Der harmonische Oszillator - Versionsgeschichte

Schubotz am 9. August 2011 um 12:25 Uhr

2011-08-09T12:25:49Z

@@ Zeile 95: / Zeile 95: @@
 :<math>-\left[ {{a}^{+}},\hat{H} \right]=\left( a\hat{H} \right)\acute{\ }*-\left( \hat{H}a \right)*=\hbar \omega {{a}^{+}}</math>
-Well mcaadmaia nuts, how about that.
+=====Verallgemeinerung=====
 =====Eigenwerte von H=====
@@ Zeile 218: / Zeile 252: @@
 \end{align}</math>
-Do you have more great atrilces like this one?
+=====Normierung der Eigenzustände=====
 =====Teilchenzahloperator=====
@@ Zeile 229: / Zeile 322: @@
 :<math>\hat{H}\left| n \right\rangle =\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+\frac{1}{2} \right)\left| n \right\rangle =\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)\left| n \right\rangle </math>
-Hey, youre the goto expert. Thanks for hagnnig out here.
+=====Veranschaulichung=====
 =====Zusammenhang mit der Ortsdarstellung=====

Schubotz: Änderungen von 173.236.49.6 (Diskussion) rückgängig gemacht und letzte Version von 207.28.143.8 wiederhergestellt

2011-08-09T12:25:00Z

Änderungen von 173.236.49.6 (Diskussion) rückgängig gemacht und letzte Version von 207.28.143.8 wiederhergestellt

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	~~This has made my day~~. ~~I wish all psontigs were this good~~.		=====Zusammenhang mit der Ortsdarstellung=====
			Bisher haben wir vollständig darstellungsfrei gerechnet! Nun soll die darstellungsfreie Rechnung durch Operatoren in expliziten Darstellungen ersetzt werden!
			Mit <math>{{\phi }_{n}}(x)=\left\langle x \| n \right\rangle </math>
			und <math>a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x}</math>
			gilt:
			:<math>a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\left( \frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \right){{\phi }_{n}}(x)</math>

			:<math>\begin{align}
			& \hat{\xi }:=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\
			& \xi :=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}x \\
			\end{align}</math>

			:<math>\Rightarrow a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{n}}(\xi )</math>

			Dabei gilt: <math>\begin{align}
			& \hat{\xi }:=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\
			& \xi :=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}x \\
			\end{align}</math>
			sind dimensionslose Größen, die sogenannten Normalkoordinaten!
			In <math>\Rightarrow a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{n}}(\xi )</math>
			wird über <math>\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right)</math>
			der Impulsanteil durch die Ortsdarstellung des Impulsoperators ersetzt.
			Den Grundzustand gewinnt man leicht aus dem Ansatz <math>a\left\| {{\phi }_{0}} \right\rangle =0</math>
			mit <math>\left\| {{\phi }_{0}} \right\rangle :=\left\| 0 \right\rangle </math>

			Wegen <math>a\left\| 0 \right\rangle =0</math>
			folgt für n=0:
			:<math>\begin{align}
			& 0=\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{0}}(\xi ) \\
			& \Rightarrow \frac{d{{\phi }_{0}}}{{{\phi }_{0}}}=-\xi d\xi \\
			\end{align}</math>

			Somit ergibt sich:
			:<math>\begin{align}
			& {{\phi }_{0}}(\xi )={{A}_{0}}{{e}^{\left( -\frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}} \\
			& {{A}_{0}}={{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}} \\
			\end{align}</math>

			Wobei sich A0 aus der Normierung ergibt. Der Grundzustand im Oszillator ist also ein Gaußzustand, eine normierte Gaußglocke mit einer Halbwertsbreite, die in <math>\xi </math>
			enthalten ist.
			<u>'''Für die angeregten Zustände gilt:'''</u>
			:<math>\begin{align}
			& {{\phi }_{1}}(\xi )={{a}^{+}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \xi -\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{0}}(\xi )=-\frac{1}{i\sqrt{2}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{d}{d\xi }\left( {{e}^{\left( -\frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}{{\phi }_{0}}(\xi ) \right) \\
			& \Rightarrow {{\phi }_{1}}(\xi )=-\frac{1}{i\sqrt{2}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{d}{d\xi }\left( {{A}_{0}}{{e}^{\left( -{{\xi }^{2}} \right)}} \right) \\
			& {{A}_{0}}={{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}} \\
			\end{align}</math>

			Die angeregten Zustände werden also einfach durch Anwendung des Aufsteigeoperators aus dem Grundzustand erzeugt!
			Für den n-ten angeregten Zustand (Induktion!) damit:
			:<math>\begin{align}
			& {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}}{\sqrt{n!}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( \xi -\frac{d}{d\xi } \right)}^{n}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}}\frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( -1 \right)}^{n}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{{{d}^{n}}}{{{\left( d\xi \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}} \\
			& \frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}:={{A}_{n}} \\
			& {{A}_{0}}={{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}} \\
			& {{\left( -1 \right)}^{n}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{{{d}^{n}}}{{{\left( d\xi \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}}:={{H}_{n}}(\xi ){{e}^{-\frac{{{\xi }^{2}}}{2}}} \\
			\end{align}</math>

			Dabei kann <math>\frac{1}{{{i}^{n}}}</math>
			als Phasenfaktor (für die Wahrscheinlichkeit irrelevant) weggelassen werden
			und <math>{{H}_{n}}</math>
			bezeichnet die sogenannten Hermiteschen Polynome vom Grad n.
			Die Eigenzustände des harmonischen Oszillators beinhalten also die Hermité- Polynome
			:<math>\begin{align}
			& {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}}\frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( -1 \right)}^{n}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{{{d}^{n}}}{{{\left( d\xi \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}} \\
			& \Rightarrow {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{{{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}}}{\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{n}}n!}}{{H}_{n}}(\xi ){{e}^{-\frac{{{\xi }^{2}}}{2}}} \\
			\end{align}</math>

			Explizit lauten diese Hermiteschen Polynome (wie aus obiger Relation berechnet werden kann):
			:<math>\begin{align}
			& {{H}_{0}}(\xi )=1 \\
			& {{H}_{1}}(\xi )=2\xi \\
			& {{H}_{2}}(\xi )=4{{\xi }^{2}}-2 \\
			& {{H}_{3}}(\xi )=2{{\xi }^{3}}-12\xi \\
			\end{align}</math>

			Letztendlich bezeichnet
			:<math>{{\left( -1 \right)}^{n}}</math>
			die Parität von <math>{{\phi }_{n}}</math>

			Die Wellenfunktionen im Oszillatorpotenzial (die Wurzeln der Wahrscheinlichkeiten) werden folgendermaßen schematisch dargestellt:


			Für das Wasserstoffatom ergeben sich als Wellenfunktion die Kugelflächenfunktionen <math>{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )</math>.

			Bei Polardiagrammen gibt dabei der Betrag des Radiusvektors, der das Diagramm zeichnet <math>r={{\left\| {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \right\|}^{2}}</math>
			das Betragsquadrat der Kugelflächenfunktion an.
			Also die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons im Kraftfeld des Protons.
			Dabei gibt es für verschiedene Drehimpulsquantenzahlen L verschiedene Wellenfunktionen zum gleichen Energieeigenwert. Die Niveaus sind (ohne den Spin) L+1 - fach entartet! die Charakterisierung erfolgt durch die magnetische Quantenzahl m

173.236.49.6: /* Zusammenhang mit der Ortsdarstellung */

2011-07-02T15:14:48Z

Zusammenhang mit der Ortsdarstellung

← Nächstältere Version		Version vom 2. Juli 2011, 17:14 Uhr
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	Hey, youre the goto expert. Thanks for hagnnig out here.		Hey, youre the goto expert. Thanks for hagnnig out here.

	~~=====Zusammenhang mit der Ortsdarstellung=====~~		This has made my day. I wish all psontigs were this good.
	~~Bisher haben wir vollständig darstellungsfrei gerechnet! Nun soll die darstellungsfreie Rechnung durch Operatoren in expliziten Darstellungen ersetzt werden!~~
	~~Mit <math>{{\phi }_{n}}(x)=\left\langle x \| n \right\rangle </math>~~
	~~und <math>a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0~~.~~5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x}</math>~~
	~~gilt:~~
	~~:<math>a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\left( \frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0~~.~~5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \right){{\phi }_{n}}(x)</math>~~

	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& \hat{\xi }:=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\~~
	~~& \xi :=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}x \\~~
	~~\end{align}</math>~~

	~~:<math>\Rightarrow a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{n}}(\xi )</math>~~

	~~Dabei gilt: <math>\begin{align}~~
	~~& \hat{\xi }:=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\~~
	~~& \xi :=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}x \\~~
	~~\end{align}</math>~~
	~~sind dimensionslose Größen, die sogenannten Normalkoordinaten!~~
	~~In <math>\Rightarrow a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{n}}(\xi )</math>~~
	~~wird über <math>\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right)</math>~~
	~~der Impulsanteil durch die Ortsdarstellung des Impulsoperators ersetzt.~~
	~~Den Grundzustand gewinnt man leicht aus dem Ansatz <math>a\left\| {{\phi }_{0}} \right\rangle =0</math>~~
	~~mit <math>\left\| {{\phi }_{0}} \right\rangle :=\left\| 0 \right\rangle </math>~~

	~~Wegen <math>a\left\| 0 \right\rangle =0</math>~~
	~~folgt für n=0:~~
	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& 0=\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{0}}(\xi ) \\~~
	~~& \Rightarrow \frac{d{{\phi }_{0}}}{{{\phi }_{0}}}=-\xi d\xi \\~~
	~~\end{align}</math>~~

	~~Somit ergibt sich:~~
	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& {{\phi }_{0}}(\xi )={{A}_{0}}{{e}^{\left( -\frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}} \\~~
	~~& {{A}_{0}}={{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}} \\~~
	~~\end{align}</math>~~

	~~Wobei sich A0 aus der Normierung ergibt. Der Grundzustand im Oszillator ist also ein Gaußzustand, eine normierte Gaußglocke mit einer Halbwertsbreite, die in <math>\xi </math>~~
	~~enthalten ist.~~
	~~<u>'''Für die angeregten Zustände gilt:'''</u>~~
	~~:<math>\begin{align}~~
	& {{\phi }_{1}}(\xi )={{a}^{+}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \xi -\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{0}}(\xi )=-\frac{1}{i\sqrt{2}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{d}{d\xi }\left( {{e}^{\left( -\frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}{{\phi }_{0}}(\xi ) \right) \\
	~~& \Rightarrow {{\phi }_{1}}(\xi )=-\frac{1}{i\sqrt{2}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{d}{d\xi }\left( {{A}_{0}}{{e}^{\left( -{{\xi }^{2}} \right)}} \right) \\~~
	~~& {{A}_{0}}={{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}} \\~~
	~~\end{align}</math>~~

	~~Die angeregten Zustände werden also einfach durch Anwendung des Aufsteigeoperators aus dem Grundzustand erzeugt!~~
	~~Für den n-ten angeregten Zustand (Induktion!) damit:~~
	~~:<math>\begin{align}~~
	& {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}}{\sqrt{n!}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( \xi -\frac{d}{d\xi } \right)}^{n}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}}\frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( -1 \right)}^{n}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{{{d}^{n}}}{{{\left( d\xi \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}} \\
	~~& \frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}:={{A}_{n}} \\~~
	~~& {{A}_{0}}={{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}} \\~~
	~~& {{\left( -1 \right)}^{n}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{{{d}^{n}}}{{{\left( d\xi \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}}:={{H}_{n}}(\xi ){{e}^{-\frac{{{\xi }^{2}}}{2}}} \\~~
	~~\end{align}</math>~~

	~~Dabei kann <math>\frac{1}{{{i}^{n}}}</math>~~
	~~als Phasenfaktor (für die Wahrscheinlichkeit irrelevant) weggelassen werden~~
	~~und <math>{{H}_{n}}</math>~~
	~~bezeichnet die sogenannten Hermiteschen Polynome vom Grad n.~~
	~~Die Eigenzustände des harmonischen Oszillators beinhalten also die Hermité- Polynome~~
	~~:<math>\begin{align}~~
	& {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}}\frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( -1 \right)}^{n}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{{{d}^{n}}}{{{\left( d\xi \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}} \\
	~~& \Rightarrow {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{{{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}}}{\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{n}}n!}}{{H}_{n}}(\xi ){{e}^{-\frac{{{\xi }^{2}}}{2}}} \\~~
	~~\end{align}</math>~~

	~~Explizit lauten diese Hermiteschen Polynome (wie aus obiger Relation berechnet werden kann):~~
	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& {{H}_{0}}(\xi )=1 \\~~
	~~& {{H}_{1}}(\xi )=2\xi \\~~
	~~& {{H}_{2}}(\xi )=4{{\xi }^{2}}-2 \\~~
	~~& {{H}_{3}}(\xi )=2{{\xi }^{3}}-12\xi \\~~
	~~\end{align}</math>~~

	~~Letztendlich bezeichnet~~
	~~:<math>{{\left( -1 \right)}^{n}}</math>~~
	~~die Parität von <math>{{\phi }_{n}}</math>~~

	~~Die Wellenfunktionen im Oszillatorpotenzial (die Wurzeln der Wahrscheinlichkeiten) werden folgendermaßen schematisch dargestellt:~~


	~~Für das Wasserstoffatom ergeben sich als Wellenfunktion die Kugelflächenfunktionen <math>{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )</math>.~~

	~~Bei Polardiagrammen gibt dabei der Betrag des Radiusvektors, der das Diagramm zeichnet <math>r={{\left\| {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \right\|}^{2}}</math>~~
	~~das Betragsquadrat der Kugelflächenfunktion an.~~
	~~Also die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons im Kraftfeld des Protons.~~
	Dabei gibt es für verschiedene Drehimpulsquantenzahlen L verschiedene Wellenfunktionen zum gleichen Energieeigenwert. Die Niveaus sind (ohne den Spin) L+1 - fach entartet! die Charakterisierung erfolgt durch die magnetische Quantenzahl m

207.28.143.8: /* Verallgemeinerung */

2011-07-02T13:30:14Z

Verallgemeinerung

@@ Zeile 95: / Zeile 95: @@
 :<math>-\left[ {{a}^{+}},\hat{H} \right]=\left( a\hat{H} \right)\acute{\ }*-\left( \hat{H}a \right)*=\hbar \omega {{a}^{+}}</math>
-=====Verallgemeinerung=====
+Well mcaadmaia nuts, how about that.
 =====Eigenwerte von H=====

200.6.245.34: /* Normierung der EigenzustÃ¤nde */

2011-07-01T21:21:24Z

Normierung der EigenzustÃ¤nde

@@ Zeile 252: / Zeile 252: @@
 \end{align}</math>
-=====Normierung der Eigenzustände=====
+Do you have more great atrilces like this one?
 =====Teilchenzahloperator=====

60.28.101.10: /* Veranschaulichung */

2011-07-01T16:10:03Z

Veranschaulichung

← Nächstältere Version		Version vom 1. Juli 2011, 18:10 Uhr
Zeile 322:		Zeile 322:
	:<math>\hat{H}\left\| n \right\rangle =\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+\frac{1}{2} \right)\left\| n \right\rangle =\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)\left\| n \right\rangle </math>		:<math>\hat{H}\left\| n \right\rangle =\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+\frac{1}{2} \right)\left\| n \right\rangle =\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)\left\| n \right\rangle </math>

	~~=====Veranschaulichung=====~~		Hey, youre the goto expert. Thanks for hagnnig out here.
	~~Die folgende Grafik demonstriert die äquidistanten Energieniveaus im Oszillatorpotenzial~~. ~~Dabei werden die stationären Zustände <math>{{\left\| \phi (x) \right\|}^{2}}</math>~~
	~~dargestellt, also als Aufenthaltswahrscheinlichkeit~~

	~~Die Bewegung eines Wellenpaketes im Harmonischen Oszillator, also im x²- Potenzial für <math>\sigma =\frac{0,5{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>,~~
	~~also mit einem <math>\sigma <\frac{{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>,~~
	~~wobei <math>\frac{{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>~~
	~~das <math>\sigma </math>~~
	~~des Grundzustands darstellt, sieht folgendermaßen aus:~~
	~~Es ist das <math>\sigma =\frac{{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>~~
	~~für die kohärenten / Glauber - Zustände~~
	~~Das heißt: Die Standardabweichung des quantenmechanischen Oszillators ist kleiner als bei Berechnung über Glauberzustände (kohärente Zustände)~~

	=====Zusammenhang mit der Ortsdarstellung=====		=====Zusammenhang mit der Ortsdarstellung=====

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (10), ( → ( (8)

2010-09-12T22:35:57Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (10), ( → ( (8)

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:36:24Z

Einrückungen Mathematik

Änderungen zeigen

*>SchuBot am 11. September 2010 um 15:15 Uhr

2010-09-11T15:15:38Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 17:15 Uhr
Zeile 144:		Zeile 144:
	& \hbar \omega \left\langle E \right\|{{a}^{+}}a\left\| E \right\rangle =\left\langle E \right\|\hat{H}-\frac{\hbar \omega }{2}\left\| E \right\rangle =\left\langle E \right\|E-\frac{\hbar \omega }{2}\left\| E \right\rangle =E-\frac{\hbar \omega }{2} \\		& \hbar \omega \left\langle E \right\|{{a}^{+}}a\left\| E \right\rangle =\left\langle E \right\|\hat{H}-\frac{\hbar \omega }{2}\left\| E \right\rangle =\left\langle E \right\|E-\frac{\hbar \omega }{2}\left\| E \right\rangle =E-\frac{\hbar \omega }{2} \\

	& \left\langle E \right\|{{a}^{+}}a\left\| E \right\rangle =\left\langle \Psi ~~\right\|\left\|~~ \Psi \right\rangle \ge 0 \\		& \left\langle E \right\|{{a}^{+}}a\left\| E \right\rangle =\left\langle \Psi \| \Psi \right\rangle \ge 0 \\

	\end{align}</math>		\end{align}</math>
Zeile 287:		Zeile 287:
	Dieser Algorithmus wird n- mal angewendet:		Dieser Algorithmus wird n- mal angewendet:

	<math>\Rightarrow \left\langle 0 \right\|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a\left\| 0 \right\rangle =n!\left\langle 0 ~~\right\|\left~~\| 0 \right\rangle =n!</math>		<math>\Rightarrow \left\langle 0 \right\|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a\left\| 0 \right\rangle =n!\left\langle 0 \| 0 \right\rangle =n!</math>

	Somit folgt bis auf einen willkürlichen Phasenfaktor:		Somit folgt bis auf einen willkürlichen Phasenfaktor:

Schubotz am 9. September 2010 um 14:33 Uhr

2010-09-09T14:33:58Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. September 2010, 16:33 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|2\|6}}		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|2\|6}}</noinclude>

	Anwendungsbeispiel der abstrakten Darstellung im Hilbertraum: der eindimensionale harmonische Oszillator		Anwendungsbeispiel der abstrakten Darstellung im Hilbertraum: der eindimensionale harmonische Oszillator

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:35 Uhr
Zeile 15:		Zeile 15:
	:<math>\left[ {{{\hat{p}}}_{l}},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}{{\delta }_{kl}}</math>		:<math>\left[ {{{\hat{p}}}_{l}},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}{{\delta }_{kl}}</math>

	Definition eines Operators, des Leiteroperators ( nicht hermitesch !!)		Definition eines Operators, des Leiteroperators (nicht hermitesch!!)

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 77:		Zeile 77:
	:<math>{{E}_{0}}=\frac{1}{2}\hbar \omega </math>		:<math>{{E}_{0}}=\frac{1}{2}\hbar \omega </math>

	Also: Die Grundzustandsenergie folgt direkt aus der Unschärfe !		Also: Die Grundzustandsenergie folgt direkt aus der Unschärfe!

	Weitere Vertauschungsrelationen:		Weitere Vertauschungsrelationen:
Zeile 200:		Zeile 200:
	:<math>\left\| 0 \right\rangle :={{a}^{m-1}}\left\| E \right\rangle </math>		:<math>\left\| 0 \right\rangle :={{a}^{m-1}}\left\| E \right\rangle </math>

	Vorsicht ! Dieser ist gerade nicht ein NULL- KET,		Vorsicht! Dieser ist gerade nicht ein NULL- KET,

	sondern: Der Zustand zur Quantenzahl n=0		sondern: Der Zustand zur Quantenzahl n=0
Zeile 300:		Zeile 300:
	<u>'''Quantensprechweise:'''</u>		<u>'''Quantensprechweise:'''</u>
	:<math>{{E}_{n}}-{{E}_{n-1}}=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)-\hbar \omega \left( n-1+\frac{1}{2} \right)=\hbar \omega </math>		:<math>{{E}_{n}}-{{E}_{n-1}}=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)-\hbar \omega \left( n-1+\frac{1}{2} \right)=\hbar \omega </math>
	ist die Energie eines "Schwingungsquants". Man sagt auch, es IST ein Schwingungsquant !		ist die Energie eines "Schwingungsquants". Man sagt auch, es IST ein Schwingungsquant!
	:<math>\left\| n \right\rangle </math>		:<math>\left\| n \right\rangle </math>
	ist ein Zustand mit n Schwingungsquanten ( Phononen) der Frequenz <math>\omega </math>		ist ein Zustand mit n Schwingungsquanten (Phononen) der Frequenz <math>\omega </math>

	:<math>a</math>		:<math>a</math>
Zeile 326:		Zeile 326:
	dargestellt, also als Aufenthaltswahrscheinlichkeit		dargestellt, also als Aufenthaltswahrscheinlichkeit

	Die Bewegung eines Wellenpaketes im Harmonischen Oszillator, also im x²- Potenzial für <math>\sigma =\frac{0,5{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>		Die Bewegung eines Wellenpaketes im Harmonischen Oszillator, also im x²- Potenzial für <math>\sigma =\frac{0,5{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>,
	, also mit einem <math>\sigma <\frac{{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>		also mit einem <math>\sigma <\frac{{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>,
	, wobei <math>\frac{{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>		wobei <math>\frac{{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>
	das <math>\sigma </math>		das <math>\sigma </math>
	des Grundzustands darstellt, sieht folgendermaßen aus:		des Grundzustands darstellt, sieht folgendermaßen aus:
	Es ist das <math>\sigma =\frac{{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>		Es ist das <math>\sigma =\frac{{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>
	für die kohärenten / Glauber - Zustände		für die kohärenten / Glauber - Zustände
	Das heißt: Die Standardabweichung des quantenmechanischen Oszillators ist kleiner als bei Berechnung über Glauberzustände ( kohärente Zustände)		Das heißt: Die Standardabweichung des quantenmechanischen Oszillators ist kleiner als bei Berechnung über Glauberzustände (kohärente Zustände)

	=====Zusammenhang mit der Ortsdarstellung=====		=====Zusammenhang mit der Ortsdarstellung=====
	Bisher haben wir vollständig darstellungsfrei gerechnet ! Nun soll die darstellungsfreie Rechnung durch Operatoren in expliziten Darstellungen ersetzt werden !		Bisher haben wir vollständig darstellungsfrei gerechnet! Nun soll die darstellungsfreie Rechnung durch Operatoren in expliziten Darstellungen ersetzt werden!
	Mit <math>{{\phi }_{n}}(x)=\left\langle x \| n \right\rangle </math>		Mit <math>{{\phi }_{n}}(x)=\left\langle x \| n \right\rangle </math>
	und <math>a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x}</math>		und <math>a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x}</math>
Zeile 353:		Zeile 353:
	& \xi :=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}x \\		& \xi :=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}x \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	sind dimensionslose Größen, die sogenannten Normalkoordinaten !		sind dimensionslose Größen, die sogenannten Normalkoordinaten!
	In <math>\Rightarrow a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{n}}(\xi )</math>		In <math>\Rightarrow a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{n}}(\xi )</math>
	wird über <math>\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right)</math>		wird über <math>\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right)</math>
Zeile 382:		Zeile 382:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Die angeregten Zustände werden also einfach durch Anwendung des Aufsteigeoperators aus dem Grundzustand erzeugt !		Die angeregten Zustände werden also einfach durch Anwendung des Aufsteigeoperators aus dem Grundzustand erzeugt!
	Für den n-ten angeregten Zustand ( Induktion !) damit:		Für den n-ten angeregten Zustand (Induktion!) damit:
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}}{\sqrt{n!}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( \xi -\frac{d}{d\xi } \right)}^{n}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}}\frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( -1 \right)}^{n}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{{{d}^{n}}}{{{\left( d\xi \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}} \\		& {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}}{\sqrt{n!}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( \xi -\frac{d}{d\xi } \right)}^{n}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}}\frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( -1 \right)}^{n}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{{{d}^{n}}}{{{\left( d\xi \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}} \\
Zeile 392:		Zeile 392:

	Dabei kann <math>\frac{1}{{{i}^{n}}}</math>		Dabei kann <math>\frac{1}{{{i}^{n}}}</math>
	als Phasenfaktor ( für die Wahrscheinlichkeit irrelevant) weggelassen werden		als Phasenfaktor (für die Wahrscheinlichkeit irrelevant) weggelassen werden
	und <math>{{H}_{n}}</math>		und <math>{{H}_{n}}</math>
	bezeichnet die sogenannten Hermiteschen Polynome vom Grad n.		bezeichnet die sogenannten Hermiteschen Polynome vom Grad n.
Zeile 401:		Zeile 401:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Explizit lauten diese Hermiteschen Polynome ( wie aus obiger Relation berechnet werden kann):		Explizit lauten diese Hermiteschen Polynome (wie aus obiger Relation berechnet werden kann):
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{H}_{0}}(\xi )=1 \\		& {{H}_{0}}(\xi )=1 \\
Zeile 413:		Zeile 413:
	die Parität von <math>{{\phi }_{n}}</math>		die Parität von <math>{{\phi }_{n}}</math>

	Die Wellenfunktionen im Oszillatorpotenzial ( die Wurzeln der Wahrscheinlichkeiten) werden folgendermaßen schematisch dargestellt:		Die Wellenfunktionen im Oszillatorpotenzial (die Wurzeln der Wahrscheinlichkeiten) werden folgendermaßen schematisch dargestellt:


	Für das Wasserstoffatom ergeben sich als Wellenfunktion die Kugelflächenfunktionen <math>{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )</math>		Für das Wasserstoffatom ergeben sich als Wellenfunktion die Kugelflächenfunktionen <math>{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )</math>.
	.
	Bei Polardiagrammen gibt dabei der Betrag des Radiusvektors, der das Diagramm zeichnet <math>r={{\left\| {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \right\|}^{2}}</math>		Bei Polardiagrammen gibt dabei der Betrag des Radiusvektors, der das Diagramm zeichnet <math>r={{\left\| {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \right\|}^{2}}</math>
	das Betragsquadrat der Kugelflächenfunktion an.		das Betragsquadrat der Kugelflächenfunktion an.
	Also die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons im Kraftfeld des Protons.		Also die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons im Kraftfeld des Protons.
	Dabei gibt es für verschiedene Drehimpulsquantenzahlen L verschiedene Wellenfunktionen zum gleichen Energieeigenwert. Die Niveaus sind ( ohne den Spin) L+1 - fach entartet ! die Charakterisierung erfolgt durch die magnetische Quantenzahl m		Dabei gibt es für verschiedene Drehimpulsquantenzahlen L verschiedene Wellenfunktionen zum gleichen Energieeigenwert. Die Niveaus sind (ohne den Spin) L+1 - fach entartet! die Charakterisierung erfolgt durch die magnetische Quantenzahl m