Magnetische Multipole - Versionsgeschichte

Schubotz am 16. September 2010 um 10:18 Uhr

2010-09-16T10:18:45Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. September 2010, 12:18 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|2\|4}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|2\|4}}</noinclude>
			== (stationär)==
	(stationär)

	Ausgangspunkt ist		Ausgangspunkt ist
Zeile 21:		Zeile 20:
	:<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi r}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })+\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math>		:<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi r}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })+\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math>

	~~'''~~Monopol- Term~~'''~~		===Monopol- Term===

	'''Mit'''		'''Mit'''
Zeile 27:		Zeile 26:
	:<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]={{x}_{k}}\acute{\ }\left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right)+\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\cdot \left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}{{x}_{k}}\acute{\ } \right)</math>		:<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]={{x}_{k}}\acute{\ }\left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right)+\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\cdot \left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}{{x}_{k}}\acute{\ } \right)</math>

	Im stationären Fall folgt aus der Kontinuitätsgleichung:		Im stationären Fall folgt aus der {{FB\|Kontinuitätsgleichung}}:

	:<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ })=0</math>		:<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ })=0</math>
Zeile 33:		Zeile 32:
	:<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\cdot \left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}{{x}_{k}}\acute{\ } \right)={{j}_{l}}{{\delta }_{kl}}={{j}_{k}}</math>		:<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\cdot \left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}{{x}_{k}}\acute{\ } \right)={{j}_{l}}{{\delta }_{kl}}={{j}_{k}}</math>

	Mit		Mit <math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]={{j}_{k}}</math> folgt dann:
	:<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]={{j}_{k}}</math>
	folgt dann:

	:<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{j}_{k}}(\bar{r}\acute{\ })=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=\oint\limits_{S\infty }{d\bar{f}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=0</math>		:<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{j}_{k}}(\bar{r}\acute{\ })=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=\oint\limits_{S\infty }{d\bar{f}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=0</math>

	Somit verschwindet der Monopolterm in der Theorie		<u>Somit verschwindet der Monopolterm in der Theorie.</u>

	~~'''Dipol- Term'''~~

	~~mit~~		=== Dipol- Term ===

	:<math>\left[ \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]\times \bar{r}=\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}-\left( \bar{r}\bar{j} \right)\bar{r}\acute{\ }=2\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}-\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}+\left( \bar{r}\bar{j} \right)\bar{r}\acute{\ } \right]</math>

	und mit		mit <math>\left[ \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]\times \bar{r}=\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}-\left( \bar{r}\bar{j} \right)\bar{r}\acute{\ }=2\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}-\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}+\left( \bar{r}\bar{j} \right)\bar{r}\acute{\ } \right]</math> und mit

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 67:		Zeile 61:
	:<math>\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}+\left( \bar{r}\bar{j} \right)\bar{r}\acute{\ } \right]</math>		:<math>\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}+\left( \bar{r}\bar{j} \right)\bar{r}\acute{\ } \right]</math>

	keinen Beitrag zum		'''keinen Beitrag zum'''

	:<math>\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)</math>		:<math>\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)</math>
Zeile 75:		Zeile 69:
	:<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\frac{1}{2}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right)\times \bar{r}</math>		:<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\frac{1}{2}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right)\times \bar{r}</math>

	Als ~~DIPOLPOTENZIAL~~!!		Als {{FB\|Dipolpotenzial}}!!

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 111:		Zeile 105:

	:<math>\bar{E}(\bar{r}):=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{5}}}\left[ 3\left( \bar{p}\cdot \bar{r} \right)-{{r}^{2}}\bar{p} \right]</math>		:<math>\bar{E}(\bar{r}):=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{5}}}\left[ 3\left( \bar{p}\cdot \bar{r} \right)-{{r}^{2}}\bar{p} \right]</math>
	{{Beispiel\|		{{Beispiel\|1=
	~~<u>'''~~Beispiel: Ebene Leiterschleife L:~~'''</u>~~		Beispiel: Ebene Leiterschleife L:


Zeile 130:		Zeile 124:
	die Normale auf der von L eingeschlossenen Fläche F		die Normale auf der von L eingeschlossenen Fläche F

	Also: Ein Ringstrom bedingt ein magnetisches Dipolmoment		Also: Ein Ringstrom bedingt ein {{FB\|magnetisches Dipolmoment}} <math>\bar{m}</math> }}
	:<math>\bar{m}</math>
	}}

	analog: 2 Punktladungen bedingen ein elektrisches Dipolmoment		analog: 2 Punktladungen bedingen ein elektrisches Dipolmoment
Zeile 139:		Zeile 131:


	== Bewegte Ladungen ==		=== Bewegte Ladungen ===

	N Teilchen mit den Massen m<sub>i</sub> und den Ladungen q<sub>i</sub> bewegen sich.		N Teilchen mit den Massen m<sub>i</sub> und den Ladungen q<sub>i</sub> bewegen sich.
Zeile 174:		Zeile 166:
	Somit ist der Spin nicht vollständig durch die Vorstellung von einer rotierenden Ladungsverteilung zu verstehen!		Somit ist der Spin nicht vollständig durch die Vorstellung von einer rotierenden Ladungsverteilung zu verstehen!

	===Kraft auf eine Stromverteilung===		==== Kraft auf eine Stromverteilung ====

	:<math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })={{\rho }_{i}}(\bar{r}\acute{\ })\bar{v}(\bar{r}\acute{\ })</math>		:<math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })={{\rho }_{i}}(\bar{r}\acute{\ })\bar{v}(\bar{r}\acute{\ })</math>

Schubotz am 16. September 2010 um 10:14 Uhr

2010-09-16T10:14:14Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. September 2010, 12:14 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:
	Ausgangspunkt ist		Ausgangspunkt ist
	:<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}</math>		:<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}</math>
	(mit der Coulomb- Eichung		(mit der Coulomb- Eichung <math>\nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=0</math>)
	:<math>\nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=0</math>)


	mit den Randbedingungen		mit den Randbedingungen
	:<math>\bar{A}(\bar{r})\to 0</math>		:<math>\bar{A}(\bar{r})\to 0</math> für r→ unendlich
	für r→ unendlich

	Taylorentwicklung nach		Taylorentwicklung nach
	:<math>\frac{1}{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}</math>		:<math>\frac{1}{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}</math>
	von analog zum elektrischen Fall:		von analog zum elektrischen Fall:
	Die Stromverteilung
	:<math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })</math>		Die Stromverteilung <math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })</math> sei stationär für <math>r>>r\acute{\ }</math>
	sei stationär für
	:<math>r>>r\acute{\ }</math>

	:<math>\frac{1}{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}=\frac{1}{r}+\frac{1}{{{r}^{3}}}\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math>		:<math>\frac{1}{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}=\frac{1}{r}+\frac{1}{{{r}^{3}}}\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math>
Zeile 115:		Zeile 111:

	:<math>\bar{E}(\bar{r}):=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{5}}}\left[ 3\left( \bar{p}\cdot \bar{r} \right)-{{r}^{2}}\bar{p} \right]</math>		:<math>\bar{E}(\bar{r}):=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{5}}}\left[ 3\left( \bar{p}\cdot \bar{r} \right)-{{r}^{2}}\bar{p} \right]</math>
			{{Beispiel\|
	<u>'''Beispiel: Ebene Leiterschleife L:'''</u>		<u>'''Beispiel: Ebene Leiterschleife L:'''</u>

Zeile 136:		Zeile 132:
	Also: Ein Ringstrom bedingt ein magnetisches Dipolmoment		Also: Ein Ringstrom bedingt ein magnetisches Dipolmoment
	:<math>\bar{m}</math>		:<math>\bar{m}</math>
			}}

	analog: 2 Punktladungen bedingen ein elektrisches Dipolmoment		analog: 2 Punktladungen bedingen ein elektrisches Dipolmoment
Zeile 142:		Zeile 138:
	welches von der positiven zur negativen Ladung zeigt.		welches von der positiven zur negativen Ladung zeigt.

	~~<u>'''Bewegte Ladungen'''</u>~~
	~~N Teilchen mit den Massen mi und den Ladungen qi bewegen sich.~~

	~~Dabei sei die spezifische Ladung~~		== Bewegte Ladungen ==

			N Teilchen mit den Massen m<sub>i</sub> und den Ladungen q<sub>i</sub> bewegen sich.

	:<math>\frac{{{q}_{i}}}{{{m}_{i}}}=\frac{q}{m}</math>		Dabei sei die spezifische Ladung <math>\frac{{{q}_{i}}}{{{m}_{i}}}=\frac{q}{m}</math> konstant:
	konstant:

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 156:		Zeile 151:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Das magnetische Dipolmoment beträgt:		Das {{FB\|magnetische Dipolmoment}} beträgt:

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 164:		Zeile 159:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Mit dem Bahndrehimpuls		Mit dem {{FB\|Bahndrehimpuls}} <math>\bar{L}</math>:
	:<math>\bar{L}</math>
	:

	:<math>\bar{m}=\frac{q}{2m}\bar{L}</math>		:<math>\bar{m}=\frac{q}{2m}\bar{L}</math>
Zeile 181:		Zeile 174:
	Somit ist der Spin nicht vollständig durch die Vorstellung von einer rotierenden Ladungsverteilung zu verstehen!		Somit ist der Spin nicht vollständig durch die Vorstellung von einer rotierenden Ladungsverteilung zu verstehen!

	~~'''~~Kraft auf eine Stromverteilung~~:'''~~		===Kraft auf eine Stromverteilung===

	:<math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })={{\rho }_{i}}(\bar{r}\acute{\ })\bar{v}(\bar{r}\acute{\ })</math>		:<math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })={{\rho }_{i}}(\bar{r}\acute{\ })\bar{v}(\bar{r}\acute{\ })</math>

	im Feld einer externen magnetischen Induktion		im Feld einer externen {{FB\|magnetischen Induktion}} <math>\bar{B}(\bar{r}\acute{\ })</math>:
	:<math>\bar{B}(\bar{r}\acute{\ })</math>
	:

	Spürt die Lorentzkraft		Spürt die {{FB\|Lorentzkraft}}

	:<math>\bar{F}=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \bar{B}(\bar{r}\acute{\ })</math>		:<math>\bar{F}=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \bar{B}(\bar{r}\acute{\ })</math>
Zeile 202:		Zeile 193:
	im stationären Fall gilt wieder:		im stationären Fall gilt wieder:

	:<math>\left[ \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=0</math>		:<math>\left[ \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=0</math> (keine Monopole)
	(keine Monopole)
	Also:		Also:

Zeile 217:		Zeile 207:
	:<math>\left[ {{\nabla }_{r}}\times \bar{B}(\bar{r}) \right]=0</math>		:<math>\left[ {{\nabla }_{r}}\times \bar{B}(\bar{r}) \right]=0</math>

	(Das externe Feld soll keine Stromwirbel im Bereich von		(Das externe Feld soll keine Stromwirbel im Bereich von <math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })</math> haben:
	:<math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })</math>
	haben:

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (7), ( → ( (4)

2010-09-12T22:21:26Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (7), ( → ( (4)

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:21 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|2\|4}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|2\|4}}</noinclude>

	( stationär)		(stationär)

	Ausgangspunkt ist		Ausgangspunkt ist
	:<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}</math>		:<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}</math>
	(mit der Coulomb- Eichung		(mit der Coulomb- Eichung
	:<math>\nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=0</math>		:<math>\nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=0</math>)
	)

	mit den Randbedingungen		mit den Randbedingungen
Zeile 66:		Zeile 66:

	:<math>\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j} \right]=\oint\limits_{S\infty }{d\bar{f}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j} \right]=0</math>		:<math>\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j} \right]=\oint\limits_{S\infty }{d\bar{f}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j} \right]=0</math>
	weil der Strom verschwindet !		weil der Strom verschwindet!
	Somit gibt der Term		Somit gibt der Term

Zeile 79:		Zeile 79:
	:<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\frac{1}{2}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right)\times \bar{r}</math>		:<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\frac{1}{2}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right)\times \bar{r}</math>

	Als DIPOLPOTENZIAL !!		Als DIPOLPOTENZIAL!!

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 86:		Zeile 86:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	das magnetische Dipolmoment !		das magnetische Dipolmoment!

	Analog zu		Analog zu
Zeile 139:		Zeile 139:

	analog: 2 Punktladungen bedingen ein elektrisches Dipolmoment		analog: 2 Punktladungen bedingen ein elektrisches Dipolmoment
	:<math>\bar{p}=q\bar{a}</math>		:<math>\bar{p}=q\bar{a}</math>,
	, welches von der positiven zur negativen Ladung zeigt.		welches von der positiven zur negativen Ladung zeigt.

	<u>'''Bewegte Ladungen'''</u>		<u>'''Bewegte Ladungen'''</u>
Zeile 169:		Zeile 169:

	:<math>\bar{m}=\frac{q}{2m}\bar{L}</math>		:<math>\bar{m}=\frac{q}{2m}\bar{L}</math>
	gilt aber auch für starre Körper !		gilt aber auch für starre Körper!
	* Allgemeines Gesetz !		* Allgemeines Gesetz!

	Jedoch gilt dies nicht für den Spin eines Elektrons !!!		Jedoch gilt dies nicht für den Spin eines Elektrons!!!

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 179:		Zeile 179:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Somit ist der Spin nicht vollständig durch die Vorstellung von einer rotierenden Ladungsverteilung zu verstehen !		Somit ist der Spin nicht vollständig durch die Vorstellung von einer rotierenden Ladungsverteilung zu verstehen!

	'''Kraft auf eine Stromverteilung:'''		'''Kraft auf eine Stromverteilung:'''
Zeile 203:		Zeile 203:

	:<math>\left[ \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=0</math>		:<math>\left[ \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=0</math>
	( keine Monopole)		(keine Monopole)
	Also:		Also:

Zeile 217:		Zeile 217:
	:<math>\left[ {{\nabla }_{r}}\times \bar{B}(\bar{r}) \right]=0</math>		:<math>\left[ {{\nabla }_{r}}\times \bar{B}(\bar{r}) \right]=0</math>

	( Das externe Feld soll keine Stromwirbel im Bereich von		(Das externe Feld soll keine Stromwirbel im Bereich von
	:<math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })</math>		:<math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })</math>
	haben:		haben:
Zeile 229:		Zeile 229:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	( Vergl. S. 34)		(Vergl. S. 34)

*>SchuBot: Pfeile einfügen, replaced: -> → →

2010-09-12T19:56:25Z

Pfeile einfügen, replaced: -> → →

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 21:56 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:
	mit den Randbedingungen		mit den Randbedingungen
	:<math>\bar{A}(\bar{r})\to 0</math>		:<math>\bar{A}(\bar{r})\to 0</math>
	für ~~r->~~ unendlich		für r→ unendlich

	Taylorentwicklung nach		Taylorentwicklung nach

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:55:29Z

Einrückungen Mathematik

Änderungen zeigen

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Elektrodynamik|2|4}} ( stationär) Ausgangspunkt ist $\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{…“$

2010-08-28T23:16:23Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|2|4}}</noinclude> ( stationär) Ausgangspunkt ist <math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{…“

Neue Seite

<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|2|4}}</noinclude>

( stationär)

Ausgangspunkt ist
<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math>
(mit der Coulomb- Eichung
<math>\nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=0</math>
)

mit den Randbedingungen
<math>\bar{A}(\bar{r})\to 0</math>
für r-> unendlich

Taylorentwicklung nach
<math>\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math>
von analog zum elektrischen Fall:
Die Stromverteilung
<math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })</math>
sei stationär für
<math>r>>r\acute{\ }</math>

<math>\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{1}{r}+\frac{1}{{{r}^{3}}}\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math>

<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi r}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })+\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math>

'''Monopol- Term'''

'''Mit'''

<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]={{x}_{k}}\acute{\ }\left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right)+\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\cdot \left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}{{x}_{k}}\acute{\ } \right)</math>

Im stationären Fall folgt aus der Kontinuitätsgleichung:

<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ })=0</math>

<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\cdot \left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}{{x}_{k}}\acute{\ } \right)={{j}_{l}}{{\delta }_{kl}}={{j}_{k}}</math>

Mit
<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]={{j}_{k}}</math>
folgt dann:

<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{j}_{k}}(\bar{r}\acute{\ })=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=\oint\limits_{S\infty }{d\bar{f}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=0</math>

Somit verschwindet der Monopolterm in der Theorie

'''Dipol- Term'''

mit

<math>\left[ \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]\times \bar{r}=\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}-\left( \bar{r}\bar{j} \right)\bar{r}\acute{\ }=2\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}-\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}+\left( \bar{r}\bar{j} \right)\bar{r}\acute{\ } \right]</math>

und mit

<math>\begin{align}
& {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j} \right]=\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right){{j}_{k}}+{{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{j} \right)+{{x}_{k\acute{\ }}}\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right){{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j} \right] \\
& {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}=0 \\
& \Rightarrow {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j} \right]=\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right){{j}_{k}}+{{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{j} \right) \right] \\
\end{align}</math>

Folgt:

<math>\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j} \right]=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right){{j}_{k}}+{{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{j} \right) \right]=0</math>

Da

<math>\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j} \right]=\oint\limits_{S\infty }{d\bar{f}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j} \right]=0</math>
weil der Strom verschwindet !
Somit gibt der Term

<math>\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}+\left( \bar{r}\bar{j} \right)\bar{r}\acute{\ } \right]</math>

keinen Beitrag zum

<math>\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)</math>

Also:

<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\frac{1}{2}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right)\times \bar{r}</math>

Als DIPOLPOTENZIAL !!

<math>\begin{align}
& \bar{A}(\bar{r}):=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\bar{m}\times \bar{r} \\
& \bar{m}=\frac{1}{2}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right) \\
\end{align}</math>

das magnetische Dipolmoment !

Analog zu

<math>\begin{align}
& \Phi (\bar{r}):=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{3}}}\bar{p}\cdot \bar{r} \\
& \bar{p}:=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ }) \\
\end{align}</math>

dem elektrischen Dipolmoment

Die magnetische Induktion des Dipolmomentes ergibt sich als:

<math>\bar{B}(\bar{r}):=\nabla \times \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\bar{m}\times \bar{r}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{5}}}\left[ 3\left( \bar{m}\cdot \bar{r} \right)\bar{r}-{{r}^{2}}\bar{m} \right]</math>

Wegen:

<math>\nabla \times \left( \bar{a}\times \bar{b} \right)=\left( \bar{b}\cdot \nabla \right)\bar{a}-\left( \bar{a}\cdot \nabla \right)\bar{b}+\bar{a}\left( \nabla \cdot \bar{b} \right)-\bar{b}\left( \nabla \cdot \bar{a} \right)</math>

mit

<math>\begin{align}
& \bar{a}=\frac{{\bar{m}}}{{{r}^{3}}} \\
& \bar{b}=\bar{r} \\
& \Rightarrow div\bar{a}=-3\frac{\bar{m}\cdot \bar{r}}{{{r}^{5}}} \\
& div\bar{b}=3 \\
& \left( \bar{b}\cdot \nabla \right)\bar{a}=-3\frac{\bar{m}\cdot {{r}^{2}}}{{{r}^{5}}} \\
& \left( \bar{a}\cdot \nabla \right)\bar{b}=\frac{{\bar{m}}}{{{r}^{3}}} \\
\end{align}</math>

Analog ergab sich als elektrisches Dipolfeld:

<math>\bar{E}(\bar{r}):=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{5}}}\left[ 3\left( \bar{p}\cdot \bar{r} \right)-{{r}^{2}}\bar{p} \right]</math>

<u>'''Beispiel: Ebene Leiterschleife L:'''</u>

<math>\begin{align}
& d\bar{f}\acute{\ }=\frac{1}{2}\bar{r}\acute{\ }\times d\bar{s}\acute{\ } \\
& {{d}^{3}}\bar{r}\acute{\ }j(\bar{r}\acute{\ })=d\bar{s}\acute{\ }I \\
\end{align}</math>

Mit I = Strom durch den Leiter

<math>\Rightarrow \bar{m}=\frac{1}{2}\oint\limits_{L}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right)=\frac{I}{2}\oint\limits_{L}{{}}\bar{r}\acute{\ }\times d\bar{s}\acute{\ }=I\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\acute{\ }=IF\bar{n}</math>

Dabei ist

<math>\bar{n}</math>
die Normale auf der von L eingeschlossenen Fläche F

Also: Ein Ringstrom bedingt ein magnetisches Dipolmoment
<math>\bar{m}</math>

analog: 2 Punktladungen bedingen ein elektrisches Dipolmoment
<math>\bar{p}=q\bar{a}</math>
, welches von der positiven zur negativen Ladung zeigt.

<u>'''Bewegte Ladungen'''</u>
N Teilchen mit den Massen mi und den Ladungen qi bewegen sich.

Dabei sei die spezifische Ladung

<math>\frac{{{q}_{i}}}{{{m}_{i}}}=\frac{q}{m}</math>
konstant:

<math>\begin{align}
& \rho (\bar{r})=\sum\limits_{i}{{}}{{q}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right) \\
& \bar{j}(\bar{r})=\sum\limits_{i}{{}}{{q}_{i}}{{{\bar{v}}}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right) \\
& {{{\bar{v}}}_{i}}=\frac{d{{{\bar{r}}}_{i}}}{dt} \\
\end{align}</math>

Das magnetische Dipolmoment beträgt:

<math>\begin{align}
& \bar{m}=\frac{1}{2}\oint\limits_{L}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{}}{{q}_{i}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ }\times {{{\bar{v}}}_{i}}\delta \left( \bar{r}\acute{\ }-{{{\bar{r}}}_{i}} \right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{}}{{q}_{i}}{{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{v}}}_{i}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{}}\frac{{{q}_{i}}}{{{m}_{i}}}{{m}_{i}}{{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{v}}}_{i}} \\
& \frac{{{q}_{i}}}{{{m}_{i}}}=\frac{q}{m} \\
& \Rightarrow \bar{m}=\frac{q}{2m}\bar{L} \\
\end{align}</math>

Mit dem Bahndrehimpuls
<math>\bar{L}</math>
:

<math>\bar{m}=\frac{q}{2m}\bar{L}</math>
gilt aber auch für starre Körper !
* Allgemeines Gesetz !

Jedoch gilt dies nicht für den Spin eines Elektrons !!!

<math>\begin{align}
& \bar{m}=g\frac{e}{2m}\bar{S} \\
& g\approx 2 \\
\end{align}</math>

Somit ist der Spin nicht vollständig durch die Vorstellung von einer rotierenden Ladungsverteilung zu verstehen !

'''Kraft auf eine Stromverteilung:'''

<math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })={{\rho }_{i}}(\bar{r}\acute{\ })\bar{v}(\bar{r}\acute{\ })</math>

im Feld einer externen magnetischen Induktion
<math>\bar{B}(\bar{r}\acute{\ })</math>
:

Spürt die Lorentzkraft

<math>\bar{F}=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \bar{B}(\bar{r}\acute{\ })</math>

Talyorentwicklung liefert:

<math>\begin{align}
& \bar{B}(\bar{r}\acute{\ })=\bar{B}(\bar{r})+\left[ \left( \bar{r}\acute{\ }-\bar{r} \right)\nabla \right]\bar{B}(\bar{r})+.... \\
& \Rightarrow \bar{F}=\left[ \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]\times \bar{B}(\bar{r}\acute{\ })+\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \left[ \left( \bar{r}\acute{\ }-\bar{r} \right)\nabla \right]\bar{B}(\bar{r})+... \\
\end{align}</math>

im stationären Fall gilt wieder:

<math>\left[ \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=0</math>
( keine Monopole)
Also:

<math>\begin{align}
& \bar{F}=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \left[ \left( \bar{r}\acute{\ } \right){{\nabla }_{r}} \right]\bar{B}(\bar{r})-\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \left[ \left( {\bar{r}} \right){{\nabla }_{r}} \right]\bar{B}(\bar{r}) \\
& \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \left[ \left( {\bar{r}} \right){{\nabla }_{r}} \right]\bar{B}(\bar{r})=0,da\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })=0 \\
& \Rightarrow \bar{F}=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \left[ \left( \bar{r}\acute{\ } \right){{\nabla }_{r}} \right]\bar{B}(\bar{r}) \\
& \left[ \left( \bar{r}\acute{\ } \right){{\nabla }_{r}} \right]\bar{B}(\bar{r})={{\nabla }_{r}}\left[ \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\cdot \bar{B}(\bar{r}) \right]-\bar{r}\acute{\ }\times \left[ {{\nabla }_{r}}\times \bar{B}(\bar{r}) \right] \\
\end{align}</math>

Man fordert:

<math>\left[ {{\nabla }_{r}}\times \bar{B}(\bar{r}) \right]=0</math>

( Das externe Feld soll keine Stromwirbel im Bereich von
<math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })</math>
haben:

<math>\begin{align}
& \bar{F}=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times {{\nabla }_{r}}\left[ \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\cdot \bar{B}(\bar{r}) \right] \\
& \bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times {{\nabla }_{r}}\left[ \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\cdot \bar{B}(\bar{r}) \right]=-{{\nabla }_{r}}\times \left[ \left( \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\cdot \bar{B}(\bar{r}) \right)\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]+\left[ \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\cdot \bar{B}(\bar{r}) \right]{{\nabla }_{r}}\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \\
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ })=0 \\
& \Rightarrow \bar{F}=-\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\times \left[ \left( \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\cdot \bar{B}(\bar{r}) \right)\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=-{{\nabla }_{r}}\times \left( \bar{m}\times \bar{B}(\bar{r}) \right) \\
& \bar{F}=-{{\nabla }_{r}}\times \left( \bar{m}\times \bar{B}(\bar{r}) \right)=\left( \bar{m}\cdot {{\nabla }_{r}} \right)\bar{B}(\bar{r})=-{{\nabla }_{r}}\left( -\bar{m}\cdot \bar{B}(\bar{r}) \right) \\
\end{align}</math>

( Vergl. S. 34)