{i}} \\		& {{{\tilde{\mu }}}_{i}}(T,p,{{x}_{i}})={{u}_{i}}(T)-T{{c}_{pi}}\ln T+RT+RT\ln p+RT\ln {{x}_{i}} \\
Zeile 176:		Zeile 160:
	Mit		Mit

	<math>{{\tilde{\mu }}_{i}}(T,p,{{x}_{i}})={{g}_{i}}\left( T,{{p}_{i}} \right)</math>		:<math>{{\tilde{\mu }}_{i}}(T,p,{{x}_{i}})={{g}_{i}}\left( T,{{p}_{i}} \right)</math>

	( molare Gibbsche freie Energie)		( molare Gibbsche freie Energie)

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& {{{\tilde{\mu }}}_{i}}(T,p,{{x}_{i}})={{\Phi }_{i}}(T)+RT\ln p+RT\ln {{x}_{i}} \\		& {{{\tilde{\mu }}}_{i}}(T,p,{{x}_{i}})={{\Phi }_{i}}(T)+RT\ln p+RT\ln {{x}_{i}} \\
Zeile 192:		Zeile 176:
	Also:		Also:

	<math>{{\tilde{\mu }}_{i}}(T,p,{{x}_{i}})={{g}_{i}}(T,p)+RT\ln {{x}_{i}}</math>		:<math>{{\tilde{\mu }}_{i}}(T,p,{{x}_{i}})={{g}_{i}}(T,p)+RT\ln {{x}_{i}}</math>

	Dies gilt nicht nur für die Mischung idealer Gase, sondern ganz allgemein für IDEALE MISCHUNGEN, z.B. verdünnte Lösungen, bei denen die Komponenten nicht miteinander chemisch reagieren !		Dies gilt nicht nur für die Mischung idealer Gase, sondern ganz allgemein für IDEALE MISCHUNGEN, z.B. verdünnte Lösungen, bei denen die Komponenten nicht miteinander chemisch reagieren !

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Thermodynamik|4|4}} In einem Volumen V befinden sich mehrere ideale Gase ( Komponenten i=1,2,...) von jeweils ni mol: …“

2010-08-31T21:34:51Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|4|4}}</noinclude> In einem Volumen V befinden sich mehrere ideale Gase ( Komponenten i=1,2,...) von jeweils ni mol: …“

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<noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|4|4}}</noinclude>

In einem Volumen V befinden sich mehrere ideale Gase ( Komponenten i=1,2,...) von jeweils ni mol:

'''ideale Mischung '''( keine WW zwischen den Komponenten):

<math>\begin{align}

& U=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}{{u}_{i}}\left( T \right)=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}\int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}dT\acute{\ }{{c}_{vi}}\left( T\acute{\ } \right) \\

& S=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}{{s}_{i}}\left( T,{{v}_{i}} \right) \\

& {{s}_{i}}\left( T,{{v}_{i}} \right)=\int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}dT\acute{\ }\frac{{{c}_{vi}}\left( T\acute{\ } \right)}{T\acute{\ }}+R\ln \frac{{{v}_{i}}}{{{v}_{0}}} \\

\end{align}</math>

'''Freie Energie'''

<math>\begin{align}

& F=U-TS=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}\left[ {{u}_{i}}\left( T \right)-T\int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}dT\acute{\ }\frac{{{c}_{vi}}\left( T\acute{\ } \right)}{T\acute{\ }}-RT\ln \frac{{{v}_{i}}}{{{v}_{0}}} \right] \\

& =\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}\left[ \int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}dT\acute{\ }{{c}_{vi}}\left( T\acute{\ } \right)-T\int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}dT\acute{\ }\frac{{{c}_{vi}}\left( T\acute{\ } \right)}{T\acute{\ }}-RT\ln \frac{V/{{n}_{i}}}{{{v}_{0}}} \right] \\

\end{align}</math>

'''Thermische Zustandsgleichung'''

<math>\begin{align}

& p\left( T,V,{{n}_{i}} \right)=-{{\left( \frac{\partial F}{\partial V} \right)}_{T,ni}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}\frac{RT}{V}=n\frac{RT}{V} \\

& n:=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}} \\

\end{align}</math>

( Gesamtzahl der Mole)

'''Definition: Partialdruck: '''<math>{{p}_{i}}:=\frac{{{n}_{i}}}{n}p={{n}_{i}}\frac{RT}{V}\Rightarrow {{p}_{i}}V={{n}_{i}}RT</math>

* jede Komponente verhält sich so, als wäre sie unabhängig von den anderen Komponenten mit ihrem Partialdruck pi im Volumen V vorhanden !

====Daltonsches Gesetz====

<math>\begin{align}

& \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{p}_{i}}:=p\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\frac{{{n}_{i}}}{n}=p \\

& \frac{{{n}_{i}}}{n}:={{x}_{i}} \\

\end{align}</math>

xi: sogenannter Molenbruch !

'''Bemerkung'''

In einer sehr verdünnten Lösung verhält sich der gelöste Stoff ebenfalls wie ein ideales Gas.

* osmotischer Druck:

'''Osmotischer Druck'''

<math>p=\frac{n}{V}RT</math>

====Mischungsentropie====

Zwei ideale Gase befinden sich in einem Wärmebad T

Trennwand entfernt -> Durchmischung !!

Vor der Durchmischung:

Entropie <math>S={{n}_{1}}{{s}_{1}}+{{n}_{2}}{{s}_{2}}</math>

mit

<math>\begin{align}

& {{s}_{i}}=\int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}dT\acute{\ }\frac{{{c}_{vi}}(T\acute{\ })}{T\acute{\ }}+R\ln \frac{{{V}_{i}}}{{{n}_{i}}}+const. \\

& i=1,2 \\

\end{align}</math>

Nach der Durchmischung

Entropie <math>S={{n}_{1}}{{s}_{1}}\acute{\ }+{{n}_{2}}{{s}_{2}}\acute{\ }</math>

mit

<math>\begin{align}

& {{s}_{i}}\acute{\ }=\int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}dT\acute{\ }\frac{{{c}_{vi}}(T\acute{\ })}{T\acute{\ }}+R\ln \frac{V}{{{n}_{i}}}+const. \\

& i=1,2 \\

\end{align}</math>

Also ergibt sich als Entropie- Differenz:

<math>\begin{align}

& \Delta S={{n}_{1}}\left( {{s}_{1}}\acute{\ }-{{s}_{1}} \right)+{{n}_{2}}\left( {{s}_{2}}\acute{\ }-{{s}_{2}} \right)={{n}_{1}}R\ln \frac{V}{{{V}_{1}}}+{{n}_{2}}R\ln \frac{V}{{{V}_{2}}} \\

& \frac{V}{{{V}_{i}}}>1 \\

& \Rightarrow \Delta S>0 \\

\end{align}</math>

* der Mischungsvorgang ist irreversibel !

====Entropie und spezifische Wärme====

<math>{{s}_{i}}\left( T,V,... \right)\to {{s}_{i}}\left( T,p,... \right)</math>

mittels

<math>{{v}_{i}}=\frac{V}{{{n}_{i}}}=\frac{n}{{{n}_{i}}}\frac{RT}{p}</math>

:

<math>{{s}_{i}}\left( T,p,{{x}_{i}} \right)={{c}_{vi}}\ln T+R\ln {{v}_{i}}+const.</math>

( Im Normalbereich, also wenn <math>{{c}_{vi}}</math>

temperaturunabhängig )

->

<math>{{s}_{i}}\left( T,p,{{x}_{i}} \right)=\left( {{c}_{vi}}+R \right)\ln T-R\ln p+R\ln \frac{n}{{{n}_{i}}}+const.</math>

<math>{{s}_{i}}\left( T,p,{{x}_{i}} \right)={{c}_{pi}}\ln T-R\ln p-R\ln {{x}_{i}}+const.</math>

und

<math>S\left( T,p,{{n}_{i}} \right)=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}{{s}_{i}}\left( T,p,{{x}_{i}} \right)=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}\left( {{c}_{pi}}\ln T-R\ln p-R\ln {{x}_{i}}+const. \right)</math>

Weiter gilt für die spezifischen Wärmekapazitäten:

<math>\begin{align}

& {{c}_{v}}=\frac{T}{n}{{\left( \frac{\partial S}{\partial T} \right)}_{V,ni}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{x}_{i}}{{c}_{v}}_{i} \\

& {{c}_{p}}=\frac{T}{n}{{\left( \frac{\partial S}{\partial T} \right)}_{p,ni}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{x}_{i}}{{c}_{p}}_{i} \\

\end{align}</math>

====Chemisches Potenzial:====
pro Molekül: <math>\mu </math>

pro Mol: <math>\tilde{\mu }</math>

<math>\begin{align}

& G=U-TS+pV \\

& =\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}\left( {{u}_{i}}(T)-T{{s}_{i}}(T,p,{{x}_{i}})+RT. \right)=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}{{{\tilde{\mu }}}_{i}} \\

\end{align}</math>

( Gibbs- Duhem)

<math>\begin{align}

& {{{\tilde{\mu }}}_{i}}(T,p,{{x}_{i}})={{u}_{i}}(T)-T{{c}_{pi}}\ln T+RT+RT\ln p+RT\ln {{x}_{i}} \\

& {{u}_{i}}(T)-T{{c}_{pi}}\ln T+RT:={{\Phi }_{i}}(T) \\

& \Rightarrow {{{\tilde{\mu }}}_{i}}(T,p,{{x}_{i}})={{\Phi }_{i}}(T)+RT\ln ({{x}_{i}}p)={{\Phi }_{i}}(T)+RT\ln ({{p}_{i}}) \\

\end{align}</math>

Mit

<math>{{\tilde{\mu }}_{i}}(T,p,{{x}_{i}})={{g}_{i}}\left( T,{{p}_{i}} \right)</math>

( molare Gibbsche freie Energie)

<math>\begin{align}

& {{{\tilde{\mu }}}_{i}}(T,p,{{x}_{i}})={{\Phi }_{i}}(T)+RT\ln p+RT\ln {{x}_{i}} \\

& \Rightarrow {{\Phi }_{i}}(T)+RT\ln p={{g}_{i}}(T,p) \\

& \Rightarrow {{{\tilde{\mu }}}_{i}}(T,p,{{x}_{i}})={{g}_{i}}(T,p)+RT\ln {{x}_{i}} \\

\end{align}</math>

Also:

<math>{{\tilde{\mu }}_{i}}(T,p,{{x}_{i}})={{g}_{i}}(T,p)+RT\ln {{x}_{i}}</math>

Dies gilt nicht nur für die Mischung idealer Gase, sondern ganz allgemein für IDEALE MISCHUNGEN, z.B. verdünnte Lösungen, bei denen die Komponenten nicht miteinander chemisch reagieren !