Liouville-von-Neumann-Gleichung - Versionsgeschichte

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2010-09-16T22:13:23Z

Einzelnachweise: Kategorie

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	<references />		<references />
	[http://de.wikipedia.org/wiki/Von-Neumann-Gleichung Wikipedia-Eintrag]		[http://de.wikipedia.org/wiki/Von-Neumann-Gleichung Wikipedia-Eintrag]
			[[Kategorie:Thermodynamik]]

*>SchuBot: Mathematik einrücken

2010-09-12T16:35:47Z

Mathematik einrücken

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	<math>{\mathfrak{i}{\partial }_{t}}\Psi (t) =\hat{H}\Psi (t)</math>		:<math>{\mathfrak{i}{\partial }_{t}}\Psi (t) =\hat{H}\Psi (t)</math>

	Dirac Notation		Dirac Notation

	Ket:		Ket:
	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \left\| \mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\Psi \left( t \right) \right\rangle =\left\| \hat{H}\Psi \left( t \right) \right\rangle \\		& \left\| \mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\Psi \left( t \right) \right\rangle =\left\| \hat{H}\Psi \left( t \right) \right\rangle \\
	& \mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle =\hat{H}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \Rightarrow {{\partial }_{t}}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle =-\mathfrak{i}\hat{H}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \\		& \mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle =\hat{H}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \Rightarrow {{\partial }_{t}}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle =-\mathfrak{i}\hat{H}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \\
Zeile 28:		Zeile 28:
	Bra:		Bra:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \left\langle \mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\Psi \left( t \right) \right\|=\left\langle \hat{H}\Psi \left( t \right) \right\| \\		& \left\langle \mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\Psi \left( t \right) \right\|=\left\langle \hat{H}\Psi \left( t \right) \right\| \\
	& \text{-}\mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|=\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|\hat{H},\,\left( \hat{H}={{{\hat{H}}}^{+}} \right)\Rightarrow {{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|=\mathfrak{i}\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|\hat{H} \\		& \text{-}\mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|=\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|\hat{H},\,\left( \hat{H}={{{\hat{H}}}^{+}} \right)\Rightarrow {{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|=\mathfrak{i}\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|\hat{H} \\
Zeile 37:		Zeile 37:
	[[Dichtematrix]]		[[Dichtematrix]]

	<math>\rho =\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \left\langle \Psi \left( t \right) \right\|</math>		:<math>\rho =\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \left\langle \Psi \left( t \right) \right\|</math>

	einsetzen:		einsetzen:


	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \dot{\rho }={{\partial }_{t}}\left( \left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \left\langle \Psi \left( t \right) \right\| \right) \\		& \dot{\rho }={{\partial }_{t}}\left( \left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \left\langle \Psi \left( t \right) \right\| \right) \\
	& =\left( {{\partial }_{t}}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \right)\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|+\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \left( {{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left( t \right) \right\| \right) \\		& =\left( {{\partial }_{t}}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \right)\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|+\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \left( {{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left( t \right) \right\| \right) \\

85.178.233.148: /* Herleitung */

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Herleitung

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Zeile 29:		Zeile 29:

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
	& \left\langle \mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\Psi \left( t \right) \right\|=\left\langle \hat{H}\Psi \left( t \right) \right\| \\		& \left\langle \mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\Psi \left( t \right) \right\|=\left\langle \hat{H}\Psi \left( t \right) \right\| \\
	& \text{-}\mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|=\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|\hat{H},\,\left( \hat{H}={{{\hat{H}}}^{+}} \right)\Rightarrow {{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|=\mathfrak{i}\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|\hat{H} \\		& \text{-}\mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|=\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|\hat{H},\,\left( \hat{H}={{{\hat{H}}}^{+}} \right)\Rightarrow {{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|=\mathfrak{i}\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|\hat{H} \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

Zeile 40:		Zeile 40:

	einsetzen:		einsetzen:


	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
Zeile 45:		Zeile 46:
	& =\left( {{\partial }_{t}}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \right)\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|+\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \left( {{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left( t \right) \right\| \right) \\		& =\left( {{\partial }_{t}}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \right)\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|+\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \left( {{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left( t \right) \right\| \right) \\
	& =-\mathfrak{i}\hat{H}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \left\langle \Psi \left( t \right) \right\|+\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \left\langle \Psi \left( t \right) \right\|\mathfrak{i}\hat{H} \\		& =-\mathfrak{i}\hat{H}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \left\langle \Psi \left( t \right) \right\|+\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \left\langle \Psi \left( t \right) \right\|\mathfrak{i}\hat{H} \\
	& =-\mathfrak{i}\left( \hat{H}\rho -\rho \hat{H} \right)=-\mathfrak{i}\left[ \hat{H},\rho \right]=\mathfrak{i}\left[ \rho ,\hat{H} \right]		& =-\mathfrak{i}\left( \hat{H}\rho -\rho \hat{H} \right)\equiv -\mathfrak{i}\left[ \hat{H},\rho \right]=\mathfrak{i}\left[ \rho ,\hat{H} \right]
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

85.178.233.148: /* Herleitung */

2009-09-06T22:23:52Z

Herleitung

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Zeile 22:		Zeile 22:
	Ket:		Ket:
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
	& \left\| \mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\Psi \left( t \right) \right\rangle =\left\| \hat{H}\Psi \left( t \right) \right\rangle \\		& \left\| \mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\Psi \left( t \right) \right\rangle =\left\| \hat{H}\Psi \left( t \right) \right\rangle \\
	& \mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle =\hat{H}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \Rightarrow {{\partial }_{t}}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle =-\mathfrak{i}\hat{H}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \\		& \mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle =\hat{H}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \Rightarrow {{\partial }_{t}}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle =-\mathfrak{i}\hat{H}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

Zeile 30:		Zeile 30:
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
	& \left\langle \mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\Psi \left( t \right) \right\|=\left\langle \hat{H}\Psi \left( t \right) \right\| \\		& \left\langle \mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\Psi \left( t \right) \right\|=\left\langle \hat{H}\Psi \left( t \right) \right\| \\
	& \text{-}\mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|=~~\hat{H}~~\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|,\,\hat{H}={{{\hat{H}}}^{+}}\Rightarrow {{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|=\mathfrak{i~~}\hat{H~~}\left\langle \Psi \left( t \right) \right\| \\		& \text{-}\mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|=\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|\hat{H},\,\left( \hat{H}={{{\hat{H}}}^{+}} \right)\Rightarrow {{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|=\mathfrak{i}\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|\hat{H} \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>



	[[Dichtematrix]]		[[Dichtematrix]]

	<math>\~~hat~~{\rho }=\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \left\langle \Psi \left( t \right) \right\|</math>		<math>\rho =\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \left\langle \Psi \left( t \right) \right\|</math>

			einsetzen:

			<math>\begin{align}
			& \dot{\rho }={{\partial }_{t}}\left( \left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \left\langle \Psi \left( t \right) \right\| \right) \\
			& =\left( {{\partial }_{t}}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \right)\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|+\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \left( {{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left( t \right) \right\| \right) \\
			& =-\mathfrak{i}\hat{H}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \left\langle \Psi \left( t \right) \right\|+\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \left\langle \Psi \left( t \right) \right\|\mathfrak{i}\hat{H} \\
			& =-\mathfrak{i}\left( \hat{H}\rho -\rho \hat{H} \right)=-\mathfrak{i}\left[ \hat{H},\rho \right]=\mathfrak{i}\left[ \rho ,\hat{H} \right]
			\end{align}</math>

	== Einzelnachweise ==		== Einzelnachweise ==
	<references />		<references />
	[http://de.wikipedia.org/wiki/Von-Neumann-Gleichung Wikipedia-Eintrag]		[http://de.wikipedia.org/wiki/Von-Neumann-Gleichung Wikipedia-Eintrag]

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2009-09-06T22:21:13Z

Herleitung

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Zeile 13:		Zeile 13:
	{{Quelle\|Schöll, QM 2.5 Teil 1 Seite 77}}		{{Quelle\|Schöll, QM 2.5 Teil 1 Seite 77}}
	==Herleitung==		==Herleitung==
	Schrödingergleichung		[[Schrödingergleichung]]


Zeile 21:		Zeile 21:

	Ket:		Ket:
	<math>\left\| {{\mathfrak{i}{\partial }_{t}}\Psi (t)} \right\rangle =		<math>\begin{align}
	\left\| \hat{H}\Psi (t) \right\rangle ~~</math>~~		& \left\| \mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\Psi \left( t \right) \right\rangle =\left\| \hat{H}\Psi \left( t \right) \right\rangle \\
			& \mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle =\hat{H}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \Rightarrow {{\partial }_{t}}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle =-\mathfrak{i}\hat{H}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \\
	~~<math>~~\mathfrak{i} \~~partial_t~~ \left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle =		\end{align}</math>
	\hat{H}\left\| \Psi (t) \right\rangle </math>

	Bra:		Bra:



	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
	& \left\langle ~~\text{-}~~\mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\Psi \left( t \right) \right\|=\left\langle \hat{H}\Psi \left( t \right) \right\| \\		& \left\langle \mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\Psi \left( t \right) \right\|=\left\langle \hat{H}\Psi \left( t \right) \right\| \\
	& \text{-}\mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|=\hat{H}\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|,\,\hat{H}={{{\hat{H}}}^{+}} \\		& \text{-}\mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|=\hat{H}\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|,\,\hat{H}={{{\hat{H}}}^{+}}\Rightarrow {{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left( t \right) \right\|=\mathfrak{i}\hat{H}\left\langle \Psi \left( t \right) \right\| \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>


			[[Dichtematrix]]

			<math>\hat{\rho }=\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \left\langle \Psi \left( t \right) \right\|</math>

	== Einzelnachweise ==		== Einzelnachweise ==
	<references />		<references />
	[http://de.wikipedia.org/wiki/Von-Neumann-Gleichung Wikipedia-Eintrag]		[http://de.wikipedia.org/wiki/Von-Neumann-Gleichung Wikipedia-Eintrag]

85.178.233.148 am 6. September 2009 um 21:57 Uhr

2009-09-06T21:57:02Z

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 |}
 {{Quelle|Schöll, QM 2.5 Teil 1 Seite 77}}
 == Einzelnachweise ==
 <references />
 [http://de.wikipedia.org/wiki/Von-Neumann-Gleichung Wikipedia-Eintrag]

Schubotz am 3. September 2009 um 11:22 Uhr

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Zeile 1:		Zeile 1:
	<math>		<math>
	\dot \rho = L \rho = - \frac{i}{\color{Gray}\hbar }\left[ {H,\rho } \right]</math>		\dot \rho = \mathcal{L} \rho = - \frac{i}{\color{Gray}\hbar }\left[ {H,\rho } \right]</math>
	mit		mit

Schubotz am 3. September 2009 um 11:20 Uhr

2009-09-03T11:20:06Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. September 2009, 13:20 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	<math>		<math>
	\dot \rho = - \frac{i}{\color{Gray}\hbar }\left[ {H,\rho } \right]</math>		\dot \rho = L \rho = - \frac{i}{\color{Gray}\hbar }\left[ {H,\rho } \right]</math>
	mit		mit

Schubotz am 23. März 2009 um 00:21 Uhr

2009-03-23T00:21:48Z

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	\|-		\|-
	\| <math>\left[\_ \,,\_ \right]</math>\|\| Kommutator		\| <math>\left[\_ \,,\_ \right]</math>\|\| Kommutator
	\|}~~<ref name="Schöll">QM 2.5 Teil 1 Seite 77</ref>~~		\|}

	{{Quelle\|Schöll, QM 2.5 Teil 1 Seite 77}}		{{Quelle\|Schöll, QM 2.5 Teil 1 Seite 77}}
	== Einzelnachweise ==		== Einzelnachweise ==
	<references />		<references />
	[http://de.wikipedia.org/wiki/Von-Neumann-Gleichung Wikipedia-Eintrag]		[http://de.wikipedia.org/wiki/Von-Neumann-Gleichung Wikipedia-Eintrag]

Schubotz am 22. März 2009 um 23:25 Uhr

2009-03-22T23:25:17Z

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	\|}<ref name="Schöll">QM 2.5 Teil 1 Seite 77</ref>		\|}<ref name="Schöll">QM 2.5 Teil 1 Seite 77</ref>

	{{~~Vorlesung\|Schpll~~\|QM~~\|z6tzg~~}}		{{Quelle\|Schöll, QM 2.5 Teil 1 Seite 77}}
	== Einzelnachweise ==		== Einzelnachweise ==
	<references />		<references />
	[http://de.wikipedia.org/wiki/Von-Neumann-Gleichung Wikipedia-Eintrag]		[http://de.wikipedia.org/wiki/Von-Neumann-Gleichung Wikipedia-Eintrag]

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85.178.233.148 am 6. September 2009 um 21:57 Uhr

Schubotz am 3. September 2009 um 11:22 Uhr

Schubotz am 3. September 2009 um 11:20 Uhr

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Schubotz am 22. März 2009 um 23:25 Uhr

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