Lösungen der Dirac-Gleichung (freies Teilchen) - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:42:52Z

Einrückungen Mathematik

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	=={{FB\|Separationsansatz}} ==		=={{FB\|Separationsansatz}} ==
	<math>\Psi \left( \underline{x},t \right)={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\phi \left( {\underline{x}} \right)</math>		:<math>\Psi \left( \underline{x},t \right)={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\phi \left( {\underline{x}} \right)</math>
	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>\left[ \Epsilon {{\gamma }^{0}}+\mathfrak{i} \left( {{\gamma }^{1}}{{\partial }_{1}}+{{\gamma }^{2}}{{\partial }_{2}}+{{\gamma }^{3}}{{\partial }_{3}} \right)-m \right]\phi \left( {\underline{x}} \right)=0</math> \|(1.66)\|RawN=.}}		:<math>\left[ \Epsilon {{\gamma }^{0}}+\mathfrak{i} \left( {{\gamma }^{1}}{{\partial }_{1}}+{{\gamma }^{2}}{{\partial }_{2}}+{{\gamma }^{3}}{{\partial }_{3}} \right)-m \right]\phi \left( {\underline{x}} \right)=0</math> \|(1.66)\|RawN=.}}

	Ansatz <math>\phi \left( {\underline{x}} \right)=\phi =const\Rightarrow \left( E{{\gamma }^{0}}-m \right)\phi =0</math> (Eigenwertgleichung)		Ansatz <math>\phi \left( {\underline{x}} \right)=\phi =const\Rightarrow \left( E{{\gamma }^{0}}-m \right)\phi =0</math> (Eigenwertgleichung)
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	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>\frac{m}{E}=+1\Leftrightarrow {{\phi }_{+}}=\left( \begin{align}		:<math>\frac{m}{E}=+1\Leftrightarrow {{\phi }_{+}}=\left( \begin{align}

	& {{u}_{1}} \\		& {{u}_{1}} \\
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	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>\left( \begin{align}		:<math>\left( \begin{align}

	& {{u}_{1}} \\		& {{u}_{1}} \\
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	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \left( {{\gamma }^{0}}E-{{\gamma }^{1}}{{k}_{x}}-{{\gamma }^{2}}{{k}_{y}}-{{\gamma }^{3}}{{k}_{z}}-m \right){{\phi }_{+}}=0\Leftrightarrow \left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right){{\phi }_{+}}=0 \\		& \left( {{\gamma }^{0}}E-{{\gamma }^{1}}{{k}_{x}}-{{\gamma }^{2}}{{k}_{y}}-{{\gamma }^{3}}{{k}_{z}}-m \right){{\phi }_{+}}=0\Leftrightarrow \left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right){{\phi }_{+}}=0 \\
Zeile 151:		Zeile 151:

	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|
	<math>\left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right)\underbrace{\left( {{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m \right)\left( \begin{align}		:<math>\left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right)\underbrace{\left( {{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m \right)\left( \begin{align}

	& {{u}_{1}} \\		& {{u}_{1}} \\
Zeile 163:		Zeile 163:
	\end{align} \right)}_{{{{\tilde{\phi }}}_{+}}}=0</math>		\end{align} \right)}_{{{{\tilde{\phi }}}_{+}}}=0</math>

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& {{{\tilde{\phi }}}_{+}}=\left( E+m \right)\left( \begin{align}		& {{{\tilde{\phi }}}_{+}}=\left( E+m \right)\left( \begin{align}
Zeile 217:		Zeile 217:

	\|(1.71)\|RawN=.\|Border=1\|extra=		\|(1.71)\|RawN=.\|Border=1\|extra=
	<math>\left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right)\underbrace{\left( {{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m \right)\left( \begin{align}		:<math>\left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right)\underbrace{\left( {{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m \right)\left( \begin{align}

	& 0 \\		& 0 \\
Zeile 229:		Zeile 229:
	\end{align} \right)}_{{{{\tilde{\phi }}}_{-}}}=0</math>		\end{align} \right)}_{{{{\tilde{\phi }}}_{-}}}=0</math>

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& -{{{\tilde{\phi }}}_{-}}=-\left( E+m \right)\left( \begin{align}		& -{{{\tilde{\phi }}}_{-}}=-\left( E+m \right)\left( \begin{align}
Zeile 284:		Zeile 284:
	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& {{\phi }_{+}}^{\left( 1 \right)}=N\left( \begin{align}		& {{\phi }_{+}}^{\left( 1 \right)}=N\left( \begin{align}
Zeile 320:		Zeile 320:
	AUFGABE: Bestimme Normierungsfaktor N so, dass <math>{{\left\| {{\phi }_{\pm }}^{\left( i \right)} \right\|}^{2}}=1</math>		AUFGABE: Bestimme Normierungsfaktor N so, dass <math>{{\left\| {{\phi }_{\pm }}^{\left( i \right)} \right\|}^{2}}=1</math>
	Zeige <math>{{\phi }_{\pm }}^{\left( 1 \right)}\bot {{\phi }_{\pm }}^{\left( 2 \right)}</math> aber<math>\phi {{+}^{\left( 1 \right)}}\text{ NOT }\bot {{\phi }_{-}}^{\left( 1 \right)}</math> Hierbei gilt		Zeige <math>{{\phi }_{\pm }}^{\left( 1 \right)}\bot {{\phi }_{\pm }}^{\left( 2 \right)}</math> aber<math>\phi {{+}^{\left( 1 \right)}}\text{ NOT }\bot {{\phi }_{-}}^{\left( 1 \right)}</math> Hierbei gilt
	<math>{{\underline{u}}^{\left( 1 \right)}}\bot {{\underline{u}}^{\left( 2 \right)}},\left\| {{{\underline{u}}}^{\left( i \right)}} \right\|=1</math>		:<math>{{\underline{u}}^{\left( 1 \right)}}\bot {{\underline{u}}^{\left( 2 \right)}},\left\| {{{\underline{u}}}^{\left( i \right)}} \right\|=1</math>

Schubotz am 6. September 2010 um 10:31 Uhr

2010-09-06T10:31:36Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. September 2010, 12:31 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:
	: <math>\left( \mathfrak{i} {{\gamma }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}-m \right)\Psi =0\Leftrightarrow \left[ \mathfrak{i} \left( {{\gamma }^{0}}{{\partial }_{t}}+{{\gamma }^{1}}{{\partial }_{{{x}^{1}}}}+{{\gamma }^{2}}{{\partial }_{{{x}^{2}}}}+{{\gamma }^{3}}{{\partial }_{{{x}^{3}}}} \right)-m \right]\Psi =0</math>		: <math>\left( \mathfrak{i} {{\gamma }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}-m \right)\Psi =0\Leftrightarrow \left[ \mathfrak{i} \left( {{\gamma }^{0}}{{\partial }_{t}}+{{\gamma }^{1}}{{\partial }_{{{x}^{1}}}}+{{\gamma }^{2}}{{\partial }_{{{x}^{2}}}}+{{\gamma }^{3}}{{\partial }_{{{x}^{3}}}} \right)-m \right]\Psi =0</math>

	a) {{FB\|Separationsansatz}} <math>\Psi \left( \underline{x},t \right)={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\phi \left( {\underline{x}} \right)</math>		=={{FB\|Separationsansatz}} ==
			<math>\Psi \left( \underline{x},t \right)={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\phi \left( {\underline{x}} \right)</math>
	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

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	== Diskussion ==		=== Diskussion ===

	* <math>{{\Psi }_{+}}={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\left( \begin{align}		* <math>{{\Psi }_{+}}={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\left( \begin{align}
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	→ konsistente Lösung dieses Problems in der zweiten Quantisierung (letzer Teil VL): <math>\Psi </math> als Feld, das quantisiert wird.		→ konsistente Lösung dieses Problems in der zweiten Quantisierung (letzer Teil VL): <math>\Psi </math> als Feld, das quantisiert wird.

	b) Laufenden ebene Wellen („laufende, nicht ruhende Teilchen“)		==Laufenden ebene Wellen==
			'''(„laufende, nicht ruhende Teilchen“)'''

	Ansatz<math>{{\Psi }_{\pm }}={{e}^{\mp \left( Et-\underline{k}.\underline{x} \right)}}{{\phi }_{\pm }}\left( E,\underline{k} \right),\quad E=+\sqrt{{{k}^{2}}+{{m}^{2}}}>0</math> mit <math>{{k}_{\mu }}{{x}^{\mu }}:=Et-\underline{k}.\underline{x}\Rightarrow {{k}_{\mu }}=\left( E,-{{k}_{x}},-{{k}_{y}},-{{k}_{z}} \right)</math>		Ansatz<math>{{\Psi }_{\pm }}={{e}^{\mp \left( Et-\underline{k}.\underline{x} \right)}}{{\phi }_{\pm }}\left( E,\underline{k} \right),\quad E=+\sqrt{{{k}^{2}}+{{m}^{2}}}>0</math> mit <math>{{k}_{\mu }}{{x}^{\mu }}:=Et-\underline{k}.\underline{x}\Rightarrow {{k}_{\mu }}=\left( E,-{{k}_{x}},-{{k}_{y}},-{{k}_{z}} \right)</math>

Schubotz am 6. September 2010 um 10:30 Uhr

2010-09-06T10:30:03Z

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Zeile 52:		Zeile 52:
	: \|(1.67)\|RawN=.}}		: \|(1.67)\|RawN=.}}

	~~<u>~~Diskussion~~:</u>~~
			== Diskussion ==

	* <math>{{\Psi }_{+}}={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\left( \begin{align}		* <math>{{\Psi }_{+}}={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\left( \begin{align}
Zeile 98:		Zeile 99:
	\end{align} \right),\quad E=-m{{c}^{2}}</math>zwei linear unabhängige Lösungen \|(1.69)\|RawN=.}} hat aber negative Energie! Interpretationsproblem wie Klein-Gordon-Gleichung. Zufriedenstellend gelöst erst in der Quantenfeldtheorie (Teilchenerzeugung und Vernichtung).		\end{align} \right),\quad E=-m{{c}^{2}}</math>zwei linear unabhängige Lösungen \|(1.69)\|RawN=.}} hat aber negative Energie! Interpretationsproblem wie Klein-Gordon-Gleichung. Zufriedenstellend gelöst erst in der Quantenfeldtheorie (Teilchenerzeugung und Vernichtung).

	„Anschauliche Interpretation“

			'''„Anschauliche Interpretation“'''

	* Annahme vieler gleichartiger Spin- ½ -Teilchen der Masse m		* Annahme vieler gleichartiger Spin- ½ -Teilchen der Masse m
Zeile 106:		Zeile 109:
	* nützliches Konzept für die Halbleiterphysik		* nützliches Konzept für die Halbleiterphysik

	Vorteile der Löcher-Theorie:		'''Vorteile der Löcher-Theorie:'''

	* Vorrausage des {{FB\|Positron}} (Antiteilchen zum Elektron, gleiche Masse, entgegengesetzte Ladung)		* Vorrausage des {{FB\|Positron}} (Antiteilchen zum Elektron, gleiche Masse, entgegengesetzte Ladung)
	* Paarvernichtung / Erzeugung		* Paarvernichtung / Erzeugung

	Nachteile der Löcher-Theorie:		'''Nachteile der Löcher-Theorie:'''

	* Unendlicher See nicht beobachteter Elektronen		* Unendlicher See nicht beobachteter Elektronen
Zeile 143:		Zeile 146:

	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	~~----~~

	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

Schubotz am 5. September 2010 um 22:14 Uhr

2010-09-05T22:14:31Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. September 2010, 00:14 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	<noinclude>{{ScriptProf\|Kapitel=1\|Abschnitt=7\|Prof=Brandes\|Thema=Quantenmechanik\|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>		<noinclude>{{ScriptProf\|Kapitel=1\|Abschnitt=7\|Prof=Prof. Dr. T. Brandes\|Thema=Quantenmechanik\|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>

	Wir starten von		Wir starten von

Schubotz am 4. September 2010 um 23:43 Uhr

2010-09-04T23:43:24Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. September 2010, 01:43 Uhr
Zeile 10:		Zeile 10:
	<math>\left[ \Epsilon {{\gamma }^{0}}+\mathfrak{i} \left( {{\gamma }^{1}}{{\partial }_{1}}+{{\gamma }^{2}}{{\partial }_{2}}+{{\gamma }^{3}}{{\partial }_{3}} \right)-m \right]\phi \left( {\underline{x}} \right)=0</math> \|(1.66)\|RawN=.}}		<math>\left[ \Epsilon {{\gamma }^{0}}+\mathfrak{i} \left( {{\gamma }^{1}}{{\partial }_{1}}+{{\gamma }^{2}}{{\partial }_{2}}+{{\gamma }^{3}}{{\partial }_{3}} \right)-m \right]\phi \left( {\underline{x}} \right)=0</math> \|(1.66)\|RawN=.}}

	Ansatz <math>\phi \left( {\underline{x}} \right)=\phi =const\Rightarrow \left( E{{\gamma }^{0}}-m \right)\phi =0</math>(Eigenwertgleichung)		Ansatz <math>\phi \left( {\underline{x}} \right)=\phi =const\Rightarrow \left( E{{\gamma }^{0}}-m \right)\phi =0</math> (Eigenwertgleichung)

	<math>{{\gamma }^{0}}\phi =\frac{m}{E}\phi \Leftrightarrow \left( \begin{matrix}		:<math>{{\gamma }^{0}}\phi =\frac{m}{E}\phi \Leftrightarrow \left( \begin{matrix}

	1 & {} & {} & {} \\		1 & {} & {} & {} \\
Zeile 212:		Zeile 212:


			\|(1.71)\|RawN=.\|Border=1\|extra=
	<math>\left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right)\underbrace{\left( {{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m \right)\left( \begin{align}		<math>\left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right)\underbrace{\left( {{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m \right)\left( \begin{align}

Zeile 274:		Zeile 275:
	\end{align} \right)		\end{align} \right)

	\end{align}</math>		\end{align}</math>}}
	~~\|(1.71)\|RawN=.~~}}
	Insgesamt existieren also 4 linear unabhängige Lösungen mit der Basis		Insgesamt existieren also 4 linear unabhängige Lösungen mit der Basis

Schubotz am 4. September 2010 um 23:37 Uhr

2010-09-04T23:37:11Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. September 2010, 01:37 Uhr
Zeile 136:		Zeile 136:
	Lösung wie Matrixgleichung <math>\underline{\underline{M}}\underline{x}=0</math>möglich, einfacher Trick:		Lösung wie Matrixgleichung <math>\underline{\underline{M}}\underline{x}=0</math>möglich, einfacher Trick:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right)\left( {{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m \right)={{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}{{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}-{{m}^{2}}={{E}^{2}}-{{k}^{2}}-{{m}^{2}}=0,\quad \\		& \left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right)\left( {{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m \right)={{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}{{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}-{{m}^{2}}={{E}^{2}}-{{k}^{2}}-{{m}^{2}}=0,\quad \\
Zeile 146:		Zeile 146:
	----		----

			{{NumBlk\|:\|
	<math>\left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right)\underbrace{\left( {{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m \right)\left( \begin{align}		<math>\left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right)\underbrace{\left( {{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m \right)\left( \begin{align}

Zeile 275:		Zeile 275:

	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	~~{{NumBlk\|:\|~~\|(1.71)\|RawN=.}}		\|(1.71)\|RawN=.}}
	Insgesamt existieren also 4 linear unabhängige Lösungen mit der Basis		Insgesamt existieren also 4 linear unabhängige Lösungen mit der Basis

Schubotz am 4. September 2010 um 23:30 Uhr

2010-09-04T23:30:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. September 2010, 01:30 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	Wir starten von		Wir starten von

	<math>\left( \mathfrak{i} {{\gamma }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}-m \right)\Psi =0\Leftrightarrow \left[ \mathfrak{i} \left( {{\gamma }^{0}}{{\partial }_{t}}+{{\gamma }^{1}}{{\partial }_{{{x}^{1}}}}+{{\gamma }^{2}}{{\partial }_{{{x}^{2}}}}+{{\gamma }^{3}}{{\partial }_{{{x}^{3}}}} \right)-m \right]\Psi =0</math>		: <math>\left( \mathfrak{i} {{\gamma }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}-m \right)\Psi =0\Leftrightarrow \left[ \mathfrak{i} \left( {{\gamma }^{0}}{{\partial }_{t}}+{{\gamma }^{1}}{{\partial }_{{{x}^{1}}}}+{{\gamma }^{2}}{{\partial }_{{{x}^{2}}}}+{{\gamma }^{3}}{{\partial }_{{{x}^{3}}}} \right)-m \right]\Psi =0</math>

	~~# Separationsansatz~~{{FB\|Separationsansatz}} <math>\Psi \left( \underline{x},t \right)={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\phi \left( {\underline{x}} \right)</math>		a) {{FB\|Separationsansatz}} <math>\Psi \left( \underline{x},t \right)={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\phi \left( {\underline{x}} \right)</math>
	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>\left[ \Epsilon {{\gamma }^{0}}+\mathfrak{i} \left( {{\gamma }^{1}}{{\partial }_{1}}+{{\gamma }^{2}}{{\partial }_{2}}+{{\gamma }^{3}}{{\partial }_{3}} \right)-m \right]\phi \left( {\underline{x}} \right)=0</math>		<math>\left[ \Epsilon {{\gamma }^{0}}+\mathfrak{i} \left( {{\gamma }^{1}}{{\partial }_{1}}+{{\gamma }^{2}}{{\partial }_{2}}+{{\gamma }^{3}}{{\partial }_{3}} \right)-m \right]\phi \left( {\underline{x}} \right)=0</math> \|(1.66)\|RawN=.}}

	: \|(1.66)\|RawN=.}}

	Ansatz <math>\phi \left( {\underline{x}} \right)=\phi =const\Rightarrow \left( E{{\gamma }^{0}}-m \right)\phi =0</math>(Eigenwertgleichung)		Ansatz <math>\phi \left( {\underline{x}} \right)=\phi =const\Rightarrow \left( E{{\gamma }^{0}}-m \right)\phi =0</math>(Eigenwertgleichung)
Zeile 57:		Zeile 55:

	* <math>{{\Psi }_{+}}={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\left( \begin{align}		* <math>{{\Psi }_{+}}={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\left( \begin{align}
	* & {{u}_{1}} \\		& {{u}_{1}} \\
	* & {{u}_{2}} \\		& {{u}_{2}} \\
	* & 0 \\		& 0 \\
	* & 0 \\		& 0 \\
	* \end{align} \right),\quad E=+m{{c}^{2}}</math>, zwei linear unabhängige Lösungen		\end{align} \right),\quad E=+m{{c}^{2}}</math>, zwei linear unabhängige Lösungen beschreibt ruhendes Teilchen der Masse m, Ruheenergie <math>E=m{{c}^{2}}>0</math>
	beschreibt ruhendes Teilchen der Masse m, Ruheenergie <math>E=m{{c}^{2}}>0</math>
	* <u>Zwei</u> Komponenten u<sub>1</sub>, u<sub>2</sub> beschreiben Spin - ½, z.B.		* <u>Zwei</u> Komponenten u<sub>1</sub>, u<sub>2</sub> beschreiben Spin - ½, z.B.
	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|
Zeile 92:		Zeile 89:
	\end{align} \right)=\left\| \downarrow \right\rangle </math>		\end{align} \right)=\left\| \downarrow \right\rangle </math>

	: \|(1.68)\|RawN=.}}		: \|(1.68)\|RawN=.}} → Dirac-Gleichung beschreibt Spin- ½ Teilchen.

	 Dirac-Gleichung beschreibt Spin- ½ Teilchen.

	* {{NumBlk\|:\| <math>{{\Psi }_{-}}={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\left( \begin{align}		* {{NumBlk\|:\| <math>{{\Psi }_{-}}={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\left( \begin{align}
	* & 0 \\		& 0 \\
	* & 0 \\		& 0 \\
	* & {{u}_{1}} \\		& {{u}_{1}} \\
	* & {{u}_{2}} \\		& {{u}_{2}} \\
	* \end{align} \right),\quad E=-m{{c}^{2}}</math>zwei linear unabhängige Lösungen \|(1.69)\|RawN=.}}		\end{align} \right),\quad E=-m{{c}^{2}}</math>zwei linear unabhängige Lösungen \|(1.69)\|RawN=.}} hat aber negative Energie! Interpretationsproblem wie Klein-Gordon-Gleichung. Zufriedenstellend gelöst erst in der Quantenfeldtheorie (Teilchenerzeugung und Vernichtung).
	hat aber negative Energie! Interpretationsproblem wie Klein-Gordon-Gleichung. Zufriedenstellend gelöst erst in der Quantenfeldtheorie (Teilchenerzeugung und Vernichtung).

	„Anschauliche Interpretation“		„Anschauliche Interpretation“

	* Annahme vieler gleichartiger Spin- ½ -Teilchen der Masse m		* Annahme vieler gleichartiger Spin- ½ -Teilchen der Masse m
	* Annahme: Es gibt einen Vielteilchen-Grundzustand (~~„Vakuumzustand~~{{FB\|Vakuumzustand}}“), in dem alle Einzelteilchenzustände <math>{{\Psi }_{-}}</math>besetzt sind.		* Annahme: Es gibt einen Vielteilchen-Grundzustand („{{FB\|Vakuumzustand}}“), in dem alle Einzelteilchenzustände <math>{{\Psi }_{-}}</math>besetzt sind.
	* Ein einziges Elektron ist dann z.B. das Vakuum +1 Teilchen in einem Zustand <math>{{\Psi }_{+}}</math>.		* Ein einziges Elektron ist dann z.B. das Vakuum +1 Teilchen in einem Zustand <math>{{\Psi }_{+}}</math>.
	* ~~„Teilchen-Loch~~{{FB\|Teilchen-Loch}}“ Anregung: Anregung von <math>{{\Psi }_{+}}</math> nach		* „{{FB\|Teilchen-Loch}}“ Anregung: Anregung von <math>{{\Psi }_{+}}</math> nach <math>{{\Psi }_{-}}</math> lässt „Loch“ im „{{FB\|Fermi-See}}“ zurück: dies hat positive Ladung (fehlende negative Ladung)
	* <math>{{\Psi }_{-}}</math>
	* lässt „Loch“ im ~~„Fermi-See~~{{FB\|Fermi-See}}“ zurück: dies hat positive Ladung (fehlende negative Ladung)
	* nützliches Konzept für die Halbleiterphysik		* nützliches Konzept für die Halbleiterphysik

	Vorteile der Löcher-Theorie:		Vorteile der Löcher-Theorie:

	* Vorrausage des ~~Positrons~~{{FB\|Positron}} (Antiteilchen zum Elektron, gleiche Masse, entgegengesetzte Ladung)		* Vorrausage des {{FB\|Positron}} (Antiteilchen zum Elektron, gleiche Masse, entgegengesetzte Ladung)
	* Paarvernichtung / Erzeugung		* Paarvernichtung / Erzeugung

	Nachteile der Löcher-Theorie:		Nachteile der Löcher-Theorie:

	* Unendlicher See nicht beobachteter Elektronen		* Unendlicher See nicht beobachteter Elektronen
	* Beruht auf „Paul-Prinzip“ und funktionier bei der Klein-Gordon-Gleichung, die Bosonen mit Spin 0 beschreibt nicht.		* Beruht auf „Paul-Prinzip“ und funktionier bei der Klein-Gordon-Gleichung, die Bosonen mit Spin 0 beschreibt nicht.
	 konsistente Lösung dieses Problems in der zweiten Quantisierung (letzer Teil VL): <math>\Psi </math>als Feld, das quantisiert wird.		→ konsistente Lösung dieses Problems in der zweiten Quantisierung (letzer Teil VL): <math>\Psi </math> als Feld, das quantisiert wird.

	# Laufenden ebene Wellen („laufende, nicht ruhende Teilchen“)		b) Laufenden ebene Wellen („laufende, nicht ruhende Teilchen“)
	Ansatz<math>{{\Psi }_{\pm }}={{e}^{\mp \left( Et-\underline{k}.\underline{x} \right)}}{{\phi }_{\pm }}\left( E,\underline{k} \right),\quad E=+\sqrt{{{k}^{2}}+{{m}^{2}}}>0</math> mit <math>{{k}_{\mu }}{{x}^{\mu }}:=Et-\underline{k}.\underline{x}\Rightarrow {{k}_{\mu }}=\left( E,-{{k}_{x}},-{{k}_{y}},-{{k}_{z}} \right)</math>		Ansatz<math>{{\Psi }_{\pm }}={{e}^{\mp \left( Et-\underline{k}.\underline{x} \right)}}{{\phi }_{\pm }}\left( E,\underline{k} \right),\quad E=+\sqrt{{{k}^{2}}+{{m}^{2}}}>0</math> mit <math>{{k}_{\mu }}{{x}^{\mu }}:=Et-\underline{k}.\underline{x}\Rightarrow {{k}_{\mu }}=\left( E,-{{k}_{x}},-{{k}_{y}},-{{k}_{z}} \right)</math>

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=7|Prof=Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}} Wir starten von $\left( \mathfrak{…“$

2010-09-04T23:10:54Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=7|Prof=Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> Wir starten von <math>\left( \mathfrak{…“

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<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=7|Prof=Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>

Wir starten von

<math>\left( \mathfrak{i} {{\gamma }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}-m \right)\Psi =0\Leftrightarrow \left[ \mathfrak{i} \left( {{\gamma }^{0}}{{\partial }_{t}}+{{\gamma }^{1}}{{\partial }_{{{x}^{1}}}}+{{\gamma }^{2}}{{\partial }_{{{x}^{2}}}}+{{\gamma }^{3}}{{\partial }_{{{x}^{3}}}} \right)-m \right]\Psi =0</math>

# Separationsansatz{{FB|Separationsansatz}} <math>\Psi \left( \underline{x},t \right)={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\phi \left( {\underline{x}} \right)</math>
{{NumBlk|:|

<math>\left[ \Epsilon {{\gamma }^{0}}+\mathfrak{i} \left( {{\gamma }^{1}}{{\partial }_{1}}+{{\gamma }^{2}}{{\partial }_{2}}+{{\gamma }^{3}}{{\partial }_{3}} \right)-m \right]\phi \left( {\underline{x}} \right)=0</math>

: |(1.66)|RawN=.}}

Ansatz <math>\phi \left( {\underline{x}} \right)=\phi =const\Rightarrow \left( E{{\gamma }^{0}}-m \right)\phi =0</math>(Eigenwertgleichung)

<math>{{\gamma }^{0}}\phi =\frac{m}{E}\phi \Leftrightarrow \left( \begin{matrix}

1 & {} & {} & {} \\

{} & 1 & {} & {} \\

{} & {} & -1 & {} \\

{} & {} & {} & -1 \\

\end{matrix} \right)\phi =\frac{m}{E}\phi \,</math>

: (hat 2 Eigenwerte)

{{NumBlk|:|

<math>\frac{m}{E}=+1\Leftrightarrow {{\phi }_{+}}=\left( \begin{align}

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

& 0 \\

& 0 \\

\end{align} \right)\quad und\quad \frac{m}{E}=-1\Leftrightarrow {{\phi }_{-}}=\left( \begin{align}

& 0 \\

& 0 \\

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

\end{align} \right)</math>

: |(1.67)|RawN=.}}

Diskussion:

* <math>{{\Psi }_{+}}={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\left( \begin{align}
* & {{u}_{1}} \\
* & {{u}_{2}} \\
* & 0 \\
* & 0 \\
* \end{align} \right),\quad E=+m{{c}^{2}}</math>, zwei linear unabhängige Lösungen
beschreibt ruhendes Teilchen der Masse m, Ruheenergie <math>E=m{{c}^{2}}>0</math>
* Zwei Komponenten u1, u2 beschreiben Spin - ½, z.B.
{{NumBlk|:|

<math>\left( \begin{align}

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

\end{align} \right)=\left( \begin{align}

& 1 \\

& 0 \\

\end{align} \right)=\left| \uparrow \right\rangle \quad \left( \begin{align}

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

\end{align} \right)=\left( \begin{align}

& 0 \\

& 1 \\

\end{align} \right)=\left| \downarrow \right\rangle </math>

: |(1.68)|RawN=.}}

 Dirac-Gleichung beschreibt Spin- ½ Teilchen.

* {{NumBlk|:| <math>{{\Psi }_{-}}={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\left( \begin{align}
* & 0 \\
* & 0 \\
* & {{u}_{1}} \\
* & {{u}_{2}} \\
* \end{align} \right),\quad E=-m{{c}^{2}}</math>zwei linear unabhängige Lösungen |(1.69)|RawN=.}}
hat aber negative Energie! Interpretationsproblem wie Klein-Gordon-Gleichung. Zufriedenstellend gelöst erst in der Quantenfeldtheorie (Teilchenerzeugung und Vernichtung).

„Anschauliche Interpretation“

* Annahme vieler gleichartiger Spin- ½ -Teilchen der Masse m
* Annahme: Es gibt einen Vielteilchen-Grundzustand („Vakuumzustand{{FB|Vakuumzustand}}“), in dem alle Einzelteilchenzustände <math>{{\Psi }_{-}}</math>besetzt sind.
* Ein einziges Elektron ist dann z.B. das Vakuum +1 Teilchen in einem Zustand <math>{{\Psi }_{+}}</math>.
* „Teilchen-Loch{{FB|Teilchen-Loch}}“ Anregung: Anregung von <math>{{\Psi }_{+}}</math> nach
* <math>{{\Psi }_{-}}</math>
* lässt „Loch“ im „Fermi-See{{FB|Fermi-See}}“ zurück: dies hat positive Ladung (fehlende negative Ladung)
* nützliches Konzept für die Halbleiterphysik
Vorteile der Löcher-Theorie:

* Vorrausage des Positrons{{FB|Positron}} (Antiteilchen zum Elektron, gleiche Masse, entgegengesetzte Ladung)
* Paarvernichtung / Erzeugung
Nachteile der Löcher-Theorie:

* Unendlicher See nicht beobachteter Elektronen
* Beruht auf „Paul-Prinzip“ und funktionier bei der Klein-Gordon-Gleichung, die Bosonen mit Spin 0 beschreibt nicht.
 konsistente Lösung dieses Problems in der zweiten Quantisierung (letzer Teil VL): <math>\Psi </math>als Feld, das quantisiert wird.

# Laufenden ebene Wellen („laufende, nicht ruhende Teilchen“)
Ansatz<math>{{\Psi }_{\pm }}={{e}^{\mp \left( Et-\underline{k}.\underline{x} \right)}}{{\phi }_{\pm }}\left( E,\underline{k} \right),\quad E=+\sqrt{{{k}^{2}}+{{m}^{2}}}>0</math> mit <math>{{k}_{\mu }}{{x}^{\mu }}:=Et-\underline{k}.\underline{x}\Rightarrow {{k}_{\mu }}=\left( E,-{{k}_{x}},-{{k}_{y}},-{{k}_{z}} \right)</math>

{{NumBlk|:|

<math>\begin{align}

& \left( {{\gamma }^{0}}E-{{\gamma }^{1}}{{k}_{x}}-{{\gamma }^{2}}{{k}_{y}}-{{\gamma }^{3}}{{k}_{z}}-m \right){{\phi }_{+}}=0\Leftrightarrow \left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right){{\phi }_{+}}=0 \\

& \left( -{{\gamma }^{0}}E+{{\gamma }^{1}}{{k}_{x}}+{{\gamma }^{2}}{{k}_{y}}+{{\gamma }^{3}}{{k}_{z}}-m \right){{\phi }_{-}}=0\Leftrightarrow \left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}+m \right){{\phi }_{-}}=0 \\

\end{align}</math>

: |(1.70)|RawN=.}}

(1.70) sind Gleichundgen für Spinoren (4-Komponentige Vektoren)<math>{{\phi }_{\pm }}</math>.

Lösung wie Matrixgleichung <math>\underline{\underline{M}}\underline{x}=0</math>möglich, einfacher Trick:

<math>\begin{align}

& \left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right)\left( {{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m \right)={{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}{{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}-{{m}^{2}}={{E}^{2}}-{{k}^{2}}-{{m}^{2}}=0,\quad \\

& mit\,{{\left( {{\gamma }^{\mu }} \right)}^{2}}=\pm 1,{{E}^{2}}={{k}^{2}}+{{m}^{2}},\hbar =c=1 \\

\end{align}</math>

----

<math>\left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right)\underbrace{\left( {{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m \right)\left( \begin{align}

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

& 0 \\

& 0 \\

\end{align} \right)}_{{{{\tilde{\phi }}}_{+}}}=0</math>

<math>\begin{align}

& {{{\tilde{\phi }}}_{+}}=\left( E+m \right)\left( \begin{align}

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

& 0 \\

& 0 \\

\end{align} \right)-{{k}_{x}}\left( \begin{matrix}

0 & {{\sigma }_{x}} \\

-{{\sigma }_{x}} & 0 \\

\end{matrix} \right)\left( \begin{align}

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

& 0 \\

& 0 \\

\end{align} \right)-{{k}_{y}}... \\

& =\left( \begin{align}

& \left( E+m \right)\left( \begin{align}

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

\end{align} \right) \\

& \underline{k}.\underline{\sigma }\left( \begin{align}

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

\end{align} \right) \\

\end{align} \right)

\end{align}</math>

<math>\left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right)\underbrace{\left( {{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m \right)\left( \begin{align}

& 0 \\

& 0 \\

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

\end{align} \right)}_{{{{\tilde{\phi }}}_{-}}}=0</math>

<math>\begin{align}

& -{{{\tilde{\phi }}}_{-}}=-\left( E+m \right)\left( \begin{align}

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

& 0 \\

& 0 \\

\end{align} \right)-{{k}_{x}}\left( \begin{matrix}

0 & {{\sigma }_{x}} \\

-{{\sigma }_{x}} & 0 \\

\end{matrix} \right)\left( \begin{align}

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

& 0 \\

& 0 \\

\end{align} \right)-{{k}_{y}}... \\

& =-\left( \begin{align}

& \underline{k}.\underline{\sigma }\left( \begin{align}

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

\end{align} \right) \\

& \left( E+m \right)\left( \begin{align}

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

\end{align} \right) \\

\end{align} \right)

\end{align}</math>
{{NumBlk|:||(1.71)|RawN=.}}
Insgesamt existieren also 4 linear unabhängige Lösungen mit der Basis

{{NumBlk|:|

<math>\begin{align}

& {{\phi }_{+}}^{\left( 1 \right)}=N\left( \begin{align}

& \left( E+m \right){{{\underline{u}}}^{\left( 1 \right)}} \\

& \left( \underline{k}.\underline{\sigma } \right){{{\underline{u}}}^{\left( 1 \right)}} \\

\end{align} \right)\quad {{\phi }_{+}}^{\left( 2 \right)}=N\left( \begin{align}

& \left( E+m \right){{{\underline{u}}}^{\left( 2 \right)}} \\

& \left( \underline{k}.\underline{\sigma } \right){{{\underline{u}}}^{\left( 2 \right)}} \\

\end{align} \right) \\

& {{\phi }_{-}}^{\left( 1 \right)}=N\left( \begin{align}

& \left( \underline{k}.\underline{\sigma } \right){{{\underline{u}}}^{\left( 1 \right)}} \\

& \left( E+m \right){{{\underline{u}}}^{\left( 1 \right)}} \\

\end{align} \right)\quad {{\phi }_{-}}^{\left( 2 \right)}=N\left( \begin{align}

& \left( \underline{k}.\underline{\sigma } \right){{{\underline{u}}}^{\left( 2 \right)}} \\

& \left( E+m \right){{{\underline{u}}}^{\left( 2 \right)}} \\

\end{align} \right) \\

\end{align}</math>

: |(1.72)|RawN=.}}

AUFGABE: Bestimme Normierungsfaktor N so, dass <math>{{\left| {{\phi }_{\pm }}^{\left( i \right)} \right|}^{2}}=1</math>
Zeige <math>{{\phi }_{\pm }}^{\left( 1 \right)}\bot {{\phi }_{\pm }}^{\left( 2 \right)}</math> aber<math>\phi {{+}^{\left( 1 \right)}}\text{ NOT }\bot {{\phi }_{-}}^{\left( 1 \right)}</math> Hierbei gilt
<math>{{\underline{u}}^{\left( 1 \right)}}\bot {{\underline{u}}^{\left( 2 \right)}},\left| {{{\underline{u}}}^{\left( i \right)}} \right|=1</math>