Maxwell- Gleichungen in Materie - Versionsgeschichte

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2010-09-12T22:22:20Z

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	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	In Lorentz Eichung !		In Lorentz Eichung!

	:<math>\nabla \cdot \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \cdot \nabla \Phi =\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Phi -\Delta \Phi =-\#\Phi =\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left( \rho +{{\rho }_{p}} \right)=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left( \rho -\nabla \cdot \bar{P} \right)</math>		:<math>\nabla \cdot \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \cdot \nabla \Phi =\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Phi -\Delta \Phi =-\#\Phi =\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left( \rho +{{\rho }_{p}} \right)=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left( \rho -\nabla \cdot \bar{P} \right)</math>

	per Definition von		per Definition von
	:<math>{{\rho }_{p}}</math>		:<math>{{\rho }_{p}}</math>.
	.

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 83:		Zeile 83:

	Mit dem Magnetfeld		Mit dem Magnetfeld
	:<math>H\left( \bar{r},t \right)</math>		:<math>H\left( \bar{r},t \right)</math>,
	, welches so definiert wurde, dass es nur durch die FREIEN Ströme erzeugt wird:		welches so definiert wurde, dass es nur durch die FREIEN Ströme erzeugt wird:

	<u>'''Zusammenfassung:'''</u>		<u>'''Zusammenfassung:'''</u>
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	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Im Gauß System ( weil so oft in diesem angegeben, vergl. Jackson):		Im Gauß System (weil so oft in diesem angegeben, vergl. Jackson):

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 141:		Zeile 141:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Unsere 6 Feldgleichungen ( wenn man so will, also ( es kann nicht oft genug gezeigt werden):		Unsere 6 Feldgleichungen (wenn man so will, also (es kann nicht oft genug gezeigt werden):

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
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	für diamagnetische Stoffe:		für diamagnetische Stoffe:
	:<math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\uparrow \downarrow \bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math>		:<math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\uparrow \downarrow \bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math>,
	,
	also ein skalarer Zusammenhang		also ein skalarer Zusammenhang

Zeile 181:		Zeile 181:
	also ein linearer Zusammenhang		also ein linearer Zusammenhang

	# ohne Gedächtniseffekte, keine nichtlokale Wechselwirkung ( keine Phasenkohärenzen):		# ohne Gedächtniseffekte, keine nichtlokale Wechselwirkung (keine Phasenkohärenzen):

	:<math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)\tilde{\ }\bar{P}\left( \bar{r},t \right)</math>		:<math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)\tilde{\ }\bar{P}\left( \bar{r},t \right)</math>
Zeile 187:		Zeile 187:
	:<math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\tilde{\ }\bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math>		:<math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\tilde{\ }\bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math>

	neben der Linearität also ein INSTANTANER, LOKALER Zusammenhang !		neben der Linearität also ein INSTANTANER, LOKALER Zusammenhang!

	Dann kann man schreiben:		Dann kann man schreiben:
Zeile 200:		Zeile 200:
	und der magnetischen Suszeptibilität		und der magnetischen Suszeptibilität
	:<math>{{\chi }_{M}}</math>		:<math>{{\chi }_{M}}</math>
	( Materialkonstanten).		(Materialkonstanten).
	Die Materialkonstanten müssen aus den mikroskopischen Theorien ( z.B. Quantentheorie, Festkörperphysik) abgeleitet werden.		Die Materialkonstanten müssen aus den mikroskopischen Theorien (z.B. Quantentheorie, Festkörperphysik) abgeleitet werden.

	:<math>\bar{D}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}={{\varepsilon }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{e}} \right)\bar{E}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\varepsilon \bar{E}\left( \bar{r},t \right)</math> mit <math>\varepsilon =\left( 1+{{\chi }_{e}} \right)</math>		:<math>\bar{D}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}={{\varepsilon }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{e}} \right)\bar{E}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\varepsilon \bar{E}\left( \bar{r},t \right)</math> mit <math>\varepsilon =\left( 1+{{\chi }_{e}} \right)</math>,
	, der relativen Dielektrizitätskonstante ( permittivity)		der relativen Dielektrizitätskonstante (permittivity)

	:<math>\bar{B}={{\mu }_{0}}\left( \bar{H}+\bar{M} \right)={{\mu }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)\bar{H}\left( \bar{r},t \right)={{\mu }_{0}}\mu \bar{H}</math> mit <math>\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)=\mu </math>		:<math>\bar{B}={{\mu }_{0}}\left( \bar{H}+\bar{M} \right)={{\mu }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)\bar{H}\left( \bar{r},t \right)={{\mu }_{0}}\mu \bar{H}</math> mit <math>\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)=\mu </math>,
	, der relativen Permeabilität		der relativen Permeabilität

	:<math>\Rightarrow \bar{M}={{\chi }_{M}}\bar{H}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{M}}}{\mu }\bar{B}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{M}}}{\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)}\bar{B}</math>		:<math>\Rightarrow \bar{M}={{\chi }_{M}}\bar{H}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{M}}}{\mu }\bar{B}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{M}}}{\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)}\bar{B}</math>
Zeile 231:		Zeile 231:
	Es gilt stets		Es gilt stets
	:<math>{{\chi }_{e}}>0</math>		:<math>{{\chi }_{e}}>0</math>
	( Dielektrischer Effekt, Polarisierbarkeit → es existiert keine negative Polarisierbarkeit)		(Dielektrischer Effekt, Polarisierbarkeit → es existiert keine negative Polarisierbarkeit)

	:<math>{{\chi }_{M}}\begin{matrix}		:<math>{{\chi }_{M}}\begin{matrix}
Zeile 241:		Zeile 241:
	Ein Term		Ein Term
	:<math>\tilde{\ }\bar{B}</math> in <math>\bar{P}</math> oder <math>\tilde{\ }\bar{E}</math> in <math>\bar{M}</math>		:<math>\tilde{\ }\bar{B}</math> in <math>\bar{P}</math> oder <math>\tilde{\ }\bar{E}</math> in <math>\bar{M}</math>
	kann gar nicht auftreten, schon wegen des falschen Raumspiegelverhaltens !		kann gar nicht auftreten, schon wegen des falschen Raumspiegelverhaltens!

	:<math>\bar{E}</math>		:<math>\bar{E}</math>
	ist polarer Vektor,		ist polarer Vektor,
	:<math>\bar{B}</math>		:<math>\bar{B}</math>
	ist axialer Vektor !		ist axialer Vektor!

	:<math>{{\rho }_{P}}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \cdot \bar{P}\left( \bar{r},t \right)</math>		:<math>{{\rho }_{P}}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \cdot \bar{P}\left( \bar{r},t \right)</math>
Zeile 260:		Zeile 260:

	drückt den anisotropen Charakter aus mit einem symmetrischen Tensor		drückt den anisotropen Charakter aus mit einem symmetrischen Tensor
	:<math>{{\bar{\bar{\chi }}}_{e}}</math>		:<math>{{\bar{\bar{\chi }}}_{e}}</math>.
	.

	2) für starke Felder gibt es nichtlineare Effekte, die ebenfalls tensoriellen Charakter der Suszeptibilität bedingen:		2) für starke Felder gibt es nichtlineare Effekte, die ebenfalls tensoriellen Charakter der Suszeptibilität bedingen:
Zeile 275:		Zeile 275:
	:<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }dt\acute{\ }{{\chi }_{e}}\left( \bar{r},\bar{r}\acute{\ },t,t\acute{\ } \right)\bar{E}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)</math>		:<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }dt\acute{\ }{{\chi }_{e}}\left( \bar{r},\bar{r}\acute{\ },t,t\acute{\ } \right)\bar{E}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)</math>

	( räumliche bzw. zeitliche Dispersion):		(räumliche bzw. zeitliche Dispersion):

	:<math>\hat{\bar{P}}\left( \bar{k},\omega \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\hat{\chi }}_{e}}\left( \bar{k},\omega \right)\hat{\bar{E}}\left( \bar{k},\omega \right)</math>		:<math>\hat{\bar{P}}\left( \bar{k},\omega \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\hat{\chi }}_{e}}\left( \bar{k},\omega \right)\hat{\bar{E}}\left( \bar{k},\omega \right)</math>

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2010-09-12T19:56:49Z

Pfeile einfügen, replaced: -> → →

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 21:56 Uhr
Zeile 231:		Zeile 231:
	Es gilt stets		Es gilt stets
	:<math>{{\chi }_{e}}>0</math>		:<math>{{\chi }_{e}}>0</math>
	( Dielektrischer Effekt, Polarisierbarkeit -> es existiert keine negative Polarisierbarkeit)		( Dielektrischer Effekt, Polarisierbarkeit → es existiert keine negative Polarisierbarkeit)

	:<math>{{\chi }_{M}}\begin{matrix}		:<math>{{\chi }_{M}}\begin{matrix}

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:56:49Z

Einrückungen Mathematik

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Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Elektrodynamik|5|3}} Die vollständigen Potenziale enthalten * die freie Ladungs- und Stromdichten * $\rho ,\bar{j}$
2010-08-28T23:34:04Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|5|3}}</noinclude> Die vollständigen Potenziale enthalten * die freie Ladungs- und Stromdichten * <math>\rho ,\bar{j}</…“

Neue Seite
<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|5|3}}</noinclude>

Die vollständigen Potenziale enthalten
* die freie Ladungs- und Stromdichten
* <math>\rho ,\bar{j}</math>
*
* die Polarisations- und Magnetisierungsbeiträge
* <math>{{\rho }_{p}},{{\bar{j}}_{p}},{{\bar{j}}_{m}}</math>
*

Somit folgt für die vollständigen Potenziale:

<math>\begin{align}
& t\acute{\ }=t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \\
& \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\left[ \bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{{\bar{j}}}_{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{{\bar{j}}}_{M}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right] \\
& \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\left[ \rho \left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{\rho }_{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right] \\
& \\
\end{align}</math>

Diese Potenziale sind Lösungen der inhomogenen Wellengleichung in Lorentz- Eichung

<math>\begin{align}
& \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{\acute{\ }0}}\left[ \bar{j}+{{{\bar{j}}}_{P}}+{{{\bar{j}}}_{M}} \right] \\
& \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left[ \rho +{{\rho }_{P}} \right] \\
& \\
\end{align}</math>

Für die Felder in Materie folgt:

<math>\begin{align}
& \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
\end{align}</math>

Daraus folgen die Maxwell- Gleichungen:

<math>\begin{align}
& 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
& 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\
\end{align}</math>

* Wie im Vakuum

<math>\begin{align}
& 3)\nabla \cdot \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \cdot \nabla \Phi \\
& \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \\
& \Rightarrow \nabla \cdot \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \cdot \nabla \Phi =\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Phi -\Delta \Phi =-\#\Phi \\
\end{align}</math>

In Lorentz Eichung !

<math>\nabla \cdot \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \cdot \nabla \Phi =\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Phi -\Delta \Phi =-\#\Phi =\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left( \rho +{{\rho }_{p}} \right)=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left( \rho -\nabla \cdot \bar{P} \right)</math>

per Definition von
<math>{{\rho }_{p}}</math>
.

<math>\begin{align}
& \Rightarrow 3)\nabla \cdot \left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}\left( \bar{r},t \right) \right)=\rho \left( \bar{r},t \right) \\
& \left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}\left( \bar{r},t \right) \right):=\bar{D}\left( \bar{r},t \right) \\
& \Rightarrow \nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\rho \left( \bar{r},t \right) \\
\end{align}</math>

Die Dielektrische Verschiebung

4) Letzte Gleichung:

<math>\begin{align}
& \nabla \times \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=\nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)-\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
& \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \\
& \Rightarrow \nabla \times \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=-\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\nabla \Phi \\
& \nabla \Phi =-\bar{E}-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
& \Rightarrow \nabla \times \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=-\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E} \\
& ={{\mu }_{0}}\left( \bar{j}+{{{\bar{j}}}_{P}}+{{{\bar{j}}}_{M}} \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E} \\
& {{{\bar{j}}}_{P}}=\dot{\bar{P}} \\
& {{{\bar{j}}}_{M}}=\nabla \times \bar{M} \\
& \Rightarrow \nabla \times \bar{B}\left( \bar{r},t \right)={{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{P}+{{\varepsilon }_{0}}\bar{E} \right)+{{\mu }_{0}}\nabla \times \bar{M}+{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
& \Rightarrow 4) \\
& \Rightarrow \nabla \times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-\bar{M} \right)=\bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \\
& \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-\bar{M} \right)=H\left( \bar{r},t \right) \\
& \Rightarrow \nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \\
\end{align}</math>

Mit dem Magnetfeld
<math>H\left( \bar{r},t \right)</math>
, welches so definiert wurde, dass es nur durch die FREIEN Ströme erzeugt wird:

'''Zusammenfassung:'''

<math>\begin{align}
& 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
& 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\
\end{align}</math>

<math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\rho \left( \bar{r},t \right)</math>

<math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}</math>

<math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\bar{j}</math>

Dabei beschreibt

<math>\begin{align}
& 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
& 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\
\end{align}</math>

die Wechselwirkung der Felder mit Probeladungen und

<math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\rho \left( \bar{r},t \right)</math>

<math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\bar{j}</math>

die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme

Weiter:

<math>\begin{align}
& \bar{D}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}\left( \bar{r},t \right) \\
& \bar{H}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-\bar{M}\left( \bar{r},t \right) \\
\end{align}</math>

Im Gauß System ( weil so oft in diesem angegeben, vergl. Jackson):

<math>\begin{align}
& 1)\nabla \times \bar{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=0 \\
& 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\
\end{align}</math>

<math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=4\pi \rho \left( \bar{r},t \right)</math>

<math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\frac{4\pi }{c}\bar{j}</math>

die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme

Weiter:

<math>\begin{align}
& 5)\bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+4\pi \bar{P}\left( \bar{r},t \right) \\
& 6)\bar{H}\left( \bar{r},t \right)=\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-4\pi \bar{M}\left( \bar{r},t \right) \\
\end{align}</math>

Unsere 6 Feldgleichungen ( wenn man so will, also ( es kann nicht oft genug gezeigt werden):

<math>\begin{align}
& 1)\nabla \times \bar{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=0 \\
& 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\
\end{align}</math>

<math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=4\pi \rho \left( \bar{r},t \right)</math>

<math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\frac{4\pi }{c}\bar{j}</math>

<math>\begin{align}
& 5)\bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+4\pi \bar{P}\left( \bar{r},t \right) \\
& 6)\bar{H}\left( \bar{r},t \right)=\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-4\pi \bar{M}\left( \bar{r},t \right) \\
\end{align}</math>

sind nicht vollständig. Es muss noch der Zusammenhang zwischen Polarisation und E- Feld, bzw. B- Feld und Magnetisierung angegeben werden. Dies sind die sogenannten " Materialgleichungen".

'''Einfachster Fall:'''

# isotrope Materie:

<math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)||\bar{P}\left( \bar{r},t \right)</math>

und für paramagnetische Stoffe
<math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\uparrow \uparrow \bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math>

für diamagnetische Stoffe:
<math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\uparrow \downarrow \bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math>
,
also ein skalarer Zusammenhang

# bei nicht zu hohen Feldern:

<math>\bar{E}\tilde{\ }\bar{P}</math>

<math>\bar{B}\tilde{\ }\bar{M}</math>

also ein linearer Zusammenhang

# ohne Gedächtniseffekte, keine nichtlokale Wechselwirkung ( keine Phasenkohärenzen):

<math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)\tilde{\ }\bar{P}\left( \bar{r},t \right)</math>

<math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\tilde{\ }\bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math>

neben der Linearität also ein INSTANTANER, LOKALER Zusammenhang !

Dann kann man schreiben:

<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\chi }_{e}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)</math>

<math>\bar{M}\left( \bar{r},t \right)={{\chi }_{M}}\bar{H}\left( \bar{r},t \right)</math>

Mit den Suszeptibilitäten, der elektrischen Suszeptibilität

<math>{{\chi }_{e}}</math>
und der magnetischen Suszeptibilität
<math>{{\chi }_{M}}</math>
( Materialkonstanten).
Die Materialkonstanten müssen aus den mikroskopischen Theorien ( z.B. Quantentheorie, Festkörperphysik) abgeleitet werden.

<math>\bar{D}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}={{\varepsilon }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{e}} \right)\bar{E}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\varepsilon \bar{E}\left( \bar{r},t \right)</math>

mit

<math>\varepsilon =\left( 1+{{\chi }_{e}} \right)</math>
, der relativen Dielektrizitätskonstante ( permittivity)

<math>\bar{B}={{\mu }_{0}}\left( \bar{H}+\bar{M} \right)={{\mu }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)\bar{H}\left( \bar{r},t \right)={{\mu }_{0}}\mu \bar{H}</math>

mit

<math>\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)=\mu </math>
, der relativen Permeabilität

<math>\Rightarrow \bar{M}={{\chi }_{M}}\bar{H}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{M}}}{\mu }\bar{B}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{M}}}{\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)}\bar{B}</math>

Man sagt:
Ein Stoff ist paramagnetisch für
<math>\frac{{{\chi }_{M}}}{\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)}>0</math>

diamagnetisch für
<math>\frac{{{\chi }_{M}}}{\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)}<0</math>

paramagnetisch:
<math>{{\chi }_{M}}>0\Rightarrow \mu >1</math>

diamagnetisch
<math>0>{{\chi }_{M}}>-1\Rightarrow 0<\mu <1</math>

Bemerkungen

<math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)=0\Rightarrow \bar{P}=0</math>
beschreibt kein Ferroelektrikum

<math>\bar{B}=0\Rightarrow \bar{M}=0</math>
kein Ferromagnet

Es gilt stets
<math>{{\chi }_{e}}>0</math>
( Dielektrischer Effekt, Polarisierbarkeit -> es existiert keine negative Polarisierbarkeit)

<math>{{\chi }_{M}}\begin{matrix}
> \\
< \\
\end{matrix}0</math>
Para- ODER Diamagnet

Ein Term
<math>\tilde{\ }\bar{B}</math>
in
<math>\bar{P}</math>
oder
<math>\tilde{\ }\bar{E}</math>
in
<math>\bar{M}</math>
kann gar nicht auftreten, schon wegen des falschen Raumspiegelverhaltens !

<math>\bar{E}</math>
ist polarer Vektor,
<math>\bar{B}</math>
ist axialer Vektor !

<math>{{\rho }_{P}}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \cdot \bar{P}\left( \bar{r},t \right)</math>
ist ein Skalar

<math>{{\bar{j}}_{M}}=rot\bar{M}</math>
ist ein polarer Vektor.

'''Abweichungen'''

1)Für anisotrope Kristalle :
<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\bar{\bar{\chi }}}_{e}}\bar{E}</math>

drückt den anisotropen Charakter aus mit einem symmetrischen Tensor
<math>{{\bar{\bar{\chi }}}_{e}}</math>
.

2) für starke Felder gibt es nichtlineare Effekte, die ebenfalls tensoriellen Charakter der Suszeptibilität bedingen:

<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\left( {{{\bar{\bar{\chi }}}}_{e}}^{(1)}\bar{E}+{{{\bar{\bar{\chi }}}}_{e}}^{(2)}{{{\bar{E}}}^{2}}+{{{\bar{\bar{\chi }}}}_{e}}^{(3)}{{{\bar{E}}}^{3}}+... \right)</math>

Anwendung: optische Nichtlinearität,
Beispiel: optische Bistabilität, optische Schalter:

Für hochfrequente Felder folgt:

<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }dt\acute{\ }{{\chi }_{e}}\left( \bar{r},\bar{r}\acute{\ },t,t\acute{\ } \right)\bar{E}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)</math>

( räumliche bzw. zeitliche Dispersion):

<math>\hat{\bar{P}}\left( \bar{k},\omega \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\hat{\chi }}_{e}}\left( \bar{k},\omega \right)\hat{\bar{E}}\left( \bar{k},\omega \right)</math>