Das Photonengas im Strahlungshohlraum - Versionsgeschichte

Schubotz: /* Verallgemeinerung */

2010-09-19T11:23:18Z

Verallgemeinerung

← Nächstältere Version		Version vom 19. September 2010, 13:23 Uhr
Zeile 351:		Zeile 351:
	====Verallgemeinerung====		====Verallgemeinerung====

	kann auf Elektronensysteme im ~~NICHTgleichgewicht~~ geschehen!		kann auf Elektronensysteme im '''Nicht'''gleichgewicht geschehen!

	Wie bei Photonen nur mit effektivem chemischem Potenzial <math>\mu \ne 0</math>		Wie bei Photonen nur mit {{FB\|effektivem chemischem Potenzial}} <math>\mu \ne 0</math>

	Anwendung: Laser!		Anwendung: Laser!

Schubotz: /* Einsteinsche Ableitung der Planckschen Strahlungsformel */

2010-09-19T11:21:58Z

Einsteinsche Ableitung der Planckschen Strahlungsformel

← Nächstältere Version		Version vom 19. September 2010, 13:21 Uhr
Zeile 265:		Zeile 265:
	(1917)		(1917)

	Einstein hatte den begriff "Photon" im Zusammenhang mit dem Photoeffekt entwickelt!. Im Strahlungshohlraum seien 2 Niveau- Atome, die zwischen den Energien E1 und E2 mit Entartungsgrade g1 und g2 Strahlungsübergänge machen können, indem sie Photonen der Energie		Einstein hatte den begriff "{{FB\|Photon}}" im Zusammenhang mit dem {{FB\|Photoeffekt}} entwickelt. Im Strahlungshohlraum seien 2 Niveau- Atome, die zwischen den Energien E1 und E2 mit Entartungsgrade g1 und g2 Strahlungsübergänge machen können, indem sie Photonen der Energie <math>h\nu ={{E}_{2}}-{{E}_{1}}</math> absorbieren oder emittieren!

	:<math>h\nu ={{E}_{2}}-{{E}_{1}}</math>

	absorbieren oder emittieren!

	Im thermodynamischen Gleichgewicht gilt für die mittleren Besetzungszahlen der elektronischen Atomniveaus (Fermionen):		Im thermodynamischen Gleichgewicht gilt für die mittleren Besetzungszahlen der elektronischen Atomniveaus (Fermionen):
Zeile 287:		Zeile 283:
	Im thermischen Gleichgewicht werden im Mittel so viele Photonen emittiert wie absorbiert:		Im thermischen Gleichgewicht werden im Mittel so viele Photonen emittiert wie absorbiert:

	'''Ansatz für die Raten '''(= Anzahl der Übergänge pro Zeit und Volumen)_		'''Ansatz für die {{FB\|Raten}} '''(= Anzahl der Übergänge pro Zeit und Volumen)_

	1) Absorption: <math>{{E}_{1}}\to {{E}_{2}}</math>		1) {{FB\|Absorption}}: <math>{{E}_{1}}\to {{E}_{2}}</math>

	mit der Photonenzahl u:		mit der Photonenzahl u:

	Absorptionsrate: <math>{{E}_{1}}\to {{E}_{2}}</math>		{{FB\|Absorptionsrate}}: <math>{{E}_{1}}\to {{E}_{2}}</math>

	:<math>{{B}_{12}}u\left( \nu ,T \right)\left\langle {{N}_{1}} \right\rangle </math>		:<math>{{B}_{12}}u\left( \nu ,T \right)\left\langle {{N}_{1}} \right\rangle </math>

	2) Spontane Emission:		2) {{FB\|Spontane Emission}}:

	Emissionsrate: <math>{{E}_{2}}\to {{E}_{1}}</math>		{{FB\|Emissionsrate}}: <math>{{E}_{2}}\to {{E}_{1}}</math>

	:<math>{{A}_{21}}\left\langle {{N}_{2}} \right\rangle </math>		:<math>{{A}_{21}}\left\langle {{N}_{2}} \right\rangle </math>

	Man erhält als mittlere Lebensdauer eines Anregungszustandes: <math>\frac{1}{\tau }={{A}_{21}}</math>		Man erhält als {{FB\|mittlere Lebensdauer}} eines Anregungszustandes: <math>\frac{1}{\tau }={{A}_{21}}</math>

	3) Induzierte Emission:		3) {{FB\|Induzierte Emission}}:

	Emissionsrate: <math>{{E}_{2}}\to {{E}_{1}}</math>		{{FB\|Emissionsrate}}: <math>{{E}_{2}}\to {{E}_{1}}</math>

	:<math>{{B}_{21}}u\left( \nu ,T \right)\left\langle {{N}_{2}} \right\rangle </math>		:<math>{{B}_{21}}u\left( \nu ,T \right)\left\langle {{N}_{2}} \right\rangle </math>
Zeile 315:		Zeile 311:
	* Grundlage der Maser (1954) und Laser (1961)		* Grundlage der Maser (1954) und Laser (1961)

	Vergleichsweise zum chemischen Massenwirkungsgesetz (Kapitel 4.5) gewinnt man schließlich eine Bilanzgleichung mit den "Einstein- Koeffizienten" B12, A21 und B21:		Vergleichsweise zum {{FB\|chemischen Massenwirkungsgesetz}} (Kapitel 4.5) gewinnt man schließlich eine {{FB\|Bilanzgleichung}} mit den "{{FB\|Einstein- Koeffizienten}}" B12, A21 und B21:

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 325:		Zeile 321:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	'''Auf das richtige Plancksche Strahlungsgesetz kommt man über 2 zusätzliche Postulate:'''		'''Auf das richtige {{FB\|Plancksche Strahlungsgesetz}} kommt man über 2 zusätzliche Postulate:'''

	<math>\begin{matrix}		<math>\begin{matrix}
Zeile 331:		Zeile 327:
	T->\infty \\		T->\infty \\
	\end{matrix}u\left( \nu ,T \right)=\infty \Rightarrow {{B}_{12}}\frac{{{g}_{1}}}{{{g}_{2}}}={{B}_{21}}</math>		\end{matrix}u\left( \nu ,T \right)=\infty \Rightarrow {{B}_{12}}\frac{{{g}_{1}}}{{{g}_{2}}}={{B}_{21}}</math>


	Damit muss man das Strahlungsgesetz in der Form		Damit muss man das Strahlungsgesetz in der Form
Zeile 337:		Zeile 333:
	:<math>u\left( \nu ,T \right)=\frac{{{A}_{21}}}{{{B}_{12}}\frac{{{g}_{1}}}{{{g}_{2}}}{{e}^{\beta h\nu }}-{{B}_{21}}}=\frac{a}{{{e}^{\beta h\nu }}-1}</math>		:<math>u\left( \nu ,T \right)=\frac{{{A}_{21}}}{{{B}_{12}}\frac{{{g}_{1}}}{{{g}_{2}}}{{e}^{\beta h\nu }}-{{B}_{21}}}=\frac{a}{{{e}^{\beta h\nu }}-1}</math>

	schreiben können. Die Bose- Einstein- Verteilung ist also bereits herausgekommen!		schreiben können. Die {{FB\|Bose-Einstein-Verteilung}} ist also bereits herausgekommen!

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
Zeile 346:		Zeile 342:
	& \Rightarrow a=\frac{8\pi }{{{c}^{3}}}h{{\nu }^{3}} \\		& \Rightarrow a=\frac{8\pi }{{{c}^{3}}}h{{\nu }^{3}} \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	das heißt: für hohe Temperaturen sollte das Strahlungsgesetz in das Rayleigh- Jeans- Gesetz übergehen!		das heißt: für hohe Temperaturen sollte das Strahlungsgesetz in das {{FB\|Rayleigh-Jeans-Gesetz}} übergehen!

	Damit gewinnt man den Faktor a!		Damit gewinnt man den Faktor a!

	:<math>u\left( \nu ,T \right)=\frac{8\pi }{{{c}^{3}}}h{{\nu }^{3}}\frac{1}{{{e}^{\beta h\nu }}-1}</math>		{{Gln\|<math>u\left( \nu ,T \right)=\frac{8\pi }{{{c}^{3}}}h{{\nu }^{3}}\frac{1}{{{e}^{\beta h\nu }}-1}</math>\|Plancksches Strahlungsgesetz}}

	====Verallgemeinerung====		====Verallgemeinerung====

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (31), ( → ( (12)

2010-09-12T22:49:29Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (31), ( → ( (12)

Änderungen zeigen

Schubotz am 12. September 2010 um 22:21 Uhr

2010-09-12T22:21:16Z

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:21 Uhr
Zeile 19:		Zeile 19:
	& {{{\bar{E}}}_{0}}{{{\bar{B}}}_{0}}=0 \\		& {{{\bar{E}}}_{0}}{{{\bar{B}}}_{0}}=0 \\

	& \bar{q}{{{\bar{E}}}_{0}}=\bar{q}{{{\bar{B}}}_{0}}= \\		& \bar{q}{{{\bar{E}}}_{0}}=\bar{q}{{{\bar{B}}}_{0}}= 0\\

	& und \\		& \text{und} \\

	& \omega (q)=c\left\| {\bar{q}} \right\| \\		& \omega (q)=c\left\| {\bar{q}} \right\| \\
Zeile 29:		Zeile 29:
	Also: E- Feld, B- Feld und Ausbreitungsrichtung stehen senkrecht aufeinander !		Also: E- Feld, B- Feld und Ausbreitungsrichtung stehen senkrecht aufeinander !

	~~====~~Quantisierung des elektromagnetischen Feldes:~~====~~		'''Quantisierung des elektromagnetischen Feldes:'''

	betrachte elektromagnetisches Feld als Feld von Oszillatoren mit Frequenz <math>\omega (q)=c\left\| {\bar{q}} \right\|</math>		betrachte elektromagnetisches Feld als Feld von Oszillatoren mit Frequenz <math>\omega (q)=c\left\| {\bar{q}} \right\|</math>
			:→<math>\begin{align}
	→

	:<math>\begin{align}

	& {{E}_{q}}=\hbar \omega (q)\left( {{n}_{q}}+\frac{1}{2} \right) \\		& {{E}_{q}}=\hbar \omega (q)\left( {{n}_{q}}+\frac{1}{2} \right) \\
Zeile 43:		Zeile 40:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Interpretation von nq als Zahl der Schwingungsquanten ~~! und~~ Photonen mit der Energie <math>\hbar \omega (q).</math>		Interpretation von n<sub>q</sub> als Zahl der {{FB\|Schwingungsquanten}} oder {{FB\|Photonen}} mit der Energie <math>\hbar \omega (q).</math> und mit dem Impuls <math>\hbar \bar{q}</math>!

	und mit dem Impuls <math>\hbar \bar{q}</math>

	!

	Photonen sind Bosonen ( da nq=0,1,2,3,4,5,.... möglich !)		Photonen sind Bosonen (da n<sub>q</sub>=0,1,2,3,4,5,.... möglich!)

	mit Spin S=1		mit Spin S=1.

	<u>'''Aber:'''</u>		<u>'''Aber:'''</u>
Zeile 67:		Zeile 60:
	:<math>\bar{S}\uparrow \uparrow \bar{q}</math>		:<math>\bar{S}\uparrow \uparrow \bar{q}</math>

	Die dritte Einstellmöglichkeit tritt nicht auf, da es keine " longitudinalen" Photonen gibt ! ( longitudinale Wellen !)		Die dritte Einstellmöglichkeit tritt nicht auf, da es '''keine "longitudinalen" Photonen''' gibt ! ( longitudinale Wellen !)

	* Lichtgeschwindigkeit ist c, da m0=0 ( Ruhemasse)=0

	~~Im thermischen Gleichgewciht des Photonengases mit den Wänden~~ ( ~~"Hohlraumstrahlung"~~)		Lichtgeschwindigkeit ist c, da m0=0 ( Ruhemasse)=0

	werden ständig Photonen emittiert und absorbiert !		Im thermischen Gleichgewciht des Photonengases mit den Wänden ( "{{FB\|Hohlraumstrahlung}}") werden ständig Photonen emittiert und absorbiert !

	Ihre Anzahl <math>\bar{N}</math>		Ihre Anzahl <math>\bar{N}</math> ist deshalb bereits durch T und V festgelegt und daher keine unabhängige Nebenbedingung !

	~~ist deshalb bereits~~ ~~durch T und V festgelegt und daher keine unabhängige Nebenbedingung !~~		-> kanonisches Ensemble !

	* kanonisches Ensemble !

	'''Formal:'''		'''Formal:'''

	Setze <math>\mu =0</math>		Setze <math>\mu =0</math> in der Boseverteilung ( {{FB\|chemisches Potenzial}} verschwindet)

	in der Boseverteilung ( ~~'''~~chemisches Potenzial ~~'''~~verschwindet)

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 132:		Zeile 119:
	Dabei ist die Energie ein mit dem Volumen skalierter Wert einer spektralen Energiedichte, die über alle Frequenzen integriert wird.		Dabei ist die Energie ein mit dem Volumen skalierter Wert einer spektralen Energiedichte, die über alle Frequenzen integriert wird.

	Dem entsprechend ist der Wert der spektralen Energiedichte, die		Dem entsprechend ist der Wert der {{FB\|spektralen Energiedichte}}, die

	'''Plancksche Strahlungsformel'''		{{Gln\|'''Plancksche Strahlungsformel'''

	:<math>u\left( \nu ,T \right):=\frac{1}{V}D\left( \nu \right)h\nu \left\langle {{N}_{\nu }} \right\rangle =\frac{8\pi h}{{{c}^{3}}}\frac{{{\nu }^{3}}}{{{e}^{\frac{h\nu }{kT}}}-1}</math>		:<math>u\left( \nu ,T \right):=\frac{1}{V}D\left( \nu \right)h\nu \left\langle {{N}_{\nu }} \right\rangle =\frac{8\pi h}{{{c}^{3}}}\frac{{{\nu }^{3}}}{{{e}^{\frac{h\nu }{kT}}}-1}</math>\|Plancksche Strahlungsformel}}

	<u>'''Grenzfälle'''</u>		<u>'''Grenzfälle'''</u>
Zeile 160:		Zeile 147:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	W. Wien: empirisches Resultat für <math>\nu \to \infty </math>		W. Wien: empirisches Resultat für <math>\nu \to \infty </math>!

	!

	für irdische Lichtquellen, versagt jedoch für Sonne und Fixsterne !		für irdische Lichtquellen, versagt jedoch für Sonne und Fixsterne !
Zeile 372:		Zeile 357:
	kann auf Elektronensysteme im NICHTgleichgewicht geschehen !		kann auf Elektronensysteme im NICHTgleichgewicht geschehen !

	* Wie bei Photonen nur mit effektivem chemischem Potenzial <math>\mu \ne 0</math>		Wie bei Photonen nur mit effektivem chemischem Potenzial <math>\mu \ne 0</math>
	*
	* Anwendung: Laser !		Anwendung: Laser !

>SchuBot: / Quantisierung des elektromagnetischen Feldes: */Pfeile einfügen, replaced: -> → →

2010-09-12T20:13:28Z

Quantisierung des elektromagnetischen Feldes:: Pfeile einfügen, replaced: -> → →

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 22:13 Uhr
Zeile 33:		Zeile 33:
	betrachte elektromagnetisches Feld als Feld von Oszillatoren mit Frequenz <math>\omega (q)=c\left\| {\bar{q}} \right\|</math>		betrachte elektromagnetisches Feld als Feld von Oszillatoren mit Frequenz <math>\omega (q)=c\left\| {\bar{q}} \right\|</math>

	->		→

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

*>SchuBot am 12. September 2010 um 14:31 Uhr

2010-09-12T14:31:37Z

Änderungen zeigen

Schubotz: /* Einsteinsche Ableitung der Planckschen Strahlungsformel */

2010-08-31T21:54:44Z

Einsteinsche Ableitung der Planckschen Strahlungsformel

← Nächstältere Version		Version vom 31. August 2010, 23:54 Uhr
Zeile 342:		Zeile 342:
	'''Auf das richtige Plancksche Strahlungsgesetz kommt man über 2 zusätzliche Postulate:'''		'''Auf das richtige Plancksche Strahlungsgesetz kommt man über 2 zusätzliche Postulate:'''

	# <math>\begin{matrix}		<math>\begin{matrix}
	# \lim \\		\lim \\
	# T->\infty \\		T->\infty \\
	# \end{matrix}u\left( \nu ,T \right)=\infty \Rightarrow {{B}_{12}}\frac{{{g}_{1}}}{{{g}_{2}}}={{B}_{21}}</math>		\end{matrix}u\left( \nu ,T \right)=\infty \Rightarrow {{B}_{12}}\frac{{{g}_{1}}}{{{g}_{2}}}={{B}_{21}}</math>
	#

	Damit muss man das Strahlungsgesetz in der Form		Damit muss man das Strahlungsgesetz in der Form
Zeile 354:		Zeile 354:
	schreiben können. Die Bose- Einstein- Verteilung ist also bereits herausgekommen !		schreiben können. Die Bose- Einstein- Verteilung ist also bereits herausgekommen !

	# <math>\begin{align}		<math>\begin{align}
	# & kT>>h\nu \Rightarrow \begin{matrix}		& kT>>h\nu \Rightarrow \begin{matrix}
	# \lim \\		\lim \\
	# T->\infty \\		T->\infty \\
	# \end{matrix}u\left( \nu ,T \right)=\frac{8\pi }{{{c}^{3}}}{{\nu }^{2}}kT \\		\end{matrix}u\left( \nu ,T \right)=\frac{8\pi }{{{c}^{3}}}{{\nu }^{2}}kT \\
	# & \Rightarrow a=\frac{8\pi }{{{c}^{3}}}h{{\nu }^{3}} \\		& \Rightarrow a=\frac{8\pi }{{{c}^{3}}}h{{\nu }^{3}} \\
	# \end{align}</math>		\end{align}</math>
	#
	das heißt: für hohe Temperaturen sollte das Strahlungsgesetz in das Rayleigh- Jeans- Gesetz übergehen !		das heißt: für hohe Temperaturen sollte das Strahlungsgesetz in das Rayleigh- Jeans- Gesetz übergehen !

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Thermodynamik|5|4}} Betrachte: elektromagnetische Strahlung in einem ladungs- und stromfreien Hohlraum im thermischen Glei…“

2010-08-31T21:50:51Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|5|4}}</noinclude> Betrachte: elektromagnetische Strahlung in einem ladungs- und stromfreien Hohlraum im thermischen Glei…“

Neue Seite

<noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|5|4}}</noinclude>

Betrachte: elektromagnetische Strahlung in einem ladungs- und stromfreien Hohlraum im thermischen Gleichgewicht:

<math>\begin{align}

& \bar{E}\left( \bar{r},t \right)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega \left( q \right)t \right)}} \\

& \bar{B}\left( \bar{r},t \right)={{{\bar{B}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega \left( q \right)t \right)}} \\

\end{align}</math>

Ebene Wellen als Lösung der Maxwell- Gleichung !

Mit:

<math>\begin{align}

& {{{\bar{E}}}_{0}}{{{\bar{B}}}_{0}}=0 \\

& \bar{q}{{{\bar{E}}}_{0}}=\bar{q}{{{\bar{B}}}_{0}}= \\

& und \\

& \omega (q)=c\left| {\bar{q}} \right| \\

\end{align}</math>

Also: E- Feld, B- Feld und Ausbreitungsrichtung stehen senkrecht aufeinander !

====Quantisierung des elektromagnetischen Feldes:====

betrachte elektromagnetisches Feld als Feld von Oszillatoren mit Frequenz <math>\omega (q)=c\left| {\bar{q}} \right|</math>

->

<math>\begin{align}

& {{E}_{q}}=\hbar \omega (q)\left( {{n}_{q}}+\frac{1}{2} \right) \\

& q=1,2,3,.... \\

\end{align}</math>

Interpretation von nq als Zahl der Schwingungsquanten ! und Photonen mit der Energie <math>\hbar \omega (q).</math>

und mit dem Impuls <math>\hbar \bar{q}</math>

!

Photonen sind Bosonen ( da nq=0,1,2,3,4,5,.... möglich !)

mit Spin S=1

'''Aber:'''

Entartungsgrad nur 2: 2 Spinzustände !, entsprechend 2 Polarisationsrichtungen:

linkszirkular und rechtszirkulare Polarisation ! der klassischen elektromagnetischen Welle !

Bei linkszirkularer Polarisation gilt:

<math>\bar{S}\uparrow \downarrow \bar{q}</math>

Bei rechtszirkularer Polarisation gilt:

<math>\bar{S}\uparrow \uparrow \bar{q}</math>

Die dritte Einstellmöglichkeit tritt nicht auf, da es keine " longitudinalen" Photonen gibt ! ( longitudinale Wellen !)

* Lichtgeschwindigkeit ist c, da m0=0 ( Ruhemasse)=0

Im thermischen Gleichgewciht des Photonengases mit den Wänden ( "Hohlraumstrahlung")

werden ständig Photonen emittiert und absorbiert !

Ihre Anzahl <math>\bar{N}</math>

ist deshalb bereits durch T und V festgelegt und daher keine unabhängige Nebenbedingung !

* kanonisches Ensemble !

'''Formal:'''

Setze <math>\mu =0</math>

in der Boseverteilung ( '''chemisches Potenzial '''verschwindet)

<math>\begin{align}

& \bar{N}=2\sum\limits_{{\bar{q}}}^{{}}{{}}\frac{1}{\exp \left( \frac{\hbar \omega \left( q \right)}{kT} \right)-1}=2\sum\limits_{{\bar{q}}}^{{}}{{}}\left\langle {{N}_{q}} \right\rangle \\

& U=2\sum\limits_{{\bar{q}}}^{{}}{{}}\frac{\hbar \omega \left( q \right)}{\exp \left( \frac{\hbar \omega \left( q \right)}{kT} \right)-1} \\

\end{align}</math>

Dabei kommt der Vorfaktor 2 wegen den beiden möglichen Polarisationsrichtungen !

====Übergang zum Quasi- Kontinuum !====
<math>\begin{align}

& 2\sum\limits_{{\bar{q}}}^{{}}{{}}->\frac{2V}{{{h}^{3}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}\left( \hbar \bar{q} \right)=\frac{8\pi V}{{{\left( 2\pi \right)}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dq{{q}^{2}}=\frac{8\pi V}{{{\left( 2\pi \right)}^{3}}{{c}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}d\omega {{\omega }^{2}} \\

& \omega =cq \\

& \omega =2\pi \nu \\

& \Rightarrow \frac{8\pi V}{{{\left( 2\pi \right)}^{3}}{{c}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}d\omega {{\omega }^{2}}=\frac{8\pi V}{{{c}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}d\nu {{\nu }^{2}} \\

\end{align}</math>

'''Zustandsdichte der Photonen'''

Somit folgt die Zustandsdichte der Photonen als:

<math>\begin{align}

& \bar{N}=2\sum\limits_{{\bar{q}}}^{{}}{{}}\left\langle {{N}_{q}} \right\rangle \\

& \Rightarrow \bar{N}=\frac{8\pi V}{{{\left( 2\pi \right)}^{3}}{{c}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}d\omega {{\omega }^{2}}\left\langle N(\omega ) \right\rangle =\frac{8\pi V}{{{c}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}d\nu {{\nu }^{2}}\left\langle {{N}_{\nu }} \right\rangle \\

& \bar{N}:=\int_{0}^{\infty }{{}}d\nu D\left( \nu \right)\left\langle {{N}_{\nu }} \right\rangle \\

& \Rightarrow D\left( \nu \right)=\frac{8\pi V}{{{c}^{3}}}{{\nu }^{2}} \\

& \bar{N}=\frac{8\pi V}{{{c}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}d\nu {{\nu }^{2}}\left\langle {{N}_{\nu }} \right\rangle =\int_{0}^{\infty }{{}}d\nu D\left( \nu \right)\left\langle {{N}_{\nu }} \right\rangle \\

& U=\int_{0}^{\infty }{{}}d\nu D\left( \nu \right)h\nu \left\langle {{N}_{\nu }} \right\rangle \\

\end{align}</math>

Dabei ist die Energie ein mit dem Volumen skalierter Wert einer spektralen Energiedichte, die über alle Frequenzen integriert wird.

Dem entsprechend ist der Wert der spektralen Energiedichte, die

'''Plancksche Strahlungsformel'''

<math>u\left( \nu ,T \right):=\frac{1}{V}D\left( \nu \right)h\nu \left\langle {{N}_{\nu }} \right\rangle =\frac{8\pi h}{{{c}^{3}}}\frac{{{\nu }^{3}}}{{{e}^{\frac{h\nu }{kT}}}-1}</math>

'''Grenzfälle'''

<math>\begin{align}

& h\nu <<kT \\

& u\left( \nu ,T \right)\cong \frac{8\pi h}{{{c}^{3}}}\frac{{{\nu }^{3}}}{\frac{h\nu }{kT}}=\frac{8\pi }{{{c}^{3}}}{{\nu }^{2}}kT \\

\end{align}</math>

klassisches Resultat, '''Rayleigh- Jeans- Gesetz ''' richtig für <math>\nu \to 0</math>

, aber: Infrarot- Katastrophe !

<math>\begin{align}

& h\nu >>kT \\

& u\left( \nu ,T \right)\cong \frac{8\pi h}{{{c}^{3}}}\frac{{{\nu }^{3}}}{{{e}^{\frac{h\nu }{kT}}}}=\frac{8\pi h}{{{c}^{3}}}{{\nu }^{3}}{{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}} \\

\end{align}</math>

W. Wien: empirisches Resultat für <math>\nu \to \infty </math>

!

für irdische Lichtquellen, versagt jedoch für Sonne und Fixsterne !

Plancksche Ableitung der Strahlungsformel ( 1900):

'''Postulat:'''

Strahlungsenergie gequantelt gemäß <math>{{E}_{n}}=nh\nu </math>

in Zustandssumme !

Damit konnte M. Planck erstmals die Strahlung schwarzer Körper ( also vollständig absorbierender Strahlungshohlräume im thermodynamischen Gleichgewicht) erklären !

Er konnte damit auch zwischen Rayleigh- Jeans und Wien interpolieren !

* '''historischer Ausgangspunkt der Quantenmechanik !!'''

'''Maximum der spektralen Energiedichte für'''

<math>\begin{align}

& h\nu >>kT \\

& \frac{\partial u\left( \nu ,T \right)}{\partial \nu }=0=\frac{\partial }{\partial \nu }\frac{8\pi h}{{{c}^{3}}}\frac{{{\nu }^{3}}}{{{e}^{\frac{h\nu }{kT}}}}=\frac{8\pi h}{{{c}^{3}}}\frac{\partial }{\partial \nu }\left( {{\nu }^{3}}{{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}} \right)=\frac{8\pi h}{{{c}^{3}}}\left( 3{{\nu }^{2}}{{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}}-\frac{h}{kT}{{\nu }^{3}}{{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}} \right) \\

& \Rightarrow 3{{\nu }^{2}}{{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}}=\frac{h}{kT}{{\nu }^{3}}{{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}} \\

& \Rightarrow \frac{3kT}{h}={{\nu }_{\max .}} \\

\end{align}</math>

'''Wiensches Verschiebungsgesetz'''

Hier sieht man den Verlauf für T=100, 200, 300, 400 K:

====Gesamtenergie====

Gewinnt man durch Integration über alle Frequenzen:

<math>\begin{align}

& U\left( T \right):=V\int_{{}}^{{}}{{}}d\nu \frac{1}{V}D\left( \nu \right)h\nu \left\langle {{N}_{\nu }} \right\rangle =\frac{8\pi hV}{{{c}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}d\nu \frac{{{\nu }^{3}}}{{{e}^{\frac{h\nu }{kT}}}-1} \\

& =\frac{8\pi V}{{{\left( ch \right)}^{3}}}{{\left( kT \right)}^{4}}\int_{0}^{\infty }{{}}dx\frac{{{x}^{3}}}{{{e}^{x}}-1} \\

& \int_{0}^{\infty }{{}}dx\frac{{{x}^{3}}}{{{e}^{x}}-1}=\frac{{{\pi }^{4}}}{15} \\

& U\left( T \right)=\frac{8{{\pi }^{5}}V}{15{{\left( ch \right)}^{3}}}{{\left( kT \right)}^{4}} \\

\end{align}</math>

Also das Integral unter den obigen Kurven mal das Volumen des Hohlraums !

Auch für einen Strahlungshohlraum lassen sich Wärmekapazität, Druck etc.. angeben:

'''Wärmekapazität:'''

<math>{{C}_{V}}={{\left( \frac{\partial U\left( T \right)}{\partial T} \right)}_{V}}=\frac{32{{\pi }^{5}}V}{15{{\left( ch \right)}^{3}}}{{k}^{4}}{{T}^{3}}</math>

====Strahlungsdruck im Hohlraum====

Aus

<math>p=-{{\left( \frac{\partial F}{\partial V} \right)}_{T}}</math>

folgt mit der kanonischen Zustandssumme Z:

<math>\begin{align}

& F=-kT\ln Z=kT\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}\ln \left( 1-{{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}} \right) \\

& p=kT{{\left( \frac{\partial }{\partial V}\ln Z \right)}_{T}}=-kT\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}\frac{\frac{h}{kT}\left( \frac{\partial \nu }{\partial V} \right){{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}}}{\left( 1-{{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}} \right)} \\

\end{align}</math>

Dies ist keineswegs Null, denn: mit dem Volumen V ändert sich die Frequenz einer stehenden Welle:

<math>\begin{align}

& \nu =\frac{c}{\lambda }\tilde{\ }{{V}^{-\frac{1}{3}}} \\

& \frac{\partial \nu }{\partial V}=-\frac{1}{3}\frac{\nu }{V} \\

\end{align}</math>

<math>\begin{align}

& p=kT{{\left( \frac{\partial }{\partial V}\ln Z \right)}_{T}}=-kT\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}\frac{\frac{h}{kT}\left( \frac{\partial \nu }{\partial V} \right){{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}}}{\left( 1-{{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}} \right)}=kT\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}\frac{\frac{h}{kT}\frac{\nu }{3V}{{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}}}{\left( 1-{{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}} \right)}=\frac{1}{3V}\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}\frac{h\nu {{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}}}{\left( 1-{{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}} \right)}= \\

& \Rightarrow p=\frac{1}{3V}\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}h\nu \left\langle {{N}_{\nu }} \right\rangle \\

& p=\frac{1}{3}\frac{U}{V} \\

\end{align}</math>

Der Strahlungsdruck !

Also:

<math>p\left( T \right)=\frac{8{{\pi }^{5}}}{45{{\left( ch \right)}^{3}}}{{\left( kT \right)}^{4}}</math>

Das heißt: In einem Hohlraum steigt der Strahlungsdruck mit der vierten Potenz der Temperatur !

Betrachtet man dies in N/ m², so ergibt sich:

Im Zentrum der Sonne allerdings herrschen <math>2,5\cdot {{10}^{7}}</math>

bar Strahlungsdruck !:

====Einsteinsche Ableitung der Planckschen Strahlungsformel====

( 1917)

Einstein hatte den begriff "Photon" im Zusammenhang mit dem Photoeffekt entwickelt !. Im Strahlungshohlraum seien 2 Niveau- Atome, die zwischen den Energien E1 und E2 mit Entartungsgrade g1 und g2 Strahlungsübergänge machen können , indem sie Photonen der Energie

<math>h\nu ={{E}_{2}}-{{E}_{1}}</math>

absorbieren oder emittieren !

Im thermodynamischen Gleichgewicht gilt für die mittleren Besetzungszahlen der elektronischen Atomniveaus ( Fermionen):

<math>\begin{align}

& \frac{\left\langle {{N}_{2}} \right\rangle }{\left\langle {{N}_{1}} \right\rangle }=\frac{{{g}_{2}}P({{E}_{2}})}{{{g}_{1}}P({{E}_{1}})}=\frac{{{g}_{2}}{{e}^{-\beta {{E}_{2}}}}}{{{g}_{1}}{{e}^{-\beta {{E}_{1}}}}}=\frac{{{g}_{2}}}{{{g}_{1}}}{{e}^{-\beta \left( {{E}_{2}}-{{E}_{1}} \right)}}=\frac{{{g}_{2}}}{{{g}_{1}}}{{e}^{-\beta h\nu }} \\

& h\nu ={{E}_{2}}-{{E}_{1}} \\

\end{align}</math>

Dabei gilt für die Besetzungswahrscheinlichkeiten:

<math>P({{E}_{i}})={{Z}^{-1}}{{e}^{-\beta {{E}_{i}}}}</math>

Im thermischen Gleichgewicht werden im Mittel so viele Photonen emittiert wie absorbiert:

'''Ansatz für die Raten '''( = Anzahl der Übergänge pro Zeit und Volumen)_

1) Absorption: <math>{{E}_{1}}\to {{E}_{2}}</math>

mit der Photonenzahl u:

Absorptionsrate: <math>{{E}_{1}}\to {{E}_{2}}</math>

<math>{{B}_{12}}u\left( \nu ,T \right)\left\langle {{N}_{1}} \right\rangle </math>

2) Spontane Emission:

Emissionsrate: <math>{{E}_{2}}\to {{E}_{1}}</math>

<math>{{A}_{21}}\left\langle {{N}_{2}} \right\rangle </math>

Man erhält als mittlere Lebensdauer eines Anregungszustandes: <math>\frac{1}{\tau }={{A}_{21}}</math>

3) Induzierte Emission:

Emissionsrate: <math>{{E}_{2}}\to {{E}_{1}}</math>

<math>{{B}_{21}}u\left( \nu ,T \right)\left\langle {{N}_{2}} \right\rangle </math>

Diese wurde von Einstein neu eingeführt !

* Grundlage der Maser ( 1954) und Laser ( 1961)

Vergleichsweise zum chemischen Massenwirkungsgesetz ( Kapitel 4.5) gewinnt man schließlich eine Bilanzgleichung mit den "Einstein- Koeffizienten" B12, A21 und B21:

<math>\begin{align}

& {{B}_{12}}u\left( \nu ,T \right)\left\langle {{N}_{1}} \right\rangle ={{B}_{21}}u\left( \nu ,T \right)\left\langle {{N}_{2}} \right\rangle +{{A}_{21}}\left\langle {{N}_{2}} \right\rangle \\

& \Rightarrow u\left( \nu ,T \right)=\frac{{{A}_{21}}}{{{B}_{12}}\frac{\left\langle {{N}_{1}} \right\rangle }{\left\langle {{N}_{2}} \right\rangle }-{{B}_{21}}}=\frac{{{A}_{21}}}{{{B}_{12}}\frac{{{g}_{1}}}{{{g}_{2}}}{{e}^{\beta h\nu }}-{{B}_{21}}} \\

\end{align}</math>

'''Auf das richtige Plancksche Strahlungsgesetz kommt man über 2 zusätzliche Postulate:'''

# <math>\begin{matrix}
# \lim \\
# T->\infty \\
# \end{matrix}u\left( \nu ,T \right)=\infty \Rightarrow {{B}_{12}}\frac{{{g}_{1}}}{{{g}_{2}}}={{B}_{21}}</math>
#

Damit muss man das Strahlungsgesetz in der Form

<math>u\left( \nu ,T \right)=\frac{{{A}_{21}}}{{{B}_{12}}\frac{{{g}_{1}}}{{{g}_{2}}}{{e}^{\beta h\nu }}-{{B}_{21}}}=\frac{a}{{{e}^{\beta h\nu }}-1}</math>

schreiben können. Die Bose- Einstein- Verteilung ist also bereits herausgekommen !

# <math>\begin{align}
# & kT>>h\nu \Rightarrow \begin{matrix}
# \lim \\
# T->\infty \\
# \end{matrix}u\left( \nu ,T \right)=\frac{8\pi }{{{c}^{3}}}{{\nu }^{2}}kT \\
# & \Rightarrow a=\frac{8\pi }{{{c}^{3}}}h{{\nu }^{3}} \\
# \end{align}</math>
#
das heißt: für hohe Temperaturen sollte das Strahlungsgesetz in das Rayleigh- Jeans- Gesetz übergehen !

Damit gewinnt man den Faktor a !

<math>u\left( \nu ,T \right)=\frac{8\pi }{{{c}^{3}}}h{{\nu }^{3}}\frac{1}{{{e}^{\beta h\nu }}-1}</math>

====Verallgemeinerung====

kann auf Elektronensysteme im NICHTgleichgewicht geschehen !

* Wie bei Photonen nur mit effektivem chemischem Potenzial <math>\mu \ne 0</math>
*
* Anwendung: Laser !

Das Photonengas im Strahlungshohlraum - Versionsgeschichte

Schubotz: /* Verallgemeinerung */

Schubotz: /* Einsteinsche Ableitung der Planckschen Strahlungsformel */

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (31), ( → ( (12)

Schubotz am 12. September 2010 um 22:21 Uhr

*>SchuBot: /* Quantisierung des elektromagnetischen Feldes: */Pfeile einfügen, replaced: -> → →

*>SchuBot am 12. September 2010 um 14:31 Uhr

Schubotz: /* Einsteinsche Ableitung der Planckschen Strahlungsformel */

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Thermodynamik|5|4}} Betrachte: elektromagnetische Strahlung in einem ladungs- und stromfreien Hohlraum im thermischen Glei…“

>SchuBot: / Quantisierung des elektromagnetischen Feldes: */Pfeile einfügen, replaced: -> → →