Generalisierte Koordinaten - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (2), ( → ( (2)

2010-09-12T22:28:30Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (2), ( → ( (2)

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Zeile 7:		Zeile 7:


	gekoppelte Koordinaten vor ( die Koordinaten sind in den Zwangsbedingungen gekoppelt).		gekoppelte Koordinaten vor (die Koordinaten sind in den Zwangsbedingungen gekoppelt).

	Somit können die Punktkoordinaten		Somit können die Punktkoordinaten
Zeile 22:		Zeile 22:
	Wesentlich: Die		Wesentlich: Die
	:<math>\left\{ {{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t) \right\}\quad f=1,2,...3N-\nu </math>		:<math>\left\{ {{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t) \right\}\quad f=1,2,...3N-\nu </math>
	sind FREI variierbar ! Wegen		sind FREI variierbar! Wegen


Zeile 71:		Zeile 71:


	Betrachten wir eine reale Verrückung ( in der Zeit), so gilt:		Betrachten wir eine reale Verrückung (in der Zeit), so gilt:


Zeile 107:		Zeile 107:


	Somit besitzen auch die verallgemeinerten Kräfte ein '''Potenzial''', natürlich das physikalisch gleiche wie die eingeprägten Kräfte !		Somit besitzen auch die verallgemeinerten Kräfte ein '''Potenzial''', natürlich das physikalisch gleiche wie die eingeprägten Kräfte!

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:26:41Z

Einrückungen Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 17:26 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:


	<math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}}(t),{{\vec{r}}_{2}}(t),{{\vec{r}}_{3}}(t),...{{\vec{r}}_{N}}(t),t)=0\quad \quad \lambda =1,...\nu \quad f\ddot{u}r\ alle\ t</math>		:<math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}}(t),{{\vec{r}}_{2}}(t),{{\vec{r}}_{3}}(t),...{{\vec{r}}_{N}}(t),t)=0\quad \quad \lambda =1,...\nu \quad f\ddot{u}r\ alle\ t</math>


Zeile 12:		Zeile 12:


	<math>\left\{ {{{\vec{r}}}_{1}}(t),{{{\vec{r}}}_{2}}(t),{{{\vec{r}}}_{3}}(t),...{{{\vec{r}}}_{N}}(t) \right\}</math>		:<math>\left\{ {{{\vec{r}}}_{1}}(t),{{{\vec{r}}}_{2}}(t),{{{\vec{r}}}_{3}}(t),...{{{\vec{r}}}_{N}}(t) \right\}</math>
	nicht unabhängig voneinander variiert werden.		nicht unabhängig voneinander variiert werden.

Zeile 21:		Zeile 21:

	Wesentlich: Die		Wesentlich: Die
	<math>\left\{ {{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t) \right\}\quad f=1,2,...3N-\nu </math>		:<math>\left\{ {{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t) \right\}\quad f=1,2,...3N-\nu </math>
	sind FREI variierbar ! Wegen		sind FREI variierbar ! Wegen


	<math>{{\vec{r}}_{i}}={{\vec{r}}_{i}}\left( {{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t) \right)\quad f=1,2,...3N-\nu </math>		:<math>{{\vec{r}}_{i}}={{\vec{r}}_{i}}\left( {{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t) \right)\quad f=1,2,...3N-\nu </math>
	sind die Zwangsbedingungen identisch erfüllt.		sind die Zwangsbedingungen identisch erfüllt.

Zeile 31:		Zeile 31:


	<math>\vec{a}\cdot (\vec{r}-{{\vec{r}}_{o}}(t))=0</math>		:<math>\vec{a}\cdot (\vec{r}-{{\vec{r}}_{o}}(t))=0</math>



	Betrachten wir ein mitbewegtes Koordinatensystem		Betrachten wir ein mitbewegtes Koordinatensystem
	<math>\bar{e}{{\acute{\ }}_{1}},\bar{e}{{\acute{\ }}_{2}}</math>		:<math>\bar{e}{{\acute{\ }}_{1}},\bar{e}{{\acute{\ }}_{2}}</math>


Zeile 42:		Zeile 42:


	<math>\bar{r}={{\bar{r}}_{o}}(t)+{{q}_{1}}\bar{e}{{\acute{\ }}_{1}}+{{q}_{2}}\bar{e}{{\acute{\ }}_{2}}</math>		:<math>\bar{r}={{\bar{r}}_{o}}(t)+{{q}_{1}}\bar{e}{{\acute{\ }}_{1}}+{{q}_{2}}\bar{e}{{\acute{\ }}_{2}}</math>


Zeile 48:		Zeile 48:


	<math>\left\{ {{q}_{1}},{{q}_{2}} \right\} , f=2</math>		:<math>\left\{ {{q}_{1}},{{q}_{2}} \right\} , f=2</math>
	}}		}}
	{{Beispiel\|'''Beispiel: Massepunkt auf Kreis mit Radius R:'''		{{Beispiel\|'''Beispiel: Massepunkt auf Kreis mit Radius R:'''

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \bar{r}=R(\cos \phi {{{\bar{e}}}_{1}}+\sin \phi {{{\bar{e}}}_{2}}) \\		& \bar{r}=R(\cos \phi {{{\bar{e}}}_{1}}+\sin \phi {{{\bar{e}}}_{2}}) \\
	& q=\phi \\		& q=\phi \\
Zeile 64:		Zeile 64:


	<math>\delta {{\bar{r}}_{i}}</math>		:<math>\delta {{\bar{r}}_{i}}</math>
	wird ausgedrückt durch		wird ausgedrückt durch
	<math>\delta {{q}_{1}},...,\delta qf</math>		:<math>\delta {{q}_{1}},...,\delta qf</math>


Zeile 74:		Zeile 74:


	<math>{{\vec{v}}_{i}}=\frac{d}{dt}{{\bar{r}}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}{{{\dot{q}}}_{j}} \right)}+\frac{\partial }{\partial t}{{\bar{r}}_{i}}</math>		:<math>{{\vec{v}}_{i}}=\frac{d}{dt}{{\bar{r}}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}{{{\dot{q}}}_{j}} \right)}+\frac{\partial }{\partial t}{{\bar{r}}_{i}}</math>


Zeile 80:		Zeile 80:


	<math>\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{\vec{v}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{\left[ \sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}{{{\dot{q}}}_{j}} \right)}+\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{r}}}_{i}} \right]}_{{}}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)</math>		:<math>\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{\vec{v}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{\left[ \sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}{{{\dot{q}}}_{j}} \right)}+\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{r}}}_{i}} \right]}_{{}}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)</math>


Zeile 86:		Zeile 86:


	<math>\sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{j}{\left\{ \sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}} \right\}\delta q_{j}^{{}}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{{{Q}_{j}}\delta }q_{j}^{{}}</math>		:<math>\sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{j}{\left\{ \sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}} \right\}\delta q_{j}^{{}}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{{{Q}_{j}}\delta }q_{j}^{{}}</math>


Zeile 92:		Zeile 92:


	<math>{{Q}_{j}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}</math>		:<math>{{Q}_{j}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}</math>


Zeile 98:		Zeile 98:


	<math>{{\vec{X}}_{i}}=-{{\nabla }_{\vec{r}i}}V({{\bar{r}}_{1}},{{\bar{r}}_{2}},...,{{\bar{r}}_{N}})</math>		:<math>{{\vec{X}}_{i}}=-{{\nabla }_{\vec{r}i}}V({{\bar{r}}_{1}},{{\bar{r}}_{2}},...,{{\bar{r}}_{N}})</math>


Zeile 104:		Zeile 104:


	<math>-\frac{\partial V}{\partial {{q}_{j}}}=-\sum\limits_{i}^{{}}{{{\nabla }_{\vec{r}i}}V({{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}},...,{{{\bar{r}}}_{N}})\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}={{Q}_{j}}</math>		:<math>-\frac{\partial V}{\partial {{q}_{j}}}=-\sum\limits_{i}^{{}}{{{\nabla }_{\vec{r}i}}V({{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}},...,{{{\bar{r}}}_{N}})\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}={{Q}_{j}}</math>


	Somit besitzen auch die verallgemeinerten Kräfte ein '''Potenzial''', natürlich das physikalisch gleiche wie die eingeprägten Kräfte !		Somit besitzen auch die verallgemeinerten Kräfte ein '''Potenzial''', natürlich das physikalisch gleiche wie die eingeprägten Kräfte !

Schubotz am 28. August 2010 um 14:47 Uhr

2010-08-28T14:47:39Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. August 2010, 16:47 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:

	<noinclude>{{Scripthinweis\|Mechanik\|1\|4}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Mechanik\|1\|4}}</noinclude>

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	<u>'''Ziel:'''</u>		<u>'''Ziel:'''</u>

	Suche einen Satz von f unabhängigen generalisierten Koordinaten. Diese sind optimal angepasst, wenn so viele unabhängige Koordinaten wie Freiheitsgrade existieren:		*Suche einen Satz von f unabhängigen generalisierten Koordinaten. Diese sind optimal angepasst, wenn so viele unabhängige Koordinaten wie Freiheitsgrade existieren: <math>\left\{ {{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t) \right\}\quad f=1,2,...3N-\nu </math>
			*Anschließend können Bewegungsgleichungen für die <math>\left\{ {{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t) \right\}\quad f=1,2,...3N-\nu </math> aus einfachen Extremalprinzipien ermittelt werden.

	<math>\left\{ {{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t) \right\}\quad f=1,2,...3N-\nu </math>


	Anschließend können Bewegungsgleichungen für die
	<math>\left\{ {{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t) \right\}\quad f=1,2,...3N-\nu </math>
	aus einfachen Extremalprinzipien ermittelt werden.

	Wesentlich: Die		Wesentlich: Die
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	sind die Zwangsbedingungen identisch erfüllt.		sind die Zwangsbedingungen identisch erfüllt.

	~~<u>~~'''Beispiel: Der Massenpunkt auf der bewegten Ebene:'''~~</u>~~		{{Beispiel\|'''Beispiel: Der Massenpunkt auf der bewegten Ebene:'''


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	<math>\left\{ {{q}_{1}},{{q}_{2}} \right\}~~</math>~~		<math>\left\{ {{q}_{1}},{{q}_{2}} \right\} , f=2</math>
	, f=2		}}
			{{Beispiel\|'''Beispiel: Massepunkt auf Kreis mit Radius R:'''
	~~<u>~~'''Beispiel: Massepunkt auf Kreis mit Radius R:'''~~</u>~~



	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
Zeile 68:		Zeile 57:
	& f=1 \\		& f=1 \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
			}}

	'''Virtuelle Verrückungen'''		'''Virtuelle Verrückungen'''
Zeile 94:		Zeile 83:


	Mit diesen Gleichung kann die Virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte gewonnen werden:		Mit diesen Gleichung kann die {{FB\|Virtuelle Arbeit}} der eingeprägten Kräfte gewonnen werden:


Zeile 106:		Zeile 95:


	Sind die eingeprägten Kräfte konservativ:		Sind die eingeprägten Kräfte '''konservativ''':


Zeile 118:		Zeile 107:


	Somit besitzen auch die verallgemeinerten Kräfte ein Potenzial, natürlich das physikalisch gleiche wie die eingeprägten Kräfte !		Somit besitzen auch die verallgemeinerten Kräfte ein '''Potenzial''', natürlich das physikalisch gleiche wie die eingeprägten Kräfte !

Schubotz am 27. August 2010 um 17:52 Uhr

2010-08-27T17:52:39Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. August 2010, 19:52 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{Scripthinweis\|Mechanik\|1\|4}}
			<noinclude>{{Scripthinweis\|Mechanik\|1\|4}}</noinclude>

	Problematischerweise liegen bei holonomen Zwangsbedingungen		Problematischerweise liegen bei holonomen Zwangsbedingungen

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Mechanik|1|4}} Problematischerweise liegen bei holonomen Zwangsbedingungen ${{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}}(t),{{\vec{r}}_{2}}(t),{{\vec{r…“$

2010-08-23T14:00:46Z

Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Mechanik|1|4}} Problematischerweise liegen bei holonomen Zwangsbedingungen <math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}}(t),{{\vec{r}}_{2}}(t),{{\vec{r…“

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{{Scripthinweis|Mechanik|1|4}}
Problematischerweise liegen bei holonomen Zwangsbedingungen

<math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}}(t),{{\vec{r}}_{2}}(t),{{\vec{r}}_{3}}(t),...{{\vec{r}}_{N}}(t),t)=0\quad \quad \lambda =1,...\nu \quad f\ddot{u}r\ alle\ t</math>

gekoppelte Koordinaten vor ( die Koordinaten sind in den Zwangsbedingungen gekoppelt).

Somit können die Punktkoordinaten

<math>\left\{ {{{\vec{r}}}_{1}}(t),{{{\vec{r}}}_{2}}(t),{{{\vec{r}}}_{3}}(t),...{{{\vec{r}}}_{N}}(t) \right\}</math>
nicht unabhängig voneinander variiert werden.

'''Ziel:'''

Suche einen Satz von f unabhängigen generalisierten Koordinaten. Diese sind optimal angepasst, wenn so viele unabhängige Koordinaten wie Freiheitsgrade existieren:

<math>\left\{ {{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t) \right\}\quad f=1,2,...3N-\nu </math>

Anschließend können Bewegungsgleichungen für die
<math>\left\{ {{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t) \right\}\quad f=1,2,...3N-\nu </math>
aus einfachen Extremalprinzipien ermittelt werden.

Wesentlich: Die
<math>\left\{ {{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t) \right\}\quad f=1,2,...3N-\nu </math>
sind FREI variierbar ! Wegen

<math>{{\vec{r}}_{i}}={{\vec{r}}_{i}}\left( {{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t) \right)\quad f=1,2,...3N-\nu </math>
sind die Zwangsbedingungen identisch erfüllt.

'''Beispiel: Der Massenpunkt auf der bewegten Ebene:'''

<math>\vec{a}\cdot (\vec{r}-{{\vec{r}}_{o}}(t))=0</math>

Betrachten wir ein mitbewegtes Koordinatensystem
<math>\bar{e}{{\acute{\ }}_{1}},\bar{e}{{\acute{\ }}_{2}}</math>

Für den Radiusvektor existiert dann eine Verallgemeinerung:

<math>\bar{r}={{\bar{r}}_{o}}(t)+{{q}_{1}}\bar{e}{{\acute{\ }}_{1}}+{{q}_{2}}\bar{e}{{\acute{\ }}_{2}}</math>

Somit existiert eine injektive Abbildung der Koordinaten und wir können als generalisierte Koordinaten bestimmen:

<math>\left\{ {{q}_{1}},{{q}_{2}} \right\}</math>
, f=2

'''Beispiel: Massepunkt auf Kreis mit Radius R:'''

<math>\begin{align}
& \bar{r}=R(\cos \phi {{{\bar{e}}}_{1}}+\sin \phi {{{\bar{e}}}_{2}}) \\
& q=\phi \\
& f=1 \\
\end{align}</math>

'''Virtuelle Verrückungen'''

müssen nun auch in den generalisierten Koordinaten ausgedrückt werden, also:

<math>\delta {{\bar{r}}_{i}}</math>
wird ausgedrückt durch
<math>\delta {{q}_{1}},...,\delta qf</math>

Betrachten wir eine reale Verrückung ( in der Zeit), so gilt:

<math>{{\vec{v}}_{i}}=\frac{d}{dt}{{\bar{r}}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}{{{\dot{q}}}_{j}} \right)}+\frac{\partial }{\partial t}{{\bar{r}}_{i}}</math>

Daraus ergibt sich jedoch die Gleichung:

<math>\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{\vec{v}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{\left[ \sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}{{{\dot{q}}}_{j}} \right)}+\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{r}}}_{i}} \right]}_{{}}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)</math>

Mit diesen Gleichung kann die Virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte gewonnen werden:

<math>\sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{j}{\left\{ \sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}} \right\}\delta q_{j}^{{}}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{{{Q}_{j}}\delta }q_{j}^{{}}</math>

Somit kann man als Ausdruck für die verallgemeinerte Kraft angeben:

<math>{{Q}_{j}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}</math>

Sind die eingeprägten Kräfte konservativ:

<math>{{\vec{X}}_{i}}=-{{\nabla }_{\vec{r}i}}V({{\bar{r}}_{1}},{{\bar{r}}_{2}},...,{{\bar{r}}_{N}})</math>

So folgt:

<math>-\frac{\partial V}{\partial {{q}_{j}}}=-\sum\limits_{i}^{{}}{{{\nabla }_{\vec{r}i}}V({{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}},...,{{{\bar{r}}}_{N}})\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}={{Q}_{j}}</math>

Somit besitzen auch die verallgemeinerten Kräfte ein Potenzial, natürlich das physikalisch gleiche wie die eingeprägten Kräfte !

Generalisierte Koordinaten - Versionsgeschichte

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Schubotz am 28. August 2010 um 14:47 Uhr

Schubotz am 27. August 2010 um 17:52 Uhr

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Mechanik|1|4}} Problematischerweise liegen bei holonomen Zwangsbedingungen {{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}}(t),{{\vec{r}}_{2}}(t),{{\vec{r…“

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