Drehimpuls- Eigenzustände - Versionsgeschichte

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2010-09-12T22:38:53Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (6), ( → ( (4)

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:38 Uhr
Zeile 63:		Zeile 63:

	und <math>{{\hat{L}}^{2}}</math>		und <math>{{\hat{L}}^{2}}</math>
			.

	.

	'''Definition von Leiteroperatoren (vergl. harmonischer Oszi):<math>'''\begin{align}		'''Definition von Leiteroperatoren (vergl. harmonischer Oszi):<math>'''\begin{align}
Zeile 140:		Zeile 140:
	Nun:		Nun:

	Wir suchen einen vollständigen Satz von vertauschbaren. Observablen ( nötig für Quantisierung → Quantisierungsbedingung entspricht Kommutatoren, wir brauchen aber möglichst viele Größen, deren Kommutator verschwindet.). Ziel: Maximalmessung ermöglichen !		Wir suchen einen vollständigen Satz von vertauschbaren. Observablen (nötig für Quantisierung → Quantisierungsbedingung entspricht Kommutatoren, wir brauchen aber möglichst viele Größen, deren Kommutator verschwindet.). Ziel: Maximalmessung ermöglichen!

	Aber: <math>{{\hat{L}}_{1}},{{\hat{L}}_{2}}</math>		Aber: <math>{{\hat{L}}_{1}},{{\hat{L}}_{2}}</math>
Zeile 147:		Zeile 147:

	bekommt man dagegen dann einen Ersatz für <math>{{\hat{L}}_{1}},{{\hat{L}}_{2}}</math>		bekommt man dagegen dann einen Ersatz für <math>{{\hat{L}}_{1}},{{\hat{L}}_{2}}</math>
			,
			der mit <math>{{\hat{L}}^{2}}</math>

	~~, der mit <math>{{\hat{L}}^{2}}</math>~~		vertauscht. Man hat also wieder einen vollständigen Satz von Observablen)(hinsichtlich des Drehimpulsproblems) (3 Stück, entsprechend der drei nötigen Angaben für die drei Komponenten des Drehimpulsvektors! im Dreidimensionalen. Diesmal vertauscht jedoch alles!

	vertauscht. Man hat also wieder einen vollständigen Satz von Observablen)( hinsichtlich des Drehimpulsproblems) ( 3 Stück, entsprechend der drei nötigen Angaben für die drei Komponenten des Drehimpulsvektors ! im Dreidimensionalen. Diesmal vertauscht jedoch alles !

	Allerdings sind <math>{{\hat{L}}_{+}},{{\hat{L}}_{-}}</math>		Allerdings sind <math>{{\hat{L}}_{+}},{{\hat{L}}_{-}}</math>
Zeile 159:		Zeile 159:

	und <math>{{\hat{L}}_{3}}</math>		und <math>{{\hat{L}}_{3}}</math>
			,
			wobei die Komponente selbst willkürlich ist. Hier wählen wir die dritte aus.

	~~, wobei die Komponente selbst willkürlich ist. Hier wählen wir die dritte aus.~~		Wir können das System also über zwei Quantenzahlen charakterisieren!

	Wir können das System also über zwei Quantenzahlen charakterisieren !

	====Eigenwerte und Eigenzustände====		====Eigenwerte und Eigenzustände====
Zeile 236:		Zeile 236:

	um <math>\hbar </math>		um <math>\hbar </math>
			.

	.

	→ wir bekommen hier Informationen, indem wir Produkte aus Operatoren auf unsere formalen Eigenzustände wirken lassen. Dieses Vorgehen ist sehr typisch, kann man sich mal merken !		→ wir bekommen hier Informationen, indem wir Produkte aus Operatoren auf unsere formalen Eigenzustände wirken lassen. Dieses Vorgehen ist sehr typisch, kann man sich mal merken!

	Die n- bzw. m- malige Anwendung bei festem <math>{{b}_{0}}</math>		Die n- bzw. m- malige Anwendung bei festem <math>{{b}_{0}}</math>
Zeile 362:		Zeile 362:

	erhöhen bzw. erniedrigen, ist also eine Konsequenz aus dem Kommutator <math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\hat{L}}_{l}}</math>		erhöhen bzw. erniedrigen, ist also eine Konsequenz aus dem Kommutator <math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\hat{L}}_{l}}</math>
			,
	, besser, wegen dem zyklischen Anspruch an j,k,l:<math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{L}}_{l}}</math>		besser, wegen dem zyklischen Anspruch an j,k,l:<math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{L}}_{l}}</math>
			.
	. Der wurde nämlich oben mit eingesetzt um die Eigenwertprobleme zu bestimmen. ( siehe oben).		Der wurde nämlich oben mit eingesetzt um die Eigenwertprobleme zu bestimmen. (siehe oben).

	Also bedingt der Kommutator <math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{L}}_{l}}</math>		Also bedingt der Kommutator <math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{L}}_{l}}</math>
Zeile 416:		Zeile 416:
	soll berechnet werden		soll berechnet werden

	'''Nebenbemerkung: ''' Die Drehimpulsquantisierung ist eine Folge der Nichtvertauschbarkeit der einzelnen Komponenten des Drehimpulses !		'''Nebenbemerkung: ''' Die Drehimpulsquantisierung ist eine Folge der Nichtvertauschbarkeit der einzelnen Komponenten des Drehimpulses!

*>SchuBot: Pfeile einfügen, replaced: -> → → (6)

2010-09-12T20:01:36Z

Pfeile einfügen, replaced: -> → → (6)

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Zeile 140:		Zeile 140:
	Nun:		Nun:

	Wir suchen einen vollständigen Satz von vertauschbaren. Observablen ( nötig für Quantisierung -> Quantisierungsbedingung entspricht Kommutatoren, wir brauchen aber möglichst viele Größen, deren Kommutator verschwindet.). Ziel: Maximalmessung ermöglichen !		Wir suchen einen vollständigen Satz von vertauschbaren. Observablen ( nötig für Quantisierung → Quantisierungsbedingung entspricht Kommutatoren, wir brauchen aber möglichst viele Größen, deren Kommutator verschwindet.). Ziel: Maximalmessung ermöglichen !

	Aber: <math>{{\hat{L}}_{1}},{{\hat{L}}_{2}}</math>		Aber: <math>{{\hat{L}}_{1}},{{\hat{L}}_{2}}</math>
Zeile 239:		Zeile 239:
	.		.

	-> wir bekommen hier Informationen, indem wir Produkte aus Operatoren auf unsere formalen Eigenzustände wirken lassen. Dieses Vorgehen ist sehr typisch, kann man sich mal merken !		→ wir bekommen hier Informationen, indem wir Produkte aus Operatoren auf unsere formalen Eigenzustände wirken lassen. Dieses Vorgehen ist sehr typisch, kann man sich mal merken !

	Die n- bzw. m- malige Anwendung bei festem <math>{{b}_{0}}</math>		Die n- bzw. m- malige Anwendung bei festem <math>{{b}_{0}}</math>
Zeile 331:		Zeile 331:
	mit <math>m=-l,-l+1,-l+2,...,l-2,l-1,l</math>		mit <math>m=-l,-l+1,-l+2,...,l-2,l-1,l</math>

	m=-l -> gehört zu bmin		m=-l → gehört zu bmin

	m=+l -> gehört zu b max		m=+l → gehört zu b max

	Es können keine weiteren Eigenwerte von <math>{{\hat{L}}_{3}}</math>		Es können keine weiteren Eigenwerte von <math>{{\hat{L}}_{3}}</math>
Zeile 406:		Zeile 406:
	<u>'''Darstellung der Richtungsquantisierung:'''</u>		<u>'''Darstellung der Richtungsquantisierung:'''</u>

	<u>'''m=1/2 '''-> </u>Der Drehimpuls steht parallel zur x3- Achse		<u>'''m=1/2 '''→ </u>Der Drehimpuls steht parallel zur x3- Achse

	m=-1/2 -> der Drehimpuls steht antiparallel zur x3- Achse		m=-1/2 → der Drehimpuls steht antiparallel zur x3- Achse

	Zur Übung ist zu zeigen:<math>\left\langle l,m \right\|{{\hat{L}}_{i}}\left\| l,m \right\rangle =0</math>		Zur Übung ist zu zeigen:<math>\left\langle l,m \right\|{{\hat{L}}_{i}}\left\| l,m \right\rangle =0</math>

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:38:03Z

Einrückungen Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 16:38 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:
	In Komponenten:<math>{{\hat{L}}_{j}}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{r}}_{k}}{{\hat{p}}_{l}}</math>		In Komponenten:<math>{{\hat{L}}_{j}}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{r}}_{k}}{{\hat{p}}_{l}}</math>

	<math>\hat{\bar{L}}=\hat{\bar{r}}\times \hat{\bar{p}}</math>		:<math>\hat{\bar{L}}=\hat{\bar{r}}\times \hat{\bar{p}}</math>

	ist hermitesch:<math>{{\hat{L}}_{j}}^{+}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\left( {{{\hat{r}}}_{k}}{{{\hat{p}}}_{l}} \right)}^{+}}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{p}}_{l}}^{+}{{\hat{r}}_{k}}^{+}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{p}}_{l}}{{\hat{r}}_{k}}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{r}}_{k}}{{\hat{p}}_{l}}</math>		ist hermitesch:<math>{{\hat{L}}_{j}}^{+}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\left( {{{\hat{r}}}_{k}}{{{\hat{p}}}_{l}} \right)}^{+}}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{p}}_{l}}^{+}{{\hat{r}}_{k}}^{+}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{p}}_{l}}{{\hat{r}}_{k}}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{r}}_{k}}{{\hat{p}}_{l}}</math>
Zeile 11:		Zeile 11:
	<u>'''Vertauschungs- Relationen:'''</u>		<u>'''Vertauschungs- Relationen:'''</u>

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \left[ {{{\hat{L}}}_{1}},{{{\hat{L}}}_{2}} \right]=\left[ \left( {{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}-{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}} \right),\left( {{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}-{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}} \right) \right]={{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}-{{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}}-{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}+{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}}{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}}-{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}+{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}}+{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}-{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}} \\		& \left[ {{{\hat{L}}}_{1}},{{{\hat{L}}}_{2}} \right]=\left[ \left( {{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}-{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}} \right),\left( {{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}-{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}} \right) \right]={{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}-{{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}}-{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}+{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}}{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}}-{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}+{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}}+{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}-{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}} \\
	& ={{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}-{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}}+{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}}{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}}-{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}={{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}-{{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}+{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}}-{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}} \\		& ={{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}-{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}}+{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}}{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}}-{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}={{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}-{{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}+{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}}-{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}} \\
Zeile 86:		Zeile 86:
	'''Vertauschungsrelationen<math>'''\left[ {{{\hat{L}}}_{+}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}_{1}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]+i\left[ {{{\hat{L}}}_{2}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=-i\hbar {{\hat{L}}_{2}}-\hbar {{\hat{L}}_{1}}=-\hbar \left( {{{\hat{L}}}_{1}}+i{{{\hat{L}}}_{2}} \right)</math>		'''Vertauschungsrelationen<math>'''\left[ {{{\hat{L}}}_{+}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}_{1}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]+i\left[ {{{\hat{L}}}_{2}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=-i\hbar {{\hat{L}}_{2}}-\hbar {{\hat{L}}_{1}}=-\hbar \left( {{{\hat{L}}}_{1}}+i{{{\hat{L}}}_{2}} \right)</math>

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \left[ {{{\hat{L}}}_{+}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=-\hbar {{{\hat{L}}}_{+}} \\		& \left[ {{{\hat{L}}}_{+}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=-\hbar {{{\hat{L}}}_{+}} \\
Zeile 134:		Zeile 134:
	:		:

	<math>{{\hat{L}}^{2}}={{\hat{L}}_{1}}^{2}+{{\hat{L}}_{2}}^{2}+{{\hat{L}}_{3}}^{2}={{\hat{L}}_{3}}^{2}+{{\hat{L}}_{+}}{{\hat{L}}_{-}}-\hbar {{\hat{L}}_{3}}</math>		:<math>{{\hat{L}}^{2}}={{\hat{L}}_{1}}^{2}+{{\hat{L}}_{2}}^{2}+{{\hat{L}}_{3}}^{2}={{\hat{L}}_{3}}^{2}+{{\hat{L}}_{+}}{{\hat{L}}_{-}}-\hbar {{\hat{L}}_{3}}</math>

	Warum ?		Warum ?
Zeile 173:		Zeile 173:
	gehorchen den Eigenwertgleichungen<math>{{\hat{L}}^{2}}\left\| a,b \right\rangle =a\left\| a,b \right\rangle </math>		gehorchen den Eigenwertgleichungen<math>{{\hat{L}}^{2}}\left\| a,b \right\rangle =a\left\| a,b \right\rangle </math>

	<math>{{\hat{L}}_{3}}\left\| a,b \right\rangle =b\left\| a,b \right\rangle </math>		:<math>{{\hat{L}}_{3}}\left\| a,b \right\rangle =b\left\| a,b \right\rangle </math>

	Prinzipiell: Für alle Observablen müssen wir Quantenzahlen einführen. Zum formalen Vorgehen schreibt man diese Quantenzahlen einfach in einen Zustandsvektor. Diese Quantenzahlen sind Eigenwerte der Observablen, also mögliche Messwerte. Unser formaler Zustand aus Quantenzahlen ist per Definition ein Eigenvektor zu diesen Quantenzahlen.		Prinzipiell: Für alle Observablen müssen wir Quantenzahlen einführen. Zum formalen Vorgehen schreibt man diese Quantenzahlen einfach in einen Zustandsvektor. Diese Quantenzahlen sind Eigenwerte der Observablen, also mögliche Messwerte. Unser formaler Zustand aus Quantenzahlen ist per Definition ein Eigenvektor zu diesen Quantenzahlen.
Zeile 382:		Zeile 382:
	'''0'''		'''0'''
	'''0'''		'''0'''
	<math>\frac{1}{2}</math>		:<math>\frac{1}{2}</math>
	<math>\hbar \sqrt{\frac{3}{4}}</math>		<math>\hbar \sqrt{\frac{3}{4}}</math>
	<math>-\frac{1}{2},+\frac{1}{2}</math>		<math>-\frac{1}{2},+\frac{1}{2}</math>
Zeile 390:		Zeile 390:
	<math>-1,0,1</math>		<math>-1,0,1</math>

	<math>\frac{3}{2}</math>		:<math>\frac{3}{2}</math>
	<math>\hbar \sqrt{\frac{15}{4}}</math>		<math>\hbar \sqrt{\frac{15}{4}}</math>
	<math>-\frac{3}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2}</math>		<math>-\frac{3}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2}</math>

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& {{{\hat{L}}}^{2}}\left\| l,m \right\rangle ={{\hbar }^{2}}l(l+1)\left\| l,m \right\rangle \\		& {{{\hat{L}}}^{2}}\left\| l,m \right\rangle ={{\hbar }^{2}}l(l+1)\left\| l,m \right\rangle \\

Schubotz am 7. September 2010 um 22:18 Uhr

2010-09-07T22:18:59Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. September 2010, 00:18 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|3\|1}}		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|3\|1}}</noinclude>

	Drehimpulsoperator:<math>\hat{\bar{L}}=\hat{\bar{r}}\times \hat{\bar{p}}</math>		Drehimpulsoperator:<math>\hat{\bar{L}}=\hat{\bar{r}}\times \hat{\bar{p}}</math>

Schubotz am 24. August 2010 um 16:14 Uhr

2010-08-24T16:14:57Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. August 2010, 18:14 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:
	<u>'''Vertauschungs- Relationen:'''</u>		<u>'''Vertauschungs- Relationen:'''</u>

			<math>\begin{align}
			& \left[ {{{\hat{L}}}_{1}},{{{\hat{L}}}_{2}} \right]=\left[ \left( {{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}-{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}} \right),\left( {{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}-{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}} \right) \right]={{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}-{{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}}-{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}+{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}}{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}}-{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}+{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}}+{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}-{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}} \\
			& ={{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}-{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}}+{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}}{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}}-{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}={{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}-{{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}+{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}}-{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}} \\
			& ={{{\hat{r}}}_{2}}\left[ {{{\hat{p}}}_{3}},{{{\hat{r}}}_{3}} \right]{{{\hat{p}}}_{1}}+{{{\hat{r}}}_{1}}\left[ {{{\hat{r}}}_{3}},{{{\hat{p}}}_{3}} \right]{{{\hat{p}}}_{2}}=\frac{\hbar }{i}{{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{1}}-\frac{\hbar }{i}{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{2}}=i\hbar {{{\hat{L}}}_{3}} \\
			\end{align}</math>


	Allgemein: <math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\hat{L}}_{l}}</math>		Allgemein: <math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\hat{L}}_{l}}</math>

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|3|1}} Drehimpulsoperator: $\hat{\bar{L}}=\hat{\bar{r}}\times \hat{\bar{p}}$ In Komponenten: ${{\hat{L}}_{j}}={{\va…“$

2010-08-24T16:11:43Z

Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|3|1}} Drehimpulsoperator:<math>\hat{\bar{L}}=\hat{\bar{r}}\times \hat{\bar{p}}</math> In Komponenten:<math>{{\hat{L}}_{j}}={{\va…“

Neue Seite

{{Scripthinweis|Quantenmechanik|3|1}}

Drehimpulsoperator:<math>\hat{\bar{L}}=\hat{\bar{r}}\times \hat{\bar{p}}</math>

In Komponenten:<math>{{\hat{L}}_{j}}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{r}}_{k}}{{\hat{p}}_{l}}</math>

<math>\hat{\bar{L}}=\hat{\bar{r}}\times \hat{\bar{p}}</math>

ist hermitesch:<math>{{\hat{L}}_{j}}^{+}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\left( {{{\hat{r}}}_{k}}{{{\hat{p}}}_{l}} \right)}^{+}}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{p}}_{l}}^{+}{{\hat{r}}_{k}}^{+}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{p}}_{l}}{{\hat{r}}_{k}}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{r}}_{k}}{{\hat{p}}_{l}}</math>

'''Vertauschungs- Relationen:'''

Allgemein: <math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\hat{L}}_{l}}</math>

mit (jkl) zyklisch<math>\begin{align}

& {{{\hat{L}}}_{1}}{{{\hat{L}}}_{2}}-{{{\hat{L}}}_{2}}{{{\hat{L}}}_{1}}=i\hbar {{{\hat{L}}}_{3}} \\

& {{{\hat{L}}}_{2}}{{{\hat{L}}}_{3}}-{{{\hat{L}}}_{3}}{{{\hat{L}}}_{2}}=i\hbar {{{\hat{L}}}_{1}} \\

& {{{\hat{L}}}_{3}}{{{\hat{L}}}_{1}}-{{{\hat{L}}}_{1}}{{{\hat{L}}}_{3}}=i\hbar {{{\hat{L}}}_{2}} \\

& \to \hat{L}\times \hat{L}=i\hbar \hat{L} \\

\end{align}</math>

Schreibt man dies mit dem Epsilon- Tensor, so gilt einfacher:<math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\hat{L}}_{l}}</math>

mit (jkl) zyklisch<math>\begin{align}

& \Rightarrow {{\varepsilon }_{jkl}}{{{\hat{L}}}_{j}}{{{\hat{L}}}_{k}}=i\hbar {{{\hat{L}}}_{l}} \\

& \Rightarrow {{\left( \hat{L}\times \hat{L} \right)}_{l}}=i\hbar {{{\hat{L}}}_{l}}\Rightarrow \hat{L}\times \hat{L}=i\hbar \hat{L} \\

\end{align}</math>

Wegen <math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\hat{L}}_{l}}</math>

also kann es keine gemeinsamen Eigenvektoren zu je zwei Drehimpulskomponenten geben.

Aber:<math>\left[ {{{\hat{L}}}^{2}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=0</math>

für k = 1,2,3

'''Beweis: Übung'''

'''Merke:<math>'''\begin{align}

& \left[ {{{\hat{L}}}^{2}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}_{1}}^{2}+{{{\hat{L}}}_{2}}^{2}+{{{\hat{L}}}_{3}}^{2},{{{\hat{L}}}_{k}} \right] \\

& \left[ {{{\hat{L}}}_{1}}^{2},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]={{{\hat{L}}}_{1}}\left[ {{{\hat{L}}}_{1}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]+\left[ {{{\hat{L}}}_{1}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]{{{\hat{L}}}_{1}} \\

\end{align}</math>

Es gibt also gemeinsame Eigenvektoren zu EINEM Lk, konventionshalber <math>{{\hat{L}}_{3}}</math>

und <math>{{\hat{L}}^{2}}</math>

.

'''Definition von Leiteroperatoren (vergl. harmonischer Oszi):<math>'''\begin{align}

& {{{\hat{L}}}_{+}}:={{{\hat{L}}}_{1}}+i{{{\hat{L}}}_{2}} \\

& {{{\hat{L}}}_{-}}:={{{\hat{L}}}_{1}}-i{{{\hat{L}}}_{2}} \\

\end{align}</math>

nicht hermitesch

Es gilt vielmehr:<math>\begin{align}

& {{\left( {{{\hat{L}}}_{+}} \right)}^{+}}={{{\hat{L}}}_{-}} \\

& {{\left( {{{\hat{L}}}_{-}} \right)}^{+}}={{{\hat{L}}}_{+}} \\

\end{align}</math>

'''Vertauschungsrelationen<math>'''\left[ {{{\hat{L}}}_{+}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}_{1}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]+i\left[ {{{\hat{L}}}_{2}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=-i\hbar {{\hat{L}}_{2}}-\hbar {{\hat{L}}_{1}}=-\hbar \left( {{{\hat{L}}}_{1}}+i{{{\hat{L}}}_{2}} \right)</math>

<math>\begin{align}

& \left[ {{{\hat{L}}}_{+}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=-\hbar {{{\hat{L}}}_{+}} \\

& \left[ {{{\hat{L}}}_{-}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=\hbar {{{\hat{L}}}_{-}} \\

\end{align}</math>

L+- Form und adjungierte Form.

Auch dies kann verallgemeinert werden:<math>\begin{align}

& \left[ {{\left( {{{\hat{L}}}_{+}} \right)}^{n}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=-n\hbar {{\left( {{{\hat{L}}}_{+}} \right)}^{n}} \\

& \left[ {{\left( {{{\hat{L}}}_{-}} \right)}^{n}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=n\hbar {{\left( {{{\hat{L}}}_{-}} \right)}^{n}} \\

\end{align}</math>

Beweis: Durch vollständige Induktion:

Für n = 1 gezeigt. Sei es nun richtig für ein n größer/gleich 1

Dann:<math>\left[ {{\left( {{{\hat{L}}}_{+}} \right)}^{n+1}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]={{\left( {{{\hat{L}}}_{+}} \right)}^{n}}\left[ \left( {{{\hat{L}}}_{+}} \right),{{{\hat{L}}}_{3}} \right]+\left[ {{\left( {{{\hat{L}}}_{+}} \right)}^{n}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]\left( {{{\hat{L}}}_{+}} \right)={{\left( {{{\hat{L}}}_{+}} \right)}^{n}}\left( -\hbar \left( {{{\hat{L}}}_{+}} \right) \right)-n\hbar {{\left( {{{\hat{L}}}_{+}} \right)}^{n}}{{\hat{L}}_{+}}=-(n+1)\hbar {{\left( {{{\hat{L}}}_{+}} \right)}^{n+1}}</math>

'''Weiter gilt:<math>'''\begin{align}

& {{{\hat{L}}}_{+}}{{{\hat{L}}}_{-}}=\left( {{{\hat{L}}}_{1}}+i{{{\hat{L}}}_{2}} \right)\left( {{{\hat{L}}}_{1}}-i{{{\hat{L}}}_{2}} \right)={{{\hat{L}}}_{1}}^{2}+{{{\hat{L}}}_{2}}^{2}-i\left[ {{{\hat{L}}}_{1}},{{{\hat{L}}}_{2}} \right]={{{\hat{L}}}^{2}}-{{{\hat{L}}}_{3}}^{2}+\hbar {{{\hat{L}}}_{3}} \\

& {{{\hat{L}}}_{-}}{{{\hat{L}}}_{+}}={{{\hat{L}}}_{1}}^{2}+{{{\hat{L}}}_{2}}^{2}+i\left[ {{{\hat{L}}}_{1}},{{{\hat{L}}}_{2}} \right]={{{\hat{L}}}^{2}}-{{{\hat{L}}}_{3}}^{2}-\hbar {{{\hat{L}}}_{3}} \\

& \to \left[ {{{\hat{L}}}_{+}},{{{\hat{L}}}_{-}} \right]=2\hbar {{{\hat{L}}}_{3}} \\

& \left[ {{{\hat{L}}}^{2}},{{{\hat{L}}}_{+}} \right]=0 \\

& \left[ {{{\hat{L}}}^{2}},{{{\hat{L}}}_{-}} \right]=0 \\

\end{align}</math>

Mittels <math>{{\hat{L}}_{+}},{{\hat{L}}_{-}}</math>

gelingt die Zerlegung von <math>{{\hat{L}}^{2}}</math>

in mit<math>{{\hat{L}}^{2}}</math>

vertauschbare Operatoren <math>{{\hat{L}}_{3}},{{\hat{L}}_{+}},{{\hat{L}}_{-}}</math>

:

<math>{{\hat{L}}^{2}}={{\hat{L}}_{1}}^{2}+{{\hat{L}}_{2}}^{2}+{{\hat{L}}_{3}}^{2}={{\hat{L}}_{3}}^{2}+{{\hat{L}}_{+}}{{\hat{L}}_{-}}-\hbar {{\hat{L}}_{3}}</math>

Warum ?

Nun:

Wir suchen einen vollständigen Satz von vertauschbaren. Observablen ( nötig für Quantisierung -> Quantisierungsbedingung entspricht Kommutatoren, wir brauchen aber möglichst viele Größen, deren Kommutator verschwindet.). Ziel: Maximalmessung ermöglichen !

Aber: <math>{{\hat{L}}_{1}},{{\hat{L}}_{2}}</math>

scheiden aus. Mittels <math>{{\hat{L}}_{+}},{{\hat{L}}_{-}}</math>

bekommt man dagegen dann einen Ersatz für <math>{{\hat{L}}_{1}},{{\hat{L}}_{2}}</math>

, der mit <math>{{\hat{L}}^{2}}</math>

vertauscht. Man hat also wieder einen vollständigen Satz von Observablen)( hinsichtlich des Drehimpulsproblems) ( 3 Stück, entsprechend der drei nötigen Angaben für die drei Komponenten des Drehimpulsvektors ! im Dreidimensionalen. Diesmal vertauscht jedoch alles !

Allerdings sind <math>{{\hat{L}}_{+}},{{\hat{L}}_{-}}</math>

keine Observablen, sondern die Erzeugenden für höhere Drehimpulszustände.

Die möglichen Observablen sind <math>{{\hat{L}}^{2}}</math>

und <math>{{\hat{L}}_{3}}</math>

, wobei die Komponente selbst willkürlich ist. Hier wählen wir die dritte aus.

Wir können das System also über zwei Quantenzahlen charakterisieren !

====Eigenwerte und Eigenzustände====
Die gemeinsamen normierten Eigenvektoren <math>\left| a,b \right\rangle </math>

von <math>{{\hat{L}}^{2}}</math>

und <math>{{\hat{L}}_{3}}</math>

gehorchen den Eigenwertgleichungen<math>{{\hat{L}}^{2}}\left| a,b \right\rangle =a\left| a,b \right\rangle </math>

<math>{{\hat{L}}_{3}}\left| a,b \right\rangle =b\left| a,b \right\rangle </math>

Prinzipiell: Für alle Observablen müssen wir Quantenzahlen einführen. Zum formalen Vorgehen schreibt man diese Quantenzahlen einfach in einen Zustandsvektor. Diese Quantenzahlen sind Eigenwerte der Observablen, also mögliche Messwerte. Unser formaler Zustand aus Quantenzahlen ist per Definition ein Eigenvektor zu diesen Quantenzahlen.

Dann muss man nur noch Bedingungen finden, die aus der Eigenwertgleichung Information liefern, die herangezogen werden kann, um die Quantenzahlen einzuschränken bzw. zu bestimmen.

Bei uns gilt:

Da <math>\hat{L}</math>

hermitesch ist, gilt:<math>\begin{align}

& a=\left\langle a,b \right|{{{\hat{L}}}^{2}}\left| a,b \right\rangle =\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}\left\langle a,b \right|{{{\hat{L}}}_{i}}^{+}{{{\hat{L}}}_{i}}\left| a,b \right\rangle \\

& \left\langle a,b \right|{{{\hat{L}}}_{i}}^{+}{{{\hat{L}}}_{i}}\left| a,b \right\rangle :=\left\langle \Phi | \Phi \right\rangle \ge 0 \\

& a=\left\langle a,b \right|{{{\hat{L}}}^{2}}\left| a,b \right\rangle =\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}\left\langle a,b \right|{{{\hat{L}}}_{i}}^{+}{{{\hat{L}}}_{i}}\left| a,b \right\rangle \ge \left\langle a,b \right|{{{\hat{L}}}_{3}}^{2}\left| a,b \right\rangle \ge 0 \\

& \left\langle a,b \right|{{{\hat{L}}}_{3}}^{2}\left| a,b \right\rangle ={{b}^{2}} \\

& \to a\ge {{b}^{2}}\ge 0 \\

\end{align}</math>

Weiter gilt:<math>{{\hat{L}}_{\pm }}\left| a,b \right\rangle </math>

sind auch Eigenzustände zu <math>{{\hat{L}}^{2}}</math>

und<math>{{\hat{L}}_{3}}</math>

:

Vorsicht:<math>\left| a,b \right\rangle </math>

sind keine Eigenzustände zu <math>{{\hat{L}}_{\pm }}</math>

aber <math>{{\hat{L}}_{\pm }}\left| a,b \right\rangle </math>

sind Eigenzustände zu <math>{{\hat{L}}^{2}}</math>

und<math>{{\hat{L}}_{3}}</math>

:

Beweis:<math>\begin{align}

& {{{\hat{L}}}^{2}}{{{\hat{L}}}_{\pm }}\left| a,b \right\rangle ={{{\hat{L}}}_{\pm }}{{{\hat{L}}}^{2}}\left| a,b \right\rangle =a{{{\hat{L}}}_{\pm }}\left| a,b \right\rangle \\

& {{{\hat{L}}}_{3}}{{{\hat{L}}}_{\pm }}\left| a,b \right\rangle =\left( {{{\hat{L}}}_{\pm }}{{{\hat{L}}}_{3}}-\left[ {{{\hat{L}}}_{\pm }},{{{\hat{L}}}_{3}} \right] \right)\left| a,b \right\rangle \\

& \left[ {{{\hat{L}}}_{\pm }},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=\mp \hbar {{{\hat{L}}}_{\pm }} \\

& \to \left( {{{\hat{L}}}_{\pm }}{{{\hat{L}}}_{3}}-\left[ {{{\hat{L}}}_{\pm }},{{{\hat{L}}}_{3}} \right] \right)\left| a,b \right\rangle ={{{\hat{L}}}_{\pm }}\left( {{{\hat{L}}}_{3}}\pm \hbar \right)\left| a,b \right\rangle ={{{\hat{L}}}_{\pm }}\left( b\pm \hbar \right)\left| a,b \right\rangle \\

\end{align}</math>

Also:<math>{{\hat{L}}_{3}}{{\hat{L}}_{\pm }}\left| a,b \right\rangle =\left( b\pm \hbar \right){{\hat{L}}_{\pm }}\left| a,b \right\rangle </math>

Das bedeutet:<math>{{\hat{L}}_{\pm }}</math>

erhöhen/ erniedrigen den Eigenwert von <math>{{\hat{L}}_{3}}</math>

um <math>\hbar </math>

.

-> wir bekommen hier Informationen, indem wir Produkte aus Operatoren auf unsere formalen Eigenzustände wirken lassen. Dieses Vorgehen ist sehr typisch, kann man sich mal merken !

Die n- bzw. m- malige Anwendung bei festem <math>{{b}_{0}}</math>

liefert:<math>\begin{align}

& {{{\hat{L}}}_{3}}{{\left( {{{\hat{L}}}_{+}} \right)}^{n}}\left| a,{{b}_{0}} \right\rangle =\left( {{b}_{0}}+n\hbar \right){{\left( {{{\hat{L}}}_{+}} \right)}^{n}}\left| a,{{b}_{0}} \right\rangle \\

& {{{\hat{L}}}_{3}}{{\left( {{{\hat{L}}}_{-}} \right)}^{m}}\left| a,{{b}_{0}} \right\rangle =\left( {{b}_{0}}-m\hbar \right){{\left( {{{\hat{L}}}_{-}} \right)}^{m}}\left| a,{{b}_{0}} \right\rangle \\

\end{align}</math>

Das Spektrum von <math>{{\hat{L}}_{3}}</math>

ist nach oben und nach unten beschränkt:<math>\begin{align}

& a=\left\langle a,b \right|{{{\hat{L}}}^{2}}\left| a,b \right\rangle =\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}\left\langle a,b \right|{{{\hat{L}}}_{i}}^{+}{{{\hat{L}}}_{i}}\left| a,b \right\rangle \\

& \left\langle a,b \right|{{{\hat{L}}}_{i}}^{+}{{{\hat{L}}}_{i}}\left| a,b \right\rangle :=\left\langle \Phi | \Phi \right\rangle \ge 0 \\

& a=\left\langle a,b \right|{{{\hat{L}}}^{2}}\left| a,b \right\rangle =\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}\left\langle a,b \right|{{{\hat{L}}}_{i}}^{+}{{{\hat{L}}}_{i}}\left| a,b \right\rangle \ge \left\langle a,b \right|{{{\hat{L}}}_{3}}^{2}\left| a,b \right\rangle \ge 0 \\

& \left\langle a,b \right|{{{\hat{L}}}_{3}}^{2}\left| a,b \right\rangle ={{b}^{2}} \\

& \to \sqrt{a}\ge b\ge -\sqrt{a} \\

\end{align}</math>

Also existiert ein größter Eigenwert <math>{{b}_{\max }}={{b}_{0}}+{{n}_{\max }}\hbar </math>

und ein kleinster Eigenwert <math>{{b}_{\min }}={{b}_{0}}-{{m}_{\max }}\hbar </math>

mit <math>{{\hat{L}}_{+}}\left| a,{{b}_{\max }} \right\rangle ={{\hat{L}}_{-}}\left| a,{{b}_{\min }} \right\rangle =0</math>

Daraus folgt:<math>\begin{align}

& 0={{{\hat{L}}}_{-}}{{{\hat{L}}}_{+}}\left| a,{{b}_{\max }} \right\rangle =\left( {{{\hat{L}}}^{2}}-{{{\hat{L}}}_{3}}^{2}-\hbar {{{\hat{L}}}_{3}} \right)\left| a,{{b}_{\max }} \right\rangle =\left( a-{{b}_{\max }}^{2}-\hbar {{b}_{\max }} \right)\left| a,{{b}_{\max }} \right\rangle \\

& 0={{{\hat{L}}}_{+}}{{{\hat{L}}}_{-}}\left| a,{{b}_{\min }} \right\rangle =\left( {{{\hat{L}}}^{2}}-{{{\hat{L}}}_{3}}^{2}+\hbar {{{\hat{L}}}_{3}} \right)\left| a,{{b}_{\min }} \right\rangle =\left( a-{{b}_{\min }}^{2}+\hbar {{b}_{\min }} \right)\left| a,{{b}_{\min }} \right\rangle \\

\end{align}</math>

Also:<math>a={{b}_{\max }}^{2}+\hbar {{b}_{\max }}={{b}_{\min }}^{2}-\hbar {{b}_{\min }}</math>

Andererseits existiert ein <math>n\in {{N}_{0}}</math>

mit <math>\left| a,{{b}_{\max }} \right\rangle ={{\left( {{{\hat{L}}}_{+}} \right)}^{n}}\left| a,{{b}_{\min }} \right\rangle </math>

Also: <math>{{b}_{\max }}={{b}_{\min }}+n\hbar </math>

Setzt man dies in <math>a={{b}_{\max }}^{2}+\hbar {{b}_{\max }}={{b}_{\min }}^{2}-\hbar {{b}_{\min }}</math>

ein, so folgt:<math>\begin{align}

& {{b}_{\min }}^{2}+2n\hbar {{b}_{\min }}+{{n}^{2}}{{\hbar }^{2}}+\hbar \left( {{b}_{\min }}+n\hbar \right)={{b}_{\min }}^{2}-\hbar {{b}_{\min }} \\

& 2n\hbar {{b}_{\min }}+{{n}^{2}}{{\hbar }^{2}}+\hbar \left( 2{{b}_{\min }}+n\hbar \right)=0 \\

& \Rightarrow {{b}_{\min }}=-\frac{n(n+1){{\hbar }^{2}}}{2(n+1)\hbar }=-\frac{n}{2}\hbar =:-l\hbar \\

\end{align}</math>

mit <math>l:=\frac{n}{2}</math>

Somit:<math>\begin{align}

& a={{b}_{\min }}\left( {{b}_{\min }}-\hbar \right)=\left( -l \right)\left( -l-1 \right){{\hbar }^{2}} \\

& a=l(l+1){{\hbar }^{2}} \\

& {{b}_{\max }}={{b}_{\min }}+2l\hbar =l\hbar \\

\end{align}</math>

'''Mögliche Eigenwerte von '''<math>{{\hat{L}}^{2}}</math>

:<math>a=l(l+1){{\hbar }^{2}}</math>

'''<math>'''\begin{align}

& n\in N \\

& \Rightarrow l=0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},... \\

\end{align}</math>

Mögliche Eigenwerte von <math>{{\hat{L}}_{3}}</math>

für festes l:<math>b=m\hbar </math>

mit <math>m=-l,-l+1,-l+2,...,l-2,l-1,l</math>

m=-l -> gehört zu bmin

m=+l -> gehört zu b max

Es können keine weiteren Eigenwerte von <math>{{\hat{L}}_{3}}</math>

zwischen diesen Werten liegen, weil man sonst durch wiederholte Anwendung von <math>{{\hat{L}}_{+}}</math>

bzw.<math>{{\hat{L}}_{-}}</math>

die Schranken <math>\left| m \right|\le l</math>

verletzen könnte.

Zu jedem l gibt es <math>2l+1</math>

Werte von m:

Dies entspricht der energetisch gleichen <math>2l+1</math>

- fachen Richtungsentartung von <math>{{\hat{L}}^{2}}</math>

welche von außen, z.B. durch Magnetfelder, aufgehoben werden kann.

Die Tatsache, dass <math>{{\hat{L}}_{+}}</math>

bzw.<math>{{\hat{L}}_{-}}</math>

den Drehimpulseigenzustand jeweils exakt um <math>\hbar </math>

erhöhen bzw. erniedrigen, ist also eine Konsequenz aus dem Kommutator <math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\hat{L}}_{l}}</math>

, besser, wegen dem zyklischen Anspruch an j,k,l:<math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{L}}_{l}}</math>

. Der wurde nämlich oben mit eingesetzt um die Eigenwertprobleme zu bestimmen. ( siehe oben).

Also bedingt der Kommutator <math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{L}}_{l}}</math>

die Drehimpulsquantisierung.

Tabelle:

'''Quanten- zahlen'''
'''Eigenwert von <math>'''\hat{L}</math>
'''Richtungsquantenzahl m'''
'''l'''
<math>\hbar \sqrt{l\left( l+1 \right)}</math>
'''m'''
'''0'''
'''0'''
'''0'''
<math>\frac{1}{2}</math>
<math>\hbar \sqrt{\frac{3}{4}}</math>
<math>-\frac{1}{2},+\frac{1}{2}</math>

'''1'''
<math>\hbar \sqrt{2}</math>
<math>-1,0,1</math>

<math>\frac{3}{2}</math>
<math>\hbar \sqrt{\frac{15}{4}}</math>
<math>-\frac{3}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2}</math>

<math>\begin{align}

& {{{\hat{L}}}^{2}}\left| l,m \right\rangle ={{\hbar }^{2}}l(l+1)\left| l,m \right\rangle \\

& {{{\hat{L}}}_{3}}\left| l,m \right\rangle =\hbar m\left| l,m \right\rangle \\

\end{align}</math>

'''Diracsches Vektormodell:'''

'''Darstellung der Richtungsquantisierung:'''

'''m=1/2 '''-> Der Drehimpuls steht parallel zur x3- Achse

m=-1/2 -> der Drehimpuls steht antiparallel zur x3- Achse

Zur Übung ist zu zeigen:<math>\left\langle l,m \right|{{\hat{L}}_{i}}\left| l,m \right\rangle =0</math>

für i=1,2<math>\left\langle l,m \right|{{\left( {{{\hat{L}}}_{i}}-\left\langle {{{\hat{L}}}_{i}} \right\rangle \right)}^{2}}\left| l,m \right\rangle =0</math>

soll berechnet werden

'''Nebenbemerkung: ''' Die Drehimpulsquantisierung ist eine Folge der Nichtvertauschbarkeit der einzelnen Komponenten des Drehimpulses !