Lippmann- Schwinger- Gleichung - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (9), ( → ( (8)

2010-09-12T22:43:19Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (9), ( → ( (8)

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:42:46Z

Einrückungen Mathematik

Änderungen zeigen

*>SchuBot am 11. September 2010 um 15:29 Uhr

2010-09-11T15:29:54Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 17:29 Uhr
Zeile 61:		Zeile 61:
	ist dabei eine Integralgleichung, beispielsweise in der Ortsdarstellung:		ist dabei eine Integralgleichung, beispielsweise in der Ortsdarstellung:

	<math>\left\langle {\bar{r}} ~~\right\|\left~~\| \Psi \right\rangle =\left\langle {\bar{r}} ~~\right\|\left~~\| \Phi \right\rangle +\int_{{}}^{{}}{\int_{{}}^{{}}{{}}}\left\langle {\bar{r}} \right\|\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}\left\| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle \left\langle \bar{r}\acute{\ } \right\|{{\hat{H}}^{(1)}}\left\| \bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right\rangle \left\langle \bar{r}\acute{\ }\acute{\ } ~~\right\|\left~~\| \Psi \right\rangle {{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }{{d}^{3}}r\acute{\ }</math>		<math>\left\langle {\bar{r}} \| \Psi \right\rangle =\left\langle {\bar{r}} \| \Phi \right\rangle +\int_{{}}^{{}}{\int_{{}}^{{}}{{}}}\left\langle {\bar{r}} \right\|\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}\left\| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle \left\langle \bar{r}\acute{\ } \right\|{{\hat{H}}^{(1)}}\left\| \bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right\rangle \left\langle \bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \| \Psi \right\rangle {{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }{{d}^{3}}r\acute{\ }</math>

	==Berechnung des inversen Operators==		==Berechnung des inversen Operators==
Zeile 95:		Zeile 95:
	Dabei werden zwei "Einsen" eingeschoben und wir gewinnen:		Dabei werden zwei "Einsen" eingeschoben und wir gewinnen:

	<math>{{G}_{+}}(\bar{r},\bar{r}\acute{\ })=\frac{\hbar }{2m}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}q\acute{\ }}}\left\langle {\bar{r}} ~~\right\|\left~~\| {\bar{q}} \right\rangle \left\langle {\bar{q}} \right\|\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}\left\| \bar{q}\acute{\ } \right\rangle \left\langle \bar{q}\acute{\ } ~~\right\|\left~~\| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle </math>		<math>{{G}_{+}}(\bar{r},\bar{r}\acute{\ })=\frac{\hbar }{2m}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}q\acute{\ }}}\left\langle {\bar{r}} \| {\bar{q}} \right\rangle \left\langle {\bar{q}} \right\|\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}\left\| \bar{q}\acute{\ } \right\rangle \left\langle \bar{q}\acute{\ } \| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle </math>

	Also: Das Problem wird nach der auslaufenden Welle aufgelöst. Zur Polstellenfreiheit erweitert man komplex.		Also: Das Problem wird nach der auslaufenden Welle aufgelöst. Zur Polstellenfreiheit erweitert man komplex.
Zeile 123:		Zeile 123:
	& \eta =\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\varepsilon \\		& \eta =\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\varepsilon \\

	& \left\langle {\bar{r}} ~~\right\|\left~~\| {\bar{q}} \right\rangle =\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{\frac{3}{2}}}}{{e}^{i\bar{q}\bar{r}}} \\		& \left\langle {\bar{r}} \| {\bar{q}} \right\rangle =\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{\frac{3}{2}}}}{{e}^{i\bar{q}\bar{r}}} \\

	\end{align}</math>		\end{align}</math>
Zeile 278:		Zeile 278:

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
	\left\langle {\bar{r}} ~~\right\|\left~~\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle &=\left\langle {\bar{r}} ~~\right\|\left~~\| \Phi \right\rangle +\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left\langle {\bar{r}} \right\|\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}\left\| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle }\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right\|{{{\hat{H}}}^{1}}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle \\		\left\langle {\bar{r}} \| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle &=\left\langle {\bar{r}} \| \Phi \right\rangle +\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left\langle {\bar{r}} \right\|\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}\left\| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle }\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right\|{{{\hat{H}}}^{1}}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle \\
	& =\left\langle {\bar{r}} ~~\right\|\left~~\| \Phi \right\rangle +\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }{{G}_{+}}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right\|{{{\hat{H}}}^{1}}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle ={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}+\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{-{{e}^{ik\left\| \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right\|}}}{4\pi \left\| \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right\|}}\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right\|{{{\hat{H}}}^{1}}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle \\		& =\left\langle {\bar{r}} \| \Phi \right\rangle +\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }{{G}_{+}}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right\|{{{\hat{H}}}^{1}}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle ={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}+\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{-{{e}^{ik\left\| \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right\|}}}{4\pi \left\| \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right\|}}\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right\|{{{\hat{H}}}^{1}}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Mit der		Mit der
	;durchlaufenden freien Welle: <math>\left\langle {\bar{r}} ~~\right\|\left~~\| \Phi \right\rangle ={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}</math> und der		;durchlaufenden freien Welle: <math>\left\langle {\bar{r}} \| \Phi \right\rangle ={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}</math> und der
	;Streuwelle: <math>\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }{{G}_{+}}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right\|{{\hat{H}}^{1}}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =+\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{-{{e}^{ik\left\| \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right\|}}}{4\pi \left\| \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right\|}}\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right\|{{\hat{H}}^{1}}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math>		;Streuwelle: <math>\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }{{G}_{+}}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right\|{{\hat{H}}^{1}}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =+\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{-{{e}^{ik\left\| \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right\|}}}{4\pi \left\| \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right\|}}\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right\|{{\hat{H}}^{1}}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math>

Schubotz: /* Potenzialstreuungen */

2010-09-07T23:06:50Z

Potenzialstreuungen

← Nächstältere Version		Version vom 8. September 2010, 01:06 Uhr
Zeile 327:		Zeile 327:

	==Potenzialstreuungen==		==Potenzialstreuungen==
	<math>{{\hat{H}}^{(1)}}</math> sei ein Potenzial, das die Wechselwirkung mit einem schweren Teilchen als ~~STREUZENTRUM~~ ( Target) beschreibt. Allgemein: Beschreibung im Schwerpunktsystem		<math>{{\hat{H}}^{(1)}}</math> sei ein Potenzial, das die Wechselwirkung mit einem schweren Teilchen als {{FB\|Streuzentrum}}( Target) beschreibt. Allgemein: Beschreibung im Schwerpunktsystem

	Hier kann man als Schwerpunktsystem näherungsweise den Schwerpunkt des schweren Teilchen annehmen		Hier kann man als Schwerpunktsystem näherungsweise den Schwerpunkt des schweren Teilchen annehmen
Zeile 338:		Zeile 338:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Dies ist die Lippmann Schwingergleichung für eine Potenzialstreuung.		Dies ist die '''Lippmann Schwingergleichung für eine Potenzialstreuung'''.

	Diese Gleichung ist völlig äquivalent zur Schrödingergeleichung mit Randbedingungen.		Diese Gleichung ist völlig äquivalent zur Schrödingergeleichung mit Randbedingungen.

	Als Randbedingungen sind in der Streutheorie prinzipiell die asymptotischen Wege für r gegen Plus oder Minus UNENDLICH zu verstehen .		Als Randbedingungen sind in der Streutheorie prinzipiell die asymptotischen Wege für r gegen Plus oder Minus UNENDLICH zu verstehen .

Schubotz: /* Ortsdarstellung der Lippmann- Schwinger- Gleichung */

2010-09-07T23:02:16Z

Ortsdarstellung der Lippmann- Schwinger- Gleichung

← Nächstältere Version		Version vom 8. September 2010, 01:02 Uhr
Zeile 278:		Zeile 278:

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
	& \left\langle {\bar{r}} \right\|\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left\langle {\bar{r}} \right\|\left\| \Phi \right\rangle +\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left\langle {\bar{r}} \right\|\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}\left\| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle }\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right\|{{{\hat{H}}}^{1}}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle \\		\left\langle {\bar{r}} \right\|\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle &=\left\langle {\bar{r}} \right\|\left\| \Phi \right\rangle +\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left\langle {\bar{r}} \right\|\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}\left\| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle }\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right\|{{{\hat{H}}}^{1}}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle \\
	& =\left\langle {\bar{r}} \right\|\left\| \Phi \right\rangle +\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }{{G}_{+}}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right\|{{{\hat{H}}}^{1}}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle ={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}+\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{-{{e}^{ik\left\| \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right\|}}}{4\pi \left\| \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right\|}}\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right\|{{{\hat{H}}}^{1}}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle \\		& =\left\langle {\bar{r}} \right\|\left\| \Phi \right\rangle +\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }{{G}_{+}}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right\|{{{\hat{H}}}^{1}}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle ={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}+\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{-{{e}^{ik\left\| \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right\|}}}{4\pi \left\| \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right\|}}\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right\|{{{\hat{H}}}^{1}}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Mit der durchlaufenden freien Welle <math>\left\langle {\bar{r}} \right\|\left\| \Phi \right\rangle ~~</math>~~		Mit der
	=~~<math>~~{{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}</math>		;durchlaufenden freien Welle: <math>\left\langle {\bar{r}} \right\|\left\| \Phi \right\rangle ={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}</math> und der
			;Streuwelle: <math>\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }{{G}_{+}}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right\|{{\hat{H}}^{1}}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =+\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{-{{e}^{ik\left\| \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right\|}}}{4\pi \left\| \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right\|}}\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right\|{{\hat{H}}^{1}}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math>
	und der Streuwelle <math>\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }{{G}_{+}}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right\|{{\hat{H}}^{1}}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =+\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{-{{e}^{ik\left\| \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right\|}}}{4\pi \left\| \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right\|}}\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right\|{{\hat{H}}^{1}}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math>

	==Zusammenfassung==		==Zusammenfassung==

Schubotz: /* Greensche Funktion des freien Teilchens */

2010-09-07T22:58:46Z

Greensche Funktion des freien Teilchens

Änderungen zeigen

Schubotz: /* Berechnung des inversen Operators */

2010-09-07T22:51:04Z

Berechnung des inversen Operators

← Nächstältere Version		Version vom 8. September 2010, 00:51 Uhr
Zeile 73:		Zeile 73:
	Aber: die Lösung ist nicht eindeutig, je nach Wahl des Integrationsweges ergeben sich unterschiedliche Egebnisse (Integrationsweg in der komplexen Ebene). Dementsprechend ergeben sich verschiedene Randbedingungen		Aber: die Lösung ist nicht eindeutig, je nach Wahl des Integrationsweges ergeben sich unterschiedliche Egebnisse (Integrationsweg in der komplexen Ebene). Dementsprechend ergeben sich verschiedene Randbedingungen

	Die Festlegung erfolgt durch Addition eines kleinen komplexen Terms <math>i\varepsilon </math>. Am Schluss kann man dann math>\varepsilon \to 0</math> gehen lassen.		Die Festlegung erfolgt durch Addition eines kleinen komplexen Terms <math>i\varepsilon </math>. Am Schluss kann man dann <math>\varepsilon \to 0</math> gehen lassen.

	Damit ergibt sich als {{FB\|Lippmann- Schwinger- Gleichung}}		Damit ergibt sich als {{FB\|Lippmann- Schwinger- Gleichung}}
Zeile 81:		Zeile 81:
	Wesentlicher Vorteil zur Schrödingergleichung: Die Lippmann- Schwinger- Gleichung ist die im Vergleich zur Schrödingergleichung komplexe Erweiterung mit reeller Polstellenfreiheit !		Wesentlicher Vorteil zur Schrödingergleichung: Die Lippmann- Schwinger- Gleichung ist die im Vergleich zur Schrödingergleichung komplexe Erweiterung mit reeller Polstellenfreiheit !

	Mit auslaufender Welle <math>\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math>		Mit
			;auslaufender Welle: <math>\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math>
			;Streuwelle : <math>\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}{{\hat{H}}^{(1)}}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math> und
			;einlaufender Welle: <math>\left\| \Phi \right\rangle </math> (Lösung des ungestörten Problems)

	Streuwelle <math>\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}{{\hat{H}}^{(1)}}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math> und einlaufender Welle <math>\left\| \Phi \right\rangle </math>		Die auslaufende Welle <math>\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math> ist die Summe aus einlaufender Welle und Streuwelle !

	~~( Lösung des ungestörten Problems)~~

	Die auslaufende Welle <math>\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math>

	ist die Summe aus einlaufender Welle und Streuwelle !

	==Greensche Funktion des freien Teilchens==		==Greensche Funktion des freien Teilchens==

Schubotz: /* Greensche Funktion des freien Teilchens */

2010-09-07T22:46:43Z

Greensche Funktion des freien Teilchens

← Nächstältere Version		Version vom 8. September 2010, 00:46 Uhr
Zeile 164:		Zeile 164:
	in Polarkoordinaten <math>\bar{q}</math>		in Polarkoordinaten <math>\bar{q}</math>

	erfolgt mittels Residuensatz		erfolgt mittels {{FB\|Residuensatz}}

	<math>{{G}_{+}}(\bar{R})=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{3}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}q}\frac{1}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta }{{e}^{i\bar{q}\bar{R}}}</math>		:<math>{{G}_{+}}(\bar{R})=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{3}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}q}\frac{1}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta }{{e}^{i\bar{q}\bar{R}}}</math>

	~~Dabei lege man~~

	~~<math>\bar{R}=\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }</math>~~

	entlang der z- Achse, so dass zwischen <math>\bar{R}</math>		Dabei lege man <math>\bar{R}=\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }</math> entlang der z- Achse, so dass zwischen <math>\bar{R}</math> und <math>\bar{q}</math> gerade der Winkel <math>\vartheta </math> liegt:

	~~und <math>\bar{q}</math>~~		:<math>\begin{align}

	~~gerade der Winkel <math>\vartheta </math>~~

	~~liegt~~:

	<math>\begin{align}

	& {{G}_{+}}(\bar{R})=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{dq}\int_{-1}^{1}{d\cos \vartheta }\int_{0}^{2\pi }{d\phi }\frac{{{q}^{2}}}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta }{{e}^{iqR\cos \vartheta }} \\		& {{G}_{+}}(\bar{R})=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{dq}\int_{-1}^{1}{d\cos \vartheta }\int_{0}^{2\pi }{d\phi }\frac{{{q}^{2}}}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta }{{e}^{iqR\cos \vartheta }} \\
Zeile 207:		Zeile 199:

	Skizzenhaft:		Skizzenhaft:

			[[Datei:Contour_thm_residus_2.png]]

	Da die Integration im Unendlichen ( Halbkreisbogen) verschwindet kann man das Integral von Minus bis Plus Unendlich auch gleich als Ringintegral schreiben. Wesentlich ist dann: dass es nur Beiträge aus den Polstellen der Funktion gibt. demnach müssen diese gesucht werden:		Da die Integration im Unendlichen ( Halbkreisbogen) verschwindet kann man das Integral von Minus bis Plus Unendlich auch gleich als Ringintegral schreiben. Wesentlich ist dann: dass es nur Beiträge aus den Polstellen der Funktion gibt. demnach müssen diese gesucht werden:
Zeile 302:		Zeile 296:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	====Ortsdarstellung der Lippmann- Schwinger- Gleichung====		==Ortsdarstellung der Lippmann- Schwinger- Gleichung==

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
Zeile 314:		Zeile 308:
	und der Streuwelle <math>\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }{{G}_{+}}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right\|{{\hat{H}}^{1}}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =+\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{-{{e}^{ik\left\| \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right\|}}}{4\pi \left\| \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right\|}}\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right\|{{\hat{H}}^{1}}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math>		und der Streuwelle <math>\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }{{G}_{+}}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right\|{{\hat{H}}^{1}}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =+\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{-{{e}^{ik\left\| \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right\|}}}{4\pi \left\| \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right\|}}\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right\|{{\hat{H}}^{1}}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math>

	====Zusammenfassung====		==Zusammenfassung==
	<u>'''Aus der Schrödingergleichung'''</u>		<u>'''Aus der Schrödingergleichung'''</u>

Zeile 354:		Zeile 348:
	( dies ist die skalare Helmholtzgleichung !)		( dies ist die skalare Helmholtzgleichung !)

	~~===~~==Potenzialstreuungen~~===~~==		==Potenzialstreuungen==
	<math>{{\hat{H}}^{(1)}}</math>		<math>{{\hat{H}}^{(1)}}</math> sei ein Potenzial, das die Wechselwirkung mit einem schweren Teilchen als STREUZENTRUM ( Target) beschreibt. Allgemein: Beschreibung im Schwerpunktsystem
	sei ein Potenzial, das die Wechselwirkung mit einem schweren Teilchen als STREUZENTRUM ( Target) beschreibt. Allgemein: Beschreibung im Schwerpunktsystem

	Hier kann man als Schwerpunktsystem näherungsweise den Schwerpunkt des schweren Teilchen annehmen		Hier kann man als Schwerpunktsystem näherungsweise den Schwerpunkt des schweren Teilchen annehmen
Zeile 362:		Zeile 355:
	In Ortsdarstellung schreiben wir:		In Ortsdarstellung schreiben wir:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \left\langle \bar{r}\acute{\ } \right\|{{{\hat{H}}}^{(1)}}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =V(\bar{r}\acute{\ }){{\Psi }^{(+)}}(\bar{r}\acute{\ }) \\		& \left\langle \bar{r}\acute{\ } \right\|{{{\hat{H}}}^{(1)}}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =V(\bar{r}\acute{\ }){{\Psi }^{(+)}}(\bar{r}\acute{\ }) \\
	& \Rightarrow {{\Psi }^{(+)}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\frac{{{e}^{i\bar{k}\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}}}{4\pi \left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}V(\bar{r}\acute{\ }){{\Psi }^{(+)}}(\bar{r}\acute{\ }) \\		& \Rightarrow {{\Psi }^{(+)}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\frac{{{e}^{i\bar{k}\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}}}{4\pi \left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}V(\bar{r}\acute{\ }){{\Psi }^{(+)}}(\bar{r}\acute{\ }) \\

Schubotz am 7. September 2010 um 22:37 Uhr

2010-09-07T22:37:01Z

Änderungen zeigen

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|6|1}} Man betrachte Teilchen, die in Wechselwirkung stehen, jedoch keine gebundenen Zustände miteinander einnehmen: Der Hamilto…“

2010-08-24T18:16:18Z

Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|6|1}} Man betrachte Teilchen, die in Wechselwirkung stehen, jedoch keine gebundenen Zustände miteinander einnehmen: Der Hamilto…“

Neue Seite

{{Scripthinweis|Quantenmechanik|6|1}}

Man betrachte Teilchen, die in Wechselwirkung stehen, jedoch keine gebundenen Zustände miteinander einnehmen:

Der Hamiltonoperator kann geschrieben werden als:

<math>\hat{H}={{\hat{H}}^{(0)}}+{{\hat{H}}^{(1)}}</math>

Dabei bezeichne

<math>{{\hat{H}}^{(0)}}</math>

die kinetische Energie

und

<math>{{\hat{H}}^{(1)}}</math>

die Wechselwirkungsenergie.

Im Falle stationärer Streuung erhalten wir:

<math>\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =E\left| \Psi \right\rangle </math>

. <math>\left| \Psi \right\rangle </math>

beschreibt ein am Anfang einlaufendes Teilchen ( ohne Wechselwirkung), die anschließende Streuung und schließlich wieder auseinanderlaufende Teilchen:

Stationär bedeutet hier: Das Gleichgewicht hat sich bereits eingeregelt. Der Prozess ist zeitlich stationär, weil jede Veränderung an einem Teilchenzustand 1 durch ein nachrückendes Teilchen, dessen Zustand sich in den des ersten ( Zustand 1) begibt, aufgefüllt wird.

Die Schrödingergleichung lautet:

<math>\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)\left| \Psi \right\rangle ={{\hat{H}}^{(1)}}\left| \Psi \right\rangle </math>

Erster Schritt bei derartigen Problemen: Isolation der Störung !

Die formale Lösung kann angegeben werden mittels:

<math>\begin{align}

& \left| \Psi \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}{{{\hat{H}}}^{(1)}}\left| \Psi \right\rangle \\

& \frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}:={{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}^{-1}} \\

\end{align}</math>

Die Division zwischen 1 und dem Operator der linken Seite ist dabei als Ausführung der inversen Operation zu verstehen !

<math>\left| \Phi \right\rangle </math>

ist eine beliebige Lösung der wechselwirkungsfreien Gleichung

<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-E \right)\left| \Phi \right\rangle =0</math>

Beweis:

<math>\begin{align}

& \left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)\left| \Psi \right\rangle =\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)\left| \Phi \right\rangle +\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}{{{\hat{H}}}^{(1)}}\left| \Psi \right\rangle \\

& \left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}:=1 \\

& \Rightarrow \left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)\left| \Psi \right\rangle ={{{\hat{H}}}^{(1)}}\left| \Psi \right\rangle \Leftrightarrow \left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)\left| \Phi \right\rangle =0 \\

\end{align}</math>

Die Gleichung <math>\left| \Psi \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}{{\hat{H}}^{(1)}}\left| \Psi \right\rangle </math>

ist dabei eine Integralgleichung, beispielsweise in der Ortsdarstellung:

<math>\left\langle {\bar{r}} \right|\left| \Psi \right\rangle =\left\langle {\bar{r}} \right|\left| \Phi \right\rangle +\int_{{}}^{{}}{\int_{{}}^{{}}{{}}}\left\langle {\bar{r}} \right|\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle \left\langle \bar{r}\acute{\ } \right|{{\hat{H}}^{(1)}}\left| \bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right\rangle \left\langle \bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|\left| \Psi \right\rangle {{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }{{d}^{3}}r\acute{\ }</math>

'''Berechnung des inversen Operators '''<math>\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}</math>

Hier: Greenscher Operator, sogenannte RESOLVENTE

(auch: Residuum !) der Schrödingergleichung.

Methode: Transformation auf Impulsdarstellung ( Fourier- Transformation) und komplexe Integration.

Aber: die Lösung ist nicht eindeutig, je nach Wahl des Integrationsweges ergeben sich unterschiedliche Egebnisse ( Integrationsweg in der komplexen Ebene). Dementsprechend ergeben sich verschiedene Randbedingungen

Die Festlegung erfolgt durch Addition eines kleinen komplexen Terms <math>i\varepsilon </math>

. Am Schluss kann man dann <math>\varepsilon \to 0</math>

gehen lassen.

Damit ergibt sich als '''LIPPMANN- Schwinger- Gleichung'''

<math>\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}{{\hat{H}}^{(1)}}\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math>

Wesentlicher Vorteil zur Schrödingergleichung: Die Lippmann- Schwinger- Gleichung ist die im Vergleich zur Schrödingergleichung komplexe Erweiterung mit reeller Polstellenfreiheit !

Mit auslaufender Welle <math>\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math>

Streuwelle <math>\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}{{\hat{H}}^{(1)}}\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math>

und einlaufender Welle <math>\left| \Phi \right\rangle </math>

( Lösung des ungestörten Problems)

Die auslaufende Welle <math>\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math>

ist die Summe aus einlaufender Welle und Streuwelle !

=====Greensche Funktion des freien Teilchens=====
<u>'''( = Ortsdartellung des Greenschen Operators)'''</u>

<math>{{G}_{+}}(\bar{r},\bar{r}\acute{\ }):=\frac{\hbar }{2m}\left\langle {\bar{r}} \right|\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle </math>

Dabei werden zwei " Einsen" eingeschoben und wir gewinnen:

<math>{{G}_{+}}(\bar{r},\bar{r}\acute{\ })=\frac{\hbar }{2m}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}q\acute{\ }}}\left\langle {\bar{r}} \right|\left| {\bar{q}} \right\rangle \left\langle {\bar{q}} \right|\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}\left| \bar{q}\acute{\ } \right\rangle \left\langle \bar{q}\acute{\ } \right|\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle </math>

Also: Das Problem wird nach der auslaufenden Welle aufgelöst . Zur Polstellenfreiheit erweitert man komplex.

Dann isoliert man den Greenschen Operator und führt mit diesem eine Fouriertransormation durch !

Der obige Einschub einer Basis ist noch KEINE Fouriertransformation. Wir befinden uns dann immer noch im Ortstraum !

Dabei bezeichnen <math>\bar{q},\bar{q}\acute{\ }</math>

die Wellenvektoren mit der entsprechenden Impulsdarstellung <math>\hbar \bar{q}</math>

.

Für ein freies Teilchen, für das der Hamiltonian direkt angegeben werden kann: <math>{{\hat{H}}_{0}}=\frac{{{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}}{2m}</math>

gilt:

<math>\left\langle {\bar{q}} \right|{{\hat{H}}_{0}}\left| \bar{q}\acute{\ } \right\rangle =\frac{{{\hbar }^{2}}{{{\bar{q}}}^{2}}}{2m}\delta \left( \bar{q}-\bar{q}\acute{\ } \right)</math>

Somit also

<math>\left\langle {\bar{q}} \right|\frac{1}{E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon }\left| \bar{q}\acute{\ } \right\rangle =\frac{\delta \left( \bar{q}-\bar{q}\acute{\ } \right)}{E-\frac{{{\hbar }^{2}}{{{\bar{q}}}^{2}}}{2m}+i\varepsilon }</math>

Asymptotisch gelte für das einlaufende Teilchen als Anfangsbedingung sozusagen

<math>\bar{p}=\hbar \bar{k}\Rightarrow E=\frac{{{\hbar }^{2}}{{{\bar{k}}}^{2}}}{2m}</math>

<math>\begin{align}

& \Rightarrow \left\langle {\bar{q}} \right|\frac{1}{E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon }\left| \bar{q}\acute{\ } \right\rangle =\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{\delta \left( \bar{q}-\bar{q}\acute{\ } \right)}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta }=:\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}{{{\tilde{G}}}_{+}}(\bar{q})\delta \left( \bar{q}-\bar{q}\acute{\ } \right) \\

& \eta =\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\varepsilon \\

& \left\langle {\bar{r}} \right|\left| {\bar{q}} \right\rangle =\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{\frac{3}{2}}}}{{e}^{i\bar{q}\bar{r}}} \\

\end{align}</math>

Damit folgt dann als angekündigte Fouriertrafo:

<math>\begin{align}

& {{G}_{+}}(\bar{r},\bar{r}\acute{\ })=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{3}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}q}{{{\tilde{G}}}_{+}}(\bar{q}){{e}^{i\bar{q}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}} \\

& {{{\tilde{G}}}_{+}}(\bar{q})=\frac{1}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta } \\

\end{align}</math>

Also: Wir führen die Fouriertransformation durch und gewinnen als Fouriertransformierte

<math>{{\tilde{G}}_{+}}(\bar{q})=\frac{1}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta }</math>

Die Rücktransformation liefert die gesuchte Greensfunktion <math>{{G}_{+}}(\bar{r},\bar{r}\acute{\ })</math>

, die mittels Residuensatz aus der bekannten <math>{{\tilde{G}}_{+}}(\bar{q})=\frac{1}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta }</math>

durch Fouriertrafo gewonnen werden kann !

<math>{{G}_{+}}(\bar{r},\bar{r}\acute{\ })</math>

hängt also nur von <math>\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math>

ab !

Berechnung von <math>{{G}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }):={{G}_{+}}(\bar{R})</math>

in Polarkoordinaten <math>\bar{q}</math>

erfolgt mittels Residuensatz

<math>{{G}_{+}}(\bar{R})=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{3}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}q}\frac{1}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta }{{e}^{i\bar{q}\bar{R}}}</math>

Dabei lege man

<math>\bar{R}=\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }</math>

entlang der z- Achse, so dass zwischen <math>\bar{R}</math>

und <math>\bar{q}</math>

gerade der Winkel <math>\vartheta </math>

liegt:

<math>\begin{align}

& {{G}_{+}}(\bar{R})=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{dq}\int_{-1}^{1}{d\cos \vartheta }\int_{0}^{2\pi }{d\phi }\frac{{{q}^{2}}}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta }{{e}^{iqR\cos \vartheta }} \\

& {{G}_{+}}(\bar{R})=\frac{1}{4{{\pi }^{2}}iqR}\int_{0}^{\infty }{dq}{{q}^{2}}\frac{{{e}^{iqR}}-{{e}^{-iqR}}}{q\left( {{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta \right)} \\

\end{align}</math>

Dies kann man leicht weiter zusammenfassen, indem im zweiten Term einfach q durch -q ersetzt wird:

<math>{{G}_{+}}(\bar{R})=\frac{1}{4{{\pi }^{2}}iR}\int_{-\infty }^{\infty }{dq}q\frac{{{e}^{iqR}}}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta }</math>

Die Integration erfolgt mittels Residuensatz in der komplexen q- Ebene:

Dazu ist es nötig, die komplexe Zahl q in Polarkoordinaten umzuschreiben:

<math>\begin{align}

& q=\rho \cdot {{e}^{i\Phi }} \\

& 0\le \Phi \le \pi \\

& dq=\rho \cdot {{e}^{i\Phi }}id\Phi \\

\end{align}</math>

Skizzenhaft:

Da die Integration im Unendlichen ( Halbkreisbogen) verschwindet kann man das Integral von Minus bis Plus Unendlich auch gleich als Ringintegral schreiben. Wesentlich ist dann: dass es nur Beiträge aus den Polstellen der Funktion gibt. demnach müssen diese gesucht werden:

Die Pole des Integranden:

<math>\begin{align}

& \frac{1}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta } \\

& {{q}_{1/2}}=\pm \sqrt{{{{\bar{k}}}^{2}}+i\eta }\approx \left( k+\frac{i\eta }{2k} \right) \\

\end{align}</math>

Genau genommen muss noch gezeigt werden, dass das Integral über den Kreisbogen für Radius gegen Unendlich verschwindet:

<math>\begin{matrix}

\lim \\

\rho \to \infty \\

\end{matrix}\oint\limits_{{}}{dq}q\frac{{{e}^{iqR}}}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta }=\int_{-\infty }^{\infty }{dq}q\frac{{{e}^{iqR}}}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta }+\begin{matrix}

\lim \\

\rho \to \infty \\

\end{matrix}\int_{0}^{\pi }{d\Phi i{{e}^{2i\Phi }}}\frac{{{\rho }^{2}}{{e}^{i\rho R\cos \Phi }}{{e}^{-}}^{\rho R\sin \Phi }}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{\rho }^{2}}{{e}^{2i\Phi }}+i\eta }</math>

Aber:

<math>\begin{align}

& \begin{matrix}

\lim \\

\rho \to \infty \\

\end{matrix}\int_{0}^{\pi }{d\Phi i{{e}^{2i\Phi }}}\frac{{{\rho }^{2}}{{e}^{i\rho R\cos \Phi }}{{e}^{-}}^{\rho R\sin \Phi }}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{\rho }^{2}}{{e}^{2i\Phi }}+i\eta }=0 \\

& da \\

& \begin{matrix}

\lim \\

\rho \to \infty \\

\end{matrix}{{e}^{-}}^{\rho R\sin \Phi }=0 \\

& \Rightarrow \begin{matrix}

\lim \\

\rho \to \infty \\

\end{matrix}\oint\limits_{{}}{dq}q\frac{{{e}^{iqR}}}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta }=\int_{-\infty }^{\infty }{dq}q\frac{{{e}^{iqR}}}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta } \\

\end{align}</math>

Mittels Residuensatz ergibt sich dann

<math>\int_{-\infty }^{\infty }{dq}q\frac{{{e}^{iqR}}}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta }=2\pi i{{\left. \left( RES\left( \frac{q{{e}^{iqR}}}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta } \right) \right) \right|}_{q={{q}_{1}}}}</math>

Dies ist der Beitrag vom oberen Integrationsweg, weshalb das Residuum an q=q1 ausgewertet werden muss. Ebenso hätte man den unteren Integrationsweg nehmen können. Dann wäre das Residuum eben an q=q2 auszuwerten gewesen.
Da wir die Polstellen des Arguments des Residuums gefunden haben können wir umschreiben:
<math>\begin{align}
& RES{{\left. \frac{q{{e}^{iqR}}}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta } \right|}_{q={{q}_{1}}}}=RES{{\left. \frac{q{{e}^{iqR}}}{\left( \sqrt{{{{\bar{k}}}^{2}}+i\eta }-q \right)\left( \sqrt{{{{\bar{k}}}^{2}}+i\eta }+q \right)} \right|}_{{{q}_{1}}\equiv \sqrt{{{{\bar{k}}}^{2}}+i\eta }}} \\
& \sqrt{{{{\bar{k}}}^{2}}+i\eta }={{q}_{1}}=-{{q}_{2}} \\
& RES{{\left. \frac{q{{e}^{iqR}}}{\left( \sqrt{{{{\bar{k}}}^{2}}+i\eta }-q \right)\left( \sqrt{{{{\bar{k}}}^{2}}+i\eta }+q \right)} \right|}_{{{q}_{1}}\equiv \sqrt{{{{\bar{k}}}^{2}}+i\eta }}}=\begin{matrix}
\lim \\
q->q1 \\
\end{matrix}\frac{\left( q-{{q}_{1}} \right)q{{e}^{iqR}}}{\left( {{q}_{1}}-q \right)\left( q-{{q}_{2}} \right)}=\frac{{{q}_{1}}{{e}^{i{{q}_{1}}R}}}{\left( {{q}_{1}}-{{q}_{2}} \right)} \\
& =-\frac{{{e}^{i\sqrt{{{{\bar{k}}}^{2}}+i\eta }R}}}{2} \\
& \begin{matrix}
\lim \\
\eta \to 0 \\
\end{matrix}-\frac{{{e}^{i\sqrt{{{{\bar{k}}}^{2}}+i\eta }R}}}{2}=-\frac{{{e}^{ikR}}}{2} \\
\end{align}</math>

Also hat man ein Ergebnis für <math>{{G}_{+}}(\bar{R})=\frac{1}{4{{\pi }^{2}}iR}\int_{-\infty }^{\infty }{dq}q\frac{{{e}^{iqR}}}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta }</math>
, man erhält
<math>{{G}_{+}}(\bar{R})=\frac{1}{4{{\pi }^{2}}iR}2\pi iRES{{\left. {} \right|}_{{{q}_{1}}}}=\frac{-{{e}^{ikR}}}{4\pi R}</math>

Wesentlich: <math>{{G}_{+}}(\bar{R})={{G}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })</math>
erfüllt die Differenzialgleichung für die Greensche Funktion:
<math>\left( \Delta +{{k}^{2}} \right){{G}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })</math>

Denn:
<math>\begin{align}
& \delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=\left\langle {\bar{r}} | \bar{r}\acute{\ } \right\rangle ={{G}_{+}}(\bar{r},\bar{r}\acute{\ })=\left\langle {\bar{r}} \right|\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle \\
& \cong \left\langle {\bar{r}} \right|\left( \frac{{{\hbar }^{2}}{{k}^{2}}}{2m}-\frac{{{{\hat{p}}}^{2}}}{2m} \right)\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle =\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\left( {{k}^{2}}+\Delta \right)\left\langle {\bar{r}} \right|\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle \\
\end{align}</math>

====Ortsdarstellung der Lippmann- Schwinger- Gleichung====

<math>\begin{align}
& \left\langle {\bar{r}} \right|\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left\langle {\bar{r}} \right|\left| \Phi \right\rangle +\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left\langle {\bar{r}} \right|\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle }\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right|{{{\hat{H}}}^{1}}\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle \\
& =\left\langle {\bar{r}} \right|\left| \Phi \right\rangle +\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }{{G}_{+}}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right|{{{\hat{H}}}^{1}}\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle ={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}+\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{-{{e}^{ik\left| \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right|}}}{4\pi \left| \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right|}}\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right|{{{\hat{H}}}^{1}}\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle \\
\end{align}</math>

Mit der durchlaufenden freien Welle <math>\left\langle {\bar{r}} \right|\left| \Phi \right\rangle </math>
=<math>{{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}</math>

und der Streuwelle <math>\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }{{G}_{+}}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right|{{\hat{H}}^{1}}\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =+\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{-{{e}^{ik\left| \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right|}}}{4\pi \left| \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right|}}\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right|{{\hat{H}}^{1}}\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math>

====Zusammenfassung====
<u>'''Aus der Schrödingergleichung'''</u>

Die Schrödingergleichung lautet:
<math>\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)\left| \Psi \right\rangle ={{\hat{H}}^{(1)}}\left| \Psi \right\rangle </math>

Mit dem linearen Differentialoperator <math>\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)\left| \Psi \right\rangle </math>
und der Inhomogenität <math>{{\hat{H}}^{(1)}}\left| \Psi \right\rangle </math>

kann man formal lösen:

<math>\begin{align}
& \left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}{{{\hat{H}}}^{(1)}}\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle \\
& \frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}:={{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}^{-1}} \\
\end{align}</math>

eine Form der Lippmann- Schwinger- Gleichung mit auslaufender Welle <math>\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math>
Greenschen Operator ( auch sogenannte RESOLVENTE)<math>\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}</math>
und durchlaufender Welle ( freie einlaufende Lösung) <math>\left| \Phi \right\rangle </math>

Die Berechnung der Greenschen Funktion des freien Teilchens:

Als Operator: <math>{{\hat{G}}_{+}}:=\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}</math>
erfüllt <math>\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right){{\hat{G}}_{+}}=1</math>

Übergang in die Impulsdarstellung:
<math>\left\langle {\bar{q}} \right|{{\hat{G}}_{+}}\left| \bar{q}\acute{\ } \right\rangle =\frac{2m}{\hbar }{{\hat{G}}_{+}}(\bar{q})\delta (\bar{q}-\bar{q}\acute{\ })</math>

Mit
<math>{{\hat{G}}_{+}}(\bar{q}):=\frac{1}{{{k}^{2}}-{{q}^{2}}+i\eta }</math>

Mittels Fouriertrafo erfolgt der Übergang in die Ortsdarstellung:

<math>{{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }):=\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\left\langle {\bar{r}} \right|{{\hat{G}}_{+}}(\bar{q})\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle =-\frac{{{e}^{ik|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}}}{4\pi |\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}</math>

Dieser erfüllt dann eine Relation des Impulsoperators in Ortsdarstellung ( orts- Differeniationsrelation):
<math>\left( \Delta +{{k}^{2}} \right){{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })</math>

( dies ist die skalare Helmholtzgleichung !)

=====Potenzialstreuungen=====
<math>{{\hat{H}}^{(1)}}</math>
sei ein Potenzial, das die Wechselwirkung mit einem schweren Teilchen als STREUZENTRUM ( Target) beschreibt. Allgemein: Beschreibung im Schwerpunktsystem

Hier kann man als Schwerpunktsystem näherungsweise den Schwerpunkt des schweren Teilchen annehmen

In Ortsdarstellung schreiben wir:

<math>\begin{align}
& \left\langle \bar{r}\acute{\ } \right|{{{\hat{H}}}^{(1)}}\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =V(\bar{r}\acute{\ }){{\Psi }^{(+)}}(\bar{r}\acute{\ }) \\
& \Rightarrow {{\Psi }^{(+)}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\frac{{{e}^{i\bar{k}\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}}}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}V(\bar{r}\acute{\ }){{\Psi }^{(+)}}(\bar{r}\acute{\ }) \\
\end{align}</math>

Dies ist die Lippmann Schwingergleichung für eine Potenzialstreuung.
Diese Gleichung ist völlig äquivalent zur Schrödingergeleichung mit Randbedingungen.

Als Randbedingungen sind in der Streutheorie prinzipiell die asymptotischen Wege für r gegen Plus oder Minus UNENDLICH zu verstehen .

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	BILD WW: Streuung		BILD WW: Streuung

	Stationär bedeutet hier: Das Gleichgewicht hat sich bereits eingeregelt. Der Prozess ist zeitlich stationär, weil jede Veränderung an einem Teilchenzustand 1 durch ein nachrückendes Teilchen, dessen Zustand sich in den des ersten ( Zustand 1) begibt, aufgefüllt wird.		Stationär bedeutet hier: Das Gleichgewicht hat sich bereits eingeregelt. Der Prozess ist zeitlich stationär, weil jede Veränderung an einem Teilchenzustand 1 durch ein nachrückendes Teilchen, dessen Zustand sich in den des ersten (Zustand 1) begibt, aufgefüllt wird.

	Die {{FB\|Schrödingergleichung}} lautet:		Die {{FB\|Schrödingergleichung}} lautet:
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	:<math>\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)\left\| \Psi \right\rangle ={{\hat{H}}^{(1)}}\left\| \Psi \right\rangle </math>		:<math>\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)\left\| \Psi \right\rangle ={{\hat{H}}^{(1)}}\left\| \Psi \right\rangle </math>

	Erster Schritt bei derartigen Problemen: Isolation der Störung !		Erster Schritt bei derartigen Problemen: Isolation der Störung!


Zeile 35:		Zeile 35:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Die Division zwischen 1 und dem Operator der linken Seite ist dabei als Ausführung der {{FB\|inversen Operation}} zu verstehen !		Die Division zwischen 1 und dem Operator der linken Seite ist dabei als Ausführung der {{FB\|inversen Operation}} zu verstehen!

	:<math>\left\| \Phi \right\rangle </math>		:<math>\left\| \Phi \right\rangle </math>
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	:<math>\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}</math>		:<math>\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}</math>

	Hier: {{FB\|Greenscher Operator}}, sogenannte {{FB\|Resolvente}} (auch: Residuum !) der Schrödingergleichung.		Hier: {{FB\|Greenscher Operator}}, sogenannte {{FB\|Resolvente}} (auch: Residuum!) der Schrödingergleichung.

	Methode: Transformation auf Impulsdarstellung (Fourier- Transformation) und komplexe Integration.		Methode: Transformation auf Impulsdarstellung (Fourier- Transformation) und komplexe Integration.
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	:<math>\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left\| \Phi \right\rangle +\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}{{\hat{H}}^{(1)}}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math>		:<math>\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left\| \Phi \right\rangle +\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}{{\hat{H}}^{(1)}}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math>

	Wesentlicher Vorteil zur Schrödingergleichung: Die Lippmann- Schwinger- Gleichung ist die im Vergleich zur Schrödingergleichung komplexe Erweiterung mit reeller Polstellenfreiheit !		Wesentlicher Vorteil zur Schrödingergleichung: Die Lippmann- Schwinger- Gleichung ist die im Vergleich zur Schrödingergleichung komplexe Erweiterung mit reeller Polstellenfreiheit!

	Mit		Mit
Zeile 86:		Zeile 86:
	;einlaufender Welle: <math>\left\| \Phi \right\rangle </math> (Lösung des ungestörten Problems)		;einlaufender Welle: <math>\left\| \Phi \right\rangle </math> (Lösung des ungestörten Problems)

	Die auslaufende Welle <math>\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math> ist die Summe aus einlaufender Welle und Streuwelle !		Die auslaufende Welle <math>\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math> ist die Summe aus einlaufender Welle und Streuwelle!

	==Greensche Funktion des freien Teilchens==		==Greensche Funktion des freien Teilchens==
	<u>'''( = Ortsdartellung des Greenschen Operators)'''</u>		<u>'''(= Ortsdartellung des Greenschen Operators)'''</u>

	:<math>{{G}_{+}}(\bar{r},\bar{r}\acute{\ }):=\frac{\hbar }{2m}\left\langle {\bar{r}} \right\|\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}\left\| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle </math>		:<math>{{G}_{+}}(\bar{r},\bar{r}\acute{\ }):=\frac{\hbar }{2m}\left\langle {\bar{r}} \right\|\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}\left\| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle </math>
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	Also: Das Problem wird nach der auslaufenden Welle aufgelöst. Zur Polstellenfreiheit erweitert man komplex.		Also: Das Problem wird nach der auslaufenden Welle aufgelöst. Zur Polstellenfreiheit erweitert man komplex.

	Dann isoliert man den Greenschen Operator und führt mit diesem eine {{FB\|Fouriertransormation}} durch !		Dann isoliert man den Greenschen Operator und führt mit diesem eine {{FB\|Fouriertransormation}} durch!

	Der obige Einschub einer Basis ist noch '''keine''' Fouriertransformation. Wir befinden uns dann immer noch im Ortstraum!		Der obige Einschub einer Basis ist noch '''keine''' Fouriertransformation. Wir befinden uns dann immer noch im Ortstraum!
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	Die Rücktransformation liefert die gesuchte Greensfunktion <math>{{G}_{+}}(\bar{r},\bar{r}\acute{\ })</math>, die mittels Residuensatz aus der bekannten <math>{{\tilde{G}}_{+}}(\bar{q})=\frac{1}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta }</math> durch Fouriertrafo gewonnen werden kann!		Die Rücktransformation liefert die gesuchte Greensfunktion <math>{{G}_{+}}(\bar{r},\bar{r}\acute{\ })</math>, die mittels Residuensatz aus der bekannten <math>{{\tilde{G}}_{+}}(\bar{q})=\frac{1}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta }</math> durch Fouriertrafo gewonnen werden kann!

	:<math>{{G}_{+}}(\bar{r},\bar{r}\acute{\ })</math> hängt also nur von <math>\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math> ab !		:<math>{{G}_{+}}(\bar{r},\bar{r}\acute{\ })</math> hängt also nur von <math>\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math> ab!

	Berechnung von <math>{{G}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }):={{G}_{+}}(\bar{R})</math> in Polarkoordinaten <math>\bar{q}</math> erfolgt mittels {{FB\|Residuensatz}}		Berechnung von <math>{{G}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }):={{G}_{+}}(\bar{R})</math> in Polarkoordinaten <math>\bar{q}</math> erfolgt mittels {{FB\|Residuensatz}}
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	Skizzenhaft:		Skizzenhaft:

	[[Datei:~~Contour_thm_residus_2~~.png]]		[[Datei:Contour thm residus 2.png]]

	Da die Integration im Unendlichen ( Halbkreisbogen) verschwindet kann man das Integral von Minus bis Plus Unendlich auch gleich als Ringintegral schreiben. Wesentlich ist dann: dass es nur Beiträge aus den Polstellen der Funktion gibt. demnach müssen diese gesucht werden:		Da die Integration im Unendlichen (Halbkreisbogen) verschwindet kann man das Integral von Minus bis Plus Unendlich auch gleich als Ringintegral schreiben. Wesentlich ist dann: dass es nur Beiträge aus den Polstellen der Funktion gibt. demnach müssen diese gesucht werden:

	Die Pole des Integranden:		Die Pole des Integranden:
Zeile 303:		Zeile 303:

	eine Form der Lippmann- Schwinger- Gleichung mit auslaufender Welle <math>\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math>		eine Form der Lippmann- Schwinger- Gleichung mit auslaufender Welle <math>\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle </math>
	Greenschen Operator ( auch sogenannte RESOLVENTE)<math>\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}</math>		Greenschen Operator (auch sogenannte RESOLVENTE)<math>\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}</math>
	und durchlaufender Welle ( freie einlaufende Lösung) <math>\left\| \Phi \right\rangle </math>		und durchlaufender Welle (freie einlaufende Lösung) <math>\left\| \Phi \right\rangle </math>

	Die Berechnung der Greenschen Funktion des freien Teilchens:		Die Berechnung der Greenschen Funktion des freien Teilchens:
Zeile 321:		Zeile 321:
	:<math>{{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }):=\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\left\langle {\bar{r}} \right\|{{\hat{G}}_{+}}(\bar{q})\left\| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle =-\frac{{{e}^{ik\|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}}}{4\pi \|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}</math>		:<math>{{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }):=\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\left\langle {\bar{r}} \right\|{{\hat{G}}_{+}}(\bar{q})\left\| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle =-\frac{{{e}^{ik\|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}}}{4\pi \|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}</math>

	Dieser erfüllt dann eine Relation des Impulsoperators in Ortsdarstellung ( orts- Differeniationsrelation):		Dieser erfüllt dann eine Relation des Impulsoperators in Ortsdarstellung (orts- Differeniationsrelation):
	:<math>\left( \Delta +{{k}^{2}} \right){{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })</math>		:<math>\left( \Delta +{{k}^{2}} \right){{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })</math>

	( dies ist die skalare Helmholtzgleichung !)		(dies ist die skalare Helmholtzgleichung!)

	==Potenzialstreuungen==		==Potenzialstreuungen==
	:<math>{{\hat{H}}^{(1)}}</math> sei ein Potenzial, das die Wechselwirkung mit einem schweren Teilchen als {{FB\|Streuzentrum}}( Target) beschreibt. Allgemein: Beschreibung im Schwerpunktsystem		:<math>{{\hat{H}}^{(1)}}</math> sei ein Potenzial, das die Wechselwirkung mit einem schweren Teilchen als {{FB\|Streuzentrum}}(Target) beschreibt. Allgemein: Beschreibung im Schwerpunktsystem

	Hier kann man als Schwerpunktsystem näherungsweise den Schwerpunkt des schweren Teilchen annehmen		Hier kann man als Schwerpunktsystem näherungsweise den Schwerpunkt des schweren Teilchen annehmen
Zeile 342:		Zeile 342:
	Diese Gleichung ist völlig äquivalent zur Schrödingergeleichung mit Randbedingungen.		Diese Gleichung ist völlig äquivalent zur Schrödingergeleichung mit Randbedingungen.

	Als Randbedingungen sind in der Streutheorie prinzipiell die asymptotischen Wege für r gegen Plus oder Minus UNENDLICH zu verstehen .		Als Randbedingungen sind in der Streutheorie prinzipiell die asymptotischen Wege für r gegen Plus oder Minus UNENDLICH zu verstehen.