Effektives Potential - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:26:27Z

Einrückungen Mathematik

Schubotz am 16. August 2010 um 15:29 Uhr

2010-08-16T15:29:45Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. August 2010, 17:29 Uhr
Zeile 24:		Zeile 24:
	(5.6)		(5.6)
	==Bahnkurve==		==Bahnkurve==
	Wir wechseln wählen jetzt ein Inertialsystem des Schwerpunkts. Nach dem ersten Newtonschen Gesetz ist dies immer Möglich. Da der Schwerpunkt nun aber ruht oder sich gleichmäßig gleichförmig Bewegt verschwinden alle Komponenten von <math>\mathbf{\ddot{R}}</math>. Somit lautet die Lagrangefunktion		Wir wechseln wählen jetzt ein Inertialsystem des Schwerpunkts. Nach dem ersten Newtonschen Gesetz ist dies immer Möglich. Da der Schwerpunkt nun aber ruht oder sich gleichmäßig gleichförmig Bewegt verschwinden alle Komponenten von <math>\mathbf{\ddot{R}}</math>. Somit lautet die Lagrangefunktion

	<math>L\left( \dot{q},q,t \right)=\frac{1}{2}\mu {{\dot{r}}^{2}}-\frac{L_{z}^{2}}{2\mu {{r}^{2}}}+\frac{\alpha }{r}</math>		<math>L\left( \dot{q},q,t \right)=\frac{1}{2}\mu {{\dot{r}}^{2}}-\frac{L_{z}^{2}}{2\mu {{r}^{2}}}+\frac{\alpha }{r}</math>
	(6.1)		(6.1)
	Stellt man die Energieerhaltung nach		Stellt man die Energieerhaltung nach

	<math>T=E-U</math>		<math>T=E-U</math>
	(6.2)		(6.2)
	um und setzt dann T ein so erhält man:		um und setzt dann T ein so erhält man:

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
	& \Rightarrow \frac{1}{2}\mu {{\left( \frac{dr}{dt} \right)}^{2}}=E-U \\		& \Rightarrow \frac{1}{2}\mu {{\left( \frac{dr}{dt} \right)}^{2}}=E-U \\
	& \Leftrightarrow {{\left( \frac{dr}{dt} \right)}^{2}}=\frac{2}{\mu }\left( E-U \right) \\		& \Leftrightarrow {{\left( \frac{dr}{dt} \right)}^{2}}=\frac{2}{\mu }\left( E-U \right) \\
	& \Leftrightarrow dt=\frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{\mu }\left( E-U \right)}} \\		& \Leftrightarrow dt=\frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{\mu }\left( E-U \right)}} \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Die Methode die das Umformen physikalischer Differentialformeln auf diese Art und Weise rechtfertigt heißt: „Methode der Trennung der Variablen.“		Die Methode die das Umformen physikalischer Differentialformeln auf diese Art und Weise rechtfertigt heißt: „Methode der Trennung der Variablen.“
	Setzt man nun dieses Zeitdifferential in die Beziehung zwischen Drehimpuls und <math>\varphi </math>(5.3)Koordinate ein so erhält man.		Setzt man nun dieses Zeitdifferential in die Beziehung zwischen Drehimpuls und <math>\varphi </math>(5.3)Koordinate ein so erhält man.

	<math>d\varphi =\frac{{{L}^{2}}}{\mu {{r}^{2}}}\frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{\mu }\left( E-U \right)}}=\frac{{{L}^{2}}}{{{r}^{2}}}\frac{dr}{\sqrt{2\mu \left( E-U \right)}}=\frac{{{L}^{2}}}{{{r}^{2}}}\frac{dr}{\sqrt{2\mu E-\frac{L_{z}^{2}}{{{r}^{2}}}+\frac{2\mu \alpha }{r}}}</math>		<math>d\varphi =\frac{{{L}^{2}}}{\mu {{r}^{2}}}\frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{\mu }\left( E-U \right)}}=\frac{{{L}^{2}}}{{{r}^{2}}}\frac{dr}{\sqrt{2\mu \left( E-U \right)}}=\frac{{{L}^{2}}}{{{r}^{2}}}\frac{dr}{\sqrt{2\mu E-\frac{L_{z}^{2}}{{{r}^{2}}}+\frac{2\mu \alpha }{r}}}</math>
	(6.3)		(6.3)
	Die Stammfunktion lautet bekannter maßen :		Die Stammfunktion lautet bekannter maßen :

	<math>\varphi =\arccos \left( \frac{\frac{{{L}_{z}}}{r}-\frac{\mu \alpha }{{{L}_{Z}}}}{\sqrt{2\mu E+\frac{{{\mu }^{2}}{{\alpha }^{2}}}{L_{z}^{2}}}} \right)</math>		<math>\varphi =\arccos \left( \frac{\frac{{{L}_{z}}}{r}-\frac{\mu \alpha }{{{L}_{Z}}}}{\sqrt{2\mu E+\frac{{{\mu }^{2}}{{\alpha }^{2}}}{L_{z}^{2}}}} \right)</math>
	(6.4)		(6.4)
	Wir führen noch die Abkürzungen ein:		Wir führen noch die Abkürzungen ein:

	<math>p:=\frac{L_{z}^{2}}{\mu \alpha }\varepsilon :=\sqrt{1+\frac{2EL_{z}^{2}}{\mu {{\alpha }^{2}}}}</math>		<math>p:=\frac{L_{z}^{2}}{\mu \alpha }\varepsilon :=\sqrt{1+\frac{2EL_{z}^{2}}{\mu {{\alpha }^{2}}}}</math>
	(6.5)		(6.5)
	Damit können wir die vorherige Beziehung für <math>\varphi </math>umschreiben als:		Damit können wir die vorherige Beziehung für <math>\varphi </math>umschreiben als:

	<math>\frac{p}{r}=1+\varepsilon \cos \varphi </math>		<math>\frac{p}{r}=1+\varepsilon \cos \varphi </math>
	(6.6)		(6.6)
Zeile 62:		Zeile 62:
	<math>\varepsilon =0</math> Parabel		<math>\varepsilon =0</math> Parabel
	<math>\varepsilon >0</math> Hyperbel		<math>\varepsilon >0</math> Hyperbel

			[[Kategorie:Mechanik]]

Schubotz am 15. April 2010 um 00:14 Uhr

2010-04-15T00:14:51Z

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	Es bietet sich an die Orientierung so zu wählen, dass die z Achse auf der vom Relativabstandsvektor und Relativimpuls aufgespannten Ebene senkrecht steht.		Es bietet sich an die Orientierung so zu wählen, dass die z Achse auf der vom Relativabstandsvektor und Relativimpuls aufgespannten Ebene senkrecht steht.

	<math>L={{L}_{z}}{{e}_{z}}=r\times p,{{e}_{z}}\bot A\left( r,\dot{r} \right)</math>		<math>L={{L}_{z}}{{e}_{z}}=r\times p,{{e}_{z}}\bot A\left( r,\dot{r} \right)</math>
	(5.1)		(5.1)
	Daraus folgt aber, aufgrund der Definition der Kugelkoordinaten, dass <math>\vartheta =\pi /2</math>ist daraus folgt, dass <math>\sin \vartheta =1</math>uns <math>\dot{\vartheta }=0</math>somit vereinfacht sich die Relativgeschwindigkeit zu.		Daraus folgt aber, aufgrund der Definition der Kugelkoordinaten, dass <math>\vartheta =\pi /2</math>ist daraus folgt, dass <math>\sin \vartheta =1</math>uns <math>\dot{\vartheta }=0</math>somit vereinfacht sich die Relativgeschwindigkeit zu.

	<math>{{\mathbf{\dot{r}}}^{2}}={{\dot{r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot{\varphi }}^{2}}</math>		<math>{{\mathbf{\dot{r}}}^{2}}={{\dot{r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot{\varphi }}^{2}}</math>
	(5.2)		(5.2)
	Die Drehimpulserhaltung ermöglicht es <math>\dot{\varphi }</math>nach dem Drehimpuls umzuformen und so zu eliminieren:		Die Drehimpulserhaltung ermöglicht es <math>\dot{\varphi }</math>nach dem Drehimpuls umzuformen und so zu eliminieren:

	<math>\dot{\varphi }=\frac{{{L}_{z}}}{\mu {{r}^{2}}}</math>		<math>\dot{\varphi }=\frac{{{L}_{z}}}{\mu {{r}^{2}}}</math>
	(5.3)		(5.3)
	Würde man dies in die Beziehung für die relative kinetische Energie einsetzen so erhielte man einen Term der nicht von <math>\dot{q}</math> sondern von <math>q</math>abhängt, was der Lagrang’schen Definition der kinetischen Energie widerspräche.		Würde man dies in die Beziehung für die relative kinetische Energie einsetzen so erhielte man einen Term der nicht von <math>\dot{q}</math> sondern von <math>q</math>abhängt, was der Lagrang’schen Definition der kinetischen Energie widerspräche.

	<math>{{T}_{R}}=\frac{1}{2}\mu {{\dot{r}}^{2}}+\underbrace{\frac{L_{z}^{2}}{2\mu {{r}^{2}}}}_{\dot{q}?}</math>		<math>{{T}_{R}}=\frac{1}{2}\mu {{\dot{r}}^{2}}+\underbrace{\frac{L_{z}^{2}}{2\mu {{r}^{2}}}}_{\dot{q}?}</math>
	(5.4)		(5.4)
	Also muss dieser Term zur Potentiellen Energie hinzugefügt werden. Diese heißt nun das effektive Potential (U). Es darf allerdings kein Minuszeichen vor den neuen Term kommen da die Energieerhaltung E=T+U in jedem Fall gewahr werden muss.		Also muss dieser Term zur Potentiellen Energie hinzugefügt werden. Diese heißt nun das effektive Potential (U). Es darf allerdings kein Minuszeichen vor den neuen Term kommen da die Energieerhaltung E=T+U in jedem Fall gewahr werden muss.

	<math>{{V}_{eff}}\equiv U=\frac{L_{z}^{2}}{2\mu {{r}^{2}}}-\frac{\alpha }{r}</math>		<math>{{V}_{eff}}\equiv U=\frac{L_{z}^{2}}{2\mu {{r}^{2}}}-\frac{\alpha }{r}</math>
	(5.5)		(5.5)
	Die Lagrangegleichung hat nun die korrekte Form und lautet.		Die Lagrangegleichung hat nun die korrekte Form und lautet.

	<math>L\left( \dot{q},q,t \right)=T\left( \dot{q},t \right)+U\left( q,t \right)=\underbrace{\frac{1}{2}M{{{\mathbf{\dot{R}}}}^{2}}}_{{{T}_{S}}}+\underbrace{\frac{1}{2}\mu {{{\dot{r}}}^{2}}}_{{{{{T}'}}_{R}}}-\underbrace{\frac{L_{z}^{2}}{2\mu {{r}^{2}}}+\frac{\alpha }{r}}_{U}</math>		<math>L\left( \dot{q},q,t \right)=T\left( \dot{q},t \right)+U\left( q,t \right)=\underbrace{\frac{1}{2}M{{{\mathbf{\dot{R}}}}^{2}}}_{{{T}_{S}}}+\underbrace{\frac{1}{2}\mu {{{\dot{r}}}^{2}}}_{{{{{T}'}}_{R}}}-\underbrace{\frac{L_{z}^{2}}{2\mu {{r}^{2}}}+\frac{\alpha }{r}}_{U}</math>
	(5.6)		(5.6)
			==Bahnkurve==
			Wir wechseln wählen jetzt ein Inertialsystem des Schwerpunkts. Nach dem ersten Newtonschen Gesetz ist dies immer Möglich. Da der Schwerpunkt nun aber ruht oder sich gleichmäßig gleichförmig Bewegt verschwinden alle Komponenten von <math>\mathbf{\ddot{R}}</math>. Somit lautet die Lagrangefunktion

			<math>L\left( \dot{q},q,t \right)=\frac{1}{2}\mu {{\dot{r}}^{2}}-\frac{L_{z}^{2}}{2\mu {{r}^{2}}}+\frac{\alpha }{r}</math>
			(6.1)
			Stellt man die Energieerhaltung nach

			<math>T=E-U</math>
			(6.2)
			um und setzt dann T ein so erhält man:

			<math>\begin{align}
			& \Rightarrow \frac{1}{2}\mu {{\left( \frac{dr}{dt} \right)}^{2}}=E-U \\
			& \Leftrightarrow {{\left( \frac{dr}{dt} \right)}^{2}}=\frac{2}{\mu }\left( E-U \right) \\
			& \Leftrightarrow dt=\frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{\mu }\left( E-U \right)}} \\
			\end{align}</math>

			Die Methode die das Umformen physikalischer Differentialformeln auf diese Art und Weise rechtfertigt heißt: „Methode der Trennung der Variablen.“
			Setzt man nun dieses Zeitdifferential in die Beziehung zwischen Drehimpuls und <math>\varphi </math>(5.3)Koordinate ein so erhält man.

			<math>d\varphi =\frac{{{L}^{2}}}{\mu {{r}^{2}}}\frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{\mu }\left( E-U \right)}}=\frac{{{L}^{2}}}{{{r}^{2}}}\frac{dr}{\sqrt{2\mu \left( E-U \right)}}=\frac{{{L}^{2}}}{{{r}^{2}}}\frac{dr}{\sqrt{2\mu E-\frac{L_{z}^{2}}{{{r}^{2}}}+\frac{2\mu \alpha }{r}}}</math>
			(6.3)
			Die Stammfunktion lautet bekannter maßen :

			<math>\varphi =\arccos \left( \frac{\frac{{{L}_{z}}}{r}-\frac{\mu \alpha }{{{L}_{Z}}}}{\sqrt{2\mu E+\frac{{{\mu }^{2}}{{\alpha }^{2}}}{L_{z}^{2}}}} \right)</math>
			(6.4)
			Wir führen noch die Abkürzungen ein:

			<math>p:=\frac{L_{z}^{2}}{\mu \alpha }\varepsilon :=\sqrt{1+\frac{2EL_{z}^{2}}{\mu {{\alpha }^{2}}}}</math>
			(6.5)
			Damit können wir die vorherige Beziehung für <math>\varphi </math>umschreiben als:

			<math>\frac{p}{r}=1+\varepsilon \cos \varphi </math>
			(6.6)
			Es sollte keine zu großen Schwierigkeiten bereiten zu erkennen, dass es sich hierbei um die Gleichung für Kegelschnitte handelt:

			<math>\varepsilon <0</math> Ellipse
			<math>\varepsilon =0</math> Parabel
			<math>\varepsilon >0</math> Hyperbel

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „Es bietet sich an die Orientierung so zu wählen, dass die z Achse auf der vom Relativabstandsvektor und Relativimpuls aufgespannten Ebene senkrecht steht.
2010-04-15T00:12:47Z

Die Seite wurde neu angelegt: „Es bietet sich an die Orientierung so zu wählen, dass die z Achse auf der vom Relativabstandsvektor und Relativimpuls aufgespannten Ebene senkrecht steht. <mat…“

Neue Seite
Es bietet sich an die Orientierung so zu wählen, dass die z Achse auf der vom Relativabstandsvektor und Relativimpuls aufgespannten Ebene senkrecht steht.

<math>L={{L}_{z}}{{e}_{z}}=r\times p,{{e}_{z}}\bot A\left( r,\dot{r} \right)</math>
(5.1)
Daraus folgt aber, aufgrund der Definition der Kugelkoordinaten, dass <math>\vartheta =\pi /2</math>ist daraus folgt, dass <math>\sin \vartheta =1</math>uns <math>\dot{\vartheta }=0</math>somit vereinfacht sich die Relativgeschwindigkeit zu.

<math>{{\mathbf{\dot{r}}}^{2}}={{\dot{r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot{\varphi }}^{2}}</math>
(5.2)
Die Drehimpulserhaltung ermöglicht es <math>\dot{\varphi }</math>nach dem Drehimpuls umzuformen und so zu eliminieren:

<math>\dot{\varphi }=\frac{{{L}_{z}}}{\mu {{r}^{2}}}</math>
(5.3)
Würde man dies in die Beziehung für die relative kinetische Energie einsetzen so erhielte man einen Term der nicht von <math>\dot{q}</math> sondern von <math>q</math>abhängt, was der Lagrang’schen Definition der kinetischen Energie widerspräche.

<math>{{T}_{R}}=\frac{1}{2}\mu {{\dot{r}}^{2}}+\underbrace{\frac{L_{z}^{2}}{2\mu {{r}^{2}}}}_{\dot{q}?}</math>
(5.4)
Also muss dieser Term zur Potentiellen Energie hinzugefügt werden. Diese heißt nun das effektive Potential (U). Es darf allerdings kein Minuszeichen vor den neuen Term kommen da die Energieerhaltung E=T+U in jedem Fall gewahr werden muss.

<math>{{V}_{eff}}\equiv U=\frac{L_{z}^{2}}{2\mu {{r}^{2}}}-\frac{\alpha }{r}</math>
(5.5)
Die Lagrangegleichung hat nun die korrekte Form und lautet.

<math>L\left( \dot{q},q,t \right)=T\left( \dot{q},t \right)+U\left( q,t \right)=\underbrace{\frac{1}{2}M{{{\mathbf{\dot{R}}}}^{2}}}_{{{T}_{S}}}+\underbrace{\frac{1}{2}\mu {{{\dot{r}}}^{2}}}_{{{{{T}'}}_{R}}}-\underbrace{\frac{L_{z}^{2}}{2\mu {{r}^{2}}}+\frac{\alpha }{r}}_{U}</math>
(5.6)

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 17:26 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	Es bietet sich an die Orientierung so zu wählen, dass die z Achse auf der vom Relativabstandsvektor und Relativimpuls aufgespannten Ebene senkrecht steht.		Es bietet sich an die Orientierung so zu wählen, dass die z Achse auf der vom Relativabstandsvektor und Relativimpuls aufgespannten Ebene senkrecht steht.

	<math>L={{L}_{z}}{{e}_{z}}=r\times p,{{e}_{z}}\bot A\left( r,\dot{r} \right)</math>		:<math>L={{L}_{z}}{{e}_{z}}=r\times p,{{e}_{z}}\bot A\left( r,\dot{r} \right)</math>
	(5.1)		(5.1)
	Daraus folgt aber, aufgrund der Definition der Kugelkoordinaten, dass <math>\vartheta =\pi /2</math>ist daraus folgt, dass <math>\sin \vartheta =1</math>uns <math>\dot{\vartheta }=0</math>somit vereinfacht sich die Relativgeschwindigkeit zu.		Daraus folgt aber, aufgrund der Definition der Kugelkoordinaten, dass <math>\vartheta =\pi /2</math>ist daraus folgt, dass <math>\sin \vartheta =1</math>uns <math>\dot{\vartheta }=0</math>somit vereinfacht sich die Relativgeschwindigkeit zu.

	<math>{{\mathbf{\dot{r}}}^{2}}={{\dot{r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot{\varphi }}^{2}}</math>		:<math>{{\mathbf{\dot{r}}}^{2}}={{\dot{r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot{\varphi }}^{2}}</math>
	(5.2)		(5.2)
	Die Drehimpulserhaltung ermöglicht es <math>\dot{\varphi }</math>nach dem Drehimpuls umzuformen und so zu eliminieren:		Die Drehimpulserhaltung ermöglicht es <math>\dot{\varphi }</math>nach dem Drehimpuls umzuformen und so zu eliminieren:

	<math>\dot{\varphi }=\frac{{{L}_{z}}}{\mu {{r}^{2}}}</math>		:<math>\dot{\varphi }=\frac{{{L}_{z}}}{\mu {{r}^{2}}}</math>
	(5.3)		(5.3)
	Würde man dies in die Beziehung für die relative kinetische Energie einsetzen so erhielte man einen Term der nicht von <math>\dot{q}</math> sondern von <math>q</math>abhängt, was der Lagrang’schen Definition der kinetischen Energie widerspräche.		Würde man dies in die Beziehung für die relative kinetische Energie einsetzen so erhielte man einen Term der nicht von <math>\dot{q}</math> sondern von <math>q</math>abhängt, was der Lagrang’schen Definition der kinetischen Energie widerspräche.

	<math>{{T}_{R}}=\frac{1}{2}\mu {{\dot{r}}^{2}}+\underbrace{\frac{L_{z}^{2}}{2\mu {{r}^{2}}}}_{\dot{q}?}</math>		:<math>{{T}_{R}}=\frac{1}{2}\mu {{\dot{r}}^{2}}+\underbrace{\frac{L_{z}^{2}}{2\mu {{r}^{2}}}}_{\dot{q}?}</math>
	(5.4)		(5.4)
	Also muss dieser Term zur Potentiellen Energie hinzugefügt werden. Diese heißt nun das effektive Potential (U). Es darf allerdings kein Minuszeichen vor den neuen Term kommen da die Energieerhaltung E=T+U in jedem Fall gewahr werden muss.		Also muss dieser Term zur Potentiellen Energie hinzugefügt werden. Diese heißt nun das effektive Potential (U). Es darf allerdings kein Minuszeichen vor den neuen Term kommen da die Energieerhaltung E=T+U in jedem Fall gewahr werden muss.

	<math>{{V}_{eff}}\equiv U=\frac{L_{z}^{2}}{2\mu {{r}^{2}}}-\frac{\alpha }{r}</math>		:<math>{{V}_{eff}}\equiv U=\frac{L_{z}^{2}}{2\mu {{r}^{2}}}-\frac{\alpha }{r}</math>
	(5.5)		(5.5)
	Die Lagrangegleichung hat nun die korrekte Form und lautet.		Die Lagrangegleichung hat nun die korrekte Form und lautet.

	<math>L\left( \dot{q},q,t \right)=T\left( \dot{q},t \right)+U\left( q,t \right)=\underbrace{\frac{1}{2}M{{{\mathbf{\dot{R}}}}^{2}}}_{{{T}_{S}}}+\underbrace{\frac{1}{2}\mu {{{\dot{r}}}^{2}}}_{{{{{T}'}}_{R}}}-\underbrace{\frac{L_{z}^{2}}{2\mu {{r}^{2}}}+\frac{\alpha }{r}}_{U}</math>		:<math>L\left( \dot{q},q,t \right)=T\left( \dot{q},t \right)+U\left( q,t \right)=\underbrace{\frac{1}{2}M{{{\mathbf{\dot{R}}}}^{2}}}_{{{T}_{S}}}+\underbrace{\frac{1}{2}\mu {{{\dot{r}}}^{2}}}_{{{{{T}'}}_{R}}}-\underbrace{\frac{L_{z}^{2}}{2\mu {{r}^{2}}}+\frac{\alpha }{r}}_{U}</math>
	(5.6)		(5.6)
	==Bahnkurve==		==Bahnkurve==
	Wir wechseln wählen jetzt ein Inertialsystem des Schwerpunkts. Nach dem ersten Newtonschen Gesetz ist dies immer Möglich. Da der Schwerpunkt nun aber ruht oder sich gleichmäßig gleichförmig Bewegt verschwinden alle Komponenten von <math>\mathbf{\ddot{R}}</math>. Somit lautet die Lagrangefunktion		Wir wechseln wählen jetzt ein Inertialsystem des Schwerpunkts. Nach dem ersten Newtonschen Gesetz ist dies immer Möglich. Da der Schwerpunkt nun aber ruht oder sich gleichmäßig gleichförmig Bewegt verschwinden alle Komponenten von <math>\mathbf{\ddot{R}}</math>. Somit lautet die Lagrangefunktion

	<math>L\left( \dot{q},q,t \right)=\frac{1}{2}\mu {{\dot{r}}^{2}}-\frac{L_{z}^{2}}{2\mu {{r}^{2}}}+\frac{\alpha }{r}</math>		:<math>L\left( \dot{q},q,t \right)=\frac{1}{2}\mu {{\dot{r}}^{2}}-\frac{L_{z}^{2}}{2\mu {{r}^{2}}}+\frac{\alpha }{r}</math>
	(6.1)		(6.1)
	Stellt man die Energieerhaltung nach		Stellt man die Energieerhaltung nach

	<math>T=E-U</math>		:<math>T=E-U</math>
	(6.2)		(6.2)
	um und setzt dann T ein so erhält man:		um und setzt dann T ein so erhält man:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \Rightarrow \frac{1}{2}\mu {{\left( \frac{dr}{dt} \right)}^{2}}=E-U \\		& \Rightarrow \frac{1}{2}\mu {{\left( \frac{dr}{dt} \right)}^{2}}=E-U \\
	& \Leftrightarrow {{\left( \frac{dr}{dt} \right)}^{2}}=\frac{2}{\mu }\left( E-U \right) \\		& \Leftrightarrow {{\left( \frac{dr}{dt} \right)}^{2}}=\frac{2}{\mu }\left( E-U \right) \\
Zeile 43:		Zeile 43:
	Setzt man nun dieses Zeitdifferential in die Beziehung zwischen Drehimpuls und <math>\varphi </math>(5.3)Koordinate ein so erhält man.		Setzt man nun dieses Zeitdifferential in die Beziehung zwischen Drehimpuls und <math>\varphi </math>(5.3)Koordinate ein so erhält man.

	<math>d\varphi =\frac{{{L}^{2}}}{\mu {{r}^{2}}}\frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{\mu }\left( E-U \right)}}=\frac{{{L}^{2}}}{{{r}^{2}}}\frac{dr}{\sqrt{2\mu \left( E-U \right)}}=\frac{{{L}^{2}}}{{{r}^{2}}}\frac{dr}{\sqrt{2\mu E-\frac{L_{z}^{2}}{{{r}^{2}}}+\frac{2\mu \alpha }{r}}}</math>		:<math>d\varphi =\frac{{{L}^{2}}}{\mu {{r}^{2}}}\frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{\mu }\left( E-U \right)}}=\frac{{{L}^{2}}}{{{r}^{2}}}\frac{dr}{\sqrt{2\mu \left( E-U \right)}}=\frac{{{L}^{2}}}{{{r}^{2}}}\frac{dr}{\sqrt{2\mu E-\frac{L_{z}^{2}}{{{r}^{2}}}+\frac{2\mu \alpha }{r}}}</math>
	(6.3)		(6.3)
	Die Stammfunktion lautet bekannter maßen :		Die Stammfunktion lautet bekannter maßen :

	<math>\varphi =\arccos \left( \frac{\frac{{{L}_{z}}}{r}-\frac{\mu \alpha }{{{L}_{Z}}}}{\sqrt{2\mu E+\frac{{{\mu }^{2}}{{\alpha }^{2}}}{L_{z}^{2}}}} \right)</math>		:<math>\varphi =\arccos \left( \frac{\frac{{{L}_{z}}}{r}-\frac{\mu \alpha }{{{L}_{Z}}}}{\sqrt{2\mu E+\frac{{{\mu }^{2}}{{\alpha }^{2}}}{L_{z}^{2}}}} \right)</math>
	(6.4)		(6.4)
	Wir führen noch die Abkürzungen ein:		Wir führen noch die Abkürzungen ein:

	<math>p:=\frac{L_{z}^{2}}{\mu \alpha }\varepsilon :=\sqrt{1+\frac{2EL_{z}^{2}}{\mu {{\alpha }^{2}}}}</math>		:<math>p:=\frac{L_{z}^{2}}{\mu \alpha }\varepsilon :=\sqrt{1+\frac{2EL_{z}^{2}}{\mu {{\alpha }^{2}}}}</math>
	(6.5)		(6.5)
	Damit können wir die vorherige Beziehung für <math>\varphi </math>umschreiben als:		Damit können wir die vorherige Beziehung für <math>\varphi </math>umschreiben als:

	<math>\frac{p}{r}=1+\varepsilon \cos \varphi </math>		:<math>\frac{p}{r}=1+\varepsilon \cos \varphi </math>
	(6.6)		(6.6)
	Es sollte keine zu großen Schwierigkeiten bereiten zu erkennen, dass es sich hierbei um die Gleichung für Kegelschnitte handelt:		Es sollte keine zu großen Schwierigkeiten bereiten zu erkennen, dass es sich hierbei um die Gleichung für Kegelschnitte handelt:

	<math>\varepsilon <0</math> Ellipse		:<math>\varepsilon <0</math> Ellipse
	<math>\varepsilon =0</math> Parabel		:<math>\varepsilon =0</math> Parabel
	<math>\varepsilon >0</math> Hyperbel		:<math>\varepsilon >0</math> Hyperbel

	[[Kategorie:Mechanik]]		[[Kategorie:Mechanik]]