Kräftefreie Schrödingergleichung - Versionsgeschichte

Schubotz am 8. Dezember 2010 um 15:17 Uhr

2010-12-08T15:17:08Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. Dezember 2010, 17:17 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	<noinclude>{{Scripthinweis\|~~Quantemechanik~~\|1\|2}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|1\|2}}</noinclude>
	===Kräftefreie Schrödingergleichung===		===Kräftefreie Schrödingergleichung===
	''(Keine äußeren Potenziale)''		''(Keine äußeren Potenziale)''

*>SchuBot: Mathematik einrücken

2010-09-12T16:34:57Z

Mathematik einrücken

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Schubotz am 9. September 2010 um 15:04 Uhr

2010-09-09T15:04:05Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. September 2010, 17:04 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{Scripthinweis\|Quantemechanik\|1\|2}}		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantemechanik\|1\|2}}</noinclude>
	===Kräftefreie Schrödingergleichung===		===Kräftefreie Schrödingergleichung===
	''(Keine äußeren Potenziale)''		''(Keine äußeren Potenziale)''

Schubotz: /* Beispiel: Stufenfunktion ( rec-Func) */

2010-08-24T10:12:19Z

Beispiel: Stufenfunktion ( rec-Func)

← Nächstältere Version		Version vom 24. August 2010, 12:12 Uhr
Zeile 153:		Zeile 153:

	===== Beispiel: Stufenfunktion ( rec-Func) =====		===== Beispiel: Stufenfunktion ( rec-Func) =====
			[[File:Rectangular_function.svg\|miniatur]]


Zeile 164:		Zeile 164:
	<math>\Delta x</math>		<math>\Delta x</math>
	entsprechend groß ist !		entsprechend groß ist !
			[[File:Sinc_function_(normalized).svg\|miniatur]]

	Für t>0 zerfließt das Wellenpaket, da sich die einzelnen k- Komponenten verschieden schnell ausbreiten:		Für t>0 zerfließt das Wellenpaket, da sich die einzelnen k- Komponenten verschieden schnell ausbreiten:

Schubotz: /* Zeitliche Entwicklung der Einhüllenden: */

2010-08-24T10:07:35Z

Zeitliche Entwicklung der Einhüllenden:

← Nächstältere Version		Version vom 24. August 2010, 12:07 Uhr
Zeile 150:		Zeile 150:

	Interpretation der Unschärferelation: je schärfer lokalisiert im k- Raum das Wellenpaket ist, desto breiter ist es im x-Raum und umgekehrt. Dies ist jedoch eine ganz allgemeine Eigenschaft der Fouriertransformation.		Interpretation der Unschärferelation: je schärfer lokalisiert im k- Raum das Wellenpaket ist, desto breiter ist es im x-Raum und umgekehrt. Dies ist jedoch eine ganz allgemeine Eigenschaft der Fouriertransformation.
	Beispiel: Stufenfunktion ( rec-Func)

			===== Beispiel: Stufenfunktion ( rec-Func) =====


Zeile 173:		Zeile 175:
	Also: nicht die Materie ist hier diffus verteilt, sondern nur ihre Aufenthaltswahrscheinlichkeit !!		Also: nicht die Materie ist hier diffus verteilt, sondern nur ihre Aufenthaltswahrscheinlichkeit !!
	Makroskopische Objekte zerfließen auf sehr langer Zeitskala! Auch hinsichtlich der Aufenthaltswahrscheinlichkeit!		Makroskopische Objekte zerfließen auf sehr langer Zeitskala! Auch hinsichtlich der Aufenthaltswahrscheinlichkeit!
			[[Datei:Wave_packet_(dispersion).gif\|miniatur]]

Schubotz: /* Wellenpakete */

2010-08-24T10:01:21Z

Wellenpakete

← Nächstältere Version		Version vom 24. August 2010, 12:01 Uhr
Zeile 136:		Zeile 136:
	<math>{{v}_{g}}={{\left. \frac{d\omega }{dk} \right\|}_{{{k}_{0}}}}=\frac{\hbar {{k}_{0}}}{m}=\frac{{{p}_{0}}}{m}=v</math>		<math>{{v}_{g}}={{\left. \frac{d\omega }{dk} \right\|}_{{{k}_{0}}}}=\frac{\hbar {{k}_{0}}}{m}=\frac{{{p}_{0}}}{m}=v</math>
	als klassische Teilchengeschwindigkeit		als klassische Teilchengeschwindigkeit
	~~'''~~Zeitliche Entwicklung der Einhüllenden:~~'''~~
			==== Zeitliche Entwicklung der Einhüllenden: ====
	'''Sei t=0'''		'''Sei t=0'''

Schubotz: /* Zeitumkehrinvarianz */

2010-08-24T09:59:46Z

Zeitumkehrinvarianz

← Nächstältere Version		Version vom 24. August 2010, 11:59 Uhr
Zeile 62:		Zeile 62:
	Mit <math>\Psi (\bar{r},t)</math> ist auch <math>\Psi *(\bar{r},-t)</math>		Mit <math>\Psi (\bar{r},t)</math> ist auch <math>\Psi *(\bar{r},-t)</math>
	Lösung der Schrödingergleichung		Lösung der Schrödingergleichung


	Zu Punkt 3: Mathematisch bedeutet dies: Alle Transformationen müssen unitär sein ! Physikalisch sind nur unitäre Transformationen, weil man sonst durch Zeitumkehr nicht wieder in den Ausgangszustand zurückkommt !		Zu Punkt 3: Mathematisch bedeutet dies: Alle Transformationen müssen unitär sein ! Physikalisch sind nur unitäre Transformationen, weil man sonst durch Zeitumkehr nicht wieder in den Ausgangszustand zurückkommt !
	~~'''''~~Wellenpakete~~'''''~~

			===Wellenpakete===
			[[Datei:Wave packet (no dispersion).gif\|miniatur]]
	Ebene Wellen der Form		Ebene Wellen der Form
	<math>\Psi (\bar{r},t)=C{{e}^{i(kx-\omega t)}}</math>		<math>\Psi (\bar{r},t)=C{{e}^{i(kx-\omega t)}}</math>

Schubotz: /* Kräftefreie Schrödingergleichung */

2010-08-24T07:59:14Z

Kräftefreie Schrödingergleichung

← Nächstältere Version		Version vom 24. August 2010, 09:59 Uhr
Zeile 36:		Zeile 36:
	<u>'''Bemerkungen'''</u>		<u>'''Bemerkungen'''</u>

	# Die physikalische Bedeutung der Wellenfunktion <math>\Psi (\bar{r},t)</math>: <math>{{\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|}^{2}}{{d}^{3}}r</math> ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit t im Volumen d³r am Ort <math>\bar{r}</math> zu finden.		# Die physikalische Bedeutung der Wellenfunktion <math>\Psi (\bar{r},t)</math>: <math>{{\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|}^{2}}{{d}^{3}}r</math> ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit t im Volumen d³r am Ort <math>\bar{r}</math> zu finden. <math>\Psi (\bar{r},t)=\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|{{e}^{i\phi (r,t)}}</math> wird Wahrscheinlichkeitsamplitude genannt. Sie ist komplex und besteht aus Betrag und Phase. Dabei sind die relativen Phasen in Interferenzexperimenten beobachtbar. <math>{{\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|}^{2}}</math> ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte.
	# <math>\Psi (\bar{r},t)=\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|{{e}^{i\phi (r,t)}}</math> wird Wahrscheinlichkeitsamplitude genannt. Sie ist komplex und besteht aus Betrag und Phase. Dabei sind die relativen Phasen in Interferenzexperimenten beobachtbar. <math>{{\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|}^{2}}</math> ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte.
	# Normierung: <math>\int_{V}^{{}}{{}}{{\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|}^{2}}{{d}^{3}}r=1</math>		# Normierung: <math>\int_{V}^{{}}{{}}{{\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|}^{2}}{{d}^{3}}r=1</math>
	# Die Schrödingergleichung ist ZEITUMKEHRINVARIANT, das heißt zu jedem Bewegungsablauf <math>{{\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|}^{2}}</math> ist auch der zeitumgekehrte <math>{{\left\| \Psi (\bar{r},-t) \right\|}^{2}}</math> ein physikalisch möglicher Vorgang:		# Die Schrödingergleichung ist ZEITUMKEHRINVARIANT, das heißt zu jedem Bewegungsablauf <math>{{\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|}^{2}}</math> ist auch der zeitumgekehrte <math>{{\left\| \Psi (\bar{r},-t) \right\|}^{2}}</math> ein physikalisch möglicher Vorgang:
Zeile 63:		Zeile 62:
	Mit <math>\Psi (\bar{r},t)</math> ist auch <math>\Psi *(\bar{r},-t)</math>		Mit <math>\Psi (\bar{r},t)</math> ist auch <math>\Psi *(\bar{r},-t)</math>
	Lösung der Schrödingergleichung		Lösung der Schrödingergleichung
	~~</pre>~~
	Zu Punkt 3: Mathematisch bedeutet dies: Alle Transformationen müssen unitär sein ! Physikalisch sind nur unitäre Transformationen, weil man sonst durch Zeitumkehr nicht wieder in den Ausgangszustand zurückkommt !		Zu Punkt 3: Mathematisch bedeutet dies: Alle Transformationen müssen unitär sein ! Physikalisch sind nur unitäre Transformationen, weil man sonst durch Zeitumkehr nicht wieder in den Ausgangszustand zurückkommt !
	'''''Wellenpakete'''''		'''''Wellenpakete'''''

Schubotz am 24. August 2010 um 07:50 Uhr

2010-08-24T07:50:55Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. August 2010, 09:50 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{Scripthinweis\|Quantemechanik\|1\|2}}		{{Scripthinweis\|Quantemechanik\|1\|2}}
	===Kräftefreie Schrödingergleichung===		===Kräftefreie Schrödingergleichung===
	~~<font color="#A5FF00">~~''(Keine äußeren Potenziale)''~~</font>~~		''(Keine äußeren Potenziale)''

	Die Bewegungsgleichung für die Materiewellenfunktion		Die Bewegungsgleichung für die Materiewellenfunktion

	<math>\Psi (\bar{r},t)</math>		<math>\Psi (\bar{r},t)</math>

	soll die folgenden Postulate erfüllen:		soll die folgenden Postulate erfüllen:

	# Sie soll eine DGL 1.Ordnung in der zeit sein, damit		# Sie soll eine DGL 1.Ordnung in der zeit sein, damit <math>\Psi (\bar{r},t)</math> durch die Anfangsverteilung <math>\Psi (\bar{r},0)</math> bestimmt ist ( der qm. Zustand ist vollständig durch <math>\Psi (\bar{r},t)</math> festgelegt).
	# <math>\Psi (\bar{r},t)</math>		# Sie soll linear in <math>\Psi (\bar{r},t)</math> sein, damit das Superpositionsprinzip gilt.
	# durch die Anfangsverteilung		# Außerdem soll sie homogen sein.
	# <math>\Psi (\bar{r},0)</math>		#:Durch das Superpositionsprinzip sind Linearkombinationen von Lösungen wieder Lösungen. Damit werden die Interferenzeffekte mathematisch greifbar.
	# bestimmt ist ( der qm. Zustand ist vollständig durch		# Die Gleichung soll keine speziellen Bewegungsgrößen wie <math>E,\bar{p}</math> enthalten. Nur so können Wellenpakete durch Überlagerung verschiedener <math>\bar{p}</math> Werte gebildet werden.
	# <math>\Psi (\bar{r},t)</math>		# Ebene Wellen: <math>\Psi (\bar{r},t)={{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\omega t)}}</math> mit <math>\omega (k)=\frac{\hbar {{k}^{2}}}{2m}</math> sollen Lösung sein. Dabei gilt <math>\omega (k)=\frac{\hbar {{k}^{2}}}{2m}</math> wegen des Zusammenhangs <math>E=\hbar \omega ,p=\hbar k,E=\frac{{{p}^{2}}}{2m}</math>
	# festgelegt).
	# Sie soll linear in
	# <math>\Psi (\bar{r},t)</math>
	# sein, damit das Superpositionsprinzip gilt. Außerdem soll sie homogen sein.
	Durch das Superpositionsprinzip sind Linearkombinationen von Lösungen wieder Lösungen. Damit werden die Interferenzeffekte mathematisch greifbar.

	# Die Gleichung soll keine speziellen Bewegungsgrößen wie
	# <math>E,\bar{p}</math>
	# enthalten. Nur so können Wellenpakete durch Überlagerung verschiedener
	# <math>\bar{p}</math>
	~~# -~~ Werte gebildet werden.
	# Ebene Wellen:
	# <math>\Psi (\bar{r},t)={{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\omega t)}}</math>
	# mit
	# <math>\omega (k)=\frac{\hbar {{k}^{2}}}{2m}</math>
	# sollen Lösung sein. Dabei gilt
	# <math>\omega (k)=\frac{\hbar {{k}^{2}}}{2m}</math>
	# wegen des Zusammenhangs
	# <math>E=\hbar \omega ,p=\hbar k,E=\frac{{{p}^{2}}}{2m}</math>
	#
	Somit auch für Photonen:		Somit auch für Photonen:

Zeile 57:		Zeile 36:
	<u>'''Bemerkungen'''</u>		<u>'''Bemerkungen'''</u>

	# Die physikalische Bedeutung der Wellenfunktion		# Die physikalische Bedeutung der Wellenfunktion <math>\Psi (\bar{r},t)</math>: <math>{{\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|}^{2}}{{d}^{3}}r</math> ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit t im Volumen d³r am Ort <math>\bar{r}</math> zu finden.
	# <math>\Psi (\bar{r},t)</math>		# <math>\Psi (\bar{r},t)=\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|{{e}^{i\phi (r,t)}}</math> wird Wahrscheinlichkeitsamplitude genannt. Sie ist komplex und besteht aus Betrag und Phase. Dabei sind die relativen Phasen in Interferenzexperimenten beobachtbar. <math>{{\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|}^{2}}</math> ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte.
	# :		# Normierung: <math>\int_{V}^{{}}{{}}{{\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|}^{2}}{{d}^{3}}r=1</math>
	# <math>{{\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|}^{2}}{{d}^{3}}r</math>		# Die Schrödingergleichung ist ZEITUMKEHRINVARIANT, das heißt zu jedem Bewegungsablauf <math>{{\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|}^{2}}</math> ist auch der zeitumgekehrte <math>{{\left\| \Psi (\bar{r},-t) \right\|}^{2}}</math> ein physikalisch möglicher Vorgang:
	# ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit t im Volumen d³r am Ort		====Zeitumkehrinvarianz====
	# <math>\bar{r}</math>
	# zu finden.

	<math>\Psi (\bar{r},t)=\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|{{e}^{i\phi (r,t)}}</math>
	wird Wahrscheinlichkeitsamplitude genannt. Sie ist komplex und besteht aus Betrag und Phase.
	Dabei sind die relativen Phasen in Interferenzexperimenten beobachtbar.
	<math>{{\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|}^{2}}</math>
	ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte.
	# Normierung:
	# <math>\int_{V}^{{}}{{}}{{\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|}^{2}}{{d}^{3}}r=1</math>
	#
	# Die Schrödingergleichung ist ZEITUMKEHRINVARIANT, das heißt zu jedem Bewegungsablauf
	# <math>{{\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|}^{2}}</math>
	# ist auch der zeitumgekehrte
	# <math>{{\left\| \Psi (\bar{r},-t) \right\|}^{2}}</math>
	# ein physikalisch möglicher Vorgang:
	Die Transformationsvorschrift lautet:		Die Transformationsvorschrift lautet:
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
Zeile 83:		Zeile 46:
	& i->-i \\		& i->-i \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Also:		Also:
	<math>\Psi (\bar{r},t)\to \Psi *(\bar{r},-t)</math>		<math>\Psi (\bar{r},t)\to \Psi *(\bar{r},-t)</math>

	Beweis:		'''Beweis''':
			<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \Psi </math> werde gelöst von <math>\Psi (\bar{r},t)</math>
	<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \Psi </math>
	werde gelöst von
	<math>\Psi (\bar{r},t)</math>

	Die ganze Gleichung kann natürlich komplex konjugiert werden:		Die ganze Gleichung kann natürlich komplex konjugiert werden:
Zeile 102:		Zeile 61:

	Also:		Also:
	Mit		Mit <math>\Psi (\bar{r},t)</math> ist auch <math>\Psi *(\bar{r},-t)</math>
	<math>\Psi (\bar{r},t)</math>
	ist auch
	<math>\Psi *(\bar{r},-t)</math>
	Lösung der Schrödingergleichung		Lösung der Schrödingergleichung
			</pre>
	Zu Punkt 3: Mathematisch bedeutet dies: Alle Transformationen müssen unitär sein ! Physikalisch sind nur unitäre Transformationen, weil man sonst durch Zeitumkehr nicht wieder in den Ausgangszustand zurückkommt !		Zu Punkt 3: Mathematisch bedeutet dies: Alle Transformationen müssen unitär sein ! Physikalisch sind nur unitäre Transformationen, weil man sonst durch Zeitumkehr nicht wieder in den Ausgangszustand zurückkommt !
	'''''Wellenpakete'''''		'''''Wellenpakete'''''
Zeile 212:		Zeile 169:
	Also: nicht die Materie ist hier diffus verteilt, sondern nur ihre Aufenthaltswahrscheinlichkeit !!		Also: nicht die Materie ist hier diffus verteilt, sondern nur ihre Aufenthaltswahrscheinlichkeit !!
	Makroskopische Objekte zerfließen auf sehr langer Zeitskala! Auch hinsichtlich der Aufenthaltswahrscheinlichkeit!		Makroskopische Objekte zerfließen auf sehr langer Zeitskala! Auch hinsichtlich der Aufenthaltswahrscheinlichkeit!

	~~----~~

	~~[["category":"uncategorized"]]~~

Schubotz am 24. August 2010 um 07:29 Uhr

2010-08-24T07:29:15Z

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