Eigenwerte und Eigenzustände von hermiteschen Operatoren - Versionsgeschichte

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2010-09-12T22:40:12Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (8), ( → ( (5)

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	:<math>\hat{F}\left\| \Psi \right\rangle :=\left\| \Phi \right\rangle \Leftrightarrow \left\langle \Psi \right\|\hat{F}=\left\langle \Phi \right\|</math>		:<math>\hat{F}\left\| \Psi \right\rangle :=\left\| \Phi \right\rangle \Leftrightarrow \left\langle \Psi \right\|\hat{F}=\left\langle \Phi \right\|</math>
	So folgt aus		So folgt aus
	:<math>\left\langle \Psi \right\|{{\hat{F}}^{2}}\left\| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|\hat{F}{{\left\| \Psi \right\rangle }^{2}}</math>		:<math>\left\langle \Psi \right\|{{\hat{F}}^{2}}\left\| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|\hat{F}{{\left\| \Psi \right\rangle }^{2}}</math>,
	, dass		dass
	:<math>\left\langle \Phi \| \Phi \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|{{\hat{F}}^{2}}\left\| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|\hat{F}{{\left\| \Psi \right\rangle }^{2}}={{\left\langle \Phi \| \Psi \right\rangle }^{2}}={{\left\| \left\langle \Phi \| \Psi \right\rangle \right\|}^{2}}</math>		:<math>\left\langle \Phi \| \Phi \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|{{\hat{F}}^{2}}\left\| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|\hat{F}{{\left\| \Psi \right\rangle }^{2}}={{\left\langle \Phi \| \Psi \right\rangle }^{2}}={{\left\| \left\langle \Phi \| \Psi \right\rangle \right\|}^{2}}</math>
	Die schwarzsche Ungleichung sagt jedoch :		Die schwarzsche Ungleichung sagt jedoch :
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	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	Vergleiche Energie- Eigenwert		Vergleiche Energie- Eigenwert
	Eigenwerte hermitescher Operatoren können DISKRET oder KONTINUIERLICH sein !		Eigenwerte hermitescher Operatoren können DISKRET oder KONTINUIERLICH sein!
	'''Theorem 2: Eigenzustände hermitescher Operatoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal:'''		'''Theorem 2: Eigenzustände hermitescher Operatoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal:'''
	'''Beweis:'''		'''Beweis:'''
Zeile 71:		Zeile 71:
	\Delta p\to 0 \\		\Delta p\to 0 \\
	\end{matrix}\left\| \bar{p},\Delta \bar{p} \right\rangle \\		\end{matrix}\left\| \bar{p},\Delta \bar{p} \right\rangle \\
	\end{align}</math>( vergleiche Fick, S. 114)		\end{align}</math>(vergleiche Fick, S. 114)
	→ sogenannte Dirac- Zustände !		→ sogenannte Dirac- Zustände!
	'''Entartung '''( Unter Entartung versteht man, dass zum selben Eigenwert verschiedene Eigenzustände existieren)		'''Entartung '''(Unter Entartung versteht man, dass zum selben Eigenwert verschiedene Eigenzustände existieren)
	Dadurch können beispielsweise verschiedene Elektronen den gleichen Energiewert annehmen oder verschiedene Teilchen mit der exakt identisch gleichen Energie auftreten !		Dadurch können beispielsweise verschiedene Elektronen den gleichen Energiewert annehmen oder verschiedene Teilchen mit der exakt identisch gleichen Energie auftreten!
	:<math>\hat{F}\left\| n,\alpha \right\rangle ={{F}_{n}}\left\| n,\alpha \right\rangle </math>n=0,1,2,3,...<math>\alpha =1,2,3,..,={{\alpha }_{n}}</math>, der sogenannte Entartungsindex. Man spricht von		:<math>\hat{F}\left\| n,\alpha \right\rangle ={{F}_{n}}\left\| n,\alpha \right\rangle </math>n=0,1,2,3,...<math>\alpha =1,2,3,..,={{\alpha }_{n}}</math>, der sogenannte Entartungsindex. Man spricht von
	:<math>{{\alpha }_{n}}</math>- facher Entartung		:<math>{{\alpha }_{n}}</math>- facher Entartung
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	Also ist<math>\hat{G}\left\| n \right\rangle </math>Eigenzustand zum Operator<math>\hat{F}</math>mit Eigenwert<math>{{F}_{n}}</math>		Also ist<math>\hat{G}\left\| n \right\rangle </math>Eigenzustand zum Operator<math>\hat{F}</math>mit Eigenwert<math>{{F}_{n}}</math>
	Ist<math>{{F}_{n}}</math>nicht entartet, so folgt<math>\hat{G}\left\| n \right\rangle \tilde{\ }\left\| n \right\rangle </math>, also ist<math>\left\| n \right\rangle </math>auch Eigenzustand zu<math>\hat{G}</math>		Ist<math>{{F}_{n}}</math>nicht entartet, so folgt<math>\hat{G}\left\| n \right\rangle \tilde{\ }\left\| n \right\rangle </math>, also ist<math>\left\| n \right\rangle </math>auch Eigenzustand zu<math>\hat{G}</math>
	Ist<math>{{F}_{n}}</math>entartet, so kann , explizit berechenbar durch Schmidtsche Orthogonalisierung, der Eigenraum E von<math>\hat{F}</math>zum Eigenwert<math>{{F}_{n}}</math>durch orthonormierte<math>\left\| n,\beta \right\rangle \quad \beta =1,...,s</math>aufgespannt werden.		Ist<math>{{F}_{n}}</math>entartet, so kann, explizit berechenbar durch Schmidtsche Orthogonalisierung, der Eigenraum E von<math>\hat{F}</math>zum Eigenwert<math>{{F}_{n}}</math>durch orthonormierte<math>\left\| n,\beta \right\rangle \quad \beta =1,...,s</math>aufgespannt werden.
	Dann kann der Eigenvektor<math>\hat{G}\left\| n,\beta \right\rangle </math>entwickelt werden, gemäß<math>\hat{G}\left\| n,\beta \right\rangle =\sum\limits_{\beta \acute{\ }}^{{}}{\left\| n,\beta \right\rangle {{c}_{\beta \acute{\ }\beta }}}</math>		Dann kann der Eigenvektor<math>\hat{G}\left\| n,\beta \right\rangle </math>entwickelt werden, gemäß<math>\hat{G}\left\| n,\beta \right\rangle =\sum\limits_{\beta \acute{\ }}^{{}}{\left\| n,\beta \right\rangle {{c}_{\beta \acute{\ }\beta }}}</math>
	Die Matrix<math>{{c}_{\beta \acute{\ }\beta }}:=\left\langle n\beta \acute{\ } \right\|\hat{G}\left\| n,\beta \right\rangle =c{{*}_{\beta \beta \acute{\ }}}</math>ist hermitesch, kann also durch eine unitäre Transformation U diagonalisiert werden:		Die Matrix<math>{{c}_{\beta \acute{\ }\beta }}:=\left\langle n\beta \acute{\ } \right\|\hat{G}\left\| n,\beta \right\rangle =c{{*}_{\beta \beta \acute{\ }}}</math>ist hermitesch, kann also durch eine unitäre Transformation U diagonalisiert werden:
	:<math>\left\| n,\gamma \right\rangle =\sum\limits_{\beta }{{{U}_{\gamma \beta }}}\left\| n,\beta \right\rangle </math>		:<math>\left\| n,\gamma \right\rangle =\sum\limits_{\beta }{{{U}_{\gamma \beta }}}\left\| n,\beta \right\rangle </math>
	Mit<math>\sum\limits_{\beta }{{{U}_{\gamma \beta }}{{U}_{\beta \gamma \acute{\ }}}}={{\delta }_{\gamma \gamma \acute{\ }}}</math>( " Drehung der Basis")		Mit<math>\sum\limits_{\beta }{{{U}_{\gamma \beta }}{{U}_{\beta \gamma \acute{\ }}}}={{\delta }_{\gamma \gamma \acute{\ }}}</math>(" Drehung der Basis")
	Somit		Somit
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 105:		Zeile 105:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	Also ist<math>\left\| n,\beta \right\rangle </math>auch Eigenvektor zu<math>\hat{G}</math>		Also ist<math>\left\| n,\beta \right\rangle </math>auch Eigenvektor zu<math>\hat{G}</math>
	Nebenbemerkung: Im Allgemeinen wird dadurch die Entartung aufgehoben !		Nebenbemerkung: Im Allgemeinen wird dadurch die Entartung aufgehoben!
	'''Leicht: Umkehrung:'''		'''Leicht: Umkehrung:'''
	Sei<math>\left\{ \left\| n \right\rangle \right\}</math>ein vollständiges System von Eigenvektoren zu<math>\hat{F},\hat{G}</math><math>\hat{F}\hat{G}\left\| n \right\rangle ={{F}_{n}}{{G}_{n}}\left\| n \right\rangle ={{G}_{n}}{{F}_{n}}\left\| n \right\rangle =\hat{G}\hat{F}\left\| n \right\rangle \Rightarrow \left[ \hat{F},\hat{G} \right]=0</math>		Sei<math>\left\{ \left\| n \right\rangle \right\}</math>ein vollständiges System von Eigenvektoren zu<math>\hat{F},\hat{G}</math><math>\hat{F}\hat{G}\left\| n \right\rangle ={{F}_{n}}{{G}_{n}}\left\| n \right\rangle ={{G}_{n}}{{F}_{n}}\left\| n \right\rangle =\hat{G}\hat{F}\left\| n \right\rangle \Rightarrow \left[ \hat{F},\hat{G} \right]=0</math>
Zeile 116:		Zeile 116:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	folgt für beliebige<math>\Psi ,\Phi </math><math>\left\langle \Phi \acute{\ } \| \Psi \acute{\ } \right\rangle :=\left\langle \Phi \right\|{{U}^{+}}U\left\| \Psi \right\rangle =\left\langle \Phi \| \Psi \right\rangle </math>		folgt für beliebige<math>\Psi ,\Phi </math><math>\left\langle \Phi \acute{\ } \| \Psi \acute{\ } \right\rangle :=\left\langle \Phi \right\|{{U}^{+}}U\left\| \Psi \right\rangle =\left\langle \Phi \| \Psi \right\rangle </math>
	Das heißt, das Skalarprodukt ist bei unitären Transformationen invariant. Umgekehrt: Will man nur Trafos zulassen, für die das Skalarprodukt invariant bleibt ( Erhaltung der Wahrscheinlichkeit), so sind dies die unitären !		Das heißt, das Skalarprodukt ist bei unitären Transformationen invariant. Umgekehrt: Will man nur Trafos zulassen, für die das Skalarprodukt invariant bleibt (Erhaltung der Wahrscheinlichkeit), so sind dies die unitären!
	Unitäre Operatoren transformieren das quantenmechanische System ganz grundsätzlich von einer Basis in eine andere.		Unitäre Operatoren transformieren das quantenmechanische System ganz grundsätzlich von einer Basis in eine andere.
	dabei dürfen sich natürlich Aufenthalts- und Übergangswahrscheinlichkeiten ( die Skalarprodukte) nicht ändern		dabei dürfen sich natürlich Aufenthalts- und Übergangswahrscheinlichkeiten (die Skalarprodukte) nicht ändern
	Nur unitäre Transformationen sind erlaubt !		Nur unitäre Transformationen sind erlaubt!
	'''Insbesondere:'''		'''Insbesondere:'''
	Transformationen in die Eigenbasis eines Operators<math>\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}</math>= Diagonalisierung von<math>\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}</math><math>\begin{align}		Transformationen in die Eigenbasis eines Operators<math>\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}</math>= Diagonalisierung von<math>\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}</math><math>\begin{align}
Zeile 128:		Zeile 128:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	Wobei letzte Relation natürlich nur gilt, falls<math>\left\| \Psi \right\rangle ,\left\| \Phi \right\rangle \in Eigenbasis</math>mit<math>{{F}_{\Psi }}</math>als Eigenwert		Wobei letzte Relation natürlich nur gilt, falls<math>\left\| \Psi \right\rangle ,\left\| \Phi \right\rangle \in Eigenbasis</math>mit<math>{{F}_{\Psi }}</math>als Eigenwert
	:<math>{{U}^{+}}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }U=\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}</math>diagonal !		:<math>{{U}^{+}}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }U=\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}</math>diagonal!

*>SchuBot: Pfeile einfügen, replaced: -> → →

2010-09-12T20:03:20Z

Pfeile einfügen, replaced: -> → →

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 22:03 Uhr
Zeile 72:		Zeile 72:
	\end{matrix}\left\| \bar{p},\Delta \bar{p} \right\rangle \\		\end{matrix}\left\| \bar{p},\Delta \bar{p} \right\rangle \\
	\end{align}</math>( vergleiche Fick, S. 114)		\end{align}</math>( vergleiche Fick, S. 114)
	-> sogenannte Dirac- Zustände !		→ sogenannte Dirac- Zustände !
	'''Entartung '''( Unter Entartung versteht man, dass zum selben Eigenwert verschiedene Eigenzustände existieren)		'''Entartung '''( Unter Entartung versteht man, dass zum selben Eigenwert verschiedene Eigenzustände existieren)
	Dadurch können beispielsweise verschiedene Elektronen den gleichen Energiewert annehmen oder verschiedene Teilchen mit der exakt identisch gleichen Energie auftreten !		Dadurch können beispielsweise verschiedene Elektronen den gleichen Energiewert annehmen oder verschiedene Teilchen mit der exakt identisch gleichen Energie auftreten !

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:38:57Z

Einrückungen Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 16:38 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:

	Annahme: Eine physikalische Observable F habe in einem normierten Zustand		Annahme: Eine physikalische Observable F habe in einem normierten Zustand
	<math>\left\| \Psi \right\rangle </math>		:<math>\left\| \Psi \right\rangle </math>
	einen scharfen Wert:		einen scharfen Wert:
	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \left\langle {{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}} \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\Psi *(\bar{r}){{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}}\Psi (\bar{r})=}\left\langle {{\left( \hat{F}-\left\langle {\hat{F}} \right\rangle \right)}^{2}} \right\rangle =\left\langle {{{\hat{F}}}^{2}} \right\rangle -{{\left\langle {\hat{F}} \right\rangle }^{2}} \\		& \left\langle {{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}} \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\Psi *(\bar{r}){{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}}\Psi (\bar{r})=}\left\langle {{\left( \hat{F}-\left\langle {\hat{F}} \right\rangle \right)}^{2}} \right\rangle =\left\langle {{{\hat{F}}}^{2}} \right\rangle -{{\left\langle {\hat{F}} \right\rangle }^{2}} \\
Zeile 14:		Zeile 14:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	Für hermitesches F als physikalische Observable mit		Für hermitesches F als physikalische Observable mit
	<math>\left\langle \Psi \right\|\hat{F}\left\| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|\hat{F}\left\| \Psi \right\rangle *</math>		:<math>\left\langle \Psi \right\|\hat{F}\left\| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|\hat{F}\left\| \Psi \right\rangle *</math>
	Sei		Sei
	<math>\hat{F}\left\| \Psi \right\rangle :=\left\| \Phi \right\rangle \Leftrightarrow \left\langle \Psi \right\|\hat{F}=\left\langle \Phi \right\|</math>		:<math>\hat{F}\left\| \Psi \right\rangle :=\left\| \Phi \right\rangle \Leftrightarrow \left\langle \Psi \right\|\hat{F}=\left\langle \Phi \right\|</math>
	So folgt aus		So folgt aus
	<math>\left\langle \Psi \right\|{{\hat{F}}^{2}}\left\| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|\hat{F}{{\left\| \Psi \right\rangle }^{2}}</math>		:<math>\left\langle \Psi \right\|{{\hat{F}}^{2}}\left\| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|\hat{F}{{\left\| \Psi \right\rangle }^{2}}</math>
	, dass		, dass
	<math>\left\langle \Phi \| \Phi \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|{{\hat{F}}^{2}}\left\| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|\hat{F}{{\left\| \Psi \right\rangle }^{2}}={{\left\langle \Phi \| \Psi \right\rangle }^{2}}={{\left\| \left\langle \Phi \| \Psi \right\rangle \right\|}^{2}}</math>		:<math>\left\langle \Phi \| \Phi \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|{{\hat{F}}^{2}}\left\| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|\hat{F}{{\left\| \Psi \right\rangle }^{2}}={{\left\langle \Phi \| \Psi \right\rangle }^{2}}={{\left\| \left\langle \Phi \| \Psi \right\rangle \right\|}^{2}}</math>
	Die schwarzsche Ungleichung sagt jedoch :		Die schwarzsche Ungleichung sagt jedoch :
	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{\left\| \left\langle \Phi \| \Psi \right\rangle \right\|}^{2}}\le {{\left\\| \Phi \right\\|}^{2}}{{\left\\| \Psi \right\\|}^{2}} \\		& {{\left\| \left\langle \Phi \| \Psi \right\rangle \right\|}^{2}}\le {{\left\\| \Phi \right\\|}^{2}}{{\left\\| \Psi \right\\|}^{2}} \\
	& {{\left\\| \Psi \right\\|}^{2}}=1 \\		& {{\left\\| \Psi \right\\|}^{2}}=1 \\
Zeile 29:		Zeile 29:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn die Zustände parallel sind, also folgt:		Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn die Zustände parallel sind, also folgt:
	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \left\| \Phi \right\rangle =\alpha \left\| \Psi \right\rangle \quad \alpha \in C \\		& \left\| \Phi \right\rangle =\alpha \left\| \Psi \right\rangle \quad \alpha \in C \\
	& \Leftrightarrow \hat{F}\left\| \Psi \right\rangle =\alpha \left\| \Psi \right\rangle \\		& \Leftrightarrow \hat{F}\left\| \Psi \right\rangle =\alpha \left\| \Psi \right\rangle \\
Zeile 36:		Zeile 36:
	'''Theorem 1: Eigenwerte hermitescher Operatoren sind reell'''		'''Theorem 1: Eigenwerte hermitescher Operatoren sind reell'''
	'''Beweis:'''		'''Beweis:'''
	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \left\langle \Psi \right\|\hat{F}\left\| \Psi \right\rangle =\alpha \left\langle \Psi \| \Psi \right\rangle =\alpha =\left\langle \Psi \right\|{{{\hat{F}}}^{+}}\left\| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|\hat{F}\left\| \Psi \right\rangle =\alpha \\		& \left\langle \Psi \right\|\hat{F}\left\| \Psi \right\rangle =\alpha \left\langle \Psi \| \Psi \right\rangle =\alpha =\left\langle \Psi \right\|{{{\hat{F}}}^{+}}\left\| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|\hat{F}\left\| \Psi \right\rangle =\alpha \\
	& \Rightarrow \alpha \in R \\		& \Rightarrow \alpha \in R \\
Zeile 44:		Zeile 44:
	'''Theorem 2: Eigenzustände hermitescher Operatoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal:'''		'''Theorem 2: Eigenzustände hermitescher Operatoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal:'''
	'''Beweis:'''		'''Beweis:'''
	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \hat{F}\left\| {{\Psi }_{1}} \right\rangle ={{F}_{1}}\left\| {{\Psi }_{1}} \right\rangle \\		& \hat{F}\left\| {{\Psi }_{1}} \right\rangle ={{F}_{1}}\left\| {{\Psi }_{1}} \right\rangle \\
	& \hat{F}\left\| {{\Psi }_{2}} \right\rangle ={{F}_{2}}\left\| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \\		& \hat{F}\left\| {{\Psi }_{2}} \right\rangle ={{F}_{2}}\left\| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \\
Zeile 56:		Zeile 56:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	Da die Eigenwerte nach Voraussetzung verschieden sein sollen, gilt für die zugehörigen Eigenzustände:		Da die Eigenwerte nach Voraussetzung verschieden sein sollen, gilt für die zugehörigen Eigenzustände:
	<math>\left\langle {{\Psi }_{2}} \| {{\Psi }_{1}} \right\rangle =0</math>		:<math>\left\langle {{\Psi }_{2}} \| {{\Psi }_{1}} \right\rangle =0</math>
	Wegen der Normierung gilt:		Wegen der Normierung gilt:
	<math>\left\langle {{\Psi }_{n}} \| {{\Psi }_{m}} \right\rangle ={{\delta }_{nm}}</math>		:<math>\left\langle {{\Psi }_{n}} \| {{\Psi }_{m}} \right\rangle ={{\delta }_{nm}}</math>
	'''Kontinuierlicher Fall:'''		'''Kontinuierlicher Fall:'''
	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \left\langle F \| F\acute{\ } \right\rangle =\delta (F-F\acute{\ }) \\		& \left\langle F \| F\acute{\ } \right\rangle =\delta (F-F\acute{\ }) \\
	& \left\langle {\bar{r}} \| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle =\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }) \\		& \left\langle {\bar{r}} \| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle =\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }) \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	Die Zustände sind im kontinuierlichen Fall nicht normierbar, also nicht Element des Hilbertraumes. Sind aber als Limes einer diskreten Basis aufzufassen:		Die Zustände sind im kontinuierlichen Fall nicht normierbar, also nicht Element des Hilbertraumes. Sind aber als Limes einer diskreten Basis aufzufassen:
	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \left\| {\bar{p}} \right\rangle \notin H \\		& \left\| {\bar{p}} \right\rangle \notin H \\
	& \left\| {\bar{p}} \right\rangle :=\begin{matrix}		& \left\| {\bar{p}} \right\rangle :=\begin{matrix}
Zeile 75:		Zeile 75:
	'''Entartung '''( Unter Entartung versteht man, dass zum selben Eigenwert verschiedene Eigenzustände existieren)		'''Entartung '''( Unter Entartung versteht man, dass zum selben Eigenwert verschiedene Eigenzustände existieren)
	Dadurch können beispielsweise verschiedene Elektronen den gleichen Energiewert annehmen oder verschiedene Teilchen mit der exakt identisch gleichen Energie auftreten !		Dadurch können beispielsweise verschiedene Elektronen den gleichen Energiewert annehmen oder verschiedene Teilchen mit der exakt identisch gleichen Energie auftreten !
	<math>\hat{F}\left\| n,\alpha \right\rangle ={{F}_{n}}\left\| n,\alpha \right\rangle </math>n=0,1,2,3,...<math>\alpha =1,2,3,..,={{\alpha }_{n}}</math>, der sogenannte Entartungsindex. Man spricht von		:<math>\hat{F}\left\| n,\alpha \right\rangle ={{F}_{n}}\left\| n,\alpha \right\rangle </math>n=0,1,2,3,...<math>\alpha =1,2,3,..,={{\alpha }_{n}}</math>, der sogenannte Entartungsindex. Man spricht von
	<math>{{\alpha }_{n}}</math>- facher Entartung		:<math>{{\alpha }_{n}}</math>- facher Entartung
	Aus<math>\hat{F}\left\| n,\alpha \right\rangle ={{F}_{n}}\left\| n,\alpha \right\rangle </math>folgt bereits:<math>\left( {{F}_{n}}-{{F}_{m}} \right)\left\langle m,\alpha \| n,\alpha \acute{\ } \right\rangle =0\Rightarrow \left\langle m,\alpha \| n,\alpha \acute{\ } \right\rangle ={{\delta }_{mn}}</math>		Aus<math>\hat{F}\left\| n,\alpha \right\rangle ={{F}_{n}}\left\| n,\alpha \right\rangle </math>folgt bereits:<math>\left( {{F}_{n}}-{{F}_{m}} \right)\left\langle m,\alpha \| n,\alpha \acute{\ } \right\rangle =0\Rightarrow \left\langle m,\alpha \| n,\alpha \acute{\ } \right\rangle ={{\delta }_{mn}}</math>
	Somit also müssen nur die HAUPTQUANTENZAHLEN, wie man sagt, der Zustände gleich sein.		Somit also müssen nur die HAUPTQUANTENZAHLEN, wie man sagt, der Zustände gleich sein.
Zeile 83:		Zeile 83:
	Jedoch kann man im Unterraum der Entarteten Zustände Transformationen durchführen. Dies ist der Eigenraum zum Eigenwert Fn.		Jedoch kann man im Unterraum der Entarteten Zustände Transformationen durchführen. Dies ist der Eigenraum zum Eigenwert Fn.
	In diesem Eigenraum kann man die entarteten Zustände durch eine lineare Transformation in orthonormierte Eigenzustände<math>\left\| n,\beta \right\rangle </math>überführen:		In diesem Eigenraum kann man die entarteten Zustände durch eine lineare Transformation in orthonormierte Eigenzustände<math>\left\| n,\beta \right\rangle </math>überführen:
	<math>\left\| n,\beta \right\rangle =\sum\limits_{\alpha =1}^{{{\alpha }_{n}}}{\left\| n,\alpha \right\rangle }{{c}_{\alpha \beta }}</math>		:<math>\left\| n,\beta \right\rangle =\sum\limits_{\alpha =1}^{{{\alpha }_{n}}}{\left\| n,\alpha \right\rangle }{{c}_{\alpha \beta }}</math>
	Eine geeignete Trafo wäre beispielsweise das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren:		Eine geeignete Trafo wäre beispielsweise das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren:
	Also gilt dann:		Also gilt dann:
	<math>\left\langle n,\beta \| m,\beta \acute{\ } \right\rangle ={{\delta }_{mn}}{{\delta }_{\beta \beta \acute{\ }}}</math>		:<math>\left\langle n,\beta \| m,\beta \acute{\ } \right\rangle ={{\delta }_{mn}}{{\delta }_{\beta \beta \acute{\ }}}</math>
	'''Theorem 3:'''		'''Theorem 3:'''
	Zwei hermitesche Operatoren<math>\hat{F}</math>und<math>\hat{G}</math>kommutieren genau dann, wenn sie ein gemeinsames System von Eigenvektoren besitzen:		Zwei hermitesche Operatoren<math>\hat{F}</math>und<math>\hat{G}</math>kommutieren genau dann, wenn sie ein gemeinsames System von Eigenvektoren besitzen:
Zeile 97:		Zeile 97:
	Dann kann der Eigenvektor<math>\hat{G}\left\| n,\beta \right\rangle </math>entwickelt werden, gemäß<math>\hat{G}\left\| n,\beta \right\rangle =\sum\limits_{\beta \acute{\ }}^{{}}{\left\| n,\beta \right\rangle {{c}_{\beta \acute{\ }\beta }}}</math>		Dann kann der Eigenvektor<math>\hat{G}\left\| n,\beta \right\rangle </math>entwickelt werden, gemäß<math>\hat{G}\left\| n,\beta \right\rangle =\sum\limits_{\beta \acute{\ }}^{{}}{\left\| n,\beta \right\rangle {{c}_{\beta \acute{\ }\beta }}}</math>
	Die Matrix<math>{{c}_{\beta \acute{\ }\beta }}:=\left\langle n\beta \acute{\ } \right\|\hat{G}\left\| n,\beta \right\rangle =c{{*}_{\beta \beta \acute{\ }}}</math>ist hermitesch, kann also durch eine unitäre Transformation U diagonalisiert werden:		Die Matrix<math>{{c}_{\beta \acute{\ }\beta }}:=\left\langle n\beta \acute{\ } \right\|\hat{G}\left\| n,\beta \right\rangle =c{{*}_{\beta \beta \acute{\ }}}</math>ist hermitesch, kann also durch eine unitäre Transformation U diagonalisiert werden:
	<math>\left\| n,\gamma \right\rangle =\sum\limits_{\beta }{{{U}_{\gamma \beta }}}\left\| n,\beta \right\rangle </math>		:<math>\left\| n,\gamma \right\rangle =\sum\limits_{\beta }{{{U}_{\gamma \beta }}}\left\| n,\beta \right\rangle </math>
	Mit<math>\sum\limits_{\beta }{{{U}_{\gamma \beta }}{{U}_{\beta \gamma \acute{\ }}}}={{\delta }_{\gamma \gamma \acute{\ }}}</math>( " Drehung der Basis")		Mit<math>\sum\limits_{\beta }{{{U}_{\gamma \beta }}{{U}_{\beta \gamma \acute{\ }}}}={{\delta }_{\gamma \gamma \acute{\ }}}</math>( " Drehung der Basis")
	Somit		Somit
	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{c}_{\beta \acute{\ }\beta }}=\left\langle n,\beta \acute{\ } \right\|\hat{G}\left\| n,\beta \right\rangle ={{G}_{n\beta }}{{\delta }_{\beta \acute{\ }\beta }} \\		& {{c}_{\beta \acute{\ }\beta }}=\left\langle n,\beta \acute{\ } \right\|\hat{G}\left\| n,\beta \right\rangle ={{G}_{n\beta }}{{\delta }_{\beta \acute{\ }\beta }} \\
	& \hat{G}\left\| n,\beta \right\rangle =\sum\limits_{\beta \acute{\ }}{\left\| n,\beta \acute{\ } \right\rangle }{{c}_{\beta \acute{\ }\beta }}={{G}_{n\beta }}\left\| n,\beta \right\rangle \\		& \hat{G}\left\| n,\beta \right\rangle =\sum\limits_{\beta \acute{\ }}{\left\| n,\beta \acute{\ } \right\rangle }{{c}_{\beta \acute{\ }\beta }}={{G}_{n\beta }}\left\| n,\beta \right\rangle \\
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	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	Wobei letzte Relation natürlich nur gilt, falls<math>\left\| \Psi \right\rangle ,\left\| \Phi \right\rangle \in Eigenbasis</math>mit<math>{{F}_{\Psi }}</math>als Eigenwert		Wobei letzte Relation natürlich nur gilt, falls<math>\left\| \Psi \right\rangle ,\left\| \Phi \right\rangle \in Eigenbasis</math>mit<math>{{F}_{\Psi }}</math>als Eigenwert
	<math>{{U}^{+}}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }U=\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}</math>diagonal !		:<math>{{U}^{+}}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }U=\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}</math>diagonal !

*>SchuBot am 11. September 2010 um 15:20 Uhr

2010-09-11T15:20:10Z

Schubotz am 9. September 2010 um 14:33 Uhr

2010-09-09T14:33:27Z

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	{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|2\|3}}		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|2\|3}}</noinclude>

	Annahme: Eine physikalische Observable F habe in einem normierten Zustand		Annahme: Eine physikalische Observable F habe in einem normierten Zustand

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2010-08-24T15:12:11Z

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{{Scripthinweis|Quantenmechanik|2|3}}

Annahme: Eine physikalische Observable F habe in einem normierten Zustand
<math>\left| \Psi \right\rangle </math>
einen scharfen Wert:
<math>\begin{align}

& \left\langle {{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}} \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\Psi *(\bar{r}){{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}}\Psi (\bar{r})=}\left\langle {{\left( \hat{F}-\left\langle {\hat{F}} \right\rangle \right)}^{2}} \right\rangle =\left\langle {{{\hat{F}}}^{2}} \right\rangle -{{\left\langle {\hat{F}} \right\rangle }^{2}} \\

& =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\Psi *(\bar{r}){{\left( {\hat{F}} \right)}^{2}}\Psi (\bar{r})}-{{\left( \int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\Psi *(\bar{r})\hat{F}\Psi (\bar{r})} \right)}^{2}}=0 \\

& \Leftrightarrow \left\langle \Psi \right|{{{\hat{F}}}^{2}}\left| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{F}{{\left| \Psi \right\rangle }^{2}} \\

\end{align}</math>
Für hermitesches F als physikalische Observable mit
<math>\left\langle \Psi \right|\hat{F}\left| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{F}\left| \Psi \right\rangle *</math>
Sei
<math>\hat{F}\left| \Psi \right\rangle :=\left| \Phi \right\rangle \Leftrightarrow \left\langle \Psi \right|\hat{F}=\left\langle \Phi \right|</math>
So folgt aus
<math>\left\langle \Psi \right|{{\hat{F}}^{2}}\left| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{F}{{\left| \Psi \right\rangle }^{2}}</math>
, dass
<math>\left\langle \Phi | \Phi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|{{\hat{F}}^{2}}\left| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{F}{{\left| \Psi \right\rangle }^{2}}={{\left\langle \Phi | \Psi \right\rangle }^{2}}={{\left| \left\langle \Phi | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}</math>
Die schwarzsche Ungleichung sagt jedoch :
<math>\begin{align}
& {{\left| \left\langle \Phi | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}\le {{\left\| \Phi \right\|}^{2}}{{\left\| \Psi \right\|}^{2}} \\
& {{\left\| \Psi \right\|}^{2}}=1 \\
& \Rightarrow {{\left\| \Phi \right\|}^{2}}{{\left\| \Psi \right\|}^{2}}={{\left\| \Phi \right\|}^{2}}=\left\langle \Phi | \Phi \right\rangle \\
& {{\left| \left\langle \Phi | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}\le \left\langle \Phi | \Phi \right\rangle \\
\end{align}</math>
Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn die Zustände parallel sind, also folgt:
<math>\begin{align}
& \left| \Phi \right\rangle =\alpha \left| \Psi \right\rangle \quad \alpha \in C \\
& \Leftrightarrow \hat{F}\left| \Psi \right\rangle =\alpha \left| \Psi \right\rangle \\
\end{align}</math>
Das heißt, für den normierten Zustand<math>\left| \Psi \right\rangle </math>folgt alleine aus der Schwarzschen Ungleichung, dass<math>\left| \Psi \right\rangle </math>Eigenzustand zu<math>\hat{F}</math>ist.
'''Theorem 1: Eigenwerte hermitescher Operatoren sind reell'''
'''Beweis:'''
<math>\begin{align}
& \left\langle \Psi \right|\hat{F}\left| \Psi \right\rangle =\alpha \left\langle \Psi \right|\left| \Psi \right\rangle =\alpha =\left\langle \Psi \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{F}\left| \Psi \right\rangle *=\alpha * \\
& \Rightarrow \alpha \in R \\
\end{align}</math>
Vergleiche Energie- Eigenwert
Eigenwerte hermitescher Operatoren können DISKRET oder KONTINUIERLICH sein !
'''Theorem 2: Eigenzustände hermitescher Operatoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal:'''
'''Beweis:'''
<math>\begin{align}
& \hat{F}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle ={{F}_{1}}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle \\
& \hat{F}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle ={{F}_{2}}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \\
& \Rightarrow \left\langle {{\Psi }_{2}} \right|\hat{F}={{F}_{2}}\left\langle {{\Psi }_{2}} \right| \\
\end{align}</math><math>\begin{align}
& \left\langle {{\Psi }_{1}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle ={{F}_{2}}\left\langle {{\Psi }_{1}} \right|\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \\
& \left\langle {{\Psi }_{2}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle ={{F}_{1}}\left\langle {{\Psi }_{2}} | {{\Psi }_{1}} \right\rangle =\left\langle {{\Psi }_{1}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle *={{F}_{2}}\left\langle {{\Psi }_{1}} \right|\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \quad falls\ \hat{F}={{{\hat{F}}}^{+}},{{F}_{2}}={{F}_{2}}* \\
& \left\langle {{\Psi }_{2}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle =\left\langle {{{\hat{F}}}^{+}}{{\Psi }_{2}} \right|\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle ={{F}_{2}}\left\langle {{\Psi }_{2}} | {{\Psi }_{1}} \right\rangle \\
& \left\langle {{\Psi }_{2}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle -\left\langle {{\Psi }_{2}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle =\left( {{F}_{2}}-{{F}_{1}} \right)\left\langle {{\Psi }_{2}} | {{\Psi }_{1}} \right\rangle \\

\end{align}</math>
Da die Eigenwerte nach Voraussetzung verschieden sein sollen, gilt für die zugehörigen Eigenzustände:
<math>\left\langle {{\Psi }_{2}} | {{\Psi }_{1}} \right\rangle =0</math>
Wegen der Normierung gilt:
<math>\left\langle {{\Psi }_{n}} | {{\Psi }_{m}} \right\rangle ={{\delta }_{nm}}</math>
'''Kontinuierlicher Fall:'''
<math>\begin{align}
& \left\langle F | F\acute{\ } \right\rangle =\delta (F-F\acute{\ }) \\
& \left\langle {\bar{r}} | \bar{r}\acute{\ } \right\rangle =\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }) \\
\end{align}</math>
Die Zustände sind im kontinuierlichen Fall nicht normierbar, also nicht Element des Hilbertraumes. Sind aber als Limes einer diskreten Basis aufzufassen:
<math>\begin{align}
& \left| {\bar{p}} \right\rangle \notin H \\
& \left| {\bar{p}} \right\rangle :=\begin{matrix}
\lim \\
\Delta p\to 0 \\
\end{matrix}\left| \bar{p},\Delta \bar{p} \right\rangle \\
\end{align}</math>( vergleiche Fick, S. 114)
-> sogenannte Dirac- Zustände !
'''Entartung '''( Unter Entartung versteht man, dass zum selben Eigenwert verschiedene Eigenzustände existieren)
Dadurch können beispielsweise verschiedene Elektronen den gleichen Energiewert annehmen oder verschiedene Teilchen mit der exakt identisch gleichen Energie auftreten !
<math>\hat{F}\left| n,\alpha \right\rangle ={{F}_{n}}\left| n,\alpha \right\rangle </math>n=0,1,2,3,...<math>\alpha =1,2,3,..,={{\alpha }_{n}}</math>, der sogenannte Entartungsindex. Man spricht von
<math>{{\alpha }_{n}}</math>- facher Entartung
Aus<math>\hat{F}\left| n,\alpha \right\rangle ={{F}_{n}}\left| n,\alpha \right\rangle </math>folgt bereits:<math>\left( {{F}_{n}}-{{F}_{m}} \right)\left\langle m,\alpha \right|\left| n,\alpha \acute{\ } \right\rangle =0\Rightarrow \left\langle m,\alpha \right|\left| n,\alpha \acute{\ } \right\rangle ={{\delta }_{mn}}</math>
Somit also müssen nur die HAUPTQUANTENZAHLEN, wie man sagt, der Zustände gleich sein.
Möglich wäre<math>\left\langle n,\alpha \right|\left| n,\alpha \acute{\ } \right\rangle \ne 0</math>für<math>\alpha \ne \alpha \acute{\ }</math>.
Also müssen miteinander entartete Zustände eines bestimmten Hauptniveaus nicht orthogonal sein.
Jedoch kann man im Unterraum der Entarteten Zustände Transformationen durchführen. Dies ist der Eigenraum zum Eigenwert Fn.
In diesem Eigenraum kann man die entarteten Zustände durch eine lineare Transformation in orthonormierte Eigenzustände<math>\left| n,\beta \right\rangle </math>überführen:
<math>\left| n,\beta \right\rangle =\sum\limits_{\alpha =1}^{{{\alpha }_{n}}}{\left| n,\alpha \right\rangle }{{c}_{\alpha \beta }}</math>
Eine geeignete Trafo wäre beispielsweise das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren:
Also gilt dann:
<math>\left\langle n,\beta \right|\left| m,\beta \acute{\ } \right\rangle ={{\delta }_{mn}}{{\delta }_{\beta \beta \acute{\ }}}</math>
'''Theorem 3:'''
Zwei hermitesche Operatoren<math>\hat{F}</math>und<math>\hat{G}</math>kommutieren genau dann, wenn sie ein gemeinsames System von Eigenvektoren besitzen:
'''Beweis:'''

Sei<math>\left[ \hat{F},\hat{G} \right]=0</math>und<math>\hat{F}\left| n \right\rangle ={{F}_{n}}\left| n \right\rangle </math><math>\Rightarrow \left[ \hat{F},\hat{G} \right]\left| n \right\rangle =\hat{F}\hat{G}\left| n \right\rangle -\hat{G}\hat{F}\left| n \right\rangle =\hat{F}\hat{G}\left| n \right\rangle -{{F}_{n}}\hat{G}\left| n \right\rangle =0</math><math>\Rightarrow \hat{F}\hat{G}\left| n \right\rangle ={{F}_{n}}\hat{G}\left| n \right\rangle </math>
Also ist<math>\hat{G}\left| n \right\rangle </math>Eigenzustand zum Operator<math>\hat{F}</math>mit Eigenwert<math>{{F}_{n}}</math>
Ist<math>{{F}_{n}}</math>nicht entartet, so folgt<math>\hat{G}\left| n \right\rangle \tilde{\ }\left| n \right\rangle </math>, also ist<math>\left| n \right\rangle </math>auch Eigenzustand zu<math>\hat{G}</math>
Ist<math>{{F}_{n}}</math>entartet, so kann , explizit berechenbar durch Schmidtsche Orthogonalisierung, der Eigenraum E von<math>\hat{F}</math>zum Eigenwert<math>{{F}_{n}}</math>durch orthonormierte<math>\left| n,\beta \right\rangle \quad \beta =1,...,s</math>aufgespannt werden.
Dann kann der Eigenvektor<math>\hat{G}\left| n,\beta \right\rangle </math>entwickelt werden, gemäß<math>\hat{G}\left| n,\beta \right\rangle =\sum\limits_{\beta \acute{\ }}^{{}}{\left| n,\beta \right\rangle {{c}_{\beta \acute{\ }\beta }}}</math>
Die Matrix<math>{{c}_{\beta \acute{\ }\beta }}:=\left\langle n\beta \acute{\ } \right|\hat{G}\left| n,\beta \right\rangle =c{{*}_{\beta \beta \acute{\ }}}</math>ist hermitesch, kann also durch eine unitäre Transformation U diagonalisiert werden:
<math>\left| n,\gamma \right\rangle =\sum\limits_{\beta }{{{U}_{\gamma \beta }}}\left| n,\beta \right\rangle </math>
Mit<math>\sum\limits_{\beta }{{{U}_{\gamma \beta }}{{U}_{\beta \gamma \acute{\ }}}}={{\delta }_{\gamma \gamma \acute{\ }}}</math>( " Drehung der Basis")
Somit
<math>\begin{align}
& {{c}_{\beta \acute{\ }\beta }}=\left\langle n,\beta \acute{\ } \right|\hat{G}\left| n,\beta \right\rangle ={{G}_{n\beta }}{{\delta }_{\beta \acute{\ }\beta }} \\
& \hat{G}\left| n,\beta \right\rangle =\sum\limits_{\beta \acute{\ }}{\left| n,\beta \acute{\ } \right\rangle }{{c}_{\beta \acute{\ }\beta }}={{G}_{n\beta }}\left| n,\beta \right\rangle \\
\end{align}</math>
Also ist<math>\left| n,\beta \right\rangle </math>auch Eigenvektor zu<math>\hat{G}</math>
Nebenbemerkung: Im Allgemeinen wird dadurch die Entartung aufgehoben !
'''Leicht: Umkehrung:'''
Sei<math>\left\{ \left| n \right\rangle \right\}</math>ein vollständiges System von Eigenvektoren zu<math>\hat{F},\hat{G}</math><math>\hat{F}\hat{G}\left| n \right\rangle ={{F}_{n}}{{G}_{n}}\left| n \right\rangle ={{G}_{n}}{{F}_{n}}\left| n \right\rangle =\hat{G}\hat{F}\left| n \right\rangle \Rightarrow \left[ \hat{F},\hat{G} \right]=0</math>
'''Definition'''
Ein Operator<math>U:H\to H</math>heißt UNITÄR, falls<math>{{U}^{+}}U=U{{U}^{+}}=1</math>
'''Daraus folgt:'''<math>{{U}^{+}}={{U}^{-1}}</math>
Mit<math>\begin{align}
& \left| \Psi \acute{\ } \right\rangle :=U\left| \Psi \right\rangle \\
& \left\langle \Phi \acute{\ } \right|:=\left\langle \Phi \right|{{U}^{+}} \\
\end{align}</math>
folgt für beliebige<math>\Psi ,\Phi </math><math>\left\langle \Phi \acute{\ } \right|\left| \Psi \acute{\ } \right\rangle :=\left\langle \Phi \right|{{U}^{+}}U\left| \Psi \right\rangle =\left\langle \Phi \right|\left| \Psi \right\rangle </math>
Das heißt, das Skalarprodukt ist bei unitären Transformationen invariant. Umgekehrt: Will man nur Trafos zulassen, für die das Skalarprodukt invariant bleibt ( Erhaltung der Wahrscheinlichkeit), so sind dies die unitären !
Unitäre Operatoren transformieren das quantenmechanische System ganz grundsätzlich von einer Basis in eine andere.
dabei dürfen sich natürlich Aufenthalts- und Übergangswahrscheinlichkeiten ( die Skalarprodukte) nicht ändern
Nur unitäre Transformationen sind erlaubt !
'''Insbesondere:'''
Transformationen in die Eigenbasis eines Operators<math>\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}</math>= Diagonalisierung von<math>\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}</math><math>\begin{align}
& \left\langle \Phi \acute{\ } \right|\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }\left| \Psi \acute{\ } \right\rangle :=\left\langle \Phi \right|{{U}^{+}}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }U\left| \Psi \right\rangle \\
& \left| \Psi \right\rangle ={{U}^{+}}\left| \Psi \acute{\ } \right\rangle \\
& {{U}^{+}}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }U=\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F} \\
& \left\langle \Phi \acute{\ } \right|\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }\left| \Psi \acute{\ } \right\rangle =\left\langle \Phi \right|\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\left| \Psi \right\rangle ={{F}_{\Psi }}{{\delta }_{\Psi \Phi }} \\
\end{align}</math>
Wobei letzte Relation natürlich nur gilt, falls<math>\left| \Psi \right\rangle ,\left| \Phi \right\rangle \in Eigenbasis</math>mit<math>{{F}_{\Psi }}</math>als Eigenwert
<math>{{U}^{+}}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }U=\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}</math>diagonal !

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	'''Beweis:'''		'''Beweis:'''
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
	& \left\langle \Psi \right\|\hat{F}\left\| \Psi \right\rangle =\alpha \left\langle \Psi ~~\right\|\left\|~~ \Psi \right\rangle =\alpha =\left\langle \Psi \right\|{{{\hat{F}}}^{+}}\left\| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|\hat{F}\left\| \Psi \right\rangle =\alpha \\		& \left\langle \Psi \right\|\hat{F}\left\| \Psi \right\rangle =\alpha \left\langle \Psi \| \Psi \right\rangle =\alpha =\left\langle \Psi \right\|{{{\hat{F}}}^{+}}\left\| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|\hat{F}\left\| \Psi \right\rangle =\alpha \\
	& \Rightarrow \alpha \in R \\		& \Rightarrow \alpha \in R \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
Zeile 49:		Zeile 49:
	& \Rightarrow \left\langle {{\Psi }_{2}} \right\|\hat{F}={{F}_{2}}\left\langle {{\Psi }_{2}} \right\| \\		& \Rightarrow \left\langle {{\Psi }_{2}} \right\|\hat{F}={{F}_{2}}\left\langle {{\Psi }_{2}} \right\| \\
	\end{align}</math><math>\begin{align}		\end{align}</math><math>\begin{align}
	& \left\langle {{\Psi }_{1}} \right\|\hat{F}\left\| {{\Psi }_{2}} \right\rangle ={{F}_{2}}\left\langle {{\Psi }_{1}} ~~\right\|\left~~\| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \\		& \left\langle {{\Psi }_{1}} \right\|\hat{F}\left\| {{\Psi }_{2}} \right\rangle ={{F}_{2}}\left\langle {{\Psi }_{1}} \| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \\
	& \left\langle {{\Psi }_{2}} \right\|\hat{F}\left\| {{\Psi }_{1}} \right\rangle ={{F}_{1}}\left\langle {{\Psi }_{2}} \| {{\Psi }_{1}} \right\rangle =\left\langle {{\Psi }_{1}} \right\|\hat{F}\left\| {{\Psi }_{2}} \right\rangle ={{F}_{2}}\left\langle {{\Psi }_{1}} ~~\right\|\left~~\| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \quad falls\ \hat{F}={{{\hat{F}}}^{+}},{{F}_{2}}={{F}_{2}} \\		& \left\langle {{\Psi }_{2}} \right\|\hat{F}\left\| {{\Psi }_{1}} \right\rangle ={{F}_{1}}\left\langle {{\Psi }_{2}} \| {{\Psi }_{1}} \right\rangle =\left\langle {{\Psi }_{1}} \right\|\hat{F}\left\| {{\Psi }_{2}} \right\rangle ={{F}_{2}}\left\langle {{\Psi }_{1}} \| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \quad falls\ \hat{F}={{{\hat{F}}}^{+}},{{F}_{2}}={{F}_{2}} \\
	& \left\langle {{\Psi }_{2}} \right\|\hat{F}\left\| {{\Psi }_{1}} \right\rangle =\left\langle {{{\hat{F}}}^{+}}{{\Psi }_{2}} ~~\right\|\left~~\| {{\Psi }_{1}} \right\rangle ={{F}_{2}}\left\langle {{\Psi }_{2}} \| {{\Psi }_{1}} \right\rangle \\		& \left\langle {{\Psi }_{2}} \right\|\hat{F}\left\| {{\Psi }_{1}} \right\rangle =\left\langle {{{\hat{F}}}^{+}}{{\Psi }_{2}} \| {{\Psi }_{1}} \right\rangle ={{F}_{2}}\left\langle {{\Psi }_{2}} \| {{\Psi }_{1}} \right\rangle \\
	& \left\langle {{\Psi }_{2}} \right\|\hat{F}\left\| {{\Psi }_{1}} \right\rangle -\left\langle {{\Psi }_{2}} \right\|\hat{F}\left\| {{\Psi }_{1}} \right\rangle =\left( {{F}_{2}}-{{F}_{1}} \right)\left\langle {{\Psi }_{2}} \| {{\Psi }_{1}} \right\rangle \\		& \left\langle {{\Psi }_{2}} \right\|\hat{F}\left\| {{\Psi }_{1}} \right\rangle -\left\langle {{\Psi }_{2}} \right\|\hat{F}\left\| {{\Psi }_{1}} \right\rangle =\left( {{F}_{2}}-{{F}_{1}} \right)\left\langle {{\Psi }_{2}} \| {{\Psi }_{1}} \right\rangle \\

Zeile 77:		Zeile 77:
	<math>\hat{F}\left\| n,\alpha \right\rangle ={{F}_{n}}\left\| n,\alpha \right\rangle </math>n=0,1,2,3,...<math>\alpha =1,2,3,..,={{\alpha }_{n}}</math>, der sogenannte Entartungsindex. Man spricht von		<math>\hat{F}\left\| n,\alpha \right\rangle ={{F}_{n}}\left\| n,\alpha \right\rangle </math>n=0,1,2,3,...<math>\alpha =1,2,3,..,={{\alpha }_{n}}</math>, der sogenannte Entartungsindex. Man spricht von
	<math>{{\alpha }_{n}}</math>- facher Entartung		<math>{{\alpha }_{n}}</math>- facher Entartung
	Aus<math>\hat{F}\left\| n,\alpha \right\rangle ={{F}_{n}}\left\| n,\alpha \right\rangle </math>folgt bereits:<math>\left( {{F}_{n}}-{{F}_{m}} \right)\left\langle m,\alpha ~~\right\|\left\|~~ n,\alpha \acute{\ } \right\rangle =0\Rightarrow \left\langle m,\alpha ~~\right\|\left\|~~ n,\alpha \acute{\ } \right\rangle ={{\delta }_{mn}}</math>		Aus<math>\hat{F}\left\| n,\alpha \right\rangle ={{F}_{n}}\left\| n,\alpha \right\rangle </math>folgt bereits:<math>\left( {{F}_{n}}-{{F}_{m}} \right)\left\langle m,\alpha \| n,\alpha \acute{\ } \right\rangle =0\Rightarrow \left\langle m,\alpha \| n,\alpha \acute{\ } \right\rangle ={{\delta }_{mn}}</math>
	Somit also müssen nur die HAUPTQUANTENZAHLEN, wie man sagt, der Zustände gleich sein.		Somit also müssen nur die HAUPTQUANTENZAHLEN, wie man sagt, der Zustände gleich sein.
	Möglich wäre<math>\left\langle n,\alpha ~~\right\|\left\|~~ n,\alpha \acute{\ } \right\rangle \ne 0</math>für<math>\alpha \ne \alpha \acute{\ }</math>.		Möglich wäre<math>\left\langle n,\alpha \| n,\alpha \acute{\ } \right\rangle \ne 0</math>für<math>\alpha \ne \alpha \acute{\ }</math>.
	Also müssen miteinander entartete Zustände eines bestimmten Hauptniveaus nicht orthogonal sein.		Also müssen miteinander entartete Zustände eines bestimmten Hauptniveaus nicht orthogonal sein.
	Jedoch kann man im Unterraum der Entarteten Zustände Transformationen durchführen. Dies ist der Eigenraum zum Eigenwert Fn.		Jedoch kann man im Unterraum der Entarteten Zustände Transformationen durchführen. Dies ist der Eigenraum zum Eigenwert Fn.
Zeile 86:		Zeile 86:
	Eine geeignete Trafo wäre beispielsweise das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren:		Eine geeignete Trafo wäre beispielsweise das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren:
	Also gilt dann:		Also gilt dann:
	<math>\left\langle n,\beta ~~\right\|\left\|~~ m,\beta \acute{\ } \right\rangle ={{\delta }_{mn}}{{\delta }_{\beta \beta \acute{\ }}}</math>		<math>\left\langle n,\beta \| m,\beta \acute{\ } \right\rangle ={{\delta }_{mn}}{{\delta }_{\beta \beta \acute{\ }}}</math>
	'''Theorem 3:'''		'''Theorem 3:'''
	Zwei hermitesche Operatoren<math>\hat{F}</math>und<math>\hat{G}</math>kommutieren genau dann, wenn sie ein gemeinsames System von Eigenvektoren besitzen:		Zwei hermitesche Operatoren<math>\hat{F}</math>und<math>\hat{G}</math>kommutieren genau dann, wenn sie ein gemeinsames System von Eigenvektoren besitzen:
Zeile 115:		Zeile 115:
	& \left\langle \Phi \acute{\ } \right\|:=\left\langle \Phi \right\|{{U}^{+}} \\		& \left\langle \Phi \acute{\ } \right\|:=\left\langle \Phi \right\|{{U}^{+}} \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	folgt für beliebige<math>\Psi ,\Phi </math><math>\left\langle \Phi \acute{\ } ~~\right\|\left~~\| \Psi \acute{\ } \right\rangle :=\left\langle \Phi \right\|{{U}^{+}}U\left\| \Psi \right\rangle =\left\langle \Phi ~~\right\|\left\|~~ \Psi \right\rangle </math>		folgt für beliebige<math>\Psi ,\Phi </math><math>\left\langle \Phi \acute{\ } \| \Psi \acute{\ } \right\rangle :=\left\langle \Phi \right\|{{U}^{+}}U\left\| \Psi \right\rangle =\left\langle \Phi \| \Psi \right\rangle </math>
	Das heißt, das Skalarprodukt ist bei unitären Transformationen invariant. Umgekehrt: Will man nur Trafos zulassen, für die das Skalarprodukt invariant bleibt ( Erhaltung der Wahrscheinlichkeit), so sind dies die unitären !		Das heißt, das Skalarprodukt ist bei unitären Transformationen invariant. Umgekehrt: Will man nur Trafos zulassen, für die das Skalarprodukt invariant bleibt ( Erhaltung der Wahrscheinlichkeit), so sind dies die unitären !
	Unitäre Operatoren transformieren das quantenmechanische System ganz grundsätzlich von einer Basis in eine andere.		Unitäre Operatoren transformieren das quantenmechanische System ganz grundsätzlich von einer Basis in eine andere.