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2010-08-17T17:12:41Z

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==Die Hamilton- Jacobi- Theorie:==

Strategie: Suche eine kanonische Trafo, die alle Koordinaten zu zyklischen macht.

===Hamilton-Jacobische Differenzialgleichung===

Der einfachste Fall, bei dem alle Koordinaten zyklisch sind:

<math>\bar{H}\equiv 0</math>

Allgemeiner wähle man speziell als Erzeugende der kanonischen Trafo:

<math>{{M}_{2}}(\bar{q},\bar{P},t)=:S</math>

dann suchen wir die folgende Trafo:

<math>\begin{align}
& (\bar{q},\bar{p})\to \left( \bar{Q},\bar{P} \right) \\
& H(\bar{q},\bar{p},t)\to \bar{H}\left( \bar{Q},\bar{P} \right)=H+\frac{\partial S}{\partial t} \\
\end{align}</math>

mit

<math>\begin{align}
& {{p}_{k}}=\frac{\partial S}{\partial {{q}_{k}}} \\
& {{Q}_{k}}=\frac{\partial S}{\partial {{P}_{k}}} \\
\end{align}</math>

So dass:

<math>\bar{H}\left( \bar{Q},\bar{P} \right)=H\left( {{q}_{1}},...,{{q}_{f}},\frac{\partial S}{\partial {{q}_{1}}},...,\frac{\partial S}{\partial {{q}_{f}}},t \right)+\frac{\partial S}{\partial t}=0</math>

Dies ist eine Differenzialgleichung zur Bestimmung von S und der Koordinaten P und Q, die so genannte

'''Hamilton- Jacobi- Differenzialgleichung.'''

Eine nichtlineare partielle Differenzialgleichung erster Ordnung für
<math>\begin{align}
& S(\bar{q},\bar{\alpha },t) \\
& {{\alpha }_{k}}={{P}_{k}}=const. \\
\end{align}</math>

Also haben wir nur Abhängigkeit von f+1 Variablen:
<math>\bar{q},t</math>

'''Die kanonischen Gleichungen lauten:'''

<math>\begin{align}
& {{{\dot{P}}}_{k}}=-\frac{\partial H}{\partial {{Q}_{k}}}\equiv 0\Rightarrow {{P}_{k}}={{\alpha }_{k}}=cons \\
& {{{\dot{Q}}}_{k}}=\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{P}_{k}}}\equiv 0\Rightarrow {{Q}_{k}}={{\beta }_{k}}=const \\
\end{align}</math>

====Lösungsschema für die Hamilton- Jacobi DGL:====

#
<math>\begin{align}
& H(\bar{q},\bar{p},t) \\
& {{p}_{k}}=\frac{\partial S}{\partial {{q}_{k}}} \\
& H(\bar{q},\frac{\partial S}{\partial \bar{q}},t)+\frac{\partial S}{\partial t}=0\quad Ham.Jac.DGL \\
\end{align}</math>

# Lösung der Ham- Jacobi-DGL:
<math>\begin{align}
& S(\bar{q},\bar{\alpha },t) \\
& {{\alpha }_{k}}={{P}_{k}}=const. \\
\end{align}</math>

# Aus der Erzeugenden
<math>S(\bar{q},\bar{\alpha },t)</math>
folgt:

<math>{{Q}_{k}}=\frac{\partial S(\bar{q},\bar{\alpha },t)}{\partial {{\alpha }_{k}}}={{\beta }_{k}}</math>

mit der implizierten Umkehrung:

<math>{{q}_{j}}={{q}_{j}}(\bar{\alpha },\bar{\beta },t)</math>

möglich wegen

<math>\det \frac{{{\partial }^{2}}S(\bar{q},\bar{\alpha },t)}{\partial {{\alpha }_{k}}\partial {{q}_{l}}}\ne 0</math>

Somit ergeben sich f Gleichungen für q1,...qf

4.
<math>{{p}_{j}}=\frac{\partial S}{\partial {{q}_{j}}}={{p}_{j}}\left( \bar{q},\bar{\alpha },t \right)={{p}_{j}}\left( \bar{q}(\bar{\alpha },\bar{\beta }),\bar{\alpha },t \right)</math>

5. Bestimmung von
<math>\bar{\alpha },\bar{\beta }</math>
aus den Anfangsbedingungen:

In drei (3.):
<math>{{q}_{j}}(0)={{q}_{j}}(\bar{\alpha },\bar{\beta },0)</math>

In vier ( 4.):
<math>{{p}_{j}}(0)={{p}_{j}}\left( \bar{\alpha },\bar{\beta },0 \right)</math>

<math>\begin{align}
& \Rightarrow \bar{\alpha }(\bar{q}(0),\bar{p}(0)) \\
& \bar{\beta }(\bar{q}(0),\bar{p}(0)) \\
\end{align}</math>

Nach Gleichungen 3) und 4) ist damit
<math>{{q}_{j}}(t)</math>
und
<math>{{p}_{j}}(t)</math>
bestimmt

====Physikalische Bedeutung von S:====

<math>\begin{align}
& \frac{dS}{dt}=\sum\limits_{j}{{}}\frac{\partial S}{\partial {{q}_{j}}}{{{\dot{q}}}_{j}}+\frac{\partial S}{\partial t}=\sum\limits_{j}{{}}{{p}_{j}}{{{\dot{q}}}_{j}}+\frac{\partial S}{\partial t} \\
& \frac{\partial S}{\partial t}=\bar{H}-H=-H \\
& \frac{dS}{dt}=\sum\limits_{j}{{}}{{p}_{j}}{{{\dot{q}}}_{j}}-H=L \\
& \Rightarrow S=\int{Ldt} \\
\end{align}</math>

S kann somit als Wirkungsfunktional interpretiert werden.

====Beispiel: 1 dim Oszi====

1.
<math>\begin{align}
& H=\frac{{{p}^{2}}}{2m}+\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}} \\
& S(q,P,t) \\
\end{align}</math>

H als Hamiltonfunktion und S als Erzeugende der kanonischen Trafo mit
<math>\frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q}=p</math>

Hamilton- Jacobi DGL:

<math>\frac{1}{2m}\left( \frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q} \right)+\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}}+\frac{\partial S}{\partial t}=0</math>

2. Lösungsansatz:

<math>S(q,P,t)=W(q;P)+V(t;P)</math>

Dies ist als Separationsansatz nach q und t zu interpretieren. P ist ein Parameter

<math>\frac{1}{2m}{{\left( \frac{dW}{dq} \right)}^{2}}+\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}}=-\frac{dV}{dt}</math>

Dabei ist die linke Seite unabhängig von t und die rechte unabhängig von q. Die Lösung kann also nur dann für alle t und q übereinstimmen, wenn:

<math>\frac{1}{2m}{{\left( \frac{dW}{dq} \right)}^{2}}+\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}}=-\frac{dV}{dt}=\alpha \equiv const</math>

<math>V(t)=-\alpha t+{{V}_{0}}</math>

Es folgt:

<math>\begin{align}
& {{\left( \frac{dW}{dq} \right)}^{2}}={{m}^{2}}{{\omega }^{2}}\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right) \\
& W=m\omega \int{dq}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)} \\
\end{align}</math>

Also:

<math>S(q,\alpha ,t)=m\omega \int{dq}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}-\alpha t+{{V}_{0}}</math>

Da Potenziale um skalare Faktoren verschoben werden können:

<math>S(q,\alpha ,t)=m\omega \int{dq}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}-\alpha t=-\alpha t+m\omega \left[ \frac{q}{2}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}+\frac{\alpha }{m{{\omega }^{2}}}\arcsin \left( q\sqrt{\frac{m{{\omega }^{2}}}{2\left| \alpha \right|}} \right) \right]</math>
3.
<math>\begin{align}
& Q=\left( \frac{\partial S(q,P,t)}{\partial \alpha } \right)=-t+\frac{1}{\omega }\int{dq}{{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}=\beta \\
& Q=\beta =-t+\frac{1}{\omega }\arcsin \left( q\sqrt{\frac{m{{\omega }^{2}}}{2\left| \alpha \right|}} \right) \\
& \Rightarrow q=\frac{1}{\omega }\sqrt{\frac{2\alpha }{m}}\sin \left( \omega (t+\beta ) \right) \\
\end{align}</math>

Mit der Nebenbedingung, dass Q=to ( Dimension: Zeit) !

4.
<math>p=\left( \frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q} \right)=\frac{dW}{dq}=m\omega \sqrt{\frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}}}=\sqrt{2\alpha m}\cos \left( \omega (t+\beta ) \right)</math>

5. Anfangsbedingungen: t=0: p(0)=0, q(0)=q0 ungleich 0 !

<math>p(0)=0,q(0)={{q}_{0}}\ne 0</math>

<math>\begin{align}
& \Rightarrow {{q}_{0}}=\frac{1}{\omega }\sqrt{\frac{2\alpha }{m}}\sin \left( \omega (\beta ) \right) \\
& 0={{p}_{0}}=\sqrt{2\alpha m}\cos \left( \omega (\beta ) \right) \\
& \Rightarrow \beta =\frac{\pi }{2\omega }\Rightarrow {{q}_{0}}=\sqrt{\frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}} \\
& \Rightarrow \alpha =\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}_{0}}^{2}=E \\
\end{align}</math>

Alpha beschreibt also die Gesamtenergie. Physikalisch sinnvoll, da zu dieser Zeit nur potenzielle Energie vorhanden ist.

Also: P=E ( Energie) , Q= to ( Zeit) -> Energie und Zeit als neue verallgemeinerte Koordinaten bei der Transformation, die durch
<math>S(q,P,t)</math>
erzeugt wird.

'''Spezialfall:'''

Nicht explizit zeitabhängige Hamiltonfunktion H

<math>\frac{\partial H}{\partial t}=0\Leftrightarrow \frac{dH}{dt}=\left\{ H,H \right\}=0</math>
H ist dann Integral der Bewegung

Hamilton- Jacobi DGL:

<math>H(\bar{q},\frac{\partial S}{\partial {{q}_{1}}},...,\frac{\partial S}{\partial {{q}_{f}}})+\frac{\partial S}{\partial t}=0</math>

Lösungsansatz:

<math>S(\bar{q},\bar{P},t)=W(\bar{q};\bar{P})-Et</math>

Somit folgt:

<math>H(\bar{q},\frac{\partial W}{\partial {{q}_{1}}},...,\frac{\partial W}{\partial {{q}_{f}}})=E</math>
Energie bei skleronomen Zwangsbedingungen

<math>W(\bar{q};\bar{P})</math>
heißt verkürztes Wirkungsfunktional

Dieses kann auch als Erzeugende einer kanonischen Trafo ( im engeren Sinn) aufgefasst werden:

<math>\begin{align}
& {{p}_{j}}=\frac{\partial W}{\partial {{q}_{j}}} \\
& {{Q}_{j}}=\frac{\partial W}{\partial {{P}_{j}}} \\
& \bar{H}=H=E \\
& \Rightarrow {{{\dot{Q}}}_{j}}=\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{P}_{j}}}=\frac{\partial E}{\partial {{\alpha }_{j}}}={{\omega }_{j}}\Rightarrow {{Q}_{j}}={{\omega }_{j}}t+{{\beta }_{j}}=\frac{\partial W}{\partial {{P}_{j}}} \\
\end{align}</math>

====Bezug zur Quantenmechanik====

* Betrachten wir 1 Teilchen im Potenzial
<math>V(\bar{q}),\bar{q}\in {{R}^{3}}</math>
, gilt auch für
<math>V(\bar{q}),\bar{q}\in {{R}^{f}}</math>

*
<math>W(\bar{q})=const</math>
sind dann Flächen im R³:

Dabei sind
<math>S(\bar{q},t)=W(\bar{q})-Et</math>
Wirkunsgwellen mit einer Phasengeschwindigkeit

<math>\bar{u}\approx \nabla W(\bar{q})</math>
mit
<math>\bar{u}\bot W(\bar{q})=const</math>

Der Teilchenimpuls eines fliegenden Teilchens dagegen berechnet such ebenfalls als Gradient der Erzeugenden:

<math>\bar{p}=\nabla W(\bar{q})</math>
Damit haben wir jedoch eine Betrachtung der " Wirkungswellen" entgegen einer Darstellung als Teilchen mit Impuls p ( Welle- Teilchen- Dualismus).

In jedem Fall erhält man als Hamilton- Jacobi- DiffGl:

<math>H(\bar{q},\nabla W)=\frac{1}{2m}{{\left( \nabla W(\bar{q}) \right)}^{2}}+V(\bar{q})=E</math>

Der Übergang zur Quantenmehcanik ist analog dem Übergang von der geometrischen Optik zur Wellenoptik ( Wellenoptik als geometrische Optik für große Wellenlängen) und geometrische optik als Wellenoptik für kleine Weglängen ( gut Übergangsresultate). Die typische optisch- mechanische Analogie

Wir erhalten in der quantenmechanischen Analogie als Wellenformalismus dagegen die Schödingergleichung:

<math>\left( \frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta +V(\bar{r}) \right)\Psi (\bar{r})=E\Psi (\bar{r})</math>

links mit H = hamiltonoperator in Ortsdarstellung.
<math>\Psi (\bar{r})={{e}^{\frac{i}{\hbar }W(\bar{r})}}</math>
als Wellenfunktion

Unsere Koordinatentrafo lautet:

<math>\begin{align}
& \bar{q}\to \bar{r} \\
& \bar{p}\to \frac{\hbar }{i}\nabla \\
\end{align}</math>

Auch hier sieht man die Analogie bei kleinen Wellenlängen, wenn folgende Näherung erlaubt ist:

<math>\Delta {{e}^{\frac{i}{\hbar }W(\bar{r})}}=\nabla \frac{i}{\hbar }\left( \nabla W{{e}^{\frac{i}{\hbar }W(\bar{r})}} \right)\cong -\frac{1}{{{\hbar }^{2}}}{{\left( \nabla W \right)}^{2}}{{e}^{\frac{i}{\hbar }W(\bar{r})}}</math>

====Veranschaulichung der Zusammenhänge:====

Aus der klassischen Mechanik gelangen wir durch Übergang von Poissonklammernauf Kommutatoren zur Heisenbergschen Matrizenmechanik, die sich zur Quantenmechanik transformieren läßt.

führt man in der klassischen Mechanik dagegen die Hamilton- Jacobi- Theorie ein ( optisch- mechanisches Analogon), so gelangt man leicht zur Wellenmechanik ( Schrödinger) und kann sich auf diesem Weg ebenso der Quantenmechanik nähern.

===Wirkungs- und Winkelvariable===

Nun betrachten wir eine Modifikation des Hamilton- Jacobi- Verfahrens. Dabei geht es speziell um periodische Systeme. Das Ganze soll an einem Beispiel skizziert werden und erst dann Verallgemeinerung finden.

Klassifikation von periodischem Verhalten:

* geschlossene Phasenraumkurvn welcher Art auch immer sind Librationen. Diese sind beispielsweise Schwingungen.
* dabei gilt:

<math>\begin{align}
& q(t+\tau )=q(t) \\
& p(t+\tau )=p(t) \\
\end{align}</math>

* periodische ( hinsichtlich des Ortes), aber nicht geschlossene Phasenraumkurven, also Phasenraumkurven, die selbst entlang des Ortes im Impuls schwingen ( dies sind nicht Schwingungen im ortsraum !) sind Rotationen. Die Phasenbahnen sind offen und es gilt:
*
<math>\begin{align}
& q(t+\tau )=q(t)+{{q}_{0}} \\
& p(t+\tau )=p(t) \\
\end{align}</math>

* Beispiel für eine Rotation ist die Drehung einer Achse:
<math>\begin{align}
& q(t)=\phi \\
& {{q}_{0}}=2\pi \\
\end{align}</math>

====Beispiel: Das mathematische Pendel ( mit beliebig großen Auslenkungen)====

'''f= 1, verallgemeinerte Koordinate: Winkel '''
<math>\phi </math>
., s=
<math>\phi </math>
l

<math>\begin{align}
& T=\frac{1}{2}m{{l}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}} \\
& V=mgl(1-\cos \phi ) \\
\end{align}</math>

verallgemeinerter kanonischer Impuls:

<math>\begin{align}
& {{p}_{\phi }}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }}=\frac{\partial T}{\partial \dot{\phi }}=m{{l}^{2}}\dot{\phi } \\
& H(\phi ,{{p}_{{\dot{\phi }}}})=T+V=\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{2m{{l}^{2}}}+mgl(1-\cos \phi ) \\
\end{align}</math>
für ein konservatives System

Es folgen die Hamiltonschen Gleichungen:

<math>\begin{align}
& \dot{\phi }=\frac{\partial H(\phi ,{{p}_{{\dot{\phi }}}})}{\partial {{p}_{\phi }}}=\frac{{{p}_{\phi }}}{m{{l}^{2}}} \\
& {{{\dot{p}}}_{\phi }}=-\frac{\partial H(\phi ,{{p}_{{\dot{\phi }}}})}{\partial \phi }=-mgl\sin \phi \\
\end{align}</math>

# Integral ( Enrgieerhaltung): Phasenbahn

<math>H(\phi ,{{p}_{{\dot{\phi }}}})=T+V=\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{2m{{l}^{2}}}+mgl(1-\cos \phi )=E=const.</math>

Für kleine Winkel gilt die bekannte Kleinwinkelnäherung:

<math>\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{2m{{l}^{2}}}+mgl\frac{{{\phi }^{2}}}{2}=E=const.</math>
-> Ellipsen, wie vom harmon. Oszi bekannt.

Gleichgewichtslagen: Fixpunkte:
<math>\begin{align}
& \dot{\phi }={{{\dot{p}}}_{\phi }}=0 \\
& {{p}_{\phi }}=0 \\
& \phi =n\pi ,n\in N \\
\end{align}</math>

#
<math>E\le 2mgl</math>
Libration: Schwingung mit
<math>\left| \phi \right|\le {{\phi }_{0}}</math>

#
<math>E>2mgl</math>
Rotation: überschlagendes Pendel:
<math>\phi </math>
unbeschränkt

Für E=2mgl haben wir den Spezialfall einer Kriechbahn ( Separatrix zwischen a) und b):

'''Übergang zu neuen kanonischen Variablen ( f=1)'''

<math>\begin{align}
& \left( q,p \right)\to \left( \theta ,I \right) \\
& I(E):=\oint\limits_{{{\Gamma }_{E}}}{pdq} \\
\end{align}</math>

I(E) ist als Wirkungsvariable zu verstehen, als die Fläche, die von einer notwendigerweise geschlossenen Bahn
<math>{{\Gamma }_{E}}</math>
zur Energie E im Phasenraum eingeschlossen ist. ( = Phasenintegral).

<math>\theta </math>
ist die Winkelvariable, auf Periode 1 normiert.

Gelegentlich findet sich:

<math>\begin{align}
& \left( q,p \right)\to \left( \theta ,I \right) \\
& I(E):=\frac{1}{2\pi }\oint\limits_{{{\Gamma }_{E}}}{pdq} \\
\end{align}</math>

In diesem Fall ist
<math>\theta </math>
auf
<math>2\pi </math>
normiert.

gesucht ist die zugehörige kanonische Transformation:

<math>\begin{align}
& p=\frac{\partial W(q,I)}{\partial q} \\
& \theta =\frac{\partial W(q,I)}{\partial I} \\
\end{align}</math>

Mit der neuen Hamiltonfunktion:

<math>H\left( q,\frac{\partial W(q,I)}{\partial q} \right)=E(I)</math>

Dies ist die Umkehrfunktion von I(E), existiert genau dann, wenn
<math>\frac{dI}{dE}\ne 0</math>
.

Da
<math>\theta </math>
zyklisch ist muss I konstant sein.

Die Hamiltonsche Bewegungsgleichung für
<math>\theta </math>
lautet:

<math>\begin{align}
& \dot{\theta }=\frac{\partial E(I)}{\partial I}:={{\nu }_{I}}=const. \\
& \theta ={{\nu }_{I}}t+{{\theta }_{0}}\quad \bmod \quad 1 \\
& I=const \\
\end{align}</math>

Die Lösung für
<math>\theta </math>
ist bei Normierung auf
<math>2\pi </math>
natürlich modulo
<math>2\pi </math>
zu verstehen.

Mit der Lösung jedoch ist für jedes E(I) die frequenz
<math>{{\nu }_{I}}</math>
berechnet.

Das Phasenraumportrait ist der folgenden gestalt:

====Beispiel: eindimensionaler Oszillator====

<math>H\left( q,p=\frac{\partial W(q,I)}{\partial q} \right)=\frac{{{p}^{2}}}{2m}+\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}}=E(I)</math>

'''Phasenbahn:'''

<math>\frac{\partial W(q,I)}{\partial q}=p=\pm m\omega \sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}}}</math>

Umkehrpunkte:

<math>{{q}_{\pm }}=\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}}</math>

'''Wirkungsvariable:'''

<math>\begin{align}
& I(E)=\oint{pdq}=2m\omega \int\limits_{{{q}_{-}}}^{{{q}_{+}}}{{}}\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}}}dq \\
& I(E)=2m\omega \left[ \frac{q}{2}\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}}}+\frac{E}{m{{\omega }^{2}}}\arcsin \frac{q}{\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}}} \right]_{q+}^{q-}=\frac{2\pi }{\omega }E \\
\end{align}</math>

'''Transformierte Hamiltonfunktion:'''

<math>\begin{align}
& \bar{H}=E=\frac{\omega }{2\pi }I \\
& \dot{\theta }=\frac{\partial E}{\partial I}=\frac{\omega }{2\pi }:={{\nu }_{I}} \\
\end{align}</math>

Die zeitliche Änderung des Winkels, also die Frequenz des harmonischen Oszillators ist völlig unabhängig von E(I)

'''Nebenbemerkungen:'''

1.
<math>I=\frac{2\pi }{\omega }E=\tau E</math>
hat die Dimension Zeit* Energie, also Wirkung

#
<math>\theta </math>
ist die Winkelvariable, die zur periodischen Bewegung im Phasenraum ! gehört und hat überhaupt nichts mit dem Winkel im ortsraum ( des Pendels Phi) zu tun

Allgemein: Perdiodische Bewegungen werden immer durch eine Winkelvariable parametrisiert.

* die periodische Bewegung wird damit auf die 1-Sphäre S1 ( Kreis mit Radius 1) abgebildet.

'''Verallgemeinerung auf beliebiges f:'''

Eine Bewegung heißt periodisch bzw. quasiperiodisch, falls die Projektion der Phasenbahn (Trajektorie) auf jede (pj,qj)- Ebene periodisch mit Frequenz

<math>{{\omega }_{j}}=\frac{2\pi }{{{\tau }_{j}}}</math>
ist. Jede Projektion also für gleiche Koordinaten in Ort und Impuls !

Falls:
<math>{{\omega }_{1}}:{{\omega }_{2}}:{{\omega }_{3}}:...:{{\omega }_{f}}</math>
rational ist, so ist die Bahn geschlossen, also einfach periodisch.

Falls:
<math>\exists i,j\to {{\omega }_{i}}:{{\omega }_{j}}</math>
irrational -> offene Bahn ( quasiperiodisch).

Parametrisierung erfolgt durch die Winkelvariable
<math>{{\theta }_{j}}</math>
zu
<math>{{\omega }_{j}}</math>
:

Abbildung auf
<math>{{S}^{1}}\times {{S}^{1}}\times {{S}^{1}}\times ...\times {{S}^{1}}=:{{T}^{f}}</math>
(f mal S1- Sphären- Räume), Abbildung auf den sogenannte f-Torus

Beispiel: 2Torus:

Ist das Frequenzverhältnis irrational, so wirkt der Torus nur als Phasenraumattraktor. Die Bahn füllt den gesamten Torus dicht aus !

====Satz über integrable Systeme====

Einautonomes System ( Hamiltonsch) habe f unabhängige Integrale der Bewegung

<math>{{g}_{k}}(\bar{q},\bar{p})</math>
k=1,...,f

mit
<math>{{g}_{1}}(\bar{q},\bar{p})=H(\bar{q},\bar{p})</math>
Energie und

<math>\left\{ {{g}_{i}},{{g}_{j}} \right\}=0\quad \forall i,j</math>

Dann gilt:

# die durch
<math>{{g}_{k}}(\bar{q},\bar{p})={{\alpha }_{k}}=const</math>
gegebene Hyperfläche des Phasenraums ( falls kompakt und beschränkt und abgeschlossen) läßt sich diffeomorph auf einen f-dimensionalen Torus
<math>{{T}^{f}}</math>
abbilden.
# die Allgemeine Bewegung auf
<math>{{T}^{f}}</math>
ist quasiperiodisch:
<math>\frac{d{{\theta }_{i}}}{dt}={{\omega }_{i}}</math>
,
<math>{{\theta }_{i}}</math>
ist zugehörige Winkelvariable, i=1,...,f
# das System ist INTEGRABEL, das heißt, die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen lassen sich vollständig und global integrieren.

'''Beispiele: '''2- Körper- Problem mit Zentralkraft, gekoppelte harmonische Oszillatoren

'''Gegenbeispiel: '''3- Körperproblem mit Zentralkraft (f=9, nur 6 unabhängige Integrale der Bewegung:

<math>E,{{\bar{P}}_{gesamt}},{{l}^{2}},{{l}_{3}}</math>

Nebenbemerkung:

Wegen
<math>\left\{ {{l}_{3}},{{l}_{1}} \right\}={{l}_{3}}</math>
und zyklisch erfüllen die 3 Drehimpulskomponenten nicht alle die Bedingung
<math>\left\{ {{g}_{i}},{{g}_{j}} \right\}=0</math>
obgleich gilt:
<math>\left\{ {{l}_{i}},H \right\}=0</math>
.

Wirkunsgvariable:

<math>{{I}_{k}}({{\alpha }_{1}},...,{{\alpha }_{f}}):=\oint\limits_{{{\Gamma }_{k}}}{{{p}_{k}}d{{q}_{k}}\quad (k=1,..,f)}</math>

Für ein separables System gilt:

<math>\begin{align}
& W=\sum\limits_{j=1}^{f}{{{W}_{j}}({{q}_{j}},\bar{\alpha })} \\
& {{p}_{k}}=\frac{d{{W}_{k}}}{d{{q}_{k}}} \\
\end{align}</math>

Die Umkehrung liefert die Energie:

<math>E\equiv {{\alpha }_{1}}={{\alpha }_{1}}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})</math>

Die Hamiltongleichungen lauten:

<math>\begin{align}
& \dot{\theta }=\frac{\partial E({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})}{\partial {{I}_{k}}}={{\nu }_{k}}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}}) \\
& \Rightarrow {{\theta }_{k}}={{\nu }_{k}}t+{{\beta }_{k}} \\
& {{\nu }_{k}}=\frac{1}{{{\tau }_{k}}} \\
\end{align}</math>

'''Fazit:'''

Mit der Wirkungs- und Winkelvariablen können die Frequenzen
<math>{{\nu }_{k}}</math>
periodischer Bewegungen bestimmt werden, ohne die vollständige Lösung angeben zu müssen.

===Störungen integrabler Systeme===

Betrachte ein integrables, quasiperiodisches, autonomes Hamiltonsches System mit der Wirkungsvariablen

<math>\bar{I}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})</math>
und der Winkelvariablen
<math>\bar{\theta }({{\theta }_{1}},...,{{\theta }_{f}})</math>
, Hamiltonfunktion
<math>{{H}_{0}}(\bar{I})</math>

Betrachten wir nun eine kleine Störung der Stärke
<math>\varepsilon </math>
:

<math>H(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )={{H}_{0}}(\bar{I})+\varepsilon {{H}_{1}}(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )</math>

In diesem Fall ist
<math>\theta </math>
nicht mehr zyklisch.
<math>\bar{I}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})</math>
ist also keine Bewegungskonstante mehr !

====Beispiel:====
Himmelsmechanik, beispielsweise restringiertes 3- Körper- Problem

System: Sonne, Erde, Mond

* integrables 2- Körper- Problem mit 2 größeren Massen ( annähernd Kreisbahn) und einer kleinen Masse m3 als Störung
* Frage: Ist die quasiperiodische Bewegung über lange Zeiten stabil ? Das heißt: Verändert die Störung die Struktur der Bewegungsmannigfaltigkeit nur wenig ?

Also:

Durch eine dritte Masse m3 ist eine Störung gegeben. Die Bewegung konnte auch vorher ( bei irrationalem Verhältnis der Umlaufszeiten oder Frequenzen) schon nur quasiperiodisch sein.

Ist die quasiperiodische Lösung unter Anwesenheit der dritten Masse jedoch noch stabil ?

* Dies ist bis heute ungelöst... Es gibt jedoch Hinweise auf chaotische Bewegungen, beispielsweise chaotische Bewegungen des Planeten Pluto !

Teilantwort liefert die KAM_ Theorie ( Kolmogorov, Arnold, Moser, 1954, 1963, 1967)

* Stabilitätsaussagen

'''Voraussetzung:'''

Die Frequenzen des integrablen Systems
<math>{{H}_{0}}(\bar{I})</math>
sind rational unabhängig, also:

<math>\sum\limits_{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega }_{i}}=0\quad {{r}_{i}}\in Z\Leftrightarrow {{r}_{1}}=...={{r}_{f}}=0}</math>

Dann überdeckt jede Bahn für festes
<math>{{I}_{k}}={{\alpha }_{k}}</math>
den Torus
<math>{{T}^{f}}</math>
dicht ohne sich jedoch zu schließen: Die Bewegung ist ergodisch.

'''ERGODISCHE Bewegung '''( nichtresonanter Torus)

====KAM- Theorem====

Sind in einem integablen Hamiltonschen System Ho die Frequenzen genügend irrational:, das heißt

<math>\left| \sum\limits_{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega }_{i}}} \right|\ge \gamma {{\left| {\bar{r}} \right|}^{\alpha }}\quad \alpha ,\gamma >0</math>

So hat das gestörte System
<math>H(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )={{H}_{0}}(\bar{I})+\varepsilon {{H}_{1}}(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )</math>
für kleine
<math>\varepsilon </math>
überwiegend ebenfalls quasiperiodische Lösungen und die eisten nichtresonanten Tori von
<math>{{H}_{0}}</math>
werden nur wenig deformiert, aber nicht zerstört.

'''Anwendung:'''

Das restringierte 3-Körper-Problem ist KAM- Stabil. Aber: keine Aussage über eine Langzeitstabilität unseres Planetensystems !

Praktische Verfahren zur Berechnung der gestörten Lösungen:

* störungstheoretische Entwicklung in
<math>\varepsilon </math>

* Mittelung über die Störungen

[[Kategorie:Mechanik]]

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			Strategie: Suche eine kanonische Trafo, die alle Koordinaten zu zyklischen macht.
	<noinclude>{{Scripthinweis\|Mechanik\|5\|0}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Mechanik\|5\|0}}</noinclude>
	~~Strategie: Suche eine kanonische Trafo, die alle Koordinaten zu zyklischen macht.~~

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			{{Scripthinweis\|Mechanik\|5}}
	Strategie: Suche eine kanonische Trafo, die alle Koordinaten zu zyklischen macht.		Strategie: Suche eine kanonische Trafo, die alle Koordinaten zu zyklischen macht.

Die Hamilton-Jacobi-Theorie - Versionsgeschichte

Schubotz am 28. August 2010 um 22:47 Uhr

Schubotz: Der Seiteninhalt wurde durch einen anderen Text ersetzt: „{{Scripthinweis|Mechanik|5|0}} Strategie: Suche eine kanonische Trafo, die alle Koordinaten zu zyklischen macht.“

Schubotz am 17. August 2010 um 20:56 Uhr

Schubotz am 17. August 2010 um 20:50 Uhr

Schubotz: hat „Schöll:Mechanik:Hamiton-Jacobi“ nach „Die Hamilton-Jacobi-Theorie“ verschoben

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „==Die Hamilton- Jacobi- Theorie:== Strategie: Suche eine kanonische Trafo, die alle Koordinaten zu zyklischen macht. ===Hamilton-Jacobische Differenzialgleichun…“

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(kein Unterschied)