Eichtransformation der Lagrangefunktion - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:26:31Z

Einrückungen Mathematik

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:05:54Z

Einrückungen Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 17:05 Uhr
Zeile 133:		Zeile 133:

	Das bedeutet, die Euler- Lagrangegleichungen sind invariant unter Transformationen der Art		Das bedeutet, die Euler- Lagrangegleichungen sind invariant unter Transformationen der Art
	<math>L(q,\dot{q},t)\to L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+\frac{d}{dt}\left( M(\bar{q},t) \right)</math>		<math>L(q,\dot{q},t)\to L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+\frac{d}{dt}\left( M(\bar{q},t) \right)</math> mit <math>M(\bar{q},t)=M({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\in {{C}^{3}}</math>
	mit
	<math>M(\bar{q},t)=M({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\in {{C}^{3}}</math>
	beliebig.		beliebig.

Zeile 142:		Zeile 140:
	& \frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}+\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\left( \sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial M}{\partial {{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}+\frac{\partial M}{\partial t}} \right)-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\left( \sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial M}{\partial {{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}+\frac{\partial M}{\partial t}} \right) \\		& \frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}+\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\left( \sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial M}{\partial {{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}+\frac{\partial M}{\partial t}} \right)-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\left( \sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial M}{\partial {{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}+\frac{\partial M}{\partial t}} \right) \\
	& =\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}+\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{dM}{dt}-\frac{d}{dt}\frac{\partial M}{\partial {{q}_{k}}}=\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}} \\		& =\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}+\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{dM}{dt}-\frac{d}{dt}\frac{\partial M}{\partial {{q}_{k}}}=\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}} \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math> mit <math>\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\left( \sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial M}{\partial {{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}+\frac{\partial M}{\partial t}} \right)=\frac{\partial M}{\partial {{q}_{k}}}</math>


	mit


	<math>\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\left( \sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial M}{\partial {{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}+\frac{\partial M}{\partial t}} \right)=\frac{\partial M}{\partial {{q}_{k}}}</math>

Schubotz: /* Eichtransformationen */

2010-08-28T17:29:34Z

Eichtransformationen

← Nächstältere Version		Version vom 28. August 2010, 19:29 Uhr
Zeile 113:		Zeile 113:
	Allgemein gilt:		Allgemein gilt:

	Sei		Sei <math>M(\bar{q},t)=M({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\in {{C}^{3}}</math> beliebig und
	<math>M(\bar{q},t)=M({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\in {{C}^{3}}</math>
	beliebig

	und
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
	& L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+\left( \dot{M}+\dot{\bar{q}}\cdot \nabla M \right)=L+\frac{d}{dt}\left( M(\bar{q},t) \right) \\		& L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+\left( \dot{M}+\dot{\bar{q}}\cdot \nabla M \right)=L+\frac{d}{dt}\left( M(\bar{q},t) \right) \\
Zeile 137:		Zeile 133:

	Das bedeutet, die Euler- Lagrangegleichungen sind invariant unter Transformationen der Art		Das bedeutet, die Euler- Lagrangegleichungen sind invariant unter Transformationen der Art


	<math>L(q,\dot{q},t)\to L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+\frac{d}{dt}\left( M(\bar{q},t) \right)</math>		<math>L(q,\dot{q},t)\to L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+\frac{d}{dt}\left( M(\bar{q},t) \right)</math>


	mit		mit
	<math>M(\bar{q},t)=M({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\in {{C}^{3}}</math>		<math>M(\bar{q},t)=M({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\in {{C}^{3}}</math>
Zeile 147:		Zeile 139:

	'''Beweis:'''		'''Beweis:'''


	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
	& \frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}+\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\left( \sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial M}{\partial {{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}+\frac{\partial M}{\partial t}} \right)-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\left( \sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial M}{\partial {{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}+\frac{\partial M}{\partial t}} \right) \\		& \frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}+\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\left( \sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial M}{\partial {{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}+\frac{\partial M}{\partial t}} \right)-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\left( \sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial M}{\partial {{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}+\frac{\partial M}{\partial t}} \right) \\
Zeile 176:		Zeile 166:

	Beispielhafte Eichfunktion:		Beispielhafte Eichfunktion:


	<math>M(q):=\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}}\Rightarrow \frac{dM}{dt}=m{{\omega }^{2}}q\dot{q}</math>		<math>M(q):=\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}}\Rightarrow \frac{dM}{dt}=m{{\omega }^{2}}q\dot{q}</math>

Zeile 186:		Zeile 174:

	Die Lagrangegleichungen lauten:		Die Lagrangegleichungen lauten:


	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
	& \frac{d}{dt}\frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{{\dot{q}}}_{{}}}}=m\ddot{q}+m{{\omega }^{2}}\dot{q} \\		& \frac{d}{dt}\frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{{\dot{q}}}_{{}}}}=m\ddot{q}+m{{\omega }^{2}}\dot{q} \\
Zeile 195:		Zeile 181:

	Es folgt als Bewegungsgleichung		Es folgt als Bewegungsgleichung


	<math>\ddot{q}+{{\omega }^{2}}q=0</math>}}		<math>\ddot{q}+{{\omega }^{2}}q=0</math>}}

Schubotz: /* Eichtransformationen */

2010-08-28T17:21:41Z

Eichtransformationen

← Nächstältere Version		Version vom 28. August 2010, 19:21 Uhr
Zeile 76:		Zeile 76:


	Die Potenziale lassen sich umeichen mit Hilfe der Eichfunktion		Die Potenziale lassen sich umeichen mit Hilfe der {{FB\|Eichfunktion}}
	<math>\chi </math>		<math>\chi </math>:
	:


Zeile 87:		Zeile 86:


	Durch ~~Eisnetzen~~ sieht man schnell, dass sich die Felder nicht ändern:		Durch Einsetzen sieht man schnell, dass sich die Felder nicht ändern:


Zeile 108:		Zeile 107:
	Einsetzen zeigt: L´ führt zu denselben Lagrangegleichungen wie L.		Einsetzen zeigt: L´ führt zu denselben Lagrangegleichungen wie L.

	Die Eichtransformation		{{Def\|Die Eichtransformation


	<math>L(q,\dot{q},t)\to L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+\frac{d}{dt}\left( M(\bar{q},t) \right)</math>		<math>L(q,\dot{q},t)\to L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+\frac{d}{dt}\left( M(\bar{q},t) \right)</math>
			mit einer beliebigen Eichfunktion M (skalar) läßt die Lagrangegleichungen invariant.\|Eichtransformation}}

	~~Mit~~ einer beliebigen Eichfunktion M ( skalar) läßt die Lagrangegleichungen invariant.

	Allgemein gilt:		Allgemein gilt:

Schubotz am 28. August 2010 um 17:18 Uhr

2010-08-28T17:18:21Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. August 2010, 19:18 Uhr
Zeile 203:		Zeile 203:

	<math>\ddot{q}+{{\omega }^{2}}q=0</math>}}		<math>\ddot{q}+{{\omega }^{2}}q=0</math>}}

	~~==Forminvarianz der Lagrangegleichung==~~

	~~Eine schwächere Form der Invarianz ( als die Eichinvarianz) ist die Forminvarianz.~~

	~~Dabei gilt als Forminvarianz:~~


	<math>\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=0\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial {{Q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}=0</math>


	~~Für welche Trnsformationen der generalisierten Koordinaten~~


	~~<math>F:\left\{ {{q}_{k}} \right\}\to \left\{ {{Q}_{k}} \right\}</math>~~


	~~sind nun die Lagrangegleichungen forminvariant ?~~

	~~Satz:~~

	~~Sei~~
	~~<math>F:\left\{ {{q}_{k}} \right\}\to \left\{ {{Q}_{k}} \right\}</math>~~
	~~ein C²- Diffeomorphismus,~~

	~~also eine umkehrbare und eindeutige Abbildung und sind~~


	~~<math>F,{{F}^{-1}}</math>~~
	~~beide zweimal stetig differenzierbar, dann ist~~


	~~<math>\left\{ {{Q}_{k}}(t) \right\}</math>~~
	~~Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion:~~


	~~<math>\tilde{L}({{Q}_{k}},{{\dot{Q}}_{k}},t):=L({{f}_{k}}({{Q}_{i}},t),\sum\limits_{i}{{}}\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}{{\dot{Q}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial t},t)</math>~~


	~~mit~~


	~~<math>\begin{align}~~
	~~& {{f}_{k}}({{Q}_{i}},t)={{q}_{k}} \\~~
	~~& \sum\limits_{i}{{}}\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}{{{\dot{Q}}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial t}={{{\dot{q}}}_{k}} \\~~
	~~\end{align}</math>~~


	~~Diese Aussage ist äquivalent zur Aussage:~~


	~~<math>\left\{ {{q}_{k}}(t) \right\}</math>~~
	~~sind Lösung der Lagrangegleichungen zu~~
	~~<math>L({{q}_{k}},{{\dot{q}}_{k}},t)</math>~~


	~~'''Beweis:'''~~


	<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\frac{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}=}\sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right)}</math>
	~~wegen~~


	~~<math>\begin{align}~~
	~~& {{f}_{k}}({{Q}_{i}},t)={{q}_{k}} \\~~
	~~& \sum\limits_{i}{{}}\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}{{{\dot{Q}}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial t}={{{\dot{q}}}_{k}} \\~~
	~~\end{align}</math>~~


	~~Nun:~~


	~~<math>\begin{align}~~
	& \frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right\}} \\
	& =\sum\limits_{l=1}^{f}{\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right\}} \\
	~~\end{align}</math>~~


	~~und auf der anderen Seite:~~


	<math>\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{Q}_{k}}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{l}}}\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right)}</math>


	~~Somit:~~


	~~<math>\begin{align}~~
	& \frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}-\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{Q}_{k}}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right)-\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{l}}}\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right) \right\}} \\
	& =\sum\limits_{l=1}^{f}{\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}-\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{l}}}\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right\}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]-\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{l}}} \right) \right\}} \\
	~~\end{align}</math>~~


	~~Dabei bildet~~


	~~<math>\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}</math>~~
	~~die Transformationsmatrix, die nichtsingulär sein muss, also~~
	~~<math>\det \frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}\ne 0</math>~~


	~~Daher die Bedingung, dass~~

	~~Sei~~
	~~<math>F:\left\{ {{q}_{k}} \right\}\to \left\{ {{Q}_{k}} \right\}</math>~~
	~~ein C²- Diffeomorphismus,~~

	~~also eine umkehrbare und eindeutige Abbildung und~~


	~~<math>F,{{F}^{-1}}</math>~~
	~~beide zweimal stetig differenzierbar.~~

	~~Nur dann ist~~
	~~<math>\left\{ {{Q}_{k}}(t) \right\}</math>~~
	~~Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion.~~

	~~Denn diese Aussage ist äquivalent zu~~


	~~<math>\begin{align}~~
	~~& {{Q}_{i}}={{F}_{i}}({{q}_{1}},...{{q}_{f}},t) \\~~
	~~& {{q}_{k}}={{f}_{k}}({{Q}_{1}},...,{{Q}_{f}},t)\quad mit\quad \det \frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}\ne 0 \\~~
	~~\end{align}</math>~~


	~~Man sagt, die Variationsableitung~~


	~~<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}-\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{Q}_{k}}}</math>~~
	~~ist kovariant unter diffeomorphen Transformationen der generalisierten Koordinaten~~

	~~Also gibt es auch unendlich viele äquivalente Sätze generalisierter Koordinaten.~~

Schubotz am 28. August 2010 um 17:16 Uhr

2010-08-28T17:16:59Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. August 2010, 19:16 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	<noinclude>{{Scripthinweis\|Mechanik\|2\|3}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Mechanik\|2\|3}}</noinclude>
			==Uneindeutigkeit der Lagrangefunktion==
			Die Lagarangefunktion wird duch die Lagrangegleichung nicht eindeutig festgelegt.

	~~Die Lgarangefunktion wird duch die Lagrangegleichung nicht eindeutig festgelegt.~~		Betrachten wir beispielsweise ein geladenes Teilchen im '''elektrischen''' Feld:

	Betrachten wir beispielsweise ein geladenes Teilchen im elektrischen Feld:


Zeile 17:		Zeile 17:


	Die Lorentzkraft ist typischerweise nicht konservativ		Die {{FB\|Lorentzkraft}} ist typischerweise '''nicht konservativ'''

	Die Darstellung des elektrischen und magnetischen Feldes erfolgt über die Potenziale:		Die Darstellung des elektrischen und magnetischen Feldes erfolgt über die Potenziale:
Zeile 28:		Zeile 28:


	Dabei ist Phi ~~skalar~~ und A ein Vektorpotenzial (MKSA- System)		Dabei ist <math>\Phi</math> Skalar und A ein Vektorpotenzial (MKSA- System)

	Ziel: Suche eine Lagrangefunktion		'''Ziel''': Suche eine Lagrangefunktion <math>L(q,\dot{q},t)=T-V</math> in der Art, dass <math>\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=0</math>
	<math>L(q,\dot{q},t)=T-V</math>
	in der Art, dass


	<math>\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=0</math>


Zeile 78:		Zeile 73:
	Somit erfüllt unser Ansatz die Bewegungsgleichungen		Somit erfüllt unser Ansatz die Bewegungsgleichungen

	~~<u>'''~~Eichtransformationen~~'''</u>~~		== Eichtransformationen ==


	Die Potenziale lassen sich umeichen mit Hilfe der Eichfunktion		Die Potenziale lassen sich umeichen mit Hilfe der Eichfunktion
Zeile 178:		Zeile 174:
	abhängen.		abhängen.

	~~<u>~~'''Beispiel: eindimensionaler Oszi'''~~</u>~~		{{Beispiel\|'''Beispiel: eindimensionaler Oszi'''


Zeile 206:		Zeile 202:


	<math>\ddot{q}+{{\omega }^{2}}q=0</math>		<math>\ddot{q}+{{\omega }^{2}}q=0</math>}}


	~~<u>'''~~Forminvarianz der Lagrangegleichung~~'''</u>~~		==Forminvarianz der Lagrangegleichung==

	Eine schwächere Form der Invarianz ( als die Eichinvarianz) ist die Forminvarianz.		Eine schwächere Form der Invarianz ( als die Eichinvarianz) ist die Forminvarianz.

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Mechanik|2|3}} Die Lgarangefunktion wird duch die Lagrangegleichung nicht eindeutig festgelegt. Betrachten wir beispielsw…“

2010-08-28T16:03:50Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|2|3}}</noinclude> Die Lgarangefunktion wird duch die Lagrangegleichung nicht eindeutig festgelegt. Betrachten wir beispielsw…“

Neue Seite

<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|2|3}}</noinclude>

Die Lgarangefunktion wird duch die Lagrangegleichung nicht eindeutig festgelegt.

Betrachten wir beispielsweise ein geladenes Teilchen im elektrischen Feld:

<math>\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}} \right)=\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}} \right)</math>

e sei die Ladung

Bewegungsgleichung:

<math>m\frac{{{d}^{2}}^{{}}}{d{{t}^{2}}}\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}} \right)=m\ddot{\bar{q}}=e\bar{E}(\bar{q},t)+e\dot{\bar{q}}\times \bar{B}(\bar{q},t)</math>

Die Lorentzkraft ist typischerweise nicht konservativ

Die Darstellung des elektrischen und magnetischen Feldes erfolgt über die Potenziale:

<math>\begin{align}
& \bar{E}(\bar{q},t)=-\nabla \Phi (\bar{q},t)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}(\bar{q},t) \\
& \bar{B}(\bar{q},t)=\nabla \times \bar{A}(\bar{q},t) \\
\end{align}</math>

Dabei ist Phi skalar und A ein Vektorpotenzial (MKSA- System)

Ziel: Suche eine Lagrangefunktion
<math>L(q,\dot{q},t)=T-V</math>
in der Art, dass

<math>\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=0</math>

Die Bewegungsgleichung
<math>m\frac{{{d}^{2}}^{{}}}{d{{t}^{2}}}\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}} \right)=m\ddot{\bar{q}}=e\bar{E}(\bar{q},t)+e\dot{\bar{q}}\times \bar{B}(\bar{q},t)</math>
ergeben.

Ansatz:

<math>L(q,\dot{q},t)=\frac{m}{2}{{\dot{\bar{q}}}^{2}}+e\left( \dot{\bar{q}}\bar{A}(\bar{q},t)-\Phi (\bar{q},t) \right)</math>

Probe:

<math>\begin{align}
& \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{\dot{q}}}_{k}}+e{{A}_{k}} \\
& \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{\ddot{q}}}_{k}}+e\frac{d}{dt}{{A}_{k}}(\bar{q}(t),t) \\
& \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{\ddot{q}}}_{k}}+e\left( \frac{\partial }{\partial t}{{A}_{k}}+\sum\limits_{l}{\frac{\partial {{A}_{k}}}{\partial {{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \\
& \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{\ddot{q}}}_{k}}+e\left( \frac{\partial }{\partial t}{{A}_{k}}+\left( \dot{\bar{q}}\cdot \nabla \right){{A}_{k}} \right) \\
\end{align}</math>

Weiter:

<math>\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}=e\left[ \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\left( \dot{\bar{q}}\cdot \bar{A} \right)-\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\Phi \right]</math>

Somit:

<math>\begin{align}
& 0=\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{\ddot{q}}}_{k}}+e\left( \frac{\partial }{\partial t}{{A}_{k}}+\left( \dot{\bar{q}}\cdot \nabla \right){{A}_{k}} \right)-e\left[ \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\left( \dot{\bar{q}}\cdot \bar{A} \right)-\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\Phi \right] \\
& =m{{{\ddot{q}}}_{k}}+e\left( \frac{\partial }{\partial t}{{A}_{k}}+\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\Phi \right)+e\left[ -\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\left( \dot{\bar{q}}\cdot \bar{A} \right)+\left( \dot{\bar{q}}\cdot \nabla \right){{A}_{k}} \right] \\
& =m{{{\ddot{q}}}_{k}}-e{{E}_{k}}-{{\left[ e\dot{\bar{q}}\times \left( \nabla \times \bar{A} \right) \right]}_{k}} \\
& =m{{{\ddot{q}}}_{k}}-e{{E}_{k}}-{{\left[ e\dot{\bar{q}}\times \bar{B} \right]}_{k}} \\
\end{align}</math>

Somit erfüllt unser Ansatz die Bewegungsgleichungen

'''Eichtransformationen'''

Die Potenziale lassen sich umeichen mit Hilfe der Eichfunktion
<math>\chi </math>
:

<math>\begin{align}
& \bar{A}(\bar{q},t)\to \bar{A}\acute{\ }(\bar{q},t)=\bar{A}(\bar{q},t)+\nabla \chi (\bar{q},t) \\
& \Phi (\bar{q},t)\to \Phi \acute{\ }(\bar{q},t)=\Phi (\bar{q},t)-\frac{\partial }{\partial t}\chi (\bar{q},t) \\
\end{align}</math>

Durch Eisnetzen sieht man schnell, dass sich die Felder nicht ändern:

<math>\begin{align}
& \bar{E}\acute{\ }(\bar{q},t)=-\nabla \Phi \acute{\ }(\bar{q},t)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\acute{\ }(\bar{q},t)=-\nabla \left( \Phi (\bar{q},t)-\frac{\partial }{\partial t}\chi (\bar{q},t) \right)-\frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{A}(\bar{q},t)+\nabla \chi (\bar{q},t) \right)=\bar{E}(\bar{q},t) \\
& \bar{B}\acute{\ }(\bar{q},t)=\nabla \times \bar{A}\acute{\ }(\bar{q},t)=\nabla \times \left( \bar{A}(\bar{q},t)+\nabla \chi (\bar{q},t) \right)=\bar{B}(\bar{q},t) \\
\end{align}</math>

Betrachten wir die Lagrangefunktion, so ergibt sich:

<math>\begin{align}
& L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=\frac{m}{2}{{{\dot{\bar{q}}}}^{2}}+e\left( \dot{\bar{q}}\bar{A}\acute{\ }(\bar{q},t)-\Phi \acute{\ }(\bar{q},t) \right) \\
& L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=\frac{m}{2}{{{\dot{\bar{q}}}}^{2}}+e\left( \dot{\bar{q}}\bar{A}(\bar{q},t)+\dot{\bar{q}}\cdot \nabla \chi -\Phi (\bar{q},t)+\dot{\chi } \right) \\
& L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+e\left( \dot{\chi }+\dot{\bar{q}}\cdot \nabla \chi \right)\acute{\ }=L+\frac{d}{dt}\left( e\chi (\bar{q},t) \right) \\
\end{align}</math>

Einsetzen zeigt: L´ führt zu denselben Lagrangegleichungen wie L.

Die Eichtransformation

<math>L(q,\dot{q},t)\to L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+\frac{d}{dt}\left( M(\bar{q},t) \right)</math>

Mit einer beliebigen Eichfunktion M ( skalar) läßt die Lagrangegleichungen invariant.

Allgemein gilt:

Sei
<math>M(\bar{q},t)=M({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\in {{C}^{3}}</math>
beliebig

und
<math>\begin{align}
& L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+\left( \dot{M}+\dot{\bar{q}}\cdot \nabla M \right)=L+\frac{d}{dt}\left( M(\bar{q},t) \right) \\
& L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+\sum\limits_{k=1}^{f}{\frac{\partial M}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial M}{\partial t}} \\
\end{align}</math>

dann erfüllen die

<math>\left\{ {{q}_{k}}(t) \right\}</math>
das hamiltonsche Prinzip

Also:

<math>\delta \int{L\acute{\ }dt=0\Leftrightarrow \delta \int{Ldt=0}}</math>

Das bedeutet, die Euler- Lagrangegleichungen sind invariant unter Transformationen der Art

<math>L(q,\dot{q},t)\to L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+\frac{d}{dt}\left( M(\bar{q},t) \right)</math>

mit
<math>M(\bar{q},t)=M({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\in {{C}^{3}}</math>
beliebig.

'''Beweis:'''

<math>\begin{align}
& \frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}+\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\left( \sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial M}{\partial {{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}+\frac{\partial M}{\partial t}} \right)-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\left( \sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial M}{\partial {{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}+\frac{\partial M}{\partial t}} \right) \\
& =\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}+\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{dM}{dt}-\frac{d}{dt}\frac{\partial M}{\partial {{q}_{k}}}=\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}} \\
\end{align}</math>

mit

<math>\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\left( \sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial M}{\partial {{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}+\frac{\partial M}{\partial t}} \right)=\frac{\partial M}{\partial {{q}_{k}}}</math>

Einzige Nebenbedingung:

<math>M(\bar{q},t)=M({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\in {{C}^{3}}</math>
darf nicht explizit von
<math>{{\dot{q}}_{k}}</math>
abhängen.

'''Beispiel: eindimensionaler Oszi'''

<math>L=T-V=\frac{m}{2}{{\dot{q}}^{2}}-\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}}</math>

Beispielhafte Eichfunktion:

<math>M(q):=\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}}\Rightarrow \frac{dM}{dt}=m{{\omega }^{2}}q\dot{q}</math>

<math>L\acute{\ }=\frac{m}{2}{{\dot{q}}^{2}}-\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}\left( {{q}^{2}}-2q\dot{q} \right)</math>

Die Lagrangegleichungen lauten:

<math>\begin{align}
& \frac{d}{dt}\frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{{\dot{q}}}_{{}}}}=m\ddot{q}+m{{\omega }^{2}}\dot{q} \\
& \frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{q}_{k}}}=-m{{\omega }^{2}}q+m{{\omega }^{2}}\dot{q} \\
\end{align}</math>

Es folgt als Bewegungsgleichung

<math>\ddot{q}+{{\omega }^{2}}q=0</math>

'''Forminvarianz der Lagrangegleichung'''

Eine schwächere Form der Invarianz ( als die Eichinvarianz) ist die Forminvarianz.

Dabei gilt als Forminvarianz:

<math>\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=0\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial {{Q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}=0</math>

Für welche Trnsformationen der generalisierten Koordinaten

<math>F:\left\{ {{q}_{k}} \right\}\to \left\{ {{Q}_{k}} \right\}</math>

sind nun die Lagrangegleichungen forminvariant ?

Satz:

Sei
<math>F:\left\{ {{q}_{k}} \right\}\to \left\{ {{Q}_{k}} \right\}</math>
ein C²- Diffeomorphismus,

also eine umkehrbare und eindeutige Abbildung und sind

<math>F,{{F}^{-1}}</math>
beide zweimal stetig differenzierbar, dann ist

<math>\left\{ {{Q}_{k}}(t) \right\}</math>
Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion:

<math>\tilde{L}({{Q}_{k}},{{\dot{Q}}_{k}},t):=L({{f}_{k}}({{Q}_{i}},t),\sum\limits_{i}{{}}\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}{{\dot{Q}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial t},t)</math>

mit

<math>\begin{align}
& {{f}_{k}}({{Q}_{i}},t)={{q}_{k}} \\
& \sum\limits_{i}{{}}\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}{{{\dot{Q}}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial t}={{{\dot{q}}}_{k}} \\
\end{align}</math>

Diese Aussage ist äquivalent zur Aussage:

<math>\left\{ {{q}_{k}}(t) \right\}</math>
sind Lösung der Lagrangegleichungen zu
<math>L({{q}_{k}},{{\dot{q}}_{k}},t)</math>

'''Beweis:'''

<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\frac{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}=}\sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right)}</math>
wegen

<math>\begin{align}
& {{f}_{k}}({{Q}_{i}},t)={{q}_{k}} \\
& \sum\limits_{i}{{}}\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}{{{\dot{Q}}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial t}={{{\dot{q}}}_{k}} \\
\end{align}</math>

Nun:

<math>\begin{align}
& \frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right\}} \\
& =\sum\limits_{l=1}^{f}{\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right\}} \\
\end{align}</math>

und auf der anderen Seite:

<math>\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{Q}_{k}}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{l}}}\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right)}</math>

Somit:

<math>\begin{align}
& \frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}-\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{Q}_{k}}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right)-\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{l}}}\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right) \right\}} \\
& =\sum\limits_{l=1}^{f}{\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}-\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{l}}}\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right\}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]-\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{l}}} \right) \right\}} \\
\end{align}</math>

Dabei bildet

<math>\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}</math>
die Transformationsmatrix, die nichtsingulär sein muss, also
<math>\det \frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}\ne 0</math>

Daher die Bedingung, dass

Sei
<math>F:\left\{ {{q}_{k}} \right\}\to \left\{ {{Q}_{k}} \right\}</math>
ein C²- Diffeomorphismus,

also eine umkehrbare und eindeutige Abbildung und

<math>F,{{F}^{-1}}</math>
beide zweimal stetig differenzierbar.

Nur dann ist
<math>\left\{ {{Q}_{k}}(t) \right\}</math>
Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion.

Denn diese Aussage ist äquivalent zu

<math>\begin{align}
& {{Q}_{i}}={{F}_{i}}({{q}_{1}},...{{q}_{f}},t) \\
& {{q}_{k}}={{f}_{k}}({{Q}_{1}},...,{{Q}_{f}},t)\quad mit\quad \det \frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}\ne 0 \\
\end{align}</math>

Man sagt, die Variationsableitung

<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}-\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{Q}_{k}}}</math>
ist kovariant unter diffeomorphen Transformationen der generalisierten Koordinaten

Also gibt es auch unendlich viele äquivalente Sätze generalisierter Koordinaten.