Impulsbilanz - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (2), ( → (

2010-09-12T22:19:59Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (2), ( → (

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:19 Uhr
Zeile 67:		Zeile 67:

	Als der		Als der
	IMPULSSTROMDICHTE- Tensor des Feldes ( Maxwellscher Spannungstensor)		IMPULSSTROMDICHTE- Tensor des Feldes (Maxwellscher Spannungstensor)

	in Komponenten:		in Komponenten:
Zeile 78:		Zeile 78:
	:<math>\alpha </math>		:<math>\alpha </math>
	- Richtung.		- Richtung.
	Eine Impulsdichte, die in eine feste Richtung weist wird somit entlang einer anderen Richtung transportiert !		Eine Impulsdichte, die in eine feste Richtung weist wird somit entlang einer anderen Richtung transportiert!

	:<math>tr\left( {\bar{\bar{T}}} \right)={{T}_{\alpha \alpha }}=w</math>		:<math>tr\left( {\bar{\bar{T}}} \right)={{T}_{\alpha \alpha }}=w</math>
Zeile 93:		Zeile 93:

	'''Bemerkung:'''		'''Bemerkung:'''
	Eine analoge Bilanzgleichung gibt es für die Drehimpulsdichte des Feldes. Sie beschreibt den Drehimpulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen !		Eine analoge Bilanzgleichung gibt es für die Drehimpulsdichte des Feldes. Sie beschreibt den Drehimpulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen!

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:54:56Z

Einrückungen Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 17:54 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	Aus den Maxwell Gleichungen folgt eine weitere Bilanzgleichung für den Impulstransport durch das elektromagnetische Feld:		Aus den Maxwell Gleichungen folgt eine weitere Bilanzgleichung für den Impulstransport durch das elektromagnetische Feld:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)=\dot{\bar{D}}\times \bar{B}+\bar{D}\times \dot{\bar{B}} \\		& \frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)=\dot{\bar{D}}\times \bar{B}+\bar{D}\times \dot{\bar{B}} \\
	& \dot{\bar{D}}=\nabla \times \bar{H}-\bar{j} \\		& \dot{\bar{D}}=\nabla \times \bar{H}-\bar{j} \\
Zeile 12:		Zeile 12:
	Mittels		Mittels

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \bar{B}\times \left( \nabla \times \bar{B} \right)=\frac{1}{2}\nabla \left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\left( \bar{B}\cdot \nabla \right)\bar{B} \\		& \bar{B}\times \left( \nabla \times \bar{B} \right)=\frac{1}{2}\nabla \left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\left( \bar{B}\cdot \nabla \right)\bar{B} \\
	& \bar{B}\times \left( \nabla \times \bar{B} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}+\bar{B}\left( \nabla \cdot \bar{B} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\bar{B}\otimes \bar{B} \right\} \\		& \bar{B}\times \left( \nabla \times \bar{B} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}+\bar{B}\left( \nabla \cdot \bar{B} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\bar{B}\otimes \bar{B} \right\} \\
Zeile 19:		Zeile 19:

	Dabei bezeichnet		Dabei bezeichnet
	<math>\left( 1 \right)</math>		:<math>\left( 1 \right)</math>
	den Einheitstensor 1. Stufe und		den Einheitstensor 1. Stufe und
	<math>\bar{B}\otimes \bar{B}</math>		:<math>\bar{B}\otimes \bar{B}</math>
	das Tensorprodukt (dyadisches Produkt).		das Tensorprodukt (dyadisches Produkt).
	Außerdem ist		Außerdem ist
	<math>\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}</math>		:<math>\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}</math>
	die Divergenz eines Tensors		die Divergenz eines Tensors
	<math>\left( T \right)</math>		:<math>\left( T \right)</math>
	zweiter Stufe.		zweiter Stufe.
	In Komponenten gilt:		In Komponenten gilt:
	<math>{{\left( \nabla \cdot T \right)}_{\beta }}:={{\partial }_{\alpha }}{{T}_{\alpha }}_{\beta }</math>		:<math>{{\left( \nabla \cdot T \right)}_{\beta }}:={{\partial }_{\alpha }}{{T}_{\alpha }}_{\beta }</math>

	Analog:		Analog:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \bar{E}\times \left( \nabla \times \bar{E} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{E} \right)-\bar{E}\otimes \bar{E} \right\}+\bar{E}\left( \nabla \cdot \bar{E} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{E} \right)-\bar{E}\otimes \bar{E} \right\}+\bar{E}\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\		& \bar{E}\times \left( \nabla \times \bar{E} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{E} \right)-\bar{E}\otimes \bar{E} \right\}+\bar{E}\left( \nabla \cdot \bar{E} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{E} \right)-\bar{E}\otimes \bar{E} \right\}+\bar{E}\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
	& \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)+\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( {{\varepsilon }_{0}}{{E}^{2}}+\frac{1}{{{\mu }_{0}}}{{B}^{2}} \right)-{{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\otimes \bar{E}-\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}=-\left( \bar{E}\rho +\bar{j}\times \bar{B} \right) \\		& \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)+\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( {{\varepsilon }_{0}}{{E}^{2}}+\frac{1}{{{\mu }_{0}}}{{B}^{2}} \right)-{{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\otimes \bar{E}-\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}=-\left( \bar{E}\rho +\bar{j}\times \bar{B} \right) \\
Zeile 40:		Zeile 40:
	Dabei beschreibt		Dabei beschreibt

	<math>\left( \bar{E}\rho +\bar{j}\times \bar{B} \right)</math>		:<math>\left( \bar{E}\rho +\bar{j}\times \bar{B} \right)</math>
	den Kraftdichtefluß, der von den Feldern auf Ströme und Ladungen übertragen wird		den Kraftdichtefluß, der von den Feldern auf Ströme und Ladungen übertragen wird

	Als Bilanzgleichung für den Impulstransport ergibt sich:		Als Bilanzgleichung für den Impulstransport ergibt sich:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \frac{\partial }{\partial t}\bar{g}+\nabla \cdot \left( {\bar{\bar{T}}} \right)=-\left( \bar{E}\rho +\bar{j}\times \bar{B} \right) \\		& \frac{\partial }{\partial t}\bar{g}+\nabla \cdot \left( {\bar{\bar{T}}} \right)=-\left( \bar{E}\rho +\bar{j}\times \bar{B} \right) \\
	& \bar{g}:=\left( \bar{D}\times \bar{B} \right) \\		& \bar{g}:=\left( \bar{D}\times \bar{B} \right) \\
Zeile 53:		Zeile 53:
	Dabei ist		Dabei ist

	<math>\bar{g}:=\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)</math>		:<math>\bar{g}:=\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)</math>
	die Impulsdichte des Feldes.		die Impulsdichte des Feldes.
	Nach Newton gilt:		Nach Newton gilt:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \frac{d}{dt}\bar{p}=\bar{F} \\		& \frac{d}{dt}\bar{p}=\bar{F} \\
	& \Rightarrow \frac{d}{dt}\bar{g}=\bar{f} \\		& \Rightarrow \frac{d}{dt}\bar{g}=\bar{f} \\
Zeile 64:		Zeile 64:
	Es ergibt sich		Es ergibt sich

	<math>\left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{D}+\bar{B}\cdot \bar{H} \right)-\bar{E}\otimes \bar{D}-\bar{B}\otimes \bar{H} \right\}:=\left( {\bar{\bar{T}}} \right)</math>		:<math>\left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{D}+\bar{B}\cdot \bar{H} \right)-\bar{E}\otimes \bar{D}-\bar{B}\otimes \bar{H} \right\}:=\left( {\bar{\bar{T}}} \right)</math>

	Als der		Als der
Zeile 71:		Zeile 71:
	in Komponenten:		in Komponenten:

	<math>{{T}_{\alpha \beta }}=\left\{ {{\delta }_{\alpha \beta }}\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{D}+\bar{B}\cdot \bar{H} \right)-{{{\bar{E}}}_{\alpha }}{{{\bar{D}}}_{\beta }}-{{{\bar{B}}}_{\alpha }}{{{\bar{H}}}_{\beta }} \right\}</math>		:<math>{{T}_{\alpha \beta }}=\left\{ {{\delta }_{\alpha \beta }}\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{D}+\bar{B}\cdot \bar{H} \right)-{{{\bar{E}}}_{\alpha }}{{{\bar{D}}}_{\beta }}-{{{\bar{B}}}_{\alpha }}{{{\bar{H}}}_{\beta }} \right\}</math>

	Dies ist die Stromrichtung der		Dies ist die Stromrichtung der
	<math>\beta </math>		:<math>\beta </math>
	- Komponente der Impulsdichte in		- Komponente der Impulsdichte in
	<math>\alpha </math>		:<math>\alpha </math>
	- Richtung.		- Richtung.
	Eine Impulsdichte, die in eine feste Richtung weist wird somit entlang einer anderen Richtung transportiert !		Eine Impulsdichte, die in eine feste Richtung weist wird somit entlang einer anderen Richtung transportiert !

	<math>tr\left( {\bar{\bar{T}}} \right)={{T}_{\alpha \alpha }}=w</math>		:<math>tr\left( {\bar{\bar{T}}} \right)={{T}_{\alpha \alpha }}=w</math>
	Energiedichte		Energiedichte
	Außerdem ist T symmetrisch:		Außerdem ist T symmetrisch:

	<math>{{T}_{\alpha \beta }}={{T}_{\beta \alpha }}</math>		:<math>{{T}_{\alpha \beta }}={{T}_{\beta \alpha }}</math>

	Die komponentenweise Darstellung der Bilanzgleichung		Die komponentenweise Darstellung der Bilanzgleichung

	<math>\frac{\partial }{\partial t}{{g}_{\beta }}+\frac{\partial }{\partial {{x}_{\alpha }}}{{T}_{\alpha \beta }}=-{{f}_{\beta }}</math>		:<math>\frac{\partial }{\partial t}{{g}_{\beta }}+\frac{\partial }{\partial {{x}_{\alpha }}}{{T}_{\alpha \beta }}=-{{f}_{\beta }}</math>

	beschriebt den Impulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen.		beschriebt den Impulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen.

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Elektrodynamik|3|5}} Aus den Maxwell Gleichungen folgt eine weitere Bilanzgleichung für den Impulstransport durch das ele…“

2010-08-28T23:22:40Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|3|5}}</noinclude> Aus den Maxwell Gleichungen folgt eine weitere Bilanzgleichung für den Impulstransport durch das ele…“

Neue Seite

<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|3|5}}</noinclude>

Aus den Maxwell Gleichungen folgt eine weitere Bilanzgleichung für den Impulstransport durch das elektromagnetische Feld:

<math>\begin{align}
& \frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)=\dot{\bar{D}}\times \bar{B}+\bar{D}\times \dot{\bar{B}} \\
& \dot{\bar{D}}=\nabla \times \bar{H}-\bar{j} \\
& \dot{\bar{B}}=-\nabla \times \bar{E} \\
& \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)=-\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\times \left( \nabla \times \bar{B} \right)-\bar{j}\times \bar{B}-{{\varepsilon }_{o}}\bar{E}\times \left( \nabla \times \bar{E} \right) \\
\end{align}</math>

Mittels

<math>\begin{align}
& \bar{B}\times \left( \nabla \times \bar{B} \right)=\frac{1}{2}\nabla \left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\left( \bar{B}\cdot \nabla \right)\bar{B} \\
& \bar{B}\times \left( \nabla \times \bar{B} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}+\bar{B}\left( \nabla \cdot \bar{B} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\bar{B}\otimes \bar{B} \right\} \\
& \bar{B}\left( \nabla \cdot \bar{B} \right)=0 \\
\end{align}</math>

Dabei bezeichnet
<math>\left( 1 \right)</math>
den Einheitstensor 1. Stufe und
<math>\bar{B}\otimes \bar{B}</math>
das Tensorprodukt (dyadisches Produkt).
Außerdem ist
<math>\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}</math>
die Divergenz eines Tensors
<math>\left( T \right)</math>
zweiter Stufe.
In Komponenten gilt:
<math>{{\left( \nabla \cdot T \right)}_{\beta }}:={{\partial }_{\alpha }}{{T}_{\alpha }}_{\beta }</math>

Analog:

<math>\begin{align}
& \bar{E}\times \left( \nabla \times \bar{E} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{E} \right)-\bar{E}\otimes \bar{E} \right\}+\bar{E}\left( \nabla \cdot \bar{E} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{E} \right)-\bar{E}\otimes \bar{E} \right\}+\bar{E}\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
& \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)+\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( {{\varepsilon }_{0}}{{E}^{2}}+\frac{1}{{{\mu }_{0}}}{{B}^{2}} \right)-{{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\otimes \bar{E}-\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}=-\left( \bar{E}\rho +\bar{j}\times \bar{B} \right) \\
\end{align}</math>

Dabei beschreibt

<math>\left( \bar{E}\rho +\bar{j}\times \bar{B} \right)</math>
den Kraftdichtefluß, der von den Feldern auf Ströme und Ladungen übertragen wird

Als Bilanzgleichung für den Impulstransport ergibt sich:

<math>\begin{align}
& \frac{\partial }{\partial t}\bar{g}+\nabla \cdot \left( {\bar{\bar{T}}} \right)=-\left( \bar{E}\rho +\bar{j}\times \bar{B} \right) \\
& \bar{g}:=\left( \bar{D}\times \bar{B} \right) \\
& \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( {{\varepsilon }_{0}}{{E}^{2}}+\frac{1}{{{\mu }_{0}}}{{B}^{2}} \right)-{{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\otimes \bar{E}-\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}:=\left( {\bar{\bar{T}}} \right) \\
\end{align}</math>

Dabei ist

<math>\bar{g}:=\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)</math>
die Impulsdichte des Feldes.
Nach Newton gilt:

<math>\begin{align}
& \frac{d}{dt}\bar{p}=\bar{F} \\
& \Rightarrow \frac{d}{dt}\bar{g}=\bar{f} \\
\end{align}</math>

Es ergibt sich

<math>\left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{D}+\bar{B}\cdot \bar{H} \right)-\bar{E}\otimes \bar{D}-\bar{B}\otimes \bar{H} \right\}:=\left( {\bar{\bar{T}}} \right)</math>

Als der
IMPULSSTROMDICHTE- Tensor des Feldes ( Maxwellscher Spannungstensor)

in Komponenten:

<math>{{T}_{\alpha \beta }}=\left\{ {{\delta }_{\alpha \beta }}\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{D}+\bar{B}\cdot \bar{H} \right)-{{{\bar{E}}}_{\alpha }}{{{\bar{D}}}_{\beta }}-{{{\bar{B}}}_{\alpha }}{{{\bar{H}}}_{\beta }} \right\}</math>

Dies ist die Stromrichtung der
<math>\beta </math>
- Komponente der Impulsdichte in
<math>\alpha </math>
- Richtung.
Eine Impulsdichte, die in eine feste Richtung weist wird somit entlang einer anderen Richtung transportiert !

<math>tr\left( {\bar{\bar{T}}} \right)={{T}_{\alpha \alpha }}=w</math>
Energiedichte
Außerdem ist T symmetrisch:

<math>{{T}_{\alpha \beta }}={{T}_{\beta \alpha }}</math>

Die komponentenweise Darstellung der Bilanzgleichung

<math>\frac{\partial }{\partial t}{{g}_{\beta }}+\frac{\partial }{\partial {{x}_{\alpha }}}{{T}_{\alpha \beta }}=-{{f}_{\beta }}</math>

beschriebt den Impulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen.

'''Bemerkung:'''
Eine analoge Bilanzgleichung gibt es für die Drehimpulsdichte des Feldes. Sie beschreibt den Drehimpulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen !