Helizität und Spin - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:40:39Z

Einrückungen Mathematik

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	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>\hat{k}:=\frac{{\underline{k}}}{\left\| {\underline{k}} \right\|}=\left( \sin \theta \cos \varphi ,\sin \theta \sin \varphi ,\cos \theta \right)</math>		:<math>\hat{k}:=\frac{{\underline{k}}}{\left\| {\underline{k}} \right\|}=\left( \sin \theta \cos \varphi ,\sin \theta \sin \varphi ,\cos \theta \right)</math>
	\|(1.73)\|RawN=.}}		\|(1.73)\|RawN=.}}
	als Einheitsvektor in <math>\underline{k}</math>-Richtung in Polarkoordinaten bezüglich der z-Achse.		als Einheitsvektor in <math>\underline{k}</math>-Richtung in Polarkoordinaten bezüglich der z-Achse.
	Dann gilt		Dann gilt
	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|
	<math>\hat{k}.\underline{\sigma }=\left( \begin{matrix}		:<math>\hat{k}.\underline{\sigma }=\left( \begin{matrix}
	\cos \theta & \sin \left( \theta \right){{e}^{i\varphi }} \\		\cos \theta & \sin \left( \theta \right){{e}^{i\varphi }} \\
	\sin \left( \theta \right){{e}^{i\varphi }} & -\cos \theta \\		\sin \left( \theta \right){{e}^{i\varphi }} & -\cos \theta \\
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	Die Spinoren (1.72) als Eigenvektoren des {{FB\|Helizitätsoperator}}s (4x4 Matrix)		Die Spinoren (1.72) als Eigenvektoren des {{FB\|Helizitätsoperator}}s (4x4 Matrix)
	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|
	<math>\hat{k}\Sigma =\left( \begin{matrix}		:<math>\hat{k}\Sigma =\left( \begin{matrix}
	\hat{k}\underline{\sigma } & 0 \\		\hat{k}\underline{\sigma } & 0 \\
	0 & \hat{k}\underline{\sigma } \\		0 & \hat{k}\underline{\sigma } \\
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	wählen: Hierzu (1.72) <math>{{\underline{u}}^{\left( 1 \right)}}:=\left\| \uparrow ,\hat{k} \right\rangle ,{{\underline{u}}^{\left( 2 \right)}}:=\left\| \downarrow ,\hat{k} \right\rangle </math> damit haben wir die Basis		wählen: Hierzu (1.72) <math>{{\underline{u}}^{\left( 1 \right)}}:=\left\| \uparrow ,\hat{k} \right\rangle ,{{\underline{u}}^{\left( 2 \right)}}:=\left\| \downarrow ,\hat{k} \right\rangle </math> damit haben wir die Basis
	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|
	<math>{{\phi }_{+}}^{\left( \sigma \right)}\left( {\underline{k}} \right):=N\left( \begin{align}		:<math>{{\phi }_{+}}^{\left( \sigma \right)}\left( {\underline{k}} \right):=N\left( \begin{align}
	& \left( E+m \right)\left\| \sigma ,\hat{k} \right\rangle \\		& \left( E+m \right)\left\| \sigma ,\hat{k} \right\rangle \\
	& \left( \underline{k}.\underline{\sigma } \right)\left\| \sigma ,\hat{k} \right\rangle \\		& \left( \underline{k}.\underline{\sigma } \right)\left\| \sigma ,\hat{k} \right\rangle \\

Schubotz am 5. September 2010 um 22:11 Uhr

2010-09-05T22:11:45Z

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	<noinclude>{{ScriptProf\|Kapitel=1\|Abschnitt=8\|Prof=Brandes\|Thema=Quantenmechanik\|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>		<noinclude>{{ScriptProf\|Kapitel=1\|Abschnitt=8\|Prof=Prof. Dr. T. Brandes\|Thema=Quantenmechanik\|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>
	Erinnerung <math>\underline{\sigma }=\underbrace{\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{1}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{2}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{3}} \right)}_{\text{Vektor der Pauli-Matrizen}},</math> Produkte <math>\underline{k}\underline{\sigma }</math>in Dirac Spinoren <math>{{\phi }_{\pm }}^{\left( i \right)}</math> (1.72).		Erinnerung <math>\underline{\sigma }=\underbrace{\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{1}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{2}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{3}} \right)}_{\text{Vektor der Pauli-Matrizen}},</math> Produkte <math>\underline{k}\underline{\sigma }</math>in Dirac Spinoren <math>{{\phi }_{\pm }}^{\left( i \right)}</math> (1.72).

Schubotz am 4. September 2010 um 23:22 Uhr

2010-09-04T23:22:09Z

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	<noinclude>{{ScriptProf\|Kapitel=1\|Abschnitt=8\|Prof=Brandes\|Thema=Quantenmechanik\|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>		<noinclude>{{ScriptProf\|Kapitel=1\|Abschnitt=8\|Prof=Brandes\|Thema=Quantenmechanik\|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>
	Erinnerung		Erinnerung <math>\underline{\sigma }=\underbrace{\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{1}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{2}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{3}} \right)}_{\text{Vektor der Pauli-Matrizen}},</math> Produkte <math>\underline{k}\underline{\sigma }</math>in Dirac Spinoren <math>{{\phi }_{\pm }}^{\left( i \right)}</math> (1.72).

	<math>\underline{\sigma }=\underbrace{\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{1}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{2}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{3}} \right)}_{\text{Vektor der Pauli-Matrizen}}</math>

	~~, Produkte <math>\underline{k}\underline{\sigma }</math>in Dirac Spinoren <math>{{\phi }_{\pm }}^{\left( i \right)}</math>(1.72).~~

	~~Definiere~~

			Definiere:
	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>\hat{k}:=\frac{{\underline{k}}}{\left\| {\underline{k}} \right\|}=\left( \sin \theta \cos \varphi ,\sin \theta \sin \varphi ,\cos \theta \right)</math>		<math>\hat{k}:=\frac{{\underline{k}}}{\left\| {\underline{k}} \right\|}=\left( \sin \theta \cos \varphi ,\sin \theta \sin \varphi ,\cos \theta \right)</math>
	: \|(1.73)\|RawN=.}}		\|(1.73)\|RawN=.}}
	als Einheitsvektor in <math>\underline{k}</math>-Richtung in Polarkoordinaten bezüglich der z-Achse.		als Einheitsvektor in <math>\underline{k}</math>-Richtung in Polarkoordinaten bezüglich der z-Achse.
	Dann gilt		Dann gilt
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	Eigenvektoren <math>\left\| \uparrow ,\hat{k} \right\rangle ,\left\| \downarrow ,\hat{k} \right\rangle </math>von <math>\underline{k}\underline{\sigma }</math> bestimmen!		Eigenvektoren <math>\left\| \uparrow ,\hat{k} \right\rangle ,\left\| \downarrow ,\hat{k} \right\rangle </math>von <math>\underline{k}\underline{\sigma }</math> bestimmen!
	Die Eigenwerte sind <math>\pm 1</math>.		Die Eigenwerte sind <math>\pm 1</math>.
	Die Spinoren (1.72) als Eigenvektoren des ~~Helizitätsoperators~~{{FB\|Helizitätsoperator}} (4x4 Matrix)		Die Spinoren (1.72) als Eigenvektoren des {{FB\|Helizitätsoperator}}s (4x4 Matrix)
	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|
	<math>\hat{k}\Sigma =\left( \begin{matrix}		<math>\hat{k}\Sigma =\left( \begin{matrix}
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	\end{matrix} \right)</math>		\end{matrix} \right)</math>
	: \|(1.75)\|RawN=.}}		: \|(1.75)\|RawN=.}}
	wählen: Hierzu (1.72)<math>{{\underline{u}}^{\left( 1 \right)}}:=\left\| \uparrow ,\hat{k} \right\rangle ,{{\underline{u}}^{\left( 2 \right)}}:=\left\| \downarrow ,\hat{k} \right\rangle </math> damit haben wir die Basis		wählen: Hierzu (1.72) <math>{{\underline{u}}^{\left( 1 \right)}}:=\left\| \uparrow ,\hat{k} \right\rangle ,{{\underline{u}}^{\left( 2 \right)}}:=\left\| \downarrow ,\hat{k} \right\rangle </math> damit haben wir die Basis
	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|
	<math>{{\phi }_{+}}^{\left( \sigma \right)}\left( {\underline{k}} \right):=N\left( \begin{align}		<math>{{\phi }_{+}}^{\left( \sigma \right)}\left( {\underline{k}} \right):=N\left( \begin{align}
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	& \sigma =\uparrow \quad \text{negative Helizit }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ }t \\		& \sigma =\uparrow \quad \text{negative Helizit }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ }t \\
	& \sigma =\downarrow \quad \text{negative Helizit }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ }t \\		& \sigma =\downarrow \quad \text{negative Helizit }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ }t \\
	\end{align}</math>		\end{align}.</math>
	* Der Hamiltonoperator{{FB\|Hamiltonoperator}} des freien Dirac-Teilchens, <math>\hat{H}=\underline{a}\underline{\hat{p}}+\beta m</math>(1.31), kommutiert mit dem Helizitätsoperator <math>\hat{k}\Sigma </math>(1.75), <font color="#~~FFFF00~~">'''''(AUFGABE)''''' </font>aber nicht mit dem ~~Spin-Operator~~{{FB\|Spin-Operator}}<math>\Sigma =\left( \begin{matrix}		* Der Hamiltonoperator{{FB\|Hamiltonoperator}} des freien Dirac-Teilchens, <math>\hat{H}=\underline{a}\underline{\hat{p}}+\beta m</math>(1.31), kommutiert mit dem Helizitätsoperator <math>\hat{k}\Sigma </math>(1.75), <font color="#3399FF">'''''(AUFGABE)''''' </font>aber nicht mit dem {{FB\|Spin-Operator}} <math>\Sigma =\left( \begin{matrix}
	* {\underline{\sigma }} & 0 \\		{\underline{\sigma }} & 0 \\
	* 0 & {\underline{\sigma }} \\		0 & {\underline{\sigma }} \\
	* \end{matrix} \right)</math>. Deshalb kann man die Lösungen der freien Dirac-Gleichungen als Eigenvektoren von <math>\hat{k}\Sigma </math> zählen.		\end{matrix} \right)</math>. Deshalb kann man die Lösungen der freien Dirac-Gleichungen als Eigenvektoren von <math>\hat{k}\Sigma </math> zählen.

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Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=8|Prof=Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> Erinnerung <math>\underline{\sigma }=\un…“

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<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=8|Prof=Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>
Erinnerung

<math>\underline{\sigma }=\underbrace{\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{1}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{2}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{3}} \right)}_{\text{Vektor der Pauli-Matrizen}}</math>

, Produkte <math>\underline{k}\underline{\sigma }</math>in Dirac Spinoren <math>{{\phi }_{\pm }}^{\left( i \right)}</math>(1.72).

Definiere

{{NumBlk|:|

<math>\hat{k}:=\frac{{\underline{k}}}{\left| {\underline{k}} \right|}=\left( \sin \theta \cos \varphi ,\sin \theta \sin \varphi ,\cos \theta \right)</math>
: |(1.73)|RawN=.}}
als Einheitsvektor in <math>\underline{k}</math>-Richtung in Polarkoordinaten bezüglich der z-Achse.
Dann gilt
{{NumBlk|:|
<math>\hat{k}.\underline{\sigma }=\left( \begin{matrix}
\cos \theta & \sin \left( \theta \right){{e}^{i\varphi }} \\
\sin \left( \theta \right){{e}^{i\varphi }} & -\cos \theta \\
\end{matrix} \right)</math>
: |(1.74)|RawN=.}}
Eigenvektoren <math>\left| \uparrow ,\hat{k} \right\rangle ,\left| \downarrow ,\hat{k} \right\rangle </math>von <math>\underline{k}\underline{\sigma }</math> bestimmen!
Die Eigenwerte sind <math>\pm 1</math>.
Die Spinoren (1.72) als Eigenvektoren des Helizitätsoperators{{FB|Helizitätsoperator}} (4x4 Matrix)
{{NumBlk|:|
<math>\hat{k}\Sigma =\left( \begin{matrix}
\hat{k}\underline{\sigma } & 0 \\
0 & \hat{k}\underline{\sigma } \\
\end{matrix} \right)</math>
: |(1.75)|RawN=.}}
wählen: Hierzu (1.72)<math>{{\underline{u}}^{\left( 1 \right)}}:=\left| \uparrow ,\hat{k} \right\rangle ,{{\underline{u}}^{\left( 2 \right)}}:=\left| \downarrow ,\hat{k} \right\rangle </math> damit haben wir die Basis
{{NumBlk|:|
<math>{{\phi }_{+}}^{\left( \sigma \right)}\left( {\underline{k}} \right):=N\left( \begin{align}
& \left( E+m \right)\left| \sigma ,\hat{k} \right\rangle \\
& \left( \underline{k}.\underline{\sigma } \right)\left| \sigma ,\hat{k} \right\rangle \\
\end{align} \right)\quad {{\phi }_{-}}^{\left( \sigma \right)}\left( {\underline{k}} \right):=N\left( \begin{align}
& \left( \underline{k}.\underline{\sigma } \right)\left| \sigma ,\hat{k} \right\rangle \\
& \left( E+m \right)\left| \sigma ,\hat{k} \right\rangle \\
\end{align} \right)</math>
: |(1.76)|RawN=.}}
mit <math>\begin{align}
& \sigma =\uparrow \quad \text{negative Helizit }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ }t \\
& \sigma =\downarrow \quad \text{negative Helizit }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ }t \\
\end{align}</math>
* Der Hamiltonoperator{{FB|Hamiltonoperator}} des freien Dirac-Teilchens, <math>\hat{H}=\underline{a}\underline{\hat{p}}+\beta m</math>(1.31), kommutiert mit dem Helizitätsoperator <math>\hat{k}\Sigma </math>(1.75), <font color="#FFFF00">'''''(AUFGABE)''''' </font>aber nicht mit dem Spin-Operator{{FB|Spin-Operator}}<math>\Sigma =\left( \begin{matrix}
* {\underline{\sigma }} & 0 \\
* 0 & {\underline{\sigma }} \\
* \end{matrix} \right)</math>. Deshalb kann man die Lösungen der freien Dirac-Gleichungen als Eigenvektoren von <math>\hat{k}\Sigma </math> zählen.

Helizität und Spin - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

Schubotz am 5. September 2010 um 22:11 Uhr

Schubotz am 4. September 2010 um 23:22 Uhr

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=8|Prof=Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}} Erinnerung \underline{\sigma }=\un…“

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=8|Prof=Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}} Erinnerung $\underline{\sigma }=\un…“$