Magnetisierung - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (3), ( → ( (4)

2010-09-12T22:21:38Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (3), ( → ( (4)

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:21 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:
	werden zur Minimierung der potenziellen Energie		werden zur Minimierung der potenziellen Energie
	:<math>{{W}_{mag.}}=-\bar{m}\bar{B}</math>		:<math>{{W}_{mag.}}=-\bar{m}\bar{B}</math>
	vorzugsweise ( entgegen der thermischen Bewegung) parallel zum äußeren B- Feld orientiert. Beispiel: Spin- Bahn- Momente von Elektronen		vorzugsweise (entgegen der thermischen Bewegung) parallel zum äußeren B- Feld orientiert. Beispiel: Spin- Bahn- Momente von Elektronen
	* paramagnetisches Verhalten		* paramagnetisches Verhalten

	# durch B können nach dem Faradayschen Induktionsgesetz Kreisströme freier oder gebundener Ladungen induziert werden. Wegen der Lenzschen Regel ist die induzierte Magnetisierung antiparallel zum äußeren B- Feld.		# durch B können nach dem Faradayschen Induktionsgesetz Kreisströme freier oder gebundener Ladungen induziert werden. Wegen der Lenzschen Regel ist die induzierte Magnetisierung antiparallel zum äußeren B- Feld.
	* diamagnetisches Verhalten !		* diamagnetisches Verhalten!

	<u>'''Makroskopisch gemittelte Felder'''</u>		<u>'''Makroskopisch gemittelte Felder'''</u>
Zeile 52:		Zeile 52:
	:<math>\nabla \times \bar{M}={{\bar{j}}_{M}}</math>		:<math>\nabla \times \bar{M}={{\bar{j}}_{M}}</math>

	'''effektive Gesamtinduktion ( im stationären Fall):'''		'''effektive Gesamtinduktion (im stationären Fall):'''

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 59:		Zeile 59:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Also: Erzeugung des B- Feldes ( Differenz aus effektiver Gesamtinduktion und Magnetisierung) durch den sogenannte freien Strom <u>j :</u>		Also: Erzeugung des B- Feldes (Differenz aus effektiver Gesamtinduktion und Magnetisierung) durch den sogenannte freien Strom <u>j :</u>

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 92:		Zeile 92:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	'''Wobei '''nur die makroskopischen Dichten einzusetzen sind ( vergleiche oben)		'''Wobei '''nur die makroskopischen Dichten einzusetzen sind (vergleiche oben)

	Umformung liefert:		Umformung liefert:
Zeile 119:		Zeile 119:
	:<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}\left[ {{{\bar{j}}}_{p}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}{c} \right)+{{{\bar{j}}}_{M}}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \right]</math>		:<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}\left[ {{{\bar{j}}}_{p}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}{c} \right)+{{{\bar{j}}}_{M}}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \right]</math>

	Das heißt, das makroskopisch gemittelte retardierte Vektorpotenzial wird durch die Polarisations- und Magnetisierungsstromdichten im Medium erzeugt !		Das heißt, das makroskopisch gemittelte retardierte Vektorpotenzial wird durch die Polarisations- und Magnetisierungsstromdichten im Medium erzeugt!

	es gilt der Erhaltungssatz:		es gilt der Erhaltungssatz:
Zeile 128:		Zeile 128:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Kontinuitätsgleichung für die Erhaltung der Polarisationsladung !		Kontinuitätsgleichung für die Erhaltung der Polarisationsladung!

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:55:33Z

Einrückungen Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 17:55 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:

	Mirkoskopische Ursache für den Magnetismus der Materie sind mikroskopische Kreisströme bzw. mikroskopische magnetische Dipolmomente		Mirkoskopische Ursache für den Magnetismus der Materie sind mikroskopische Kreisströme bzw. mikroskopische magnetische Dipolmomente
	<math>\bar{m}</math>		:<math>\bar{m}</math>
	:		:

	a) Für		a) Für
	<math>\bar{B}=0</math>		:<math>\bar{B}=0</math>
	vorhandene, permanente magnetische Momente		vorhandene, permanente magnetische Momente
	<math>\bar{m}</math>		:<math>\bar{m}</math>
	werden zur Minimierung der potenziellen Energie		werden zur Minimierung der potenziellen Energie
	<math>{{W}_{mag.}}=-\bar{m}\bar{B}</math>		:<math>{{W}_{mag.}}=-\bar{m}\bar{B}</math>
	vorzugsweise ( entgegen der thermischen Bewegung) parallel zum äußeren B- Feld orientiert. Beispiel: Spin- Bahn- Momente von Elektronen		vorzugsweise ( entgegen der thermischen Bewegung) parallel zum äußeren B- Feld orientiert. Beispiel: Spin- Bahn- Momente von Elektronen
	* paramagnetisches Verhalten		* paramagnetisches Verhalten
Zeile 22:		Zeile 22:
	Wie bei Polarisationsdichte:		Wie bei Polarisationsdichte:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{{\bar{M}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{{\bar{m}}}_{i}}(t)\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right) \\		& {{{\bar{M}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{{\bar{m}}}_{i}}(t)\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right) \\
	& {{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{{\bar{p}}}_{i}}(t)\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right)\quad el.Dipoldichte \\		& {{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{{\bar{p}}}_{i}}(t)\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right)\quad el.Dipoldichte \\
Zeile 28:		Zeile 28:

	Mittelung über ein kleines, makroskopisches Volumen		Mittelung über ein kleines, makroskopisches Volumen
	<math>\Delta V</math>		:<math>\Delta V</math>
	:		:

	<math>\bar{M}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\bar{M}}_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)</math>		:<math>\bar{M}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\bar{M}}_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)</math>

	'''makroskopische magnetische Dipoldichte:= Magnetisierung'''		'''makroskopische magnetische Dipoldichte:= Magnetisierung'''
Zeile 37:		Zeile 37:
	<u>'''Ziel:'''</u>		<u>'''Ziel:'''</u>
	Zusammenhang zwischen der magnetischen Dipoldichte		Zusammenhang zwischen der magnetischen Dipoldichte
	<math>\bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math>		:<math>\bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math>
	und den effektiven Feldern		und den effektiven Feldern
	<math>\bar{B}</math>		:<math>\bar{B}</math>
	in der Materie finden.		in der Materie finden.
	Hierzu zeige man, dass eine Magnetisierungsstromdichte		Hierzu zeige man, dass eine Magnetisierungsstromdichte
	<math>{{\bar{j}}_{M}}</math>		:<math>{{\bar{j}}_{M}}</math>

	als Quelle der Felder eingeführt werden kann:		als Quelle der Felder eingeführt werden kann:

	<math>\nabla \times {{\bar{B}}_{M}}={{\mu }_{0}}{{\bar{j}}_{M}}</math>		:<math>\nabla \times {{\bar{B}}_{M}}={{\mu }_{0}}{{\bar{j}}_{M}}</math>

	bzw.		bzw.

	<math>\nabla \times \bar{M}={{\bar{j}}_{M}}</math>		:<math>\nabla \times \bar{M}={{\bar{j}}_{M}}</math>

	'''effektive Gesamtinduktion ( im stationären Fall):'''		'''effektive Gesamtinduktion ( im stationären Fall):'''

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \bar{B}\acute{\ }=\bar{B}+{{{\bar{B}}}_{M}} \\		& \bar{B}\acute{\ }=\bar{B}+{{{\bar{B}}}_{M}} \\
	& \Rightarrow \nabla \times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\acute{\ } \right)=\nabla \times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B} \right)+{{{\bar{j}}}_{M}}=\bar{j}+{{{\bar{j}}}_{M}} \\		& \Rightarrow \nabla \times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\acute{\ } \right)=\nabla \times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B} \right)+{{{\bar{j}}}_{M}}=\bar{j}+{{{\bar{j}}}_{M}} \\
Zeile 61:		Zeile 61:
	Also: Erzeugung des B- Feldes ( Differenz aus effektiver Gesamtinduktion und Magnetisierung) durch den sogenannte freien Strom <u>j :</u>		Also: Erzeugung des B- Feldes ( Differenz aus effektiver Gesamtinduktion und Magnetisierung) durch den sogenannte freien Strom <u>j :</u>

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \bar{B}\acute{\ }=\bar{B}+{{{\bar{B}}}_{M}} \\		& \bar{B}\acute{\ }=\bar{B}+{{{\bar{B}}}_{M}} \\
	& \nabla \times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\acute{\ }-\bar{M} \right)=\bar{j} \\		& \nabla \times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\acute{\ }-\bar{M} \right)=\bar{j} \\
Zeile 69:		Zeile 69:
	Betrachten wir das Vektorpotenzial der mikroskopischen elektrischen und magnetischen Dipole:		Betrachten wir das Vektorpotenzial der mikroskopischen elektrischen und magnetischen Dipole:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{{\bar{A}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\sum\limits_{i}{{}}\left[ \frac{1}{\left\| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right\|}{{{\dot{\bar{p}}}}_{i}}\left( t-\frac{\left\| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right\|}{c} \right)+\nabla \times \left( \frac{1}{\left\| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right\|}{{{\bar{m}}}_{i}}\left( t-\frac{\left\| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right\|}{c} \right) \right) \right] \\		& {{{\bar{A}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\sum\limits_{i}{{}}\left[ \frac{1}{\left\| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right\|}{{{\dot{\bar{p}}}}_{i}}\left( t-\frac{\left\| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right\|}{c} \right)+\nabla \times \left( \frac{1}{\left\| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right\|}{{{\bar{m}}}_{i}}\left( t-\frac{\left\| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right\|}{c} \right) \right) \right] \\
	& {{{\bar{p}}}_{i}}\left( t-\frac{\left\| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right\|}{c} \right)\quad elektrDipolmoment \\		& {{{\bar{p}}}_{i}}\left( t-\frac{\left\| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right\|}{c} \right)\quad elektrDipolmoment \\
Zeile 78:		Zeile 78:
	mit der mikroskopischen elektrischen Dipoldichte		mit der mikroskopischen elektrischen Dipoldichte

	<math>{{\bar{p}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}{c} \right)</math>		:<math>{{\bar{p}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}{c} \right)</math>

	und der magnetischen Dipoldichte		und der magnetischen Dipoldichte

	<math>{{\bar{M}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}{c} \right)</math>		:<math>{{\bar{M}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}{c} \right)</math>

	'''Als makroskopisch gemitteltes Potenzial:'''		'''Als makroskopisch gemitteltes Potenzial:'''

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{{\bar{A}}}_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right) \\		& \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{{\bar{A}}}_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right) \\
	& =\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left\| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}{{{\dot{\bar{p}}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left\| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}{c} \right)+{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left\| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}{{{\bar{M}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left\| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}{c} \right) \right) \right] \\		& =\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left\| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}{{{\dot{\bar{p}}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left\| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}{c} \right)+{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left\| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}{{{\bar{M}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left\| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}{c} \right) \right) \right] \\
Zeile 96:		Zeile 96:
	Umformung liefert:		Umformung liefert:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}\dot{\bar{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}{c} \right)+{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}{c} \right) \right) \right] \\		& \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}\dot{\bar{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}{c} \right)+{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}{c} \right) \right) \right] \\
	& \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}{c} \right) \right)= \\		& \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}{c} \right) \right)= \\
Zeile 107:		Zeile 107:
	'''Definition'''		'''Definition'''

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \dot{\bar{P}}={{{\bar{j}}}_{p}} \\		& \dot{\bar{P}}={{{\bar{j}}}_{p}} \\
	& {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)={{{\bar{j}}}_{M}} \\		& {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)={{{\bar{j}}}_{M}} \\
Zeile 117:		Zeile 117:
	'''Also:'''		'''Also:'''

	<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}\left[ {{{\bar{j}}}_{p}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}{c} \right)+{{{\bar{j}}}_{M}}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \right]</math>		:<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}\left[ {{{\bar{j}}}_{p}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}{c} \right)+{{{\bar{j}}}_{M}}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \right]</math>

	Das heißt, das makroskopisch gemittelte retardierte Vektorpotenzial wird durch die Polarisations- und Magnetisierungsstromdichten im Medium erzeugt !		Das heißt, das makroskopisch gemittelte retardierte Vektorpotenzial wird durch die Polarisations- und Magnetisierungsstromdichten im Medium erzeugt !
Zeile 123:		Zeile 123:
	es gilt der Erhaltungssatz:		es gilt der Erhaltungssatz:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \frac{\partial }{\partial t\acute{\ }}{{\rho }_{p}}=-\nabla \cdot \dot{\bar{P}}=-\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{p}} \\		& \frac{\partial }{\partial t\acute{\ }}{{\rho }_{p}}=-\nabla \cdot \dot{\bar{P}}=-\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{p}} \\
	& \Rightarrow {{{\dot{\rho }}}_{p}}+\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{p}}=0 \\		& \Rightarrow {{{\dot{\rho }}}_{p}}+\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{p}}=0 \\

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2010-08-28T23:33:37Z

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<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|5|2}}</noinclude>

Mirkoskopische Ursache für den Magnetismus der Materie sind mikroskopische Kreisströme bzw. mikroskopische magnetische Dipolmomente
<math>\bar{m}</math>
:

a) Für
<math>\bar{B}=0</math>
vorhandene, permanente magnetische Momente
<math>\bar{m}</math>
werden zur Minimierung der potenziellen Energie
<math>{{W}_{mag.}}=-\bar{m}\bar{B}</math>
vorzugsweise ( entgegen der thermischen Bewegung) parallel zum äußeren B- Feld orientiert. Beispiel: Spin- Bahn- Momente von Elektronen
* paramagnetisches Verhalten

# durch B können nach dem Faradayschen Induktionsgesetz Kreisströme freier oder gebundener Ladungen induziert werden. Wegen der Lenzschen Regel ist die induzierte Magnetisierung antiparallel zum äußeren B- Feld.
* diamagnetisches Verhalten !

'''Makroskopisch gemittelte Felder'''

mikroskopische magnetische Dipoldichte:
Wie bei Polarisationsdichte:

<math>\begin{align}
& {{{\bar{M}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{{\bar{m}}}_{i}}(t)\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right) \\
& {{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{{\bar{p}}}_{i}}(t)\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right)\quad el.Dipoldichte \\
\end{align}</math>

Mittelung über ein kleines, makroskopisches Volumen
<math>\Delta V</math>
:

<math>\bar{M}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\bar{M}}_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)</math>

'''makroskopische magnetische Dipoldichte:= Magnetisierung'''

'''Ziel:'''
Zusammenhang zwischen der magnetischen Dipoldichte
<math>\bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math>
und den effektiven Feldern
<math>\bar{B}</math>
in der Materie finden.
Hierzu zeige man, dass eine Magnetisierungsstromdichte
<math>{{\bar{j}}_{M}}</math>

als Quelle der Felder eingeführt werden kann:

<math>\nabla \times {{\bar{B}}_{M}}={{\mu }_{0}}{{\bar{j}}_{M}}</math>

bzw.

<math>\nabla \times \bar{M}={{\bar{j}}_{M}}</math>

'''effektive Gesamtinduktion ( im stationären Fall):'''

<math>\begin{align}
& \bar{B}\acute{\ }=\bar{B}+{{{\bar{B}}}_{M}} \\
& \Rightarrow \nabla \times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\acute{\ } \right)=\nabla \times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B} \right)+{{{\bar{j}}}_{M}}=\bar{j}+{{{\bar{j}}}_{M}} \\
\end{align}</math>

Also: Erzeugung des B- Feldes ( Differenz aus effektiver Gesamtinduktion und Magnetisierung) durch den sogenannte freien Strom j :

<math>\begin{align}
& \bar{B}\acute{\ }=\bar{B}+{{{\bar{B}}}_{M}} \\
& \nabla \times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\acute{\ }-\bar{M} \right)=\bar{j} \\
& \bar{H}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\acute{\ }-{{{\bar{B}}}_{M}} \right)=\frac{{\bar{B}}}{{{\mu }_{0}}} \\
\end{align}</math>

Betrachten wir das Vektorpotenzial der mikroskopischen elektrischen und magnetischen Dipole:

<math>\begin{align}
& {{{\bar{A}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\sum\limits_{i}{{}}\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{{{\dot{\bar{p}}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right)+\nabla \times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{{{\bar{m}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right) \right) \right] \\
& {{{\bar{p}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right)\quad elektrDipolmoment \\
& {{{\bar{m}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right)\quad magnetDipolmoment \\
& \Rightarrow {{{\bar{A}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\dot{\bar{p}}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\bar{M}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right) \right] \\
\end{align}</math>

mit der mikroskopischen elektrischen Dipoldichte

<math>{{\bar{p}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)</math>

und der magnetischen Dipoldichte

<math>{{\bar{M}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)</math>

'''Als makroskopisch gemitteltes Potenzial:'''

<math>\begin{align}
& \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{{\bar{A}}}_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right) \\
& =\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\dot{\bar{p}}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\bar{M}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right) \right] \\
& ==\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\dot{\bar{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right) \right] \\
\end{align}</math>

'''Wobei '''nur die makroskopischen Dichten einzusetzen sind ( vergleiche oben)

Umformung liefert:

<math>\begin{align}
& \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\dot{\bar{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right) \right] \\
& \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right)= \\
& =-\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right)+\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \\
& t\acute{\ }=t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \\
& \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right)=0 \\
& \Rightarrow \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\dot{\bar{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \right] \\
\end{align}</math>

'''Definition'''

<math>\begin{align}
& \dot{\bar{P}}={{{\bar{j}}}_{p}} \\
& {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)={{{\bar{j}}}_{M}} \\
\end{align}</math>

Ersteres: Polarisationsstromdichte
'''Letzteres: Magnetisierungsstromdichte'''

'''Also:'''

<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\left[ {{{\bar{j}}}_{p}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{{\bar{j}}}_{M}}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \right]</math>

Das heißt, das makroskopisch gemittelte retardierte Vektorpotenzial wird durch die Polarisations- und Magnetisierungsstromdichten im Medium erzeugt !

es gilt der Erhaltungssatz:

<math>\begin{align}
& \frac{\partial }{\partial t\acute{\ }}{{\rho }_{p}}=-\nabla \cdot \dot{\bar{P}}=-\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{p}} \\
& \Rightarrow {{{\dot{\rho }}}_{p}}+\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{p}}=0 \\
\end{align}</math>

Kontinuitätsgleichung für die Erhaltung der Polarisationsladung !