Dynamik des 2- Zustands- Systems - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (2), ( → (

2010-09-12T22:39:21Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (2), ( → (

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:39 Uhr
Zeile 10:		Zeile 10:
	{{Def\|Mit der '''Larmor-Frequenz''' <math>{{\omega }_{l}}:=\frac{\|e\|B}{2{{m}_{0}}}</math>\|Larmor-Frequenz}}		{{Def\|Mit der '''Larmor-Frequenz''' <math>{{\omega }_{l}}:=\frac{\|e\|B}{2{{m}_{0}}}</math>\|Larmor-Frequenz}}

	Wenn der Spin an keine weitere Variable ankoppelt, so ist <math>\hat{H}=\hat{V}</math> der Hamiltonoperator der Spinvariable ( im Spin- Hilbertraum).		Wenn der Spin an keine weitere Variable ankoppelt, so ist <math>\hat{H}=\hat{V}</math> der Hamiltonoperator der Spinvariable (im Spin- Hilbertraum).
	Die Dynamik eines Spins im Magnetfeld ergibt sich über den Zeitableitungsoperator:		Die Dynamik eines Spins im Magnetfeld ergibt sich über den Zeitableitungsoperator:
	:<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}^{\circ }}=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{\bar{\sigma }} \right]=i{{\omega }_{l}}\left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right]</math>		:<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}^{\circ }}=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{\bar{\sigma }} \right]=i{{\omega }_{l}}\left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right]</math>
Zeile 26:		Zeile 26:
	:<math>\frac{{{d}^{2}}}{d{{t}^{2}}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle +{{\left( 2{{\omega }_{l}} \right)}^{2}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =0</math>		:<math>\frac{{{d}^{2}}}{d{{t}^{2}}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle +{{\left( 2{{\omega }_{l}} \right)}^{2}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =0</math>
	Die Dynamik der Spins bildet also einen Oszillator in der x-y- Ebene.		Die Dynamik der Spins bildet also einen Oszillator in der x-y- Ebene.
	Die zeitliche Unabhängigkeit der Spin3- Komponente liegt dabei alleine an der Wahl des Koordinatensystems, bzw. der Basis ! Wir haben diese gerade so gewählt, dass die 3- Komponente zeitlich unabhängig wird.		Die zeitliche Unabhängigkeit der Spin3- Komponente liegt dabei alleine an der Wahl des Koordinatensystems, bzw. der Basis! Wir haben diese gerade so gewählt, dass die 3- Komponente zeitlich unabhängig wird.
	Die Lösung der Diffgleichung liefert:		Die Lösung der Diffgleichung liefert:
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 33:		Zeile 33:
	& {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{0}} \\		& {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{0}} \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	[[File:~~Moglf2119_Peonza_simétrica~~.jpg\|miniatur\|klassischer Kreisel]]		[[File:Moglf2119 Peonza simétrica.jpg\|miniatur\|klassischer Kreisel]]

	Die Anfangsbedingungen können ebenfalls durch Wahl des Koordinatensystems (feste x-y- Ebene) beeinflusst werden.		Die Anfangsbedingungen können ebenfalls durch Wahl des Koordinatensystems (feste x-y- Ebene) beeinflusst werden.
Zeile 46:		Zeile 46:
	Mit anderen Worten:		Mit anderen Worten:

	:<math>{{\left\| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{t}} \right\|}^{2}}={{\left\| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{0}} \right\|}^{2}}=const</math>, der Betrag des Spins ändert sich zeitlich nicht !		:<math>{{\left\| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{t}} \right\|}^{2}}={{\left\| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{0}} \right\|}^{2}}=const</math>, der Betrag des Spins ändert sich zeitlich nicht!

	Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz <math>2{{\omega }_{l}}</math> um das Magnetfeld.		Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz <math>2{{\omega }_{l}}</math> um das Magnetfeld.

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:38:29Z

Einrückungen Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 16:38 Uhr
Zeile 6:		Zeile 6:
	Somit:		Somit:

	<math>\hat{V}=-\frac{e\hbar }{2{{m}_{0}}}\hat{\bar{\sigma }}\cdot \bar{B}=-\frac{e\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}=\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}</math>		:<math>\hat{V}=-\frac{e\hbar }{2{{m}_{0}}}\hat{\bar{\sigma }}\cdot \bar{B}=-\frac{e\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}=\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}</math>

	{{Def\|Mit der '''Larmor-Frequenz''' <math>{{\omega }_{l}}:=\frac{\|e\|B}{2{{m}_{0}}}</math>\|Larmor-Frequenz}}		{{Def\|Mit der '''Larmor-Frequenz''' <math>{{\omega }_{l}}:=\frac{\|e\|B}{2{{m}_{0}}}</math>\|Larmor-Frequenz}}
Zeile 17:		Zeile 17:
	:<math>\frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =\frac{i}{\hbar }\left\langle \left[ H,{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right] \right\rangle =i{{\omega }_{l}}\left\langle \left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right] \right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle </math>		:<math>\frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =\frac{i}{\hbar }\left\langle \left[ H,{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right] \right\rangle =i{{\omega }_{l}}\left\langle \left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right] \right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle </math>

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle \\		& \frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle \\
	& \frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle =2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle \\		& \frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle =2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle \\
Zeile 28:		Zeile 28:
	Die zeitliche Unabhängigkeit der Spin3- Komponente liegt dabei alleine an der Wahl des Koordinatensystems, bzw. der Basis ! Wir haben diese gerade so gewählt, dass die 3- Komponente zeitlich unabhängig wird.		Die zeitliche Unabhängigkeit der Spin3- Komponente liegt dabei alleine an der Wahl des Koordinatensystems, bzw. der Basis ! Wir haben diese gerade so gewählt, dass die 3- Komponente zeitlich unabhängig wird.
	Die Lösung der Diffgleichung liefert:		Die Lösung der Diffgleichung liefert:
	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}\sin \left( 2{{\omega }_{l}}t \right)+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}\cos \left( 2{{\omega }_{l}}t \right) \\		& {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}\sin \left( 2{{\omega }_{l}}t \right)+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}\cos \left( 2{{\omega }_{l}}t \right) \\
	& {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}\cos \left( 2{{\omega }_{l}}t \right)-{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}\sin \left( 2{{\omega }_{l}}t \right) \\		& {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}\cos \left( 2{{\omega }_{l}}t \right)-{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}\sin \left( 2{{\omega }_{l}}t \right) \\
Zeile 38:		Zeile 38:
	Wähle:		Wähle:
	o.B. d.A.:		o.B. d.A.:
	<math>{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}=0</math>		:<math>{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}=0</math>

	Wir können uns den Betrag des Erwartungswertes des gesamten Spinvektors ansehen und es zeigt sich :		Wir können uns den Betrag des Erwartungswertes des gesamten Spinvektors ansehen und es zeigt sich :
Zeile 56:		Zeile 56:

	Dabei muss der Zustand <math>\left\| a(t) \right\rangle </math> in der Spinbasis entwickelbar sein:		Dabei muss der Zustand <math>\left\| a(t) \right\rangle </math> in der Spinbasis entwickelbar sein:
	<math>\left\| a(t) \right\rangle ={{a}_{1}}(t)\left\| \uparrow \right\rangle +{{a}_{2}}(t)\left\| \downarrow \right\rangle </math>		:<math>\left\| a(t) \right\rangle ={{a}_{1}}(t)\left\| \uparrow \right\rangle +{{a}_{2}}(t)\left\| \downarrow \right\rangle </math>

	'''Matrix- Darstellung:'''		'''Matrix- Darstellung:'''
Zeile 76:		Zeile 76:
	Die Lösung lautet:		Die Lösung lautet:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{a}_{1}}(t)={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}} \\		& {{a}_{1}}(t)={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}} \\
	& {{a}_{2}}(t)={{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}} \\		& {{a}_{2}}(t)={{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}} \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	<math>\left\| a(t) \right\rangle ={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}}\left\| \uparrow \right\rangle +{{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}}\left\| \downarrow \right\rangle </math>		:<math>\left\| a(t) \right\rangle ={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}}\left\| \uparrow \right\rangle +{{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}}\left\| \downarrow \right\rangle </math>

	Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man <math>{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{j}} \right\rangle }_{t}}</math>, also die Spinpräzession wie oben!		Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man <math>{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{j}} \right\rangle }_{t}}</math>, also die Spinpräzession wie oben!

Schubotz: /* Schrödingergleichung für die Spinzustände */

2010-09-10T15:17:06Z

Schrödingergleichung für die Spinzustände

Änderungen zeigen

Schubotz am 10. September 2010 um 15:09 Uhr

2010-09-10T15:09:37Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. September 2010, 17:09 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|4\|2}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|4\|2}}</noinclude>
	Die potenzielle Energie des magnetischen Moments des Elektronen- Spins<math>\bar{\mu }</math>		Die potenzielle Energie des magnetischen Moments des Elektronen- Spins <math>\bar{\mu }</math> im äußeren Magnetfeld <math>\bar{B}=B{{\bar{e}}_{3}}</math> beträgt:

	~~im äußeren Magnetfeld <math>\bar{B}=B{{\bar{e}}_{3}}</math>~~		:<math>V=-\hat{\bar{\mu }}\cdot \bar{B}</math> mit <math>\hat{\bar{\mu }}=+g\frac{e}{2{{m}_{0}}}\hat{\bar{S}}=+\frac{e\hbar }{2{{m}_{0}}}\hat{\bar{\sigma }}</math> mit g~ 2 und e<0

	~~beträgt~~:

	<math>V=-\hat{\bar{\mu }}\cdot \bar{B}</math>

	mit <math>\hat{\bar{\mu }}=+g\frac{e}{2{{m}_{0}}}\hat{\bar{S}}=+\frac{e\hbar }{2{{m}_{0}}}\hat{\bar{\sigma }}</math>

	mit g~ 2 und e<0

	Somit:		Somit:
Zeile 16:		Zeile 8:
	<math>\hat{V}=-\frac{e\hbar }{2{{m}_{0}}}\hat{\bar{\sigma }}\cdot \bar{B}=-\frac{e\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}=\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}</math>		<math>\hat{V}=-\frac{e\hbar }{2{{m}_{0}}}\hat{\bar{\sigma }}\cdot \bar{B}=-\frac{e\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}=\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}</math>

	Mit der Larmor- Frequenz <math>{{\omega }_{l}}:=\frac{\|e\|B}{2{{m}_{0}}}</math>		{{Def\|Mit der '''Larmor-Frequenz''' <math>{{\omega }_{l}}:=\frac{\|e\|B}{2{{m}_{0}}}</math>\|Larmor-Frequenz}}

	Wenn der Spin an keine weitere Variable ankoppelt, so ist <math>\hat{H}=\hat{V}</math>		Wenn der Spin an keine weitere Variable ankoppelt, so ist <math>\hat{H}=\hat{V}</math> der Hamiltonoperator der Spinvariable ( im Spin- Hilbertraum).
	der Hamiltonoperator der Spinvariable ( im Spin- Hilbertraum).
	Die Dynamik eines Spins im Magnetfeld ergibt sich über den Zeitableitungsoperator:		Die Dynamik eines Spins im Magnetfeld ergibt sich über den Zeitableitungsoperator:
	<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}^{\circ }}=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{\bar{\sigma }} \right]=i{{\omega }_{l}}\left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right]</math>		:<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}^{\circ }}=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{\bar{\sigma }} \right]=i{{\omega }_{l}}\left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right]</math>

	Berechnung der Erwartungswerte mit <math>\left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{j}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{k}} \right]=2i{{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{l}}</math>		Berechnung der Erwartungswerte mit <math>\left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{j}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{k}} \right]=2i{{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{l}}</math>:
	:		:<math>\frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =\frac{i}{\hbar }\left\langle \left[ H,{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right] \right\rangle =i{{\omega }_{l}}\left\langle \left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right] \right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle </math>
	<math>\frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =\frac{i}{\hbar }\left\langle \left[ H,{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right] \right\rangle =i{{\omega }_{l}}\left\langle \left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right] \right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle </math>

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
Zeile 34:		Zeile 24:

	Dies läßt sich reduzieren:		Dies läßt sich reduzieren:
	<math>\frac{{{d}^{2}}}{d{{t}^{2}}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle +{{\left( 2{{\omega }_{l}} \right)}^{2}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =0</math>		:<math>\frac{{{d}^{2}}}{d{{t}^{2}}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle +{{\left( 2{{\omega }_{l}} \right)}^{2}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =0</math>
	Die Dynamik der Spins bildet also einen Oszillator in der x-y- Ebene.		Die Dynamik der Spins bildet also einen Oszillator in der x-y- Ebene.
	Die zeitliche Unabhängigkeit der Spin3- Komponente liegt dabei alleine an der Wahl des Koordinatensystems, bzw. der Basis ! Wir haben diese gerade so gewählt, dass die 3- Komponente zeitlich unabhängig wird.		Die zeitliche Unabhängigkeit der Spin3- Komponente liegt dabei alleine an der Wahl des Koordinatensystems, bzw. der Basis ! Wir haben diese gerade so gewählt, dass die 3- Komponente zeitlich unabhängig wird.
Zeile 43:		Zeile 33:
	& {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{0}} \\		& {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{0}} \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
			[[File:Moglf2119_Peonza_simétrica.jpg\|miniatur\|klassischer Kreisel]]

	Die Anfangsbedingungen können ebenfalls durch Wahl des Koordinatensystems ( feste x-y- Ebene) beeinflusst werden.		Die Anfangsbedingungen können ebenfalls durch Wahl des Koordinatensystems (feste x-y- Ebene) beeinflusst werden.
	Wähle:		Wähle:
	o.B. d.A.:		o.B. d.A.:
Zeile 51:		Zeile 42:
	Wir können uns den Betrag des Erwartungswertes des gesamten Spinvektors ansehen und es zeigt sich :		Wir können uns den Betrag des Erwartungswertes des gesamten Spinvektors ansehen und es zeigt sich :

	<math>{{\left\| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{t}} \right\|}^{2}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{t}}^{2}+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{t}}^{2}+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{t}}^{2}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}^{2}\left[ {{\cos }^{2}}\left( 2{{\omega }_{l}}t \right)+{{\sin }^{2}}\left( 2{{\omega }_{l}}t \right) \right]+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{0}}^{2}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}^{2}+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{0}}^{2}</math>		:<math>{{\left\| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{t}} \right\|}^{2}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{t}}^{2}+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{t}}^{2}+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{t}}^{2}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}^{2}\left[ {{\cos }^{2}}\left( 2{{\omega }_{l}}t \right)+{{\sin }^{2}}\left( 2{{\omega }_{l}}t \right) \right]+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{0}}^{2}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}^{2}+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{0}}^{2}</math>

	Mit anderen Worten:		Mit anderen Worten:

	<math>{{\left\| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{t}} \right\|}^{2}}={{\left\| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{0}} \right\|}^{2}}=const</math>		:<math>{{\left\| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{t}} \right\|}^{2}}={{\left\| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{0}} \right\|}^{2}}=const</math>, der Betrag des Spins ändert sich zeitlich nicht !
	, der Betrag des Spins ändert sich zeitlich nicht !
			Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz <math>2{{\omega }_{l}}</math> um das Magnetfeld.

			==Schrödingergleichung für die Spinzustände ==
			{{Gln\|<math>\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}\left\| a(t) \right\rangle =i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left\| a(t) \right\rangle </math>\|Schrödinger-Gleichung für Spinzustände}}

	~~Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz <math>2{{\omega }_{l}}</math>~~		Achtung! Nur Spin- Hamiltonian!
	~~um das Magnetfeld.~~

	~~====Schrödingergleichung für die Spinzustände ( Pauli- Gleichungen)====~~		Dabei muss der Zustand <math>\left\| a(t) \right\rangle </math> in der Spinbasis entwickelbar sein:
	~~<math>\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}\left\| a(t) \right\rangle =i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left\| a(t) \right\rangle </math>~~
	~~Achtung ! Nur Spin- Hamiltonian !~~
	Dabei muss der Zustand <math>\left\| a(t) \right\rangle </math>
	in der Spinbasis entwickelbar sein:
	<math>\left\| a(t) \right\rangle ={{a}_{1}}(t)\left\| \uparrow \right\rangle +{{a}_{2}}(t)\left\| \downarrow \right\rangle </math>		<math>\left\| a(t) \right\rangle ={{a}_{1}}(t)\left\| \uparrow \right\rangle +{{a}_{2}}(t)\left\| \downarrow \right\rangle </math>

	~~<u>~~'''Matrix- Darstellung:'''~~</u>~~		'''Matrix- Darstellung:'''

	<math>\hbar {{\omega }_{l}}\left( \begin{matrix}		:<math>\hbar {{\omega }_{l}}\left( \begin{matrix}
	1 & 0 \\		1 & 0 \\
	0 & -1 \\		0 & -1 \\
Zeile 93:		Zeile 83:
	<math>\left\| a(t) \right\rangle ={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}}\left\| \uparrow \right\rangle +{{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}}\left\| \downarrow \right\rangle </math>		<math>\left\| a(t) \right\rangle ={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}}\left\| \uparrow \right\rangle +{{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}}\left\| \downarrow \right\rangle </math>

	Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man <math>{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{j}} \right\rangle }_{t}}</math>		Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man <math>{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{j}} \right\rangle }_{t}}</math>, also die Spinpräzession wie oben !
	, also die Spinpräzession wie oben !

	===Zustände mit Bahn- und Spinvariablen===		===Zustände mit Bahn- und Spinvariablen===

Schubotz am 9. September 2010 um 14:35 Uhr

2010-09-09T14:35:07Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. September 2010, 16:35 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|4\|2}}		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|4\|2}}</noinclude>
	Die potenzielle Energie des magnetischen Moments des Elektronen- Spins<math>\bar{\mu }</math>		Die potenzielle Energie des magnetischen Moments des Elektronen- Spins<math>\bar{\mu }</math>

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|4|2}} Die potenzielle Energie des magnetischen Moments des Elektronen- Spins $\bar{\mu }$ im äußeren Magnetfeld
2010-08-24T16:58:04Z

Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|4|2}} Die potenzielle Energie des magnetischen Moments des Elektronen- Spins<math>\bar{\mu }</math> im äußeren Magnetfeld <math…“

Neue Seite
{{Scripthinweis|Quantenmechanik|4|2}}
Die potenzielle Energie des magnetischen Moments des Elektronen- Spins<math>\bar{\mu }</math>

im äußeren Magnetfeld <math>\bar{B}=B{{\bar{e}}_{3}}</math>

beträgt:

<math>V=-\hat{\bar{\mu }}\cdot \bar{B}</math>

mit <math>\hat{\bar{\mu }}=+g\frac{e}{2{{m}_{0}}}\hat{\bar{S}}=+\frac{e\hbar }{2{{m}_{0}}}\hat{\bar{\sigma }}</math>

mit g~ 2 und e<0

Somit:

<math>\hat{V}=-\frac{e\hbar }{2{{m}_{0}}}\hat{\bar{\sigma }}\cdot \bar{B}=-\frac{e\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}=\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}</math>

Mit der Larmor- Frequenz <math>{{\omega }_{l}}:=\frac{|e|B}{2{{m}_{0}}}</math>

Wenn der Spin an keine weitere Variable ankoppelt, so ist <math>\hat{H}=\hat{V}</math>
der Hamiltonoperator der Spinvariable ( im Spin- Hilbertraum).
Die Dynamik eines Spins im Magnetfeld ergibt sich über den Zeitableitungsoperator:
<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}^{\circ }}=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{\bar{\sigma }} \right]=i{{\omega }_{l}}\left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right]</math>

Berechnung der Erwartungswerte mit <math>\left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{j}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{k}} \right]=2i{{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{l}}</math>
:
<math>\frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =\frac{i}{\hbar }\left\langle \left[ H,{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right] \right\rangle =i{{\omega }_{l}}\left\langle \left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right] \right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle </math>

<math>\begin{align}
& \frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle \\
& \frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle =2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle \\
& \frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle =0 \\
\end{align}</math>

Dies läßt sich reduzieren:
<math>\frac{{{d}^{2}}}{d{{t}^{2}}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle +{{\left( 2{{\omega }_{l}} \right)}^{2}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =0</math>
Die Dynamik der Spins bildet also einen Oszillator in der x-y- Ebene.
Die zeitliche Unabhängigkeit der Spin3- Komponente liegt dabei alleine an der Wahl des Koordinatensystems, bzw. der Basis ! Wir haben diese gerade so gewählt, dass die 3- Komponente zeitlich unabhängig wird.
Die Lösung der Diffgleichung liefert:
<math>\begin{align}
& {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}\sin \left( 2{{\omega }_{l}}t \right)+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}\cos \left( 2{{\omega }_{l}}t \right) \\
& {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}\cos \left( 2{{\omega }_{l}}t \right)-{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}\sin \left( 2{{\omega }_{l}}t \right) \\
& {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{0}} \\
\end{align}</math>

Die Anfangsbedingungen können ebenfalls durch Wahl des Koordinatensystems ( feste x-y- Ebene) beeinflusst werden.
Wähle:
o.B. d.A.:
<math>{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}=0</math>

Wir können uns den Betrag des Erwartungswertes des gesamten Spinvektors ansehen und es zeigt sich :

<math>{{\left| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{t}}^{2}+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{t}}^{2}+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{t}}^{2}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}^{2}\left[ {{\cos }^{2}}\left( 2{{\omega }_{l}}t \right)+{{\sin }^{2}}\left( 2{{\omega }_{l}}t \right) \right]+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{0}}^{2}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}^{2}+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{0}}^{2}</math>

Mit anderen Worten:

<math>{{\left| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{0}} \right|}^{2}}=const</math>
, der Betrag des Spins ändert sich zeitlich nicht !

Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz <math>2{{\omega }_{l}}</math>
um das Magnetfeld.

====Schrödingergleichung für die Spinzustände ( Pauli- Gleichungen)====
<math>\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}\left| a(t) \right\rangle =i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left| a(t) \right\rangle </math>
Achtung ! Nur Spin- Hamiltonian !
Dabei muss der Zustand <math>\left| a(t) \right\rangle </math>
in der Spinbasis entwickelbar sein:
<math>\left| a(t) \right\rangle ={{a}_{1}}(t)\left| \uparrow \right\rangle +{{a}_{2}}(t)\left| \downarrow \right\rangle </math>

<u>'''Matrix- Darstellung:'''</u>

<math>\hbar {{\omega }_{l}}\left( \begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
{{a}_{1}}(t) \\
{{a}_{2}}(t) \\
\end{matrix} \right)=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left( \begin{matrix}
{{a}_{1}}(t) \\
{{a}_{2}}(t) \\
\end{matrix} \right)\Leftrightarrow \begin{matrix}
-i{{\omega }_{l}}{{a}_{1}}={{{\dot{a}}}_{1}} \\
i{{\omega }_{l}}{{a}_{2}}={{{\dot{a}}}_{2}} \\
\end{matrix}</math>

Die Lösung lautet:

<math>\begin{align}
& {{a}_{1}}(t)={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}} \\
& {{a}_{2}}(t)={{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}} \\
\end{align}</math>

<math>\left| a(t) \right\rangle ={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}}\left| \uparrow \right\rangle +{{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}}\left| \downarrow \right\rangle </math>

Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man <math>{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{j}} \right\rangle }_{t}}</math>
, also die Spinpräzession wie oben !

===Zustände mit Bahn- und Spinvariablen===

Sei nun <math>\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle </math>
ein Zustand, der Bahn- und Spinfreiheitsgrade beschreibt:
<math>\begin{align}
& \left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle =\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{B}}\times {{H}_{S}} \\
& \left| nlm \right\rangle \in {{H}_{B}} \\
& \left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{S}} \\
\end{align}</math>

Der Bahnzustand ist Element des Bahn- Hilbertraumes und der Spinzustand Element des Spin- Hilbertraumes. Der Gesamtzustand erfordert einen Raum, der sich als DIREKTES PRODUKT der beiden Hilberträume zeigt.
Allgemein gilt für separable oder Produktzustände <math>\left| {{n}_{1}}{{n}_{2}} \right\rangle =\left| {{n}_{1}} \right\rangle \left| {{n}_{2}} \right\rangle </math>
( äquivalente Sprechweise):
<math>\left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{1}}{{n}_{2}} \right\rangle =\left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{1}} \right\rangle \left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{2}} \right\rangle =\left\langle {{m}_{1}} \right|\left| {{n}_{1}} \right\rangle \left\langle {{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{2}} \right\rangle </math>

Ein beliebiger Zustand kann nach Spin- Basis Zuständen <math>\left| \uparrow \right\rangle ,\left| \downarrow \right\rangle </math>
zerlegt werden:
<math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}}\left| \uparrow \right\rangle +{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}}\left| \downarrow \right\rangle </math>

mit
<math>{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}</math>
In der Ortsraum- Basis mit dem Bahn- Zustand <math>\alpha =1,2</math>

In der Matrix- Darstellung des Spinraumes ergibt dies:
<math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\left( \begin{matrix}
{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
\end{matrix} \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \left( \begin{matrix}
\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
\end{matrix} \right)</math>

Mit
<math>\left( \begin{matrix}
{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
\end{matrix} \right)</math>
entsprechend 2 Spinkomponenten, also entsprechend <math>\left| \uparrow \right\rangle ,\left| \downarrow \right\rangle </math>

Die Vollständigkeit der Zustände <math>\left| \bar{r}\uparrow \right\rangle =\left| {\bar{r}} \right\rangle \left| \uparrow \right\rangle ,\left| \bar{r}\downarrow \right\rangle =\left| {\bar{r}} \right\rangle \left| \downarrow \right\rangle </math>

folgt aus:
<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\{ \left| \bar{r}\uparrow \right\rangle \left\langle \bar{r}\uparrow \right|+\left| \bar{r}\downarrow \right\rangle \left\langle \bar{r}\downarrow \right| \right\}}=1\quad \in {{H}_{B}}\times {{H}_{S}}</math>

Weiter:
<math>\begin{align}
& \left\langle \bar{r}\uparrow \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
& \left\langle \bar{r}\downarrow \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
\end{align}</math>
Also die Komponenten von <math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>
am Ort <math>\bar{r}</math>
, einmal die Komponente mit Spin <math>\uparrow </math>
und einmal die Komponente mit Spin <math>\downarrow </math>
. Dabei gilt:
{{#ask:[[Kategorie:Mechanik]] [[Abschnitt::0]]
|format=ol
|order=ASC
|sort=Kapitel
|offset=0
|limit=20
}} entspricht der Wahrscheinlichkeit, das Elektron zur Zeit t bei <math>\bar{r}</math>
mit Spin <math>\uparrow </math>
bzw. Spin <math>\downarrow </math>
zu finden.
<u>'''Schrödingergleichung im Spin- Bahn- Raum'''</u>
Hamilton- Operator für Bahn:
<math>{{\hat{H}}_{B}}=\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r)</math>
Elektron mit Ladung e<0
Wirkt alleine im Hilbertraum <math>{{H}_{B}}</math>

Hamilton- Operator für Spin:
<math>\begin{align}
& {{{\hat{H}}}_{S}}=-\hbar {{\omega }_{l}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\
& {{\omega }_{l}}=\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}} \\
\end{align}</math>

<math>{{\hat{H}}_{S}}</math>
wirkt dabei nur im Hilbertraum <math>{{H}_{S}}</math>

Ohne Berücksichtigung von <math>{{\hat{H}}_{S}}</math>
:
<math>\begin{align}
& {{{\hat{H}}}_{B}}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}} \\
& \alpha =1,2 \\
\end{align}</math>

Also haben wir je nach Spinzustand schon 2 Schrödingergleichungen in <math>{{H}_{B}}</math>
:
Es gilt (äquivalente Darstellung):
<math>\begin{align}
& {{{\hat{H}}}_{B}}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}\Leftrightarrow \left( {{{\hat{H}}}_{B}}\times 1 \right){{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \\
& \alpha =1,2 \\
\end{align}</math>

Dabei
<math>1</math>
= Einsoperator im Spinraum -> Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im Spinraum: <math>1=\left( \begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{matrix} \right)</math>

MIT Berücksichtigung von <math>{{\hat{H}}_{S}}</math>
:
<math>\left( {{{\hat{H}}}_{B}}\times 1+{{{\hat{H}}}_{S}} \right){{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>

In Matrix- Darstellung:
<math>\begin{align}
& \left( \begin{matrix}
{{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}+\hbar {{\omega }_{l}} & 0 \\
0 & {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}-\hbar {{\omega }_{l}} \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
\end{matrix} \right)=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left( \begin{matrix}
{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
\end{matrix} \right) \\
& \Leftrightarrow \left( {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}+\hbar {{\omega }_{l}} \right){{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
& \left( {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}-\hbar {{\omega }_{l}} \right){{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
\end{align}</math>
PAULI- GLEICHUNG
'''Anwendung'''
- einfacher Zeeman- Effekt mit Spin. 1 Elektron im kugelsymmetrischen Potenzial ( Kern (H)oder Atomrumpf(Na)) und homogenen Magnetfeld <math>\bar{B}=B{{\bar{e}}_{3}}</math>

<math>\hat{H}={{\hat{H}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[ \frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}</math>

Dabei wird durch <math>{{\hat{H}}_{B}}\times 1</math>
der Bahndrehimpuls Hamiltonian durch den Spinraum erweitert.
<math>\begin{align}
& \hat{H}={{{\hat{H}}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[ \frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\
& \hat{H}\cong \left[ \frac{{{{\bar{p}}}^{2}}}{2{{m}_{0}}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\hat{L}}}_{3}}\times 1+\hbar {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right) \\
& \frac{{{{\bar{p}}}^{2}}}{2{{m}_{0}}}+V(r)={{H}_{0}} \\
& {{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle ={{E}_{nl}}\left| nlm \right\rangle \\
\end{align}</math>

Wie man sieht bekommt man durch den Korrekturterm <math>\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\hat{L}}}_{3}}\times 1+\hbar {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right)</math>
eine Korrektur an die Energie.
'''Für B=0 -> Eigenzustände mit Spin'''
<math>\left( {{H}_{0}}\times 1 \right)\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{E}_{nl}}\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle </math>

Insgesamt <math>2\left( 2l+1 \right)</math>
fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung
<math>B\ne 0</math>

<math>\begin{align}
& \hat{H}\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle -\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left\{ \left( {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle \right)\left| {{m}_{s}} \right\rangle +\hbar \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle \right)\left| nlm \right\rangle \right\} \\
& {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle =\hbar m\left| nlm \right\rangle \\
& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle =2{{m}_{S}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle \\
& {{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle -\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left\{ \left( {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle \right)\left| {{m}_{s}} \right\rangle +\hbar \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle \right)\left| nlm \right\rangle \right\}=\left[ {{E}_{nl}}-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}\left( m+2{{m}_{s}} \right) \right]\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle \\
\end{align}</math>

Das bedeutet:
teilweise Aufhebung der <math>2(2l+1)</math>
- fachen Entartung
( sogenannter Anomaler Zeemann- Effekt !)
<math>E={{E}_{nl}}-{{\mu }_{B}}B\left( m+2{{m}_{s}} \right)</math>

Dies gilt für PARAMAGNETISCHE Atome mit magnetischem Moment
<math>{{\mu }_{3}}={{\mu }_{B}}\left( m+2{{m}_{s}} \right)</math>

Dabei entspricht
<math>2</math>
vor ms dem gyromagnetischen Verhältnis, kommt also wegen dem Landé- Faktor g=2, auch wenn dieser leicht von 2 verschieden ist ! ( Siehe oben).
Für dieses Beispiel wird die Energieverschiebung linear zu B am besten in Einheiten von <math>{{\mu }_{B}}</math>
angegeben. s und p - Orbital lassen sich folgendermaßen in einem sogenannten Termschema skizzieren ( für den anomalen Zeemann- Effekt ):
Das heißt: die m- Entartung, die ohne Spin vollständig aufgehoben wurde, ist jetzt nur noch teilweise aufgehoben !
Da die Aufhebung der Spin- Entartung die Energiezustände wieder so " weiterrückt", dass vorher getrennte wieder zusammenfallen !
'''Tabelle: Landé- Faktoren'''
'''Teilchen''' '''s''' '''g''' '''Q'''
'''Elektron''' '''1/2''' '''2''' '''-e'''
'''Proton''' '''1/2''' '''5,59''' '''e'''
'''Neutron''' '''1/2''' '''-3,83''' '''0'''
'''Neutrino''' '''1/2''' '''0''' '''0'''
'''Photon''' '''1''' '''0''' '''0'''