Legendre- Transformation und Hamiltonfunktion - Versionsgeschichte

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2010-09-12T19:50:56Z

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	:		:

	Das bedeutet: Die ursprüngliche Funktion y=f(x) wird nach der Trafo ~~x->~~ u durch die Steigung u von f(x) und den (negativen) Achsenabschnitt charakterisiert.		Das bedeutet: Die ursprüngliche Funktion y=f(x) wird nach der Trafo x→ u durch die Steigung u von f(x) und den (negativen) Achsenabschnitt charakterisiert.

	Da der Achsenabschnitt mit berücksichtigt ist, wird nicht mehr die gesamte Kurvenschar auf die gleiche g(u) abgebildet. Die Abbildung ist bijektiv und damit eindeutig.		Da der Achsenabschnitt mit berücksichtigt ist, wird nicht mehr die gesamte Kurvenschar auf die gleiche g(u) abgebildet. Die Abbildung ist bijektiv und damit eindeutig.

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:27:23Z

Einrückungen Mathematik

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Zeile 4:		Zeile 4:

	Ausgehend von einer Funktion		Ausgehend von einer Funktion
	<math>y=f(x)</math> wobei <math>f(x)\cong L,x\cong {{\dot{q}}_{k}}</math>		:<math>y=f(x)</math> wobei <math>f(x)\cong L,x\cong {{\dot{q}}_{k}}</math>


	Soll statt x die Variable		Soll statt x die Variable
	<math>u=\frac{d}{dx}f(x)</math>		:<math>u=\frac{d}{dx}f(x)</math>


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	<math>u=\frac{d}{dx}f(x)\Rightarrow x=\phi (u)</math>		:<math>u=\frac{d}{dx}f(x)\Rightarrow x=\phi (u)</math>


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	<math>\frac{{{d}^{2}}}{d{{x}^{2}}}f(x)\ne 0</math>		:<math>\frac{{{d}^{2}}}{d{{x}^{2}}}f(x)\ne 0</math>
	Ansonsten:		Ansonsten:
	<math>u=\frac{d}{dx}f(x)=const.</math>		:<math>u=\frac{d}{dx}f(x)=const.</math>
	und damit nicht umkehrbar.		und damit nicht umkehrbar.

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	<math>y=f(x)=f(\phi (u)):=F(u)</math>		:<math>y=f(x)=f(\phi (u)):=F(u)</math>


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	<math>y=F(u)</math> ist <math>y=f(x)</math>		:<math>y=F(u)</math> ist <math>y=f(x)</math>
	nicht mehr eindeutig rekonstruierbar, weil alle Funktionen		nicht mehr eindeutig rekonstruierbar, weil alle Funktionen


	<math>y=f(x)+a</math>		:<math>y=f(x)+a</math>
	mit beliebigem, konstanten a wegen		mit beliebigem, konstanten a wegen


	<math>u=\frac{d}{dx}y=\frac{d}{dx}(f(x)+a)=\frac{df}{dx}</math>		:<math>u=\frac{d}{dx}y=\frac{d}{dx}(f(x)+a)=\frac{df}{dx}</math>


	dann auf die selbe Funktion		dann auf die selbe Funktion
	<math>y=F(u)</math>		:<math>y=F(u)</math>
	führen:		führen:

	Alle Funktionen, die die gleiche Steigung u bei x haben, führen auf das selbe F(u).		Alle Funktionen, die die gleiche Steigung u bei x haben, führen auf das selbe F(u).
	<math>y=F(u)</math>		:<math>y=F(u)</math>
	ist also nicht umkehrbar.		ist also nicht umkehrbar.

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	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& x\to u \\		& x\to u \\
	& y\to z=xu-f(x)=\phi (u)u-f(\phi (u))=g(u) \\		& y\to z=xu-f(x)=\phi (u)u-f(\phi (u))=g(u) \\
Zeile 73:		Zeile 73:


	<math>y=f(\phi (u))</math>		:<math>y=f(\phi (u))</math>


Zeile 79:		Zeile 79:


	<math>y(x)\to g(u)</math>		:<math>y(x)\to g(u)</math>
	heißt LEGENDRE- TRANSFORMATION		heißt LEGENDRE- TRANSFORMATION

	Graphische Veranschaulichung von		Graphische Veranschaulichung von
	<math>g(u)=x\frac{df}{dx}-f(x)</math>		:<math>g(u)=x\frac{df}{dx}-f(x)</math>
	:		:

Zeile 97:		Zeile 97:


	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& y\cong L \\		& y\cong L \\
	& x\cong \dot{q} \\		& x\cong \dot{q} \\
Zeile 112:		Zeile 112:


	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{{\dot{q}}}_{1}},...,{{{\dot{q}}}_{f}},t) \\		& L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{{\dot{q}}}_{1}},...,{{{\dot{q}}}_{f}},t) \\
	& {{p}_{k}}:=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}} \\		& {{p}_{k}}:=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}} \\
Zeile 122:		Zeile 122:


	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{{\dot{q}}}_{1}},...,{{{\dot{q}}}_{f}},t)\in {{C}^{2}} \\		& L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{{\dot{q}}}_{1}},...,{{{\dot{q}}}_{f}},t)\in {{C}^{2}} \\
	& \det \frac{{{\partial }^{2}}L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\ne 0 \\		& \det \frac{{{\partial }^{2}}L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\ne 0 \\
	\end{align}</math> damit <math>{{p}_{k=}}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}</math> nach <math>{{\dot{q}}_{k}}</math>		\end{align}</math> damit <math>{{p}_{k=}}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}</math> nach <math>{{\dot{q}}_{k}}</math>
	auflösbar		auflösbar

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:06:46Z

Einrückungen Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 17:06 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	Ausgehend von einer Funktion		Ausgehend von einer Funktion
	<math>y=f(x)</math>		<math>y=f(x)</math> wobei <math>f(x)\cong L,x\cong {{\dot{q}}_{k}}</math>
	wobei
	<math>f(x)\cong L,x\cong {{\dot{q}}_{k}}</math>


Zeile 42:		Zeile 40:


	<math>y=F(u)</math>		<math>y=F(u)</math> ist <math>y=f(x)</math>
	ist
	<math>y=f(x)</math>
	nicht mehr eindeutig rekonstruierbar, weil alle Funktionen		nicht mehr eindeutig rekonstruierbar, weil alle Funktionen

Zeile 129:		Zeile 125:
	& L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{{\dot{q}}}_{1}},...,{{{\dot{q}}}_{f}},t)\in {{C}^{2}} \\		& L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{{\dot{q}}}_{1}},...,{{{\dot{q}}}_{f}},t)\in {{C}^{2}} \\
	& \det \frac{{{\partial }^{2}}L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\ne 0 \\		& \det \frac{{{\partial }^{2}}L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\ne 0 \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math> damit <math>{{p}_{k=}}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}</math> nach <math>{{\dot{q}}_{k}}</math>
	damit
	<math>{{p}_{k=}}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}</math>
	nach
	<math>{{\dot{q}}_{k}}</math>
	auflösbar		auflösbar

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2010-08-28T22:31:03Z

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====Mathematisches Problem:====

Ausgehend von einer Funktion
<math>y=f(x)</math>
wobei
<math>f(x)\cong L,x\cong {{\dot{q}}_{k}}</math>

Soll statt x die Variable
<math>u=\frac{d}{dx}f(x)</math>

verwendet werden.

Also die Steigung von f(x) am Punkt x.

Das bedeutet, wir wollen eine Funktion, die nicht von bestimmten Koordinaten x abhängt sondern nur von der Steigung der Funktion selbst, die sie in Abhängigkeit von x an diesen Stellen hätte.

<math>u=\frac{d}{dx}f(x)\Rightarrow x=\phi (u)</math>

Mit der Voraussetzung

<math>\frac{{{d}^{2}}}{d{{x}^{2}}}f(x)\ne 0</math>
Ansonsten:
<math>u=\frac{d}{dx}f(x)=const.</math>
und damit nicht umkehrbar.

Die Substitution in f führt dann auf:

<math>y=f(x)=f(\phi (u)):=F(u)</math>

Bei dieser Trafo geht jedoch Information verloren.

Das heißt: Aus

<math>y=F(u)</math>
ist
<math>y=f(x)</math>
nicht mehr eindeutig rekonstruierbar, weil alle Funktionen

<math>y=f(x)+a</math>
mit beliebigem, konstanten a wegen

<math>u=\frac{d}{dx}y=\frac{d}{dx}(f(x)+a)=\frac{df}{dx}</math>

dann auf die selbe Funktion
<math>y=F(u)</math>
führen:

Alle Funktionen, die die gleiche Steigung u bei x haben, führen auf das selbe F(u).
<math>y=F(u)</math>
ist also nicht umkehrbar.

Auf das selbe F(u) führt jeweils die gesamte lineare Kurvenschar aller Funktionen f(x) zzgl. eines konstanten Parameters.

deshalb wird die Legendre- Transformation, eine andere, umkehrbare, Transformation, eingeführt:

<math>\begin{align}
& x\to u \\
& y\to z=xu-f(x)=\phi (u)u-f(\phi (u))=g(u) \\
\end{align}</math>

Statt der gerade genannten einfachen Variante

<math>y=f(\phi (u))</math>

Die Trafo

<math>y(x)\to g(u)</math>
heißt LEGENDRE- TRANSFORMATION

Graphische Veranschaulichung von
<math>g(u)=x\frac{df}{dx}-f(x)</math>
:

Das bedeutet: Die ursprüngliche Funktion y=f(x) wird nach der Trafo x-> u durch die Steigung u von f(x) und den (negativen) Achsenabschnitt charakterisiert.

Da der Achsenabschnitt mit berücksichtigt ist, wird nicht mehr die gesamte Kurvenschar auf die gleiche g(u) abgebildet. Die Abbildung ist bijektiv und damit eindeutig.

Die Werte (u,-z) bestimmen die Schar der Einhüllenden von y=f(x):

Man spricht deshalb von einer Legendre - oder auch Berührungstransformation.

====Anwendung auf die Lagrangefunktion====

<math>\begin{align}
& y\cong L \\
& x\cong \dot{q} \\
& u\cong p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \\
& z\cong \dot{q}p-L:=H(q,p,t) \\
\end{align}</math>

Die Legendretransformierte H(q,p,t) heißt Hamiltonfunktion.

Die Variablen q und t werden nicht geändert.

Wichtig ist jedoch bei mehreren Variablen q1,...,qf:

<math>\begin{align}
& L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{{\dot{q}}}_{1}},...,{{{\dot{q}}}_{f}},t) \\
& {{p}_{k}}:=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}} \\
& H({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{p}_{1}},...,{{p}_{f}},t)=\sum\limits_{k=1}^{f}{{{{\dot{q}}}_{k}}{{p}_{k}}-L} \\
\end{align}</math>

Die mathematischen Voraussetzungen für diese Prozedur sind:

<math>\begin{align}
& L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{{\dot{q}}}_{1}},...,{{{\dot{q}}}_{f}},t)\in {{C}^{2}} \\
& \det \frac{{{\partial }^{2}}L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\ne 0 \\
\end{align}</math>
damit
<math>{{p}_{k=}}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}</math>
nach
<math>{{\dot{q}}_{k}}</math>
auflösbar

Legendre- Transformation und Hamiltonfunktion - Versionsgeschichte

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