Kanonische Transformationen - Versionsgeschichte

83.16.130.214: /* Beispiel: Harmonischer Oszillator: */

2011-07-01T17:15:30Z

Beispiel: Harmonischer Oszillator:

← Nächstältere Version		Version vom 1. Juli 2011, 19:15 Uhr
Zeile 399:		Zeile 399:
	Dies ist also die identische Transformation		Dies ist also die identische Transformation

	~~====Beispiel: Harmonischer Oszillator:====~~		Thats not just logic. Thats really senislbe.


	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& H=\frac{{{p}^{2}}}{2m}+\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}} \\~~
	~~& {{M}_{1}}(q,Q)=\frac{m\omega }{2}{{q}^{2}}\cot Q \\~~
	~~& \Rightarrow p=\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial q}=m\omega q\cot Q \\~~
	~~& P=-\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial Q}=\frac{m\omega }{2}\frac{{{q}^{2}}}{{{\sin }^{2}}Q} \\~~
	~~& q={{\left( \frac{2}{m\omega }P \right)}^{\frac{1}{2}}}\sin Q \\~~
	~~& p={{\left( 2m\omega P \right)}^{\frac{1}{2}}}\cos Q \\~~
	~~& \\~~
	~~\end{align}</math>~~



	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& H=\bar{H}\quad \left( \frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial t} \right)=0 \\~~
	~~& H=\frac{2m\omega P{{\cos }^{2}}Q}{2m}+\frac{m{{\omega }^{2}}2P}{2m\omega }{{\sin }^{2}}Q=\omega P \\~~
	~~\end{align}</math>~~


	~~Die Variable Q ist also zyklisch~~.


	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& \dot{P}=-\frac{\partial H}{\partial Q}=0\Rightarrow P=\alpha =const \\~~
	~~& \dot{Q}=\frac{\partial H}{\partial P}=\omega \Rightarrow Q=\omega t+\beta \\~~
	~~\end{align}</math>~~


	~~Somit kann q(t) durch Integration (2 Integrationskonstanten!!) gefunden werden:~~


	~~:<math>q(t)={{\left( \frac{2\alpha }{m\omega } \right)}^{\frac{1}{2}}}\sin \left( \omega t+\beta \right)</math>~~


	~~Dabei beschreibt~~
	~~:<math>\alpha </math>~~
	~~die Amplitude und~~
	~~:<math>\beta </math>~~
	~~die Phase~~.

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (2), ( → ( (5)

2010-09-12T22:29:16Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (2), ( → ( (5)

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:29 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:


	Wir wissen bereits, dass die Wahl der verallgemeinerten Koordinaten nicht eindeutig ist ( Kapitel 2.4: Forminvarianz der Lagrangegleichungen).		Wir wissen bereits, dass die Wahl der verallgemeinerten Koordinaten nicht eindeutig ist (Kapitel 2.4: Forminvarianz der Lagrangegleichungen).

	Dabei haben wir gesehen, dass die Lagrangegleichungen 2. Art forminvariant bleiben unter beliebigen diffeomorphen Transformationen der Koordinaten:		Dabei haben wir gesehen, dass die Lagrangegleichungen 2. Art forminvariant bleiben unter beliebigen diffeomorphen Transformationen der Koordinaten:
Zeile 33:		Zeile 33:
	& {{{\dot{Q}}}_{k}}=\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{P}_{k}}} \\		& {{{\dot{Q}}}_{k}}=\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{P}_{k}}} \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	gelten !		gelten!

	Nebenbemerkungen:		Nebenbemerkungen:
Zeile 101:		Zeile 101:
	k=1,...,f		k=1,...,f

	Als Beispiel ( Vergl. Kapitel 3.5) betrachten wir das reduzierte 2-Körper-Problem in der Ebene senkrecht zum Drehimpuls l:		Als Beispiel (Vergl. Kapitel 3.5) betrachten wir das reduzierte 2-Körper-Problem in der Ebene senkrecht zum Drehimpuls l:


Zeile 152:		Zeile 152:


	:<math>H(\bar{q},\bar{p},t)\to \bar{H}\left( \bar{Q},\bar{P},t \right)</math>		:<math>H(\bar{q},\bar{p},t)\to \bar{H}\left( \bar{Q},\bar{P},t \right)</math>,
	, die die Hamilton- Gleichungen forminvariant lassen.		die die Hamilton- Gleichungen forminvariant lassen.

	====Bedingung für eine kanonische Transformation:====		====Bedingung für eine kanonische Transformation:====
Zeile 186:		Zeile 186:


	:<math>{{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q},t)</math>		:<math>{{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q},t)</math>,
	, die "Erzeugende der kanonischen Trafo" genannt wird.		die "Erzeugende der kanonischen Trafo" genannt wird.

	M1 ist dabei eine Verallgemeinerung der Eichfunktion		M1 ist dabei eine Verallgemeinerung der Eichfunktion
Zeile 201:		Zeile 201:


	:<math>\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}{{p}_{k}}{{\dot{q}}_{k}}(t)-H(\bar{q},\bar{p},t)=\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}{{P}_{k}}{{\dot{Q}}_{k}}(t)-\bar{H}\left( \bar{Q},\bar{P},t \right)+\frac{d}{dt}{{M}_{1}}</math>		:<math>\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}{{p}_{k}}{{\dot{q}}_{k}}(t)-H(\bar{q},\bar{p},t)=\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}{{P}_{k}}{{\dot{Q}}_{k}}(t)-\bar{H}\left( \bar{Q},\bar{P},t \right)+\frac{d}{dt}{{M}_{1}}</math>,
	, dass		dass


Zeile 232:		Zeile 232:


	Somit kann der Impuls durch die alten Koordinaten Ort,Impuls und zeit ausgedrückt werden und die Abhängigkeit von zeitabhängigkeiten verschwindet. ( Der Ausdruck von Q durch q, p und t ist als Umkehrung der Bestimmung von p zu sehen).		Somit kann der Impuls durch die alten Koordinaten Ort,Impuls und zeit ausgedrückt werden und die Abhängigkeit von zeitabhängigkeiten verschwindet. (Der Ausdruck von Q durch q, p und t ist als Umkehrung der Bestimmung von p zu sehen).

	Für die gesamte Umkehrtrafo gilt:		Für die gesamte Umkehrtrafo gilt:
Zeile 281:		Zeile 281:

	Nebenbemerkung: Für die Variation gilt bekanntlich:		Nebenbemerkung: Für die Variation gilt bekanntlich:
	:<math>\delta \bar{q}({{t}_{1}})=\delta \bar{q}({{t}_{2}})=0</math>		:<math>\delta \bar{q}({{t}_{1}})=\delta \bar{q}({{t}_{2}})=0</math>.
	. Jedoch sind p(t1) und p(t2) beliebig. Dadurch können sich nun insbesondere die Randbedingungen für		Jedoch sind p(t1) und p(t2) beliebig. Dadurch können sich nun insbesondere die Randbedingungen für
	:<math>Q(\bar{q},\bar{p},t)</math>		:<math>Q(\bar{q},\bar{p},t)</math>
	ändern.		ändern.
Zeile 355:		Zeile 355:


	Hier folgt ( Übungsaufgabe):		Hier folgt (Übungsaufgabe):


Zeile 429:		Zeile 429:


	Somit kann q(t) durch Integration ( 2 Integrationskonstanten !!) gefunden werden:		Somit kann q(t) durch Integration (2 Integrationskonstanten!!) gefunden werden:

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:27:02Z

Einrückungen Mathematik

Änderungen zeigen

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:06:26Z

Einrückungen Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 17:06 Uhr
Zeile 85:		Zeile 85:


	<math>H=H({{P}_{1}},...,{{P}_{f}},t)</math>		<math>H=H({{P}_{1}},...,{{P}_{f}},t)</math> mit <math>{{P}_{k}}={{\alpha }_{k}}=const.</math>
	mit
	<math>{{P}_{k}}={{\alpha }_{k}}=const.</math>


Zeile 211:		Zeile 209:

	Da aber		Da aber
	<math>\bar{q}</math>		<math>\bar{q}</math> und <math>\bar{Q}</math>
	und
	<math>\bar{Q}</math>
	unabhängige Variablen sind kann obige Gleichung nur für alle denkbaren unabhängigen Variablen erfüllt werden, falls		unabhängige Variablen sind kann obige Gleichung nur für alle denkbaren unabhängigen Variablen erfüllt werden, falls

Zeile 239:		Zeile 235:

	Für die gesamte Umkehrtrafo gilt:		Für die gesamte Umkehrtrafo gilt:
	<math>{{P}_{j}}=-\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}}\ in\ {{p}_{k}}=\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}}</math>		<math>{{P}_{j}}=-\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}}\ in\ {{p}_{k}}=\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}}</math> liefert <math>\begin{align}
	liefert


	<math>\begin{align}
	& {{q}_{k}}\left( \bar{Q},\bar{P},t \right)\ aus\ {{P}_{j}}=-\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}} \\		& {{q}_{k}}\left( \bar{Q},\bar{P},t \right)\ aus\ {{P}_{j}}=-\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}} \\
	& und \\		& und \\
Zeile 369:		Zeile 361:
	& \left( {{q}_{k}}+\frac{\partial {{M}_{3}}}{\partial {{p}_{k}}} \right)=0\Rightarrow {{q}_{k}}=-\frac{\partial {{M}_{3}}}{\partial {{p}_{k}}} \\		& \left( {{q}_{k}}+\frac{\partial {{M}_{3}}}{\partial {{p}_{k}}} \right)=0\Rightarrow {{q}_{k}}=-\frac{\partial {{M}_{3}}}{\partial {{p}_{k}}} \\
	& {{P}_{k}}=-\frac{\partial {{M}_{2}}}{\partial {{Q}_{k}}} \\		& {{P}_{k}}=-\frac{\partial {{M}_{2}}}{\partial {{Q}_{k}}} \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math> oder <math>{{M}_{4}}(\bar{p},\bar{P},t)={{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q},t)-\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\left( \frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}}{{q}_{k}}+\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}}{{Q}_{k}} \right)</math>


	oder


	<math>{{M}_{4}}(\bar{p},\bar{P},t)={{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q},t)-\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\left( \frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}}{{q}_{k}}+\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}}{{Q}_{k}} \right)</math>

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Mechanik|4|3}} Wir wissen bereits, dass die Wahl der verallgemeinerten Koordinaten nicht eindeutig ist ( Kapitel 2.4: Fo…“

2010-08-28T22:32:24Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|4|3}}</noinclude> Wir wissen bereits, dass die Wahl der verallgemeinerten Koordinaten nicht eindeutig ist ( Kapitel 2.4: Fo…“

Neue Seite

<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|4|3}}</noinclude>

Wir wissen bereits, dass die Wahl der verallgemeinerten Koordinaten nicht eindeutig ist ( Kapitel 2.4: Forminvarianz der Lagrangegleichungen).

Dabei haben wir gesehen, dass die Lagrangegleichungen 2. Art forminvariant bleiben unter beliebigen diffeomorphen Transformationen der Koordinaten:

<math>\bar{q}=({{q}_{1}},...,{{q}_{f}})\to \bar{Q}=({{Q}_{1}},...,{{Q}_{f}})</math>

Dabei gilt dann:

<math>\bar{L}(\bar{Q},\dot{\bar{Q}},t)=L(\bar{q}(\bar{Q},t),\dot{\bar{q}}(\bar{Q},\dot{\bar{Q}},t),t)</math>

Nun kann man sich fragen, unter welchen Transformationen
<math>(\bar{q},\bar{p})\to \left( \bar{Q},\bar{P} \right)</math>

die Hamiltonfunktionen forminvariant sind, also:

mit
<math>\begin{align}
& {{{\dot{p}}}_{k}}=-\frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}} \\
& {{{\dot{q}}}_{k}}=\frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}} \\
\end{align}</math>
soll auch
<math>\begin{align}
& {{{\dot{P}}}_{k}}=-\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{Q}_{k}}} \\
& {{{\dot{Q}}}_{k}}=\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{P}_{k}}} \\
\end{align}</math>
gelten !

Nebenbemerkungen:

* die Klasse der erlaubten Transformationen muss größer sein als beim Lagrangeformalismus, da jetzt die pk neben den qk als UNABHÄNGIGE Variablen betrachtet werden, die ebenfalls und vor allem völlig unabhängig transformiert werden können.
* Die neuen Qk und Pk haben unter Umständen gar nicht mehr den Charakter von Orts- und Impulsvariablen.

'''In den Lagrangegleichungen der 2. Art heißt qj zyklisch, wenn:'''

<math>\frac{\partial L}{\partial {{q}_{j}}}=0\Rightarrow \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}=\frac{d}{dt}{{p}_{j}}=0\Rightarrow {{p}_{j}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}=const</math>

Allerdings ist damit keine Aussage über
<math>{{\dot{q}}_{j}}</math>
gemacht. Diese muss natürlich weiter als Variable behandelt werden.

====Hamilton-Gleichungen:====

In
<math>H({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{p}_{1}},...,{{p}_{f}},t)</math>
heißt
<math>{{q}_{j}}</math>
zyklisch, wenn

<math>\frac{\partial H}{\partial {{q}_{j}}}=0\Rightarrow -\frac{\partial L}{\partial {{q}_{j}}}=\frac{d}{dt}{{p}_{j}}=0\Rightarrow {{p}_{j}}:={{\alpha }_{j}}=const</math>

Das bedeutet nun, dass
<math>{{q}_{j}}</math>
in H gar nicht auftritt.
<math>{{p}_{j}}</math>
kann dagegen durch die Bewegungskonstante

<math>{{\alpha }_{j}}</math>
ersetzt werden:

<math>H({{q}_{1}},...,{{q}_{j-1}},{{q}_{j+1}},...,{{q}_{f}},{{p}_{1}},...,{{p}_{j-1}},{{\alpha }_{j}},{{p}_{j+1}},...,{{p}_{f}},t)</math>

Damit jedoch hat das kanonische System nur noch f-1 Freiheitsgrade.

Idee ist es nun, die Hamiltongleichungen zu lösen, indem man Schritt für Schritt zyklische Variablen durch geeignete Trafos der
<math>(\bar{q},\bar{p})\to \left( \bar{Q},\bar{P} \right)</math>
einführt, bis alle
<math>\bar{Q}</math>
zyklisch sind:

<math>H=H({{P}_{1}},...,{{P}_{f}},t)</math>
mit
<math>{{P}_{k}}={{\alpha }_{k}}=const.</math>

<math>\begin{align}
& {{{\dot{Q}}}_{k}}=\frac{\partial H}{\partial {{P}_{k}}}=:{{v}_{k}}(t) \\
& \Rightarrow {{Q}_{k}}=\int\limits_{{{t}_{0}}}^{t}{{{v}_{k}}(t\acute{\ })dt\acute{\ }}+{{\beta }_{k}} \\
\end{align}</math>

Insgesamt finden sich 2f Konstanten der Bewegung:

<math>{{\alpha }_{k}},{{\beta }_{k}}</math>
k=1,...,f

Als Beispiel ( Vergl. Kapitel 3.5) betrachten wir das reduzierte 2-Körper-Problem in der Ebene senkrecht zum Drehimpuls l:

<math>\begin{align}
& T=\frac{1}{2}m\left( {{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{y}}}^{2}}+{{{\dot{z}}}^{2}} \right)=\frac{1}{2}m\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+{{r}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}} \right) \\
& V=V(r) \\
& L=L(r,\dot{r},\phi ,\dot{\phi },)=\frac{1}{2}m\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+{{r}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}} \right)-V \\
\end{align}</math>

<math>\phi </math>
ist zyklisch:
<math>\frac{\partial L}{\partial \phi }=0\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }}=m{{r}^{2}}\dot{\phi }=l=cons</math>

Die Hamiltonschen Gleichungen lauten:

<math>\begin{align}
& {{{\dot{p}}}_{k}}=-\frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}} \\
& \frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}={{{\dot{q}}}_{k}}\quad k=1,...,f \\
& {{p}_{r}}=\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=m\dot{r}\Rightarrow \dot{r}=\frac{\partial H}{\partial {{p}_{r}}}=\frac{{{p}_{r}}}{m} \\
& {{p}_{\phi }}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }}=m{{r}^{2}}\dot{\phi }\Rightarrow \dot{\phi }=\frac{\partial H}{\partial {{p}_{\phi }}}=\frac{{{p}_{\phi }}}{m{{r}^{2}}} \\
\end{align}</math>

<math>\begin{align}
& H={{p}_{r}}\dot{r}+{{p}_{\phi }}\dot{\phi }-L=m{{{\dot{r}}}^{2}}+m{{r}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}}-L=\frac{m}{2}\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+{{r}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}} \right)+V(r) \\
& H=\frac{{{p}_{r}}^{2}}{2m}+\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{2m{{r}^{2}}}+V(r) \\
\end{align}</math>

<math>\frac{\partial H}{\partial \phi }=0\Rightarrow {{p}_{\phi }}={{\alpha }_{\phi }}=l=cons</math>

Somit läßt sich die Hamiltonfunktion von f=2 auf f=1 Freiheitsgrade reduzieren:

<math>H=\frac{{{p}_{r}}^{2}}{2m}+\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}+V(r)</math>

====Definition der kanonischen Transformationen====

Kanonische Transformationen sind diffeomorphe Transformationen (umkehrbar eindeutig und zweimal stetig diffbar):
<math>(\bar{q},\bar{p})\to \left( \bar{Q},\bar{P} \right)</math>

<math>H(\bar{q},\bar{p},t)\to \bar{H}\left( \bar{Q},\bar{P},t \right)</math>
, die die Hamilton- Gleichungen forminvariant lassen.

====Bedingung für eine kanonische Transformation:====

Die Hamiltonschen Gleichungen folgen aus dem Hamiltonschen Prinzip:

<math>\begin{align}
& \delta W=0 \\
& \delta W=\delta \int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}L=\delta \int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}\left\{ \sum\limits_{k=1}^{f}{{}}{{p}_{k}}{{{\dot{q}}}_{k}}(t)-H(\bar{q},\bar{p},t) \right\} \\
\end{align}</math>
(Legendre Trafo)

Ganz entsprechend muss für das System
<math>\left( \bar{Q},\bar{P},\bar{H} \right)</math>
gelten:

<math>\begin{align}
& \delta W=0 \\
& \delta W=\delta \int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}L=\delta \int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}\left\{ \sum\limits_{k=1}^{f}{{}}{{P}_{k}}{{{\dot{Q}}}_{k}}(t)-\bar{H}\left( \bar{Q},\bar{P},t \right) \right\}=0 \\
\end{align}</math>

Man kann sich leicht überzeugen, dass diese beiden Forderungen äquivalent sind, falls:

<math>\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}{{p}_{k}}{{\dot{q}}_{k}}(t)-H(\bar{q},\bar{p},t)=\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}{{P}_{k}}{{\dot{Q}}_{k}}(t)-\bar{H}\left( \bar{Q},\bar{P},t \right)+\frac{d}{dt}{{M}_{1}}</math>

Mit einer beliebigen Funktion

<math>{{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q},t)</math>
, die "Erzeugende der kanonischen Trafo" genannt wird.

M1 ist dabei eine Verallgemeinerung der Eichfunktion
<math>M(\bar{q},t)</math>
aus dem Kapitel Eichtrafo der Lagrangefunktion (2.3)

====Beweis:====

<math>\frac{d}{dt}{{M}_{1}}=\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\left( \frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}(t)+\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}}{{{\dot{Q}}}_{k}}(t) \right)+\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial t}</math>

Es folgt dann aus

<math>\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}{{p}_{k}}{{\dot{q}}_{k}}(t)-H(\bar{q},\bar{p},t)=\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}{{P}_{k}}{{\dot{Q}}_{k}}(t)-\bar{H}\left( \bar{Q},\bar{P},t \right)+\frac{d}{dt}{{M}_{1}}</math>
, dass

<math>\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\left( {{p}_{k}}-\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}} \right){{\dot{q}}_{k}}(t)=\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\left( {{P}_{k}}+\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right){{\dot{Q}}_{k}}(t)+H(\bar{q},\bar{p},t)-\bar{H}\left( \bar{Q},\bar{P},t \right)+\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial t}</math>

Da aber
<math>\bar{q}</math>
und
<math>\bar{Q}</math>
unabhängige Variablen sind kann obige Gleichung nur für alle denkbaren unabhängigen Variablen erfüllt werden, falls

<math>\begin{align}
& {{p}_{k}}=\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}} \\
& {{P}_{k}}=-\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}} \\
& \bar{H}\left( \bar{Q},\bar{P},t \right)=H(\bar{q},\bar{p},t)+\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial t} \\
\end{align}</math>

Das bedeutet jedoch, dass die kanonische Transformation durch
<math>{{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q},t)</math>
eindeutig bestimmt ist:

<math>\begin{align}
& {{p}_{k}}=\frac{\partial {{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q},t)}{\partial {{q}_{k}}}\Rightarrow {{Q}_{j}}(\bar{q},\bar{p},t) \\
& Bedingung:\det \left( \frac{{{\partial }^{2}}{{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}\partial {{Q}_{j}}} \right)\ne 0 \\
& {{P}_{k}}=-\frac{\partial {{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q},t)}{\partial {{Q}_{k}}}=-\frac{\partial {{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q}(\bar{q},\bar{p},t),t)}{\partial {{Q}_{k}}}={{P}_{k}}(\bar{q},\bar{p},t) \\
\end{align}</math>

Somit kann der Impuls durch die alten Koordinaten Ort,Impuls und zeit ausgedrückt werden und die Abhängigkeit von zeitabhängigkeiten verschwindet. ( Der Ausdruck von Q durch q, p und t ist als Umkehrung der Bestimmung von p zu sehen).

Für die gesamte Umkehrtrafo gilt:
<math>{{P}_{j}}=-\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}}\ in\ {{p}_{k}}=\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}}</math>
liefert

<math>\begin{align}
& {{q}_{k}}\left( \bar{Q},\bar{P},t \right)\ aus\ {{P}_{j}}=-\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}} \\
& und \\
& {{p}_{j}}\left( \bar{Q},\bar{P},t \right)\ aus\ {{p}_{k}}=\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}} \\
\end{align}</math>

====Äquivalenzrelation:====

<math>\delta W=\delta \int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}L=\delta \int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}\left\{ \sum\limits_{k=1}^{f}{{}}{{p}_{k}}{{{\dot{q}}}_{k}}(t)-H(\bar{q},\bar{p},t) \right\}=0</math>
(Legendre Trafo)

<math>\Leftrightarrow \delta W=\delta \int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}L=\delta \int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}\left\{ \sum\limits_{k=1}^{f}{{}}{{P}_{k}}{{{\dot{Q}}}_{k}}(t)-\bar{H}\left( \bar{Q},\bar{P},t \right) \right\}=0</math>

Beweis:

<math>\begin{align}
& \delta \int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}\left\{ \sum\limits_{k=1}^{f}{{}}{{p}_{k}}{{{\dot{q}}}_{k}}(t)-H(\bar{Q},\bar{P},t) \right\}=0 \\
& \Leftrightarrow \delta \int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}\left\{ \sum\limits_{k=1}^{f}{{}}{{P}_{k}}{{{\dot{Q}}}_{k}}(t)-\bar{H}(\bar{Q},\bar{P},t)+\frac{d}{dt}{{M}_{1}} \right\}=0 \\
& =\delta \int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}\left\{ \sum\limits_{k=1}^{f}{{}}{{P}_{k}}{{{\dot{Q}}}_{k}}(t)-\bar{H}(\bar{Q},\bar{P},t) \right\}+\delta \left\{ {{M}_{1}}(q({{t}_{2}}),Q({{t}_{2}}),{{t}_{2}})-{{M}_{1}}(q({{t}_{1}}),Q({{t}_{1}}),{{t}_{1}}) \right\} \\
\end{align}</math>

Dabei gelten die Relationen:

<math>\delta \int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}\left\{ \sum\limits_{k=1}^{f}{{}}{{P}_{k}}{{{\dot{Q}}}_{k}}(t)-\bar{H}(\bar{Q},\bar{P},t) \right\}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}\left\{ \sum\limits_{k=1}^{f}{\delta }{{P}_{k}}{{{\dot{Q}}}_{k}}(t)+{{P}_{k}}\delta {{{\dot{Q}}}_{k}}(t)-\frac{\partial \bar{H}(\bar{Q},\bar{P},t)}{\partial {{Q}_{k}}}\delta {{Q}_{k}}-\frac{\partial \bar{H}(\bar{Q},\bar{P},t)}{\partial {{P}_{k}}}\delta {{P}_{k}} \right\}</math>

<math>\begin{align}
& \delta \left\{ {{M}_{1}}(q({{t}_{2}}),Q({{t}_{2}}),{{t}_{2}})-{{M}_{1}}(q({{t}_{1}}),Q({{t}_{1}}),{{t}_{1}}) \right\}=\sum\limits_{k}{\left( \left. \frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}}\delta {{q}_{k}} \right|_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}+\left. \frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}}\delta {{Q}_{k}} \right|_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}} \right)} \\
& mit\left. \quad \frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}}\delta {{q}_{k}} \right|_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}=0\quad und\quad \left. \frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}}\delta {{Q}_{k}} \right|_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}\ne 0 \\
\end{align}</math>

Außerdem:

<math>\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt{{P}_{k}}\delta {{{\dot{Q}}}_{k}}(t)}=\left. {{P}_{k}}\delta {{Q}_{k}} \right|_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}-\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt{{{\dot{P}}}_{k}}\delta {{Q}_{k}}}</math>

Nebenbemerkung: Für die Variation gilt bekanntlich:
<math>\delta \bar{q}({{t}_{1}})=\delta \bar{q}({{t}_{2}})=0</math>
. Jedoch sind p(t1) und p(t2) beliebig. Dadurch können sich nun insbesondere die Randbedingungen für
<math>Q(\bar{q},\bar{p},t)</math>
ändern.

Unter Beachtung der obigen relationen gilt nun:

<math>0=\delta \int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dtL}=\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\left. \left( {{P}_{k}}+\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right)\delta {{Q}_{k}} \right|_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}+\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\left\{ \left( {{{\dot{Q}}}_{k}}(t)-\frac{\partial \bar{H}(\bar{Q},\bar{P},t)}{\partial {{P}_{k}}} \right)\delta {{P}_{k}}-\left( {{{\dot{P}}}_{k}}(t)+\frac{\partial \bar{H}(\bar{Q},\bar{P},t)}{\partial {{Q}_{k}}} \right)\delta {{Q}_{k}} \right\}</math>

Aus den obigen Relationen ist bekannt:

<math>\left( {{P}_{k}}+\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right)=0</math>

Gleichzeitig sind jedoch Pi und Qi unabhängig und können demnach unabhängig variiert werden. Das bedeutet, dass
<math>\delta {{P}_{k}}\quad und\quad \delta {{Q}_{k}}</math>
unabhängig sind.

Somit muss jeweils für sich gelten:

<math>\begin{align}
& 0=\left( {{{\dot{Q}}}_{k}}(t)-\frac{\partial \bar{H}(\bar{Q},\bar{P},t)}{\partial {{P}_{k}}} \right) \\
& 0=\left( {{{\dot{P}}}_{k}}(t)+\frac{\partial \bar{H}(\bar{Q},\bar{P},t)}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \\
\end{align}</math>

und es sind die Hamiltonschen Gleichungen äquivalent in den neuen Koordinaten, was zu beweisen war.

====Äquivalente Formen der erzeugenden Funktion====

Eine Legendre- Transformation von M1 liefert:

Aus dem vorigen Beweis ist bekannt:

<math>\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\left( {{p}_{k}}{{{\dot{q}}}_{k}}-{{P}_{k}}{{{\dot{Q}}}_{k}} \right)-\left( H-\bar{H} \right)=\frac{d}{dt}{{M}_{1}}</math>

Außerdem gilt:

<math>\frac{d}{dt}{{M}_{1}}=\frac{d}{dt}\left( {{M}_{2}}(\bar{q}(t),\bar{P}(t),t)-\sum\limits_{k}{{{P}_{k}}{{Q}_{k}}} \right)=\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\left( \frac{\partial {{M}_{2}}}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial {{M}_{2}}}{\partial {{P}_{k}}}{{{\dot{P}}}_{k}}-{{{\dot{P}}}_{k}}{{Q}_{k}}-{{P}_{k}}{{{\dot{Q}}}_{k}} \right)+\frac{\partial {{M}_{2}}}{\partial t}</math>

So dass folgt:

<math>\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\left( {{p}_{k}}-\frac{\partial {{M}_{2}}}{\partial {{q}_{k}}} \right){{\dot{q}}_{k}}+\left( {{Q}_{k}}-\frac{\partial {{M}_{2}}}{\partial {{P}_{k}}} \right){{\dot{P}}_{k}}+({{P}_{k}}-{{P}_{k}}){{\dot{Q}}_{k}}=\left( H-\bar{H} \right)+\frac{\partial {{M}_{2}}}{\partial t}</math>

Da dies für beliebige
<math>{{\dot{q}}_{k}},{{\dot{P}}_{k}}</math>
gilt, kann die Summe nur allgemein identisch sein, wenn gilt:

<math>\begin{align}
& \left( {{p}_{k}}-\frac{\partial {{M}_{2}}}{\partial {{q}_{k}}} \right)=0\Rightarrow {{p}_{k}}=\frac{\partial {{M}_{2}}}{\partial {{q}_{k}}} \\
& {{Q}_{k}}=\frac{\partial {{M}_{2}}}{\partial {{P}_{k}}} \\
& \bar{H}=H+\frac{\partial {{M}_{2}}}{\partial t} \\
\end{align}</math>

Analog kann gezeigt werden, dass für

<math>{{M}_{3}}(\bar{p},\bar{Q},t)={{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q},t)-\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}}{{q}_{k}}</math>

Hier folgt ( Übungsaufgabe):

<math>\begin{align}
& \left( {{q}_{k}}+\frac{\partial {{M}_{3}}}{\partial {{p}_{k}}} \right)=0\Rightarrow {{q}_{k}}=-\frac{\partial {{M}_{3}}}{\partial {{p}_{k}}} \\
& {{P}_{k}}=-\frac{\partial {{M}_{2}}}{\partial {{Q}_{k}}} \\
\end{align}</math>

oder

<math>{{M}_{4}}(\bar{p},\bar{P},t)={{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q},t)-\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\left( \frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}}{{q}_{k}}+\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}}{{Q}_{k}} \right)</math>

<math>\begin{align}
& \Rightarrow \left( {{q}_{k}}+\frac{\partial {{M}_{4}}}{\partial {{p}_{k}}} \right)=0\Rightarrow {{q}_{k}}=-\frac{\partial {{M}_{4}}}{\partial {{p}_{k}}} \\
& {{Q}_{k}}=-\frac{\partial {{M}_{4}}}{\partial {{P}_{k}}} \\
\end{align}</math>

====Beispiele für kanonische Transformationen====

Erzeugende sei:

<math>\begin{align}
& {{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q},t)=\sum\limits_{j=1}^{f}{{}}{{q}_{j}}{{Q}_{j}} \\
& \Rightarrow {{p}_{j}}=\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{j}}}=-{{Q}_{j}} \\
& {{P}_{j}}=-\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}}={{q}_{j}} \\
& \left( \bar{q},\bar{p} \right)\to \left( \bar{P},-\bar{Q} \right) \\
\end{align}</math>

Bei dieser Trafo werden also Ort und Impuls vertauscht.

Beispiel 2:

<math>\begin{align}
& {{M}_{2}}(\bar{q},\bar{P},t)=\sum\limits_{j=1}^{f}{{}}{{q}_{j}}{{P}_{j}} \\
& \Rightarrow {{p}_{j}}=\frac{\partial {{M}_{2}}}{\partial {{q}_{j}}}={{P}_{j}} \\
& {{Q}_{j}}=\frac{\partial {{M}_{2}}}{\partial {{P}_{j}}}={{q}_{j}} \\
& \left( \bar{q},\bar{p} \right)\to \left( \bar{Q},\bar{P} \right) \\
\end{align}</math>

Dies ist also die identische Transformation

====Beispiel: Harmonischer Oszillator:====

<math>\begin{align}
& H=\frac{{{p}^{2}}}{2m}+\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}} \\
& {{M}_{1}}(q,Q)=\frac{m\omega }{2}{{q}^{2}}\cot Q \\
& \Rightarrow p=\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial q}=m\omega q\cot Q \\
& P=-\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial Q}=\frac{m\omega }{2}\frac{{{q}^{2}}}{{{\sin }^{2}}Q} \\
& q={{\left( \frac{2}{m\omega }P \right)}^{\frac{1}{2}}}\sin Q \\
& p={{\left( 2m\omega P \right)}^{\frac{1}{2}}}\cos Q \\
& \\
\end{align}</math>

<math>\begin{align}
& H=\bar{H}\quad \left( \frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial t} \right)=0 \\
& H=\frac{2m\omega P{{\cos }^{2}}Q}{2m}+\frac{m{{\omega }^{2}}2P}{2m\omega }{{\sin }^{2}}Q=\omega P \\
\end{align}</math>

Die Variable Q ist also zyklisch.

<math>\begin{align}
& \dot{P}=-\frac{\partial H}{\partial Q}=0\Rightarrow P=\alpha =const \\
& \dot{Q}=\frac{\partial H}{\partial P}=\omega \Rightarrow Q=\omega t+\beta \\
\end{align}</math>

Somit kann q(t) durch Integration ( 2 Integrationskonstanten !!) gefunden werden:

<math>q(t)={{\left( \frac{2\alpha }{m\omega } \right)}^{\frac{1}{2}}}\sin \left( \omega t+\beta \right)</math>

Dabei beschreibt
<math>\alpha </math>
die Amplitude und
<math>\beta </math>
die Phase.