Energiebilanz - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (3), ( → ( (7)

2010-09-12T22:18:49Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (3), ( → ( (7)

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:18 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:

	Enthalten die Maxwell- Gleichungen weitere Erhaltungssätze für extensive physikalische Observablen, wie Energie, Impuls, Drehimpuls.		Enthalten die Maxwell- Gleichungen weitere Erhaltungssätze für extensive physikalische Observablen, wie Energie, Impuls, Drehimpuls.
	( Extensiv: Additiv bei Systemzusammensetzung)		(Extensiv: Additiv bei Systemzusammensetzung)

	<u>'''Energietransport durch das elektromagnetische Feld:'''</u>		<u>'''Energietransport durch das elektromagnetische Feld:'''</u>
Zeile 28:		Zeile 28:
	:<math>\frac{\partial }{\partial t}w+\nabla \cdot \bar{S}=-\bar{j}\cdot \bar{E}</math>		:<math>\frac{\partial }{\partial t}w+\nabla \cdot \bar{S}=-\bar{j}\cdot \bar{E}</math>

	Als Kontinuitätsgleichung ( Bilanzgleichung) für den Energietransport		Als Kontinuitätsgleichung (Bilanzgleichung) für den Energietransport

	mit		mit
Zeile 46:		Zeile 46:

	:<math>\bar{S}:=\bar{E}\times \bar{H}</math>		:<math>\bar{S}:=\bar{E}\times \bar{H}</math>
	als Energiestromdichte des elektromagnetischen Feldes ( Poynting- Vektor)		als Energiestromdichte des elektromagnetischen Feldes (Poynting- Vektor)

	:<math>\sigma =-\bar{j}\cdot \bar{E}</math>		:<math>\sigma =-\bar{j}\cdot \bar{E}</math>
	als Quelldichte der Feldenergie ( Leistungsdichte)		als Quelldichte der Feldenergie (Leistungsdichte)

	:<math>\bar{j}\cdot \bar{E}>0</math>		:<math>\bar{j}\cdot \bar{E}>0</math>
Zeile 81:		Zeile 81:
	Das Magnetfeld leistet keine Arbeit, da die Kraft senkrecht auf die Geschwindigkeit steht		Das Magnetfeld leistet keine Arbeit, da die Kraft senkrecht auf die Geschwindigkeit steht

	Es verbleibt die Kraftdichte, die vom Feld auf Ladungen übertragen wird ( sogenannte Verlustdichte der Feldenergie)		Es verbleibt die Kraftdichte, die vom Feld auf Ladungen übertragen wird (sogenannte Verlustdichte der Feldenergie)

	Also ist die Feldenergie keine Erhaltungsgröße !!		Also ist die Feldenergie keine Erhaltungsgröße!!

	<u>'''Beispiel: '''</u> Ohmsches Gesetz:		<u>'''Beispiel: '''</u> Ohmsches Gesetz:
Zeile 90:		Zeile 90:
	mit der konstanten LEITFÄHIGKEIT		mit der konstanten LEITFÄHIGKEIT
	:<math>\sigma >0</math>		:<math>\sigma >0</math>
	( nicht wie oben Oberflächenladungsdichte)		(nicht wie oben Oberflächenladungsdichte)

	Das Ohmsche Gesetz ist ein phänomenologisches MATERIALGESETZ.		Das Ohmsche Gesetz ist ein phänomenologisches MATERIALGESETZ.
Zeile 100:		Zeile 100:
	:<math>\frac{\partial }{\partial t}w+\nabla \cdot \bar{S}=-\sigma \cdot {{\bar{E}}^{2}}<0</math>		:<math>\frac{\partial }{\partial t}w+\nabla \cdot \bar{S}=-\sigma \cdot {{\bar{E}}^{2}}<0</math>

	Das heißt: Es gibt stets den VERLUST von Feldenergie !		Das heißt: Es gibt stets den VERLUST von Feldenergie!
	Eine Konsequenz des 2. Hauptsatz der Thermodynamik		Eine Konsequenz des 2. Hauptsatz der Thermodynamik
	Im Gegensatz zur Elektrodynamik ist das Ohmsche Gesetz also nicht zeitumkehrinvariant !		Im Gegensatz zur Elektrodynamik ist das Ohmsche Gesetz also nicht zeitumkehrinvariant!

	Das bedeutet:		Das bedeutet:
Zeile 118:		Zeile 118:
	<u>'''2. Beispiel:'''</u>		<u>'''2. Beispiel:'''</u>

	Antennenstrahlung ( offenes System)		Antennenstrahlung (offenes System)

	:<math>\bar{j}</math>		:<math>\bar{j}</math>

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:54:29Z

Einrückungen Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 17:54 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	Die Maxwell- Gleichungen enthalten die Kontinuitätsgleichung für die elektrische Ladung		Die Maxwell- Gleichungen enthalten die Kontinuitätsgleichung für die elektrische Ladung

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \dot{\rho }+\nabla \cdot \bar{j}=0 \\		& \dot{\rho }+\nabla \cdot \bar{j}=0 \\
	& \dot{\rho }+\nabla \cdot \bar{j}=\nabla \cdot \left( \dot{\bar{D}}+\bar{j} \right)=\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{H} \right)=0 \\		& \dot{\rho }+\nabla \cdot \bar{j}=\nabla \cdot \left( \dot{\bar{D}}+\bar{j} \right)=\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{H} \right)=0 \\
Zeile 15:		Zeile 15:
	<u>'''Energietransport durch das elektromagnetische Feld:'''</u>		<u>'''Energietransport durch das elektromagnetische Feld:'''</u>

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}+\dot{\bar{B}}=0\left. {} \right\|\cdot \bar{H} \\		& {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}+\dot{\bar{B}}=0\left. {} \right\|\cdot \bar{H} \\
	& \nabla \times \bar{H}-\dot{\bar{D}}=\bar{j}\left. {} \right\|\cdot \bar{E} \\		& \nabla \times \bar{H}-\dot{\bar{D}}=\bar{j}\left. {} \right\|\cdot \bar{E} \\
Zeile 26:		Zeile 26:
	Also:		Also:

	<math>\frac{\partial }{\partial t}w+\nabla \cdot \bar{S}=-\bar{j}\cdot \bar{E}</math>		:<math>\frac{\partial }{\partial t}w+\nabla \cdot \bar{S}=-\bar{j}\cdot \bar{E}</math>

	Als Kontinuitätsgleichung ( Bilanzgleichung) für den Energietransport		Als Kontinuitätsgleichung ( Bilanzgleichung) für den Energietransport
Zeile 32:		Zeile 32:
	mit		mit

	<math>w:=\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{1}{2{{\mu }_{0}}}{{{\bar{B}}}^{2}} \right)+\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{{\bar{E}}}^{2}} \right)=\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{D}+\bar{B}\cdot \bar{H} \right)</math>		:<math>w:=\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{1}{2{{\mu }_{0}}}{{{\bar{B}}}^{2}} \right)+\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{{\bar{E}}}^{2}} \right)=\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{D}+\bar{B}\cdot \bar{H} \right)</math>

	Als Energiedichte des elektromagnetischen Feldes		Als Energiedichte des elektromagnetischen Feldes
Zeile 39:		Zeile 39:
	Elektrostatik:		Elektrostatik:

	<math>\frac{1}{2}\bar{E}\cdot \bar{D}</math>		:<math>\frac{1}{2}\bar{E}\cdot \bar{D}</math>

	Magnetostatik:		Magnetostatik:

	<math>\frac{1}{2}\bar{B}\cdot \bar{H}</math>		:<math>\frac{1}{2}\bar{B}\cdot \bar{H}</math>

	<math>\bar{S}:=\bar{E}\times \bar{H}</math>		:<math>\bar{S}:=\bar{E}\times \bar{H}</math>
	als Energiestromdichte des elektromagnetischen Feldes ( Poynting- Vektor)		als Energiestromdichte des elektromagnetischen Feldes ( Poynting- Vektor)

	<math>\sigma =-\bar{j}\cdot \bar{E}</math>		:<math>\sigma =-\bar{j}\cdot \bar{E}</math>
	als Quelldichte der Feldenergie ( Leistungsdichte)		als Quelldichte der Feldenergie ( Leistungsdichte)

	<math>\bar{j}\cdot \bar{E}>0</math>		:<math>\bar{j}\cdot \bar{E}>0</math>
	bedingt die Abnahme der Feldenergie bei		bedingt die Abnahme der Feldenergie bei
	<math>(\bar{r},t)</math>		:<math>(\bar{r},t)</math>

	<math>\bar{j}\cdot \bar{E}<0</math>		:<math>\bar{j}\cdot \bar{E}<0</math>
	bedingt die Zunahme der Feldenergie bei		bedingt die Zunahme der Feldenergie bei
	<math>(\bar{r},t)</math>		:<math>(\bar{r},t)</math>

	Beispiel: Beschleunigung von Teilchen durch die Felder		Beispiel: Beschleunigung von Teilchen durch die Felder
	<math>\bar{E},\bar{B}</math>		:<math>\bar{E},\bar{B}</math>
	:		:

	Kraft auf die Ladung q:		Kraft auf die Ladung q:
	<math>\bar{F}=q\left( \bar{E}+\bar{v}\times \bar{B} \right)</math>		:<math>\bar{F}=q\left( \bar{E}+\bar{v}\times \bar{B} \right)</math>

	Kraftdichte:		Kraftdichte:
	<math>\bar{f}=\rho \left( \bar{E}+\bar{v}\times \bar{B} \right)</math>		:<math>\bar{f}=\rho \left( \bar{E}+\bar{v}\times \bar{B} \right)</math>

	Als Leistungsdichte der Felder auf die Ladungsdichte		Als Leistungsdichte der Felder auf die Ladungsdichte
	<math>\rho </math>		:<math>\rho </math>
	folgt:		folgt:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \bar{f}\bar{v}=\rho \bar{v}\left( \bar{E}+\bar{v}\times \bar{B} \right)=\rho \bar{v}\bar{E}+\rho \bar{v}\left( \bar{v}\times \bar{B} \right) \\		& \bar{f}\bar{v}=\rho \bar{v}\left( \bar{E}+\bar{v}\times \bar{B} \right)=\rho \bar{v}\bar{E}+\rho \bar{v}\left( \bar{v}\times \bar{B} \right) \\
	& \rho \bar{v}\left( \bar{v}\times \bar{B} \right)=0 \\		& \rho \bar{v}\left( \bar{v}\times \bar{B} \right)=0 \\
Zeile 87:		Zeile 87:
	<u>'''Beispiel: '''</u> Ohmsches Gesetz:		<u>'''Beispiel: '''</u> Ohmsches Gesetz:

	<math>\sigma \cdot \bar{E}=\bar{j}</math>		:<math>\sigma \cdot \bar{E}=\bar{j}</math>
	mit der konstanten LEITFÄHIGKEIT		mit der konstanten LEITFÄHIGKEIT
	<math>\sigma >0</math>		:<math>\sigma >0</math>
	( nicht wie oben Oberflächenladungsdichte)		( nicht wie oben Oberflächenladungsdichte)

	Das Ohmsche Gesetz ist ein phänomenologisches MATERIALGESETZ.		Das Ohmsche Gesetz ist ein phänomenologisches MATERIALGESETZ.
	Es gilt in Metallen und Halbleitern für hinreichend kleine Felder		Es gilt in Metallen und Halbleitern für hinreichend kleine Felder
	<math>\bar{E}</math>		:<math>\bar{E}</math>

	Die Energiebilanz lautet:		Die Energiebilanz lautet:

	<math>\frac{\partial }{\partial t}w+\nabla \cdot \bar{S}=-\sigma \cdot {{\bar{E}}^{2}}<0</math>		:<math>\frac{\partial }{\partial t}w+\nabla \cdot \bar{S}=-\sigma \cdot {{\bar{E}}^{2}}<0</math>

	Das heißt: Es gibt stets den VERLUST von Feldenergie !		Das heißt: Es gibt stets den VERLUST von Feldenergie !
Zeile 106:		Zeile 106:
	Das bedeutet:		Das bedeutet:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& t\to -t \\		& t\to -t \\
	& \bar{j}\to -\bar{j} \\		& \bar{j}\to -\bar{j} \\
Zeile 113:		Zeile 113:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	<math>\sigma \cdot {{\bar{E}}^{2}}>0</math>		:<math>\sigma \cdot {{\bar{E}}^{2}}>0</math>
	wird dann als Joulsche Wärme im Leiter dissipiert		wird dann als Joulsche Wärme im Leiter dissipiert

Zeile 120:		Zeile 120:
	Antennenstrahlung ( offenes System)		Antennenstrahlung ( offenes System)

	<math>\bar{j}</math>		:<math>\bar{j}</math>
	in der metallischen Antenne ist dem Wechselfeld		in der metallischen Antenne ist dem Wechselfeld
	<math>\bar{E}</math>		:<math>\bar{E}</math>
	außerhalb entgegengesetzt.		außerhalb entgegengesetzt.

	<math>\Rightarrow \bar{j}\bar{E}<0</math>		:<math>\Rightarrow \bar{j}\bar{E}<0</math>

	<math>\Rightarrow </math>		:<math>\Rightarrow </math>
	Energiegewinn des Feldes		Energiegewinn des Feldes

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2010-08-28T23:22:13Z

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Neue Seite

<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|3|4}}</noinclude>

Die Maxwell- Gleichungen enthalten die Kontinuitätsgleichung für die elektrische Ladung

<math>\begin{align}
& \dot{\rho }+\nabla \cdot \bar{j}=0 \\
& \dot{\rho }+\nabla \cdot \bar{j}=\nabla \cdot \left( \dot{\bar{D}}+\bar{j} \right)=\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{H} \right)=0 \\
\end{align}</math>

'''Frage:'''

Enthalten die Maxwell- Gleichungen weitere Erhaltungssätze für extensive physikalische Observablen, wie Energie, Impuls, Drehimpuls.
( Extensiv: Additiv bei Systemzusammensetzung)

'''Energietransport durch das elektromagnetische Feld:'''

<math>\begin{align}
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}+\dot{\bar{B}}=0\left. {} \right|\cdot \bar{H} \\
& \nabla \times \bar{H}-\dot{\bar{D}}=\bar{j}\left. {} \right|\cdot \bar{E} \\
& \Rightarrow \bar{H}\cdot \left( \nabla \times \bar{E} \right)-\bar{E}\cdot \left( \nabla \times \bar{H} \right)+\bar{H}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\bar{B}+\bar{E}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=-\bar{j}\cdot \bar{E} \\
& \bar{H}\cdot \left( \nabla \times \bar{E} \right)-\bar{E}\cdot \left( \nabla \times \bar{H} \right)=\nabla \cdot \left( \bar{E}\times \bar{H} \right) \\
& \bar{H}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{1}{2{{\mu }_{0}}}{{{\bar{B}}}^{2}} \right) \\
& \bar{E}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\bar{D}={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\bar{E}=\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{{\bar{E}}}^{2}} \right) \\
\end{align}</math>

Also:

<math>\frac{\partial }{\partial t}w+\nabla \cdot \bar{S}=-\bar{j}\cdot \bar{E}</math>

Als Kontinuitätsgleichung ( Bilanzgleichung) für den Energietransport

mit

<math>w:=\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{1}{2{{\mu }_{0}}}{{{\bar{B}}}^{2}} \right)+\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{{\bar{E}}}^{2}} \right)=\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{D}+\bar{B}\cdot \bar{H} \right)</math>

Als Energiedichte des elektromagnetischen Feldes
Remember:

Elektrostatik:

<math>\frac{1}{2}\bar{E}\cdot \bar{D}</math>

Magnetostatik:

<math>\frac{1}{2}\bar{B}\cdot \bar{H}</math>

<math>\bar{S}:=\bar{E}\times \bar{H}</math>
als Energiestromdichte des elektromagnetischen Feldes ( Poynting- Vektor)

<math>\sigma =-\bar{j}\cdot \bar{E}</math>
als Quelldichte der Feldenergie ( Leistungsdichte)

<math>\bar{j}\cdot \bar{E}>0</math>
bedingt die Abnahme der Feldenergie bei
<math>(\bar{r},t)</math>

<math>\bar{j}\cdot \bar{E}<0</math>
bedingt die Zunahme der Feldenergie bei
<math>(\bar{r},t)</math>

Beispiel: Beschleunigung von Teilchen durch die Felder
<math>\bar{E},\bar{B}</math>
:

Kraft auf die Ladung q:
<math>\bar{F}=q\left( \bar{E}+\bar{v}\times \bar{B} \right)</math>

Kraftdichte:
<math>\bar{f}=\rho \left( \bar{E}+\bar{v}\times \bar{B} \right)</math>

Als Leistungsdichte der Felder auf die Ladungsdichte
<math>\rho </math>
folgt:

<math>\begin{align}
& \bar{f}\bar{v}=\rho \bar{v}\left( \bar{E}+\bar{v}\times \bar{B} \right)=\rho \bar{v}\bar{E}+\rho \bar{v}\left( \bar{v}\times \bar{B} \right) \\
& \rho \bar{v}\left( \bar{v}\times \bar{B} \right)=0 \\
& \Rightarrow \bar{f}\bar{v}=\rho \bar{v}\bar{E}=\bar{j}\bar{E} \\
\end{align}</math>

Das Magnetfeld leistet keine Arbeit, da die Kraft senkrecht auf die Geschwindigkeit steht

Es verbleibt die Kraftdichte, die vom Feld auf Ladungen übertragen wird ( sogenannte Verlustdichte der Feldenergie)

Also ist die Feldenergie keine Erhaltungsgröße !!

'''Beispiel: ''' Ohmsches Gesetz:

<math>\sigma \cdot \bar{E}=\bar{j}</math>
mit der konstanten LEITFÄHIGKEIT
<math>\sigma >0</math>
( nicht wie oben Oberflächenladungsdichte)

Das Ohmsche Gesetz ist ein phänomenologisches MATERIALGESETZ.
Es gilt in Metallen und Halbleitern für hinreichend kleine Felder
<math>\bar{E}</math>

Die Energiebilanz lautet:

<math>\frac{\partial }{\partial t}w+\nabla \cdot \bar{S}=-\sigma \cdot {{\bar{E}}^{2}}<0</math>

Das heißt: Es gibt stets den VERLUST von Feldenergie !
Eine Konsequenz des 2. Hauptsatz der Thermodynamik
Im Gegensatz zur Elektrodynamik ist das Ohmsche Gesetz also nicht zeitumkehrinvariant !

Das bedeutet:

<math>\begin{align}
& t\to -t \\
& \bar{j}\to -\bar{j} \\
& aber \\
& \bar{E}\to \bar{E} \\
\end{align}</math>

<math>\sigma \cdot {{\bar{E}}^{2}}>0</math>
wird dann als Joulsche Wärme im Leiter dissipiert

'''2. Beispiel:'''

Antennenstrahlung ( offenes System)

<math>\bar{j}</math>
in der metallischen Antenne ist dem Wechselfeld
<math>\bar{E}</math>
außerhalb entgegengesetzt.

<math>\Rightarrow \bar{j}\bar{E}<0</math>

<math>\Rightarrow </math>
Energiegewinn des Feldes

Energiebilanz - Versionsgeschichte

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