Formaler Aufbau der Quantenmechanik - Versionsgeschichte

Schubotz am 28. Januar 2011 um 15:12 Uhr

2011-01-28T15:12:57Z

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: , → ,

2010-09-12T22:40:42Z

Interpunktion, replaced: , → ,

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	für <math>\mathcal{H}={{\mathcal{H}}_{L}}:\quad \hat{x}:\Psi \left( x \right)\to x\Psi \left( x \right)\quad \hat{p}:\Psi \left( x \right)\to \frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\Psi '\left( x \right)</math>		für <math>\mathcal{H}={{\mathcal{H}}_{L}}:\quad \hat{x}:\Psi \left( x \right)\to x\Psi \left( x \right)\quad \hat{p}:\Psi \left( x \right)\to \frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\Psi '\left( x \right)</math>
	# n x n-Matrizen auf <math>{{\mathbb{C}}^{2}}</math>		# n x n-Matrizen auf <math>{{\mathbb{C}}^{2}}</math>
	:<math>{{\mathbb{C}}^{2}}</math>ist in der Tat der einfachste nichttriviale Hilbertraum, auf dem sich Quantenmechanik machen lässt! Beispiel Spin ½ , Pauli-Matrizen.		:<math>{{\mathbb{C}}^{2}}</math>ist in der Tat der einfachste nichttriviale Hilbertraum, auf dem sich Quantenmechanik machen lässt! Beispiel Spin ½, Pauli-Matrizen.
	Definition Der {{FB\|Erwartungswert}} eines Operators <math>\hat{A}</math>im Zustand <math>\left\| \Psi \right\rangle </math>ist		Definition Der {{FB\|Erwartungswert}} eines Operators <math>\hat{A}</math>im Zustand <math>\left\| \Psi \right\rangle </math>ist
	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|
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	mit <math>{{\hat{P}}_{n}}</math>dem orthogonalen Projektor auf Unterraum der von den Eigenvektoren zum Eigenwert a<sub>n</sub> aufgespannt wird.		mit <math>{{\hat{P}}_{n}}</math>dem orthogonalen Projektor auf Unterraum der von den Eigenvektoren zum Eigenwert a<sub>n</sub> aufgespannt wird.
	Falls a<sub>n</sub> nicht entartet, gilt		Falls a<sub>n</sub> nicht entartet, gilt
	:<math>{{\hat{P}}_{n}}=\left\| n \right\rangle \left\langle n \right\|</math>		:<math>{{\hat{P}}_{n}}=\left\| n \right\rangle \left\langle n \right\|</math>,
	,<math>\left\| n \right\rangle </math>normiert.		<math>\left\| n \right\rangle </math>normiert.
	Axiom:		Axiom:
	Die möglichen Messwerte einer Observablen Â im Zustand <math>\left\| \Psi \right\rangle </math> sind die Eigenwerte a<sub>n</sub>, die mit Wahrscheinlichkeit		Die möglichen Messwerte einer Observablen Â im Zustand <math>\left\| \Psi \right\rangle </math> sind die Eigenwerte a<sub>n</sub>, die mit Wahrscheinlichkeit
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	:<math>{{\varepsilon }_{\pm }}=\pm \left\| {\underline{B}} \right\|\quad \left\| {\underline{B}} \right\|=\sqrt{B_{z}^{2}+{{\left\| {{B}_{\|\|}} \right\|}^{2}}}</math>		:<math>{{\varepsilon }_{\pm }}=\pm \left\| {\underline{B}} \right\|\quad \left\| {\underline{B}} \right\|=\sqrt{B_{z}^{2}+{{\left\| {{B}_{\|\|}} \right\|}^{2}}}</math>
	(CHECK)		(CHECK)
	 Zeitentwicklung <math>U\left( t,0 \right)={{e}^{-i\hat{H}t}}=S{{e}^{-iDt}}{{S}^{-1}}</math>mit <math>D=diag\left( {{\varepsilon }_{+}},{{\varepsilon }_{-}} \right)</math>		à Zeitentwicklung <math>U\left( t,0 \right)={{e}^{-i\hat{H}t}}=S{{e}^{-iDt}}{{S}^{-1}}</math>mit <math>D=diag\left( {{\varepsilon }_{+}},{{\varepsilon }_{-}} \right)</math>
	Alternativer Lösungsweg: Ansatz		Alternativer Lösungsweg: Ansatz
	:<math>{{\chi }_{j}}\left( t \right)={{c}_{j}}{{e}^{izt}}</math>		:<math>{{\chi }_{j}}\left( t \right)={{c}_{j}}{{e}^{izt}}</math>
	in (siehe b)		in (siehe b)
	# Rotierende B-Feld  Rabi-Oszillationen		# Rotierende B-Feld à Rabi-Oszillationen
	Hier		Hier
	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:39:25Z

Einrückungen Mathematik

Änderungen zeigen

Schubotz: /* Zeitabhängiger Hamiltonian: Spin ½, 2 Niveausystem, NMR */

2010-09-06T11:15:02Z

Zeitabhängiger Hamiltonian: Spin ½, 2 Niveausystem, NMR

← Nächstältere Version		Version vom 6. September 2010, 13:15 Uhr
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	für <math>{{\chi }_{1}}\left( t \right)</math> entsprechen: Koeffizienten für <math>{{\chi }_{2}}\left( t \right),{{\chi }_{1}}\left( t \right)</math> hängen über (2.37) zusammen.		für <math>{{\chi }_{1}}\left( t \right)</math> entsprechen: Koeffizienten für <math>{{\chi }_{2}}\left( t \right),{{\chi }_{1}}\left( t \right)</math> hängen über (2.37) zusammen.
	Aufgabe: 1 Fall b) lösen für <math>{{\chi }_{1}}\left( 0 \right)=0,{{\chi }_{2}}\left( 0 \right)=1</math> und diskutieren.		Aufgabe: 1 Fall b) lösen für <math>{{\chi }_{1}}\left( 0 \right)=0,{{\chi }_{2}}\left( 0 \right)=1</math> und diskutieren.
			<references />

Schubotz: /* Zeitunabhängiger Hamiltonian */

2010-09-06T11:13:59Z

Zeitunabhängiger Hamiltonian

← Nächstältere Version		Version vom 6. September 2010, 13:13 Uhr
Zeile 265:		Zeile 265:
	Wir haben		Wir haben

	<math>{{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{t}}=\left\langle \Psi \left( 0 \right){{e}^{\mathfrak{i} \hat{H}t}}\,\left\| \hat{A}\, \right\|\,{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}}\Psi \left( 0 \right) \right\rangle =\left\langle \Psi \left( 0 \right)\,\underbrace{\left\| {{e}^{\mathfrak{i} \hat{H}t}}\hat{A}{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}} \right\|}_{~~{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle~~\~~frown}$}}~~{A}}}\,\Psi \left( 0 \right) \right\rangle </math>		<math>{{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{t}}=\left\langle \Psi \left( 0 \right){{e}^{\mathfrak{i} \hat{H}t}}\,\left\| \hat{A}\, \right\|\,{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}}\Psi \left( 0 \right) \right\rangle =\left\langle \Psi \left( 0 \right)\,\underbrace{\left\| {{e}^{\mathfrak{i} \hat{H}t}}\hat{A}{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}} \right\|}_{\tilde{A}}\,\Psi \left( 0 \right) \right\rangle </math>
	also		also
	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|
	<math>\~~overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}~~{A}\left( t \right):={{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}}\hat{A}{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}}</math>		<math>\tilde{A}\left( t \right):={{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}}\hat{A}{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}}</math>
	(Zeitentwicklung von Operator		(Zeitentwicklung von Operator
	<math>\hat{A}</math>		<math>\hat{A}</math>
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	<math>{{d}_{t}}{{\hat{A}}_{H}}\left( t \right)=i\left[ \hat{H},\hat{A}\left( t \right) \right]+{{e}^{\mathfrak{i} \hat{H}t}}\underbrace{{{d}_{t}}\hat{A}\left( t \right)}_{\text{intrinsisch}}{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}}</math>		<math>{{d}_{t}}{{\hat{A}}_{H}}\left( t \right)=i\left[ \hat{H},\hat{A}\left( t \right) \right]+{{e}^{\mathfrak{i} \hat{H}t}}\underbrace{{{d}_{t}}\hat{A}\left( t \right)}_{\text{intrinsisch}}{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}}</math>
	: \|(2.33)\|RawN=.}}		: \|(2.33)\|RawN=.}}

	===Zeitabhängiger Hamiltonian: Spin ½, 2 Niveausystem, NMR===		===Zeitabhängiger Hamiltonian: Spin ½, 2 Niveausystem, NMR===
	Die meisten Fälle mit zeitabhängigem <math>\hat{H}\left( t \right)</math>sind exakt nicht mehr lösbar.		Die meisten Fälle mit zeitabhängigem <math>\hat{H}\left( t \right)</math>sind exakt nicht mehr lösbar.

Schubotz: /* Hilbertraum */

2010-09-06T11:07:31Z

Hilbertraum

← Nächstältere Version		Version vom 6. September 2010, 13:07 Uhr
Zeile 51:		Zeile 51:

	# Hilbertraum <math>\mathcal{H}={{\mathbb{C}}^{n}}</math>, n-dimensionaler komplexer Vektorraum mit Basis <math>{{\underline{e}}_{1}}=\left( \begin{align}		# Hilbertraum <math>\mathcal{H}={{\mathbb{C}}^{n}}</math>, n-dimensionaler komplexer Vektorraum mit Basis <math>{{\underline{e}}_{1}}=\left( \begin{align}
	# & 1 \\		& 1 \\
	# & 0 \\		& 0 \\
	# & \vdots \\		& \vdots \\
	# & 0 \\		& 0 \\
	# \end{align} \right)\quad {{\underline{e}}_{2}}=\left( \begin{align}		\end{align} \right)\quad {{\underline{e}}_{2}}=\left( \begin{align}
	# & 0 \\		& 0 \\
	# & 1 \\		& 1 \\
	# & \vdots \\		& \vdots \\
	# & 0 \\		& 0 \\
	# \end{align} \right)\quad ...\quad {{\underline{e}}_{n}}=\left( \begin{align}		\end{align} \right)\quad ...\quad {{\underline{e}}_{n}}=\left( \begin{align}
	# & 0 \\		& 0 \\
	# & 0 \\		& 0 \\
	# & \vdots \\		& \vdots \\
	# & 1 \\		& 1 \\
	# \end{align} \right)</math>.		\end{align} \right)</math>.
	# Hilbertraum <math>{{\mathcal{H}}_{L}}</math>der quadratintegrierbaren Wellenfunktionen eines Potentialtopfes mit unendlich hohen Wänden in 1 Dimension		# Hilbertraum <math>{{\mathcal{H}}_{L}}</math>der quadratintegrierbaren Wellenfunktionen eines Potentialtopfes mit unendlich hohen Wänden in 1 Dimension
	#		#
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	* Vollständige „normierte Räume“ heißen Banachräume{{FB\|Banachraum}} (haben kein Skalarprodukt)		* Vollständige „normierte Räume“ heißen Banachräume{{FB\|Banachraum}} (haben kein Skalarprodukt)
	* Mehr Details: Funktionalanalysis z.B. Bornstein/Senendajew Taschenbuch der Mathematik, ergänzende Kapitel		* Mehr Details: Funktionalanalysis z.B. Bornstein/Senendajew Taschenbuch der Mathematik, ergänzende Kapitel

	===Dirac-Notation===		===Dirac-Notation===
	Bequeme Notation für Ψ, Skalarprodukte <math>\left\langle \Psi \| \Phi \right\rangle </math>etc. eines Hilbertraum		Bequeme Notation für Ψ, Skalarprodukte <math>\left\langle \Psi \| \Phi \right\rangle </math>etc. eines Hilbertraum

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{ScriptProf|Kapitel=2|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. T. Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}} Ein Anfang der Quantenmecha…“

2010-09-06T11:03:36Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=2|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. T. Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> Ein Anfang der Quantenmecha…“

Neue Seite

<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=2|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. T. Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>

Ein Anfang der Quantenmechanik ist der {{FB|Kommutator|Ort-Impuls}}

{{NumBlk|:|

<math>\left[ \underline{x},\underline{p} \right]=\mathfrak{i} \hbar </math>

: |(2.1)|RawN=.}}

mit den Operatoren{{FB|Ortsoperator}} <math>\hat{x}</math>(Ort) <math>\hat{p}</math>(Impuls{{FB|Impulsoperator}}), einer {{FB|Unschärferelation}}

{{NumBlk|:|

<math>\Delta x\Delta p\ge \frac{\hbar }{2}</math>

: |(2.2)|RawN=.}}

und quantenmechanischen Zuständen, die mit Wellenfunktionen, z.B. <math>\Psi \left( {\underline{x}} \right)</math>beschrieben werden. Diese Zustände sind Elemente eines Hilbertraums, auf dem die Operatoren der Messgrößen operieren.

===Hilbertraum===
{{NumBlk|:|Definition|(2.3)|RawN=.}}: Ein {{FB|Hilbertraum}} ist ein vollständiger unitärer Raum.

{{NumBlk|:|Definition|(2.4)|RawN=.}}: Ein Vektorraum mit Skalarprodukt <math>\left\langle \Phi | \Psi \right\rangle </math> und (induzierter)
Norm <math>\left\| \Psi \right\|:=\sqrt{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle }</math> heißt {{FB|unitärer Raum}}.

{{NumBlk|:|Definition|(2.5)|RawN=.}}: Eine '''{{FB|Norm}}''' eines komplexen Vektorraums V ist ein Abbildung <math>V\to {{\mathbb{R}}^{+}}</math>, so dass für <math>\Psi ,\Phi \in V</math> gilt

# <math>\left\| \Psi \right\|\ge 0,\left\| \Psi \right\|=0\Leftrightarrow \Psi =0</math>
# <math>\left\| c\Psi \right\|=c\left\| \Psi \right\|,\quad c\in \mathbb{C}</math>
# <math>\left\| \Psi +\Phi \right\|\le \left\| \Psi \right\|+\left\| \Phi \right\|</math>
{{NumBlk|:|Definition|(2.6)|RawN=.}}: Ein '''{{FB|Skalarprodukt}}''' eines Vektorraums V ist eine Abbildung <math>\left( V,V \right)\to \mathbb{C}</math>, so dass für <math>\psi ,\phi ,\chi \in V</math>gilt:

<math>\begin{align}

& \left\langle \psi | \psi \right\rangle \ge 0 \\

& \left\langle \psi +\phi | \chi \right\rangle =\left\langle \psi | \chi \right\rangle +\left\langle \phi | \chi \right\rangle \\

& \left\langle \psi | c\phi \right\rangle =c\left\langle \psi | \phi \right\rangle \quad c\in \mathbb{C} \\

& \left\langle \psi | \phi \right\rangle ={{\left\langle \phi | \psi \right\rangle }^{*}}=\overline{\left\langle \phi | \psi \right\rangle } \\

\end{align}</math>

{{NumBlk|:|Definition|(2.7)|RawN=.}}: Ein Folge <math>\left\{ {{\Psi }_{n}} \right\}</math>in einem normierten Raum heißt {{FB|Cauchy-Folge}}, falls <math>\forall \varepsilon >0\exists N\left( \varepsilon \right)</math> ganz so dass <math>\forall n,m>N\left( \varepsilon \right)\Rightarrow \left\| {{\Psi }_{n}}-{{\Psi }_{m}} \right\|<\varepsilon </math>.

{{NumBlk|:|Definition|(2.8)|RawN=.}}: Ein unitärer Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert heißt vollständig{{FB|vollständiger unitärer Raum}}.

Beispiele:

# Hilbertraum <math>\mathcal{H}={{\mathbb{C}}^{n}}</math>, n-dimensionaler komplexer Vektorraum mit Basis <math>{{\underline{e}}_{1}}=\left( \begin{align}
# & 1 \\
# & 0 \\
# & \vdots \\
# & 0 \\
# \end{align} \right)\quad {{\underline{e}}_{2}}=\left( \begin{align}
# & 0 \\
# & 1 \\
# & \vdots \\
# & 0 \\
# \end{align} \right)\quad ...\quad {{\underline{e}}_{n}}=\left( \begin{align}
# & 0 \\
# & 0 \\
# & \vdots \\
# & 1 \\
# \end{align} \right)</math>.
# Hilbertraum <math>{{\mathcal{H}}_{L}}</math>der quadratintegrierbaren Wellenfunktionen eines Potentialtopfes mit unendlich hohen Wänden in 1 Dimension
#
<math>\Psi \left( {\underline{x}} \right)</math>

auf <math>x\in \left[ 0,L \right],\Psi \left( 0 \right)=\Psi \left( L \right)=0</math>

<math>-\frac{\hbar }{2m}\Psi '{{'}_{n}}\left( x \right)={{E}_{n}}{{\Psi }_{n}}\left( x \right)</math>

{{NumBlk|:|Basis

<math>{{\Psi }_{n}}\left( x \right)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{n\pi x}{L} \right),\quad {{E}_{n}}=\frac{{{\left( \hbar n\pi \right)}^{2}}}{2m{{L}^{2}}},\quad n\in \mathbb{N}</math>

: |(2.9)|RawN=.}}

Skalarprodukt

<math>\begin{align}

& \left\langle \Psi | \Phi \right\rangle =\int\limits_{0}^{L}{{{\Psi }^{*}}\left( x \right)\Phi \left( x \right)dx} \\

& \left\langle {{\Psi }_{n}} | {{\Psi }_{m}} \right\rangle ={{\delta }_{mn}} \\

\end{align}</math>

* {{FB|Vollständigkeit}}: <math>\Phi \left( x \right)=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\underbrace{\left\langle {{\Psi }_{n}} | \Phi \right\rangle }_{\text{Fourierkoeffizient}}{{\Psi }_{n}}\left( {\underline{x}} \right)\quad \forall \Phi \in {{\mathcal{H}}_{L}}}</math>
vergleich mit <math>\underline{y}=\sum\limits_{n=1}^{d}{\left\langle {{{\underline{e}}}_{n}} | {\underline{y}} \right\rangle {{{\underline{e}}}_{n}}\quad k\forall \underline{y}\in {{\mathbb{C}}^{n}}}</math>

(AUFGABE):

# Definiere <math>\Phi \in {{\mathcal{H}}_{L}}</math>mit <math>\Phi \left( x \right)=Nx\left( L-x \right)</math>
# bestimme N so dass <math>\left\| \Phi \right\|=1</math>
# Beweise die Formel <math>\frac{{{\pi }^{3}}}{32}=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{{{\left( 2k+1 \right)}^{3}}}}</math>
# Beweise die {{FB|Cauchy-Scharz Ungleichung}} <math>\left| \left\langle \alpha | \beta \right\rangle \right|\le \left\| \alpha \right\|\left\| b \right\|</math>für <math>\left| \alpha \right\rangle ,\left| \beta \right\rangle \in \mathcal{H}</math>
Definition: <math>\left\{ {{\Psi }_{n}} \right\}</math> {{FB|vollständiges Orthogonalsystem}} eins HR<math>\mathcal{H}</math>

{{NumBlk|:|

<math>\Leftrightarrow \left\langle {{\Psi }_{n}} | {{\Psi }_{n'}} \right\rangle ={{\delta }_{nn'}}</math>

und <math>\Phi =\sum\limits_{n}{\left\langle {{\Psi }_{n}} | \Phi \right\rangle {{\Psi }_{n}}\quad \forall \Phi \in \mathcal{H}}</math> |(2.10)|RawN=.}}

----

Satz (Parseval)

{{NumBlk|:|

<math>\Phi =\sum\limits_{n}{\left\langle {{\Psi }_{n}} | \Phi \right\rangle {{\Psi }_{n}}\Leftrightarrow {{\left\| \Phi \right\|}^{2}}=\sum\limits_{n}{{{\left| \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Phi \right\rangle \right|}^{2}}}}</math>
: |(2.11)|RawN=.}}
Bemerkung:
* Vollständige „normierte Räume“ heißen Banachräume{{FB|Banachraum}} (haben kein Skalarprodukt)
* Mehr Details: Funktionalanalysis z.B. Bornstein/Senendajew Taschenbuch der Mathematik, ergänzende Kapitel
===Dirac-Notation===
Bequeme Notation für Ψ, Skalarprodukte <math>\left\langle \Psi | \Phi \right\rangle </math>etc. eines Hilbertraum
<math>\mathcal{H}</math>

# {{NumBlk|:| {{FB|Zustände}} <math>\Phi \leftrightarrow \left| \Phi \right\rangle </math>
# „Ket“, „Dirac-Ket“ |(2.12)|RawN=.}}
# {{FB|Skalarprodukt}} von <math>\Psi \text{ und }\Phi \leftrightarrow \left\langle \Psi | \Phi \right\rangle ={{\left\langle \Phi | \Psi \right\rangle }^{*}}</math>
# Vollständigkeitsrelation{{FB|Vollständigkeitsrelation}} für Basis <math>{{\Psi }_{n}}\leftrightarrow \left| n \right\rangle </math>
#
<math>\begin{align}
& \left| \Phi \right\rangle =\sum\limits_{n}{\left\langle n | \Phi \right\rangle \left| n \right\rangle } \\
& \left| \Phi \right\rangle =\sum\limits_{n}{\underbrace{\left| n \right\rangle \left\langle n \right|}_{{\underline{1}}}\left. \Phi \right\rangle } \\
\end{align}</math>

{{NumBlk|:|„{{FB|vollständige Eins}}“
<math>\underline{1}=\left| n \right\rangle \left\langle n \right|</math>
: |(2.13)|RawN=.}}
#{{FB|Dualraum}} und Bra-Zustände
Dualraum <math>{{\mathcal{H}}^{*}}</math>eines Hilbertraum <math>\mathcal{H}</math>: Raum aller linearen Funktionale
{{NumBlk|:|
<math>\left\langle \Psi \right|:\mathcal{H}\to \mathbb{C},\quad \left| \Phi \right\rangle \to \left\langle \Psi | \Phi \right\rangle </math>
: |(2.14)|RawN=.}}
Vektor <math>\left| \Psi \right\rangle </math>als Funktional <math>\left\langle \Psi \right|</math>aufgefasst wie in (2.14) heißt „Dirac-Bra“ oder einfach „Bra“ Name von <math>\underbrace{\left\langle \Psi \right.}_{\text{bra}}|\underbrace{\left. \Phi \right\rangle }_{\text{ket}}</math>engl. ‚bracket‘
Geometrische Interpretation im <math>{{\mathbb{R}}^{3}}</math>:
# <math>\left| {{\Phi }_{i}} \right\rangle </math>als{{FB|Ket}}s: normale Vektoren
# <math>\left\langle {{\Phi }_{i}} \right|</math>als{{FB|Bra}}s: als Abbildung, z.B. <math>\left\langle {{\Phi }_{3}} \right|:\underbrace{\left| \Phi \right\rangle }_{\in {{\mathbb{R}}^{3}}}\to \underbrace{\left\langle {{\Phi }_{3}} | \Phi \right\rangle }_{\in \mathbb{R}}</math>Projektion auf 3-Achse <math>\left\langle {{\Phi }_{1}} \right|,\left\langle {{\Phi }_{2}} \right|,\left\langle {{\Phi }_{3}} \right|</math> Basis für Dualraum <math>{{\mathbb{R}}^{3}}</math>, d.h. jedes Funktional <math>\left\langle f \right|</math> (Projektion) als Linearkombination <math>{{c}_{1}}\left\langle {{\Phi }_{1}} \right|+{{c}_{2}}\left\langle {{\Phi }_{2}} \right|+{{c}_{3}}\left\langle {{\Phi }_{3}} \right|\equiv \left\langle f \right|</math>
# „Tricks“: Dirac-Notation sehr flexibel, z.B.
# <math>{{\left\| \Phi \right\|}^{2}}=\left\langle \Phi | \Phi \right\rangle =\left\langle \Phi |\underline{1}|\Phi \right\rangle =\sum\limits_{n}{\left\langle \Phi | n \right\rangle }\left\langle n | \Phi \right\rangle ={{\sum\limits_{n}{\left| \left\langle n | \Phi \right\rangle \right|}}^{2}}</math>
# „{{FB|Einschieben der Eins}}“
===Operatoren in der Quantenmechanik===
Definition: Ein '''{{FB|linearer Operator}}''' <math>\hat{A}:\mathcal{H}\to \mathcal{H}</math> (<math>\mathcal{H}</math> Hilbertraum), erfüllt
{{NumBlk|:|
<math>\hat{A}\left( \left| \Psi \right\rangle +c\left| \Phi \right\rangle \right)=\hat{A}\left| \Psi \right\rangle +c\hat{A}\left| \Phi \right\rangle </math>
: |(2.15)|RawN=.}}
Beispiele:
# {{FB|Ortsoperator}}<math>\hat{x}</math> {{FB|Impulsoperator}} <math>\hat{p}=\frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\underline{\nabla }</math>
für <math>\mathcal{H}={{\mathcal{H}}_{L}}:\quad \hat{x}:\Psi \left( x \right)\to x\Psi \left( x \right)\quad \hat{p}:\Psi \left( x \right)\to \frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\Psi '\left( x \right)</math>
# n x n-Matrizen auf <math>{{\mathbb{C}}^{2}}</math>
<math>{{\mathbb{C}}^{2}}</math>ist in der Tat der einfachste nichttriviale Hilbertraum, auf dem sich Quantenmechanik machen lässt! Beispiel Spin ½ , Pauli-Matrizen.
Definition Der {{FB|Erwartungswert}} eines Operators <math>\hat{A}</math>im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math>ist
{{NumBlk|:|
<math>{{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{\Psi }}:=\frac{\left\langle \Psi | \hat{A}\Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle }:=\frac{\left\langle \Psi \left| {\hat{A}} \right|\Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle }</math>
: |(2.16)|RawN=.}}
{{NumBlk|:|Definition|(2.17)|RawN=.}}: {{FB|Matrixelement}} eines Operators <math>\left\langle n\left| {\hat{A}} \right|m \right\rangle </math>
Beispiele <math>\left| n \right\rangle \to {{\Psi }_{n}}\left( x \right)</math>Wellenfunktion des eindimensionalen Oszillators, normiert.

<math>\hat{A}={{\hat{x}}^{2}}</math>
Dann ist <math>{{\left\langle {\hat{x}} \right\rangle }_{n}}=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{\Psi }_{n}}^{*}\left( x \right){{x}^{2}}{{\Psi }_{n}}\left( x \right)dx=}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{x}^{2}}\underbrace{{{\left| \Psi \left( x \right) \right|}^{2}}}_{\text{Wahrscheinlichkeitsdichte}}dx}</math>
{{NumBlk|:|Definition|(2.18)|RawN=.}}: Der zu einem linearen Hilbertraum-Operator A '''adjungierte Operator{{FB|adjungierter Operator}}''' A+ ist definiert durch

<math>\left\langle \Psi | A\Phi \right\rangle =\left\langle {{A}^{+}}\Psi | \Phi \right\rangle \quad \forall \Psi ,\Phi \in \mathcal{H}</math>

{{NumBlk|:|Definition|(2.19)|RawN=.}}: Ein linearer Operator heißt {{FB|hermitesch}} ({{FB|selbstadjungiert}})<ref>i.A. ungleich (der Unterscheid ist manchmal wichtig)</ref>, <math>{{A}^{+}}=A</math> wenn

<math>\left\langle \Psi | A\Phi \right\rangle =\left\langle A\Psi | \Phi \right\rangle \quad \forall \Psi ,\Phi \in \mathcal{H}</math>

Axiom: In der Quantenmechanik werden physikalische Messgrößen als Observable bezeichnet und durch selbstadjungierte Operatoren auf einem Hilbertraum dargestellt.
* Energie <math>\mathcal{H}</math>Hamiltonoperator
{{NumBlk|:|
<math>\hat{H}=\frac{{{{\hat{p}}}^{2}}}{2m}+V\left( {\underline{r}} \right)</math>
: |(2.20)|RawN=.}}
für nichtrelativistische Teilchen der Masse
* Ort <math>\hat{r}</math>, Impuls <math>\hat{p}=\frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\underline{\nabla }</math>, Drehimpuls{{FB|Drehimpuls}} <math>\hat{L}=\hat{r}\times \hat{p}</math>
* Spin ½ (Helizität) in Richtung <math>\hat{n}</math>für Dirac-Teilchen,
*
<math>\frac{1}{2}\hat{n}\Sigma =\frac{1}{2}\left( \begin{matrix}
\hat{n}\underline{\sigma } & 0 \\
0 & \hat{n}\underline{\sigma } \\
\end{matrix} \right)</math>
vgl.
Satz: Die Eigenwerte selbstadjungierter Operatoren sind reell die Eigenkets sind orthogonal.
Damit erhält man die {{FB|Spektralzerlegung}} von Operatoren <math>\hat{A}</math>nach seinen Eigenzuständen, d.h.
{{NumBlk|:|
<math>\hat{A}\left| n \right\rangle ={{a}_{n}}\left| n \right\rangle \Rightarrow \hat{A}=\sum\limits_{n}{{{a}_{n}}{{{\hat{P}}}_{n}}}</math>
: |(2.21)|RawN=.}}
mit <math>{{\hat{P}}_{n}}</math>dem orthogonalen Projektor auf Unterraum der von den Eigenvektoren zum Eigenwert an aufgespannt wird.
Falls an nicht entartet, gilt
<math>{{\hat{P}}_{n}}=\left| n \right\rangle \left\langle n \right|</math>
,<math>\left| n \right\rangle </math>normiert.
Axiom:
Die möglichen Messwerte einer Observablen Â im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> sind die Eigenwerte an, die mit Wahrscheinlichkeit
{{NumBlk|:| <math>prob\left( {{a}_{n}} \right)=\frac{\left\langle \Psi \left| {{{\hat{P}}}_{n}} \right|\Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle }</math>
|(2.22)|RawN=.}}
auftreten. Wird an gemessen, so geht <math>\left| \Psi \right\rangle </math>instantan in <math>\frac{{{P}_{n}}\left| \Psi \right\rangle }{\sqrt{\left\langle \Psi \left| {{P}_{n}} \right|\Psi \right\rangle }}</math> über („Kopenhagener Deutung“, „Reduktion des Wellenpakets“).
===Das Zweiniveausystem als einfachstes Quantensystem===
Wir betrachten ein Teilchen, das zwischen zwei Potentialmulden (L links) und (R rechts) hin und her-tunnelt. In grober Vereinfachung betrachten wir nur die Energie der tiefsten Zustände links und rechts <math>{{\varepsilon }_{L}}</math>und <math>{{\varepsilon }_{R}}</math>

Ohne tunneln wäre der Hamiltonoperator für dieses vereinfachte System
{{NumBlk|:|
<math>{{\hat{H}}_{0}}={{\varepsilon }_{L}}\left| L \right\rangle \left\langle L \right|+{{\varepsilon }_{R}}\left| R \right\rangle \left\langle R \right|</math>
: |(2.23)|RawN=.}}
Im Matrix- Schreibweise als {{FB|Qubit}} im Hilbertraum <math>\mathcal{H}={{\mathbb{C}}^{2}}</math>
{{NumBlk|:|
<math>\left| L \right\rangle =\left( \begin{align}
& 1 \\
& 0 \\
\end{align} \right);\quad \left| R \right\rangle =\left( \begin{align}
& 0 \\
& 1 \\
\end{align} \right);\quad {{\hat{H}}_{0}}=\left( \begin{matrix}
{{\varepsilon }_{L}} & 0 \\
0 & {{\varepsilon }_{R}} \\
\end{matrix} \right)</math>
: |(2.24)|RawN=.}}
Den (komplizierten) {{FB|Tunneleffekt}} bestreiben wir vereinfacht durch ein „{{FB|effektives Potential}}“ <math>\hat{V}</math>in <math>\mathcal{H}</math>, d.h. durch den
{{NumBlk|:|{{FB|Tunnel-Operator}} <math>\hat{V}={{T}_{c}}\left( \begin{matrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{matrix} \right)={{T}_{c}}{{\sigma }_{x}}</math>
: |(2.25)|RawN=.}}
Den Gesamt-Hamilton-Operator beschreiben wir durch die Summe
{{NumBlk|:|
<math>\hat{H}={{\hat{H}}_{0}}+\hat{V}</math>
: |(2.26)|RawN=.}}
'''''AUFGABEN…'''''
===Zeitentwicklung in der Quantenmechanik===
Ausgangspunkt: Bewegungsgleichung (Schrödinger, Dirac) der Form
{{NumBlk|:|
<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle =\hat{H}\left( t \right)\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle </math>
: |(2.27)|RawN=.}}
Hier ist
<math>\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle </math>
zeitabhängig und auch der Hamiltonian
<math>\hat{H}\left( t \right)</math>
kann zeitabhängig sein, z.B. <math>\hat{H}=\frac{{{p}^{2}}}{2m}+V\left( x,t \right)</math> (zeitabhängiges Potential)
====Zeitunabhängiger Hamiltonian====
In diesem Fall formale Lösung von (2.27) durch
{{NumBlk|:|
<math>\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle ={{e}^{-i\hat{H}\left( t-{{t}_{0}} \right)}}\left| \Psi \left( {{t}_{0}} \right) \right\rangle \quad ,\quad t>{{t}_{0}}</math>
: |(2.28)|RawN=.}}
als {{FB|Anfangswertproblem}} mit dem
{{NumBlk|:|
<math>\hat{U}\left( t,{{t}_{0}} \right)={{e}^{i\hat{H}\left( t-{{t}_{0}} \right)}}\quad t>{{t}_{0}}</math>
: |(2.29)|RawN=.}}
Û ist unitär, <math>{{\hat{U}}^{-1}}={{\hat{U}}^{+}}</math>, denn <math>\hat{H}={{\hat{H}}^{+}}</math>ist selbstadjungiert
Die {{FB|Zeitentwicklung}}
<math>\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle =\hat{U}\left( t,{{t}_{0}} \right)\left| \Psi \left( {{t}_{0}} \right) \right\rangle </math>
ist eine unitäre Transformation. Erwartungswerte von der Observabelen Â

<math>{{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{0}}:={{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{\left| \Psi \left( 0 \right) \right\rangle }}=\left\langle \Psi \left( 0 \right)\,\left| \hat{A}\, \right|\,\Psi \left( 0 \right) \right\rangle </math>
: zur Zeit <math>{{t}_{0}}=0</math> (<math>\left| \Psi \left( 0 \right) \right\rangle </math> normiert.)

<math>{{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{t}}:={{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }}=\left\langle \Psi \left( t \right)\,\left| \hat{A}\, \right|\,\Psi \left( t \right) \right\rangle </math>
: zur Zeit <math>{{t}_{0}}>0</math>
Wir haben

<math>{{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{t}}=\left\langle \Psi \left( 0 \right){{e}^{\mathfrak{i} \hat{H}t}}\,\left| \hat{A}\, \right|\,{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}}\Psi \left( 0 \right) \right\rangle =\left\langle \Psi \left( 0 \right)\,\underbrace{\left| {{e}^{\mathfrak{i} \hat{H}t}}\hat{A}{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}} \right|}_{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{A}}}\,\Psi \left( 0 \right) \right\rangle </math>
also
{{NumBlk|:|
<math>\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{A}\left( t \right):={{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}}\hat{A}{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}}</math>
(Zeitentwicklung von Operator
<math>\hat{A}</math>
im Heisenbergbild) | |RawN=.}}
Bemerkung: <math>\text{Ket}\quad \hat{B}\left| \Psi \right\rangle \mapsto \left\langle \Psi \right|{{\hat{B}}^{+}}\quad \quad Bra</math>
Skalarprodukt: Mathematiker:
<math>\left( \left| \Psi \right\rangle ,\left| \Phi \right\rangle \right)\equiv \left\langle \Psi | \Phi \right\rangle </math>
:Physiker-Notation
Es gibt also zwei unitär Äquivalente Arten der Zeitentwicklung
# „{{FB|Schrödinger-Bild}}“ Operatoren <math>\hat{A}</math>fest, Zustände zeitabhängig
# <math>\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle =\hat{U}\left( t,{{t}_{0}} \right)\left| \Psi \left( {{t}_{0}} \right) \right\rangle </math>
#
# „{{FB|Heisenberg-Bild}}“ Zustand <math>\left| \Psi \left( {{t}_{0}} \right) \right\rangle </math>fest (Anfangszustand), Operatoren zeitabhängig<math>\hat{A}\left( t \right)={{\hat{U}}^{+}}\left( t,{{t}_{0}} \right)\hat{A}\hat{U}\left( t,{{t}_{0}} \right)</math>
Im Heisenberg-Bild hat man die Bewegungsgleichung
{{NumBlk|:|Heisenberg-Bewegungsgleichung{{FB|Bewegungsgleichung:Heisenberg}}
<math>{{d}_{t}}\hat{A}\left( t \right)=\mathfrak{i} \left[ \hat{H},\hat{A}\left( t \right) \right]</math>
: |(2.31)|RawN=.}}
Häufig schreibt man<math>{{\hat{A}}_{H}}\left( t \right)</math>, falls die Operatoren <math>\hat{A}</math>bereits im Schrödinger-Bild eine intrinsische Zeitabhängigkeit haben, z.B. durch zeitabhängige äußere Felder, d.h.
{{NumBlk|:|
<math>\hat{A}=\hat{A}\left( t \right)\Rightarrow {{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{t}}=\left\langle \Psi \left( t \right)\,\underbrace{\left| \hat{A}\left( t \right)\, \right|}_{\text{Intrinsisch}}\,\Psi \left( t \right) \right\rangle =\left\langle \Psi \left( 0 \right)\,\underbrace{\left| {{e}^{\mathfrak{i} \hat{H}t}}\hat{A}{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}} \right|}_{{{{\hat{A}}}_{H}}\left( t \right)}\,\Psi \left( 0 \right) \right\rangle </math>
: |(2.32)|RawN=.}}
so dass '''''(CHECK)'''''
{{NumBlk|:|
<math>{{d}_{t}}{{\hat{A}}_{H}}\left( t \right)=i\left[ \hat{H},\hat{A}\left( t \right) \right]+{{e}^{\mathfrak{i} \hat{H}t}}\underbrace{{{d}_{t}}\hat{A}\left( t \right)}_{\text{intrinsisch}}{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}}</math>
: |(2.33)|RawN=.}}
===Zeitabhängiger Hamiltonian: Spin ½, 2 Niveausystem, NMR===
Die meisten Fälle mit zeitabhängigem <math>\hat{H}\left( t \right)</math>sind exakt nicht mehr lösbar.
Hier betrachten wir
{{NumBlk|:|
<math>\hat{H}\left( t \right)=\underline{B}\left( t \right)\underline{\sigma }=\left( \begin{matrix}
{{B}_{z}}\left( t \right) & B_{||}^{*}\left( t \right) \\
B_{||}^{*}\left( t \right) & -{{B}_{z}}\left( t \right) \\
\end{matrix} \right)\quad {{B}_{||}}\left( t \right)={{B}_{x}}\left( t \right)+\mathfrak{i} {{B}_{y}}\left( t \right)</math>
: |(2.34)|RawN=.}}
zum Beispiel für einen Spin ½, beschrieben durch den <math>\underline{\sigma }</math>-Vektor der Pauli-Matrizen, in einem zeitabhängigen B-Feld
* Hilbertraum hier <math>{{\mathcal{H}}_{Spin}}={{\mathbb{C}}^{2}}</math>
* (2.34) einfaches Modell für Spin ½ Freiheitsgrad z.B. ein Elektron in der Pauli-Gleichung <math>i{{\partial }_{t}}\varphi =\left[ \frac{1}{2m}{{\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)}^{2}}-\underbrace{\frac{e\hbar }{2m}\underline{\sigma }.\underline{B}}_{\text{Pauli-Term}}+e\phi \right]\varphi </math>
* (1.44)
mit Konstante <math>-\frac{e\hbar }{2m}\to 1</math> und Separation des Ortes (x) und Spin Freiheitsgrade
{{NumBlk|:|
<math>\varphi \left( \underline{x},t \right)=\underbrace{\Psi \left( \underline{x},t \right)}_{\text{Orts-WF}}\underbrace{\left( \begin{align}
& {{\chi }_{1}}\left( t \right) \\
& {{\chi }_{2}}\left( t \right) \\
\end{align} \right)}_{\text{Spin-WF}}</math>
: |(2.35)|RawN=.}}
in Dirac-Schreibweise
{{NumBlk|:|
<math>\begin{align}
& \left| \varphi \left( t \right) \right\rangle \quad =\quad \left| \Psi \left( t \right) \right\rangle \quad \otimes \quad \left| \chi \left( t \right) \right\rangle \\
& \mathcal{H}\quad =\quad {{\mathcal{H}}_{Ort}}\quad \otimes \quad {{\mathcal{H}}_{Spin}} \\
\end{align}</math>
: |(2.36)|RawN=.}}
mit <math>{{\mathcal{H}}_{Ort}}={{L}^{2}}\left( {{\mathbb{R}}^{3}} \right)</math> (Hilbertraum der Quadratintegrabelen Funktionen auf <math>{{\mathbb{R}}^{3}}</math>)
und <math>{{\mathcal{H}}_{Spin}}={{\mathbb{C}}^{2}}</math>.
Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung für (2.34)
{{NumBlk|:| <math>\begin{align}
& \mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\left| \chi \left( t \right) \right\rangle =\hat{H}\left( t \right)\left| \chi \left( t \right) \right\rangle \\
& \Leftrightarrow \begin{matrix}
\begin{align}
& \mathfrak{i} {{{\dot{\chi }}}_{1}}={{B}_{z}}{{\chi }_{1}}-B_{||}^{*}{{\chi }_{2}} \\
& \mathfrak{i} {{{\dot{\chi }}}_{2}}=B_{||}^{{}}{{\chi }_{1}}-{{B}_{z}}{{\chi }_{2}} \\
\end{align} & {} \\
\end{matrix} \\
\end{align}</math> |(2.37)|RawN=.}}
kann für zeitabhängige <math>{{B}_{||}},{{B}_{z}}</math> i.A. nur '''numerische''' gelöst werden.
'''''AUFGABE''''': schreiben Sie eine Code, der (2.37) löst, und diskutiere die Physik die damit beschrieben wird.
Spezialfälle von (2.37) können analytisch gelöst werden
# <math>\underline{B}=\text{const}\Rightarrow </math>quantenmechanische Ozillatoren
Eigenwerte von <math>\hat{H}</math> sind
<math>{{\varepsilon }_{\pm }}=\pm \left| {\underline{B}} \right|\quad \left| {\underline{B}} \right|=\sqrt{B_{z}^{2}+{{\left| {{B}_{||}} \right|}^{2}}}</math>
(CHECK)
 Zeitentwicklung <math>U\left( t,0 \right)={{e}^{-i\hat{H}t}}=S{{e}^{-iDt}}{{S}^{-1}}</math>mit <math>D=diag\left( {{\varepsilon }_{+}},{{\varepsilon }_{-}} \right)</math>
Alternativer Lösungsweg: Ansatz
<math>{{\chi }_{j}}\left( t \right)={{c}_{j}}{{e}^{izt}}</math>
in (siehe b)
# Rotierende B-Feld  Rabi-Oszillationen
Hier
{{NumBlk|:|
<math>\begin{align}
& {{B}_{z}}={{B}_{0}}=\text{const} \\
& {{B}_{||}}={{B}_{1}}{{e}^{\mathfrak{i} \omega t}}=\underbrace{{{B}_{1}}\cos \omega t}_{{{B}_{x}}}+\mathfrak{i} \underbrace{{{B}_{1}}\sin \omega t}_{{{B}_{y}}}\quad {{B}_{1}}\in \mathbb{R} \\
\end{align}</math>
: |(2.38)|RawN=.}}

<math>{{B}_{||}}</math>
rotiert in x-y-Ebene „Drehwellenmodelle“
{{NumBlk|:| <math>\begin{align}
& {{\chi }_{1}}={{c}_{1}}{{e}^{\mathfrak{i} zt-\mathfrak{i} \frac{\omega }{2}t}}\quad \quad \left( z+\frac{\omega }{2} \right){{c}_{1}}={{B}_{0}}{{c}_{1}}+{{B}_{1}}{{c}_{2}} \\
& {{\chi }_{2}}={{c}_{2}}{{e}^{\mathfrak{i} zt+\mathfrak{i} \frac{\omega }{2}t}}\quad \quad \left( z-\frac{\omega }{2} \right){{c}_{1}}={{B}_{1}}{{c}_{1}}-{{B}_{0}}{{c}_{2}} \\
\end{align}</math> |(2.39)|RawN=.}}
Nichttriviale Lösung von (2.39) für
: <math>0=\left| \begin{matrix}
z+\frac{\omega }{2}-{{B}_{0}} & -{{B}_{1}} \\
-{{B}_{1}} & z-\frac{\omega }{2}+{{B}_{0}} \\
\end{matrix} \right|={{z}^{2}}-{{\left( {{B}_{0}}-\frac{\omega }{2} \right)}^{2}}-B_{1}^{2}\Rightarrow {{z}_{\pm }}=\pm \sqrt{{{\left( {{B}_{0}}-\frac{\omega }{2} \right)}^{2}}+B_{1}^{2}}=\pm \frac{1}{2}{{\Omega }_{R}}</math>
: mit
{{NumBlk|:|
<math>{{\Omega }_{R}}:=\sqrt{{{\left( 2{{B}_{0}}-\omega \right)}^{2}}+4B_{1}^{2}}</math>
: |(2.40)|RawN=.}}
Damit zwei linear unabhängige Lösungen für <math>{{\chi }_{2}}\left( t \right),{{\chi }_{1}}\left( t \right)</math>
{{NumBlk|:|
<math>\begin{align}
& {{\chi }_{2}}\left( t \right)={{c}_{+}}{{e}^{\mathfrak{i} \left( \frac{\omega }{2}+\frac{{{\Omega }_{R}}}{2} \right)t}}+{{c}_{-}}{{e}^{\mathfrak{i} \left( \frac{\omega }{2}-\,\frac{{{\Omega }_{R}}}{2} \right)t}}\quad {{c}_{\pm }}\in \mathbb{C} \\
& ={{e}^{\mathfrak{i} \omega t}}\left\{ \alpha \cos \frac{{{\Omega }_{R}}}{2}+\beta \sin \frac{{{\Omega }_{R}}}{2} \right\}\quad \alpha ,\beta \in \mathbb{C}
\end{align}</math>
: |(2.41)|RawN=.}}
für <math>{{\chi }_{1}}\left( t \right)</math> entsprechen: Koeffizienten für <math>{{\chi }_{2}}\left( t \right),{{\chi }_{1}}\left( t \right)</math> hängen über (2.37) zusammen.
Aufgabe: 1 Fall b) lösen für <math>{{\chi }_{1}}\left( 0 \right)=0,{{\chi }_{2}}\left( 0 \right)=1</math> und diskutieren.