Die Dirac Gleichung - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Interpunktion

2010-09-12T22:36:25Z

Interpunktion

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	{\| class="wikitable" border="1"		{\| class="wikitable" border="1"
	\|+ Freie Parameter bei Matrizen		\|+ Freie Parameter bei Matrizen!
	! '''M'''!! '''P=Anzahl der Parameter in einer NxN-Matrix M'''		'''M'''!! '''P=Anzahl der Parameter in einer NxN-Matrix M'''
	\|-		\|-
	\| komplex\|\| 2N²		\| komplex\|\| 2N²

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:36:39Z

Einrückungen Mathematik

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	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>{{\left( \mathfrak{i} {{\partial }_{t}}-e\phi \right)}^{2}}\Psi =\left( {{\left( \hat{\underline{p}}-e\underline{A} \right)}^{2}}+{{m}^{2}} \right)\Psi \quad c=\hbar =1</math>		:<math>{{\left( \mathfrak{i} {{\partial }_{t}}-e\phi \right)}^{2}}\Psi =\left( {{\left( \hat{\underline{p}}-e\underline{A} \right)}^{2}}+{{m}^{2}} \right)\Psi \quad c=\hbar =1</math>

	: \|(1.29)\|RawN=.}}		: \|(1.29)\|RawN=.}}
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	<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \pm \sqrt{{{\left( \hat{\underline{p}}-e\underline{A} \right)}^{2}}+{{m}^{2}}}+e\phi \right)\Psi </math>		:<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \pm \sqrt{{{\left( \hat{\underline{p}}-e\underline{A} \right)}^{2}}+{{m}^{2}}}+e\phi \right)\Psi </math>

	: \|(1.30)\|RawN=.}}		: \|(1.30)\|RawN=.}}
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	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\hat{H}\Psi \quad \hat{H}=e\phi +\underline{\alpha }\left( \underline{\hat{p}}-e\underline{A} \right)+\beta m</math>		:<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\hat{H}\Psi \quad \hat{H}=e\phi +\underline{\alpha }\left( \underline{\hat{p}}-e\underline{A} \right)+\beta m</math>

	: \|(1.31)\|RawN=.}}		: \|(1.31)\|RawN=.}}
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	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>{{\beta }^{2}}=1,\quad {{\alpha }_{i}}\beta +\beta {{\alpha }_{i}}=0,\quad {{\alpha }_{i}}{{\alpha }_{j}}+{{\alpha }_{j}}{{\alpha }_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\quad i\in \left\{ 1,2,3 \right\}</math>		:<math>{{\beta }^{2}}=1,\quad {{\alpha }_{i}}\beta +\beta {{\alpha }_{i}}=0,\quad {{\alpha }_{i}}{{\alpha }_{j}}+{{\alpha }_{j}}{{\alpha }_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\quad i\in \left\{ 1,2,3 \right\}</math>

	: \|(1.32)\|RawN=.}}		: \|(1.32)\|RawN=.}}
	die Lösung.		die Lösung.

	<math>\underline{\alpha },\beta </math>erzeugen eine sogenannten {{FB\|Clifford-Algebra}} <u>von 4x4 Matrizen</u>		:<math>\underline{\alpha },\beta </math>erzeugen eine sogenannten {{FB\|Clifford-Algebra}} <u>von 4x4 Matrizen</u>

	Zeige, dass es 4x4-Matritzen sind:		Zeige, dass es 4x4-Matritzen sind:
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	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>{{\sigma }_{1}}=\left( \begin{matrix}		:<math>{{\sigma }_{1}}=\left( \begin{matrix}

	0 & 1 \\		0 & 1 \\
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	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>{{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}^{2}=\underline{\underline{1}},\quad {{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}^{T}={{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}},\quad Tr\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}} \right)=0,\quad \left\{ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right\}:={{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}{{\underline{\underline{\sigma }}}_{j}}-{{\underline{\underline{\sigma }}}_{j}}{{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\underline{\underline{1}}</math>		:<math>{{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}^{2}=\underline{\underline{1}},\quad {{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}^{T}={{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}},\quad Tr\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}} \right)=0,\quad \left\{ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right\}:={{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}{{\underline{\underline{\sigma }}}_{j}}-{{\underline{\underline{\sigma }}}_{j}}{{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\underline{\underline{1}}</math>

	<ref><math>\underline{\underline{1}}=\left( \begin{matrix}		<ref><math>\underline{\underline{1}}=\left( \begin{matrix}
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	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>{{\alpha }_{i}}=\left( \begin{matrix}		:<math>{{\alpha }_{i}}=\left( \begin{matrix}

	{\underline{\underline{0}}} & {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}} \\		{\underline{\underline{0}}} & {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}} \\
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	{{NumBlk\|:\|Dirac-Gleichung		{{NumBlk\|:\|Dirac-Gleichung

	<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \underline{\alpha }.\hat{\underline{p}}-\beta m \right)\Psi </math>		:<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \underline{\alpha }.\hat{\underline{p}}-\beta m \right)\Psi </math>

	: \|(1.36)\|RawN=.}}		: \|(1.36)\|RawN=.}}

Schubotz am 6. September 2010 um 10:02 Uhr

2010-09-06T10:02:29Z

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	\end{matrix} \right),\quad x=\left( ct,\underline{x} \right)</math>		\end{matrix} \right),\quad x=\left( ct,\underline{x} \right)</math>
	==Literatur==		<noinclude>==Literatur==
	<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN'''</FONT>		<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN'''</FONT>
	<references />		<references /></noinclude>

Schubotz am 6. September 2010 um 09:59 Uhr

2010-09-06T09:59:57Z

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	Ansatz <math>\left[ \underline{\alpha },\underline{p} \right]=\left[ \beta ,{{p}_{i}} \right]=0</math><ref>Kommutator <math>\left[ A,B \right]=AB-BA</math></ref>		Ansatz <math>\left[ \underline{\alpha },\underline{p} \right]=\left[ \beta ,{{p}_{i}} \right]=0</math><ref>Kommutator <math>\left[ A,B \right]=AB-BA</math></ref>

	Für		Für <math>\phi =\underline{A}=0</math> soll<math>\hat{H}=\sqrt{{{{\hat{\underline{p}}}}^{2}}+{{m}^{2}}}</math> also <math>{{\underline{\hat{p}}}^{2}}+{{m}^{2}}={{\left( \underline{\alpha }\underline{\hat{p}}+\beta m \right)}^{2}}</math>.

	<math>\phi =\underline{A}=0</math>

	soll

	<math>\hat{H}=\sqrt{{{{\hat{\underline{p}}}}^{2}}+{{m}^{2}}}</math>

	also <math>{{\underline{\hat{p}}}^{2}}+{{m}^{2}}={{\left( \underline{\alpha }\underline{\hat{p}}+\beta m \right)}^{2}}</math>.

	Vielleicht liefert		Vielleicht liefert

	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

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	: \|(1.32)\|RawN=.}}		: \|(1.32)\|RawN=.}}

	die Lösung.		die Lösung.

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	Zeige, dass es 4x4-Matritzen sind:		Zeige, dass es 4x4-Matritzen sind:

	* <math>{{\alpha }_{i}},\beta </math> sollen hermitesch sein (<math>\hat{H}</math>soll nur reelle Eigenwerte haben):<math>{{\alpha }_{i}}={{\alpha }_{i}}^{+}\equiv {{\left( {{a}_{i}}^{*} \right)}^{T}}</math>		* <math>{{\alpha }_{i}},\beta </math> sollen hermitesch sein (<math>\hat{H}</math>soll nur reelle Eigenwerte haben):<math>{{\alpha }_{i}}={{\alpha }_{i}}^{+}\equiv {{\left( {{a}_{i}}^{*} \right)}^{T}}</math>
	* <math>{{\beta }^{2}}=\alpha _{i}^{2}=1\Rightarrow \beta ={{\beta }^{T}}={{\beta }^{-1}}\Rightarrow \beta </math>unitär, ebenso <math>{{\alpha }_{i}}</math> unitär		* <math>{{\beta }^{2}}=\alpha _{i}^{2}=1\Rightarrow \beta ={{\beta }^{T}}={{\beta }^{-1}}\Rightarrow \beta </math>unitär, ebenso <math>{{\alpha }_{i}}</math> unitär
	* Aus		* Aus <math>{{\alpha }_{i}}=-\beta {{\alpha }_{i}}{{\beta }^{-1}}\Rightarrow \underbrace{Tr}_{\text{Spur}}\left( {{\alpha }_{i}} \right)=-Tr\left( \beta {{\alpha }_{i}}{{\beta }^{-1}} \right)\underbrace{=}_{\text{zyklische Vertauschung}}-Tr\left( {{\alpha }_{i}} \right)\Rightarrow Tr\left( {{\alpha }_{i}} \right)=0</math>
	* <math>{{\alpha }_{i}}=-\beta {{\alpha }_{i}}{{\beta }^{-1}}\Rightarrow \underbrace{Tr}_{\text{Spur}}\left( {{\alpha }_{i}} \right)=-Tr\left( \beta {{\alpha }_{i}}{{\beta }^{-1}} \right)\underbrace{=}_{\text{zyklische Vertauschung}}-Tr\left( {{\alpha }_{i}} \right)\Rightarrow Tr\left( {{\alpha }_{i}} \right)=0</math>		:analog <math>\beta =-{{\alpha }_{i}}\beta {{\alpha }_{i}}^{-1}\Rightarrow Tr\left( \beta \right)=0</math>
	*
	analog <math>\beta =-{{\alpha }_{i}}\beta {{\alpha }_{i}}^{-1}\Rightarrow Tr\left( \beta \right)=0</math>
	* <math>{{\beta }^{2}}=\alpha _{i}^{2}=1\Rightarrow {{\alpha }_{i}},\beta </math>haben nur die Eigenwerte <math>\pm 1</math>		* <math>{{\beta }^{2}}=\alpha _{i}^{2}=1\Rightarrow {{\alpha }_{i}},\beta </math>haben nur die Eigenwerte <math>\pm 1</math>
	* Aus Spurfreiheit folgt, dass die Summe der Eigenwerte 0 ist. Also haben <math>{{\alpha }_{i}},\beta </math> grade Dimension		* Aus Spurfreiheit folgt, dass die Summe der Eigenwerte 0 ist. Also haben <math>{{\alpha }_{i}},\beta </math> grade Dimension
	* 2x2 Matrizen tun es nicht:		* 2x2 Matrizen tun es nicht:
	'''M'''
	'''P=Anzahl der Parameter in einer NxN-Matrix M'''
	komplex
	~~2N²~~		{\| class="wikitable" border="1"
	Komplex, hermitesch <math>M={{M}^{T}}</math>		\|+ Freie Parameter bei Matrizen
	N²(Diagonale)+N²-N=N²		! '''M'''!! '''P=Anzahl der Parameter in einer NxN-Matrix M'''
	<math>M={{M}^{T}},Tr\left( M \right)=0</math>		\|-
	<math>{{N}^{2}}-1</math> wegen der Zusatzbedingung <math>Tr\left( M \right)=0</math>		\| komplex\|\| 2N²
			\|-
			\| Komplex, hermitesch <math>M={{M}^{T}}</math>\|\| N²(Diagonale)+N²-N=N²
			\|-
			\| <math>M={{M}^{T}},Tr\left( M \right)=0</math>\|\| <math>{{N}^{2}}-1</math> wegen der Zusatzbedingung <math>Tr\left( M \right)=0</math>
			\|}
	'''Für N=2 folgt p=3 reelle Parameter.'''		'''Für N=2 folgt p=3 reelle Parameter.'''

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	{\underline{\underline{0}}} & {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}^{2} \\		{\underline{\underline{0}}} & {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}^{2} \\

	\end{matrix} \right),\quad {{\underline{\underline{\beta }}}^{2}}=\underline{\underline{1}}</math>(4x4 Einheitsmatrix). <font color="#~~FFFF00~~">'''''(CHECK 1.32)'''''</FONT>		\end{matrix} \right),\quad {{\underline{\underline{\beta }}}^{2}}=\underline{\underline{1}}</math>(4x4 Einheitsmatrix). <font color="#3399FF">'''''(CHECK 1.32)'''''</FONT>

	Außerdem <math>{{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}}={{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}}^{T},\quad \underline{\underline{\beta }}={{\underline{\underline{\beta }}}^{T}},\quad {{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}},\underline{\underline{\beta }}</math>unitär und spurlos.		Außerdem <math>{{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}}={{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}}^{T},\quad \underline{\underline{\beta }}={{\underline{\underline{\beta }}}^{T}},\quad {{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}},\underline{\underline{\beta }}</math>unitär und spurlos.
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	: \|(1.36)\|RawN=.}}		: \|(1.36)\|RawN=.}}

	sind 4-komponentige Spinoren		sind 4-komponentige Spinoren<math>\Psi \left( x \right)=\left( \begin{matrix}

	<math>\Psi \left( x \right)=\left( \begin{matrix}

	{{\Psi }_{1}}\left( x \right) \\		{{\Psi }_{1}}\left( x \right) \\

Schubotz am 5. September 2010 um 22:04 Uhr

2010-09-05T22:04:20Z

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Zeile 1:		Zeile 1:
	<noinclude>{{ScriptProf\|Kapitel=1\|Abschnitt=4\|Prof=Brandes\|Thema=Quantenmechanik\|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>		<noinclude>{{ScriptProf\|Kapitel=1\|Abschnitt=4\|Prof=Prof. Dr. T. Brandes\|Thema=Quantenmechanik\|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>


	~~<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN'''</FONT>~~

	Die ~~Klein-Gordon-Gleichung~~{{FB\|Klein-Gordon-Gleichung}}		Die {{FB\|Klein-Gordon-Gleichung}}

	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|
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	die Lösung.		die Lösung.

	<math>\underline{\alpha },\beta </math>erzeugen eine sogenannten ~~<u>Clifford-Algebra~~{{FB\|Clifford-Algebra}}~~</u>~~ <u>von 4x4 Matrizen</u>		<math>\underline{\alpha },\beta </math>erzeugen eine sogenannten {{FB\|Clifford-Algebra}} <u>von 4x4 Matrizen</u>

	Zeige, dass es 4x4-Matritzen sind:		Zeige, dass es 4x4-Matritzen sind:
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	'''Für N=2 folgt p=3 reelle Parameter.'''		'''Für N=2 folgt p=3 reelle Parameter.'''

	2x2 Matritzden M mit <math>M={{M}^{T}},Tr\left( M \right)=0</math> lassen sich als Linearkombinationen mit ''p=3'' reellen Parametern mit der Basis der ~~<u>Pauli-Matrizen~~{{FB\|Pauli-Matrizen}}~~</u>~~		2x2 Matritzden M mit <math>M={{M}^{T}},Tr\left( M \right)=0</math> lassen sich als Linearkombinationen mit ''p=3'' reellen Parametern mit der Basis der {{FB\|Pauli-Matrizen}}

	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|
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	Außerdem <math>{{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}}={{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}}^{T},\quad \underline{\underline{\beta }}={{\underline{\underline{\beta }}}^{T}},\quad {{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}},\underline{\underline{\beta }}</math>unitär und spurlos.		Außerdem <math>{{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}}={{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}}^{T},\quad \underline{\underline{\beta }}={{\underline{\underline{\beta }}}^{T}},\quad {{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}},\underline{\underline{\beta }}</math>unitär und spurlos.

	Die Wellenfunktion Ψ in der ~~Dirac-Gleichung~~{{FB\|Dirac-Gleichung}} (ohne Elektromagnetische Felder)		Die Wellenfunktion Ψ in der {{FB\|Dirac-Gleichung}} (ohne Elektromagnetische Felder)

	{{NumBlk\|:\|Dirac-Gleichung		{{NumBlk\|:\|Dirac-Gleichung
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	\end{matrix} \right),\quad x=\left( ct,\underline{x} \right)</math>		\end{matrix} \right),\quad x=\left( ct,\underline{x} \right)</math>
			==Literatur==
			<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN'''</FONT>
			<references />

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=4|Prof=Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}} '''LITERATUR: SKRI…“

2010-09-04T23:02:51Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=4|Prof=Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> '''LITERATUR: SKRI…“

Neue Seite

<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=4|Prof=Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>

'''LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN'''

Die Klein-Gordon-Gleichung{{FB|Klein-Gordon-Gleichung}}

{{NumBlk|:|

<math>{{\left( \mathfrak{i} {{\partial }_{t}}-e\phi \right)}^{2}}\Psi =\left( {{\left( \hat{\underline{p}}-e\underline{A} \right)}^{2}}+{{m}^{2}} \right)\Psi \quad c=\hbar =1</math>

: |(1.29)|RawN=.}}

lässt sich durch Wurzelziehen umschreiben in

{{NumBlk|:|

<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \pm \sqrt{{{\left( \hat{\underline{p}}-e\underline{A} \right)}^{2}}+{{m}^{2}}}+e\phi \right)\Psi </math>

: |(1.30)|RawN=.}}

Aus der Wurzel lässt sich durch Entwicklung die Schrödingergleichung zurückgewinnen mit dem Ruheenergie Zusatzterm mc². Allerdings stört die Quadratwurzel.

Dirac: Linearisierung als

{{NumBlk|:|

<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\hat{H}\Psi \quad \hat{H}=e\phi +\underline{\alpha }\left( \underline{\hat{p}}-e\underline{A} \right)+\beta m</math>

: |(1.31)|RawN=.}}

mit <math>\underline{\alpha }=\left( {{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\alpha }_{3}} \right)\,,\,\beta </math> zu bestimmen.

Ansatz <math>\left[ \underline{\alpha },\underline{p} \right]=\left[ \beta ,{{p}_{i}} \right]=0</math><ref>Kommutator <math>\left[ A,B \right]=AB-BA</math></ref>

Für

<math>\phi =\underline{A}=0</math>

soll

<math>\hat{H}=\sqrt{{{{\hat{\underline{p}}}}^{2}}+{{m}^{2}}}</math>

also <math>{{\underline{\hat{p}}}^{2}}+{{m}^{2}}={{\left( \underline{\alpha }\underline{\hat{p}}+\beta m \right)}^{2}}</math>.

Vielleicht liefert

{{NumBlk|:|

<math>{{\beta }^{2}}=1,\quad {{\alpha }_{i}}\beta +\beta {{\alpha }_{i}}=0,\quad {{\alpha }_{i}}{{\alpha }_{j}}+{{\alpha }_{j}}{{\alpha }_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\quad i\in \left\{ 1,2,3 \right\}</math>

: |(1.32)|RawN=.}}

die Lösung.

<math>\underline{\alpha },\beta </math>erzeugen eine sogenannten Clifford-Algebra{{FB|Clifford-Algebra}} von 4x4 Matrizen

Zeige, dass es 4x4-Matritzen sind:

* <math>{{\alpha }_{i}},\beta </math> sollen hermitesch sein (<math>\hat{H}</math>soll nur reelle Eigenwerte haben):<math>{{\alpha }_{i}}={{\alpha }_{i}}^{+}\equiv {{\left( {{a}_{i}}^{*} \right)}^{T}}</math>
* <math>{{\beta }^{2}}=\alpha _{i}^{2}=1\Rightarrow \beta ={{\beta }^{T}}={{\beta }^{-1}}\Rightarrow \beta </math>unitär, ebenso <math>{{\alpha }_{i}}</math> unitär
* Aus
* <math>{{\alpha }_{i}}=-\beta {{\alpha }_{i}}{{\beta }^{-1}}\Rightarrow \underbrace{Tr}_{\text{Spur}}\left( {{\alpha }_{i}} \right)=-Tr\left( \beta {{\alpha }_{i}}{{\beta }^{-1}} \right)\underbrace{=}_{\text{zyklische Vertauschung}}-Tr\left( {{\alpha }_{i}} \right)\Rightarrow Tr\left( {{\alpha }_{i}} \right)=0</math>
*
analog <math>\beta =-{{\alpha }_{i}}\beta {{\alpha }_{i}}^{-1}\Rightarrow Tr\left( \beta \right)=0</math>
* <math>{{\beta }^{2}}=\alpha _{i}^{2}=1\Rightarrow {{\alpha }_{i}},\beta </math>haben nur die Eigenwerte <math>\pm 1</math>
* Aus Spurfreiheit folgt, dass die Summe der Eigenwerte 0 ist. Also haben <math>{{\alpha }_{i}},\beta </math> grade Dimension
* 2x2 Matrizen tun es nicht:
'''M'''
'''P=Anzahl der Parameter in einer NxN-Matrix M'''
komplex
2N²
Komplex, hermitesch <math>M={{M}^{T}}</math>
N²(Diagonale)+N²-N=N²
<math>M={{M}^{T}},Tr\left( M \right)=0</math>
<math>{{N}^{2}}-1</math> wegen der Zusatzbedingung <math>Tr\left( M \right)=0</math>
'''Für N=2 folgt p=3 reelle Parameter.'''

2x2 Matritzden M mit <math>M={{M}^{T}},Tr\left( M \right)=0</math> lassen sich als Linearkombinationen mit ''p=3'' reellen Parametern mit der Basis der Pauli-Matrizen{{FB|Pauli-Matrizen}}

{{NumBlk|:|

<math>{{\sigma }_{1}}=\left( \begin{matrix}

0 & 1 \\

1 & 0 \\

\end{matrix} \right)\quad {{\sigma }_{2}}=\left( \begin{matrix}

0 & -\mathfrak{i} \\

\mathfrak{i} & 0 \\

\end{matrix} \right)\quad {{\sigma }_{3}}=\left( \begin{matrix}

1 & 0 \\

0 & -1 \\

\end{matrix} \right)</math>

: |(1.33)|RawN=.}}

darstellen, d.h,

: <math>M=\underline{p}.\underline{\sigma }={{p}_{1}}{{\underline{\underline{\sigma }}}_{1}}+{{p}_{2}}{{\underline{\underline{\sigma }}}_{2}}+{{p}_{2}}{{\underline{\underline{\sigma }}}_{2}},\quad \underline{\sigma }=\underbrace{\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{1}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{2}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{3}} \right)}_{\text{Vektor der Pauli-Matrizen}}\quad ,\underline{p}=\underbrace{\left( {{p}_{1}},{{p}_{2}},{{p}_{3}} \right)}_{\in {{\mathbb{R}}^{3}}}</math>

{{NumBlk|:|

<math>{{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}^{2}=\underline{\underline{1}},\quad {{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}^{T}={{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}},\quad Tr\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}} \right)=0,\quad \left\{ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right\}:={{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}{{\underline{\underline{\sigma }}}_{j}}-{{\underline{\underline{\sigma }}}_{j}}{{\underline{\underline{\sigma }}}_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\underline{\underline{1}}</math>

<ref><math>\underline{\underline{1}}=\left( \begin{matrix}

1 & 0 \\

0 & 1 \\

\end{matrix} \right)</math>ist die 2x2 Einheitsmatrix</ref> |(1.34)|RawN=.}}

Die Pauli-Matrizen sind 3 linear unabhängige, antikommutierende Spurlose Matrizen, für (1.32) bräuchte man also 4, deshalb kann (1.32) nicht mit 2x2-Matrizen erfüllt werden.

Die 4x4 Matrizen werden gewählt als (in 2x2-Blockdarstellung)

{{NumBlk|:|

<math>{{\alpha }_{i}}=\left( \begin{matrix}

{\underline{\underline{0}}} & {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}} \\

{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}} & {\underline{\underline{0}}} \\

\end{matrix} \right),\quad \beta =\left( \begin{matrix}

{\underline{\underline{1}}} & {\underline{\underline{0}}} \\

{\underline{\underline{0}}} & -\underline{\underline{1}} \\

\end{matrix} \right)</math>

: |(1.35)|RawN=.}}

Es gilt <math>{{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}}^{2}=\left( \begin{matrix}

{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}^{2} & {\underline{\underline{0}}} \\

{\underline{\underline{0}}} & {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}^{2} \\

\end{matrix} \right),\quad {{\underline{\underline{\beta }}}^{2}}=\underline{\underline{1}}</math>(4x4 Einheitsmatrix). '''''(CHECK 1.32)'''''

Außerdem <math>{{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}}={{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}}^{T},\quad \underline{\underline{\beta }}={{\underline{\underline{\beta }}}^{T}},\quad {{\underline{\underline{\alpha }}}_{i}},\underline{\underline{\beta }}</math>unitär und spurlos.

Die Wellenfunktion Ψ in der Dirac-Gleichung{{FB|Dirac-Gleichung}} (ohne Elektromagnetische Felder)

{{NumBlk|:|Dirac-Gleichung

<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \underline{\alpha }.\hat{\underline{p}}-\beta m \right)\Psi </math>

: |(1.36)|RawN=.}}

sind 4-komponentige Spinoren

<math>\Psi \left( x \right)=\left( \begin{matrix}

{{\Psi }_{1}}\left( x \right) \\

{{\Psi }_{2}}\left( x \right) \\

{{\Psi }_{3}}\left( x \right) \\

{{\Psi }_{4}}\left( x \right) \\

\end{matrix} \right),\quad x=\left( ct,\underline{x} \right)</math>