Das ideale Bosegas - Versionsgeschichte

Schubotz am 27. September 2010 um 15:26 Uhr

2010-09-27T15:26:21Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. September 2010, 17:26 Uhr
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	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Die geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn <math>{{t}_{j}}<1</math>,		Die geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn <math>{{t}_{j}}<1</math>, also wenn <math>{{E}_{j}}>\mu </math>
	also wenn <math>{{E}_{j}}>\mu </math>

	à Bose - Einstein- Kondensation erfolgt bereits, wenn Ej=µ!		à Bose - Einstein- Kondensation erfolgt bereits, wenn Ej=µ!
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	~~0.1.1~~ Bose- Verteilung		== Bose- Verteilung ==

	Die Bose- Verteilung folgt auch explizit aus		Die Bose- Verteilung folgt auch explizit aus
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	also identisch zum fermigas! (S. 131)		also identisch zum fermigas! (S. 131)

	~~0.1.2~~ Verdünntes Bosegas		== Verdünntes Bosegas ==

	(quasiklassischer, nicht entarteter Grenzfall)		(quasiklassischer, nicht entarteter Grenzfall)
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	Dies ist die sogenannte Bose- Anziehung! → Bildung von Bose - Einstein- Kondensaten!		Dies ist die sogenannte Bose- Anziehung! → Bildung von Bose - Einstein- Kondensaten!

	~~0.1.3~~ Bose- Einstein- Kondensation		== Bose- Einstein- Kondensation ==

	Grundzustand des Bosegases: Eo=0 (Verschiebung der Achse geeignet)		Grundzustand des Bosegases: Eo=0 (Verschiebung der Achse geeignet)
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	:<math>N\acute{\ }=\sum\limits_{j>0}^{{}}{{}}\frac{1}{{{e}^{\beta {{E}_{j}}}}-1}<<\bar{N}</math>		:<math>N\acute{\ }=\sum\limits_{j>0}^{{}}{{}}\frac{1}{{{e}^{\beta {{E}_{j}}}}-1}<<\bar{N}</math>

	unabhängig von <math>\xi ={{e}^{\beta \mu }}</math>		unabhängig von <math>\xi ={{e}^{\beta \mu }}</math>!
	!

	Kontinuierlicher Fall:		Kontinuierlicher Fall:
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	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Dabei ist dies der ~~NICHT~~ kondensierte Anteil, eine normale Komponente, die sich wie verdünntes Bosegas verhält!		Dabei ist dies der '''nicht''' kondensierte Anteil, eine normale Komponente, die sich wie verdünntes Bosegas verhält!
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \frac{N\acute{\ }}{V}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{{{\lambda }^{3}}}\tilde{\ }{{T}^{\frac{3}{2}}} \\		& \frac{N\acute{\ }}{V}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{{{\lambda }^{3}}}\tilde{\ }{{T}^{\frac{3}{2}}} \\
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	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Die kritische Temperatur ist definiert durch		{{Def\|Die kritische Temperatur ist definiert durch

	:<math>\frac{V}{{\bar{N}}}\frac{\left( 2s+1 \right)}{\lambda {{\left( {{T}_{C}} \right)}^{3}}}=!=1</math>		:<math>\frac{V}{{\bar{N}}}\frac{\left( 2s+1 \right)}{\lambda {{\left( {{T}_{C}} \right)}^{3}}}=!=1</math>\|kritische Temperatur}}


Zeile 253:		Zeile 251:
	Vergleiche dazu auch: Dampfdruck über einer Flüssigkeit!		Vergleiche dazu auch: Dampfdruck über einer Flüssigkeit!

	Phasenübegang bei <math>{{T}_{C}}</math>		Phasenübegang bei <math>{{T}_{C}}</math>:
	:
	normale Phase - >Kondensierte Phase		normale Phase - >Kondensierte Phase
	Vorgang der Bose- Einstein- Kondensation		Vorgang der Bose- Einstein- Kondensation

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (17), ( → ( (4)

2010-09-12T22:48:32Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (17), ( → ( (4)

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:48 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Die geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn <math>{{t}_{j}}<1</math>		Die geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn <math>{{t}_{j}}<1</math>,
	, also wenn <math>{{E}_{j}}>\mu </math>		also wenn <math>{{E}_{j}}>\mu </math>

	à Bose - Einstein- Kondensation erfolgt bereits, wenn Ej=µ !		à Bose - Einstein- Kondensation erfolgt bereits, wenn Ej=µ!

	Somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, die Besetzungszahlen N1, N2, .... der Einteilchenzustände E1, E2,.... zu finden:		Somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, die Besetzungszahlen N1, N2,.... der Einteilchenzustände E1, E2,.... zu finden:

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 59:		Zeile 59:
	mit k=-1 → Fermi - Dirac- Statistik		mit k=-1 → Fermi - Dirac- Statistik
	k=0 → Maxwell- Boltzmann		k=0 → Maxwell- Boltzmann
	k= + 1 → Bose - Einstein !		k= + 1 → Bose - Einstein!


Zeile 81:		Zeile 81:
	:<math>pV=kT\ln Y=\frac{2}{3}U</math>		:<math>pV=kT\ln Y=\frac{2}{3}U</math>

	also identisch zum fermigas ! ( S. 131)		also identisch zum fermigas! (S. 131)

	0.1.2 Verdünntes Bosegas		0.1.2 Verdünntes Bosegas

	( quasiklassischer, nicht entarteter Grenzfall)		(quasiklassischer, nicht entarteter Grenzfall)

	Nebenbemerkung: Entartetetes Bosegas hoher Dichte kann nicht wie im Fermifall behandelt werden, da die Zustandssumme für Ej < µ divergiert !		Nebenbemerkung: Entartetetes Bosegas hoher Dichte kann nicht wie im Fermifall behandelt werden, da die Zustandssumme für Ej < µ divergiert!

	Entwicklung nach Potenzen von		Entwicklung nach Potenzen von
Zeile 173:		Zeile 173:
	:<math>\Delta pV=-kT\bar{N}\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\frac{{{\lambda }^{3}}}{V\left( 2s+1 \right)}\bar{N}</math>		:<math>\Delta pV=-kT\bar{N}\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\frac{{{\lambda }^{3}}}{V\left( 2s+1 \right)}\bar{N}</math>
	verringert.		verringert.
	Dies ist die sogenannte Bose- Anziehung ! → Bildung von Bose - Einstein- Kondensaten !		Dies ist die sogenannte Bose- Anziehung! → Bildung von Bose - Einstein- Kondensaten!

	0.1.3 Bose- Einstein- Kondensation		0.1.3 Bose- Einstein- Kondensation

	Grundzustand des Bosegases: Eo=0 ( Verschiebung der Achse geeignet )		Grundzustand des Bosegases: Eo=0 (Verschiebung der Achse geeignet)

	Somit:		Somit:
Zeile 191:		Zeile 191:
	:<math>\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle \approx \bar{N}</math>		:<math>\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle \approx \bar{N}</math>

	( alle Teilchen kondensieren im grundzustand )		(alle Teilchen kondensieren im grundzustand)

	Allgemein:		Allgemein:
Zeile 204:		Zeile 204:

	:<math>\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle </math>		:<math>\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle </math>
	ist vernachlässigbar ! → verdünntes Bosegas, siehe oben, S. 140 ff.		ist vernachlässigbar! → verdünntes Bosegas, siehe oben, S. 140 ff.

	2) kondensierte Phase		2) kondensierte Phase
Zeile 213:		Zeile 213:

	unabhängig von <math>\xi ={{e}^{\beta \mu }}</math>		unabhängig von <math>\xi ={{e}^{\beta \mu }}</math>
	!		!

	Kontinuierlicher Fall:		Kontinuierlicher Fall:
Zeile 228:		Zeile 228:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Dabei ist dies der NICHT kondensierte Anteil, eine normale Komponente, die sich wie verdünntes Bosegas verhält !		Dabei ist dies der NICHT kondensierte Anteil, eine normale Komponente, die sich wie verdünntes Bosegas verhält!
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \frac{N\acute{\ }}{V}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{{{\lambda }^{3}}}\tilde{\ }{{T}^{\frac{3}{2}}} \\		& \frac{N\acute{\ }}{V}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{{{\lambda }^{3}}}\tilde{\ }{{T}^{\frac{3}{2}}} \\
Zeile 248:		Zeile 248:


	Das markierte Gebiet ist das Gebiet der Bose- Einstein-Kondensation !		Das markierte Gebiet ist das Gebiet der Bose- Einstein-Kondensation!
	Bei zweikomponentigen Gasen liegt eine normale und ein kondensierte Komponente vor.		Bei zweikomponentigen Gasen liegt eine normale und ein kondensierte Komponente vor.
	Dann wird der Druck nur durch die normale Komponente alleine bestimmt !		Dann wird der Druck nur durch die normale Komponente alleine bestimmt!
	Vergleiche dazu auch: Dampfdruck über einer Flüssigkeit !		Vergleiche dazu auch: Dampfdruck über einer Flüssigkeit!

	Phasenübegang bei <math>{{T}_{C}}</math>		Phasenübegang bei <math>{{T}_{C}}</math>
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	normale Phase - >Kondensierte Phase		normale Phase - >Kondensierte Phase
	Vorgang der Bose- Einstein- Kondensation		Vorgang der Bose- Einstein- Kondensation
	è ein makroskopisches Quantenphänomen !		è ein makroskopisches Quantenphänomen!

	Anwendung:		Anwendung:

	Die suprafluide Phase von <math>^{4}He</math>		Die suprafluide Phase von <math>^{4}He</math>
	bei tiefen Temperaturen ähnelt einer 2- komponentigen Flüssigkeit aus normaler und kondensierter Komponente !		bei tiefen Temperaturen ähnelt einer 2- komponentigen Flüssigkeit aus normaler und kondensierter Komponente!

*>SchuBot: Pfeile einfügen, replaced: -> → → (7)

2010-09-12T20:12:16Z

Pfeile einfügen, replaced: -> → → (7)

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 22:12 Uhr
Zeile 14:		Zeile 14:
	, also wenn <math>{{E}_{j}}>\mu </math>		, also wenn <math>{{E}_{j}}>\mu </math>

	 Bose - Einstein- Kondensation erfolgt bereits, wenn Ej=µ !		à Bose - Einstein- Kondensation erfolgt bereits, wenn Ej=µ !

	Somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, die Besetzungszahlen N1, N2, .... der Einteilchenzustände E1, E2,.... zu finden:		Somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, die Besetzungszahlen N1, N2, .... der Einteilchenzustände E1, E2,.... zu finden:
Zeile 47:		Zeile 47:


	Die Verteilung divergiert für Ej -> µ. Das heißt: Die Zustandssumme Yj divergiert für ~~Ej->µ~~		Die Verteilung divergiert für Ej → µ. Das heißt: Die Zustandssumme Yj divergiert für Ej→µ

	Vergleich aller drei Verteilungen:		Vergleich aller drei Verteilungen:
Zeile 57:		Zeile 57:


	mit k=-1 -> Fermi - Dirac- Statistik		mit k=-1 → Fermi - Dirac- Statistik
	k=0 -> Maxwell- Boltzmann		k=0 → Maxwell- Boltzmann
	k= + 1 -> Bose - Einstein !		k= + 1 → Bose - Einstein !


Zeile 173:		Zeile 173:
	:<math>\Delta pV=-kT\bar{N}\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\frac{{{\lambda }^{3}}}{V\left( 2s+1 \right)}\bar{N}</math>		:<math>\Delta pV=-kT\bar{N}\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\frac{{{\lambda }^{3}}}{V\left( 2s+1 \right)}\bar{N}</math>
	verringert.		verringert.
	Dies ist die sogenannte Bose- Anziehung ! -> Bildung von Bose - Einstein- Kondensaten !		Dies ist die sogenannte Bose- Anziehung ! → Bildung von Bose - Einstein- Kondensaten !

	0.1.3 Bose- Einstein- Kondensation		0.1.3 Bose- Einstein- Kondensation
Zeile 204:		Zeile 204:

	:<math>\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle </math>		:<math>\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle </math>
	ist vernachlässigbar ! -> verdünntes Bosegas, siehe oben, S. 140 ff.		ist vernachlässigbar ! → verdünntes Bosegas, siehe oben, S. 140 ff.

	2) kondensierte Phase		2) kondensierte Phase
Zeile 257:		Zeile 257:
	normale Phase - >Kondensierte Phase		normale Phase - >Kondensierte Phase
	Vorgang der Bose- Einstein- Kondensation		Vorgang der Bose- Einstein- Kondensation
	 ein makroskopisches Quantenphänomen !		è ein makroskopisches Quantenphänomen !

	Anwendung:		Anwendung:

*>SchuBot am 12. September 2010 um 14:31 Uhr

2010-09-12T14:31:45Z

Änderungen zeigen

Schubotz am 31. August 2010 um 21:50 Uhr

2010-08-31T21:50:37Z

← Nächstältere Version		Version vom 31. August 2010, 23:50 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	<noinclude>{{Scripthinweis\|Thermodynamik\|6\|3}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Thermodynamik\|5\|3}}</noinclude>

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Thermodynamik|6|3}} Rechnung geht analog zum Fermigas, nur dass die Besetzungszahlen Nj bis unendlich laufen können:
2010-08-31T21:47:35Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|6|3}}</noinclude> Rechnung geht analog zum Fermigas, nur dass die Besetzungszahlen Nj bis unendlich laufen können: <m…“

Neue Seite
<noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|6|3}}</noinclude>

Rechnung geht analog zum Fermigas, nur dass die Besetzungszahlen Nj bis unendlich laufen können:

<math>\begin{align}
& Y=\sum\limits_{{{N}_{1}}...{{N}_{l}}=0}^{\infty }{{}}\exp \left( -\beta \sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( \sum\limits_{{{N}_{j}}=0}^{\infty }{{}}\exp \left( -\beta \left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right) \right) \\
& =\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( \sum\limits_{{{N}_{j}}=0}^{\infty }{{}}{{t}_{j}}^{{{N}_{j}}} \right) \\
& {{t}_{j}}:=\exp \left( -\beta \left( {{E}_{j}}-\mu \right) \right) \\
& Y=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\frac{1}{1-{{t}_{j}}}=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}{{Y}_{j}} \\
\end{align}</math>

Die geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn <math>{{t}_{j}}<1</math>
, also wenn <math>{{E}_{j}}>\mu </math>

 Bose - Einstein- Kondensation erfolgt bereits, wenn Ej=µ !

Somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, die Besetzungszahlen N1, N2, .... der Einteilchenzustände E1, E2,.... zu finden:

<math>\begin{align}
& P\left( {{N}_{1}},{{N}_{2}},... \right)={{Y}^{-1}}\exp \left( -\beta \left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( 1-{{t}_{j}} \right){{t}_{j}}^{{{N}_{j}}}=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}p\left( {{N}_{j}} \right) \\
& (separiert) \\
& \\
& p\left( {{N}_{j}} \right)=\left( 1-{{t}_{j}} \right){{t}_{j}}^{{{N}_{j}}}=\left( 1-\exp \left( \beta \left( \mu -{{E}_{j}} \right) \right) \right)\exp \left( -\beta \left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right) \\
& 1-\exp \left( \beta \left( \mu -{{E}_{j}} \right) \right):={{e}^{{{\Psi }_{j}}}} \\
& p\left( {{N}_{j}} \right)={{e}^{{{\Psi }_{j}}}}\exp \left( -\beta \left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right) \\
\end{align}</math>

Mittlere Besetzungszahl im Zustand Ej:

<math>\begin{align}
& \left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =\frac{\partial {{\Psi }_{j}}}{\partial \alpha }=\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial \mu }\ln {{Y}_{j}}=-\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial \mu }\ln \left( 1-{{t}_{j}} \right)=\frac{{{t}_{j}}}{1-{{t}_{j}}}=\frac{1}{{{t}_{j}}^{-1}-1} \\
& \left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =\frac{1}{\exp \left( \beta \left( {{E}_{j}}-\mu \right) \right)-1}=\frac{1}{\exp \left( \frac{\left( {{E}_{j}}-\mu \right)}{kT} \right)-1} \\
\end{align}</math>

0.1.1 Bose- Verteilung

Die Bose- Verteilung folgt auch explizit aus
<math>\begin{align}
& \left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =\sum\limits_{{{N}_{j}}=0}^{\infty }{{}}{{N}_{j}}p({{N}_{j}})=\sum\limits_{{{N}_{j}}=0}^{\infty }{{}}{{N}_{j}}\left( 1-{{t}_{j}} \right){{t}_{j}}^{{{N}_{j}}}=\left( 1-{{t}_{j}} \right){{t}_{j}}\frac{d}{d{{t}_{j}}}\sum\limits_{{{N}_{j}}=0}^{\infty }{{}}{{t}_{j}}^{{{N}_{j}}} \\
& =\left( 1-{{t}_{j}} \right){{t}_{j}}\frac{d}{d{{t}_{j}}}\left( \frac{1}{1-{{t}_{j}}} \right)=\left( 1-{{t}_{j}} \right){{t}_{j}}\left( \frac{1}{{{\left( 1-{{t}_{j}} \right)}^{2}}} \right)=\frac{{{t}_{j}}}{\left( 1-{{t}_{j}} \right)} \\
\end{align}</math>

Die Verteilung divergiert für Ej -> µ. Das heißt: Die Zustandssumme Yj divergiert für Ej->µ

Vergleich aller drei Verteilungen:
<math>\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =\frac{1}{\exp \left( \frac{\left( {{E}_{j}}-\mu \right)}{kT} \right)-k}\left\{ \begin{matrix}
k=1 \\
k=0 \\
k=-1 \\
\end{matrix} \right.</math>

mit k=-1 -> Fermi - Dirac- Statistik
k=0 -> Maxwell- Boltzmann
k= + 1 -> Bose - Einstein !

Übergang zum Quasikontinuum der Zustände: <math>E=\frac{{{p}^{2}}}{2m}</math>

Fugazität: <math>\xi ={{e}^{\beta \mu }}</math>

<math>\begin{align}
& \ln Y=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\ln {{Y}_{j}}=-\sum\limits_{j}^{{}}{{}}\ln \left( 1-\zeta {{e}^{-\beta {{E}_{j}}}} \right) \\
& \approx -\left( 2s+1 \right)\frac{4\pi V}{{{h}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\ln \left( 1-\zeta {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}} \right) \\
& =-\left( 2s+1 \right)\frac{4\pi V}{{{h}^{3}}}\left[ \frac{{{p}^{3}}}{3}\ln \left( 1-\zeta {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}} \right)_{0}^{\infty }-\int_{0}^{\infty }{{}}dp\frac{{{p}^{3}}}{3}\frac{\beta \frac{p}{m}\zeta {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}}}{\left( 1-\zeta {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}} \right)} \right] \\
& \frac{{{p}^{3}}}{3}\ln \left( 1-\zeta {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}} \right)_{0}^{\infty }=0 \\
& \Rightarrow \ln Y=\frac{2}{3}\beta \left( 2s+1 \right)\frac{4\pi V}{{{h}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\frac{\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}{\left( \frac{1}{\zeta }{{e}^{\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}}-1 \right)}=\frac{2}{3}\beta \left( 2s+1 \right)\frac{V}{{{h}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dp4\pi {{p}^{2}}\left\langle N(p) \right\rangle E(p) \\
& \Rightarrow \ln Y=\frac{2}{3}\beta \left( 2s+1 \right)\frac{V}{{{h}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dp4\pi {{p}^{2}}\left\langle N(p) \right\rangle E(p)=\frac{2}{3}\beta U \\
\end{align}</math>

somit folgt:

<math>pV=kT\ln Y=\frac{2}{3}U</math>

also identisch zum fermigas ! ( S. 131)

0.1.2 Verdünntes Bosegas

( quasiklassischer, nicht entarteter Grenzfall)

Nebenbemerkung: Entartetetes Bosegas hoher Dichte kann nicht wie im Fermifall behandelt werden, da die Zustandssumme für Ej < µ divergiert !

Entwicklung nach Potenzen von
<math>\xi ={{e}^{\frac{\mu }{kT}}}<<1</math>

also:
<math>\mu <0</math>

Gesamte Teilchenzahl:

<math>\begin{align}
& \bar{N}=\sum\limits_{j}^{{}}{{}}\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \approx \left( 2s+1 \right)\frac{4\pi V}{{{h}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\frac{1}{\exp \left( \frac{\left( {{E}_{j}}-\mu \right)}{kT} \right)-1}=\left( 2s+1 \right)\frac{4\pi V}{{{h}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\frac{1}{\exp \left( \frac{\left( \frac{{{p}^{2}}}{2m}-\mu \right)}{kT} \right)-1} \\
& \frac{{{p}^{2}}}{2mkT}=y \\
& \Rightarrow \bar{N}=\sum\limits_{j}^{{}}{{}}\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \approx \left( 2s+1 \right)\frac{4\pi V}{{{h}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\frac{1}{\exp \left( \frac{\left( \frac{{{p}^{2}}}{2m}-\mu \right)}{kT} \right)-1} \\
& =\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\frac{4\pi V}{{{h}^{3}}}{{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{\frac{1}{2}}}}{{{\xi }^{-1}}\exp \left( y \right)-1}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\frac{4\pi V}{{{h}^{3}}}{{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{1}{2}}}\frac{\xi {{e}^{-y}}}{1-\xi {{e}^{-y}}} \\
& \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{1}{2}}}\frac{\xi {{e}^{-y}}}{1-\xi {{e}^{-y}}}\approx \xi \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{1}{2}}}{{e}^{-y}}+{{\xi }^{2}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{1}{2}}}{{e}^{-2y}}+.... \\
& \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{1}{2}}}{{e}^{-y}}=\frac{1}{2}\sqrt{\pi } \\
& \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{1}{2}}}{{e}^{-2y}}=\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\sqrt{\pi } \\
& \Rightarrow \bar{N}\approx \frac{\left( 2s+1 \right)}{4}\frac{4V}{{{h}^{3}}}{{\left( 2\pi mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\left[ \xi +\frac{1}{{{2}^{\frac{3}{2}}}}{{\xi }^{2}} \right] \\
& \lambda :={{\left( \frac{{{h}^{2}}}{2\pi mkT} \right)}^{\frac{1}{2}}}={{\left( \frac{2s+1}{{{N}_{C}}} \right)}^{\frac{1}{3}}} \\
& \Rightarrow \bar{N}\approx \left( 2s+1 \right)\frac{V}{{{\lambda }^{3}}}\xi \left[ 1+\frac{1}{{{2}^{\frac{3}{2}}}}\xi \right]=\left( 2s+1 \right)\frac{V}{{{\lambda }^{3}}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\left[ 1+\frac{1}{{{2}^{\frac{3}{2}}}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}} \right] \\
\end{align}</math>

Wobei wieder die thermische Wellenlänge eingesetzt wurde.
Auch hier:

<math>\Delta \bar{N}=\left( 2s+1 \right)\frac{V}{{{\lambda }^{3}}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\frac{1}{{{2}^{\frac{3}{2}}}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}</math>
als Quantenkorrektur

Elimination von <math>\mu </math>
durch <math>\bar{N}</math>
:

0. Näherung:
<math>\bar{N}=\left( 2s+1 \right)\frac{V}{{{\lambda }^{3}}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}</math>

1. Näherung:
<math>\begin{align}
& \bar{N}=\left( 2s+1 \right)\frac{V}{{{\lambda }^{3}}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\left[ 1+\frac{1}{{{2}^{\frac{3}{2}}}}\frac{\bar{N}{{\lambda }^{3}}}{V\left( 2s+1 \right)} \right] \\
& \Rightarrow {{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\approx \frac{\bar{N}{{\lambda }^{3}}}{V\left( 2s+1 \right)}\left[ 1-\frac{1}{{{2}^{\frac{3}{2}}}}\frac{\bar{N}{{\lambda }^{3}}}{V\left( 2s+1 \right)} \right] \\
\end{align}</math>

Innere Energie:
<math>\begin{align}
& U=\left( 2s+1 \right)\frac{4\pi V}{{{h}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\frac{\frac{{{p}^{2}}}{2m}}{\exp \left( \frac{\left( \frac{{{p}^{2}}}{2m}-\mu \right)}{kT} \right)-1} \\
& \frac{{{p}^{2}}}{2mkT}=y \\
& \Rightarrow U=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\frac{4\pi V}{{{h}^{3}}}{{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}kT}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{3}{2}}}\frac{\xi {{e}^{-y}}}{1-\xi {{e}^{-y}}} \\
& \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{3}{2}}}\frac{\xi {{e}^{-y}}}{1-\xi {{e}^{-y}}}\approx \xi \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{3}{2}}}{{e}^{-y}}+{{\xi }^{2}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{1}{2}}}{{e}^{-2y}}+.... \\
& \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{3}{2}}}{{e}^{-y}}=\frac{3}{4}\sqrt{\pi } \\
& \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{3}{2}}}{{e}^{-2y}}=\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\frac{3}{4}\sqrt{\pi } \\
& \Rightarrow U\approx \frac{3}{2}kTV\frac{\left( 2s+1 \right)}{{{h}^{3}}}{{\left( 2\pi mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\left[ \xi +\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}{{\xi }^{2}} \right] \\
& \lambda :={{\left( \frac{{{h}^{2}}}{2\pi mkT} \right)}^{\frac{1}{2}}}={{\left( \frac{2s+1}{{{N}_{C}}} \right)}^{\frac{1}{3}}} \\
& \Rightarrow U\approx \frac{3}{2}\left( 2s+1 \right)\frac{VkT}{{{\lambda }^{3}}}\xi \left[ 1+\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\xi \right]=\frac{3}{2}\left( 2s+1 \right)kT\frac{V}{{{\lambda }^{3}}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\left[ 1+\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}} \right] \\
\end{align}</math>

Also folgt als kalorische Zustandsgleichung:

<math>\begin{align}
& U\approx \frac{3}{2}\left( 2s+1 \right)\frac{VkT}{{{\lambda }^{3}}}\xi \left[ 1+\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\xi \right]=\frac{3}{2}\left( 2s+1 \right)kT\frac{V}{{{\lambda }^{3}}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\left[ 1+\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}} \right]= \\
& \\
& \Rightarrow U\approx \frac{3}{2}kT\bar{N}\left[ 1-\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\frac{{{\lambda }^{3}}}{V\left( 2s+1 \right)}\bar{N} \right] \\
\end{align}</math>

Mit der Quantenkorrektur

<math>\Delta U\approx -\frac{3}{2}kT\bar{N}\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\frac{{{\lambda }^{3}}}{V\left( 2s+1 \right)}\bar{N}</math>

thermische Zustandsgleichung
<math>pV=\frac{2}{3}U=kT\bar{N}\left[ 1-\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\frac{{{\lambda }^{3}}}{V\left( 2s+1 \right)}\bar{N} \right]</math>

Hier wird der Druck um die Quantenkorrektur

<math>\Delta pV=-kT\bar{N}\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\frac{{{\lambda }^{3}}}{V\left( 2s+1 \right)}\bar{N}</math>
verringert.
Dies ist die sogenannte Bose- Anziehung ! -> Bildung von Bose - Einstein- Kondensaten !

0.1.3 Bose- Einstein- Kondensation

Grundzustand des Bosegases: Eo=0 ( Verschiebung der Achse geeignet )

Somit:
<math>\begin{align}
& \left\langle {{N}_{0}} \right\rangle =\frac{1}{{{\xi }^{-1}}-1}=\frac{\xi }{1-\xi } \\
& \xi ={{e}^{\beta \mu }} \\
\end{align}</math>

Fugazität

Die mittlere Besetzungszahl dieses Quantenzustandes kann makroskopisch groß werden für <math>\xi \approx 1</math>

<math>\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle \approx \bar{N}</math>

( alle Teilchen kondensieren im grundzustand )

Allgemein:

<math>\begin{align}
& \bar{N}=\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle +N\acute{\ } \\
& N\acute{\ }=\sum\limits_{j>0}^{{}}{{}}\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \\
\end{align}</math>

1) Normale Phase:
<math>\xi ={{e}^{\beta \mu }}<<1</math>

<math>\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle </math>
ist vernachlässigbar ! -> verdünntes Bosegas, siehe oben, S. 140 ff.

2) kondensierte Phase

<math>\xi \approx 1</math>

<math>N\acute{\ }=\sum\limits_{j>0}^{{}}{{}}\frac{1}{{{e}^{\beta {{E}_{j}}}}-1}<<\bar{N}</math>

unabhängig von <math>\xi ={{e}^{\beta \mu }}</math>
!

Kontinuierlicher Fall:

<math>\frac{N\acute{\ }}{V}\approx \left( 2s+1 \right)\frac{2\pi }{{{h}^{3}}}{{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{\frac{1}{2}}}}{{{e}^{y}}-1}\approx \left( 2s+1 \right){{\left( \frac{2\pi mkT}{{{h}^{2}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}\frac{2}{\sqrt{\pi }}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{e}^{-y}}{{y}^{\frac{1}{2}}}</math>

Vergl. S. 141
<math>\begin{align}
& \frac{N\acute{\ }}{V}\approx \left( 2s+1 \right)\frac{2\pi }{{{h}^{3}}}{{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{\frac{1}{2}}}}{{{e}^{y}}-1}\approx \left( 2s+1 \right){{\left( \frac{2\pi mkT}{{{h}^{2}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}\frac{2}{\sqrt{\pi }}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{e}^{-y}}{{y}^{\frac{1}{2}}} \\
& \frac{2}{\sqrt{\pi }}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{e}^{-y}}{{y}^{\frac{1}{2}}}=1 \\
& {{\left( \frac{2\pi mkT}{{{h}^{2}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}={{\lambda }^{-3}} \\
\end{align}</math>

Dabei ist dies der NICHT kondensierte Anteil, eine normale Komponente, die sich wie verdünntes Bosegas verhält !
<math>\begin{align}
& \frac{N\acute{\ }}{V}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{{{\lambda }^{3}}}\tilde{\ }{{T}^{\frac{3}{2}}} \\
& \Rightarrow \frac{N\acute{\ }}{{\bar{N}}}={{\left( \frac{T}{{{T}_{C}}} \right)}^{\frac{3}{2}}} \\
\end{align}</math>

Die kritische Temperatur ist definiert durch

<math>\frac{V}{{\bar{N}}}\frac{\left( 2s+1 \right)}{\lambda {{\left( {{T}_{C}} \right)}^{3}}}=!=1</math>

Somit ergibt sich der Bruchteil der Kondensierten Teilchen:

<math>\begin{align}
& \frac{\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle }{{\bar{N}}}=1-{{\left( \frac{T}{{{T}_{C}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}\quad f\ddot{u}r\quad T<{{T}_{C}} \\
& \frac{\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle }{{\bar{N}}}=0\quad f\ddot{u}r\quad T>{{T}_{C}} \\
\end{align}</math>

Das markierte Gebiet ist das Gebiet der Bose- Einstein-Kondensation !
Bei zweikomponentigen Gasen liegt eine normale und ein kondensierte Komponente vor.
Dann wird der Druck nur durch die normale Komponente alleine bestimmt !
Vergleiche dazu auch: Dampfdruck über einer Flüssigkeit !

Phasenübegang bei <math>{{T}_{C}}</math>
:
normale Phase - >Kondensierte Phase
Vorgang der Bose- Einstein- Kondensation
 ein makroskopisches Quantenphänomen !

Anwendung:

Die suprafluide Phase von <math>^{4}He</math>
bei tiefen Temperaturen ähnelt einer 2- komponentigen Flüssigkeit aus normaler und kondensierter Komponente !