Kovariante Schreibweise der Relativitätstheorie - Versionsgeschichte

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2010-09-12T22:42:38Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (11), ( → ( (8)

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	<u>'''Grundpostulat '''</u> der speziellen Relativitätstheorie:		<u>'''Grundpostulat '''</u> der speziellen Relativitätstheorie:

	kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet ( es existiert kein Ruhezustand)		kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet (es existiert kein Ruhezustand)

	Einstein, 1904		Einstein, 1904

	Eine Bewegung ist vom Ruhezustand nicht zu unterscheiden, so lange sie nicht zu einer anderen Bewegung in Relation gesetzt wird !		Eine Bewegung ist vom Ruhezustand nicht zu unterscheiden, so lange sie nicht zu einer anderen Bewegung in Relation gesetzt wird!

	Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich !!		Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich!!

	Also: <math>{{\bar{r}}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}}-{{c}^{2}}t{{\acute{\ }}^{2}}</math>		Also: <math>{{\bar{r}}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}}-{{c}^{2}}t{{\acute{\ }}^{2}}</math>

	Kugelwellen mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c sind Lorentz- invariant !		Kugelwellen mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c sind Lorentz- invariant!

	<u>'''Formalisierung'''</u>		<u>'''Formalisierung'''</u>
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	:<math>{{\left( ds \right)}^{2}}:={{\left( cdt \right)}^{2}}-{{\left( d\bar{r} \right)}^{2}}</math>		:<math>{{\left( ds \right)}^{2}}:={{\left( cdt \right)}^{2}}-{{\left( d\bar{r} \right)}^{2}}</math>

	ist in jedem Bezugssystem gleich, bleibt also invariant bei Transformationen zwischen Inertialsystemen ( Lorentz- Transformationen !)		ist in jedem Bezugssystem gleich, bleibt also invariant bei Transformationen zwischen Inertialsystemen (Lorentz- Transformationen!)

	Man kann <math>{{\left( ds \right)}^{2}}</math>		Man kann <math>{{\left( ds \right)}^{2}}</math>
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	Dann benutze man den Formalismus der LINEAREN ORTHOGONALEN Transformationen, unter denen das Skalarprodukt invariant ist:		Dann benutze man den Formalismus der LINEAREN ORTHOGONALEN Transformationen, unter denen das Skalarprodukt invariant ist:

	'''Def.: '''Als kontravariante Komponenten des 4-Zeit-Orts-Vektors ( Vierervektors) bezeichnet man:		'''Def.: '''Als kontravariante Komponenten des 4-Zeit-Orts-Vektors (Vierervektors) bezeichnet man:

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
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	:<math>{{\left( ds \right)}^{2}}={{\left( d{{x}^{0}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{1}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{3}} \right)}^{2}}</math>		:<math>{{\left( ds \right)}^{2}}={{\left( d{{x}^{0}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{1}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{3}} \right)}^{2}}</math>

	'''Def.: '''als kovariante Komponenten des 4-Zeit-Orts-Vektors ( Vierervektors) bezeichnet man:		'''Def.: '''als kovariante Komponenten des 4-Zeit-Orts-Vektors (Vierervektors) bezeichnet man:

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
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	Natürlich mit Summenkonvention über i=0,1,2,3,...		Natürlich mit Summenkonvention über i=0,1,2,3,...

	Wenn ein Index oben ( kontravariant) und ein Index unten ( kovariant) steht.		Wenn ein Index oben (kontravariant) und ein Index unten (kovariant) steht.

	====Verallgemeinerung====		====Verallgemeinerung====
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	kovariant		kovariant

	Die Eigenschaft der Kovarianz wird später aus dem Transformationsverhalten begründet !		Die Eigenschaft der Kovarianz wird später aus dem Transformationsverhalten begründet!

	:<math>\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}=\left( \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},-\frac{\partial }{\partial {{x}^{\alpha }}} \right)=:{{\partial }^{i}}</math>		:<math>\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}=\left( \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},-\frac{\partial }{\partial {{x}^{\alpha }}} \right)=:{{\partial }^{i}}</math>
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	kontravariant		kontravariant

	→ Die Eigenschaft der Kontravarianz wird später aus dem Transformationsverhalten begründet !		→ Die Eigenschaft der Kontravarianz wird später aus dem Transformationsverhalten begründet!

	<u>'''Also:'''</u>		<u>'''Also:'''</u>
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	:<math>d\tau =\frac{dt}{\gamma }</math>		:<math>d\tau =\frac{dt}{\gamma }</math>

	Die Eigenzeit ist als die Zeit im momentanen Ruhesystem zu verstehen !		Die Eigenzeit ist als die Zeit im momentanen Ruhesystem zu verstehen!

	:<math>{{u}^{i}}{{u}_{i}}=\frac{d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}}{d{{s}^{2}}}=1</math>		:<math>{{u}^{i}}{{u}_{i}}=\frac{d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}}{d{{s}^{2}}}=1</math>

	ist nicht vom Bezugssystem abhängig, also invariant !		ist nicht vom Bezugssystem abhängig, also invariant!

	=====Viererimpuls=====		=====Viererimpuls=====
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	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	also lorentzinvariant !		also lorentzinvariant!

	<u>'''Außerdem gilt:'''</u>		<u>'''Außerdem gilt:'''</u>
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	Somit jedoch folgt eine Bestimmungsgleichung an <math>\left( {{p}^{0}} \right)=\frac{E}{c}</math>		Somit jedoch folgt eine Bestimmungsgleichung an <math>\left( {{p}^{0}} \right)=\frac{E}{c}</math>
			,
	, also <math>E=\frac{{{m}_{0}}{{c}^{2}}}{\sqrt{\left( 1-{{\beta }^{2}} \right)}}</math>		also <math>E=\frac{{{m}_{0}}{{c}^{2}}}{\sqrt{\left( 1-{{\beta }^{2}} \right)}}</math>

	als Energie eines relativistischen Teilchens.		als Energie eines relativistischen Teilchens.
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	:<math>{{g}^{ik}}{{a}_{k}}={{\delta }^{ik}}{{a}_{k}}={{a}^{i}}\quad f\ddot{u}r\ i=0,1,2,3</math>		:<math>{{g}^{ik}}{{a}_{k}}={{\delta }^{ik}}{{a}_{k}}={{a}^{i}}\quad f\ddot{u}r\ i=0,1,2,3</math>

	Man spricht auch vom heben und Senken der Indices durch die Metrik !		Man spricht auch vom heben und Senken der Indices durch die Metrik!

	=====Lorentz- Trnsformationen ( linear, homogen) <math>\Sigma \to \Sigma \acute{\ }</math>=====		=====Lorentz- Trnsformationen (linear, homogen) <math>\Sigma \to \Sigma \acute{\ }</math>=====

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
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	transformiert sich wie <math>{{a}_{i}}</math>		transformiert sich wie <math>{{a}_{i}}</math>
			,
	, also kovariant		also kovariant

	Analog kann gezeigt werden:		Analog kann gezeigt werden:
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	transformiert sich wie <math>{{a}^{i}}</math>		transformiert sich wie <math>{{a}^{i}}</math>
			,
	, also kontravariant. ( PRÜFEN !)		also kontravariant. (PRÜFEN!)

>SchuBot: / Der d´Alemebert-Operator */Pfeile einfügen, replaced: -> → →

2010-09-12T20:05:20Z

Der d´Alemebert-Operator: Pfeile einfügen, replaced: -> → →

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	kontravariant		kontravariant

	-> Die Eigenschaft der Kontravarianz wird später aus dem Transformationsverhalten begründet !		→ Die Eigenschaft der Kontravarianz wird später aus dem Transformationsverhalten begründet !

	<u>'''Also:'''</u>		<u>'''Also:'''</u>

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:42:19Z

Einrückungen Mathematik

Änderungen zeigen

Schubotz am 9. September 2010 um 14:37 Uhr

2010-09-09T14:37:34Z

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	{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|7\|1}}		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|7\|1}}</noinclude>

	<u>'''Grundpostulat '''</u> der speziellen Relativitätstheorie:		<u>'''Grundpostulat '''</u> der speziellen Relativitätstheorie:

Schubotz am 24. August 2010 um 23:47 Uhr

2010-08-24T23:47:41Z

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	{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|6\|3}}		{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|7\|1}}

	<u>'''Grundpostulat '''</u> der speziellen Relativitätstheorie:		<u>'''Grundpostulat '''</u> der speziellen Relativitätstheorie:

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2010-08-24T23:39:14Z

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{{Scripthinweis|Quantenmechanik|6|3}}

'''Grundpostulat ''' der speziellen Relativitätstheorie:

kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet ( es existiert kein Ruhezustand)

Einstein, 1904

Eine Bewegung ist vom Ruhezustand nicht zu unterscheiden, so lange sie nicht zu einer anderen Bewegung in Relation gesetzt wird !

Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich !!

Also: <math>{{\bar{r}}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}}-{{c}^{2}}t{{\acute{\ }}^{2}}</math>

Kugelwellen mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c sind Lorentz- invariant !

'''Formalisierung'''

Der raumzeitliche Abstand

<math>{{\left( ds \right)}^{2}}:={{\left( cdt \right)}^{2}}-{{\left( d\bar{r} \right)}^{2}}</math>

ist in jedem Bezugssystem gleich, bleibt also invariant bei Transformationen zwischen Inertialsystemen ( Lorentz- Transformationen !)

Man kann <math>{{\left( ds \right)}^{2}}</math>

als Skalarprodukt von Vierervektoren mit 3 Orts- und einer Zeitkomponente schreiben.

Diese Vektoren leben im Minkowski- Raum V (Spannen diesen auf).

V ist natürlich nicht euklidisch. Sonst würde Pythagoras gelten!

Dann benutze man den Formalismus der LINEAREN ORTHOGONALEN Transformationen, unter denen das Skalarprodukt invariant ist:

'''Def.: '''Als kontravariante Komponenten des 4-Zeit-Orts-Vektors ( Vierervektors) bezeichnet man:

<math>\begin{align}

& {{x}^{0}}:=ct \\

& {{x}^{\alpha }},\alpha =1,2,3 \\

\end{align}</math>

Zeitkomponente und kartesische Komponenten des Ortsvektors <math>\bar{r}</math>

es schreibt sich

<math>{{\left( ds \right)}^{2}}={{\left( d{{x}^{0}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{1}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{3}} \right)}^{2}}</math>

'''Def.: '''als kovariante Komponenten des 4-Zeit-Orts-Vektors ( Vierervektors) bezeichnet man:

<math>\begin{align}

& {{x}_{0}}:={{x}^{0}} \\

& {{x}_{\alpha }}:=-{{x}^{\alpha }}\alpha =1,2,3 \\

\end{align}</math>

Der kovariante Vektor ist Element des dualen Vektorraums <math>\tilde{V}</math>

<math>\tilde{V}</math>

ist der Raum der linearen Funktionale l, die V auf R abbilden:

<math>\tilde{V}=\left\{ lineareFunktionale\quad l:V->R \right\}</math>

es schreibt sich

<math>{{\left( ds \right)}^{2}}=d{{x}^{0}}d{{x}_{0}}+d{{x}^{1}}d{{x}_{1}}+d{{x}^{2}}d{{x}_{2}}+d{{x}^{3}}d{{x}_{3}}=d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}</math>

Natürlich mit Summenkonvention über i=0,1,2,3,...

Wenn ein Index oben ( kontravariant) und ein Index unten ( kovariant) steht.

====Verallgemeinerung====
Für beliebige 4- Vektoren <math>{{a}^{i}}</math>

gilt:

<math>\begin{align}

& {{a}_{0}}={{a}^{0}} \\

& {{a}_{\alpha }}=-{{a}^{\alpha }}\quad \alpha =1,2,3 \\

\end{align}</math>

Lorentz- Invariante lassen sich als Skalarprodukt <math>{{a}_{i}}{{a}^{i}}</math>

schreiben:

=====Der d´Alemebert-Operator=====
<math>\#:=\Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}=-\frac{\partial }{\partial {{x}^{i}}}\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}</math>

Mit

<math>\frac{\partial }{\partial {{x}^{i}}}=\left( \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},\frac{\partial }{\partial {{x}^{\alpha }}} \right)=:{{\partial }_{i}}</math>

kovariant

Die Eigenschaft der Kovarianz wird später aus dem Transformationsverhalten begründet !

<math>\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}=\left( \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},-\frac{\partial }{\partial {{x}^{\alpha }}} \right)=:{{\partial }^{i}}</math>

kontravariant

-> Die Eigenschaft der Kontravarianz wird später aus dem Transformationsverhalten begründet !

'''Also:'''

<math>\Rightarrow \ \#=-{{\partial }_{i}}{{\partial }^{i}}</math>

'''Vierergeschwindigkeit'''

<math>\begin{align}

& {{u}^{i}}:=\frac{d{{x}^{i}}}{ds} \\

& ds={{\left( d{{x}^{i}}d{{x}_{i}} \right)}^{\frac{1}{2}}}={{\left( {{c}^{2}}d{{t}^{2}}-{{\left( d\bar{r} \right)}^{2}} \right)}^{\frac{1}{2}}}=c{{\left[ 1-{{\left( \frac{1}{c}\frac{d\bar{r}}{dt} \right)}^{2}} \right]}^{\frac{1}{2}}}dt \\

& ds:={{\left( 1-{{\beta }^{2}} \right)}^{\frac{1}{2}}}dt=\frac{c}{\gamma }dt \\

\end{align}</math>

Dabei gilt:

<math>\begin{align}

& \beta :=\frac{v}{c}=\frac{1}{c}\left| \frac{d\bar{r}}{dt} \right| \\

& \gamma :=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} \\

\end{align}</math>

Also:

<math>\begin{align}

& {{u}^{0}}=\gamma \\

& {{u}^{\alpha }}=\frac{\gamma }{c}{{v}^{\alpha }}=\frac{1}{c}\frac{d{{x}^{\alpha }}}{d\tau } \\

\end{align}</math>

Mit der Eigenzeit

<math>d\tau =\frac{dt}{\gamma }</math>

Die Eigenzeit ist als die Zeit im momentanen Ruhesystem zu verstehen !

<math>{{u}^{i}}{{u}_{i}}=\frac{d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}}{d{{s}^{2}}}=1</math>

ist nicht vom Bezugssystem abhängig, also invariant !

=====Viererimpuls=====
<math>\begin{align}

& {{p}^{i}}:={{m}_{0}}c{{u}^{i}} \\

& \Rightarrow {{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}{{u}^{i}}{{u}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}} \\

& {{p}^{0}}=\frac{{{m}_{0}}c}{\sqrt{1-{{\left( \frac{v}{c} \right)}^{2}}}}=m(v)c={{p}_{0}} \\

& {{p}^{\alpha }}=\frac{{{m}_{0}}{{v}^{\alpha }}}{\sqrt{1-{{\left( \frac{v}{c} \right)}^{2}}}}=m(v){{v}^{\alpha }}=-{{p}_{\alpha }} \\

\end{align}</math>

Physikalische Bedeutung von <math>{{p}^{0}}</math>

:

Mit der 4-er Kraft: <math>{{k}^{i}}:=\frac{d}{d\tau }{{p}^{i}}</math>

folgt die Leistungsbilanz:

<math>{{k}^{i}}{{u}_{i}}=\left[ \frac{d}{d\tau }\left( {{m}_{0}}c{{u}^{i}} \right) \right]{{u}_{i}}</math>

Mit Hilfe des Energiesatz kann dies umgewandelt werden zu

<math>\begin{align}

& {{k}^{i}}{{u}_{i}}=\frac{{{m}_{0}}c}{2}\frac{d}{d\tau }\left( {{u}^{i}}{{u}_{i}} \right)=0 \\

& {{u}^{i}}{{u}_{i}}=1 \\

\end{align}</math>

also lorentzinvariant !

'''Außerdem gilt:'''

<math>\begin{align}

& {{k}^{i}}{{u}_{i}}=\frac{d}{d\tau }\left( {{p}^{0}} \right){{u}_{0}}+{{k}^{\alpha }}{{u}_{\alpha }}=\gamma \frac{d}{d\tau }\left( {{p}^{0}} \right)+\frac{\gamma }{c}{{k}^{\alpha }}{{v}_{\alpha }}=\frac{\gamma }{c}\left[ \frac{d}{d\tau }\left( c{{p}^{0}} \right)-\bar{k}\bar{v} \right]=0 \\

& \left( c{{p}^{0}} \right)=Energie \\

& \bar{k}\bar{v}=Leistung \\

\end{align}</math>

Somit jedoch folgt eine Bestimmungsgleichung an <math>\left( {{p}^{0}} \right)=\frac{E}{c}</math>

, also <math>E=\frac{{{m}_{0}}{{c}^{2}}}{\sqrt{\left( 1-{{\beta }^{2}} \right)}}</math>

als Energie eines relativistischen Teilchens.

Das Skalarprodukt des Viererimpulses liefert lorentzinvariant <math>\begin{align}

& {{p}^{i}}{{p}_{i}}=\frac{{{E}^{2}}}{{{c}^{2}}}-{{{\bar{p}}}^{2}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}} \\

& \bar{p}=\frac{{{m}_{0}}\bar{v}}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} \\

\end{align}</math>

Also folgt an die Energie:

<math>{{E}^{2}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{\bar{p}}^{2}}</math>

Dies ist die relativistsiche Energie- Impuls- Beziehung

====Mathematischer Formalismus zur Tensorrechnung:====
Für Tensoren zweiter Stufe gilt:

Möglich ist: <math>\begin{align}

& {{A}^{ik}} \\

& {{A}^{i}}_{k} \\

& {{A}_{i}}^{k} \\

& {{A}_{ik}} \\

\end{align}</math>

Es gilt:

<math>\begin{align}

& {{A}^{00}}={{A}^{0}}_{0}={{A}_{0}}^{0}={{A}_{00}} \\

& {{A}^{10}}={{A}^{1}}_{0}=-{{A}_{1}}^{0}=-{{A}_{10}} \\

& {{A}^{11}}=-{{A}^{1}}_{1}=-{{A}_{1}}^{1}={{A}_{11}} \\

& usw... \\

\end{align}</math>

Die Spur eines Tensors ist dagegen wieder allgemein:

<math>spA={{A}^{i}}_{i}={{A}_{i}}^{i}</math>

=====- er Einheitstensor=====
<math>{{\delta }^{k}}_{i}={{\delta }_{i}}^{k}</math>

wie beim Kronecker- Symbol 1 für i=k und sonst Null, also symmetrisch

<math>\begin{align}

& {{\delta }_{i}}^{k}{{a}^{k}}={{a}^{i}} \\

& {{\delta }_{i}}^{k}{{a}^{kl}}={{a}^{il}} \\

\end{align}</math>

usw..

'''Der metrische Tensor'''

<math>\begin{align}

& {{g}^{ik}}:={{\delta }^{ik}}={{\delta }^{i}}_{k}\quad f\ddot{u}r\ k=0 \\

& {{g}^{ik}}:={{\delta }^{ik}}=-{{\delta }^{i}}_{k}\quad f\ddot{u}r\ k=1,2,3 \\

& {{g}^{ik}}:={{\delta }^{ik}}=\left( \begin{matrix}

1 & {} & {} & {} \\

{} & -1 & {} & {} \\

{} & {} & -1 & {} \\

{} & {} & {} & -1 \\

\end{matrix} \right)={{g}_{ik}} \\

& {{g}^{ik}}{{a}_{k}}={{\delta }^{ik}}{{a}_{k}}={{a}_{i}}\quad f\ddot{u}r\ i=0\Rightarrow {{a}_{i}}={{a}^{i}} \\

& {{g}^{ik}}{{a}_{k}}={{\delta }^{ik}}{{a}_{k}}=-{{a}_{i}}\quad f\ddot{u}r\ i=1,2,3\Rightarrow -{{a}_{i}}={{a}^{i}} \\

\end{align}</math>

Also:

<math>{{g}^{ik}}{{a}_{k}}={{\delta }^{ik}}{{a}_{k}}={{a}^{i}}\quad f\ddot{u}r\ i=0,1,2,3</math>

Man spricht auch vom heben und Senken der Indices durch die Metrik !

=====Lorentz- Trnsformationen ( linear, homogen) <math>\Sigma \to \Sigma \acute{\ }</math>=====

<math>\begin{align}

& x{{\acute{\ }}^{i}}={{U}^{i}}_{k}{{x}^{k}} \\

& {{U}^{i}}_{k}=\left( \begin{matrix}

\gamma & -\beta \gamma & 0 & 0 \\

-\beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 \\

\end{matrix} \right) \\

\end{align}</math>

für <math>v||{{x}^{1}}</math>

Somit:

<math>{{U}^{k}}_{i}=\left( \begin{matrix}

\gamma & \beta \gamma & 0 & 0 \\

\beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 \\

\end{matrix} \right)</math>

Wobei <math>{{\gamma }^{2}}=\frac{1}{1-{{\beta }^{2}}}</math>

Damit läßt sich die Invarianz des Skalaprodukts leicht zeigen:

<math>\begin{align}

& a{{\acute{\ }}^{i}}={{U}^{i}}_{k}{{a}^{k}} \\

& b{{\acute{\ }}^{i}}={{U}^{i}}_{k}{{b}^{k}}\Rightarrow b{{\acute{\ }}_{i}}={{U}_{ik}}{{b}^{k}}={{U}_{i}}^{k}{{b}_{k}} \\

& a{{\acute{\ }}^{i}}b{{\acute{\ }}_{i}}={{U}^{i}}_{k}{{U}_{i}}^{l}{{a}^{k}}{{b}_{l}}=!={{a}^{k}}{{b}_{k}} \\

& also\Rightarrow : \\

& {{U}^{i}}_{k}{{U}_{i}}^{l}={{\delta }_{k}}^{l} \\

\end{align}</math>

U ist also eine orthogonale Trafo

'''Umkehr- Transformation:'''

<math>\begin{align}

& {{a}^{i}}={{U}_{k}}^{i}a{{\acute{\ }}^{k}} \\

& {{a}_{i}}={{U}^{k}}_{i}a{{\acute{\ }}_{k}} \\

\end{align}</math>

Denn:

<math>{{U}_{k}}^{i}{{U}^{k}}_{l}{{a}^{l}}={{\delta }^{i}}_{l}{{a}^{l}}={{a}^{i}}</math>

In Matrizenschreibweise:

<math>\begin{align}

& {{U}^{i}}_{k}=\left( \begin{matrix}

\gamma & -\beta \gamma & 0 & 0 \\

-\beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 \\

\end{matrix} \right)\quad \quad {{U}^{k}}_{l}=\left( \begin{matrix}

\gamma & \beta \gamma & 0 & 0 \\

\beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 \\

\end{matrix} \right) \\

& {{U}^{i}}_{k}{{U}^{k}}_{l}=\left( \begin{matrix}

{{\gamma }^{2}}-{{\beta }^{2}}{{\gamma }^{2}} & 0 & 0 & 0 \\

0 & -{{\beta }^{2}}{{\gamma }^{2}}+{{\gamma }^{2}} & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 \\

\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}

1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 \\

\end{matrix} \right)={{\delta }^{i}}_{l} \\

\end{align}</math>

=====Transformationsverhalten des Vierergradienten=====
<math>\frac{\partial }{\partial {{x}^{i}}}:={{\partial }_{i}}=\frac{\partial }{\partial x{{\acute{\ }}^{k}}}\frac{\partial x{{\acute{\ }}^{k}}}{\partial {{x}^{i}}}={{U}^{k}}_{i}\frac{\partial }{\partial x{{\acute{\ }}^{k}}}={{U}^{k}}_{i}\partial {{\acute{\ }}_{k}}</math>

Mit der Identität

<math>\frac{\partial x{{\acute{\ }}^{k}}}{\partial {{x}^{i}}}={{U}^{k}}_{i}</math>

Das heißt jedoch

<math>\frac{\partial }{\partial {{x}^{i}}}</math>

transformiert sich wie <math>{{a}_{i}}</math>

, also kovariant

Analog kann gezeigt werden:

<math>\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}:={{\partial }^{i}}=\frac{\partial }{\partial x{{\acute{\ }}_{k}}}\frac{\partial x{{\acute{\ }}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}={{U}_{k}}^{i}\frac{\partial }{\partial x{{\acute{\ }}_{k}}}</math>

<math>\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}</math>

transformiert sich wie <math>{{a}^{i}}</math>

, also kontravariant. ( PRÜFEN !)