Das ideale Fermigas - Versionsgeschichte

Schubotz: /* Definition: Fermi- Dirac- Integral der Ordnung s: */

2011-08-09T13:25:31Z

Definition: Fermi- Dirac- Integral der Ordnung s:

← Nächstältere Version		Version vom 9. August 2011, 15:25 Uhr
Zeile 299:		Zeile 299:
	<u>'''Entwicklung für'''</u>		<u>'''Entwicklung für'''</u>

	:<math>\eta >>1\Rightarrow \xi >>1</math>		:<math>\eta >>1\Rightarrow \xi >>1</math>, also Entartung:
	,
	also Entartung:

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 562:		Zeile 560:

	!		!


	== Spezifische Wärme ==		== Spezifische Wärme ==

Schubotz: /* Nichtenatartetes fermigas */

2010-09-19T11:15:28Z

Nichtenatartetes fermigas

← Nächstältere Version		Version vom 19. September 2010, 13:15 Uhr
Zeile 746:		Zeile 746:
	'''Nebenbemerkung:'''		'''Nebenbemerkung:'''

	Mit der ~~'''~~thermischen Wellenlänge ~~'''~~<math>\lambda :={{\left( \frac{{{h}^{2}}}{2\pi mkT} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>		Mit der {{FB\|thermischen Wellenlänge}} <math>\lambda :={{\left( \frac{{{h}^{2}}}{2\pi mkT} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math> entsprechend der {{FB\|de Broglie-Wellenlänge}} für <math>\frac{{{k}^{2}}{{\hbar }^{2}}}{2m}\tilde{\ }kT\Rightarrow \lambda ={{\left( \frac{{{h}^{2}}}{2mkT} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>

	entsprechend der de Broglie- Wellenlänge für <math>\frac{{{k}^{2}}{{\hbar }^{2}}}{2m}\tilde{\ }kT\Rightarrow \lambda ={{\left( \frac{{{h}^{2}}}{2mkT} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>

	E= kT also, schreibt man:		E= kT also, schreibt man:

	:<math>{{N}_{C}}=\frac{2s+1}{{{\lambda }^{3}}}</math>		:<math>{{N}_{C}}=\frac{2s+1}{{{\lambda }^{3}}}</math>

	~~[["category":"uncategorized"]]~~

Schubotz: /* Energie und Zustandsdichte freier Teilchen */

2010-09-19T11:13:18Z

Energie und Zustandsdichte freier Teilchen

← Nächstältere Version		Version vom 19. September 2010, 13:13 Uhr
Zeile 144:		Zeile 144:
	====Thermodynamischer limes (großes Volumen V):====		====Thermodynamischer limes (großes Volumen V):====

	'''Übergang zum Quasikontinuum:'''		'''Übergang zum {{FB\|Quasikontinuum}}:'''

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 176:		Zeile 176:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	sogenannte Fugizität!		sogenannte {{FB\|Fugizität}}!

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 202:		Zeile 202:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Mit der Fermi- Verteilung <math>\left\langle N(p) \right\rangle </math>		Mit der Fermi- Verteilung <math>\left\langle N(p) \right\rangle </math>, also:
	,
	also:

	:<math>\ln Y=\frac{2}{3}\beta \left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\left\langle N(p) \right\rangle E(p)</math>		:<math>\ln Y=\frac{2}{3}\beta \left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\left\langle N(p) \right\rangle E(p)</math>
Zeile 218:		Zeile 216:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Somit haben wir die thermische Zustands-Gleichung		Somit haben wir die '''thermische Zustands-Gleichung'''

	:<math>pV=kT\ln Y=\frac{2}{3}U=\frac{2}{3}\left\langle {{E}^{ges.}} \right\rangle </math>		{{Gln\|<math>pV=kT\ln Y=\frac{2}{3}U=\frac{2}{3}\left\langle {{E}^{ges.}} \right\rangle </math>\|thermische Zustands Gleichung}}

	'''Bemerkungen'''		{{Bem\|1='''Bemerkungen'''

	Dies gilt auch für ein klassisches ideales Gas!		Dies gilt auch für ein klassisches ideales Gas!
Zeile 240:		Zeile 238:
	Später werden wir sehen: Das gilt auch für Bose- Verteilung!!		Später werden wir sehen: Das gilt auch für Bose- Verteilung!!

	Also unabhängig von der speziellen Statistik!		Also '''unabhängig''' von der speziellen Statistik!}}

	==Entartetes Fermi-Gas==		==Entartetes Fermi-Gas==

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (30), ( → ( (8)

2010-09-12T22:48:56Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (30), ( → ( (8)

Änderungen zeigen

Schubotz am 12. September 2010 um 20:51 Uhr

2010-09-12T20:51:25Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 22:51 Uhr
Zeile 9:		Zeile 9:
	Die Wahrscheinlichkeit, das System in einem bestimmten Zustand zu finden ist gleich dem Erwartungswert des statistischen Operators in diesem Zustand:		Die Wahrscheinlichkeit, das System in einem bestimmten Zustand zu finden ist gleich dem Erwartungswert des statistischen Operators in diesem Zustand:

	Also für den Vielteilchenzustand <math>\left\| \alpha \right\rangle </math>:		Also für den {{FB\|Vielteilchenzustand}} <math>\left\| \alpha \right\rangle </math>:

	:<math>{{E}_{\alpha }}^{ges.}=\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}{{E}_{j}}{{N}_{j}}</math>		:<math>{{E}_{\alpha }}^{ges.}=\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}{{E}_{j}}{{N}_{j}}</math>
Zeile 21:		Zeile 21:
	Dies ist ein Ergebnis für einen Zustand !		Dies ist ein Ergebnis für einen Zustand !

	Die Großkanonsiche Zustandsumme Y gewinnt man, indem man über alle möglichen Vielteilchenzustände noch summiert, also:		Die {{FB\|Großkanonsiche Zustandsumme}} Y gewinnt man, indem man über alle möglichen Vielteilchenzustände noch summiert, also:

	:<math>Y=\sum\limits_{{{N}_{1}}...{{N}_{l}}}^{{}}{{}}\exp \left( -\beta \sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( \sum\limits_{{{N}_{j}}}^{{}}{{}}\exp \left( -\beta \left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right) \right)</math>		:<math>Y=\sum\limits_{{{N}_{1}}...{{N}_{l}}}^{{}}{{}}\exp \left( -\beta \sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( \sum\limits_{{{N}_{j}}}^{{}}{{}}\exp \left( -\beta \left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right) \right)</math>
Zeile 27:		Zeile 27:
	Jetzt muss bei der Auswertung die unterschiedliche Teilchenart berücksichtigt werden, nämlich in der Summation über Nj. Handelt es sich um Fermionen, so wird nur bis 1 summiert. Handelt es sich um Bosonen, so wird bis unendlich summiert !		Jetzt muss bei der Auswertung die unterschiedliche Teilchenart berücksichtigt werden, nämlich in der Summation über Nj. Handelt es sich um Fermionen, so wird nur bis 1 summiert. Handelt es sich um Bosonen, so wird bis unendlich summiert !

	~~====~~Fermionen~~====~~		'''Fermionen'''

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 43:		Zeile 43:
	Also folgt:		Also folgt:

	:<math>P\left( {{N}_{1}},...,{{N}_{l}} \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\frac{{{t}_{j}}^{{{N}_{j}}}}{\left( 1+{{t}_{j}} \right)}=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}P\left( {{N}_{j}} \right)</math>		:<math>P\left( {{N}_{1}},...,{{N}_{l}} \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\frac{{{t}_{j}}^{{{N}_{j}}}}{\left( 1+{{t}_{j}} \right)}=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}P\left( {{N}_{j}} \right)</math> separiert !!

	~~separiert !~~!		Dies als Gesamtwahrscheinlichkeit, das System mit der Besetzung <math>\left( {{N}_{1}},...,{{N}_{l}} \right)</math> zu finden!

	~~Dies als Gesamtwahrscheinlichkeit, das System mit der Besetzung~~ <math>~~\left( {{N}_{1}},...,~~{{N}_{l}} ~~\right)~~</math>		<u>'''Mittlere Besetzungszahl '''</u>im Einteilchenzustand <math>{{E}_{j}}</math>:

	~~zu finden !~~		Aus <math>P\left( {{N}_{j}} \right)=\exp \left( {{\Psi }_{j}}-\beta {{E}_{j}}-\alpha {{N}_{j}} \right)</math> mit

	~~<u>'''Mittlere Besetzungszahl '''</u>im Einteilchenzustand <math>{{E}_{j}}</math>~~

	:

	Aus <math>P\left( {{N}_{j}} \right)=\exp \left( {{\Psi }_{j}}-\beta {{E}_{j}}-\alpha {{N}_{j}} \right)</math>

	mit

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 73:		Zeile 65:
	Also:		Also:

	:<math>\Rightarrow \left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =\frac{1}{\exp \left( \frac{{{E}_{j}}-\mu }{kT} \right)+1}</math>		{{Gln\|<math>\Rightarrow \left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =\frac{1}{\exp \left( \frac{{{E}_{j}}-\mu }{kT} \right)+1}</math> Die Fermi-Verteilung! \|Fermi-Verteilung}}

	Die Fermi- Verteilung !

	Dies folgt auch explizit aus		Dies folgt auch explizit aus
Zeile 89:		Zeile 79:
	* 2 Möglichkeiten ! → Mittelwert liegt in der Mitte		* 2 Möglichkeiten ! → Mittelwert liegt in der Mitte

			[[File:Fermi_dirac_distr.svg\|miniatur\|rechts besetzte und links unbesetzte Zustände]]
	~~Für T → 0:~~		FJ:<nowiki>

	~~:<math>\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \to \Theta \left( \mu -{{E}_{j}} \right)</math>~~

	~~( Stufenfunktion), sogenannter Quantenlimes !~~

	~~T>0:~~

	~~Aufweichungszone bei <math>{{E}_{j}}\tilde{\ }\mu </math>~~

	~~der Breite <math>\approx kT</math>~~

	:~~<math>{{E}_{j}}-\mu >>kT</math>~~

	~~( sehr hohe Energien)~~

	→

	:<~~math~~>~~\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \tilde{\ }\exp \left( -\frac{{{E}_{j}}-\mu }{kT} \right)</math>~~

	* die Fermiverteilung nähert sich der Boltzmann- Verteilung an ( klassischer Grenzfall !!)
	* keine Berücksichtigung des Pauli- Prinzips mehr !

	Nj:=1/(1+exp((Ej-mue)/Boltz));		Nj:=1/(1+exp((Ej-mue)/Boltz));

Zeile 129:		Zeile 97:
	mue := 1		mue := 1

	* plot(Nj,Ej=0..50);		* plot(Nj,Ej=0..50);</nowiki>]]
			;Für T → 0:<math>\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \to \Theta \left( \mu -{{E}_{j}} \right)</math> (Stufenfunktion), sogenannter Quantenlimes !
			;T>0: Aufweichungszone bei <math>{{E}_{j}}\tilde{\ }\mu </math> der Breite <math>\approx kT</math>

			<math>{{E}_{j}}-\mu >>kT</math> (sehr hohe Energien) → <math>\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \tilde{\ }\exp \left( -\frac{{{E}_{j}}-\mu }{kT} \right)</math>

			* die Fermiverteilung nähert sich der Boltzmann- Verteilung an ( klassischer Grenzfall !!)
			* keine Berücksichtigung des Pauli- Prinzips mehr !

	~~Beispiel einer Maxwell- Boltzmann- Verteilung sehr hoher Energien !~~

	~~'''Gesamte mittlere Teilchenzahl'''~~

	~~:<math>\bar{N}=\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle </math>~~		Beispiel einer Maxwell- Boltzmann- Verteilung sehr hoher Energien !

	~~'''thermische Zustandsgleichung'''~~		;Gesamte mittlere Teilchenzahl:<math>\bar{N}=\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle </math>

	:<math>pV=kT\ln Y=kT\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\ln {{Y}_{i}}=kT\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\ln \left( 1+\exp \left( \beta \left( \mu -{{E}_{j}} \right) \right) \right)</math>		;thermische Zustandsgleichung:<math>pV=kT\ln Y=kT\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\ln {{Y}_{i}}=kT\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\ln \left( 1+\exp \left( \beta \left( \mu -{{E}_{j}} \right) \right) \right)</math>

	==Energie und Zustandsdichte freier Teilchen==		==Energie und Zustandsdichte freier Teilchen==

*>SchuBot: Pfeile einfügen, replaced: -> → → (5)

2010-09-12T20:12:45Z

Pfeile einfügen, replaced: -> → → (5)

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 22:12 Uhr
Zeile 87:		Zeile 87:
	aber nur wegen Nj = 0,1		aber nur wegen Nj = 0,1

	* 2 Möglichkeiten ! -> Mittelwert liegt in der Mitte		* 2 Möglichkeiten ! → Mittelwert liegt in der Mitte


	Für T -> 0:		Für T → 0:

	:<math>\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \to \Theta \left( \mu -{{E}_{j}} \right)</math>		:<math>\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \to \Theta \left( \mu -{{E}_{j}} \right)</math>
Zeile 106:		Zeile 106:
	( sehr hohe Energien)		( sehr hohe Energien)

	->		→

	:<math>\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \tilde{\ }\exp \left( -\frac{{{E}_{j}}-\mu }{kT} \right)</math>		:<math>\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \tilde{\ }\exp \left( -\frac{{{E}_{j}}-\mu }{kT} \right)</math>
Zeile 462:		Zeile 462:
	eliminieren:		eliminieren:

	<u>'''~~T->0~~'''</u>		<u>'''T→0'''</u>

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 640:		Zeile 640:
	<u>Beispiele für entartete Fermigase</u>		<u>Beispiele für entartete Fermigase</u>

	* Elektronen in Metallen -> hohe Dichten !		* Elektronen in Metallen → hohe Dichten !
	* Elektronen in Halbleitern, bei sehr tiefen Temperaturen oder hoher Dotierung!		* Elektronen in Halbleitern, bei sehr tiefen Temperaturen oder hoher Dotierung!

Schubotz am 12. September 2010 um 20:11 Uhr

2010-09-12T20:11:32Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 22:11 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	# Teilchen- Zustände sind die Eigenzustände zur 1- Teilchen- Energie Ei		# Teilchen- Zustände sind die Eigenzustände zur 1- Teilchen- Energie Ei

	~~'''~~Großkanonischer Statistischer Operator:~~'''~~		{{FB\|Großkanonischer Statistischer Operator}}:

	:<math>\hat{\rho }={{Y}^{-1}}\exp \left( -\beta \left( \hat{H}-\mu \hat{N} \right) \right)</math>		:<math>\hat{\rho }={{Y}^{-1}}\exp \left( -\beta \left( \hat{H}-\mu \hat{N} \right) \right)</math>
Zeile 9:		Zeile 9:
	Die Wahrscheinlichkeit, das System in einem bestimmten Zustand zu finden ist gleich dem Erwartungswert des statistischen Operators in diesem Zustand:		Die Wahrscheinlichkeit, das System in einem bestimmten Zustand zu finden ist gleich dem Erwartungswert des statistischen Operators in diesem Zustand:

	Also für den Vielteilchenzustand <math>\left\| \alpha \right\rangle </math>		Also für den Vielteilchenzustand <math>\left\| \alpha \right\rangle </math>:

	:

	:<math>{{E}_{\alpha }}^{ges.}=\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}{{E}_{j}}{{N}_{j}}</math>		:<math>{{E}_{\alpha }}^{ges.}=\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}{{E}_{j}}{{N}_{j}}</math>
Zeile 143:		Zeile 141:
	:<math>pV=kT\ln Y=kT\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\ln {{Y}_{i}}=kT\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\ln \left( 1+\exp \left( \beta \left( \mu -{{E}_{j}} \right) \right) \right)</math>		:<math>pV=kT\ln Y=kT\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\ln {{Y}_{i}}=kT\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\ln \left( 1+\exp \left( \beta \left( \mu -{{E}_{j}} \right) \right) \right)</math>

	====Energie und Zustandsdichte freier Teilchen====		==Energie und Zustandsdichte freier Teilchen==

	Energie- Eigenwerte:		Energie- Eigenwerte:
Zeile 271:		Zeile 269:
	Also unabhängig von der speziellen Statistik !		Also unabhängig von der speziellen Statistik !

	====Entartetes Fermi- Gas====		==Entartetes Fermi-Gas==

	Klassischer Grenzfall der Fermi- Verteilung:		Klassischer Grenzfall der Fermi- Verteilung:
Zeile 594:		Zeile 592:
	!		!

	~~<u>'''~~Spezifische Wärme~~'''</u>~~
			== Spezifische Wärme ==


	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 643:		Zeile 643:
	* Elektronen in Halbleitern, bei sehr tiefen Temperaturen oder hoher Dotierung!		* Elektronen in Halbleitern, bei sehr tiefen Temperaturen oder hoher Dotierung!

	====Nichtenatartetes fermigas====		==Nichtenatartetes fermigas==

	verdünntes, nichtrelativistisches Quantengas !		verdünntes, nichtrelativistisches Quantengas !

*>SchuBot am 12. September 2010 um 14:32 Uhr

2010-09-12T14:32:04Z

Änderungen zeigen

Schubotz am 31. August 2010 um 21:49 Uhr

2010-08-31T21:49:22Z

← Nächstältere Version		Version vom 31. August 2010, 23:49 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	<noinclude>{{Scripthinweis\|Thermodynamik\|6\|2}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Thermodynamik\|5\|2}}</noinclude>

	# Teilchen- Zustände sind die Eigenzustände zur 1- Teilchen- Energie Ei		# Teilchen- Zustände sind die Eigenzustände zur 1- Teilchen- Energie Ei

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Thermodynamik|6|2}} # Teilchen- Zustände sind die Eigenzustände zur 1- Teilchen- Energie Ei '''Großkanonischer Statist…“

2010-08-31T21:46:26Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|6|2}}</noinclude> # Teilchen- Zustände sind die Eigenzustände zur 1- Teilchen- Energie Ei '''Großkanonischer Statist…“

Neue Seite

<noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|6|2}}</noinclude>

# Teilchen- Zustände sind die Eigenzustände zur 1- Teilchen- Energie Ei

'''Großkanonischer Statistischer Operator:'''

<math>\hat{\rho }={{Y}^{-1}}\exp \left( -\beta \left( \hat{H}-\mu \hat{N} \right) \right)</math>

Die Wahrscheinlichkeit, das System in einem bestimmten Zustand zu finden ist gleich dem Erwartungswert des statistischen Operators in diesem Zustand:

Also für den Vielteilchenzustand <math>\left| \alpha \right\rangle </math>

:

<math>{{E}_{\alpha }}^{ges.}=\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}{{E}_{j}}{{N}_{j}}</math>

mit der Einteilchenenergie Ej und den Besetzungszahlen Nj

Diese Wahrscheinlichkeit ist:

<math>{{P}_{\alpha }}=\left\langle \alpha \right|\hat{\rho }\left| \alpha \right\rangle ={{Y}^{-1}}\left\langle \alpha \right|\exp \left( -\beta \left( \hat{H}-\mu \hat{N} \right) \right)\left| \alpha \right\rangle ={{Y}^{-1}}\exp \left( -\beta \sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right)</math>

Dies ist ein Ergebnis für einen Zustand !

Die Großkanonsiche Zustandsumme Y gewinnt man, indem man über alle möglichen Vielteilchenzustände noch summiert, also:

<math>Y=\sum\limits_{{{N}_{1}}...{{N}_{l}}}^{{}}{{}}\exp \left( -\beta \sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( \sum\limits_{{{N}_{j}}}^{{}}{{}}\exp \left( -\beta \left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right) \right)</math>

Jetzt muss bei der Auswertung die unterschiedliche Teilchenart berücksichtigt werden, nämlich in der Summation über Nj. Handelt es sich um Fermionen, so wird nur bis 1 summiert. Handelt es sich um Bosonen, so wird bis unendlich summiert !

====Fermionen====

<math>\begin{align}

& Y=\sum\limits_{{{N}_{1}}...{{N}_{l}}=0}^{1}{{}}\exp \left( -\beta \sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( \sum\limits_{{{N}_{j}}=0}^{1}{{}}\exp \left( -\beta \left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right) \right) \\

& =\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( \sum\limits_{{{N}_{j}}=0}^{1}{{}}{{t}_{j}}^{{{N}_{j}}} \right) \\

& {{t}_{j}}:=\exp \left( -\beta \left( {{E}_{j}}-\mu \right) \right) \\

& Y=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( 1+{{t}_{j}} \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}{{Y}_{j}} \\

\end{align}</math>

Also folgt:

<math>P\left( {{N}_{1}},...,{{N}_{l}} \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\frac{{{t}_{j}}^{{{N}_{j}}}}{\left( 1+{{t}_{j}} \right)}=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}P\left( {{N}_{j}} \right)</math>

separiert !!

Dies als Gesamtwahrscheinlichkeit, das System mit der Besetzung <math>\left( {{N}_{1}},...,{{N}_{l}} \right)</math>

zu finden !

'''Mittlere Besetzungszahl '''im Einteilchenzustand <math>{{E}_{j}}</math>

:

Aus <math>P\left( {{N}_{j}} \right)=\exp \left( {{\Psi }_{j}}-\beta {{E}_{j}}-\alpha {{N}_{j}} \right)</math>

mit

<math>\begin{align}

& {{\Psi }_{j}}=-\ln {{Y}_{j}}=-\ln \left( 1+{{t}_{j}} \right) \\

& \alpha =-\beta \mu \\

\end{align}</math>

folgt:

<math>\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =\frac{\partial {{\Psi }_{j}}}{\partial \alpha }=\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial \mu }\ln {{Y}_{j}}=\frac{{{t}_{j}}}{1+{{t}_{j}}}=\frac{1}{{{t}_{j}}^{-1}+1}</math>

Also:

<math>\Rightarrow \left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =\frac{1}{\exp \left( \frac{{{E}_{j}}-\mu }{kT} \right)+1}</math>

Die Fermi- Verteilung !

Dies folgt auch explizit aus

<math>\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =\sum\limits_{{{N}_{1}}=0}^{1}{{}}\sum\limits_{{{N}_{2}}=0}^{1}{{}}...\left\{ {{N}_{j}}\frac{{{t}_{1}}^{{{N}_{1}}}}{1+{{t}_{1}}}...\frac{{{t}_{j}}^{{{N}_{j}}}}{1+{{t}_{j}}}.... \right\}=\sum\limits_{{{N}_{j}}=0}^{1}{{}}{{N}_{j}}.\frac{{{t}_{j}}^{{{N}_{j}}}}{1+{{t}_{j}}}=\frac{0{{t}_{j}}^{0}+1{{t}_{j}}}{1+{{t}_{j}}}=\frac{{{t}_{j}}}{1+{{t}_{j}}}</math>

speziell folgt dies auch aus

<math>\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =p\left( {{N}_{j}}=1 \right)=\frac{{{t}_{j}}}{1+{{t}_{j}}}</math>

aber nur wegen Nj = 0,1

* 2 Möglichkeiten ! -> Mittelwert liegt in der Mitte

Für T -> 0:

<math>\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \to \Theta \left( \mu -{{E}_{j}} \right)</math>

( Stufenfunktion), sogenannter Quantenlimes !

T>0:

Aufweichungszone bei <math>{{E}_{j}}\tilde{\ }\mu </math>

der Breite <math>\approx kT</math>

<math>{{E}_{j}}-\mu >>kT</math>

( sehr hohe Energien)

->

<math>\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \tilde{\ }\exp \left( -\frac{{{E}_{j}}-\mu }{kT} \right)</math>

* die Fermiverteilung nähert sich der Boltzmann- Verteilung an ( klassischer Grenzfall !!)
* keine Berücksichtigung des Pauli- Prinzips mehr !

Nj:=1/(1+exp((Ej-mue)/Boltz));

1

Nj := ---------------------

1 + exp(1/5 Ej - 1/5)

> Boltz:=5;

Boltz := 5

> mue:=1;

mue := 1

* plot(Nj,Ej=0..50);

Beispiel einer Maxwell- Boltzmann- Verteilung sehr hoher Energien !

'''Gesamte mittlere Teilchenzahl'''

<math>\bar{N}=\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle </math>

'''thermische Zustandsgleichung'''

<math>pV=kT\ln Y=kT\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\ln {{Y}_{i}}=kT\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\ln \left( 1+\exp \left( \beta \left( \mu -{{E}_{j}} \right) \right) \right)</math>

====Energie und Zustandsdichte freier Teilchen====

Energie- Eigenwerte:

<math>{{E}_{j}}=\frac{{{{\bar{k}}}^{2}}{{\hbar }^{2}}}{2m}</math>

Das System sei in einem Würfel V = L³ eingeschlossen !

Zyklische Randbedingungen ( Born - v. Karman):

<math>\begin{align}

& {{\Psi }_{j}}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{1}{\sqrt{V}}{{e}^{i\bar{k}\bar{r}}} \\

& {{k}_{a}}L=2\pi {{n}_{a}} \\

& {{n}_{a}}=\pm 1,\pm 2,\pm 3.... \\

& a=1,2,3 \\

\end{align}</math>

Ein Zustand im k- Raum beansprucht also das Volumen:

<math>{{\left( \Delta k \right)}^{3}}={{\left( \frac{2\pi }{L} \right)}^{3}}\Delta {{n}_{1}}\Delta {{n}_{2}}\Delta {{n}_{3}}={{\left( \frac{2\pi }{L} \right)}^{3}}=\left( \frac{8{{\pi }^{3}}}{V} \right)</math>

Dabei wurde jedoch kein Spin berücksichtigt !

====Thermodynamischer limes ( großes Volumen V):====

'''Übergang zum Quasikontinuum:'''

<math>\begin{align}

& \sum\limits_{j}{{}}\to \left( \frac{V}{8{{\pi }^{3}}} \right)\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}k \\

& \bar{p}=\hbar \bar{k} \\

& \to \sum\limits_{j}{{}}\to \left( \frac{V}{8{{\pi }^{3}}{{\hbar }^{3}}} \right)\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}p=\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}p \\

\end{align}</math>

In Übereinstimmung mit Kapitel 4.1, Seite 100

'''Spinentartung:'''

(2s+1)- fache Entartung !

'''Kugelsymmetrisches Integral:'''

<math>\to \sum\limits_{j}{{}}\to \left( \frac{V}{8{{\pi }^{3}}{{\hbar }^{3}}} \right)\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}p=\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}p=\left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{{}}^{{}}{{}}{{p}^{2}}dp</math>

'''Großkanonische Zustandssumme:'''

<math>\begin{align}

& \ln Y=\sum\limits_{j}{{}}\ln \left( 1+\xi {{e}^{-\beta {{E}_{j}}}} \right) \\

& \xi :={{e}^{\beta \mu }} \\

\end{align}</math>

sogenannte Fugizität !

<math>\begin{align}

& \ln Y=\sum\limits_{j}{{}}\ln \left( 1+\xi {{e}^{-\beta {{E}_{j}}}} \right) \\

& \approx \left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}{{p}^{2}}dp\ln \left( 1+\xi {{e}^{-\beta {{E}_{j}}}} \right)=\left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}{{p}^{2}}dp\ln \left( 1+\xi {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}} \right) \\

\end{align}</math>

'''Partielle Integration:'''

<math>\begin{align}

& \ln Y\approx \left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}{{p}^{2}}dp\ln \left( 1+\xi {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}} \right) \\

& =\left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \left[ \left. \left( \frac{{{p}^{3}}}{3}\ln \left( 1+\xi {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}} \right) \right) \right|_{0}^{\infty }-\int_{0}^{\infty }{{}}{{\frac{p}{3}}^{3}}\frac{-\beta \frac{p}{m}\xi {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}}}{\left( 1+\xi {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}} \right)}dp \right] \\

& \left. \left( \frac{{{p}^{3}}}{3}\ln \left( 1+\xi {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}} \right) \right) \right|_{0}^{\infty }=0 \\

& \Rightarrow \ln Y=-\left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}{{\frac{p}{3}}^{3}}\frac{-\beta \frac{p}{m}\xi {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}}}{\left( 1+\xi {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}} \right)}dp=\frac{2}{3}\left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\frac{\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}{\left( \frac{1}{\xi }{{e}^{\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}}+1 \right)} \\

& =\frac{2}{3}\beta \left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\left\langle N(p) \right\rangle \frac{{{p}^{2}}}{2m} \\

\end{align}</math>

Mit der Fermi- Verteilung <math>\left\langle N(p) \right\rangle </math>

, also:

<math>\ln Y=\frac{2}{3}\beta \left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\left\langle N(p) \right\rangle E(p)</math>

'''Diskret:'''

<math>\begin{align}

& \ln Y=\frac{2}{3}\beta \sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle {{E}_{j}}=\frac{2}{3}\beta U \\

& U=\left\langle {{E}^{ges.}} \right\rangle \\

\end{align}</math>

Somit haben wir die thermische Zustands-Gleichung

<math>pV=kT\ln Y=\frac{2}{3}U=\frac{2}{3}\left\langle {{E}^{ges.}} \right\rangle </math>

'''Bemerkungen'''

Dies gilt auch für ein klassisches ideales Gas !

Klassisch:

<math>\begin{align}

& pV=\bar{N}kT \\

& U=\frac{3}{2}\bar{N}kT \\

& \Rightarrow pV=\frac{2}{3}U \\

\end{align}</math>

Später werden wir sehen: Das gilt auch für Bose- Verteilung !!

Also unabhängig von der speziellen Statistik !

====Entartetes Fermi- Gas====

Klassischer Grenzfall der Fermi- Verteilung:

<math>\left\langle N\left( p \right) \right\rangle =\frac{1}{\left( \frac{1}{\xi }{{e}^{\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}}+1 \right)}\approx \xi {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}}</math>

( Maxwell- Boltzmann- Verteilung)

für <math>\xi ={{e}^{\frac{\mu }{kT}}}<<1\Rightarrow \mu <0</math>

( stark verdünnt)

* klassischer Limes !
* Merke positives chemisches Potenzial ist ein QM- Grenzfall !!

'''Nichtklassischer Grenzfall ( "Fermi- Entartung ")'''

'''Für '''<math>\xi >>1</math>

( Grenzfall hoher Dichte !)

'''Gesamte Teilchenzahl:'''

<math>\bar{N}=\left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\frac{1}{\left( {{e}^{\beta \left( \frac{{{p}^{2}}}{2m}-\mu \right)}}+1 \right)}</math>

'''Innere Energie:'''

<math>U=\left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\frac{\frac{{{p}^{2}}}{2m}}{\left( {{e}^{\beta \left( \frac{{{p}^{2}}}{2m}-\mu \right)}}+1 \right)}</math>

'''Substitution'''

<math>\begin{align}

& \frac{{{p}^{2}}}{2mkT}=y \\

& pdp=mkTdy \\

& \frac{\mu }{kT}=\eta =-\alpha \\

& \bar{N}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{\frac{1}{2}}}}{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)} \\

& U=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}kT\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{\frac{3}{2}}}}{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)} \\

\end{align}</math>

====Definition: Fermi- Dirac- Integral der Ordnung s:====

<math>\begin{align}

& {{F}_{s}}\left( \eta \right):=\frac{1}{\Gamma \left( s+1 \right)}\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{s}}}{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)} \\

& s>0 \\

\end{align}</math>

'''Entwicklung für'''

<math>\eta >>1\Rightarrow \xi >>1</math>

, also Entartung:

<math>\begin{align}

& \Gamma \left( s+1 \right){{F}_{s}}\left( \eta \right):=\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{s}}}{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)}=\frac{1}{s+1}\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{d}{dy}\left( {{y}^{s+1}} \right)\frac{1}{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)} \\

& =\frac{1}{s+1}\left. \left[ \left( {{y}^{s+1}} \right)\frac{1}{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)} \right] \right|_{0}^{\infty }+\frac{1}{s+1}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{s+1}}\frac{{{e}^{y-\eta }}}{{{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)}^{2}}} \\

& \frac{1}{s+1}\left. \left[ \left( {{y}^{s+1}} \right)\frac{1}{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)} \right] \right|_{0}^{\infty }=0 \\

\end{align}</math>

weitere Substitution:

<math>\begin{align}

& x=y-\eta \\

& \Rightarrow \Gamma \left( s+1 \right){{F}_{s}}\left( \eta \right)=\frac{1}{s+1}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{s+1}}\frac{{{e}^{y-\eta }}}{{{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)}^{2}}}=\frac{1}{s+1}\int_{-\eta }^{\infty }{{}}dx{{\left( x+\eta \right)}^{s+1}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}} \\

& \eta >>1 \\

\end{align}</math>

Somit kann man die Grenzen erweitern, da <math>\eta >>1</math>

:

<math>\begin{align}

& x=y-\eta \\

& \Rightarrow \Gamma \left( s+1 \right){{F}_{s}}\left( \eta \right)=\frac{1}{s+1}\int_{-\eta }^{\infty }{{}}dx{{\left( x+\eta \right)}^{s+1}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}\approx \frac{1}{s+1}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx{{\left( x+\eta \right)}^{s+1}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}+O\left( {{e}^{-\eta }} \right) \\

& O\left( {{e}^{-\eta }} \right)<<1 \\

\end{align}</math>

Dies kann man durch Entwicklung von

<math>{{\left( x+\eta \right)}^{s+1}}</math>

lösen:

<math>{{\left( x+\eta \right)}^{s+1}}\approx {{\left( \eta \right)}^{s+1}}+\left( s+1 \right){{\left( \eta \right)}^{s}}x+\frac{s\left( s+1 \right)}{2}{{\left( \eta \right)}^{s-1}}{{x}^{2}}+....</math>

Somit:

<math>\begin{align}

& \Gamma \left( s+1 \right){{F}_{s}}\left( \eta \right)=\frac{1}{s+1}\int_{-\eta }^{\infty }{{}}dx{{\left( x+\eta \right)}^{s+1}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}\approx \frac{1}{s+1}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx{{\left( x+\eta \right)}^{s+1}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}+O\left( {{e}^{-\eta }} \right) \\

& \approx \frac{1}{s+1}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx{{\left( \eta \right)}^{s+1}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}+\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx{{\left( \eta \right)}^{s}}x\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}+\frac{s}{2}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx{{\left( \eta \right)}^{s-1}}{{x}^{2}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}} \\

& =\frac{{{\left( \eta \right)}^{s+1}}}{s+1}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}+{{\left( \eta \right)}^{s}}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx\frac{x{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}+\frac{s}{2}{{\left( \eta \right)}^{s-1}}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx{{x}^{2}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}} \\

\end{align}</math>

Für die Terme gilt im Einzelnen:

<math>\begin{align}

& \int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}=\left[ \frac{-1}{\left( {{e}^{x}}+1 \right)} \right]_{-\infty }^{\infty }=1 \\

& \int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx\frac{x{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}=0\quad da\ Integrand\ ungerade \\

& \int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx{{x}^{2}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}:=I \\

\end{align}</math>

Bleibt Integral I zu lösen:

<math>\begin{align}

& I=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx{{x}^{2}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}=2\int_{0}^{\infty }{{}}dx{{x}^{2}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}=-2\left[ {{x}^{2}}\frac{1}{\left( {{e}^{x}}+1 \right)} \right]_{0}^{\infty }+4\int_{0}^{\infty }{{}}dx\frac{x}{\left( {{e}^{x}}+1 \right)} \\

& \left[ {{x}^{2}}\frac{1}{\left( {{e}^{x}}+1 \right)} \right]_{0}^{\infty }=0 \\

& \int_{0}^{\infty }{{}}dx\frac{x}{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}=\frac{{{\pi }^{2}}}{12} \\

& \Rightarrow I=\frac{{{\pi }^{2}}}{3} \\

\end{align}</math>

Somit ergibt sich das Fermi- Dirac- Integral gemäß

<math>\begin{align}

& \Gamma \left( s+1 \right){{F}_{s}}\left( \eta \right)\approx \frac{{{\left( \eta \right)}^{s+1}}}{s+1}+\frac{s}{2}{{\left( \eta \right)}^{s-1}}\frac{{{\pi }^{2}}}{3} \\

& \Gamma \left( s+1 \right){{F}_{s}}\left( \eta \right)=\frac{{{\left( \eta \right)}^{s+1}}}{s+1}+\frac{s}{2}{{\left( \eta \right)}^{s-1}}\frac{{{\pi }^{2}}}{3}+O\left( {{\left( \eta \right)}^{s-3}} \right) \\

& \Rightarrow {{F}_{s}}\left( \eta \right)=\frac{1}{\Gamma \left( s+1 \right)}\left[ \frac{{{\left( \eta \right)}^{s+1}}}{s+1}+\frac{s{{\pi }^{2}}}{6}{{\left( \eta \right)}^{s-1}}+O\left( {{\left( \eta \right)}^{s-3}} \right) \right] \\

\end{align}</math>

'''Speziell:'''

<math>\begin{align}

& {{F}_{\frac{1}{2}}}\left( \eta \right)\approx \frac{2}{\sqrt{\pi }}\left[ \frac{{{\left( \eta \right)}^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}+\frac{{{\pi }^{2}}}{12}{{\left( \eta \right)}^{-\frac{1}{2}}} \right] \\

& {{F}_{\frac{3}{2}}}\left( \eta \right)\approx \frac{4}{3\sqrt{\pi }}\left[ \frac{{{\left( \eta \right)}^{\frac{5}{2}}}}{\frac{5}{2}}+\frac{{{\pi }^{2}}}{4}{{\left( \eta \right)}^{\frac{1}{2}}} \right] \\

\end{align}</math>

Also:

<math>\begin{align}

& \bar{N}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{\frac{1}{2}}}}{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\left[ \frac{2}{3}{{\left( \frac{\mu }{kT} \right)}^{\frac{3}{2}}}+\frac{{{\pi }^{2}}}{12}{{\left( \frac{\mu }{kT} \right)}^{-\frac{1}{2}}} \right] \\

& \Rightarrow \bar{N}=\frac{2}{3}\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2m\mu \right)}^{\frac{3}{2}}}\left[ 1+\frac{{{\pi }^{2}}}{8}{{\left( \frac{kT}{\mu } \right)}^{2}} \right] \\

\end{align}</math>

Definition: Fermi- Energie:

<math>{{E}_{F}}:=\mu \left( T=0,\bar{N},V \right)</math>

Bei T= 0 Kelvin sind die Zustände mit <math>E<{{E}_{F}}</math>

voll besetzt, die anderen leer !

Wir können dann <math>\mu \left( T=0,\bar{N},V \right)</math>

durch <math>{{E}_{F}}</math>

und <math>\bar{N}</math>

eliminieren:

'''T->0'''

<math>\begin{align}

& \bar{N}=\frac{2}{3}\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2m\mu \right)}^{\frac{3}{2}}}\left[ 1+\frac{{{\pi }^{2}}}{8}{{\left( \frac{kT}{\mu } \right)}^{2}} \right]=\frac{2}{3}\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2m{{E}_{F}} \right)}^{\frac{3}{2}}} \\

& \\

\end{align}</math>

Für größere Temperaturen T>0 wird nun

<math>\begin{align}

& \bar{N}=\frac{2}{3}\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2m{{E}_{F}} \right)}^{\frac{3}{2}}} \\

& \\

\end{align}</math>

in niedrigster Ordnung in <math>\frac{kT}{{{E}_{F}}}</math>

entwickelt und diese Entwicklung dann eingesetzt in die Formel

<math>\begin{align}

& \bar{N}=\frac{2}{3}\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2m\mu \right)}^{\frac{3}{2}}}\left[ 1+\frac{{{\pi }^{2}}}{8}{{\left( \frac{kT}{\mu } \right)}^{2}} \right]=\frac{2}{3}\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2m{{E}_{F}} \right)}^{\frac{3}{2}}} \\

& \Rightarrow {{\left( \mu \right)}^{\frac{3}{2}}}\left[ 1+\frac{{{\pi }^{2}}}{8}{{\left( \frac{kT}{\mu } \right)}^{2}} \right]\approx {{\left( {{E}_{F}} \right)}^{\frac{3}{2}}} \\

& \Rightarrow \mu \approx {{E}_{F}}{{\left[ 1+\frac{{{\pi }^{2}}}{8}{{\left( \frac{kT}{\mu } \right)}^{2}} \right]}^{-\frac{2}{3}}} \\

\end{align}</math>

'''Jetzt wird '''in niedrigster Ordnung in <math>\frac{kT}{{{E}_{F}}}</math>

entwickelt:

Das heißt, für kT=1 zeigt µ über Ef etwa folgenden verlauf:

'''die Kurve wird für höhere Temperaturen immer weiter auseinandergedehnt !'''

'''Innere Energie'''

<math>\begin{align}

& U=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}kT\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{\frac{3}{2}}}}{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)} \\

& {{F}_{\frac{3}{2}}}\left( \eta \right)\approx \frac{4}{3\sqrt{\pi }}\left[ \frac{{{\left( \eta \right)}^{\frac{5}{2}}}}{\frac{5}{2}}+\frac{{{\pi }^{2}}}{4}{{\left( \eta \right)}^{\frac{1}{2}}} \right] \\

\end{align}</math>

Also:

<math>\begin{align}

& U=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2m \right)}^{\frac{3}{2}}}{{\left( kT \right)}^{\frac{5}{2}}}\left[ \frac{2}{5}{{\left( \frac{\mu }{kT} \right)}^{\frac{5}{2}}}+\frac{{{\pi }^{2}}}{4}{{\left( \frac{\mu }{kT} \right)}^{\frac{1}{2}}} \right] \\

& =\frac{2}{5}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \frac{\left( 2s+1 \right)}{2}{{\left( 2m \right)}^{\frac{3}{2}}}{{\left( \mu \right)}^{\frac{5}{2}}}\left[ 1+\frac{5}{2}\frac{{{\pi }^{2}}}{4}{{\left( \frac{kT}{\mu } \right)}^{2}} \right] \\

\end{align}</math>

Verwende:

So dass:

<math>\begin{align}

& U=\frac{2}{5}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \frac{\left( 2s+1 \right)}{2}{{\left( 2m \right)}^{\frac{3}{2}}}{{\left( \mu \right)}^{\frac{5}{2}}}\left[ 1+\frac{5}{2}\frac{{{\pi }^{2}}}{4}{{\left( \frac{kT}{\mu } \right)}^{2}} \right] \\

& \approx \frac{2}{5}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \frac{\left( 2s+1 \right)}{2}{{\left( 2m \right)}^{\frac{3}{2}}}{{\left( {{E}_{F}} \right)}^{\frac{5}{2}}}{{\left[ 1-\frac{{{\pi }^{2}}}{12}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}} \right]}^{\frac{5}{2}}}\left[ 1+\frac{5}{2}\frac{{{\pi }^{2}}}{4}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}} \right] \\

\end{align}</math>

Mit

<math>\bar{N}=\frac{2}{3}\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2m{{E}_{F}} \right)}^{\frac{3}{2}}}</math>

folgt:

<math>\begin{align}

& U\approx \frac{2}{5}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \frac{\left( 2s+1 \right)}{2}{{\left( 2m \right)}^{\frac{3}{2}}}{{\left( {{E}_{F}} \right)}^{\frac{5}{2}}}{{\left[ 1-\frac{{{\pi }^{2}}}{12}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}} \right]}^{\frac{5}{2}}}\left[ 1+\frac{5}{2}\frac{{{\pi }^{2}}}{4}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}} \right] \\

& \frac{2}{5}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \frac{\left( 2s+1 \right)}{2}{{\left( 2m \right)}^{\frac{3}{2}}}{{\left( {{E}_{F}} \right)}^{\frac{5}{2}}}\approx \frac{3}{5}\bar{N}{{E}_{F}} \\

& {{\left[ 1-\frac{{{\pi }^{2}}}{12}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}} \right]}^{\frac{5}{2}}}\left[ 1+\frac{5}{2}\frac{{{\pi }^{2}}}{4}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}} \right]\approx 1+5\frac{{{\pi }^{2}}}{12}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}} \\

& \Rightarrow U\approx \frac{3}{5}\bar{N}{{E}_{F}}\left[ 1+5\frac{{{\pi }^{2}}}{12}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}} \right] \\

\end{align}</math>

Somit haben wir die '''kalorische Zustandsgleichung'''

<math>U\approx \frac{3}{5}\bar{N}{{E}_{F}}\left[ 1+5\frac{{{\pi }^{2}}}{12}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}} \right]</math>

und die '''thermische Zustandsgleichung'''

<math>pV=\frac{2}{3}U\approx \frac{2}{5}\bar{N}{{E}_{F}}\left[ 1+5\frac{{{\pi }^{2}}}{12}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}} \right]</math>

Das bedeutet:

Der Druck des fermigases ist um einen Faktor <math>\frac{{{E}_{F}}}{kT}</math>

größer als in klassischen idealen Gasen

Beispiel:

<math>{{E}_{F}}\approx 1eV\Rightarrow T\tilde{\ }{{10}^{4}}K</math>

1 eV entspricht 10.000 K !!

'''Grund ''' ist das Pauli- Prinzip !!

Also eine effektive Abstoßung der Teilchen ! Dies bewirkt für niedrige Temperaturen den enormen Faktor

<math>\frac{{{E}_{F}}}{kT}</math>

, mit dem der Druck gegenüber dem idealen Gas zu multiplizieren ist.

Für sehr hohe Temperaturen überwiegt dann der hintere teil, und es gilt:

Der Fermidruck ist etwa

<math>pV=\frac{2}{3}U\approx \frac{2}{5}\bar{N}{{E}_{F}}5\frac{{{\pi }^{2}}}{12}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}}=\frac{{{\pi }^{2}}}{6}\bar{N}kT\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)</math>

Also auch größer als beim klassischen idealen Gas, nämlich um den Faktor <math>\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)</math>

!

'''Spezifische Wärme'''

<math>\begin{align}

& {{C}_{V}}={{\left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)}_{V}}=\frac{{{\pi }^{2}}}{2}\bar{N}k\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right) \\

& {{c}_{V}}=\frac{{{\pi }^{2}}}{2}R\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)\tilde{\ }T \\

\end{align}</math>

Die Wärmekapazität ist sage und schreibe um den Faktor <math>\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)</math>

kleiner als bei idealen gasen.

Bei T ~ 300 K ist dies 1/ 40 !

ideales Gas:

<math>{{c}_{V}}=\frac{3}{2}R</math>

Physikalsicher Grund:

Nur die Teilchen in der " Aufweichungszone"

<math>{{E}_{F}}-kT<E<{{E}_{F}}+kT</math>

tragen zur spezifischen Wärme bei , da nur sie in freie Zustände thermisch angeregt werden könen :

Zahl:

<math>\Delta N\tilde{\ }\bar{N}\frac{kT}{{{E}_{F}}}</math>

jedes hat Energie ~ kT

<math>\begin{align}

& \Rightarrow \Delta U\tilde{\ }\bar{N}\frac{{{\left( kT \right)}^{2}}}{{{E}_{F}}} \\

& \Rightarrow {{C}_{v}}\tilde{\ }\bar{N}k\frac{\left( kT \right)}{{{E}_{F}}} \\

\end{align}</math>

Beispiele für entartete Fermigase

* Elektronen in Metallen -> hohe Dichten !
* Elektronen in Halbleitern, bei sehr tiefen Temperaturen oder hoher Dotierung!

====Nichtenatartetes fermigas====

verdünntes, nichtrelativistisches Quantengas !

z.B. Elektronen in Halbleitern im Normalbereich !

'''Voraussetzung:'''

<math>\xi ={{e}^{\frac{\mu }{kT}}}<<1</math>

das heißt:

<math>\begin{align}

& \mu <0 \\

& \eta =\frac{\mu }{kT}<0 \\

\end{align}</math>

'''Entwicklung der Fermi- Dirac- Integrale nach Potenzen von '''<math>\xi ={{e}^{\frac{\mu }{kT}}}<<1</math>

:

<math>\begin{align}

& {{F}_{s}}\left( \eta \right)=\frac{1}{\Gamma \left( s+1 \right)}\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{s}}}{{{e}^{y-\eta }}+1} \\

& =\frac{1}{\Gamma \left( s+1 \right)}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{s}}\frac{\xi {{e}^{-y}}}{1+\xi {{e}^{-y}}}\approx \frac{1}{\Gamma \left( s+1 \right)}\left[ \xi \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{s}}{{e}^{-y}}-{{\xi }^{2}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{s}}{{e}^{-2y}}+.... \right] \\

& \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{s}}{{e}^{-y}}=\Gamma \left( s+1 \right) \\

& \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{s}}{{e}^{-2y}}=\frac{1}{{{2}^{s+1}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dz{{z}^{s}}{{e}^{-z}}=\frac{1}{{{2}^{s+1}}}\Gamma \left( s+1 \right) \\

& \Rightarrow {{F}_{s}}\left( \eta \right)\approx \left[ \xi -{{\xi }^{2}}\frac{1}{{{2}^{s+1}}}+.... \right]\approx \left[ \xi -{{\xi }^{2}}\frac{1}{{{2}^{s+1}}} \right]={{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\left[ 1-{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\frac{1}{{{2}^{s+1}}} \right] \\

\end{align}</math>

'''Dabei ist'''

<math>{{F}_{s}}\left( \eta \right)={{e}^{\frac{\mu }{kT}}}</math>

das Boltzman- Limit mit der Quantenkorrektur <math>-{{e}^{2\frac{\mu }{kT}}}\frac{1}{{{2}^{s+1}}}</math>

Also:

<math>\bar{N}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\frac{\sqrt{\pi }}{2}{{F}_{\frac{1}{2}}}\left( \eta \right)=V{{N}_{C}}{{F}_{\frac{1}{2}}}\left( \frac{\mu }{kT} \right)</math>

mit der Entartungskonzentration

<math>{{N}_{C}}:=\left( 2s+1 \right){{\left( \frac{2\pi mkT}{{{h}^{2}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}</math>

Also genähert:

<math>\bar{N}=V{{N}_{C}}{{F}_{\frac{1}{2}}}\left( \frac{\mu }{kT} \right)\approx V{{N}_{C}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\left[ 1-{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\frac{1}{{{2}^{\frac{3}{2}}}} \right]</math>

Bei vollständiger Nichtentartung:

<math>\begin{align}

& \frac{{\bar{N}}}{V}\approx {{N}_{C}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}} \\

& {{e}^{\frac{\mu }{kT}}}<<1 \\

& \frac{{\bar{N}}}{V}<<{{N}_{C}} \\

\end{align}</math>

Die klassische Maxwell- Boltzmann- Verteilung ( vergl. S. 101)

<math>\begin{align}

& U=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}kT\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{\frac{3}{2}}}}{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}kT\frac{3\sqrt{\pi }}{4}{{F}_{\frac{3}{2}}}\left( \frac{\mu }{kT} \right) \\

& U=V{{N}_{C}}\frac{3}{2}kT{{F}_{\frac{3}{2}}}\left( \frac{\mu }{kT} \right) \\

& U\approx V{{N}_{C}}\frac{3}{2}kT{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\left[ 1-{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}} \right] \\

\end{align}</math>

'''Elimination von '''<math>\mu </math>

durch <math>\bar{N}=V{{N}_{C}}{{F}_{\frac{1}{2}}}\left( \frac{\mu }{kT} \right)\approx V{{N}_{C}}\xi \left[ 1-\xi {{2}^{-\frac{3}{2}}} \right]</math>

# Näherung:
<math>\bar{N}=V{{N}_{C}}\xi </math>

# Näherung
<math>\begin{align}

& \bar{N}=V{{N}_{C}}\xi \left[ 1-{{2}^{-\frac{3}{2}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}} \right] \\

& \Rightarrow \xi ={{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\approx \frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}}\left[ 1+{{2}^{-\frac{3}{2}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}} \right] \\

& \Rightarrow U\approx V{{N}_{C}}\frac{3}{2}kT{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\left[ 1-{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}} \right]\approx \frac{3}{2}kT\bar{N}\left[ 1+{{2}^{-\frac{3}{2}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}} \right]\left[ 1-\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}} \right] \\

\end{align}</math>

<math>U\approx \frac{3}{2}kT\bar{N}\left[ 1+{{2}^{-\frac{5}{2}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}(T)} \right]</math>

Dabei wurden alle Terme der Ordnung <math>{{\left( \frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}(T)} \right)}^{2}}</math>

weggenähert !

Also:

kalorische Zustandsgleichung

<math>U\approx \frac{3}{2}kT\bar{N}\left[ 1+{{2}^{-\frac{5}{2}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}(T)} \right]</math>

mit der Quantenkorrektur <math>O\left( \frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}(T)} \right)</math>

:<math>\frac{3}{2}kT\bar{N}{{2}^{-\frac{5}{2}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}(T)}</math>

'''thermische Zustandsgleichung'''

<math>pV=\frac{2}{3}U\approx kT\bar{N}\left[ 1+{{2}^{-\frac{5}{2}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}(T)} \right]</math>

Also:

<math>pv\approx RT\left[ 1+{{2}^{-\frac{5}{2}}}\frac{{{N}_{A}}}{v{{N}_{C}}(T)} \right]</math>

Dabei ist

<math>pv\approx RT</math>

die Zustandsgleichung des klassischen idealen Gases und <math>RT{{2}^{-\frac{5}{2}}}\frac{{{N}_{A}}}{v{{N}_{C}}(T)}</math>

eine Erhöhung des klassischen Drucks durch die Fermi- Abstoßung !

'''Nebenbemerkung:'''

Mit der '''thermischen Wellenlänge '''<math>\lambda :={{\left( \frac{{{h}^{2}}}{2\pi mkT} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>

entsprechend der de Broglie- Wellenlänge für <math>\frac{{{k}^{2}}{{\hbar }^{2}}}{2m}\tilde{\ }kT\Rightarrow \lambda ={{\left( \frac{{{h}^{2}}}{2mkT} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>

E= kT also, schreibt man:

<math>{{N}_{C}}=\frac{2s+1}{{{\lambda }^{3}}}</math>

[["category":"uncategorized"]]