Klassisch- mechanische Gleichgewichtsverteilungen - Versionsgeschichte

Schubotz am 18. September 2010 um 12:59 Uhr

2010-09-18T12:59:49Z

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	Anwendung des Prinzips der vorurteilsfreien Schätzung auf ein klassisch- mechanisches System von N Teilchen (z.B. Moleküle eines Gases, 3N ~~freiheitsgrade~~)		Anwendung des {{FB\|Prinzips der vorurteilsfreien Schätzung}} auf ein klassisch- mechanisches System von N Teilchen (z.B. Moleküle eines Gases, 3N Freiheitsgrade)

	~~<u>~~'''Voraussetzung'''~~</u>~~		'''Voraussetzung'''

	gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit der Mirkozustände <math>\xi =\left( {{q}_{1}}...{{q}_{3N}},{{p}_{1}}...{{p}_{3N}} \right)\in \Gamma </math>		gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit der Mirkozustände <math>\xi =\left( {{q}_{1}}...{{q}_{3N}},{{p}_{1}}...{{p}_{3N}} \right)\in \Gamma </math>.
	Dabei bezeichnet <math>\Gamma </math> den Phasenraum der kanonisch konjugierten Orte <math>{{q}_{k}}</math> und Impulse <math>{{p}_{k}}</math>		Dabei bezeichnet <math>\Gamma </math> den {{FB\|Phasenraum}} der kanonisch konjugierten '''Orte''' <math>{{q}_{k}}</math> und '''Impulse''' <math>{{p}_{k}}</math>

	'''Begründung'''		'''Begründung'''

	{{FB\|Liouville- Theorem}}		{{FB\|Liouville- Theorem}} - notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung!
	- notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung!

	'''Hamiltonfunktion'''		'''Hamiltonfunktion'''
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	:<math>\xi (t)</math>		:<math>\xi (t)</math>

	als Trajektorie im Phasneraum <math>\Gamma </math>(bei euklidischer ~~metrik~~) gegeben durch das 6N- dimensionale Vektorfeld		als Trajektorie im Phasneraum <math>\Gamma </math> (bei euklidischer Metrik) gegeben durch das 6N-dimensionale Vektorfeld

	:<math>\dot{\xi }\equiv \left( \frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{1}}},\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{2}}},...,\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{3N}}},\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial \acute{\ }{{q}_{1}}},...,\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{q}_{3N}}} \right)</math>		:<math>\dot{\xi }\equiv \left( \frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{1}}},\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{2}}},...,\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{3N}}},\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial \acute{\ }{{q}_{1}}},...,\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{q}_{3N}}} \right)</math>
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	:<math>div\dot{\xi }:=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{\partial {{q}_{k}}}+\frac{\partial {{{\dot{p}}}_{k}}}{\partial {{p}_{k}}} \right)=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}}-\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}} \right)=0</math>		:<math>div\dot{\xi }:=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{\partial {{q}_{k}}}+\frac{\partial {{{\dot{p}}}_{k}}}{\partial {{p}_{k}}} \right)=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}}-\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}} \right)=0</math>

	Interpretiert man <math>\rho \left( \xi \right)</math>		Interpretiert man <math>\rho \left( \xi \right)</math> als Dichte der Phasenpunkte im Phasenraum für ein Ensemble äquivalenter Systeme, so gilt der Erhaltungssatz ({{FB\|Kontinuitätsgleichung}}):

	als Dichte der Phasenpunkte im Phasenraum für ein Ensemble äquivalenter Systeme, so gilt der Erhaltungssatz ({{FB\|Kontinuitätsgleichung}}):

	:<math>\frac{\partial \rho \left( \xi \right)}{\partial t}+div\left( \rho \dot{\xi } \right)=0</math>		:<math>\frac{\partial \rho \left( \xi \right)}{\partial t}+div\left( \rho \dot{\xi } \right)=0</math>
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	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	{{~~Def~~\|Theorem von Liouville:		{{Satz\|Theorem von Liouville:

	Die Dichte der Phasenraumpunkte ändert sich nicht im bewegten System!		Die Dichte der Phasenraumpunkte ändert sich nicht im bewegten System!
Zeile 80:		Zeile 77:
	Phasenvolumina im <math>\Gamma </math>		Phasenvolumina im <math>\Gamma </math>

	- Raum sind invariant!\|Theorem von Liouville}}		- Raum sind invariant!\|name=Theorem von Liouville}}

	Aber: Verformung ist natürlich zulässig!! <math>\begin{align}		Aber: Verformung ist natürlich zulässig!! <math>\begin{align}
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	'''Ergänzung'''		'''Ergänzung'''

	Die Metrik in <math>\Gamma </math>		Die Metrik in <math>\Gamma </math> kann so gewählt werden, dass gleiche Phasenvolumina gleiche a-priori Wahrscheinlichkeiten haben und für alle Zeiten behalten.

	~~kann so gewählt werden~~, ~~dass gleiche Phasenvolumina gleiche a-priori Wahrscheinlichkeiten haben und für alle Zeiten behalten.~~		'''Nebenbemerkung:''' Gilt nur für kanonische Variablen p,q

	~~'''Nebenbemerkung: '''Gilt nur für kanonische Variablen p,q~~		== Konstruktion der Gleichgewichtsverteilung ==

	~~<u>'''Konstruktion der Gleichgewichtsverteilung'''</u>~~

	Der thermodynamische Zustand sei gegeben durch Mittelwerte von Phasenraumfunktionen:		Der thermodynamische Zustand sei gegeben durch Mittelwerte von Phasenraumfunktionen:
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	bei m unabhängigen Observablen!		bei m unabhängigen Observablen!

	Ensemble- Mittelwerte! sind gegeben als Info über den Zustand!		Ensemble-Mittelwerte! sind gegeben als Info über den Zustand!

	Das {{FB\|Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung}} ergibt:		Das {{FB\|Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung}} ergibt:

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (12), ( → ( (4)

2010-09-12T22:52:35Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (12), ( → ( (4)

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	Anwendung des Prinzips der vorurteilsfreien Schätzung auf ein klassisch- mechanisches System von N Teilchen ( z.B. Moleküle eines Gases, 3N freiheitsgrade)		Anwendung des Prinzips der vorurteilsfreien Schätzung auf ein klassisch- mechanisches System von N Teilchen (z.B. Moleküle eines Gases, 3N freiheitsgrade)

	<u>'''Voraussetzung'''</u>		<u>'''Voraussetzung'''</u>
Zeile 12:		Zeile 12:

	{{FB\|Liouville- Theorem}}		{{FB\|Liouville- Theorem}}
	- notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung !		- notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung!

	'''Hamiltonfunktion'''		'''Hamiltonfunktion'''
Zeile 32:		Zeile 32:
	:<math>\xi (t)</math>		:<math>\xi (t)</math>

	als Trajektorie im Phasneraum <math>\Gamma </math>( bei euklidischer metrik) gegeben durch das 6N- dimensionale Vektorfeld		als Trajektorie im Phasneraum <math>\Gamma </math>(bei euklidischer metrik) gegeben durch das 6N- dimensionale Vektorfeld

	:<math>\dot{\xi }\equiv \left( \frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{1}}},\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{2}}},...,\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{3N}}},\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial \acute{\ }{{q}_{1}}},...,\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{q}_{3N}}} \right)</math>		:<math>\dot{\xi }\equiv \left( \frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{1}}},\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{2}}},...,\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{3N}}},\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial \acute{\ }{{q}_{1}}},...,\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{q}_{3N}}} \right)</math>
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	{{Def\|Theorem von Liouville:		{{Def\|Theorem von Liouville:

	Die Dichte der Phasenraumpunkte ändert sich nicht im bewegten System !		Die Dichte der Phasenraumpunkte ändert sich nicht im bewegten System!

	Phasenfluss → inkompressible Flüssigkeit		Phasenfluss → inkompressible Flüssigkeit
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	Phasenvolumina im <math>\Gamma </math>		Phasenvolumina im <math>\Gamma </math>

	- Raum sind invariant !\|Theorem von Liouville}}		- Raum sind invariant!\|Theorem von Liouville}}

	Aber: Verformung ist natürlich zulässig !! <math>\begin{align}		Aber: Verformung ist natürlich zulässig!! <math>\begin{align}

	& \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+div\left( \rho \dot{\xi } \right)=\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{p}_{k}}}{{{\dot{p}}}_{k}} \right)+\rho div\dot{\xi } \\		& \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+div\left( \rho \dot{\xi } \right)=\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{p}_{k}}}{{{\dot{p}}}_{k}} \right)+\rho div\dot{\xi } \\
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	Die Metrik in <math>\Gamma </math>		Die Metrik in <math>\Gamma </math>

	kann so gewählt werden, dass gleiche Phasenvolumina gleiche a-priori Wahrscheinlichkeiten haben und für alle Zeiten behalten .		kann so gewählt werden, dass gleiche Phasenvolumina gleiche a-priori Wahrscheinlichkeiten haben und für alle Zeiten behalten.

	'''Nebenbemerkung: '''Gilt nur für kanonische Variablen p,q		'''Nebenbemerkung: '''Gilt nur für kanonische Variablen p,q
Zeile 112:		Zeile 112:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	bei m unabhängigen Observablen !		bei m unabhängigen Observablen!

	Ensemble- Mittelwerte ! sind gegeben als Info über den Zustand !		Ensemble- Mittelwerte! sind gegeben als Info über den Zustand!

	Das {{FB\|Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung}} ergibt:		Das {{FB\|Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung}} ergibt:
Zeile 122:		Zeile 122:
	==Beispiele==		==Beispiele==

	Annahme: unterscheidbare Teilchen. Ansonsten kommt noch ein Faktor <math>\frac{1}{N!}</math> rein !		Annahme: unterscheidbare Teilchen. Ansonsten kommt noch ein Faktor <math>\frac{1}{N!}</math> rein!

	{{Beispiel\|1= 1. <u>'''Kanonische Verteilung'''</u>		{{Beispiel\|1= 1. <u>'''Kanonische Verteilung'''</u>
Zeile 138:		Zeile 138:
	:<math>\left\langle {{M}^{1}} \right\rangle =U</math>		:<math>\left\langle {{M}^{1}} \right\rangle =U</math>

	innere Energie <- enthält nicht die makroskopische Bewegung des Systems als Ganzes !		innere Energie <- enthält nicht die makroskopische Bewegung des Systems als Ganzes!

	:<math>Z=\exp \left( -\Psi \right)=\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d\xi \exp \left( -\beta H\left( \xi \right) \right)</math>		:<math>Z=\exp \left( -\Psi \right)=\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d\xi \exp \left( -\beta H\left( \xi \right) \right)</math>

	kanonische Zustandssumme ( Partition function)		kanonische Zustandssumme (Partition function)

	:<math>\rho \left( \xi \right)={{Z}^{-1}}\exp \left( -\beta H\left( \xi \right) \right)</math>		:<math>\rho \left( \xi \right)={{Z}^{-1}}\exp \left( -\beta H\left( \xi \right) \right)</math>
Zeile 148:		Zeile 148:
	als Dichteverteilung		als Dichteverteilung

	* in der QM: statistischer Operator !		* in der QM: statistischer Operator!
	}}		}}
	{{Beispiel\|1=2. '''Großkanonische Verteilung'''		{{Beispiel\|1=2. '''Großkanonische Verteilung'''
Zeile 196:		Zeile 196:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Als Wahrscheinlichkeit dafür, dass n Teilchen vorhanden sind !		Als Wahrscheinlichkeit dafür, dass n Teilchen vorhanden sind!

	= Marginalverteilung von		= Marginalverteilung von
Zeile 219:		Zeile 219:
	{{Beispiel\|<u>'''Beispiel'''</u>		{{Beispiel\|<u>'''Beispiel'''</u>

	Klassisches ideales Gas ( ohne Wechselwirkung):		Klassisches ideales Gas (ohne Wechselwirkung):

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

*>SchuBot: Pfeile einfügen, replaced: -> → →

2010-09-12T20:16:09Z

Pfeile einfügen, replaced: -> → →

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Zeile 76:		Zeile 76:
	Die Dichte der Phasenraumpunkte ändert sich nicht im bewegten System !		Die Dichte der Phasenraumpunkte ändert sich nicht im bewegten System !

	Phasenfluss -> inkompressible Flüssigkeit		Phasenfluss → inkompressible Flüssigkeit

	Phasenvolumina im <math>\Gamma </math>		Phasenvolumina im <math>\Gamma </math>

*>SchuBot: Mathematik einrücken

2010-09-12T16:33:10Z

Mathematik einrücken

Änderungen zeigen

Schubotz: /* Beispiele */

2010-09-11T14:26:34Z

Beispiele

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 16:26 Uhr
Zeile 124:		Zeile 124:
	Annahme: unterscheidbare Teilchen. Ansonsten kommt noch ein Faktor <math>\frac{1}{N!}</math> rein !		Annahme: unterscheidbare Teilchen. Ansonsten kommt noch ein Faktor <math>\frac{1}{N!}</math> rein !

	{{Beispiel\| 1. <u>'''Kanonische Verteilung'''</u>		{{Beispiel\|1= 1. <u>'''Kanonische Verteilung'''</u>

	m=1:		m=1:
Zeile 150:		Zeile 150:
	* in der QM: statistischer Operator !		* in der QM: statistischer Operator !
	}}		}}
	{{Beispiel\|2. '''Großkanonische Verteilung'''		{{Beispiel\|1=2. '''Großkanonische Verteilung'''

	m=2:		m=2:

Schubotz: /* Beispiele */

2010-09-11T14:25:01Z

Beispiele

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 16:25 Uhr
Zeile 124:		Zeile 124:
	Annahme: unterscheidbare Teilchen. Ansonsten kommt noch ein Faktor <math>\frac{1}{N!}</math> rein !		Annahme: unterscheidbare Teilchen. Ansonsten kommt noch ein Faktor <math>\frac{1}{N!}</math> rein !

	{{Beispiel: 1. <u>'''Kanonische Verteilung'''</u>		{{Beispiel\| 1. <u>'''Kanonische Verteilung'''</u>

	m=1:		m=1:

Schubotz: Unicodifying

2010-09-11T14:14:55Z

Unicodifying

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 16:14 Uhr
Zeile 6:		Zeile 6:
	<u>'''Voraussetzung'''</u>		<u>'''Voraussetzung'''</u>

	* gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit der Mirkozustände <math>\xi =\left( {{q}_{1}}...{{q}_{3N}},{{p}_{1}}...{{p}_{3N}} \right)\in \Gamma </math>		gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit der Mirkozustände <math>\xi =\left( {{q}_{1}}...{{q}_{3N}},{{p}_{1}}...{{p}_{3N}} \right)\in \Gamma </math>
	*		Dabei bezeichnet <math>\Gamma </math> den Phasenraum der kanonisch konjugierten Orte <math>{{q}_{k}}</math> und Impulse <math>{{p}_{k}}</math>
	* Dabei bezeichnet <math>\Gamma </math>
	* den Phasenraum der kanonisch konjugierten Orte <math>{{q}_{k}}</math>
	* und Impulse <math>{{p}_{k}}</math>
	*

	'''Begründung'''		'''Begründung'''

	* Liouville- Theorem		{{FB\|Liouville- Theorem}}
	* - notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung !		- notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung !

	Hamiltonfunktion		'''Hamiltonfunktion'''

	<math>H\left( \xi \right)=H\left( {{q}_{1}}...{{q}_{3N}},{{p}_{1}}...{{p}_{3N}} \right)</math>		<math>H\left( \xi \right)=H\left( {{q}_{1}}...{{q}_{3N}},{{p}_{1}}...{{p}_{3N}} \right)</math>

	Hamiltonsche Gleichungen:		'''Hamiltonsche Gleichungen''':

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
Zeile 36:		Zeile 32:
	<math>\xi (t)</math>		<math>\xi (t)</math>

	als Trajektorie im Phasneraum <math>\Gamma </math>		als Trajektorie im Phasneraum <math>\Gamma </math>( bei euklidischer metrik) gegeben durch das 6N- dimensionale Vektorfeld

	~~( bei euklidischer metrik)~~		:<math>\dot{\xi }\equiv \left( \frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{1}}},\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{2}}},...,\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{3N}}},\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial \acute{\ }{{q}_{1}}},...,\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{q}_{3N}}} \right)</math>

	~~gegeben durch das 6N- dimensionale Vektorfeld~~

	<math>\dot{\xi }\equiv \left( \frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{1}}},\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{2}}},...,\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{3N}}},\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial \acute{\ }{{q}_{1}}},...,\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{q}_{3N}}} \right)</math>

	Es gilt:		Es gilt:

	<math>div\dot{\xi }:=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{\partial {{q}_{k}}}+\frac{\partial {{{\dot{p}}}_{k}}}{\partial {{p}_{k}}} \right)=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}}-\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}} \right)=0</math>		:<math>div\dot{\xi }:=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{\partial {{q}_{k}}}+\frac{\partial {{{\dot{p}}}_{k}}}{\partial {{p}_{k}}} \right)=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}}-\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}} \right)=0</math>

	Interpretiert man <math>\rho \left( \xi \right)</math>		Interpretiert man <math>\rho \left( \xi \right)</math>

	als Dichte der Phasenpunkte im Phasenraum für ein Ensemble äquivalenter Systeme, so gilt der Erhaltungssatz		als Dichte der Phasenpunkte im Phasenraum für ein Ensemble äquivalenter Systeme, so gilt der Erhaltungssatz ({{FB\|Kontinuitätsgleichung}}):

	( Kontinuitätsgleichung):

	<math>\frac{\partial \rho \left( \xi \right)}{\partial t}+div\left( \rho \dot{\xi } \right)=0</math>		<math>\frac{\partial \rho \left( \xi \right)}{\partial t}+div\left( \rho \dot{\xi } \right)=0</math>
Zeile 58:		Zeile 48:
	Interpretation:		Interpretation:

	~~<math>\rho \left( \xi ,t \right)</math>~~

	~~Dichte des Phasenflusses~~

	~~<math>\dot{\xi }</math>~~

	~~Geschwindigkeit des Phasenflusses~~

	~~<math>\rho \dot{\xi }</math>~~

	Stromdichte des Phasenflusses		;Dichte des Phasenflusses:<math>\rho \left( \xi ,t \right)</math>
			;Geschwindigkeit des Phasenflusses:<math>\dot{\xi }</math>
			;Stromdichte des Phasenflusses:<math>\rho \dot{\xi }</math>

	Die Änderung der Dichte in dem mit dem Fluss mitbewegten lokalen Koordinatensystem ist:		Die Änderung der Dichte in dem mit dem Fluss mitbewegten lokalen Koordinatensystem ist:
Zeile 88:		Zeile 72:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Theorem von Liouville:		{{Def\|Theorem von Liouville:

	Die Dichte der Phasenraumpunkte ändert sich nicht im bewegten System !		Die Dichte der Phasenraumpunkte ändert sich nicht im bewegten System !
Zeile 96:		Zeile 80:
	Phasenvolumina im <math>\Gamma </math>		Phasenvolumina im <math>\Gamma </math>

	- Raum sind invariant !		- Raum sind invariant !\|Theorem von Liouville}}

	Aber: Verformung ist natürlich zulässig !! <math>\begin{align}		Aber: Verformung ist natürlich zulässig !! <math>\begin{align}
Zeile 132:		Zeile 116:
	Ensemble- Mittelwerte ! sind gegeben als Info über den Zustand !		Ensemble- Mittelwerte ! sind gegeben als Info über den Zustand !

	Das Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung ergibt:		Das {{FB\|Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung}} ergibt:

	<math>\rho \left( \xi \right)=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}^{n}}\left( \xi \right) \right)</math>		{{Gln\|<math>\rho \left( \xi \right)=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}^{n}}\left( \xi \right) \right)</math>}}

	~~'''~~Beispiele~~:'''~~		==Beispiele==

	Annahme: unterscheidbare Teilchen. Ansonsten kommt noch ein Faktor		Annahme: unterscheidbare Teilchen. Ansonsten kommt noch ein Faktor <math>\frac{1}{N!}</math> rein !

	~~<math>\frac~~{1~~}{N!}</math>~~		{{Beispiel: 1. <u>'''Kanonische Verteilung'''</u>

	~~rein !~~

	# <u>'''Kanonische Verteilung'''</u>

	m=1:		m=1:
Zeile 169:		Zeile 149:

	* in der QM: statistischer Operator !		* in der QM: statistischer Operator !
			}}
	~~# <u>~~'''Großkanonische Verteilung'''~~</u>~~		{{Beispiel\|2. '''Großkanonische Verteilung'''

	m=2:		m=2:
Zeile 236:		Zeile 216:
	Normierung:		Normierung:

	<math>1=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{P}_{N}}</math>		<math>1=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{P}_{N}}</math>}}
			{{Beispiel\|<u>'''Beispiel'''</u>
	<u>'''Beispiel'''</u>

	Klassisches ideales Gas ( ohne Wechselwirkung):		Klassisches ideales Gas ( ohne Wechselwirkung):
Zeile 254:		Zeile 233:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	sind übungshalber zu berechnen!		sind übungshalber zu berechnen!}}

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2010-08-31T21:33:23Z

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<noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|2|2}}</noinclude>

Anwendung des Prinzips der vorurteilsfreien Schätzung auf ein klassisch- mechanisches System von N Teilchen ( z.B. Moleküle eines Gases, 3N freiheitsgrade)

'''Voraussetzung'''

* gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit der Mirkozustände <math>\xi =\left( {{q}_{1}}...{{q}_{3N}},{{p}_{1}}...{{p}_{3N}} \right)\in \Gamma </math>
*
* Dabei bezeichnet <math>\Gamma </math>
* den Phasenraum der kanonisch konjugierten Orte <math>{{q}_{k}}</math>
* und Impulse <math>{{p}_{k}}</math>
*

'''Begründung'''

* Liouville- Theorem
* - notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung !

Hamiltonfunktion

<math>H\left( \xi \right)=H\left( {{q}_{1}}...{{q}_{3N}},{{p}_{1}}...{{p}_{3N}} \right)</math>

Hamiltonsche Gleichungen:

<math>\begin{align}

& {{{\dot{q}}}_{k}}=\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}} \\

& {{{\dot{p}}}_{k}}=-\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{q}_{k}}} \\

\end{align}</math>

Lösung:

<math>\xi (t)</math>

als Trajektorie im Phasneraum <math>\Gamma </math>

( bei euklidischer metrik)

gegeben durch das 6N- dimensionale Vektorfeld

<math>\dot{\xi }\equiv \left( \frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{1}}},\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{2}}},...,\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{3N}}},\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial \acute{\ }{{q}_{1}}},...,\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{q}_{3N}}} \right)</math>

Es gilt:

<math>div\dot{\xi }:=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{\partial {{q}_{k}}}+\frac{\partial {{{\dot{p}}}_{k}}}{\partial {{p}_{k}}} \right)=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}}-\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}} \right)=0</math>

Interpretiert man <math>\rho \left( \xi \right)</math>

als Dichte der Phasenpunkte im Phasenraum für ein Ensemble äquivalenter Systeme, so gilt der Erhaltungssatz

( Kontinuitätsgleichung):

<math>\frac{\partial \rho \left( \xi \right)}{\partial t}+div\left( \rho \dot{\xi } \right)=0</math>

Interpretation:

<math>\rho \left( \xi ,t \right)</math>

Dichte des Phasenflusses

<math>\dot{\xi }</math>

Geschwindigkeit des Phasenflusses

<math>\rho \dot{\xi }</math>

Stromdichte des Phasenflusses

Die Änderung der Dichte in dem mit dem Fluss mitbewegten lokalen Koordinatensystem ist:

<math>\frac{d\rho \left( \xi ,t \right)}{dt}=\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{p}_{k}}}{{{\dot{p}}}_{k}} \right)</math>

Wegen <math>div\dot{\xi }:=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{\partial {{q}_{k}}}+\frac{\partial {{{\dot{p}}}_{k}}}{\partial {{p}_{k}}} \right)=\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}}-\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H\left( \xi \right)}{\partial {{p}_{k}}} \right)=0</math>

folgt aus der Kontinuitätsgleichung

<math>\begin{align}

& \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+div\left( \rho \dot{\xi } \right)=\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{p}_{k}}}{{{\dot{p}}}_{k}} \right)+\rho div\dot{\xi } \\

& \rho div\dot{\xi }=0 \\

& \Rightarrow \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+div\left( \rho \dot{\xi } \right)=\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{p}_{k}}}{{{\dot{p}}}_{k}} \right)=\frac{d\rho \left( \xi ,t \right)}{dt}=0 \\

\end{align}</math>

Theorem von Liouville:

Die Dichte der Phasenraumpunkte ändert sich nicht im bewegten System !

Phasenfluss -> inkompressible Flüssigkeit

Phasenvolumina im <math>\Gamma </math>

- Raum sind invariant !

Aber: Verformung ist natürlich zulässig !! <math>\begin{align}

& \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+div\left( \rho \dot{\xi } \right)=\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{p}_{k}}}{{{\dot{p}}}_{k}} \right)+\rho div\dot{\xi } \\

& \rho div\dot{\xi }=0 \\

& \Rightarrow \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+div\left( \rho \dot{\xi } \right)=\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial t}+\sum\limits_{k=1}^{3N}{{}}\left( \frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial \rho \left( \xi ,t \right)}{\partial {{p}_{k}}}{{{\dot{p}}}_{k}} \right)=\frac{d\rho \left( \xi ,t \right)}{dt}=0 \\

\end{align}</math>

'''Ergänzung'''

Die Metrik in <math>\Gamma </math>

kann so gewählt werden, dass gleiche Phasenvolumina gleiche a-priori Wahrscheinlichkeiten haben und für alle Zeiten behalten .

'''Nebenbemerkung: '''Gilt nur für kanonische Variablen p,q

'''Konstruktion der Gleichgewichtsverteilung'''

Der thermodynamische Zustand sei gegeben durch Mittelwerte von Phasenraumfunktionen:

<math>\begin{align}

& \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{}}d\xi \rho \left( \xi \right){{M}^{n}}\left( \xi \right) \\

& n=1,..,m \\

\end{align}</math>

bei m unabhängigen Observablen !

Ensemble- Mittelwerte ! sind gegeben als Info über den Zustand !

Das Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung ergibt:

<math>\rho \left( \xi \right)=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}^{n}}\left( \xi \right) \right)</math>

'''Beispiele:'''

Annahme: unterscheidbare Teilchen. Ansonsten kommt noch ein Faktor

<math>\frac{1}{N!}</math>

rein !

# '''Kanonische Verteilung'''

m=1:

<math>{{M}^{1}}\left( \xi \right)=H\left( \xi \right)</math>

Hamiltonfunktion als eine Art " Zufallsfunktion"

<math>{{\lambda }_{1}}=\beta </math>

thermodynamisch konjugierter intensiver Parameter

<math>\left\langle {{M}^{1}} \right\rangle =U</math>

innere Energie <- enthält nicht die makroskopische Bewegung des Systems als Ganzes !

<math>Z=\exp \left( -\Psi \right)=\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d\xi \exp \left( -\beta H\left( \xi \right) \right)</math>

kanonische Zustandssumme ( Partition function)

<math>\rho \left( \xi \right)={{Z}^{-1}}\exp \left( -\beta H\left( \xi \right) \right)</math>

als Dichteverteilung

* in der QM: statistischer Operator !

# '''Großkanonische Verteilung'''

m=2:

<math>{{M}^{2}}\left( \xi \right)=N</math>

Variable Teilchenzahl als Zufallsgröße

<math>{{\lambda }_{2}}=-\beta \mu </math>

Konvention

<math>\left\langle {{M}^{2}} \right\rangle =\bar{N}</math>

mittlere Teilchenzahl

<math>Y=\exp \left( -\Psi \right)=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d{{\xi }_{N}}\exp \left[ -\beta \left( H\left( {{\xi }_{N}} \right)-\mu N \right) \right]</math>

grokanonische Zustandssumme

Phasenraum:

<math>\begin{align}

& \xi \in \Gamma =\bigcup\limits_{N=1}^{\infty }{{}}{{R}^{6N}} \\

& {{\xi }_{N}}\in {{R}^{6N}} \\

\end{align}</math>

<math>\rho \left( \xi \right)={{Y}^{-1}}\exp -\beta \left[ H\left( \xi \right)-\mu N \right]</math>

'''Mittelwertfindung:'''

<math>\left\langle M \right\rangle =\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d{{\xi }_{N}}M\left( {{\xi }_{N}} \right)\rho \left( {{\xi }_{N}} \right)=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d{{\xi }_{N}}M\left( {{\xi }_{N}} \right){{Y}^{-1}}\exp -\beta \left[ H\left( \xi \right)-\mu N \right]</math>

Mittlere Teilchenzahl:

<math>\begin{align}

& \left\langle N \right\rangle =\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d{{\xi }_{N}}N\rho \left( {{\xi }_{N}} \right) \\

& \int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d{{\xi }_{N}}\rho \left( {{\xi }_{N}} \right)={{P}_{N}} \\

\end{align}</math>

Als Wahrscheinlichkeit dafür, dass n Teilchen vorhanden sind !

= Marginalverteilung von

<math>\rho \left( {{\xi }_{N}} \right)</math>

bezüglich N

Also:

<math>\begin{align}

& \left\langle N \right\rangle =\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{P}_{N}}N \\

& \int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d{{\xi }_{N}}\rho \left( {{\xi }_{N}} \right)={{P}_{N}}={{Y}^{-1}}{{e}^{\beta \mu N}}\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d{{\xi }_{N}}{{e}^{-\beta H}} \\

\end{align}</math>

Normierung:

<math>1=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{P}_{N}}</math>

'''Beispiel'''

Klassisches ideales Gas ( ohne Wechselwirkung):

<math>\begin{align}

& H\left( {{\xi }_{N}} \right)=\sum\limits_{i=1}^{3N}{{}}\frac{{{p}_{i}}^{2}}{2m} \\

& {{P}_{N}}=? \\

& U=\left\langle H \right\rangle =? \\

& \bar{N}=\left\langle N \right\rangle =? \\

\end{align}</math>

sind übungshalber zu berechnen!