Elektrisches Feld und Potenziale - Versionsgeschichte

Schubotz am 15. September 2010 um 12:29 Uhr

2010-09-15T12:29:02Z

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	<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|1\|2}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|1\|2}}</noinclude>

	Lineare Superposition (4. Newtonsches Prinzip) der Kräfte der Ladungen		Lineare Superposition (4. Newtonsches Prinzip) der Kräfte der Ladungen <math>{{q}_{i}}</math> bei <math>{{\bar{r}}_{i}}</math>, i=1,2,... auf die Ladung <math>{{q}_{{}}}</math> bei <math>{{\bar{r}}_{{}}}</math>:
	:<math>{{q}_{i}}</math> bei <math>{{\bar{r}}_{i}}</math>,
	i=1,2,... auf die Ladung
	:<math>{{q}_{{}}}</math> bei <math>{{\bar{r}}_{{}}}</math>
	:

	:<math>{{\bar{F}}_{e}}^{(2)}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{i}{{}}\frac{q{{q}_{i}}}{{{\left\| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right\|}^{2}}}\frac{\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}}{\left\| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right\|}</math>		:<math>{{\bar{F}}_{e}}^{(2)}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{i}{{}}\frac{q{{q}_{i}}}{{{\left\| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right\|}^{2}}}\frac{\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}}{\left\| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right\|}</math>
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	* Die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von physikalischen Wechselwirkungen (maximal mit c) ist universell. Das Feld als Medium für die Übertragung physikalischer Wechselwirkungen ersetzt ein Modell des Austauschs im Sinne einer Nahwirkung statt einem Austauschmodell.		* Die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von physikalischen Wechselwirkungen (maximal mit c) ist universell. Das Feld als Medium für die Übertragung physikalischer Wechselwirkungen ersetzt ein Modell des Austauschs im Sinne einer Nahwirkung statt einem Austauschmodell.
	* Das Feld		* Das Feld <math>\bar{E}(\bar{r})</math> ist der '''physikalische''' Zustand des leeren Raumes bei <math>\bar{r}</math>.
	* <math>\bar{E}(\bar{r})</math>		* Eigenständige '''Felddynamik''' (partielle Diffgl.) zur Beschreibung der endlich schnellen Ausbreitung ({{FB\|Retardierungseffekte}})
	* ist der ~~PHYSIKALISCHE~~ Zustand des leeren Raumes bei		* Feld muss '''Impuls''', '''Drehimpuls''' und '''Energie''' aufnehmen und abgeben können.
	* <math>\bar{r}</math>
	*.
	* Eigenständige ~~FELDDYNAMIK~~ (partielle Diffgl.) zur Beschreibung der endlich schnellen Ausbreitung (Retardierungseffekte)
	* Feld muss ~~IMPULS~~, ~~DREHIMPULS~~ und ~~ENERGIE~~ aufnehmen und abgeben können.

	Einheit:		Einheit:
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	Die Messung des elektrischen Feldes erfolgt durch Einbringung einer Probeladung:		Die Messung des elektrischen Feldes erfolgt durch Einbringung einer Probeladung:
	Dabei sollte q→ 0, damit keine Rückwirkung auf
	:<math>{{q}_{i}}</math>		Dabei sollte q→ 0, damit keine Rückwirkung auf <math>{{q}_{i}}</math> erfolgt.
	erfolgt.

	Unter Berücksichtigung des Selbstkonsistenzproblems müsste man also schreiben:		Unter Berücksichtigung des Selbstkonsistenzproblems müsste man also schreiben:
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	\end{matrix}\frac{1}{q}\bar{F}(\bar{r})</math>		\end{matrix}\frac{1}{q}\bar{F}(\bar{r})</math>

	~~<u>'''~~Das Elektrostatische Potenzial~~'''</u>~~
			== Das Elektrostatische Potenzial ==

	Mit		Mit
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
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	Einheit : 1 V		Einheit : 1 V

	~~<u>'''~~Kontinuierliche Ladungsverteilung~~'''</u>~~
			=== Kontinuierliche Ladungsverteilung ===


	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
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	:<math>\rho (\bar{r}\acute{\ })=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{q}_{i}}\delta (\bar{r}\acute{\ }-{{\bar{r}}_{i}})=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{q}_{i}}\prod\limits_{j=1}^{3}{{}}\delta ({{x}_{j}}\acute{\ }-{{x}_{j}}_{i})</math>		:<math>\rho (\bar{r}\acute{\ })=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{q}_{i}}\delta (\bar{r}\acute{\ }-{{\bar{r}}_{i}})=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{q}_{i}}\prod\limits_{j=1}^{3}{{}}\delta ({{x}_{j}}\acute{\ }-{{x}_{j}}_{i})</math>

	~~'''~~Quellen des elektrischen Feldes~~:'''~~
			=== Quellen des elektrischen Feldes ===


	Bei Punktladung q bei		Bei Punktladung q bei
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	:<math>d\bar{f}</math>		:<math>d\bar{f}</math> entspricht einem Raumwinkel
	entspricht einem Raumwinkel
	:<math>d\Omega :d\bar{f}\cdot \bar{r}=df\cdot r\cdot \cos \Theta ={{r}^{3}}d\Omega </math>		:<math>d\Omega :d\bar{f}\cdot \bar{r}=df\cdot r\cdot \cos \Theta ={{r}^{3}}d\Omega </math>

Zeile 116:		Zeile 112:
	:<math>\Rightarrow {{\varepsilon }_{0}}\oint_{\partial V}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}</math>		:<math>\Rightarrow {{\varepsilon }_{0}}\oint_{\partial V}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}</math>

	Der Fluß des elektrischen Feldes einer von		Der Fluß des elektrischen Feldes einer von <math>S=\partial V</math> eingeschlossenen Gesamtladung
	:<math>S=\partial V</math>
	eingeschlossenen Gesamtladung

	'''Integralform '''des Coulomb- Gesetzes		'''Integralform '''des Coulomb- Gesetzes

	~~<u>'''~~Der Gaußsche Integralsatz~~'''</u>~~		== Der Gaußsche Integralsatz ==

			{{Satz\|
	:<math>\oint_{\partial V}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}rdiv\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)}</math>		:<math>\oint_{\partial V}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}rdiv\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)}</math>
			\|name=Gaußscher Integralsatz}}
	wichtig: einfach zusammenhängendes Gebiet!		wichtig: einfach zusammenhängendes Gebiet!

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	<u>'''Äquivalente Aussagen der Elektrostatik'''</u>		<u>'''Äquivalente Aussagen der Elektrostatik'''</u>
	#
	# <math>\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)</math>		* <math>\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)</math> besitzt ein skalares Potenzial <math>\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=-\nabla \Phi (\bar{r})</math>
	# besitzt ein skalares Potenzial
	# <math>\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=-\nabla \Phi (\bar{r})</math>		* <math>\int_{1}^{2}{d\bar{s}}\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)</math>, also gerade die Arbeit, eine Ladung q=1 von 1 nach 2 zu bringen ist wegunabhängig
	#
	#		* <math>\nabla \times \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=0</math> : Das statische elektrische Feld ist wirbelfrei
	# <math>\int_{1}^{2}{d\bar{s}}\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)</math>
	#, also gerade die Arbeit, eine Ladung q=1 von 1 nach 2 zu bringen ist wegunabhängig
	#
	# <math>\nabla \times \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=0</math>
	# : Das statische elektrische Feld ist wirbelfrei

	Es gilt:		Es gilt:
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	:<math>1)\Leftrightarrow 3)</math>		:<math>1)\Leftrightarrow 3)</math>
	<u>'''Stokescher Satz:'''</u>		<u>'''Stokescher Satz:'''</u>
			{{Satz\|
	:<math>0=\oint_{\partial F}{d\bar{s}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\int_{F}^{{}}{\nabla \times \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)d\bar{f}}</math>		:<math>0=\oint_{\partial F}{d\bar{s}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\int_{F}^{{}}{\nabla \times \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)d\bar{f}}</math>\|name=Stokescher Satz}}
	für beliebige Flächen F mit einer Umrandung		für beliebige Flächen F mit einer Umrandung
	:<math>\partial F</math>.		:<math>\partial F</math>.

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: . → . (3), ( → ( (5)

2010-09-12T22:16:22Z

Interpunktion, replaced: . → . (3), ( → ( (5)

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	<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|1\|2}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|1\|2}}</noinclude>

	Lineare Superposition ( 4. Newtonsches Prinzip) der Kräfte der Ladungen		Lineare Superposition (4. Newtonsches Prinzip) der Kräfte der Ladungen
	:<math>{{q}_{i}}</math> bei <math>{{\bar{r}}_{i}}</math>		:<math>{{q}_{i}}</math> bei <math>{{\bar{r}}_{i}}</math>,
	,i=1,2,... auf die Ladung		i=1,2,... auf die Ladung
	:<math>{{q}_{{}}}</math> bei <math>{{\bar{r}}_{{}}}</math>		:<math>{{q}_{{}}}</math> bei <math>{{\bar{r}}_{{}}}</math>
	:		:
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	Warum ist die Elektrodynamik eine Feldtheorie ?		Warum ist die Elektrodynamik eine Feldtheorie ?

	* Die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von physikalischen Wechselwirkungen ( maximal mit c) ist universell. Das Feld als Medium für die Übertragung physikalischer Wechselwirkungen ersetzt ein Modell des Austauschs im Sinne einer Nahwirkung statt einem Austauschmodell.		* Die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von physikalischen Wechselwirkungen (maximal mit c) ist universell. Das Feld als Medium für die Übertragung physikalischer Wechselwirkungen ersetzt ein Modell des Austauschs im Sinne einer Nahwirkung statt einem Austauschmodell.
	* Das Feld		* Das Feld
	* <math>\bar{E}(\bar{r})</math>		* <math>\bar{E}(\bar{r})</math>
	* ist der PHYSIKALISCHE Zustand des leeren Raumes bei		* ist der PHYSIKALISCHE Zustand des leeren Raumes bei
	* <math>\bar{r}</math>		* <math>\bar{r}</math>
	* .		*.
	* Eigenständige FELDDYNAMIK ( partielle Diffgl.) zur Beschreibung der endlich schnellen Ausbreitung ( Retardierungseffekte)		* Eigenständige FELDDYNAMIK (partielle Diffgl.) zur Beschreibung der endlich schnellen Ausbreitung (Retardierungseffekte)
	* Feld muss IMPULS, DREHIMPULS und ENERGIE aufnehmen und abgeben können.		* Feld muss IMPULS, DREHIMPULS und ENERGIE aufnehmen und abgeben können.

Zeile 35:		Zeile 35:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Das Volt ist benannt nach A. Volta ( 1745 - 1887)		Das Volt ist benannt nach A. Volta (1745 - 1887)

	Die Messung des elektrischen Feldes erfolgt durch Einbringung einer Probeladung:		Die Messung des elektrischen Feldes erfolgt durch Einbringung einer Probeladung:
Zeile 64:		Zeile 64:

	Mit dem elektrostatischen Potenzial		Mit dem elektrostatischen Potenzial
	:<math>\Phi (\bar{r}):=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\frac{{{q}_{i}}}{\|\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}\|}</math>		:<math>\Phi (\bar{r}):=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\frac{{{q}_{i}}}{\|\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}\|}</math>,
	, Einheit : 1 V		Einheit : 1 V

	<u>'''Kontinuierliche Ladungsverteilung'''</u>		<u>'''Kontinuierliche Ladungsverteilung'''</u>
Zeile 75:		Zeile 75:

	Mit der Ladungsdichte		Mit der Ladungsdichte
	:<math>\rho (\bar{r}\acute{\ })</math>		:<math>\rho (\bar{r}\acute{\ })</math>.
	. Diese muss beschränkt sein und		Diese muss beschränkt sein und
	:<math>O\left( {{r}^{-3-\varepsilon }} \right),\varepsilon >0</math>		:<math>O\left( {{r}^{-3-\varepsilon }} \right),\varepsilon >0</math>
	für		für
	:<math>r\to \infty </math>		:<math>r\to \infty </math>.
	.

	Es wird		Es wird
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	:<math>\oint_{\partial V}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}rdiv\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)}</math>		:<math>\oint_{\partial V}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}rdiv\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)}</math>

	wichtig: einfach zusammenhängendes Gebiet !		wichtig: einfach zusammenhängendes Gebiet!

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 149:		Zeile 149:
	#		#
	# <math>\int_{1}^{2}{d\bar{s}}\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)</math>		# <math>\int_{1}^{2}{d\bar{s}}\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)</math>
	# , also gerade die Arbeit, eine Ladung q=1 von 1 nach 2 zu bringen ist wegunabhängig		#, also gerade die Arbeit, eine Ladung q=1 von 1 nach 2 zu bringen ist wegunabhängig
	#		#
	# <math>\nabla \times \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=0</math>		# <math>\nabla \times \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=0</math>
Zeile 164:		Zeile 164:
	:<math>0=\oint_{\partial F}{d\bar{s}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\int_{F}^{{}}{\nabla \times \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)d\bar{f}}</math>		:<math>0=\oint_{\partial F}{d\bar{s}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\int_{F}^{{}}{\nabla \times \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)d\bar{f}}</math>
	für beliebige Flächen F mit einer Umrandung		für beliebige Flächen F mit einer Umrandung
	:<math>\partial F</math>		:<math>\partial F</math>.
	.

*>SchuBot: Pfeile einfügen, replaced: -> → →

2010-09-12T19:55:09Z

Pfeile einfügen, replaced: -> → →

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	<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|1\|2}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|1\|2}}</noinclude>

Zeile 40:		Zeile 38:

	Die Messung des elektrischen Feldes erfolgt durch Einbringung einer Probeladung:		Die Messung des elektrischen Feldes erfolgt durch Einbringung einer Probeladung:
	Dabei sollte ~~q->~~ 0, damit keine Rückwirkung auf		Dabei sollte q→ 0, damit keine Rückwirkung auf
	:<math>{{q}_{i}}</math>		:<math>{{q}_{i}}</math>
	erfolgt.		erfolgt.

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:53:20Z

Einrückungen Mathematik

Änderungen zeigen

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „ {{Scripthinweis|Elektrodynamik|1|2}} Lineare Superposition ( 4. Newtonsches Prinzip) der Kräfte der Ladungen ${{q}_{i}}$ bei…“

2010-08-28T23:09:43Z

Die Seite wurde neu angelegt: „ <noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|1|2}}</noinclude> Lineare Superposition ( 4. Newtonsches Prinzip) der Kräfte der Ladungen <math>{{q}_{i}}</math> bei…“

Neue Seite

<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|1|2}}</noinclude>

Lineare Superposition ( 4. Newtonsches Prinzip) der Kräfte der Ladungen
<math>{{q}_{i}}</math>
bei
<math>{{\bar{r}}_{i}}</math>
,i=1,2,... auf die Ladung
<math>{{q}_{{}}}</math>
bei
<math>{{\bar{r}}_{{}}}</math>
:

<math>{{\bar{F}}_{e}}^{(2)}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{i}{{}}\frac{q{{q}_{i}}}{{{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}^{2}}}\frac{\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}</math>

Darüber wird das elektrische Feld definiert:

<math>q\cdot \bar{E}\equiv {{\bar{F}}_{e}}^{(2)}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{i}{{}}\frac{q{{q}_{i}}}{{{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}^{2}}}\frac{\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}</math>

Also:

<math>\bar{E}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{i}{{}}\frac{{{q}_{i}}}{{{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}^{2}}}\frac{\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}</math>

Warum ist die Elektrodynamik eine Feldtheorie ?

* Die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von physikalischen Wechselwirkungen ( maximal mit c) ist universell. Das Feld als Medium für die Übertragung physikalischer Wechselwirkungen ersetzt ein Modell des Austauschs im Sinne einer Nahwirkung statt einem Austauschmodell.
* Das Feld
* <math>\bar{E}(\bar{r})</math>
* ist der PHYSIKALISCHE Zustand des leeren Raumes bei
* <math>\bar{r}</math>
* .
* Eigenständige FELDDYNAMIK ( partielle Diffgl.) zur Beschreibung der endlich schnellen Ausbreitung ( Retardierungseffekte)
* Feld muss IMPULS, DREHIMPULS und ENERGIE aufnehmen und abgeben können.

Einheit:

<math>\begin{align}
& \left[ E \right]=\frac{N}{C}=\frac{kgm}{C{{s}^{2}}}=\frac{V}{m} \\
& 1V:=1\frac{kg{{m}^{2}}}{C{{s}^{2}}} \\
\end{align}</math>

Das Volt ist benannt nach A. Volta ( 1745 - 1887)

Die Messung des elektrischen Feldes erfolgt durch Einbringung einer Probeladung:
Dabei sollte q-> 0, damit keine Rückwirkung auf
<math>{{q}_{i}}</math>
erfolgt.

Unter Berücksichtigung des Selbstkonsistenzproblems müsste man also schreiben:

<math>\left[ \bar{E}(\bar{r}) \right]=\begin{matrix}
\lim \\
q\to 0 \\
\end{matrix}\frac{1}{q}\bar{F}(\bar{r})</math>

'''Das Elektrostatische Potenzial'''
Mit
<math>\begin{align}
& \nabla \frac{1}{r\acute{\ }}=-\frac{1}{r{{\acute{\ }}^{3}}}\bar{r}\acute{\ } \\
& r\acute{\ }:=\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right| \\
\end{align}</math>

Läßt sich schreiben:

<math>\begin{align}
& \bar{E}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\frac{{{q}_{i}}}{|\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}{{|}^{3}}}\left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right)=-\nabla \Phi (\bar{r}) \\
& \Phi (\bar{r}):=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\frac{{{q}_{i}}}{|\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}|} \\
\end{align}</math>

Mit dem elektrostatischen Potenzial
<math>\Phi (\bar{r}):=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\frac{{{q}_{i}}}{|\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}|}</math>
, Einheit : 1 V

'''Kontinuierliche Ladungsverteilung'''

<math>\begin{align}
& {{q}_{i}}\to {{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ }) \\
& \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{q}_{i}}\to \int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho }(\bar{r}\acute{\ }) \\
\end{align}</math>

Mit der Ladungsdichte
<math>\rho (\bar{r}\acute{\ })</math>
. Diese muss beschränkt sein und
<math>O\left( {{r}^{-3-\varepsilon }} \right),\varepsilon >0</math>
für
<math>r\to \infty </math>
.

Es wird

Bei Verteilung von Punktladungen:

<math>\rho (\bar{r}\acute{\ })=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{q}_{i}}\delta (\bar{r}\acute{\ }-{{\bar{r}}_{i}})=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{q}_{i}}\prod\limits_{j=1}^{3}{{}}\delta ({{x}_{j}}\acute{\ }-{{x}_{j}}_{i})</math>

'''Quellen des elektrischen Feldes:'''

Bei Punktladung q bei
<math>\bar{r}\acute{\ }=0\Rightarrow \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{q}{{{r}^{2}}}\cdot \frac{{\bar{r}}}{r}</math>

Legt man eine geschlossene Oberfläche S um q, so beobachtet man einen elektrischen Kraftfluss:

<math>{{\Phi }_{e}}=\oint_{S}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \oint_{S}{{}}\frac{d\bar{f}\cdot \bar{r}}{{{r}^{3}}}=\oint_{S}{df}{{E}_{n}}(\bar{r})</math>
als geschl. Flächenintegral über die Normalkomponenten des austretenden elektrischen Feldes

<math>{{\Phi }_{e}}=\oint_{S}{df}\left| \bar{E}(\bar{r}) \right|\cos \Theta </math>

<math>d\bar{f}</math>
entspricht einem Raumwinkel
<math>d\Omega :d\bar{f}\cdot \bar{r}=df\cdot r\cdot \cos \Theta ={{r}^{3}}d\Omega </math>

<math>{{\Phi }_{e}}=\oint_{S}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \oint_{S}{{}}d\Omega =\frac{q}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>

<math>\Rightarrow {{\varepsilon }_{0}}\oint_{S}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=q</math>

Dies kann leicht auf kontinuierliche Ladungsverteilungen verallgemeinert werden:

<math>\Rightarrow {{\varepsilon }_{0}}\oint_{\partial V}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}</math>

Der Fluß des elektrischen Feldes einer von
<math>S=\partial V</math>
eingeschlossenen Gesamtladung

'''Integralform '''des Coulomb- Gesetzes

'''Der Gaußsche Integralsatz'''

<math>\oint_{\partial V}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}rdiv\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)}</math>

wichtig: einfach zusammenhängendes Gebiet !

<math>\begin{align}
& \Rightarrow \int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\rho \left( {\bar{r}} \right)}={{\varepsilon }_{0}}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right) \\
& \Rightarrow {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\rho \left( {\bar{r}} \right) \\
\end{align}</math>

Die untere, differenzielle Form gilt deshalb, da die obere, integral Form für beliebige Volumina V gilt.

<math>{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\rho \left( {\bar{r}} \right)</math>

sagt jedoch nichts anderes als dass die Ladungen die Quellen des elektrischen Feldes sind.
Dies ist allgemeingültig uns gilt insbesondere auch für nichtstationäre
<math>\bar{E}\left( {\bar{r}} \right),\rho \left( {\bar{r}} \right)</math>

'''Äquivalente Aussagen der Elektrostatik'''
#
# <math>\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)</math>
# besitzt ein skalares Potenzial
# <math>\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=-\nabla \Phi (\bar{r})</math>
#
#
# <math>\int_{1}^{2}{d\bar{s}}\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)</math>
# , also gerade die Arbeit, eine Ladung q=1 von 1 nach 2 zu bringen ist wegunabhängig
#
# <math>\nabla \times \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=0</math>
# : Das statische elektrische Feld ist wirbelfrei

Es gilt:

<math>1)\Leftrightarrow 2)\Leftrightarrow 3)</math>

'''Beweis:'''
<math>1)\Leftrightarrow 3)</math>
'''Stokescher Satz:'''

<math>0=\oint_{\partial F}{d\bar{s}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\int_{F}^{{}}{\nabla \times \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)d\bar{f}}</math>
für beliebige Flächen F mit einer Umrandung
<math>\partial F</math>
.

Elektrisches Feld und Potenziale - Versionsgeschichte

Schubotz am 15. September 2010 um 12:29 Uhr

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: . → . (3), ( → ( (5)

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