Induzierte Emission und Absorption von Lichtquanten in Atomen - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → !, ( → ( (8)

2010-09-12T22:41:46Z

Interpunktion, replaced: ! → !, ( → ( (8)

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:41 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|5\|2}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|5\|2}}</noinclude>

	Ein Elektron im kugelsymmetrischen Coulomb- Potenzial V( r) eines Atomrumpfes hat den ungestörten Hamiltonian:		Ein Elektron im kugelsymmetrischen Coulomb- Potenzial V(r) eines Atomrumpfes hat den ungestörten Hamiltonian:

	:<math>{{\hat{H}}^{0}}=\frac{{{{\hat{p}}}^{2}}}{2m}+V(r)</math>		:<math>{{\hat{H}}^{0}}=\frac{{{{\hat{p}}}^{2}}}{2m}+V(r)</math>
Zeile 29:		Zeile 29:
	:<math>\bar{B}(\bar{r},t)=\nabla \times \bar{A}(\bar{r},t)=-\bar{k}\times {{\bar{A}}_{0}}\sin (\bar{k}\bar{r}-\omega t)</math>		:<math>\bar{B}(\bar{r},t)=\nabla \times \bar{A}(\bar{r},t)=-\bar{k}\times {{\bar{A}}_{0}}\sin (\bar{k}\bar{r}-\omega t)</math>

	Analog zu S. 92 haben wir den Hamiltonoperator ( vergl. Magnetisches Moment und Zeeman- Effekt):		Analog zu S. 92 haben wir den Hamiltonoperator (vergl. Magnetisches Moment und Zeeman- Effekt):

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 45:		Zeile 45:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Gemäß S. 116 haben wir die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ( Differentiation der Übergangswahrscheinlichkeit):		Gemäß S. 116 haben wir die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit (Differentiation der Übergangswahrscheinlichkeit):

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 55:		Zeile 55:
	====Dipolnäherung:====		====Dipolnäherung:====

	Annahme: Die Wellenlänge ( einige tausend Angström) ist deutlich größer als der Atomdurchmesser ( einige Angström)		Annahme: Die Wellenlänge (einige tausend Angström) ist deutlich größer als der Atomdurchmesser (einige Angström)

	→<math>\begin{align}		→<math>\begin{align}
Zeile 90:		Zeile 90:
	:<math>\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )</math>		:<math>\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )</math>
	einen Beitrag für <math>{{E}_{n}}>{{E}_{n0}}</math>		einen Beitrag für <math>{{E}_{n}}>{{E}_{n0}}</math>
	( Absorption) und		(Absorption) und
	:<math>\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )</math>		:<math>\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )</math>
	einen Beitrag für <math>{{E}_{n}}<{{E}_{n0}}</math>		einen Beitrag für <math>{{E}_{n}}<{{E}_{n0}}</math>
Zeile 105:		Zeile 105:
	<u>'''Bemerkungen'''</u>		<u>'''Bemerkungen'''</u>

	Spontane Emission kann in der semiklasischen Theorie ( Atom wird quantenmechanisch beschrieben, das Strahlfeld jedoch klassisch) nicht beschrieben werden ! Hierzu ist die Quantisierung des Strahlungsfeldes nötig (Quantenfeldtheorie).		Spontane Emission kann in der semiklasischen Theorie (Atom wird quantenmechanisch beschrieben, das Strahlfeld jedoch klassisch) nicht beschrieben werden! Hierzu ist die Quantisierung des Strahlungsfeldes nötig (Quantenfeldtheorie).
	Die Auswahlregeln für erlaubte elektrische Dipolübergänge sind durch das Dipolmatrixelement <math>{{\bar{d}}_{nn0}}=e\left\langle n \right\|\hat{\bar{r}}\left\| {{n}_{0}} \right\rangle </math>		Die Auswahlregeln für erlaubte elektrische Dipolübergänge sind durch das Dipolmatrixelement <math>{{\bar{d}}_{nn0}}=e\left\langle n \right\|\hat{\bar{r}}\left\| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
	gegeben. Für <math>e\left\langle n \right\|\hat{\bar{r}}\left\| {{n}_{0}} \right\rangle =0</math>		gegeben. Für <math>e\left\langle n \right\|\hat{\bar{r}}\left\| {{n}_{0}} \right\rangle =0</math>
	können erlaubte Multipolübergänge ( magnetischer Dipol, elektrischer Quadrupol etc...) durch die Entwicklung von <math>{{e}^{\pm i\bar{k}\bar{r}}}</math>		können erlaubte Multipolübergänge (magnetischer Dipol, elektrischer Quadrupol etc...) durch die Entwicklung von <math>{{e}^{\pm i\bar{k}\bar{r}}}</math>
	in höherer Ordnung berechnet werden.		in höherer Ordnung berechnet werden.

>SchuBot: / Dipolnäherung: */Pfeile einfügen, replaced: -> → →

2010-09-12T20:04:49Z

Dipolnäherung:: Pfeile einfügen, replaced: -> → →

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 22:04 Uhr
Zeile 57:		Zeile 57:
	Annahme: Die Wellenlänge ( einige tausend Angström) ist deutlich größer als der Atomdurchmesser ( einige Angström)		Annahme: Die Wellenlänge ( einige tausend Angström) ist deutlich größer als der Atomdurchmesser ( einige Angström)

	-><math>\begin{align}		→<math>\begin{align}
	& \bar{k}\bar{r}<<1 \\		& \bar{k}\bar{r}<<1 \\
	& {{e}^{\mp i\bar{k}\bar{r}}}=1+O(\bar{k}\bar{r}) \\		& {{e}^{\mp i\bar{k}\bar{r}}}=1+O(\bar{k}\bar{r}) \\

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:41:15Z

Einrückungen Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 16:41 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	Ein Elektron im kugelsymmetrischen Coulomb- Potenzial V( r) eines Atomrumpfes hat den ungestörten Hamiltonian:		Ein Elektron im kugelsymmetrischen Coulomb- Potenzial V( r) eines Atomrumpfes hat den ungestörten Hamiltonian:

	<math>{{\hat{H}}^{0}}=\frac{{{{\hat{p}}}^{2}}}{2m}+V(r)</math>		:<math>{{\hat{H}}^{0}}=\frac{{{{\hat{p}}}^{2}}}{2m}+V(r)</math>

	Es soll untersucht werden, wie sich dieses Elektron unter dem Einfluss einer elektromagnetischen Welle mit		Es soll untersucht werden, wie sich dieses Elektron unter dem Einfluss einer elektromagnetischen Welle mit

	<math>\bar{A}(\bar{r},t)={{\bar{A}}_{0}}\cos (\bar{k}\bar{r}-\omega t)</math>		:<math>\bar{A}(\bar{r},t)={{\bar{A}}_{0}}\cos (\bar{k}\bar{r}-\omega t)</math>

	verhält.		verhält.

	<math>\omega =c\left\| {\bar{k}} \right\|</math>		:<math>\omega =c\left\| {\bar{k}} \right\|</math>

	und es gilt Coulomb- Eichung:		und es gilt Coulomb- Eichung:

	<math>\nabla \cdot \bar{A}(\bar{r},t)=0</math>		:<math>\nabla \cdot \bar{A}(\bar{r},t)=0</math>

	So wird:		So wird:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \bar{E}(\bar{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}(\bar{r},t)=-\omega {{{\bar{A}}}_{0}}\sin (\bar{k}\bar{r}-\omega t) \\		& \bar{E}(\bar{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}(\bar{r},t)=-\omega {{{\bar{A}}}_{0}}\sin (\bar{k}\bar{r}-\omega t) \\
Zeile 27:		Zeile 27:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	<math>\bar{B}(\bar{r},t)=\nabla \times \bar{A}(\bar{r},t)=-\bar{k}\times {{\bar{A}}_{0}}\sin (\bar{k}\bar{r}-\omega t)</math>		:<math>\bar{B}(\bar{r},t)=\nabla \times \bar{A}(\bar{r},t)=-\bar{k}\times {{\bar{A}}_{0}}\sin (\bar{k}\bar{r}-\omega t)</math>

	Analog zu S. 92 haben wir den Hamiltonoperator ( vergl. Magnetisches Moment und Zeeman- Effekt):		Analog zu S. 92 haben wir den Hamiltonoperator ( vergl. Magnetisches Moment und Zeeman- Effekt):

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \hat{H}={{{\hat{H}}}_{0}}-\frac{e}{m}\bar{A}\cdot \hat{\bar{p}}={{{\hat{H}}}_{0}}+{{{\hat{H}}}^{1}} \\		& \hat{H}={{{\hat{H}}}_{0}}-\frac{e}{m}\bar{A}\cdot \hat{\bar{p}}={{{\hat{H}}}_{0}}+{{{\hat{H}}}^{1}} \\
Zeile 47:		Zeile 47:
	Gemäß S. 116 haben wir die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ( Differentiation der Übergangswahrscheinlichkeit):		Gemäß S. 116 haben wir die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ( Differentiation der Übergangswahrscheinlichkeit):

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& {{W}_{nn0}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left\| \left\langle n \right\|\hat{F}\left\| {{n}_{0}} \right\rangle \right\|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\frac{2\pi }{\hbar }{{\left\| \left\langle {{n}_{0}} \right\|{{{\hat{F}}}^{+}}\left\| n \right\rangle \right\|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega ) \\		& {{W}_{nn0}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left\| \left\langle n \right\|\hat{F}\left\| {{n}_{0}} \right\rangle \right\|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\frac{2\pi }{\hbar }{{\left\| \left\langle {{n}_{0}} \right\|{{{\hat{F}}}^{+}}\left\| n \right\rangle \right\|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega ) \\
Zeile 68:		Zeile 68:
	Damit wird das Matrixelement des Störoperators		Damit wird das Matrixelement des Störoperators

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& -\frac{e}{m}\left\langle n \right\|{{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}{{{\bar{A}}}_{0}}\hat{\bar{p}}\left\| {{n}_{0}} \right\rangle \cong -\frac{i}{\hbar }\frac{em}{2m}{{{\bar{A}}}_{0}}\left\langle n \right\|{{{\hat{H}}}_{0}}\hat{\bar{r}}-\hat{\bar{r}}{{{\hat{H}}}_{0}}\left\| {{n}_{0}} \right\rangle =-\frac{i}{2\hbar }({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}){{{\bar{A}}}_{0}}e\left\langle n \right\|\hat{\bar{r}}\left\| {{n}_{0}} \right\rangle \\		& -\frac{e}{m}\left\langle n \right\|{{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}{{{\bar{A}}}_{0}}\hat{\bar{p}}\left\| {{n}_{0}} \right\rangle \cong -\frac{i}{\hbar }\frac{em}{2m}{{{\bar{A}}}_{0}}\left\langle n \right\|{{{\hat{H}}}_{0}}\hat{\bar{r}}-\hat{\bar{r}}{{{\hat{H}}}_{0}}\left\| {{n}_{0}} \right\rangle =-\frac{i}{2\hbar }({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}){{{\bar{A}}}_{0}}e\left\langle n \right\|\hat{\bar{r}}\left\| {{n}_{0}} \right\rangle \\
	& {{{\bar{A}}}_{0}}=-\frac{{{{\bar{E}}}_{0}}}{\omega } \\		& {{{\bar{A}}}_{0}}=-\frac{{{{\bar{E}}}_{0}}}{\omega } \\
Zeile 78:		Zeile 78:
	Die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ergibt sich gemäß		Die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ergibt sich gemäß

	<math>{{W}_{nn0}}=\frac{2\pi }{\hbar }\frac{{{({{E}_{n}}-{{E}_{n0}})}^{2}}}{4{{\left( \hbar \omega \right)}^{2}}}{{\left( {{{\bar{E}}}_{0}}\cdot {{{\bar{d}}}_{nn0}} \right)}^{2}}\left\{ \delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega ) \right\}</math>		:<math>{{W}_{nn0}}=\frac{2\pi }{\hbar }\frac{{{({{E}_{n}}-{{E}_{n0}})}^{2}}}{4{{\left( \hbar \omega \right)}^{2}}}{{\left( {{{\bar{E}}}_{0}}\cdot {{{\bar{d}}}_{nn0}} \right)}^{2}}\left\{ \delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega ) \right\}</math>

	<u>'''Kontinuierliches Einstrahlungsspektrum:'''</u>		<u>'''Kontinuierliches Einstrahlungsspektrum:'''</u>

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \bar{E}(\bar{r},t)=\int_{0}^{\infty }{d\omega }{{{\bar{E}}}_{0}}(\omega )\sin \left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right) \\		& \bar{E}(\bar{r},t)=\int_{0}^{\infty }{d\omega }{{{\bar{E}}}_{0}}(\omega )\sin \left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right) \\
	& \Rightarrow {{W}_{nn0}}=\frac{\pi }{2{{\hbar }^{2}}}\int_{0}^{\infty }{d\left( \hbar \omega \right)}{{\left( {{{\bar{E}}}_{0}}\left( \omega \right)\cdot {{{\bar{d}}}_{nn0}} \right)}^{2}}\left\{ \delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega ) \right\} \\		& \Rightarrow {{W}_{nn0}}=\frac{\pi }{2{{\hbar }^{2}}}\int_{0}^{\infty }{d\left( \hbar \omega \right)}{{\left( {{{\bar{E}}}_{0}}\left( \omega \right)\cdot {{{\bar{d}}}_{nn0}} \right)}^{2}}\left\{ \delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega ) \right\} \\
Zeile 88:		Zeile 88:

	Dabei liefert		Dabei liefert
	<math>\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )</math>		:<math>\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )</math>
	einen Beitrag für <math>{{E}_{n}}>{{E}_{n0}}</math>		einen Beitrag für <math>{{E}_{n}}>{{E}_{n0}}</math>
	( Absorption) und		( Absorption) und
	<math>\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )</math>		:<math>\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )</math>
	einen Beitrag für <math>{{E}_{n}}<{{E}_{n0}}</math>		einen Beitrag für <math>{{E}_{n}}<{{E}_{n0}}</math>
	als induzierte Emission. Die Wahrscheinlichkeit ist <math>\tilde{\ }{{\bar{E}}_{0}}{{\left( \omega \right)}^{2}}</math>		als induzierte Emission. Die Wahrscheinlichkeit ist <math>\tilde{\ }{{\bar{E}}_{0}}{{\left( \omega \right)}^{2}}</math>
Zeile 97:		Zeile 97:

	Die Ausführung der Integration liefert:		Die Ausführung der Integration liefert:
	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{W}_{nn0}}=\frac{\pi }{2{{\hbar }^{2}}}\int_{0}^{\infty }{d\left( \hbar \omega \right)}{{\left( {{{\bar{E}}}_{0}}\left( \omega \right)\cdot {{{\bar{d}}}_{nn0}} \right)}^{2}}\left\{ \delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega ) \right\} \\		& {{W}_{nn0}}=\frac{\pi }{2{{\hbar }^{2}}}\int_{0}^{\infty }{d\left( \hbar \omega \right)}{{\left( {{{\bar{E}}}_{0}}\left( \omega \right)\cdot {{{\bar{d}}}_{nn0}} \right)}^{2}}\left\{ \delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega ) \right\} \\
	& \Rightarrow {{W}_{nn0}}=\frac{\pi }{2{{\hbar }^{2}}}{{\left( {{{\bar{E}}}_{0}}\left( \frac{\left( \left\| {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right\| \right)}{\hbar } \right)\cdot {{{\bar{d}}}_{nn0}} \right)}^{2}} \\		& \Rightarrow {{W}_{nn0}}=\frac{\pi }{2{{\hbar }^{2}}}{{\left( {{{\bar{E}}}_{0}}\left( \frac{\left( \left\| {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right\| \right)}{\hbar } \right)\cdot {{{\bar{d}}}_{nn0}} \right)}^{2}} \\
Zeile 117:		Zeile 117:
	Die ungestörte Wellenfunktion:		Die ungestörte Wellenfunktion:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{\Psi }_{nlm}}(\bar{r})=\frac{{{u}_{nl}}(r)}{r}{{Y}_{l}}^{m}\left( \vartheta ,\phi \right)\tilde{\ }{{P}_{l}}^{m}(\cos \vartheta ){{e}^{im\phi }} \\		& {{\Psi }_{nlm}}(\bar{r})=\frac{{{u}_{nl}}(r)}{r}{{Y}_{l}}^{m}\left( \vartheta ,\phi \right)\tilde{\ }{{P}_{l}}^{m}(\cos \vartheta ){{e}^{im\phi }} \\
	& \left\| n \right\rangle =\left\| n\acute{\ }l\acute{\ }m\acute{\ } \right\rangle \\		& \left\| n \right\rangle =\left\| n\acute{\ }l\acute{\ }m\acute{\ } \right\rangle \\
Zeile 124:		Zeile 124:

	Kugelkoordinaten		Kugelkoordinaten
	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{\Psi }_{nlm}}(\bar{r})=\frac{{{u}_{nl}}(r)}{r}{{Y}_{l}}^{m}\left( \vartheta ,\phi \right)\tilde{\ }{{P}_{l}}^{m}(\cos \vartheta ){{e}^{im\phi }} \\		& {{\Psi }_{nlm}}(\bar{r})=\frac{{{u}_{nl}}(r)}{r}{{Y}_{l}}^{m}\left( \vartheta ,\phi \right)\tilde{\ }{{P}_{l}}^{m}(\cos \vartheta ){{e}^{im\phi }} \\
	& {{x}_{1}}=r\sin \vartheta \cos \phi \\		& {{x}_{1}}=r\sin \vartheta \cos \phi \\
Zeile 133:		Zeile 133:
	betrachte		betrachte

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \xi ={{x}_{1}}+i{{x}_{2}}=r\sin \vartheta {{e}^{i\phi }} \\		& \xi ={{x}_{1}}+i{{x}_{2}}=r\sin \vartheta {{e}^{i\phi }} \\
	& \xi *={{x}_{1}}-i{{x}_{2}}=r\sin \vartheta {{e}^{-i\phi }} \\		& \xi *={{x}_{1}}-i{{x}_{2}}=r\sin \vartheta {{e}^{-i\phi }} \\
Zeile 140:		Zeile 140:
	Einsetzen liefert:		Einsetzen liefert:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{\Psi }_{nlm}}(\bar{r})=\frac{{{u}_{nl}}(r)}{r}{{Y}_{l}}^{m}\left( \vartheta ,\phi \right)\tilde{\ }{{P}_{l}}^{m}(\cos \vartheta ){{e}^{im\phi }} \\		& {{\Psi }_{nlm}}(\bar{r})=\frac{{{u}_{nl}}(r)}{r}{{Y}_{l}}^{m}\left( \vartheta ,\phi \right)\tilde{\ }{{P}_{l}}^{m}(\cos \vartheta ){{e}^{im\phi }} \\
	& \left\langle n\acute{\ }l\acute{\ }m\acute{\ } \right\|\hat{\bar{\xi }}\left\| nlm \right\rangle \tilde{\ }\int_{0}^{\pi }{d}\vartheta {{\sin }^{2}}\left( \vartheta \right){{P}_{l\acute{\ }}}^{m\acute{\ }}(\cos \vartheta ){{P}_{l}}^{m}(\cos \vartheta )\int_{0}^{2\pi }{d}\phi {{e}^{i\left( m-m\acute{\ }+1 \right)\phi }} \\		& \left\langle n\acute{\ }l\acute{\ }m\acute{\ } \right\|\hat{\bar{\xi }}\left\| nlm \right\rangle \tilde{\ }\int_{0}^{\pi }{d}\vartheta {{\sin }^{2}}\left( \vartheta \right){{P}_{l\acute{\ }}}^{m\acute{\ }}(\cos \vartheta ){{P}_{l}}^{m}(\cos \vartheta )\int_{0}^{2\pi }{d}\phi {{e}^{i\left( m-m\acute{\ }+1 \right)\phi }} \\
Zeile 150:		Zeile 150:

	Analog kann man ausrechnen:		Analog kann man ausrechnen:
	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \left\langle n\acute{\ }l\acute{\ }m\acute{\ } \right\|\hat{\bar{\xi }}*\left\| nlm \right\rangle \tilde{\ }{{\delta }_{m\acute{\ },m-1}}{{\delta }_{l\acute{\ },l\pm 1}} \\		& \left\langle n\acute{\ }l\acute{\ }m\acute{\ } \right\|\hat{\bar{\xi }}*\left\| nlm \right\rangle \tilde{\ }{{\delta }_{m\acute{\ },m-1}}{{\delta }_{l\acute{\ },l\pm 1}} \\
	& \left\langle n\acute{\ }l\acute{\ }m\acute{\ } \right\|{{{\hat{x}}}_{3}}\left\| nlm \right\rangle \tilde{\ }{{\delta }_{m\acute{\ }m}}{{\delta }_{l\acute{\ },l\pm 1}} \\		& \left\langle n\acute{\ }l\acute{\ }m\acute{\ } \right\|{{{\hat{x}}}_{3}}\left\| nlm \right\rangle \tilde{\ }{{\delta }_{m\acute{\ }m}}{{\delta }_{l\acute{\ },l\pm 1}} \\
Zeile 157:		Zeile 157:
	Also gewinnen wir die Auswahlregeln für Dipol- erlaubte Übergänge:		Also gewinnen wir die Auswahlregeln für Dipol- erlaubte Übergänge:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \Delta l=\pm 1 \\		& \Delta l=\pm 1 \\
	& \Delta m=0,\pm 1 \\		& \Delta m=0,\pm 1 \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

Schubotz am 9. September 2010 um 14:36 Uhr

2010-09-09T14:36:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. September 2010, 16:36 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|5\|2}}		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|5\|2}}</noinclude>

	Ein Elektron im kugelsymmetrischen Coulomb- Potenzial V( r) eines Atomrumpfes hat den ungestörten Hamiltonian:		Ein Elektron im kugelsymmetrischen Coulomb- Potenzial V( r) eines Atomrumpfes hat den ungestörten Hamiltonian:

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|5|2}} Ein Elektron im kugelsymmetrischen Coulomb- Potenzial V( r) eines Atomrumpfes hat den ungestörten Hamiltonian: ${{\h…“$

2010-08-24T17:55:04Z

Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|5|2}} Ein Elektron im kugelsymmetrischen Coulomb- Potenzial V( r) eines Atomrumpfes hat den ungestörten Hamiltonian: <math>{{\h…“

Neue Seite

{{Scripthinweis|Quantenmechanik|5|2}}

Ein Elektron im kugelsymmetrischen Coulomb- Potenzial V( r) eines Atomrumpfes hat den ungestörten Hamiltonian:

<math>{{\hat{H}}^{0}}=\frac{{{{\hat{p}}}^{2}}}{2m}+V(r)</math>

Es soll untersucht werden, wie sich dieses Elektron unter dem Einfluss einer elektromagnetischen Welle mit

<math>\bar{A}(\bar{r},t)={{\bar{A}}_{0}}\cos (\bar{k}\bar{r}-\omega t)</math>

verhält.

<math>\omega =c\left| {\bar{k}} \right|</math>

und es gilt Coulomb- Eichung:

<math>\nabla \cdot \bar{A}(\bar{r},t)=0</math>

So wird:

<math>\begin{align}

& \bar{E}(\bar{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}(\bar{r},t)=-\omega {{{\bar{A}}}_{0}}\sin (\bar{k}\bar{r}-\omega t) \\

& -\omega {{{\bar{A}}}_{0}}:={{{\bar{E}}}_{0}} \\

\end{align}</math>

<math>\bar{B}(\bar{r},t)=\nabla \times \bar{A}(\bar{r},t)=-\bar{k}\times {{\bar{A}}_{0}}\sin (\bar{k}\bar{r}-\omega t)</math>

Analog zu S. 92 haben wir den Hamiltonoperator ( vergl. Magnetisches Moment und Zeeman- Effekt):

<math>\begin{align}

& \hat{H}={{{\hat{H}}}_{0}}-\frac{e}{m}\bar{A}\cdot \hat{\bar{p}}={{{\hat{H}}}_{0}}+{{{\hat{H}}}^{1}} \\

& {{{\hat{H}}}^{1}}:=-\frac{e}{m}\cos (\bar{k}\bar{r}-\omega t){{{\bar{A}}}_{0}}\hat{\bar{p}}=-\frac{e}{2m}{{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}{{{\bar{A}}}_{0}}\hat{\bar{p}}{{e}^{-i\omega t}}-\frac{e}{2m}{{e}^{-i\bar{k}\bar{r}}}{{{\bar{A}}}_{0}}\hat{\bar{p}}{{e}^{i\omega t}} \\

& -\frac{e}{2m}{{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}{{{\bar{A}}}_{0}}\hat{\bar{p}}:=\hat{F} \\

& -\frac{e}{2m}{{e}^{-i\bar{k}\bar{r}}}{{{\bar{A}}}_{0}}\hat{\bar{p}}:={{{\hat{F}}}^{+}} \\

& {{{\hat{H}}}^{1}}=\hat{F}{{e}^{-i\omega t}}+{{{\hat{F}}}^{+}}{{e}^{i\omega t}} \\

\end{align}</math>

Gemäß S. 116 haben wir die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ( Differentiation der Übergangswahrscheinlichkeit):

<math>\begin{align}

& {{W}_{nn0}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle {{n}_{0}} \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| n \right\rangle \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega ) \\
& {{W}_{nn0}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left( \frac{e}{2m} \right)}^{2}}\left\{ {{\left| \left\langle n \right|{{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}{{{\bar{A}}}_{0}}\hat{\bar{p}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+{{\left| \left\langle {{n}_{0}} \right|{{e}^{-i\bar{k}\bar{r}}}{{{\bar{A}}}_{0}}\hat{\bar{p}}\left| n \right\rangle \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega ) \right\} \\
\end{align}</math>

====Dipolnäherung:====

Annahme: Die Wellenlänge ( einige tausend Angström) ist deutlich größer als der Atomdurchmesser ( einige Angström)

-><math>\begin{align}
& \bar{k}\bar{r}<<1 \\
& {{e}^{\mp i\bar{k}\bar{r}}}=1+O(\bar{k}\bar{r}) \\
\end{align}</math>

Außerdem: <math>\left[ {{{\hat{H}}}_{0}},\hat{\bar{r}} \right]=\frac{\hbar }{i}\frac{{\hat{\bar{p}}}}{m}</math>
und <math>e\hat{\bar{r}}</math>
= Operator des elektrischen Dipolmoments

Damit wird das Matrixelement des Störoperators

<math>\begin{align}
& -\frac{e}{m}\left\langle n \right|{{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}{{{\bar{A}}}_{0}}\hat{\bar{p}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \cong -\frac{i}{\hbar }\frac{em}{2m}{{{\bar{A}}}_{0}}\left\langle n \right|{{{\hat{H}}}_{0}}\hat{\bar{r}}-\hat{\bar{r}}{{{\hat{H}}}_{0}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle =-\frac{i}{2\hbar }({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}){{{\bar{A}}}_{0}}e\left\langle n \right|\hat{\bar{r}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \\
& {{{\bar{A}}}_{0}}=-\frac{{{{\bar{E}}}_{0}}}{\omega } \\
& e\left\langle n \right|\hat{\bar{r}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle :={{{\bar{d}}}_{nn0}} \\
\end{align}</math>

Mit den elektrischen Dipol- Matrixelementen<math>e\left\langle n \right|\hat{\bar{r}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle :={{\bar{d}}_{nn0}}</math>

Die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ergibt sich gemäß

<math>{{W}_{nn0}}=\frac{2\pi }{\hbar }\frac{{{({{E}_{n}}-{{E}_{n0}})}^{2}}}{4{{\left( \hbar \omega \right)}^{2}}}{{\left( {{{\bar{E}}}_{0}}\cdot {{{\bar{d}}}_{nn0}} \right)}^{2}}\left\{ \delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega ) \right\}</math>

'''Kontinuierliches Einstrahlungsspektrum:'''

<math>\begin{align}
& \bar{E}(\bar{r},t)=\int_{0}^{\infty }{d\omega }{{{\bar{E}}}_{0}}(\omega )\sin \left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right) \\
& \Rightarrow {{W}_{nn0}}=\frac{\pi }{2{{\hbar }^{2}}}\int_{0}^{\infty }{d\left( \hbar \omega \right)}{{\left( {{{\bar{E}}}_{0}}\left( \omega \right)\cdot {{{\bar{d}}}_{nn0}} \right)}^{2}}\left\{ \delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega ) \right\} \\
\end{align}</math>

Dabei liefert
<math>\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )</math>
einen Beitrag für <math>{{E}_{n}}>{{E}_{n0}}</math>
( Absorption) und
<math>\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )</math>
einen Beitrag für <math>{{E}_{n}}<{{E}_{n0}}</math>
als induzierte Emission. Die Wahrscheinlichkeit ist <math>\tilde{\ }{{\bar{E}}_{0}}{{\left( \omega \right)}^{2}}</math>
also proportional zur Energiedichte der elektromagnetischen Welle.

Die Ausführung der Integration liefert:
<math>\begin{align}
& {{W}_{nn0}}=\frac{\pi }{2{{\hbar }^{2}}}\int_{0}^{\infty }{d\left( \hbar \omega \right)}{{\left( {{{\bar{E}}}_{0}}\left( \omega \right)\cdot {{{\bar{d}}}_{nn0}} \right)}^{2}}\left\{ \delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega ) \right\} \\
& \Rightarrow {{W}_{nn0}}=\frac{\pi }{2{{\hbar }^{2}}}{{\left( {{{\bar{E}}}_{0}}\left( \frac{\left( \left| {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right| \right)}{\hbar } \right)\cdot {{{\bar{d}}}_{nn0}} \right)}^{2}} \\
& {{{\bar{d}}}_{nn0}}=e\left\langle n \right|\hat{\bar{r}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \\
\end{align}</math>

'''Bemerkungen'''

Spontane Emission kann in der semiklasischen Theorie ( Atom wird quantenmechanisch beschrieben, das Strahlfeld jedoch klassisch) nicht beschrieben werden ! Hierzu ist die Quantisierung des Strahlungsfeldes nötig (Quantenfeldtheorie).
Die Auswahlregeln für erlaubte elektrische Dipolübergänge sind durch das Dipolmatrixelement <math>{{\bar{d}}_{nn0}}=e\left\langle n \right|\hat{\bar{r}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
gegeben. Für <math>e\left\langle n \right|\hat{\bar{r}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle =0</math>
können erlaubte Multipolübergänge ( magnetischer Dipol, elektrischer Quadrupol etc...) durch die Entwicklung von <math>{{e}^{\pm i\bar{k}\bar{r}}}</math>
in höherer Ordnung berechnet werden.

'''Diskussion der Dipolmatrixelemente:'''

Wir begeben uns wieder in den Ortsraum der Kugelkoordinatendarstellung:

Die ungestörte Wellenfunktion:

<math>\begin{align}
& {{\Psi }_{nlm}}(\bar{r})=\frac{{{u}_{nl}}(r)}{r}{{Y}_{l}}^{m}\left( \vartheta ,\phi \right)\tilde{\ }{{P}_{l}}^{m}(\cos \vartheta ){{e}^{im\phi }} \\
& \left| n \right\rangle =\left| n\acute{\ }l\acute{\ }m\acute{\ } \right\rangle \\
& \left| {{n}_{0}} \right\rangle =\left| nlm \right\rangle \\
\end{align}</math>

Kugelkoordinaten
<math>\begin{align}
& {{\Psi }_{nlm}}(\bar{r})=\frac{{{u}_{nl}}(r)}{r}{{Y}_{l}}^{m}\left( \vartheta ,\phi \right)\tilde{\ }{{P}_{l}}^{m}(\cos \vartheta ){{e}^{im\phi }} \\
& {{x}_{1}}=r\sin \vartheta \cos \phi \\
& {{x}_{2}}=r\sin \vartheta \sin \phi \\
& {{x}_{3}}=r\cos \vartheta \\
\end{align}</math>

betrachte

<math>\begin{align}
& \xi ={{x}_{1}}+i{{x}_{2}}=r\sin \vartheta {{e}^{i\phi }} \\
& \xi *={{x}_{1}}-i{{x}_{2}}=r\sin \vartheta {{e}^{-i\phi }} \\
\end{align}</math>

Einsetzen liefert:

<math>\begin{align}
& {{\Psi }_{nlm}}(\bar{r})=\frac{{{u}_{nl}}(r)}{r}{{Y}_{l}}^{m}\left( \vartheta ,\phi \right)\tilde{\ }{{P}_{l}}^{m}(\cos \vartheta ){{e}^{im\phi }} \\
& \left\langle n\acute{\ }l\acute{\ }m\acute{\ } \right|\hat{\bar{\xi }}\left| nlm \right\rangle \tilde{\ }\int_{0}^{\pi }{d}\vartheta {{\sin }^{2}}\left( \vartheta \right){{P}_{l\acute{\ }}}^{m\acute{\ }}(\cos \vartheta ){{P}_{l}}^{m}(\cos \vartheta )\int_{0}^{2\pi }{d}\phi {{e}^{i\left( m-m\acute{\ }+1 \right)\phi }} \\
& \int_{0}^{2\pi }{d}\phi {{e}^{i\left( m-m\acute{\ }+1 \right)\phi }}\tilde{\ }{{\delta }_{m\acute{\ },m+1}} \\
& \Rightarrow \left\langle n\acute{\ }l\acute{\ }m\acute{\ } \right|\hat{\bar{\xi }}\left| nlm \right\rangle \tilde{\ }\int_{0}^{\pi }{d}\vartheta {{\sin }^{2}}\left( \vartheta \right){{P}_{l\acute{\ }}}^{m+1}(\cos \vartheta ){{P}_{l}}^{m}(\cos \vartheta ) \\
& \int_{0}^{\pi }{d}\vartheta {{\sin }^{2}}\left( \vartheta \right){{P}_{l\acute{\ }}}^{m+1}(\cos \vartheta ){{P}_{l}}^{m}(\cos \vartheta )\tilde{\ }{{\delta }_{l\acute{\ },l\pm 1}} \\
& \Rightarrow \left\langle n\acute{\ }l\acute{\ }m\acute{\ } \right|\hat{\bar{\xi }}\left| nlm \right\rangle \tilde{\ }{{\delta }_{m\acute{\ },m+1}}{{\delta }_{l\acute{\ },l\pm 1}} \\
\end{align}</math>

Analog kann man ausrechnen:
<math>\begin{align}
& \left\langle n\acute{\ }l\acute{\ }m\acute{\ } \right|\hat{\bar{\xi }}*\left| nlm \right\rangle \tilde{\ }{{\delta }_{m\acute{\ },m-1}}{{\delta }_{l\acute{\ },l\pm 1}} \\
& \left\langle n\acute{\ }l\acute{\ }m\acute{\ } \right|{{{\hat{x}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle \tilde{\ }{{\delta }_{m\acute{\ }m}}{{\delta }_{l\acute{\ },l\pm 1}} \\
\end{align}</math>

Also gewinnen wir die Auswahlregeln für Dipol- erlaubte Übergänge:

<math>\begin{align}
& \Delta l=\pm 1 \\
& \Delta m=0,\pm 1 \\
\end{align}</math>