Klein- Gordon- Gleichung - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (19), ( → ( (5)

2010-09-12T22:42:09Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (19), ( → ( (5)

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:42 Uhr
Zeile 54:		Zeile 54:

	Dies ist jedoch nicht akzeptabel, da <math>\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}\Delta }</math>		Dies ist jedoch nicht akzeptabel, da <math>\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}\Delta }</math>
	eine '''nicht analytische Funktion''' eines Operators ist !		eine '''nicht analytische Funktion''' eines Operators ist!
	Ausweg:		Ausweg:
	:<math>{{E}^{2}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{\bar{p}}^{2}}</math>		:<math>{{E}^{2}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{\bar{p}}^{2}}</math>
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	Ist Lorentz- Invariant, falls <math>\Psi </math> ein Lorentz- Skalar ist.		Ist Lorentz- Invariant, falls <math>\Psi </math> ein Lorentz- Skalar ist.
	Dies liegt einfach daran, dass <math>\Box={{\partial }_{i}}{{\partial }^{i}}</math>		Dies liegt einfach daran, dass <math>\Box={{\partial }_{i}}{{\partial }^{i}}</math>
	Lorentz- invariant ist ( Skalarprodukt eines Vierervektors)		Lorentz- invariant ist (Skalarprodukt eines Vierervektors)
	Einwände gegen die Klein- Gordon- Gleichung:		Einwände gegen die Klein- Gordon- Gleichung:
	der Spin ( der in dieser Gleichung noch nicht enthalten ist !) kann nicht berücksichtigt werden ! Denn: Der Zusatz <math>\hat{H}\to \hat{H}-\hat{\bar{\mu }}\bar{B}</math>		der Spin (der in dieser Gleichung noch nicht enthalten ist!) kann nicht berücksichtigt werden! Denn: Der Zusatz <math>\hat{H}\to \hat{H}-\hat{\bar{\mu }}\bar{B}</math>
	ist nicht mehr Lorentz- invariant !		ist nicht mehr Lorentz- invariant!
	Klar ! <math>\hat{\bar{\mu }}\bar{B}</math>		Klar! <math>\hat{\bar{\mu }}\bar{B}</math>
	läßt sich nicht als Skalarprodukt eines Vierervektors darstellen !		läßt sich nicht als Skalarprodukt eines Vierervektors darstellen!
	Durch die schwierige Interpretation von <math>\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}\Delta }</math>		Durch die schwierige Interpretation von <math>\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}\Delta }</math>
	ist die Klein- Gordon- Gleichung dann letztendlich eine DGL zweiter Ordnung. Das bedeutet jedoch, Es sind die Anfangsbedingungen <math>\begin{align}		ist die Klein- Gordon- Gleichung dann letztendlich eine DGL zweiter Ordnung. Das bedeutet jedoch, Es sind die Anfangsbedingungen <math>\begin{align}
Zeile 80:		Zeile 80:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	nötig! an muss also schon zu Beginn etwas über die Dynamik der Wellenfunktion kennen !		nötig! an muss also schon zu Beginn etwas über die Dynamik der Wellenfunktion kennen!
	Am schwersten wiegt jedoch, dass die Klein- Gordon- Gleichung eine Stromdichte als räumliche Wahrscheinlichkeitsdichte produziert, die nicht mehr als sinnvolle Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden kann, da das Ergebnis nicht mehr strikt positiv ist !:		Am schwersten wiegt jedoch, dass die Klein- Gordon- Gleichung eine Stromdichte als räumliche Wahrscheinlichkeitsdichte produziert, die nicht mehr als sinnvolle Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden kann, da das Ergebnis nicht mehr strikt positiv ist!:
	Die Lorentz- Invariante Form der Kontinuitätsgleichung ( Wahrscheinlicheitsdichteerhaltung) lautet:		Die Lorentz- Invariante Form der Kontinuitätsgleichung (Wahrscheinlicheitsdichteerhaltung) lautet:
	:<math>{{\partial }_{i}}{{J}^{i}}=0</math>		:<math>{{\partial }_{i}}{{J}^{i}}=0</math>

Zeile 99:		Zeile 99:
	Dadurch ist jedoch <math>\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}{{J}^{0}}+{{\partial }_{\alpha }}{{J}^{\alpha }}=0</math>		Dadurch ist jedoch <math>\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}{{J}^{0}}+{{\partial }_{\alpha }}{{J}^{\alpha }}=0</math>
	eine Kontinuitätsgleichung. Also hat <math>{{J}^{0}}</math>		eine Kontinuitätsgleichung. Also hat <math>{{J}^{0}}</math>
	die Bedeutung einer räumlichen Wahrscheinlichkeitsdichte !!		die Bedeutung einer räumlichen Wahrscheinlichkeitsdichte!!
	Aus der Klein- Gordon- Gleichung dagegen:		Aus der Klein- Gordon- Gleichung dagegen:
	:<math>{{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi =-{{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi </math>		:<math>{{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi =-{{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi </math>
Zeile 125:		Zeile 125:

	Aber <math>\frac{1}{c}\left( \Psi \dot{\Psi }-\Psi \dot{\Psi } \right)</math>		Aber <math>\frac{1}{c}\left( \Psi \dot{\Psi }-\Psi \dot{\Psi } \right)</math>
	kann nicht als eine räumliche Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden , da <math>{{J}^{0}}</math>		kann nicht als eine räumliche Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden, da <math>{{J}^{0}}</math>
	negativ werden kann !		negativ werden kann!
	Statt dessen kann man , bzw. muss man <math>{{J}^{0}}</math>		Statt dessen kann man, bzw. muss man <math>{{J}^{0}}</math>
	als eine Ladungsdichte ansehen !		als eine Ladungsdichte ansehen!

	== Lösung der Klein- Gordon- Gleichung für freie Teilchen ! ==		== Lösung der Klein- Gordon- Gleichung für freie Teilchen! ==

	Ansatz: ebene Welle:		Ansatz: ebene Welle:
Zeile 154:		Zeile 154:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Also kann man die Energie ( Eigenwert) angeben zu		Also kann man die Energie (Eigenwert) angeben zu

	:<math>E=\hbar \omega =\pm c\sqrt{\left[{{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}+{{\left( \hbar \bar{k} \right)}^{2}} \right]}</math>		:<math>E=\hbar \omega =\pm c\sqrt{\left[{{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}+{{\left( \hbar \bar{k} \right)}^{2}} \right]}</math>
Zeile 167:		Zeile 167:
	'''E>0''' entspricht einem Teilchen der Ruheenergie <math>{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>		'''E>0''' entspricht einem Teilchen der Ruheenergie <math>{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>

	'''E<0''' dagegen einem Teilchen mit der Ruheenergie <math>-{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>. Dies entspricht jedoch einer negativen Masse !		'''E<0''' dagegen einem Teilchen mit der Ruheenergie <math>-{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>. Dies entspricht jedoch einer negativen Masse!
	Dies wurde von Dirac derart interpretiert, dass alle Zustände mit E<0 im Grundzustand besetzt sind.		Dies wurde von Dirac derart interpretiert, dass alle Zustände mit E<0 im Grundzustand besetzt sind.
	Der Raum, dessen Zustände mit negativer Energie alle besetzt sind, erscheint uns als Vakuum !		Der Raum, dessen Zustände mit negativer Energie alle besetzt sind, erscheint uns als Vakuum!
	Die Einstrahlung einer Energie <math>E>2{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>		Die Einstrahlung einer Energie <math>E>2{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>
	ermöglicht dann die Teilchen - Antiteilchen- Erzeugung!		ermöglicht dann die Teilchen - Antiteilchen- Erzeugung!
Zeile 175:		Zeile 175:
	Aus dem Vakuum!		Aus dem Vakuum!

	Durch diese Einstrahlung erzeugt man einen Lochzustand im unteren Bereich ! Es erscheint ein Teilchen aus dem Nichts. Denn: es wurde aus dem Zustand negativer Energie angehoben, hat dann positive Energie und erscheint uns in diesem Moment als positives, reelles Teilchen. Außerdem ist für uns nicht der vollbesetzte untere Zustand zu erkennen, sondern nur das Loch. Dieses Loch im Vakuum ist nun ein freier Zustand mit negativer Energie, der uns als Antiteilchen erscheint. Ein Loch im Vakuum. Also: Löcher in den Zuständen negativer Energie äußern sich als Antimaterie!		Durch diese Einstrahlung erzeugt man einen Lochzustand im unteren Bereich! Es erscheint ein Teilchen aus dem Nichts. Denn: es wurde aus dem Zustand negativer Energie angehoben, hat dann positive Energie und erscheint uns in diesem Moment als positives, reelles Teilchen. Außerdem ist für uns nicht der vollbesetzte untere Zustand zu erkennen, sondern nur das Loch. Dieses Loch im Vakuum ist nun ein freier Zustand mit negativer Energie, der uns als Antiteilchen erscheint. Ein Loch im Vakuum. Also: Löcher in den Zuständen negativer Energie äußern sich als Antimaterie!

	Antimaterie ist also das fehlen von Teilchen im vollbesetzten Grundzustand des Vakuums !		Antimaterie ist also das fehlen von Teilchen im vollbesetzten Grundzustand des Vakuums!
	Das Loch entspricht dem Fehlen eines Teilchens mit <math>m<0</math>		Das Loch entspricht dem Fehlen eines Teilchens mit <math>m<0</math>
	und der Ladung q.		und der Ladung q.
Zeile 186:		Zeile 186:
	reicht die Energie nicht aus, also <math>E<2{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>, so kommt es gemäß der Energie- Zeit- Unschärfe zu spontanen Anregungen virtueller Teilchen, die im Rahmen einer Zeit, die die Unschärfe erfüllt, wieder zerfallen.		reicht die Energie nicht aus, also <math>E<2{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>, so kommt es gemäß der Energie- Zeit- Unschärfe zu spontanen Anregungen virtueller Teilchen, die im Rahmen einer Zeit, die die Unschärfe erfüllt, wieder zerfallen.

	Dies kann in diesem Fall betrachtet werden als eine "Boltzmannverteilung" der Zustände negativer Energie. Durch die Fluktuationen bei niedriger Temperatur, die aber zweifelsohne vorhanden sind, kommt es zum Boltzmann- Springen der Teilchen zwischen negativen, vollbesetzten Zuständen und kurzzeitig besetzten positiven Energiezuständen. Die positiven Energiezustände zerfallen jedoch gemäß der Rekombinationsgeschwindigkeit ( Rate der spontanen/ induzierten Emission!) und man bekommt als Wahrscheinlichkeit der Vakuumpolarisation die Boltzmannverteilung !		Dies kann in diesem Fall betrachtet werden als eine "Boltzmannverteilung" der Zustände negativer Energie. Durch die Fluktuationen bei niedriger Temperatur, die aber zweifelsohne vorhanden sind, kommt es zum Boltzmann- Springen der Teilchen zwischen negativen, vollbesetzten Zuständen und kurzzeitig besetzten positiven Energiezuständen. Die positiven Energiezustände zerfallen jedoch gemäß der Rekombinationsgeschwindigkeit (Rate der spontanen/ induzierten Emission!) und man bekommt als Wahrscheinlichkeit der Vakuumpolarisation die Boltzmannverteilung!

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:42:05Z

Einrückungen Mathematik

Änderungen zeigen

*>SchuBot am 11. September 2010 um 15:28 Uhr

2010-09-11T15:28:24Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 17:28 Uhr
Zeile 28:		Zeile 28:
	Mit '''Orthonormierung''':		Mit '''Orthonormierung''':

	<math>\left\langle {{a}_{1}}\acute{\ },{{a}_{2}}\acute{\ },... ~~\right\|\left~~\| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle ={{\delta }_{a1a1\acute{\ }}}{{\delta }_{a2a2\acute{\ }}}</math>		<math>\left\langle {{a}_{1}}\acute{\ },{{a}_{2}}\acute{\ },... \| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle ={{\delta }_{a1a1\acute{\ }}}{{\delta }_{a2a2\acute{\ }}}</math>

	Mit '''Vollständigkeit''':		Mit '''Vollständigkeit''':
Zeile 40:		Zeile 40:
	Die Wahrscheinlichkeit, im Zustand <math>\left\| \Psi (t) \right\rangle </math> die Messwerte a1,a2,... zu messen ergibt sich durch das Betragsquadrat der Entwicklungskoeffizienten des jeweils zugehörigen Basiszustands:		Die Wahrscheinlichkeit, im Zustand <math>\left\| \Psi (t) \right\rangle </math> die Messwerte a1,a2,... zu messen ergibt sich durch das Betragsquadrat der Entwicklungskoeffizienten des jeweils zugehörigen Basiszustands:

	<math>{{\left\| c\left( {{a}_{1}}{{a}_{2}},...,t \right) \right\|}^{2}}={{\left\| \left\langle {{a}_{1}}{{a}_{2}},.. ~~\right\|\left~~\| \Psi (t) \right\rangle \right\|}^{2}}</math>		<math>{{\left\| c\left( {{a}_{1}}{{a}_{2}},...,t \right) \right\|}^{2}}={{\left\| \left\langle {{a}_{1}}{{a}_{2}},.. \| \Psi (t) \right\rangle \right\|}^{2}}</math>

	==Die Relativistische Energie- Impuls- Beziehung:==		==Die Relativistische Energie- Impuls- Beziehung:==

Schubotz am 9. September 2010 um 14:37 Uhr

2010-09-09T14:37:52Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. September 2010, 16:37 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|7\|2}}		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|7\|2}}</noinclude>

	==nichrelativistische Schrödingergleichung==		==nichrelativistische Schrödingergleichung==

Schubotz: /* Die Relativistische Energie- Impuls- Beziehung: */

2010-08-27T12:54:04Z

Die Relativistische Energie- Impuls- Beziehung:

← Nächstältere Version		Version vom 27. August 2010, 14:54 Uhr
Zeile 54:		Zeile 54:

	Dies ist jedoch nicht akzeptabel, da <math>\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}\Delta }</math>		Dies ist jedoch nicht akzeptabel, da <math>\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}\Delta }</math>
	eine nicht analytische Funktion eines Operators ist !		eine '''nicht analytische Funktion''' eines Operators ist !
	Ausweg:		Ausweg:
	<math>{{E}^{2}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{\bar{p}}^{2}}</math>		<math>{{E}^{2}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{\bar{p}}^{2}}</math>
Zeile 62:		Zeile 62:

	Also:		Also:
	<math>\left( \Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}} \right)\Psi (t)=\#\Psi (t)={{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi </math>		<math>\left( \Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}} \right)\Psi (t)=\Box\Psi (t)={{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi </math>

	== Klein- Gordon- Gleichung ==		== Klein- Gordon- Gleichung ==

Schubotz: /* Klein- Gordon- Gleichung */

2010-08-27T12:51:39Z

Klein- Gordon- Gleichung

← Nächstältere Version		Version vom 27. August 2010, 14:51 Uhr
Zeile 64:		Zeile 64:
	<math>\left( \Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}} \right)\Psi (t)=\#\Psi (t)={{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi </math>		<math>\left( \Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}} \right)\Psi (t)=\#\Psi (t)={{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi </math>

	==Klein- Gordon- Gleichung==		== Klein- Gordon- Gleichung ==
	Ist Lorentz- Invariant, falls <math>\Psi </math>
	ein Lorentz- Skalar ist.		Ist Lorentz- Invariant, falls <math>\Psi </math> ein Lorentz- Skalar ist.
	Dies liegt einfach daran, dass <math>\#={{\partial }_{i}}{{\partial }^{i}}</math>		Dies liegt einfach daran, dass <math>\Box={{\partial }_{i}}{{\partial }^{i}}</math>
	Lorentz- invariant ist ( Skalarprodukt eines Vierervektors)		Lorentz- invariant ist ( Skalarprodukt eines Vierervektors)
	Einwände gegen die Klein- Gordon- Gleichung:		Einwände gegen die Klein- Gordon- Gleichung:
Zeile 129:		Zeile 129:
	Statt dessen kann man , bzw. muss man <math>{{J}^{0}}</math>		Statt dessen kann man , bzw. muss man <math>{{J}^{0}}</math>
	als eine Ladungsdichte ansehen !		als eine Ladungsdichte ansehen !
	====Lösung der Klein- Gordon- Gleichung für freie Teilchen !====
			== Lösung der Klein- Gordon- Gleichung für freie Teilchen ! ==

	Ansatz: ebene Welle:		Ansatz: ebene Welle:
	<math>\Psi ={{\Psi }_{0}}\exp i\left\{ \bar{k}\bar{r}-\omega t \right\}</math>		<math>\Psi ={{\Psi }_{0}}\exp i\left\{ \bar{k}\bar{r}-\omega t \right\}</math>
Zeile 149:		Zeile 151:
	& -{{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi ={{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi =i{{k}^{j}}{{\partial }^{i}}{{\Psi }_{0}}\exp \left\{ -i{{k}_{j}}{{x}^{j}} \right\}={{k}^{j}}{{k}_{j}}\Psi ={{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi \\		& -{{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi ={{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi =i{{k}^{j}}{{\partial }^{i}}{{\Psi }_{0}}\exp \left\{ -i{{k}_{j}}{{x}^{j}} \right\}={{k}^{j}}{{k}_{j}}\Psi ={{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi \\
	& \Rightarrow {{k}^{j}}{{k}_{j}}\equiv {{\left( \frac{\omega }{c} \right)}^{2}}-{{{\bar{k}}}^{2}}={{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}} \\		& \Rightarrow {{k}^{j}}{{k}_{j}}\equiv {{\left( \frac{\omega }{c} \right)}^{2}}-{{{\bar{k}}}^{2}}={{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}} \\
	& \Rightarrow {{\omega }^{2}}={{c}^{2}}\left[ {{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}+{{{\bar{k}}}^{2}} \right] \\		& \Rightarrow {{\omega }^{2}}={{c}^{2}}\left[{{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}+{{{\bar{k}}}^{2}} \right] \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Also kann man die Energie ( Eigenwert) angeben zu		Also kann man die Energie ( Eigenwert) angeben zu

	<math>E=\hbar \omega =\pm c\sqrt{\left[ {{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}+{{\left( \hbar \bar{k} \right)}^{2}} \right]}</math>		<math>E=\hbar \omega =\pm c\sqrt{\left[{{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}+{{\left( \hbar \bar{k} \right)}^{2}} \right]}</math>

	Der nichtrelativistische Grenzfall kann leicht durch Entwicklung der Wurzel für kleine Impulse angegeben werden:		Der nichtrelativistische Grenzfall kann leicht durch Entwicklung der Wurzel für kleine Impulse angegeben werden:
	<math>E=\pm {{m}_{0}}{{c}^{2}}\sqrt{\left[ 1+{{\left( \frac{\hbar \bar{k}}{{{m}_{0}}c} \right)}^{2}} \right]}\approx \pm {{m}_{0}}{{c}^{2}}\left[ 1+\frac{1}{2}{{\left( \frac{\hbar \bar{k}}{{{m}_{0}}c} \right)}^{2}} \right]=\pm \left[ {{m}_{0}}{{c}^{2}}+{{\frac{\left( \hbar \bar{k} \right)}{2{{m}_{0}}}}^{2}} \right]</math>		<math>E=\pm {{m}_{0}}{{c}^{2}}\sqrt{\left[1+{{\left( \frac{\hbar \bar{k}}{{{m}_{0}}c} \right)}^{2}} \right]}\approx \pm {{m}_{0}}{{c}^{2}}\left[1+\frac{1}{2}{{\left( \frac{\hbar \bar{k}}{{{m}_{0}}c} \right)}^{2}} \right]=\pm \left[{{m}_{0}}{{c}^{2}}+{{\frac{\left( \hbar \bar{k} \right)}{2{{m}_{0}}}}^{2}} \right]</math>

	Gute Näherung für <math>\hbar k<<{{m}_{0}}c</math>		Gute Näherung für <math>\hbar k<<{{m}_{0}}c</math>

	Grafisch:		Grafisch:
	~~E>0 entspricht einem Teilchen der Ruheenergie <math>{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>~~

	E<0 dagegen einem Teilchen mit der Ruheenergie <math>-{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>		'''E>0''' entspricht einem Teilchen der Ruheenergie <math>{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>
	. Dies entspricht jedoch einer negativen Masse !
			'''E<0''' dagegen einem Teilchen mit der Ruheenergie <math>-{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>. Dies entspricht jedoch einer negativen Masse !
	Dies wurde von Dirac derart interpretiert, dass alle Zustände mit E<0 im Grundzustand besetzt sind.		Dies wurde von Dirac derart interpretiert, dass alle Zustände mit E<0 im Grundzustand besetzt sind.
	Der Raum, dessen Zustände mit negativer Energie alle besetzt sind, erscheint uns als Vakuum !		Der Raum, dessen Zustände mit negativer Energie alle besetzt sind, erscheint uns als Vakuum !
	Die Einstrahlung einer Energie <math>E>2{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>		Die Einstrahlung einer Energie <math>E>2{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>
	ermöglicht dann die Teilchen - Antiteilchen- Erzeugung !		ermöglicht dann die Teilchen - Antiteilchen- Erzeugung!
	Aus dem Vakuum !
	Durch diese Einstrahlung erzeugt man einen Lochzustand im unteren Bereich ! Es erscheint ein Teilchen aus dem Nichts. Denn: es wurde aus dem Zustand negativer Energie angehoben, hat dann positive Energie und erscheint uns in diesem Moment als positives, reelles Teilchen. Außerdem ist für uns nicht der vollbesetzte untere Zustand zu erkennen, sondern nur das Loch. Dieses Loch im Vakuum ist nun ein freier Zustand mit negativer Energie, der uns als Antiteilchen erscheint. Ein Loch im Vakuum. Also: Löcher in den Zuständen negativer Energie äußern sich als Antimaterie !		Aus dem Vakuum!

			Durch diese Einstrahlung erzeugt man einen Lochzustand im unteren Bereich ! Es erscheint ein Teilchen aus dem Nichts. Denn: es wurde aus dem Zustand negativer Energie angehoben, hat dann positive Energie und erscheint uns in diesem Moment als positives, reelles Teilchen. Außerdem ist für uns nicht der vollbesetzte untere Zustand zu erkennen, sondern nur das Loch. Dieses Loch im Vakuum ist nun ein freier Zustand mit negativer Energie, der uns als Antiteilchen erscheint. Ein Loch im Vakuum. Also: Löcher in den Zuständen negativer Energie äußern sich als Antimaterie!

	Antimaterie ist also das fehlen von Teilchen im vollbesetzten Grundzustand des Vakuums !		Antimaterie ist also das fehlen von Teilchen im vollbesetzten Grundzustand des Vakuums !
	Das Loch entspricht dem Fehlen eines Teilchens mit <math>m<0</math>		Das Loch entspricht dem Fehlen eines Teilchens mit <math>m<0</math>
Zeile 179:		Zeile 184:
	Anregung eines Lochs im Vakuum- Teilchensee		Anregung eines Lochs im Vakuum- Teilchensee

	reicht die Energie nicht aus, also <math>E<2{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>		reicht die Energie nicht aus, also <math>E<2{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>, so kommt es gemäß der Energie- Zeit- Unschärfe zu spontanen Anregungen virtueller Teilchen, die im Rahmen einer Zeit, die die Unschärfe erfüllt, wieder zerfallen.
	, so kommt es gemäß der Energie- Zeit- Unschärfe zu spontanen Anregungen virtueller Teilchen, die im Rahmen einer Zeit, die die Unschärfe erfüllt, wieder zerfallen.
	Dies kann in diesem Fall betrachtet werden als eine " Boltzmannverteilung" der Zustände negativer Energie. Durch die Fluktuationen bei niedriger Temperatur, die aber zweifelsohne vorhanden sind, kommt es zum Boltzmann- Springen der Teilchen zwischen negativen, vollbesetzten Zuständen und kurzzeitig besetzten positiven Energiezuständen. Die positiven Energiezustände zerfallen jedoch gemäß der Rekombinationsgeschwindigkeit ( Rate der spontanen/ induzierten Emission !) und man bekommt als Wahrscheinlichkeit der Vakuumpolarisation die Boltzmannverteilung !		Dies kann in diesem Fall betrachtet werden als eine "Boltzmannverteilung" der Zustände negativer Energie. Durch die Fluktuationen bei niedriger Temperatur, die aber zweifelsohne vorhanden sind, kommt es zum Boltzmann- Springen der Teilchen zwischen negativen, vollbesetzten Zuständen und kurzzeitig besetzten positiven Energiezuständen. Die positiven Energiezustände zerfallen jedoch gemäß der Rekombinationsgeschwindigkeit ( Rate der spontanen/ induzierten Emission!) und man bekommt als Wahrscheinlichkeit der Vakuumpolarisation die Boltzmannverteilung !

Schubotz: /* nichrelativistische Schrödingergleichung */

2010-08-27T12:44:47Z

nichrelativistische Schrödingergleichung

Schubotz am 27. August 2010 um 12:42 Uhr

2010-08-27T12:42:21Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. August 2010, 14:42 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|7\|2}}		{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|7\|2}}

	Die nichrelativistische Schrödingergleichung		==nichrelativistische Schrödingergleichung==

			Die '''nichrelativistische Schrödingergleichung'''

	<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =H\Psi </math>		<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =H\Psi </math>
Zeile 9:		Zeile 11:
	<math>H=\frac{{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}}{2m}+V</math>		<math>H=\frac{{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}}{2m}+V</math>

	über die Ersetzung <math>p\to \frac{\hbar }{i}\nabla </math>		über die Ersetzung <math>p\to \frac{\hbar }{i}\nabla </math> in der Ortsdarstellung.

	in der Ortsdarstellung

	====Forderungen an eine relativistische Formulierung in der Ortsdarstellung:====		====Forderungen an eine relativistische Formulierung in der Ortsdarstellung:====
	Die Beschreibung der Zustände geschieht durch Wellenfunktionen		# Die Beschreibung der Zustände geschieht durch Wellenfunktionen <math>\Psi (q,t)</math> wobei q Bahn- und Spinvariable enthält.
			# <math>{{\left\| \Psi (q,t) \right\|}^{2}}</math> ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit zur zeit t
	<math>\Psi (q,t)</math>		# Die Dynamik ist linear: <math>L\Psi (q,t)=0</math> wegen des Superpositionsprinzips. Das heißt, wenn <math>{{\Psi }_{1}},{{\Psi }_{2}}</math> Lösung der SGL, dann auch <math>{{a}_{1}}{{\Psi }_{1}}+{{a}_{2}}{{\Psi }_{2}}</math> für beliebige komplexe Koeffizienten a1, a2
			#Die Differenzialgleichung ist erster Ordnung, damit <math>\Psi (q,t)</math>eindeutig aus der Anfangsbedingung <math>\Psi (q,0)</math> über <math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =H\Psi </math> bestimmt ist.
	wobei q Bahn- und Spinvariable enthält		#Die Physikalischen Observablen werden durch hermitesche Operatoren repräsentiert.
			#Die Messwerte sind die Eigenwerte dieser Operatoren: <math>A\left\| a \right\rangle =a\left\| a \right\rangle </math>
	<math>{{\left\| \Psi (q,t) \right\|}^{2}}</math>		#Der Erwartungswert repräsentiert den Mittelwert der Messungen: <math>\left\langle \Psi \right\|A\left\| \Psi \right\rangle </math>
	ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit zur zeit t		#Es gibt vollständige Sätze vertauschbarer Operatoren <math>{{\hat{A}}_{i}}</math> mit gemeinsamen Eigenzuständen <math>\left\| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle </math>
	~~die~~ Dynamik ist linear: <math>L\Psi (q,t)=0</math>
	wegen des Superpositionsprinzips. Das heißt, wenn <math>{{\Psi }_{1}},{{\Psi }_{2}}</math>
	Lösung der SGL, dann auch <math>{{a}_{1}}{{\Psi }_{1}}+{{a}_{2}}{{\Psi }_{2}}</math>
	für beliebige komplexe Koeffizienten a1, a2
	Die Differenzialgleichung ist erster Ordnung, damit <math>\Psi (q,t)</math>
	~~ei9ndeutig~~ aus der Anfangsbedingung <math>\Psi (q,0)</math>
	über <math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =H\Psi </math>
	bestimmt ist.
	Die Physikalischen Observablen werden durch hermitesche Operatoren repräsentiert.
	Die Messwerte sind die Eigenwerte dieser Operatoren: <math>A\left\| a \right\rangle =a\left\| a \right\rangle </math>

	Der Erwartungswert repräsentiert den Mittelwert der Messungen:
	<math>\left\langle \Psi \right\|A\left\| \Psi \right\rangle </math>

	8) Es gibt vollständige Sätze vertauschbarer Operatoren <math>{{\hat{A}}_{i}}</math>
	mit gemeinsamen Eigenzuständen <math>\left\| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle </math>

	Also:		Also:

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2010-08-24T23:42:59Z

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{{Scripthinweis|Quantenmechanik|7|2}}

Die nichrelativistische Schrödingergleichung

<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =H\Psi </math>

folgt aus der nicht relativistischen Energie- Impuls- Beziehung

<math>H=\frac{{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}}{2m}+V</math>

über die Ersetzung <math>p\to \frac{\hbar }{i}\nabla </math>

in der Ortsdarstellung

====Forderungen an eine relativistische Formulierung in der Ortsdarstellung:====
Die Beschreibung der Zustände geschieht durch Wellenfunktionen

<math>\Psi (q,t)</math>

wobei q Bahn- und Spinvariable enthält

<math>{{\left| \Psi (q,t) \right|}^{2}}</math>
ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit zur zeit t
die Dynamik ist linear: <math>L\Psi (q,t)=0</math>
wegen des Superpositionsprinzips. Das heißt, wenn <math>{{\Psi }_{1}},{{\Psi }_{2}}</math>
Lösung der SGL, dann auch <math>{{a}_{1}}{{\Psi }_{1}}+{{a}_{2}}{{\Psi }_{2}}</math>
für beliebige komplexe Koeffizienten a1, a2
Die Differenzialgleichung ist erster Ordnung, damit <math>\Psi (q,t)</math>
ei9ndeutig aus der Anfangsbedingung <math>\Psi (q,0)</math>
über <math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =H\Psi </math>
bestimmt ist.
Die Physikalischen Observablen werden durch hermitesche Operatoren repräsentiert.
Die Messwerte sind die Eigenwerte dieser Operatoren: <math>A\left| a \right\rangle =a\left| a \right\rangle </math>

Der Erwartungswert repräsentiert den Mittelwert der Messungen:
<math>\left\langle \Psi \right|A\left| \Psi \right\rangle </math>

8) Es gibt vollständige Sätze vertauschbarer Operatoren <math>{{\hat{A}}_{i}}</math>
mit gemeinsamen Eigenzuständen <math>\left| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle </math>

Also:
<math>{{\hat{A}}_{i}}\left| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle ={{a}_{i}}\left| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle </math>

Mit Orthonormierung:
<math>\left\langle {{a}_{1}}\acute{\ },{{a}_{2}}\acute{\ },... \right|\left| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle ={{\delta }_{a1a1\acute{\ }}}{{\delta }_{a2a2\acute{\ }}}</math>

Mit Vollständigkeit:
<math>\sum\limits_{{{a}_{1}},{{a}_{2}},...}{{}}\left| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle \left\langle {{a}_{1}},{{a}_{2}},... \right|=1</math>

Mit Entwickelbarkeit beliebiger Zustände:

<math>\left| \Psi (t) \right\rangle =\sum\limits_{{{a}_{1}},{{a}_{2}},...}{{}}c\left( {{a}_{1}}{{a}_{2}},...,t \right)\left| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle </math>

Die Wahrscheinlichkeit, im Zustand <math>\left| \Psi (t) \right\rangle </math>
die Messwerte a1,a2,... zu messen ergibt sich durch das Betragsquadrat der Entwicklungskoeffizienten des jeweils zugehörigen Basiszustands:
<math>{{\left| c\left( {{a}_{1}}{{a}_{2}},...,t \right) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle {{a}_{1}}{{a}_{2}},.. \right|\left| \Psi (t) \right\rangle \right|}^{2}}</math>

====Die Relativistische Energie- Impuls- Beziehung:====
<math>E=\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{{\bar{p}}}^{2}}}</math>
liefert mit <math>E\to i\hbar \frac{\partial }{\partial t}</math>
und <math>p\to \frac{\hbar }{i}\nabla </math>

<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left| \Psi (t) \right\rangle =\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}\Delta }\left| \Psi (t) \right\rangle </math>

Das bedeutet:
Heuristisches Vorgehen: Ersetze alle Variablen, die im relativistischen Ausdruck für die Gesamtenergie vorkommen durch die nötigen Operatoren und behandele diesen Ausdruck als neuen Hamiltonian:
<math>\hat{H}=''\hat{E}''</math>

Dies ist jedoch nicht akzeptabel, da <math>\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}\Delta }</math>
eine nicht analytische Funktion eines Operators ist !
Ausweg:
<math>{{E}^{2}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{\bar{p}}^{2}}</math>

liefert
<math>{{\left( i\hbar \frac{\partial }{\partial t} \right)}^{2}}\left| \Psi (t) \right\rangle =\left( {{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}\Delta \right)\left| \Psi (t) \right\rangle </math>

Also:
<math>\left( \Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}} \right)\Psi (t)=\#\Psi (t)={{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi </math>

<u>'''Klein- Gordon- Gleichung'''</u>
Ist Lorentz- Invariant, falls <math>\Psi </math>
ein Lorentz- Skalar ist.
Dies liegt einfach daran, dass <math>\#={{\partial }_{i}}{{\partial }^{i}}</math>
Lorentz- invariant ist ( Skalarprodukt eines Vierervektors)
Einwände gegen die Klein- Gordon- Gleichung:
der Spin ( der in dieser Gleichung noch nicht enthalten ist !) kann nicht berücksichtigt werden ! Denn: Der Zusatz <math>\hat{H}\to \hat{H}-\hat{\bar{\mu }}\bar{B}</math>
ist nicht mehr Lorentz- invariant !
Klar ! <math>\hat{\bar{\mu }}\bar{B}</math>
läßt sich nicht als Skalarprodukt eines Vierervektors darstellen !
Durch die schwierige Interpretation von <math>\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}\Delta }</math>
ist die Klein- Gordon- Gleichung dann letztendlich eine DGL zweiter Ordnung. Das bedeutet jedoch, Es sind die Anfangsbedingungen <math>\begin{align}
& \Psi (\bar{r},0) \\
& \frac{{{\partial }^{{}}}}{\partial t}\Psi (\bar{r},0) \\
\end{align}</math>

nötig! an muss also schon zu Beginn etwas über die Dynamik der Wellenfunktion kennen !
Am schwersten wiegt jedoch, dass die Klein- Gordon- Gleichung eine Stromdichte als räumliche Wahrscheinlichkeitsdichte produziert, die nicht mehr als sinnvolle Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden kann, da das Ergebnis nicht mehr strikt positiv ist !:
Die Lorentz- Invariante Form der Kontinuitätsgleichung ( Wahrscheinlicheitsdichteerhaltung) lautet:
<math>{{\partial }_{i}}{{J}^{i}}=0</math>

Mit der Vierersstromdichte <math>{{J}^{i}}</math>

Mittels <math>\begin{align}
& {{\partial }_{0}}=\frac{\partial }{\partial {{x}^{0}}}=\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t} \\
& {{\partial }_{\alpha }}=\frac{\partial }{\partial {{x}^{\alpha }}} \\
\end{align}</math>
schreibt sichs:
<math>\begin{align}
& \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}{{J}^{0}}+{{\partial }_{\alpha }}{{J}^{\alpha }}=0 \\
& {{\partial }_{\alpha }}{{J}^{\alpha }}=div\bar{J} \\
\end{align}</math>

Dadurch ist jedoch <math>\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}{{J}^{0}}+{{\partial }_{\alpha }}{{J}^{\alpha }}=0</math>
eine Kontinuitätsgleichung. Also hat <math>{{J}^{0}}</math>
die Bedeutung einer räumlichen Wahrscheinlichkeitsdichte !!
Aus der Klein- Gordon- Gleichung dagegen:
<math>{{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi =-{{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi </math>

folgt durch c.c.:
<math>{{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi *=-{{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi *</math>

Dabei kann man <math>{{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi =-{{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi </math>
mit <math>\Psi *</math>
und <math>{{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi *=-{{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi *</math>
mit<math>\Psi </math>
multipliziert werden.
Nun subtrahiere man die beiden Gleichungen und man erhält:
<math>\Psi *{{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi -\Psi {{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi *=-{{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\left( \Psi *\Psi -\Psi \Psi * \right)=0</math>

Somit kann man folgern:

<math>{{\partial }_{i}}\left( \Psi *{{\partial }^{i}}\Psi -\Psi {{\partial }^{i}}\Psi * \right)=0</math>

Also ist zulässig:
<math>\left( \Psi *{{\partial }^{i}}\Psi -\Psi {{\partial }^{i}}\Psi * \right):={{J}^{i}}\to {{\partial }_{i}}\left( \Psi *{{\partial }^{i}}\Psi -\Psi {{\partial }^{i}}\Psi * \right)={{\partial }_{i}}{{J}^{i}}=0</math>

Also
<math>\left( \Psi *{{\partial }^{0}}\Psi -\Psi {{\partial }^{0}}\Psi * \right)={{J}^{0}}=\frac{1}{c}\left( \Psi *\dot{\Psi }-\Psi \dot{\Psi }* \right)</math>

Aber <math>\frac{1}{c}\left( \Psi *\dot{\Psi }-\Psi \dot{\Psi }* \right)</math>
kann nicht als eine räumliche Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden , da <math>{{J}^{0}}</math>
negativ werden kann !
Statt dessen kann man , bzw. muss man <math>{{J}^{0}}</math>
als eine Ladungsdichte ansehen !
====Lösung der Klein- Gordon- Gleichung für freie Teilchen !====
Ansatz: ebene Welle:
<math>\Psi ={{\Psi }_{0}}\exp i\left\{ \bar{k}\bar{r}-\omega t \right\}</math>

In Viererschreibweise:

<math>\bar{k}\bar{r}-\omega t=-\left( \frac{\omega }{c}ct-\bar{k}\bar{r} \right)=-{{k}_{j}}{{x}^{j}}=-{{k}^{j}}{{x}_{j}}</math>

mit <math>\begin{align}
& {{k}^{0}}=\frac{\omega }{c}={{k}_{0}} \\
& {{k}^{\alpha }}=-{{k}_{\alpha }} \\
\end{align}</math>

Wenn man derart die ebene Welle in die Klein- Gordon- Gleichung einsetzt, so ergibt sich:
<math>\Psi ={{\Psi }_{0}}\exp i\left\{ \bar{k}\bar{r}-\omega t \right\}={{\Psi }_{0}}\exp \left\{ -i{{k}^{j}}{{x}_{j}} \right\}</math>

eingesetzt in
<math>\begin{align}
& -{{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi ={{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi =i{{k}^{j}}{{\partial }^{i}}{{\Psi }_{0}}\exp \left\{ -i{{k}_{j}}{{x}^{j}} \right\}={{k}^{j}}{{k}_{j}}\Psi ={{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi \\
& \Rightarrow {{k}^{j}}{{k}_{j}}\equiv {{\left( \frac{\omega }{c} \right)}^{2}}-{{{\bar{k}}}^{2}}={{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}} \\
& \Rightarrow {{\omega }^{2}}={{c}^{2}}\left[ {{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}+{{{\bar{k}}}^{2}} \right] \\
\end{align}</math>

Also kann man die Energie ( Eigenwert) angeben zu

<math>E=\hbar \omega =\pm c\sqrt{\left[ {{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}+{{\left( \hbar \bar{k} \right)}^{2}} \right]}</math>

Der nichtrelativistische Grenzfall kann leicht durch Entwicklung der Wurzel für kleine Impulse angegeben werden:
<math>E=\pm {{m}_{0}}{{c}^{2}}\sqrt{\left[ 1+{{\left( \frac{\hbar \bar{k}}{{{m}_{0}}c} \right)}^{2}} \right]}\approx \pm {{m}_{0}}{{c}^{2}}\left[ 1+\frac{1}{2}{{\left( \frac{\hbar \bar{k}}{{{m}_{0}}c} \right)}^{2}} \right]=\pm \left[ {{m}_{0}}{{c}^{2}}+{{\frac{\left( \hbar \bar{k} \right)}{2{{m}_{0}}}}^{2}} \right]</math>

Gute Näherung für <math>\hbar k<<{{m}_{0}}c</math>

Grafisch:
E>0 entspricht einem Teilchen der Ruheenergie <math>{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>

E<0 dagegen einem Teilchen mit der Ruheenergie <math>-{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>
. Dies entspricht jedoch einer negativen Masse !
Dies wurde von Dirac derart interpretiert, dass alle Zustände mit E<0 im Grundzustand besetzt sind.
Der Raum, dessen Zustände mit negativer Energie alle besetzt sind, erscheint uns als Vakuum !
Die Einstrahlung einer Energie <math>E>2{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>
ermöglicht dann die Teilchen - Antiteilchen- Erzeugung !
Aus dem Vakuum !
Durch diese Einstrahlung erzeugt man einen Lochzustand im unteren Bereich ! Es erscheint ein Teilchen aus dem Nichts. Denn: es wurde aus dem Zustand negativer Energie angehoben, hat dann positive Energie und erscheint uns in diesem Moment als positives, reelles Teilchen. Außerdem ist für uns nicht der vollbesetzte untere Zustand zu erkennen, sondern nur das Loch. Dieses Loch im Vakuum ist nun ein freier Zustand mit negativer Energie, der uns als Antiteilchen erscheint. Ein Loch im Vakuum. Also: Löcher in den Zuständen negativer Energie äußern sich als Antimaterie !
Antimaterie ist also das fehlen von Teilchen im vollbesetzten Grundzustand des Vakuums !
Das Loch entspricht dem Fehlen eines Teilchens mit <math>m<0</math>
und der Ladung q.
Demnach äußert es sich uns als Antiteilchen mit der Masse <math>m>0</math>
und der Ladung -q:
Anregung eines Lochs im Vakuum- Teilchensee

reicht die Energie nicht aus, also <math>E<2{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>
, so kommt es gemäß der Energie- Zeit- Unschärfe zu spontanen Anregungen virtueller Teilchen, die im Rahmen einer Zeit, die die Unschärfe erfüllt, wieder zerfallen.
Dies kann in diesem Fall betrachtet werden als eine " Boltzmannverteilung" der Zustände negativer Energie. Durch die Fluktuationen bei niedriger Temperatur, die aber zweifelsohne vorhanden sind, kommt es zum Boltzmann- Springen der Teilchen zwischen negativen, vollbesetzten Zuständen und kurzzeitig besetzten positiven Energiezuständen. Die positiven Energiezustände zerfallen jedoch gemäß der Rekombinationsgeschwindigkeit ( Rate der spontanen/ induzierten Emission !) und man bekommt als Wahrscheinlichkeit der Vakuumpolarisation die Boltzmannverteilung !

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	über die Ersetzung <math>p\to \frac{\hbar }{i}\nabla </math> in der Ortsdarstellung.		über die Ersetzung <math>p\to \frac{\hbar }{i}\nabla </math> in der Ortsdarstellung.

	====Forderungen an eine relativistische Formulierung in der Ortsdarstellung:====		==Forderungen an eine relativistische Formulierung in der Ortsdarstellung:==
	# Die Beschreibung der Zustände geschieht durch Wellenfunktionen <math>\Psi (q,t)</math> wobei q Bahn- und Spinvariable enthält.		# Die Beschreibung der Zustände geschieht durch Wellenfunktionen <math>\Psi (q,t)</math> wobei q Bahn- und Spinvariable enthält.
	# <math>{{\left\| \Psi (q,t) \right\|}^{2}}</math> ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit zur zeit t		# <math>{{\left\| \Psi (q,t) \right\|}^{2}}</math> ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit zur zeit t
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	<math>{{\hat{A}}_{i}}\left\| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle ={{a}_{i}}\left\| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle </math>		<math>{{\hat{A}}_{i}}\left\| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle ={{a}_{i}}\left\| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle </math>

	Mit Orthonormierung:		Mit '''Orthonormierung''':

	<math>\left\langle {{a}_{1}}\acute{\ },{{a}_{2}}\acute{\ },... \right\|\left\| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle ={{\delta }_{a1a1\acute{\ }}}{{\delta }_{a2a2\acute{\ }}}</math>		<math>\left\langle {{a}_{1}}\acute{\ },{{a}_{2}}\acute{\ },... \right\|\left\| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle ={{\delta }_{a1a1\acute{\ }}}{{\delta }_{a2a2\acute{\ }}}</math>

	Mit Vollständigkeit:		Mit '''Vollständigkeit''':

	<math>\sum\limits_{{{a}_{1}},{{a}_{2}},...}{{}}\left\| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle \left\langle {{a}_{1}},{{a}_{2}},... \right\|=1</math>		<math>\sum\limits_{{{a}_{1}},{{a}_{2}},...}{{}}\left\| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle \left\langle {{a}_{1}},{{a}_{2}},... \right\|=1</math>

	Mit Entwickelbarkeit beliebiger Zustände:		Mit '''Entwickelbarkeit''' beliebiger Zustände:

	<math>\left\| \Psi (t) \right\rangle =\sum\limits_{{{a}_{1}},{{a}_{2}},...}{{}}c\left( {{a}_{1}}{{a}_{2}},...,t \right)\left\| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle </math>		<math>\left\| \Psi (t) \right\rangle =\sum\limits_{{{a}_{1}},{{a}_{2}},...}{{}}c\left( {{a}_{1}}{{a}_{2}},...,t \right)\left\| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle </math>

	Die Wahrscheinlichkeit, im Zustand <math>\left\| \Psi (t) \right\rangle </math>		Die Wahrscheinlichkeit, im Zustand <math>\left\| \Psi (t) \right\rangle </math> die Messwerte a1,a2,... zu messen ergibt sich durch das Betragsquadrat der Entwicklungskoeffizienten des jeweils zugehörigen Basiszustands:
	die Messwerte a1,a2,... zu messen ergibt sich durch das Betragsquadrat der Entwicklungskoeffizienten des jeweils zugehörigen Basiszustands:
	<math>{{\left\| c\left( {{a}_{1}}{{a}_{2}},...,t \right) \right\|}^{2}}={{\left\| \left\langle {{a}_{1}}{{a}_{2}},.. \right\|\left\| \Psi (t) \right\rangle \right\|}^{2}}</math>		<math>{{\left\| c\left( {{a}_{1}}{{a}_{2}},...,t \right) \right\|}^{2}}={{\left\| \left\langle {{a}_{1}}{{a}_{2}},.. \right\|\left\| \Psi (t) \right\rangle \right\|}^{2}}</math>

	====Die Relativistische Energie- Impuls- Beziehung:====		==Die Relativistische Energie- Impuls- Beziehung:==
	<math>E=\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{{\bar{p}}}^{2}}}</math>		<math>E=\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{{\bar{p}}}^{2}}}</math>
	liefert mit <math>E\to i\hbar \frac{\partial }{\partial t}</math>		liefert mit <math>E\to i\hbar \frac{\partial }{\partial t}</math>
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	~~<u>'''~~Klein- Gordon- Gleichung~~'''</u>~~		==Klein- Gordon- Gleichung==
	Ist Lorentz- Invariant, falls <math>\Psi </math>		Ist Lorentz- Invariant, falls <math>\Psi </math>
	ein Lorentz- Skalar ist.		ein Lorentz- Skalar ist.