Elektrische Multipolentwicklung - Versionsgeschichte

Schubotz am 15. September 2010 um 12:45 Uhr

2010-09-15T12:45:07Z

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	{{Beispiel\|<u>Beispiel: 2 entgegengesetzte Dipole:</u>}}		{{Beispiel\|<u>Beispiel: 2 entgegengesetzte Dipole:</u>}}
			<noinclude>__SHOWFACTBOX__</noinclude>

Schubotz am 15. September 2010 um 12:43 Uhr

2010-09-15T12:43:48Z

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	<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|1\|4}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|1\|4}}</noinclude>
	Betrachtet man räumlich begrenzte Ladungsverteilungen		Betrachtet man räumlich begrenzte Ladungsverteilungen <math>\rho (\bar{r}\acute{\ })</math> in der Nähe des Ursprungs <math>\bar{r}\acute{\ }=0</math>, so kann man sich Gedanken machen um das asymptotische Verhalten von
	:<math>\rho (\bar{r}\acute{\ })</math>
	in der Nähe des Ursprungs
	:<math>\bar{r}\acute{\ }=0</math>,
	so kann man sich Gedanken machen um das asymptotische Verhalten von
	:<math>\Phi (\bar{r})=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ })}{\|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}{{d}^{3}}r\acute{\ }</math>		:<math>\Phi (\bar{r})=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ })}{\|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}{{d}^{3}}r\acute{\ }</math>
	für		für <math>r\to \infty </math> machen:
	:<math>r\to \infty </math>		{{Methode\|Methode: Der Integrand wird als Taylorreihe entwickelt für <math>r>>r\acute{\ }</math>:}}
	:
	Methode: Der Integrand wird als Taylorreihe entwickelt für
	:<math>r>>r\acute{\ }</math>
	:

	:<math>G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}\frac{{{\left( -1 \right)}^{l}}}{l!}{{\left( \bar{r}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r}} \right)}^{l}}G(\bar{r})</math>		:<math>G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}\frac{{{\left( -1 \right)}^{l}}}{l!}{{\left( \bar{r}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r}} \right)}^{l}}G(\bar{r})</math>
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	:<math>\frac{1}{\|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}={{\left( {{r}^{2}}-2rr\acute{\ }\cos \vartheta +r{{\acute{\ }}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{r}{{\left( 1-2\frac{r\acute{\ }}{r}\cos \vartheta +{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}</math>		:<math>\frac{1}{\|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}={{\left( {{r}^{2}}-2rr\acute{\ }\cos \vartheta +r{{\acute{\ }}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{r}{{\left( 1-2\frac{r\acute{\ }}{r}\cos \vartheta +{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}</math>

	Wobei		Wobei <math>\vartheta </math> den Winkel zwischen <math>\bar{r}</math> und <math>\bar{r}\acute{\ }</math> bezeichnet.
	:<math>\vartheta </math>		Betrachtet man die hierbei entstehende Reihe, die für <math>r\acute{\ }<r</math> und <math>\left\| \cos \vartheta \right\|=\left\| \xi \right\|<1</math> konvergiert, so definiert diese Reihe gerade die sogenannten Kugelfunktionen ({{FB\|Legendre-Polynome}}):
	den Winkel zwischen
	:<math>\bar{r}</math> und <math>\bar{r}\acute{\ }</math>
	bezeichnet.
	Betrachtet man die hierbei entstehende Reihe, die für
	:<math>r\acute{\ }<r</math> und <math>\left\| \cos \vartheta \right\|=\left\| \xi \right\|<1</math>
	konvergiert, so definiert diese Reihe gerade die sogenannten Kugelfunktionen (Legendre- Polynome):
	:<math>{{P}_{l}}(\xi )</math>		:<math>{{P}_{l}}(\xi )</math>
	:

	:<math>{{\left( 1-2\frac{r\acute{\ }}{r}\xi +{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{l}}{{P}_{l}}(\xi )</math>		:<math>{{\left( 1-2\frac{r\acute{\ }}{r}\xi +{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{l}}{{P}_{l}}(\xi )</math>

	Also sind die Legendre- Polynome gerade definiert über ihre Eigenschaft, als Entwicklungsfunktionen einer Potenzreihe (Taylorreihe) multipliziert mit		Also sind die Legendre- Polynome gerade definiert über ihre Eigenschaft, als Entwicklungsfunktionen einer Potenzreihe (Taylorreihe) multipliziert mit <math>{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{l}}</math> in jeweils l-ter Ordnung die Funktion
	:<math>{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{l}}</math>
	in jeweils l-ter Ordnung die Funktion
	:<math>{{\left( 1-2\frac{r\acute{\ }}{r}\xi +{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}</math>		:<math>{{\left( 1-2\frac{r\acute{\ }}{r}\xi +{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}</math>
	zu ergeben, die wiederum das r- Fache von		zu ergeben, die wiederum das r- Fache von
	:<math>\frac{1}{\|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}=\frac{1}{r}{{\left( 1-2\frac{r\acute{\ }}{r}\cos \vartheta +{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}</math>		:<math>\frac{1}{\|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}=\frac{1}{r}{{\left( 1-2\frac{r\acute{\ }}{r}\cos \vartheta +{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}</math> ist.
	ist.
	Also:		Also:

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	:<math>{{Q}_{0}}=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })</math>		:<math>{{Q}_{0}}=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })</math>
	sogenannter Monopol (die Gesamtladung).		sogenannter {{FB\|Monopol}} (die Gesamtladung).
	Der Monopol entspricht dem Feld einer Gesamtladung, die im Ursprung zentriert ist. Er fällt am langsamsten ab, die Ladungsverteilung wirkt in großer Entfernung wie eine Punktladung		Der Monopol entspricht dem Feld einer Gesamtladung, die im Ursprung zentriert ist. Er fällt am langsamsten ab, die Ladungsverteilung wirkt in großer Entfernung wie eine Punktladung

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	:<math>{{Q}_{1}}=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })r\acute{\ }\cos \vartheta =\frac{\bar{p}\cdot \bar{r}}{r}</math>		:<math>{{Q}_{1}}=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })r\acute{\ }\cos \vartheta =\frac{\bar{p}\cdot \bar{r}}{r}</math>

	Mit dem Dipolmoment		Mit dem {{FB\|Dipolmoment}}

	:<math>\bar{p}:=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\bar{r}\acute{\ }</math>		:<math>\bar{p}:=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\bar{r}\acute{\ }</math>

	Das Dipolpotenzial fällt also		Das Dipolpotenzial fällt also <math>\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{2}}}</math> ab.
	:<math>\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{2}}}</math>		Das Dipolmoment ist der wichtigste Term für insgesamt neutrale Körper (<math>{{Q}_{0}}=0</math>).
	ab.
	Das Dipolmoment ist der wichtigste Term für insgesamt neutrale Körper (
	:<math>{{Q}_{0}}=0</math>)
	.

	~~<u>~~'''Beispiel: 2 Punktladungen q, -q '''~~</u>~~ bei		{{Beispiel:'''Beispiel: 2 Punktladungen q, -q ''' bei<math>{{\bar{r}}_{1}},{{\bar{r}}_{2}}</math>:
	:<math>{{\bar{r}}_{1}},{{\bar{r}}_{2}}</math>
	:

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
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	Im Fernfeld für r gegen unendlich gilt damit:		Im Fernfeld für r gegen unendlich gilt damit:

	:<math>\Rightarrow E(\bar{r})\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{3}}}</math>		:<math>\Rightarrow E(\bar{r})\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{3}}}</math>}}

	'''l=2:'''		'''l=2:'''
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	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Dieses Objekt ist jedoch ein Tensor zweiter Stufe. Demnach erhalten wir einen Tenor zweiter Stufe als Quadrupolmoment:		Dieses Objekt ist jedoch ein Tensor zweiter Stufe. Demnach erhalten wir einen Tenor zweiter Stufe als {{FB\|Quadrupolmoment}}:

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
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	:<math>{{\Phi }^{(2)}}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{2{{r}^{5}}}{{Q}_{kl}}{{x}_{k}}{{x}_{l}}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\bar{r}\cdot \bar{\bar{Q}}\cdot \bar{r}}{2{{r}^{5}}}\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{3}}}</math>		:<math>{{\Phi }^{(2)}}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{2{{r}^{5}}}{{Q}_{kl}}{{x}_{k}}{{x}_{l}}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\bar{r}\cdot \bar{\bar{Q}}\cdot \bar{r}}{2{{r}^{5}}}\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{3}}}</math>

	<u>~~'''~~Beispiel: 2 entgegengesetzte Dipole:~~'''~~</u>		{{Beispiel\|<u>Beispiel: 2 entgegengesetzte Dipole:</u>}}

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (3), ( → ( (5)

2010-09-12T22:15:59Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (3), ( → ( (5)

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:53:15Z

Einrückungen Mathematik

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Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „ {{Scripthinweis|Elektrodynamik|1|4}} Betrachtet man räumlich begrenzte Ladungsverteilungen $\rho (\bar{r}\acute{\ })$ in der …“

2010-08-28T23:10:11Z

Die Seite wurde neu angelegt: „ <noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|1|4}}</noinclude> Betrachtet man räumlich begrenzte Ladungsverteilungen <math>\rho (\bar{r}\acute{\ })</math> in der …“

Neue Seite

<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|1|4}}</noinclude>
Betrachtet man räumlich begrenzte Ladungsverteilungen
<math>\rho (\bar{r}\acute{\ })</math>
in der Nähe des Ursprungs
<math>\bar{r}\acute{\ }=0</math>
, so kann man sich Gedanken machen um das asymptotische Verhalten von
<math>\Phi (\bar{r})=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ })}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}{{d}^{3}}r\acute{\ }</math>
für
<math>r\to \infty </math>
:
Methode: Der Integrand wird als Taylorreihe entwickelt für
<math>r>>r\acute{\ }</math>
:

<math>G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}\frac{{{\left( -1 \right)}^{l}}}{l!}{{\left( \bar{r}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r}} \right)}^{l}}G(\bar{r})</math>

Also

<math>\Phi (\bar{r})=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\rho (\bar{r}\acute{\ }){{d}^{3}}r\acute{\ }=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}\frac{{{\left( -1 \right)}^{l}}}{l!}\int_{{}}^{{}}{d_{^{{}}}^{3}r\acute{\ }}{{\left( \bar{r}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r}} \right)}^{l}}G(\bar{r})\rho (\bar{r}\acute{\ })</math>

explizit für unsere Situation:

<math>G(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{|\bar{r}|}</math>

<math>\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}={{\left( {{r}^{2}}-2rr\acute{\ }\cos \vartheta +r{{\acute{\ }}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{r}{{\left( 1-2\frac{r\acute{\ }}{r}\cos \vartheta +{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}</math>

Wobei
<math>\vartheta </math>
den Winkel zwischen
<math>\bar{r}</math>
und
<math>\bar{r}\acute{\ }</math>
bezeichnet.
Betrachtet man die hierbei entstehende Reihe, die für
<math>r\acute{\ }<r</math>
und
<math>\left| \cos \vartheta \right|=\left| \xi \right|<1</math>
konvergiert, so definiert diese Reihe gerade die sogenannten Kugelfunktionen ( Legendre- Polynome):
<math>{{P}_{l}}(\xi )</math>
:

<math>{{\left( 1-2\frac{r\acute{\ }}{r}\xi +{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{l}}{{P}_{l}}(\xi )</math>

Also sind die Legendre- Polynome gerade definiert über ihre Eigenschaft, als Entwicklungsfunktionen einer Potenzreihe ( Taylorreihe) multipliziert mit
<math>{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{l}}</math>
in jeweils l-ter Ordnung die Funktion
<math>{{\left( 1-2\frac{r\acute{\ }}{r}\xi +{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}</math>
zu ergeben, die wiederum das r- Fache von
<math>\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=\frac{1}{r}{{\left( 1-2\frac{r\acute{\ }}{r}\cos \vartheta +{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}</math>
ist.
Also:

<math>{{P}_{l}}(\xi )=\frac{1}{l!}\left( \frac{{{\partial }^{l}}}{\partial {{t}^{l}}}{{\left( 1-2t\xi +{{t}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}} \right)</math>

Insbesondere folgt damit:

<math>{{P}_{l}}(\xi )=\frac{1}{l!}\left( \frac{{{\partial }^{l}}}{\partial {{t}^{l}}}{{\left( 1-2t\xi +{{t}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}} \right)</math>

und speziell:

<math>\begin{align}
& {{P}_{0}}(\xi )=1 \\
& {{P}_{1}}(\xi )=\xi =\cos \vartheta \\
& {{P}_{2}}(\xi )=\frac{1}{2}\left( 3{{\xi }^{2}}-1 \right)==\frac{1}{4}\left( 3{{\cos }^{2}}\vartheta +1 \right) \\
\end{align}</math>

Also:

<math>\Phi (\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{r}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{l}}{{P}_{l}}(\cos \vartheta )=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}{{Q}_{l}}{{r}^{-l-1}}</math>

Mit

<math>{{Q}_{l}}=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }r{{\acute{\ }}^{l}}\rho (\bar{r}\acute{\ }){{P}_{l}}(\cos \vartheta )</math>
als 2l- Pol
Die Multipolentwicklung ( Entwicklung nach 2l- Polen) entspricht also einer Entwicklung ach Potenzen von r !!

Für stark lokalisierte Ladungsverteilungen ( r´<<r) konvergiert die Reihe jedoch sehr schnell !
Man erhält sehr schnelle Konvergenz für dezentrale Ladungsverteilungen, wenn man für
* Punktladungen bis zum Monopol entwickelt
* Ladungsverteilungen entlang einer Geraden bis zum Dipol entwickelt
* Ladungsverteilungen in einem Rechteck bis zum Quadrupol entwickelt usw...

<math>l=0</math>
:

<math>{{\Phi }^{(0)}}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{Q}_{0}}}{r}</math>

<math>{{Q}_{0}}=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })</math>
sogenannter Monopol ( die Gesamtladung).
Der Monopol entspricht dem Feld einer Gesamtladung, die im Ursprung zentriert ist. Er fällt am langsamsten ab, die Ladungsverteilung wirkt in großer Entfernung wie eine Punktladung

'''l=1:'''

<math>{{\Phi }^{(1)}}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\bar{p}\cdot \bar{r}}{{{r}^{3}}}</math>

<math>{{Q}_{1}}=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })r\acute{\ }\cos \vartheta =\frac{\bar{p}\cdot \bar{r}}{r}</math>

Mit dem Dipolmoment

<math>\bar{p}:=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\bar{r}\acute{\ }</math>

Das Dipolpotenzial fällt also
<math>\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{2}}}</math>
ab.
Das Dipolmoment ist der wichtigste Term für insgesamt neutrale Körper (
<math>{{Q}_{0}}=0</math>
).

'''Beispiel: 2 Punktladungen q, -q ''' bei
<math>{{\bar{r}}_{1}},{{\bar{r}}_{2}}</math>
:

<math>\begin{align}
& \rho (\bar{r}\acute{\ })=q\left[ \delta \left( \bar{r}\acute{\ }-{{{\bar{r}}}_{1}} \right)-\delta \left( \bar{r}\acute{\ }-{{{\bar{r}}}_{2}} \right) \right] \\
& {{Q}_{0}}=0 \\
& \bar{p}=q\left( {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right)=q\cdot \bar{a} \\
\end{align}</math>

'''Feld des Dipolpotenzials:'''

<math>{{E}_{i}}=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}\frac{{{p}_{k}}\cdot {{x}_{k}}}{{{r}^{3}}}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left[ \frac{3{{x}_{i}}\cdot {{p}_{k}}\cdot {{x}_{k}}}{r5}-{{\delta }_{ik}}\frac{{{p}_{k}}}{{{r}^{3}}} \right]</math>

<math>\Rightarrow E(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{{{r}^{5}}}\left[ 3\left( \bar{p}\cdot \bar{r} \right)\bar{r}-{{r}^{2}}\bar{p} \right]</math>

Im Fernfeld für r gegen unendlich gilt damit:

<math>\Rightarrow E(\bar{r})\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{3}}}</math>

'''l=2:'''

<math>{{\Phi }^{(2)}}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{Q}_{2}}}{{{r}^{3}}}</math>

<math>\begin{align}
& {{Q}_{2}}=\frac{1}{2}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })r{{\acute{\ }}^{2}}\left( 3{{\cos }^{2}}\vartheta -1 \right)=\frac{1}{2}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\left( 3\frac{\bar{r}\acute{\ }\cdot \bar{r}}{r}\frac{\bar{r}\acute{\ }\cdot \bar{r}}{r}-\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}} \right) \\
& \frac{\bar{r}\acute{\ }\cdot \bar{r}}{r}\frac{\bar{r}\acute{\ }\cdot \bar{r}}{r}=\frac{{{x}_{k}}\acute{\ }{{x}_{k}}{{x}_{l}}\acute{\ }{{x}_{l}}}{{{r}^{2}}} \\
& \Rightarrow {{Q}_{2}}=\frac{1}{2{{r}^{2}}}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\left( 3{{x}_{k}}\acute{\ }{{x}_{l}}\acute{\ }-\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}}{{\delta }_{kl}} \right) \\
\end{align}</math>

Dieses Objekt ist jedoch ein Tensor zweiter Stufe. Demnach erhalten wir einen Tenor zweiter Stufe als Quadrupolmoment:

<math>\begin{align}
& {{Q}_{2}}=\frac{1}{2{{r}^{2}}}{{Q}_{kl}} \\
& \int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\left( 3{{x}_{k}}\acute{\ }{{x}_{l}}\acute{\ }-\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}}{{\delta }_{kl}} \right)={{Q}_{kl}} \\
\end{align}</math>

<math>{{Q}_{kl}}</math>
ist ein spurfreier und symmetrischer Tensor:

<math>\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{Q}_{ii}}=\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\left( 3{{x}_{i}}\acute{\ }{{x}_{i}}\acute{\ }-\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}}{{\delta }_{ii}} \right)=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\left( 3\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}}-3\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}} \right)=0</math>

Dies ist jedoch gerade damit gleichbedeutend, dass eine orthogonale Transformation auf Diagonalform existiert:

<math>\begin{align}
& {{Q}_{kl}}=0f\ddot{u}r\quad k\ne l \\
& {{Q}_{11}}+{{Q}_{22}}+{{Q}_{33}}=0 \\
\end{align}</math>

Somit existieren nur noch 2 unabhängige Komponenten des Quadrupolmoments. Der Rest ergibt sich durch die Spurfreiheit !

Für das Potenzial ergibt sich:

<math>{{\Phi }^{(2)}}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{2{{r}^{5}}}{{Q}_{kl}}{{x}_{k}}{{x}_{l}}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\bar{r}\cdot \bar{\bar{Q}}\cdot \bar{r}}{2{{r}^{5}}}\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{3}}}</math>

'''Beispiel: 2 entgegengesetzte Dipole:'''